Egy derékszögű háromszög maximális területe. Hogyan találjuk meg egy derékszögű háromszög területét szokatlan módon. Derékszögű háromszög a valóságban

Az elemi geometriában a derékszögű háromszög három pontban összekapcsolt szakaszból áll, amelyek közül kettő hegyesszögű, egy pedig egyenes (vagyis 90°-os). Derékszögű háromszög számos fontos tulajdonság jellemzi, amelyek közül sok a trigonometria alapját képezi (például oldalai és szögei közötti kapcsolat). Iskola óta mindannyian tudjuk, hogyan kell számolni négyzet derékszögű háromszög , és be mindennapi élet Elég gyakran találkozunk ezzel a geometrikus alakkal, néha észre sem véve. A technológiában meglehetősen széles körben alkalmazható, ezért a mérnököknek, tervezőknek és építészeknek gyakran meg kell oldaniuk egy ilyen problémát.

Az építészeknek meg kell határozniuk ezt az értéket, amikor oromfalas épületeket terveznek, amelyek a homlokzatok befejezését jelentik, és háromszög alakú párkány, oldalain tetőlejtők határolják. A rézsűk közötti szög gyakran egyenes, ilyenkor az oromfal derékszögű háromszög alakú. Meg kell határozni a területét azon egyszerű okból, hogy pontosan tudni kell a mennyiséget építőanyag rendezéséhez szükséges. Meg kell jegyezni, hogy az oromfalak az alacsony épületek kötelező elemei ( vidéki házak, nyaralók, nyaralók).

Derékszögű háromszög területének megkeresése

Képlet egy derékszögű háromszög területének kiszámításához

a- láb

b- láb

S- derékszögű háromszög területe

Forma derékszögű háromszög sok olyan részlettel rendelkezik, amelyekből a modern bútorok készülnek. Tudniillik a helyiségek leghatékonyabb kihasználása érdekében a berendezési tárgyak minden elemét optimálisan kell elhelyezni benne. Jól kihasználhatja az olyan területeket, mint a sarkok, háromszög alakú asztalokkal, amelyek teteje a legtöbb esetben derékszögű háromszög, a falak melletti lábakkal. Ezen elemek tervezésénél és számításánál a bútorgyártó tervezők azt a képletet használják, amely szerint derékszögű háromszög területének megtalálása oldalainak hossza alapján hajtják végre. Emellett gyakran közvetlenül a falra erősített asztalok terveit kell kidolgozniuk, amelyek tartóelemeket tartalmaznak, amelyek szintén derékszögű háromszögek.

A burkolómunkát végző építőknek szakmai tevékenységük során gyakran derékszögű háromszög alakú kerámiacsempét kell használniuk, azonos vagy eltérő hosszúságú lábakkal. Meg kell határozniuk ezen elemek területét is, hogy megtudják a szükséges számot.

Forma derékszögű háromszög fontos és szükséges is mérőeszköz mint egy négyzet. Derékszögek megszerkesztésére és szabályozására használják, és nagyon széles körben és sokan használják: a geometriaórákon járó hétköznapi iskolásoktól az ultramodern technológia tervezőiig.

Geometria órán középiskola Mindannyiunknak meséltek a háromszögről. Az iskolai tananyag részeként azonban csak a legtöbbet kapjuk szükséges ismereteketés megtanulják a leggyakoribb és szabványos számítási módszereket. Vannak szokatlan módszerek ennek a mennyiségnek a megtalálására?

Bevezetésként emlékezzünk arra, hogy melyik háromszöget tekintjük derékszögűnek, és határozzuk meg a terület fogalmát is.

A derékszögű háromszög zárt geometriai alakzat, amelynek egyik szöge 90 0. A definícióban szereplő integrál fogalmak a lábak és a hipotenúza. A lábak két oldalt jelentenek, amelyek a csatlakozási pontban derékszöget alkotnak. A hipotenusz a derékszöggel ellentétes oldal. Egy derékszögű háromszög lehet egyenlő szárú (két oldala azonos méretű lesz), de soha nem lesz egyenlő oldalú (minden oldala egyforma hosszú). A magasság, medián, vektorok és más matematikai kifejezések definícióit nem tárgyaljuk részletesen. Könnyen megtalálhatóak a kézikönyvekben.

Egy derékszögű háromszög területe. A téglalapokkal ellentétben a szabály kb

a felek munkája a megállapításban nem érvényesül. Ha szárazon beszélünk, akkor a háromszög területét úgy kell érteni, mint ennek az alaknak a tulajdonságát, hogy elfoglalja a sík egy részét, számmal kifejezve. Elég nehéz megérteni, egyet fogsz érteni. Ne próbáljunk meg mélyen elmélyülni a meghatározásban, nem ez a célunk. Térjünk át a fő dologra - hogyan találjuk meg a derékszögű háromszög területét? Magukat a számításokat nem végezzük el, csak a képleteket tüntetjük fel. Ehhez definiáljuk a jelölést: A, B, C - a háromszög oldalai, lábak - AB, BC. Az ACB szög egyenes. S a háromszög területe, h n n a háromszög magassága, ahol nn az az oldal, amelyre le van engedve.

1. módszer: Hogyan találjuk meg egy derékszögű háromszög területét, ha ismert a lábainak mérete

2. módszer. Határozzuk meg egy egyenlő szárú derékszögű háromszög területét

3. módszer. Terület számítása téglalap segítségével

A derékszögű háromszöget négyzetté egészítjük ki (ha a háromszög

egyenlő szárú) vagy téglalap. Egy egyszerű négyszöget kapunk, amely 2 egyforma derékszögű háromszögből áll. Ebben az esetben az egyik területe megegyezik a kapott szám területének felével. Egy téglalap S-jét az oldalak szorzatából számítjuk ki. Jelöljük ezt az értéket M. A kívánt területérték egyenlő lesz M felével.

4. módszer. „Pitagorasz nadrág”. A híres Pitagorasz-tétel

Mindannyian emlékszünk a megfogalmazására: „a lábak négyzeteinek összege...”. De nem mindenki képes rá

mondd, mi köze ehhez néhány „nadrágnak”? A helyzet az, hogy Pythagoras kezdetben egy derékszögű háromszög oldalai közötti kapcsolatot tanulmányozta. Miután meghatározta a négyzetek oldalainak arányában a mintákat, képes volt levezetni egy mindannyiunk által ismert képletet. Olyan esetekben használható, amikor az egyik oldal mérete ismeretlen.

5. módszer: Hogyan keressük meg egy derékszögű háromszög területét a Heron-képlet segítségével

Ez is egy meglehetősen egyszerű számítási módszer. A képlet magában foglalja a háromszög területének kifejezését az oldalak számértékeivel. A számításokhoz ismernie kell a háromszög minden oldalának méretét.

S = (p-AC)*(p-BC), ahol p = (AB+BC+AC)*0,5

A fentieken kívül sok más módszer is létezik egy ilyen titokzatos figura háromszög méretének megtalálására. Ezek közül: számítás beírt vagy körülírt kör módszerrel, számítás csúcsok koordinátáival, vektorok, abszolút érték, szinuszok, érintők felhasználása.

A háromszög egy lapos geometriai alakzat, amelynek egyik szöge 90°. Ezenkívül a geometriában gyakran ki kell számítani egy ilyen alak területét. Megmondjuk, hogyan kell ezt tovább csinálni.

A derékszögű háromszög területének meghatározására szolgáló legegyszerűbb képlet

Kiindulási adatok, ahol: a és b a háromszög oldalai, amelyek innen jönnek derékszög.

Vagyis a terület egyenlő a derékszögből kilépő két oldal szorzatának felével. Természetesen létezik Heron képlete a szabályos háromszög területének kiszámításához, de az érték meghatározásához ismerni kell a három oldal hosszát. Ennek megfelelően ki kell számítania a hipotenuzát, és ez többletidő.

Keresse meg egy derékszögű háromszög területét Heron képletével

Ez egy jól ismert és eredeti képlet, de ehhez a Pitagorasz-tétel segítségével ki kell számítania a hipotenuszt két lábon.

Ebben a képletben: a, b, c a háromszög oldalai, p pedig a fél kerülete.

Keresse meg a derékszögű háromszög területét a hipotenúza és a szög segítségével

Ha problémájában egyik láb sem ismert, akkor használja a legtöbbet egyszerű módon nem tudsz. Az érték meghatározásához ki kell számítani a lábak hosszát. Ez egyszerűen megtehető a hipotenusz és a szomszédos szög koszinuszának használatával.

b=c×cos(α)

Ha ismeri az egyik láb hosszát, a Pitagorasz-tétel segítségével kiszámíthatja a második oldalt, amely a derékszögből jön ki.

b 2 = c 2 - a 2

Ebben a képletben c és a a hipotenusz, illetve a láb. Most az első képlet segítségével kiszámíthatja a területet. Ugyanígy kiszámíthatja az egyik lábat, figyelembe véve a másodikat és a szöget. Ebben az esetben az egyik szükséges oldal egyenlő lesz a láb és a szög érintőjének szorzatával. A terület kiszámításának más módjai is vannak, de az alaptételek és szabályok ismeretében könnyen megtalálhatja a kívánt értéket.

Ha nincs meg a háromszög egyik oldala, hanem csak a medián és az egyik szög, akkor kiszámíthatja az oldalak hosszát. Ehhez használjuk a medián tulajdonságait egy derékszögű háromszög kettéosztására. Ennek megfelelően hipotenúzaként működhet, ha hegyesszögből jön ki. Használja a Pitagorasz-tételt, és határozza meg a háromszög derékszögből jövő oldalainak hosszát!

Amint látja, az alapképletek és a Pitagorasz-tétel ismeretében kiszámíthatja egy derékszögű háromszög területét, amelynek csak az egyik szöge és az egyik oldal hossza van.

A derékszögű háromszög területe többféleképpen meghatározható. A derékszög bármely ábrán tulajdonságokat ad hozzá, és ez felhasználható a problémák helyes és gyors megoldására.

Derékszögű háromszög

Először beszéljük meg magát a derékszögű háromszöget, annak jellemzőit és tulajdonságait. A derékszögű háromszög olyan háromszög, amely szöget tartalmaz.

Egy derékszögű háromszög nem lehet tompa, mert akkor a háromszög szögeinek összege meghaladja a 180 fokot, ami lehetetlen.

Egy derékszögű háromszögben a három magasság közül kettő egybeesik az oldalakkal - a lábakkal. Ugyanezen okból kifolyólag a derékszögű háromszög magasságainak metszéspontja derékszögben esik egybe a csúcsponttal.

Rizs. 1. Egy derékszögű háromszög összes magassága.

Ugyanez a pont lesz a körülírt kör középpontja.

Egy háromszög területe

A háromszög területét általában a szabványos képlet segítségével határozzák meg, az alap és az ehhez az alaphoz húzott magasság szorzatának feleként.

$$S=(1\over2)*a*h$$

A területet az oldalak és a köztük lévő szög szinuszának szorzatának feleként találhatja meg:

$$S=(1\over2)*a*b*sin(g)$$

Vannak bonyolult képletek a terület megtalálására, de rendkívül ritkán használják őket.

Egy derékszögű háromszög területe

A derékszögű háromszög területét ugyanazokkal a képletekkel találjuk meg, de bizonyos esetekben ezek a képletek egyszerűsíthetők.

Például kihasználhatja azt a tényt, hogy egy derékszögű háromszögben a magasságok egybeesnek a lábakkal. Ekkor a standard képlet a következő lesz:

$S=(1\over2)*a*b$, ahol a és b egy derékszögű háromszög lábai.

Ez az egyik legegyszerűbb képlet a derékszögű háromszög területének meghatározására. Próbáljuk meg átalakítani a második képletet.

$$S=(1\over2)*a*b*sin(g)$$

Ha emlékezünk arra, hogy egy szög szinusza a szemközti oldal és a hipotenusz aránya. Esetünkben a szemközti szárat f betűvel jelöljük, mivel a egy szomszédos láb, és hegyesszöget csak a láb és a befogó között lehet beállítani. Tehát b a hipotenusz.

$S=(1\over2)*a*b*sin(g)= (1\over2)*a*b*(f\over(b))=(1\over2)a*f$ - minden kiderül ugyanaz a képlet.

Rizs. 2. A következtetés levonása.

Ez azt jelenti, hogy az első következtetést helyesen hajtottuk végre, és egy derékszögű háromszögnek csak egy speciális képlete van a terület megtalálására. Ha nem működik, használhat általános képleteket. A terület kiszámításának két lehetséges módja van.

Például, ha a hipotenusz a probléma körülményei szerint ismert, akkor megpróbálhatja megkeresni a hipotenuszra eső magasságot, és meghatározhatja a területet az általános képlet segítségével. Ugyanezen elv alapján megkeresheti a szinuszon átmenő területet, ha a hipotenusz és a láb ismert.

Rizs. 3. Magasság a hipotenuszhoz húzva.

A legfontosabb, hogy ne feledje, hogy minden problémának mindig 3 megoldása van, és mindegyiket a legkényelmesebb módon oldja meg.

Mit tanultunk?

A derékszögű háromszögekről beszéltünk, és a lábak segítségével levezettük a derékszögű háromszög területének képletét. Megbeszéltük a háromszögek területének általános képleteit, és azt mondtuk, hogy ezek a képletek mindegyike alkalmas derékszögű háromszög megoldására.

Teszt a témában

Cikk értékelése

Átlagos értékelés: 4.5. Összes beérkezett értékelés: 115.

Egy derékszögű háromszög a valóságban szinte minden sarkon megtalálható. Egy adott figura tulajdonságainak ismerete, valamint a terület kiszámításának képessége kétségtelenül hasznos lesz nem csak geometriai feladatok megoldásához, hanem élethelyzetekben is.

Háromszög geometria

Az elemi geometriában a derékszögű háromszög olyan ábra, amely három összefüggő szakaszból áll, amelyek három szöget alkotnak (két hegyes és egy egyenes). A derékszögű háromszög egy eredeti ábra, amelyet számos fontos tulajdonság jellemez, amelyek a trigonometria alapját képezik. A szabályos háromszögtől eltérően a téglalap alakú alak oldalainak saját neveik vannak:

• A hipotenusz a háromszög leghosszabb oldala, a derékszöggel szemben.
• A lábak olyan szegmensek, amelyek derékszöget alkotnak. A vizsgált szögtől függően a láb lehet vele szomszédos (ezt a szöget képezi a hipotenusszal) vagy ellentétes (a szöggel szemben fekvő). A nem derékszögű háromszögeknél nincsenek lábak.

A trigonometria alapját a lábak és a hipotenusz aránya képezi: a szinuszokat, érintőket és szekánsokat a derékszögű háromszög oldalainak arányaként határozzuk meg.

Derékszögű háromszög a valóságban

Ez a szám a valóságban széles körben elterjedt. A háromszögeket a tervezésben és a technológiában használják, ezért egy figura területének kiszámítását mérnököknek, építészeknek és tervezőknek kell elvégezniük. A tetraéderek vagy prizmák alapjai - háromdimenziós figurák, amelyekkel könnyen találkozhatunk a mindennapi életben - háromszög alakúak. Ezenkívül a négyzet a valóságban a "lapos" derékszögű háromszög legegyszerűbb ábrázolása. A négyzet egy fémmegmunkáló, rajzoló, építő- és asztalos szerszám, amelyet iskolások és mérnökök egyaránt használnak szögek készítésére.

Egy háromszög területe

Négyzet geometriai alakzat annak mennyiségi becslése, hogy a sík mekkora részét határolják a háromszög oldalai. Egy közönséges háromszög területe ötféleképpen határozható meg, a Heron képletével vagy olyan változókkal, mint a beírt vagy körülírt kör alapja, oldala, szöge és sugara. A terület legegyszerűbb képlete a következőképpen fejezhető ki:

ahol a a háromszög oldala, h a magassága.

A derékszögű háromszög területének kiszámításának képlete még egyszerűbb:

ahol a és b lábak.

Online számológépünkkel kiszámolhatja egy háromszög területét három paraméterpár segítségével:

• két láb;
• láb és a szomszédos szög;
• láb és ellentétes szög.

Problémákban vagy mindennapi helyzetekben a változók különböző kombinációit kapja, így a számológép ezen formája többféleképpen is lehetővé teszi a háromszög területének kiszámítását. Nézzünk egy-két példát.

Példák az életből

Kerámia csempe

Tegyük fel, hogy a konyha falait szeretné rendbe tenni. kerámia csempe, amely derékszögű háromszög alakú. A csempe fogyasztásának meghatározásához meg kell találnia egy burkolóelem területét és teljes terület kezelt felület. Tegyük fel, hogy fel kell dolgoznia a 7-et négyzetméter. Az egyik elem lábainak hossza 19 cm, akkor a csempe területe egyenlő lesz:

Ez azt jelenti, hogy egy elem területe 24,5 négyzetcentiméter vagy 0,01805 négyzetméter. Ezen paraméterek ismeretében kiszámíthatja, hogy 7 négyzetméter fal befejezéséhez 7/0,01805 = 387 burkolólapra lesz szükség.

Iskolai feladat

Tegyük fel, hogy egy iskolai geometriai feladatban meg kell találni egy derékszögű háromszög területét, csak azt tudva, hogy az egyik láb oldala 5 cm, a szemközti szöge 30 fok. Online számológépünkhöz tartozik egy illusztráció, amely egy derékszögű háromszög oldalait és szögeit mutatja. Ha az a oldal = 5 cm, akkor a szemközti szöge alfa szög, egyenlő 30 fokkal. Írja be ezeket az adatokat a számológép űrlapjába, és kapja meg az eredményt:

Így a számológép nem csak egy adott háromszög területét számítja ki, hanem meghatározza a szomszédos láb és a hipotenusz hosszát, valamint a második szög értékét is.

Következtetés

A derékszögű háromszögek szó szerint minden sarkon megtalálhatók életünkben. Az ilyen számok területének meghatározása nemcsak megoldáskor lesz hasznos iskolai feladatokat geometriában, de a mindennapi és szakmai tevékenységekben is.