Tehetetlenségi nyomaték tengelyek párhuzamos fordítása során. Az energianyomatékok változása tengelyek párhuzamos fordítása során. Statikus pillanatok. A súlypont meghatározása

Otthon

A sík alakzat súlypontján átmenő tengelyeket központi tengelyeknek nevezzük.
A központi tengely körüli tehetetlenségi nyomatékot központi tehetetlenségi nyomatéknak nevezzük.

Tétel

A tehetetlenségi nyomaték bármely tengely körül egyenlő az ezzel párhuzamos központi tengely körüli tehetetlenségi nyomaték összegével, valamint az ábra területének és a tengelyek közötti távolság négyzetének szorzatával.

Ennek a tételnek a bizonyításához vegyünk egy tetszőleges síkidomot, amelynek területe egyenlő A , a súlypont azon a ponton található VEL , és a tengely körüli központi tehetetlenségi nyomaték x akarat Ix .
Számítsuk ki az ábra tehetetlenségi nyomatékát egy bizonyos tengelyhez képest! x 1 , párhuzamosan a központi tengellyel, és attól bizonyos távolságra A (rizs).

I x1 = Σ y 1 2 dA + Σ (y + a) 2 dA =
= Σ y 2 dA + 2a Σ y dA + a 2 Σ dA.

A kapott képletet elemezve megjegyezzük, hogy az első tag a központi tengelyhez viszonyított tengelyirányú tehetetlenségi nyomaték, a második tag az ábra területének statikus nyomatéka a központi tengelyhez képest (tehát egyenlő nulla), az integráció utáni harmadik tag pedig szorzatként ábrázolható a 2 A , azaz ennek eredményeként a következő képletet kapjuk:

I x1 = I x + a 2 A- bebizonyosodott a tétel.

A tétel alapján arra a következtetésre juthatunk párhuzamos tengelyek sorozatából egy lapos alak tengelyirányú tehetetlenségi nyomatéka lesz a legkisebb a központi tengelyhez képest .

Főtengelyek és fő tehetetlenségi nyomatékok

Képzeljünk el egy lapos ábrát, amelynek tehetetlenségi nyomatékai a koordinátatengelyekhez viszonyítva Ix És I y , és az origóhoz viszonyított poláris tehetetlenségi nyomaték egyenlő I ρ . Mint korábban megállapították,

I x + I y = I ρ.

Ha a koordinátatengelyeket síkjukban a koordináták origója körül elforgatjuk, akkor a poláris tehetetlenségi nyomaték változatlan marad, a tengelyirányú nyomatékok pedig változnak, összegük pedig állandó marad. Mivel a változók összege állandó, az egyik csökken, a másik növekszik, és fordítva.
Következésképpen a tengelyek egy bizonyos helyzetében az egyik axiális nyomaték eléri a maximális értéket, a másik pedig a minimumot.

Azokat a tengelyeket, amelyeken a tehetetlenségi nyomaték minimális és maximális értéke van, fő tehetetlenségi tengelyeknek nevezzük.
A főtengely körüli tehetetlenségi nyomatékot fő tehetetlenségi nyomatéknak nevezzük.

Ha a főtengely átmegy egy alakzat súlypontján, akkor azt főtengelynek, az ilyen tengely körüli tehetetlenségi nyomatékot pedig fő központi tehetetlenségi nyomatéknak nevezzük.
Megállapíthatjuk, hogy ha egy ábra szimmetrikus bármely tengelyre, akkor mindig ez a tengely lesz ennek az alaknak az egyik fő központi tehetetlenségi tengelye.

Centrifugális tehetetlenségi nyomaték

Egy lapos alak centrifugális tehetetlenségi nyomatéka a teljes területre felvett elemi területek és két egymásra merőleges tengely távolságának szorzata:

I xy = Σ xy dA,

Ahol x , y - távolságok a helyszíntől dA tengelyekhez x És y .
A centrifugális tehetetlenségi nyomaték lehet pozitív, negatív vagy nulla.

A centrifugális tehetetlenségi nyomatékot az aszimmetrikus szakaszok főtengelyeinek helyzetét meghatározó képletek tartalmazzák.
A szabványos profiltáblázatok ún a szakasz forgási sugara , a következő képletekkel számítjuk ki:

i x = √ (I x / A),i y = √ (I y / A) , (a továbbiakban a jel"√"- gyökérjel)

Ahol én x, én y - a szakasz tengelyirányú tehetetlenségi nyomatékai a központi tengelyekhez képest; A - keresztmetszeti terület.
Ezt a geometriai jellemzőt az excentrikus feszítés vagy összenyomás, valamint a hosszirányú hajlítás vizsgálatánál használják.

Torziós deformáció

Alapfogalmak a torzióról. Kerek gerenda torziója.

A torzió az alakváltozás olyan fajtája, amelynél a gerenda bármely keresztmetszetében csak nyomaték lép fel, azaz olyan erőtényező, amely a szakasznak a szakaszra merőleges tengelyéhez képest körkörös elmozdulását idézi elő, vagy megakadályozza az ilyen mozgást. Más szavakkal, torziós alakváltozások lépnek fel, ha egy vagy több erőt egy egyenes gerendára a tengelyére merőleges síkban fejtünk ki.
Ezen erőpárok nyomatékait csavarodásnak vagy forgásnak nevezzük. A nyomatékot jelöli T .
Ez a meghatározás hagyományosan a torziós alakváltozás erőtényezőit külső tényezőkre (torziós, nyomaték) osztja. T ) és belső (nyomatékok M kr ).

A gépekben és mechanizmusokban a kerek vagy cső alakú tengelyek leggyakrabban csavarodásnak vannak kitéve, ezért leggyakrabban az ilyen egységekre, alkatrészekre készülnek szilárdsági és merevségi számítások.

Tekintsük egy körhengeres tengely torzióját.
Képzeljünk el egy gumi hengeres tengelyt, amelyben az egyik vége mereven van rögzítve, és a felületén egy hosszirányú vonalakból és keresztirányú körökből álló rács található. A tengely szabad végére, ennek a tengelynek a tengelyére merőlegesen, pár erőt fogunk kifejteni, azaz a tengely mentén megcsavarjuk. Ha gondosan megvizsgálja a rácsvonalakat a tengely felületén, észre fogja venni, hogy:
- a tengelytengely, amelyet torziós tengelynek nevezünk, egyenes marad;
- a körök átmérője változatlan marad, és a szomszédos körök közötti távolság nem változik;
- a tengelyen lévő hosszanti vonalak csavarvonalakká alakulnak.

Ebből arra következtethetünk, hogy kerek hengeres gerenda (tengely) csavarásakor érvényes a síkszelvényekre vonatkozó hipotézis, és azt is feltételezhetjük, hogy a körök sugarai az alakváltozás során egyenesek maradnak (hiszen átmérőjük nem változott). És mivel a tengelyszakaszokban nincsenek hosszirányú erők, a köztük lévő távolság megmarad.

Következésképpen a kerek tengely torziós deformációja a keresztmetszetek egymáshoz viszonyított elfordulásából áll a torziós tengely körül, és elfordulási szögeik egyenesen arányosak a rögzített szakasztól való távolságokkal - minél távolabb van bármely szakasz a rögzített végtől a tengely, annál nagyobb a szög a tengelyhez képest elcsavarodik.
A tengely minden szakaszánál a forgásszög megegyezik a tengely e szakasz és a tömítés (rögzített vég) közé zárt részének csavarodási szögével.

sarok ( rizs. 1) a tengely szabad végének (végszakasz) forgását nevezzük teljes szögben a hengeres gerenda (tengely) csavarása.
Relatív csavarási szög φ 0 torziós szög aránynak nevezzük φ 1 a távolba l 1 adott szakasztól a beágyazásig (fix szakasz).
Ha a hengeres gerenda (tengely) hosszú l állandó keresztmetszetű és a szabad végén torziós nyomatékkal van terhelve (azaz homogén geometriai metszetből áll), akkor igaz az állítás:
φ 0 = φ 1 / l 1 = φ / l = állandó - az érték állandó.

Ha figyelembe vesszük a fenti gumihengeres rúd felületén egy vékony réteget ( rizs. 1), rácscella korlátozza cdef , akkor megjegyezzük, hogy ez a cella deformáció közben megvetemedik, és a rögzített szakasztól távolabbi oldala a gerenda csavarodása felé eltolódik, elfoglalva a pozíciót. cde 1 f 1 .

Megjegyzendő, hogy hasonló kép figyelhető meg a nyírási deformáció során, csak ebben az esetben a felület deformálódik a szakaszok egymáshoz viszonyított transzlációs mozgása miatt, nem pedig a forgó mozgás miatt, mint a torziós deformációnál. Ebből arra következtethetünk, hogy a keresztmetszetek csavarása során csak érintők keletkeznek belső erők(feszültségek), amelyek nyomatékot generálnak.

Tehát a nyomaték a keresztmetszetben ható belső érintőleges erők nyalábjának tengelyéhez viszonyított eredő nyomaték.

Legyen Ix, Iy, Ixy is ismert. Rajzoljunk egy új x 1, y 1 tengelyt párhuzamosan az xy tengelyekkel.

És határozzuk meg ugyanannak a szakasznak az új tengelyekhez viszonyított tehetetlenségi nyomatékát.

X1 = x-a; y 1 = y-b

I x 1 = ∫ y 1 dA = ∫ (y-b) 2 dA = ∫ (y 2 - 2by + b 3) dA = ∫ y 2 dA - 2b ∫ ydA + b 2 ∫ dA=

Ix – 2b Sx + b 2 A.

Ha az x tengely átmegy a metszet súlypontján, akkor az Sx statikus nyomaték =0.

I x 1 = Ix + b 2 A

Az új y 1 tengelyhez hasonlóan a következő képlet lesz: I y 1 = Iy + a 2 A

Centrifugális tehetetlenségi nyomaték új tengelyekre

Ix 1 y 1 = Ixy – b Sx –a Sy + abA.

Ha az xy tengelyek áthaladnak a szakasz súlypontján, akkor Ix 1 y 1 = Ixy + abA

Ha a metszet szimmetrikus, akkor legalább az egyik központi tengely egybeesik a szimmetriatengellyel, akkor Ixy =0, ami azt jelenti, hogy Ix 1 y 1 = abA

Változó tehetetlenségi nyomatékok tengelyek forgatásakor.

Legyenek ismertek az xy tengelyekre vonatkozó tengelyirányú tehetetlenségi nyomatékok.

Forgatással új xy koordinátarendszert kapunk régi rendszer szöggel (a > 0), ha az óramutató járásával ellentétes irányba forgatjuk.

Határozzuk meg a kapcsolatot a telephely régi és új koordinátái között

y 1 =ab = ac – bc = ab- de

háromszög acd-ből:

ac/ad =cos α ac= ad*cos α

oed háromszögből:

de/od =sin α dc = od*sin α

Helyettesítsük be ezeket az értékeket y kifejezésébe

y 1 = ad cos α - od sin α = y cos α - x sin α.

Hasonlóképpen

x 1 = x cos α + y sin α.

Számítsuk ki az új x 1 tengelyhez viszonyított tengelyirányú tehetetlenségi nyomatékot

Ix 1 = ∫y 1 2 dA = ∫ (y cos α - x sin α) 2 dA= ∫ (y 2 cos 2 α - 2xy sin α cos α + x 2 sin 2 α)dA= =cos 2 α ∫ 2 dA – sin2 α ∫xy dA + sin 2 α ∫x 2 dA = Ix cos 2 α - Ixy sin2 α + Iy sin 2 α .

Hasonlóképpen, Iy 1 = Ix sin 2 α - Ixy sin2 α + Iy cos 2 α.

Adjuk hozzá a kapott kifejezések bal és jobb oldalát:

Ix 1 + Iy 1 = Ix (sin 2 α + cos 2 α) + Iy (sin 2 α + cos 2 α) + Ixy (sin2 α - cos2 α).

Ix 1 + Iy 1 = Ix + Iy

A forgás közbeni tengelyirányú tehetetlenségi nyomatékok összege nem változik.

Határozzuk meg az új tengelyekhez viszonyított centrifugális tehetetlenségi nyomatékot. Képzeljük el az x 1 , y 1 értékeket.

Ix 1 y 1 = ∫x 1 y 1 dA = (Ix – Iy)/2*sin 2 α + Ixy cos 2 α.

Fő nyomatékok és fő tehetetlenségi tengelyek.

A fő tehetetlenségi nyomatékok szélsőséges értékeknek nevezzük.

Azokat a tengelyeket, amelyekről a szélső értékeket megkaptuk, fő tehetetlenségi tengelyeknek nevezzük. Mindig egymásra merőlegesek.

A főtengelyekhez viszonyított centrifugális tehetetlenségi nyomaték mindig 0. Mivel ismert, hogy a metszetben van szimmetriatengely, a centrifugális nyomaték 0, ami azt jelenti, hogy a szimmetriatengely a főtengely. Ha vesszük az I x 1 kifejezés első deriváltját, majd egyenlővé tesszük „0”-val, akkor megkapjuk a fő tehetetlenségi tengelyek helyzetének megfelelő = = szög értékét.

tan2 α 0 = -

Ha α 0 >0, akkor a főtengelyek egy bizonyos helyzetéhez a régi tengelyt kell az óramutató járásával ellentétes irányba forgatni. Az egyik főtengely max, a másik min. Ebben az esetben a max tengely mindig kisebb szöget zár be azzal a véletlen tengellyel, amelyhez képest nagyobb tengelyirányú tehetetlenségi nyomatéka van. A tengelyirányú tehetetlenségi nyomaték szélső értékeit a következő képlet határozza meg:

2. fejezet Az anyagok szilárdságának alapfogalmai. Célok és módszerek.

Különböző szerkezetek tervezésekor meg kell oldani a szilárdság, a merevség és a stabilitás különböző kérdéseit.

Erő– az adott test azon képessége, hogy roncsolás nélkül ellenálljon a különféle terheléseknek.

Merevség– a szerkezet nagy alakváltozások (elmozdulások) nélküli terhelésfelvételi képessége. Az előzetesen megengedett alakváltozási értékek szabályozottak építési szabályzatokés szabályok (SNIP).

Fenntarthatóság

Tekintsük egy rugalmas rúd összenyomását

Ha a terhelést fokozatosan növeljük, a rúd először lerövidül. Amikor az F erő elér egy bizonyos kritikus értéket, a rúd meghajlik. - abszolút rövidítés.

Ebben az esetben a rúd nem esik össze, hanem élesen megváltoztatja alakját. Ezt a jelenséget a stabilitás elvesztésének nevezik, és pusztuláshoz vezet.

Sopromat– ezek a mérnöki szerkezetek szilárdságával, merevségével és stabilitásával kapcsolatos tudományok alapjai. A szilárdsági anyagok az elméleti mechanika, fizika és matematika módszereit használják. Az elméleti mechanikától eltérően a szilárdsági ellenállás figyelembe veszi a testek méretének és alakjának változásait a terhelés és a hőmérséklet hatására.

Gyakran döntéskor gyakorlati problémák meg kell határozni a szelvény tehetetlenségi nyomatékait a síkjában eltérően orientált tengelyekhez képest. Ebben az esetben célszerű a teljes szakasz (vagy egyes alkotórészeinek) más tengelyekhez viszonyított tehetetlenségi nyomatékainak már ismert értékeit használni, amelyek a szakirodalomban, speciális referenciakönyvekben és táblázatokban vannak megadva, valamint kiszámítva. rendelkezésre álló képletek segítségével. Ezért nagyon fontos az azonos szakasz különböző tengelyekhez viszonyított tehetetlenségi nyomatékai közötti kapcsolatok megállapítása.

A legáltalánosabb esetben bármely régiről bármelyikre áttérve új rendszer A koordináták a régi koordinátarendszer két egymást követő transzformációjának tekinthetők:

1) koordinátatengelyek párhuzamos átvitelével új pozícióba és

2) az új origóhoz viszonyított elforgatásával. Tekintsük az első transzformációt, azaz a koordinátatengelyek párhuzamos fordítását.

Tegyük fel, hogy egy adott szakasznak a régi tengelyekhez viszonyított tehetetlenségi nyomatékai (18.5. ábra) ismertek.

Vegyünk egy új koordináta-rendszert, amelynek tengelyei párhuzamosak az előzőekkel. Jelöljük a és b-vel a pont (azaz az új origó) koordinátáit a régi koordinátarendszerben

Tekintsünk egy elemi helyet, melynek koordinátái a régi koordinátarendszerben egyenlők y és . Az új rendszerben egyenlők

Helyettesítsük be ezeket a koordinátaértékeket a tengelyhez viszonyított tengelyirányú tehetetlenségi nyomaték kifejezésébe

A kapott kifejezésben a tehetetlenségi nyomaték, a szakasz tengelyhez viszonyított statikus nyomatéka megegyezik a szakasz F területével.

Ezért,

Ha a z tengely átmegy a szakasz súlypontján, akkor a statikus nyomaték ill

A (25.5) képletből egyértelműen kiderül, hogy minden olyan tengely körüli tehetetlenségi nyomaték, amely nem megy át a tömegközépponton, nagyobb, mint a tömegközépponton átmenő tengely körüli tehetetlenségi nyomaték egy olyan mértékű, amely mindig pozitív. Következésképpen a párhuzamos tengelyekre vonatkozó összes tehetetlenségi nyomaték közül a tengelyirányú tehetetlenségi nyomaték legkisebb érték a szakasz súlypontján átmenő tengelyhez képest.

A tengely körüli tehetetlenségi nyomaték [a (24.5) képlettel analógia]

Abban az esetben, ha az y tengely áthalad a szakasz súlypontján

A (25.5) és (27.5) képletet széles körben használják összetett (kompozit) szakaszok tengelyirányú tehetetlenségi nyomatékának kiszámítására.

Helyettesítsük be az értékeket a tengelyekhez viszonyított centrifugális tehetetlenségi nyomaték kifejezésébe

7. ábra.

Ahol én x, én y – a referenciatengelyekhez viszonyított tengelyirányú tehetetlenségi nyomatékok;

Én xy– a referenciatengelyekhez viszonyított centrifugális tehetetlenségi nyomaték;

Én xc, én yc– a központi tengelyekhez viszonyított tengelyirányú tehetetlenségi nyomatékok;

Én xcyc– centrifugális tehetetlenségi nyomaték a központi tengelyekhez képest;

a, b– a tengelyek közötti távolság.

Egy szakasz tehetetlenségi nyomatékainak meghatározása a tengelyek forgatásakor

A szakasznak a központi tengelyekhez viszonyított összes geometriai jellemzője ismert x C,C-nél(8. ábra). Határozzuk meg a tengelyekre vonatkozó tehetetlenségi nyomatékokat x 1,1-kor, a központiakhoz képest egy bizonyos szöggel elforgatva a.

8. ábra

Ahol I x 1, I y 1 – tengelyirányú tehetetlenségi nyomatékok a tengelyekre x 1,1-kor ;

I x 1 y 1– a tengelyekhez viszonyított centrifugális tehetetlenségi nyomaték x 1,1-kor .

A fő központi tehetetlenségi tengelyek helyzetének meghatározása

A szakasz fő központi tehetetlenségi tengelyeinek helyzetét a következő képlet határozza meg:

Ahol egy 0 – a központi és a fő tehetetlenségi tengely közötti szög.

A fő tehetetlenségi nyomatékok meghatározása

A szakasz fő tehetetlenségi nyomatékait a következő képlet határozza meg:

Egy összetett szakasz számítási sorrendje

1) Bontson fel egy összetett szakaszt egyszerűbbekre! geometriai formák [S 1, S 2,…;x 1, y 1; x 2, y 2, …]

2) Válasszon tetszőleges tengelyeket XOY .

3) Határozza meg a szakasz súlypontjának helyzetét! [x c , y c].

4) Rajzolja meg a központi tengelyeket X c OY c.

5) Számítsa ki a tehetetlenségi nyomatékokat! Ixc, Iy c , a tengelyek párhuzamos fordításának tételével.

6) Számítsa ki a centrifugális tehetetlenségi nyomatékot! Ix c y c.

7) Határozza meg a fő tehetetlenségi tengelyek helyzetét! tg2a 0.

8) Számítsa ki a fő tehetetlenségi nyomatékokat! Imax, Imin.

2. PÉLDA

A 13. ábrán látható ábrához határozza meg a főbb pontokat

a tehetetlenség és a fő tehetetlenségi tengelyek helyzete.

1) Az összetett szakaszt egyszerű geometriai alakzatokra bontjuk

S 1 = 2000 mm 2, S 2 = 1200 mm2, S= 3200 mm 2.

2) Válasszon tetszőleges XOY tengelyt.

3) Határozza meg a szakasz súlypontjának helyzetét!

x c = 25 mm, y c=35 mm.

4) A központi tengelyek megrajzolása X c OY c

5) Számítsa ki a tehetetlenségi nyomatékokat! Ix c, Iy c

6) Számítsa ki a centrifugális tehetetlenségi nyomatékot! Ix c y c

7) Határozza meg a fő tehetetlenségi tengelyek helyzetét!

Ha I x >I y És a 0 >0 , majd a szög egy 0 tengelytől eltolva X s óramutató járásával ellentétes irányban.

8) Számítsa ki a fő tehetetlenségi nyomatékokat! Imax, Imin

3. PÉLDA

ábrán látható ábrához. 8 határozza meg a főtengelyek helyzetét

8. ábra.

tehetetlenség és fő tehetetlenségi nyomatékok.

1) Minden ábrához felírjuk az alapvető kiindulási adatokat

Csatorna

S 1 = 10,9 cm2

I x = 20,4 cm 4

I y = 174 cm 4

y 0= 1,44 cm

h= 10 cm

Egyenetlen sarok

S 3 = 6,36 cm2

I x = 41,6 cm 4

I y = 12,7 cm 4

I min = 7,58 cm 4

tga= 0,387

x 0= 1,13 cm

y 0= 2,6 cm

Téglalap

S 2 = 40 cm2

cm 4

2) Rajzolja meg a szakaszt méretarányosan

3) Rajzoljon tetszőleges koordinátatengelyeket

4) Határozza meg a szakasz súlypontjának koordinátáit!

5) Rajzolja meg a központi tengelyeket

6) Határozza meg a központi tengelyekhez viszonyított tengelyirányú tehetetlenségi nyomatékokat!

7) Határozza meg a központi tengelyekhez viszonyított centrifugális tehetetlenségi nyomatékot!

A szöghengerelt acél súlypontjához viszonyított centrifugális tehetetlenségi nyomatékát a következő képletek egyike határozza meg:

-4

A szöghengerelt acél centrifugális tehetetlenségi nyomatékának előjelét az ábra szerint határozzuk meg. 9 tehát I xy 3= -13,17 cm 4.

8) Határozza meg a fő tehetetlenségi tengelyek helyzetét!

a 0 = 21,84°

9) Határozza meg a fő tehetetlenségi nyomatékokat!

4. FELADAT

A megadott sémákhoz (6. táblázat) szükséges:

1) Rajzoljon keresztmetszetet szigorú léptékben.

2) Határozza meg a súlypont helyzetét!

3) Keresse meg a tengelyirányú tehetetlenségi nyomatékok értékét a központi tengelyekhez viszonyítva.

4) Határozza meg a centrifugális tehetetlenségi nyomaték értékét a központi tengelyekhez viszonyítva!

5) Határozza meg a fő tehetetlenségi tengelyek helyzetét!

6) Keresse meg a fő tehetetlenségi nyomatékokat!

Vegye ki a numerikus adatokat a táblázatból. 6.

Számítási sémák a 4. feladathoz

6. táblázat

Kiinduló adatok a 4. számú feladathoz

№	Egyenlő szögű sarok	Egyenetlen sarok	I-sugár	Csatorna	Téglalap	számú séma
	30'5	50'32'4			100×30
	40'6	56´36´4			100×40
	50'4	63'40'8			100×20
	56´4	70'45'5			80'40
	63´6	80'50'6		14a	80'60
	70'8	90'56'6			80'100
	80'8	100'63'6	20a	16a	80'20
	90'9	90'56'8			60'40
	75'9	140'90'10	22a	18a	60'60
	100×10	160'100'12			60'40
	d	A	b	V	G	d

Útmutató az 5. problémához

A hajlítás egy olyan alakváltozás, amelyben a rúd keresztmetszetében megjelenik a V.S.F. – hajlítónyomaték.

A hajlítási gerenda kiszámításához ismerni kell a maximális hajlítónyomaték értékét Més annak a szakasznak a helyzete, amelynél előfordul. Ugyanígy tudnia kell a maximális oldalerőt K. Erre a célra a hajlítónyomatékok és a nyíróerők diagramjai készülnek. Az ábrákból könnyen megítélhető, hogy hol a maximális pillanatérték ill nyíróerő. Mennyiségek meghatározásához MÉs K használja a szakaszos módszert. Tekintsük az ábrán látható áramkört. 9. Állítsuk össze a tengelyre ható erők összegét! Y, a gerenda levágott részére hat.

9. ábra.

A keresztirányú erő egyenlő a szakasz egyik oldalán ható összes erő algebrai összegével.

Állítsuk össze a gerenda levágott részére ható nyomatékok összegét a metszethez képest.

A hajlítónyomaték egyenlő a nyaláb levágott részére ható összes nyomaték algebrai összegével a szakasz súlypontjához képest.

Ahhoz, hogy a számításokat a gerenda bármely végéről lehessen elvégezni, a belső erőtényezőkre vonatkozó előjelszabályt kell elfogadni.

Nyíróerőhöz K.

10. ábra.

Ha egy külső erő a nyaláb vágott részét az óramutató járásával megegyező irányba forgatja, akkor az erő pozitív, ha a nyaláb vágott részét az óramutató járásával ellentétes irányba forgatja, akkor az erő negatív.

Hajlítási nyomatékhoz M.

11. ábra.

Ha külső erő hatására a gerenda ívelt tengelye homorú tál alakot vesz fel, úgy, hogy a felülről érkező eső vízzel tölti meg, akkor a hajlítónyomaték pozitív (11a. ábra). Ha külső erő hatására a gerenda ívelt tengelye domború tál alakú, így a felülről érkező eső nem tölti meg vízzel, akkor a hajlítónyomaték negatív (11b. ábra).

Az elosztott terhelési intenzitás között q, nyíróerő Kés hajlítónyomaték M, egy bizonyos szakaszban a következő különbségi függőségek vannak:

A hajlítás során feltüntetett differenciális függőségek lehetővé teszik a keresztirányú erők és hajlítónyomatékok diagramjainak néhány jellemzőjének megállapítását.

1) Azokon a területeken, ahol nincs megosztott terhelés, diagram K a diagram és a diagram tengelyével párhuzamos egyenesek határolják M , általános esetben ferde egyenesekkel (19. ábra).

2) Azokon a területeken, ahol egyenletes eloszlású terhelés éri a gerendát, diagram K ferde egyenesek és a diagram korlátozza M – másodfokú parabolák (20. ábra). Tervezéskor M összenyomott szálakon a parabola konvexitása az elosztott terhelés hatásával ellentétes irányba néz (21a, b ábra).

12. ábra.

13. ábra.

3) Azokban a szakaszokban, ahol K= 0, a diagram érintője M párhuzamos a diagram tengelyével (12., 13. ábra). A hajlítónyomaték a gerenda ilyen szakaszaiban extrém nagyságú ( M max,Mmin).

4) Azokon a területeken, ahol Q> 0, M növeli, azaz balról jobbra a diagram pozitív ordinátáit M nőnek, negatívak csökkennek (12., 13. ábra); azokon a területeken, ahol K < 0, M csökken (12., 13. ábra).

5) Azokon a szakaszokon, ahol koncentrált erők fejtik ki a gerendát:

a) a diagramon K a kifejtett erők nagysága és iránya szerint ugrások lesznek (12., 13. ábra).

b) a diagramon M törések lesznek (12., 13. ábra), a törés csúcsa az erőhatás ellen irányul.

6) Azokon a szakaszokon, ahol koncentrált nyomatékok hatnak a gerendára, a diagramon M ezeknek a pillanatoknak a nagyságrendjében ugrások lesznek a diagramon K nem lesz változás (14. ábra).

14. ábra.

15. ábra.

7) Ha egy koncentrált

nyomaték, akkor ebben a szakaszban a hajlítónyomaték egyenlő a külső nyomatékkal (szakasz CÉs Bábrán. 15).

8) Diagram Kábrázolja a diagram deriváltját M. Tehát az ordináták K arányos a diagram érintőjének dőlésszögének érintőjével M(14. ábra).

A rajzolás sorrendje KÉs M:

1) A gerenda tervrajzát (tengely alakban) elkészítjük, amely bemutatja a rá ható terheléseket.

2) A támasztékok gerendára gyakorolt hatását megfelelő reakciók váltják fel; a reakciók megnevezései és elfogadott irányai vannak feltüntetve.

3) A gerenda egyensúlyegyenleteit állítják össze, amelyek megoldása határozza meg a támasztó reakciók értékeit.

4) A gerenda szakaszokra van felosztva, amelyek határai a külső koncentrált erők és nyomatékok alkalmazási pontjai, valamint a hatás vagy az elosztott terhelések természetében bekövetkező változás kezdetének és végének pontjai.

5) Összeállítjuk a hajlítónyomatékok kifejezéseit Més nyíróerők K a gerenda minden szakaszához. A számítási diagram minden szakaszra jelzi a távolságmérés kezdetét és irányát.

6) A kapott kifejezések felhasználásával a diagramok ordinátáit kiszámítjuk a gerenda számos szakaszára, olyan mennyiségben, amely elegendő ezen diagramok megjelenítéséhez.

7) Meghatározzuk azokat a szakaszokat, amelyekben a keresztirányú erők nullával egyenlőek, és amelyekben ezért nyomatékok hatnak Mmax vagy Mmin a gerenda adott szakaszára; ezeknek a pillanatoknak az értékeit kiszámítjuk.

8) A kapott ordinátaértékek felhasználásával diagramokat készítünk.

9) A megszerkesztett diagramokat egymással összehasonlítva ellenőrizzük.

A hajlítás során fellépő belső erőtényezők diagramjai készülnek a veszélyes szakasz meghatározására. A veszélyes szakasz megtalálása után a gerenda szilárdságát számítják ki. A keresztirányú hajlítás általános esetben, amikor egy hajlítónyomaték és keresztirányú erő hat egy rúd szakaszain, a gerenda szakaszában normál és érintőleges feszültségek keletkeznek. Ezért logikus két erősségi feltételt figyelembe venni:

a) normál feszültségek szerint

b) érintőleges feszültségekkel

Mivel a gerendák fő romboló tényezője a normál feszültségek, az elfogadott alakú gerenda keresztmetszetének méreteit a normál feszültségekre vonatkozó szilárdsági feltételből határozzuk meg:

Ezután ellenőrzik, hogy a kiválasztott gerendaszakasz megfelel-e a nyírófeszültségekre vonatkozó szilárdsági feltételnek.

A gerendák számításának ez a megközelítése azonban még nem jellemzi a gerenda szilárdságát. Sok esetben a gerendaszakaszokban vannak olyan pontok, amelyekben egyszerre hat nagy normál- és nyírófeszültség. Ilyen esetekben szükségessé válik a gerenda szilárdságának ellenőrzése főfeszültségekkel. A harmadik és a negyedik szilárdságelmélet a leginkább alkalmazható ilyen tesztelésre:

, .

1. PÉLDA

Készítsen nyíróerő diagramokat Kés hajlítónyomaték Mábrán látható gerendához. 16 ha: F 1= 3 kN, F 2= 1,5 kN, M = 5,1 kN∙m, q = =2kN/m, A = 2 m, b = 1 m, Vel = 3 m.

16. ábra.

1) Határozza meg a támasztó reakciókat!

;

Vizsgálat:

A reakciókat helyesen találtuk

2) A gerendát szakaszokra osztjuk C.A.,HIRDETÉS,DE,E.K.,K.B..

3) Határozza meg az értékeket! KÉs M minden helyszínen.

, ; , .

HIRDETÉS

, ;

, .

, ;

, .

, , ;

, , .

Keressük meg a területen a maximális hajlítónyomatékot K.B..

Tegyük egyenlővé az egyenletet K ezen a területen nullázzuk, és fejezzük ki a koordinátát z max , amelyen K= 0, és a pillanatnak van egy maximális értéke. Ezután helyettesítjük z max a szakasz pillanategyenletébe, és keresse meg Mmax.

, ;

, .

4) Diagramokat készítünk (16. ábra)

2. PÉLDA

ábrán látható gerendához. 16 határozza meg egy kerek, téglalap alakú ( h/b = 2) és I-szakasz. Ellenőrizze az I-gerenda szilárdságát főfeszültségekkel, ha [s]= 150 MPa, [t]= 150 MPa.

1) Határozza meg a szilárdsági feltételből a szükséges ellenállási nyomatékot!

2) Határozza meg a körmetszet méreteit!

3) Határozza meg a téglalap alakú metszet méreteit!

4) A 10-es I-beam-et választjuk ki a választék szerint (GOST 8239-89)

W X= 39,7 cm 3, S X * =23 cm 3, én X = 198 cm 4, h = 100 mm, b = 55 mm, d = 4,5 mm, t = 7,2 mm.

A gerenda szilárdságának főfeszültségek alapján történő ellenőrzéséhez szükség van egy veszélyes szakaszon a normál és tangenciális feszültségek diagramjainak elkészítésére. Mivel a főfeszültségek nagysága mind a normál, mind a tangenciális feszültségektől függ, a szilárdsági vizsgálatot a gerenda azon szakaszán kell elvégezni, ahol MÉs K elég nagy. Egy támaszon IN(16. ábra) nyíróerő K itt azonban van egy maximális értéke M= 0. Ezért a támasztékról szóló részt veszélyesnek tartjuk A, ahol a hajlítónyomaték maximális és a nyíróerő viszonylag nagy.

A metszet magassága mentén változó normál feszültségek egy lineáris törvénynek engedelmeskednek:

Ahol y– a szakaszpont koordinátája (24. ábra).

at at= 0, s = 0;

at ymax ,

A nyírófeszültségek változásának törvényét a terület statikus nyomatékának változásának törvénye határozza meg, amely viszont a metszet magassága mentén változik a parabolatörvény szerint. A metszet jellemző pontjainak értékének kiszámítása után elkészítjük a tangenciális feszültségek diagramját. A t értékeinek kiszámításakor a metszetméretekre vonatkozó jelölést használjuk az ábrán. 17.

A 3-3 réteg szilárdsági feltétele teljesül.

5. FELADAT

Adott gerendasémákhoz (12. táblázat) készítsen keresztirányú erődiagramokat Kés hajlítónyomaték M. Válassza ki az a) diagram kerek keresztmetszetét [s]= 10 MPa; b) I-gerenda [s]= 150 MPa.

Vegye ki a numerikus adatokat a táblázatból. 7.

7. táblázat

Kiinduló adatok a 6. számú feladathoz

№

a, m

q 1 = q 3, kN/m

q 2, kN/m

F 1, kN

F 2, kN

F 3, kN

M 1, kN∙m

M 2, kN∙m

M 3, kN∙m

számú séma

0,8

1,2

A 12. táblázat folytatása

Ha a tengelyek központiak, akkor a pillanatnyi tengelyek így néznek ki:

15.közötti függőség tehetetlenségi nyomatékok a tengelyek forgatásakor:

J x 1 =J x cos 2 a + J y sin 2 a - J xy sin2a; J y 1 =J y cos 2 a + J x sin 2 a + J xy sin2a;

J x 1 y1 = (J x - J y)sin2a + J xy cos2a;

Szög a>0, ha az átmenet a régi koordinátarendszerből az újba az óramutató járásával ellentétes irányban történik. J y 1 + J x 1 = J y + J x

A tehetetlenségi nyomatékok szélső (maximális és minimális) értékeit nevezzük fő tehetetlenségi nyomatékok. Azokat a tengelyeket, amelyeken a tengelyirányú tehetetlenségi nyomatékok szélsőséges értékei vannak, nevezzük fő tehetetlenségi tengelyek. A fő tehetetlenségi tengelyek egymásra merőlegesek. A főtengelyekre vonatkozó centrifugális tehetetlenségi nyomatékok = 0, azaz. fő tehetetlenségi tengelyek - tengelyek, amelyek körül a centrifugális tehetetlenségi nyomaték = 0. Ha az egyik tengely egybeesik vagy mindkettő egybeesik a szimmetriatengellyel, akkor ezek a fő tengelyek. A főtengelyek helyzetét meghatározó szög: , ha a 0 >0 Þ a tengelyek az óramutató járásával ellentétes irányban forognak. A maximális tengely mindig kisebb szöget zár be azzal a tengellyel, amelyhez képest nagyobb a tehetetlenségi nyomaték. A súlyponton áthaladó főtengelyeket ún fő központi tehetetlenségi tengelyek. Tehetetlenségi nyomatékok ezeknél a tengelyeknél:

J max + J min = J x + J y. A centrifugális tehetetlenségi nyomaték a fő központi tehetetlenségi tengelyekhez viszonyítva 0. Ha a fő tehetetlenségi nyomatékok ismertek, akkor az elforgatott tengelyekre való átmenet képlete a következő:

J x 1 = J max cos 2 a + J min sin 2 a; J y 1 =J max cos 2 a + J min sin 2 a; J x 1 y1 = (J max - J min)sin2a;

A szelvény geometriai jellemzőinek kiszámításának végső célja a fő központi tehetetlenségi nyomatékok és a fő központi tehetetlenségi tengelyek helyzetének meghatározása. Tehetetlenségi sugár - ; Jx=F×ix2, J y=F×i y2.

Ha J x és J y a fő tehetetlenségi nyomatékok, akkor i x és i y - fő forgatási sugarak. A fő tehetetlenségi sugarakra, mint a féltengelyekre épülő ellipszist nevezzük tehetetlenségi ellipszis. A tehetetlenségi ellipszis segítségével grafikusan megkeresheti az i x 1 tehetetlenségi sugarat bármely x 1 tengelyre. Ehhez meg kell rajzolnia az ellipszis érintőjét, a tengellyel párhuzamos x 1, és mérje meg a távolságot ettől a tengelytől az érintőig. A tehetetlenségi sugár ismeretében megtalálhatja a szakasz tehetetlenségi nyomatékát az x tengelyhez képest 1: . Kettőnél több szimmetriatengellyel rendelkező metszeteknél (például: kör, négyzet, gyűrű stb.) az összes központi tengelyre vonatkozó tengelyirányú tehetetlenségi nyomaték egyenlő, J xy =0, a tehetetlenségi ellipszis tehetetlenségi körré változik .

szakaszok