A számok oszthatóságának jelei- ezek olyan szabályok, amelyek lehetővé teszik, hogy viszonylag gyorsan, osztás nélkül megtudja, hogy ez a szám osztható-e egy adott számmal maradék nélkül.
Néhány az oszthatóság jelei elég egyszerű, néhány bonyolultabb. Ezen az oldalon az oszthatóság mindkét jelét megtalálod prímszámok, mint például 2, 3, 5, 7, 11, és az összetett számok oszthatóságának jelei, például 6 vagy 12.
Remény, ezt az információt hasznos lesz számodra.
Boldog tanulást!

Tesztelje a 2-vel való oszthatóságot

Ez az oszthatóság egyik legegyszerűbb jele. Ez így hangzik: ha egy természetes szám jelölése páros számjegyre végződik, akkor páros (maradék nélkül osztható 2-vel), és ha egy természetes szám jelölése páratlan számjegyre végződik, akkor ez a szám páratlan .
Más szóval, ha egy szám utolsó számjegye 2 , 4 , 6 , 8 vagy 0 - a szám osztható 2-vel, ha nem, akkor nem osztható
Például számok: 23 4 , 8270 , 1276 , 9038 , 502 oszthatók 2-vel, mert párosak.
A számok: 23 5 , 137 , 2303
Nem oszthatók 2-vel, mert páratlanok.

Tesztelje az oszthatóságot 3-mal

Ennek az oszthatósági jelnek egészen más szabályai vannak: ha egy szám számjegyeinek összege osztható 3-mal, akkor a szám osztható 3-mal; Ha egy szám számjegyeinek összege nem osztható 3-mal, akkor a szám nem osztható 3-mal.
Ez azt jelenti, hogy annak megértéséhez, hogy egy szám osztható-e 3-mal, csak össze kell adni az azt alkotó számokat.
Így néz ki: 3987 és 141 osztható 3-mal, mert az első esetben 3+9+8+7= 27 (27:3=9 - osztható 3-mal), a másodikban pedig 1+4+1= 6 (6:3=2 - osztható 3-mal is).
De a számok: 235 és 566 nem oszthatók 3-mal, mert 2+3+5= 10 és 5+6+6= 17 (és tudjuk, hogy sem 10, sem 17 nem osztható 3-mal maradék nélkül).

Tesztelje a 4-gyel való oszthatóságot

Ez az oszthatóság jele bonyolultabb lesz. Ha egy szám utolsó 2 jegye 4-gyel osztható számot alkot, vagy 00, akkor a szám osztható 4-gyel, ellenkező esetben az adott szám nem osztható 4-gyel maradék nélkül.
Például: 1 00 és 3 64 oszthatóak 4-gyel, mert az első esetben a szám erre végződik 00 , a másodikban pedig tovább 64 , ami viszont maradék nélkül osztható 4-gyel (64:4=16)
Számok 3 57 és 8 86 nem oszthatók 4-gyel, mert egyik sem 57 sem 86 nem oszthatók 4-gyel, ami azt jelenti, hogy nem felelnek meg ennek az oszthatósági kritériumnak.

5-tel oszthatósági teszt

És megint van egy meglehetősen egyszerű oszthatósági jelünk: ha egy természetes szám jelölése 0-ra vagy 5-re végződik, akkor ez a szám osztható 5-tel, ha egy szám jelölése másik számjegyre végződik, akkor a szám nem osztható 5-tel maradék nélkül.
Ez azt jelenti, hogy minden számjegyre végződő szám 0 És 5 például 1235 5 és 43 0 , a szabály hatálya alá tartoznak, és oszthatók 5-tel.
És például 1549 3 és 56 4 ne végződjön 5-tel vagy 0-val, ami azt jelenti, hogy nem oszthatók 5-tel maradék nélkül.

Tesztelje az oszthatóságot 6-tal

Előttünk áll az összetett 6-os szám, amely a 2 és 3 szám szorzata. Ezért a 6-tal való oszthatóság jele is összetett: ahhoz, hogy egy szám osztható legyen 6-tal, meg kell felelnie a 6-tal való oszthatóság két előjelének. oszthatóság egyben: a 2-vel oszthatóság előjele és a 3-mal való oszthatóság előjele. Vegye figyelembe, hogy egy ilyen összetett számnak, mint a 4, van egyéni oszthatósági előjele, mert ez önmagában a 2-es szám szorzata. De térjünk vissza a 6-tal oszthatóság tesztjéhez.
A 138 és 474 számok párosak, és megfelelnek a 3-mal osztható kritériumoknak (1+3+8=12, 12:3=4 és 4+7+4=15, 15:3=5), ami azt jelenti, hogy oszthatók De 123 és 447, bár oszthatók 3-mal (1+2+3=6, 6:3=2 és 4+4+7=15, 15:3=5), de páratlanok, ami azt jelenti, hogy nem felelnek meg a 2-vel oszthatóság kritériumának, ezért nem felelnek meg a 6-tal oszthatóság kritériumának.

Tesztelje az oszthatóságot 7-tel

Ez az oszthatósági teszt bonyolultabb: egy szám osztható 7-tel, ha a szám tízeseinek számából az utolsó számjegy kétszeresének kivonása osztható 7-tel vagy egyenlő 0-val.
Elég zavaróan hangzik, de a gyakorlatban egyszerű. Nézd meg magad: a szám 95 A 9 osztható 7-tel, mert 95 -2*9=95-18=77, 77:7=11 (77-et maradék nélkül osztjuk 7-tel). Sőt, ha nehézségek adódnak az átalakítás során kapott számmal (a mérete miatt nehéz megérteni, hogy osztható-e 7-tel vagy sem, akkor ezt az eljárást annyiszor lehet folytatni, ahányszor szükségesnek tartja).
Például, 45 5 és 4580 1-nek a 7-tel való oszthatósága van. Az első esetben minden nagyon egyszerű: 45 -2*5=45-10=35, 35:7=5. A második esetben ezt tesszük: 4580 -2*1=4580-2=4578. Nehéz megértenünk, hogy vajon 457 8:7, tehát ismételjük meg a folyamatot: 457 -2*8=457-16=441. És ismét az oszthatósági tesztet fogjuk használni, mivel még mindig van előttünk egy háromjegyű szám 44 1. Szóval, 44 -2*1=44-2=42, 42:7=6, azaz. A 42 maradék nélkül osztható 7-tel, ami azt jelenti, hogy a 45801 osztható 7-tel.
Itt vannak a számok 11 1 és 34 Az 5 nem osztható 7-tel, mert 11 -2*1=11-2=9 (9 nem osztható 7-tel) és 34 -2*5=34-10=24 (a 24 nem osztható 7-tel maradék nélkül).

Oszthatósági teszt 8-cal

A 8-cal való oszthatóság tesztje így hangzik: ha az utolsó 3 számjegy 8-cal osztható számot alkot, vagy 000, akkor az adott szám osztható 8-cal.
Számok 1 000 vagy 1 088 osztható 8-cal: az első végződik 000 , a második 88 :8=11 (osztható 8-cal maradék nélkül).
És itt vannak az 1-es számok 100 vagy 4 757 nem oszthatók 8-cal, mert a számok 100 És 757 maradék nélkül nem osztható 8-cal.

9-cel oszthatósági teszt

Ez az oszthatóság jele hasonló a 3-mal való oszthatóság jeléhez: ha egy szám számjegyeinek összege osztható 9-cel, akkor a szám osztható 9-cel; Ha egy szám számjegyeinek összege nem osztható 9-cel, akkor a szám nem osztható 9-cel.
Például: 3987 és 144 osztható 9-cel, mert az első esetben 3+9+8+7= 27 (27:9=3 - osztható 9-cel), a másodikban pedig 1+4+4= 9 (9:9=1 - osztható 9-cel is).
De a számok: 235 és 141 nem oszthatók 9-cel, mert 2+3+5= 10 és 1+4+1= 6 (és tudjuk, hogy sem 10, sem 6 nem osztható 9-cel maradék nélkül).

A 10, 100, 1000 és egyéb számjegyekkel való oszthatóság jelei

Ezeket az oszthatósági jeleket azért kombináltam, mert ugyanúgy leírhatók: egy számot akkor osztunk el egy számjegyegységgel, ha a szám végén lévő nullák száma nagyobb vagy egyenlő, mint egy adott számjegyegységben lévő nullák száma .
Más szavakkal, például a következő számaink vannak: 654 0 , 46400 , 867000 , 6450 . amelyek mindegyike osztható 1-gyel 0 ; 46400 és 867 000 is oszthatók 1-gyel 00 ; és csak az egyik a 867 000 osztható 1-gyel 000 .
Azok a számok, amelyeknek kevesebb a nullája a végén, mint egy számjegyegység, nem oszthatók ezzel a számjegyegységgel, például 600 30 és 7 93 nem osztható 1 00 .

Oszthatósági teszt 11-gyel

Annak megállapításához, hogy egy szám osztható-e 11-gyel, meg kell kapnia a szám páros és páratlan számjegyeinek összege közötti különbséget. Ha ez a különbség egyenlő 0-val, vagy maradék nélkül osztható 11-gyel, akkor maga a szám osztható 11-gyel maradék nélkül.
Az érthetőség kedvéért javaslom, hogy nézzen meg példákat: 2 35 A 4 osztható 11-gyel, mert ( 2 +5 )-(3+4)=7-7=0. 29 19 A 4 is osztható 11-gyel, mivel ( 9 +9 )-(2+1+4)=18-7=11.
Itt az 1 1 1 ill 4 35 A 4 nem osztható 11-gyel, mivel az első esetben (1+1)- 1 =1, a másodikban pedig ( 4 +5 )-(3+4)=9-7=2.

Oszthatósági teszt 12-vel

A 12-es szám összetett. Oszthatósági jele a 3-mal és 4-gyel való oszthatóság előjeleinek egyidejű megfelelés.
Például a 300 és a 636 megfelel mind a 4-gyel osztható előjeleknek (az utolsó 2 számjegy nulla vagy osztható 4-gyel), mind a 3-mal osztható (mind az első, mind a harmadik szám számjegyeinek összege osztható 3-mal), de végül maradék nélkül oszthatók 12-vel.
De 200 vagy 630 nem osztható 12-vel, mert az első esetben a szám csak a 4-gyel való oszthatóság kritériumának felel meg, a másodikban pedig csak a 3-mal való oszthatóság feltétele, de nem mindkét kritérium egyidejűleg.

Oszthatósági teszt 13-mal

A 13-mal való oszthatóság jele, hogy ha egy szám 4-gyel szorzott egységeihez hozzáadott tízesek száma 13 többszöröse vagy egyenlő 0-val, akkor maga a szám osztható 13-mal.
Vegyük például 70 2. Szóval, 70 +4*2=78, 78:13=6 (78 maradék nélkül osztható 13-mal), ami azt jelenti, hogy 70 A 2 maradék nélkül osztható 13-mal. Egy másik példa egy szám 114 4. 114 +4*4=130, 130:13=10. A 130-as szám maradék nélkül osztható 13-mal, ami azt jelenti, hogy a megadott szám megfelel a 13-mal való oszthatóság kritériumának.
Ha a számokat vesszük 12 5 vagy 21 2, akkor megkapjuk 12 +4*5=32 és 21 +4*2=29, és sem 32, sem 29 nem osztható 13-mal maradék nélkül, ami azt jelenti, hogy a megadott számok nem oszthatók 13-mal maradék nélkül.

A számok oszthatósága

Amint az a fentiekből látható, feltételezhető, hogy bármelyikre természetes számok választhat egyéni oszthatósági jelet vagy „összetett” jelet, ha a szám több különböző szám többszöröse. De a gyakorlat azt mutatja, hogy alapvetően minél nagyobb a szám, annál összetettebb a jele. Lehetséges, hogy az oszthatósági kritérium ellenőrzésére fordított idő egyenlő vagy nagyobb, mint maga az osztás. Ezért általában a legegyszerűbb oszthatósági jeleket használjuk.

A matematika 6. osztályban az oszthatóság fogalmának és az oszthatóság jeleinek tanulmányozásával kezdődik. Gyakran a következő számokkal való oszthatóság kritériumaira korlátozódnak:

• On 2 : az utolsó számjegy 0, 2, 4, 6 vagy 8 lehet;
• On 3 : a szám számjegyeinek összegének oszthatónak kell lennie 3-mal;
• On 4 : az utolsó két számjegyből képzett számnak oszthatónak kell lennie 4-gyel;
• On 5 : az utolsó számjegynek 0-nak vagy 5-nek kell lennie;
• On 6 : a számnak rendelkeznie kell 2-vel és 3-mal osztható jelekkel;
• Oszthatósági teszt a 7 gyakran hiányzik;
• Ritkán beszélnek a vele való oszthatóság próbájáról is 8 , bár hasonló a 2-vel és 4-gyel való oszthatóság kritériumaihoz. Ahhoz, hogy egy szám osztható legyen 8-cal, szükséges és elegendő, hogy a háromjegyű vége osztható legyen 8-cal.
• Oszthatósági teszt a 9 Mindenki tudja: egy szám számjegyeinek összegének oszthatónak kell lennie 9-cel. Ami azonban nem fejleszt immunitást mindenféle, a numerológusok által használt dátumozással szemben.
• Oszthatósági teszt a 10 , talán a legegyszerűbb: a számnak nullára kell végződnie.
• Néha a hatodik osztályosokat tanítják a vele való oszthatóság próbájáról 11 . Össze kell adni a páros helyen lévő számjegyeket, és az eredményből ki kell vonni a páratlan helyeken lévő számokat. Ha az eredmény osztható 11-gyel, akkor maga a szám osztható 11-gyel.

Térjünk most vissza a 7-tel oszthatóság próbájához. Ha beszélnek róla, kombinálják a 13-mal való oszthatóság próbájával, és azt tanácsolják, hogy így használjuk.

Vegyünk egy számot. Egyenként 3 számjegyű blokkra osztjuk (a bal szélső blokk egy vagy két számjegyet tartalmazhat), és felváltva összeadjuk/kivonjuk ezeket a blokkokat.

Ha az eredmény osztható 7-tel, 13-mal (vagy 11-gyel), akkor maga a szám osztható 7-tel, 13-mal (vagy 11-gyel).

Ez a módszer, mint számos matematikai trükk, azon alapszik, hogy 7x11x13 = 1001. De mit kezdjünk a háromjegyű számokkal, amelyeknél az oszthatóság kérdése szintén nem oldható meg maga az osztás nélkül.

Az oszthatóság univerzális tesztje segítségével viszonylag egyszerű algoritmusokat lehet alkotni annak meghatározására, hogy egy szám osztható-e 7-tel és más „kényelmetlen” számokkal.

A 7-tel oszthatóság javított tesztje
Annak ellenőrzéséhez, hogy egy szám osztható-e 7-tel, el kell hagynia a szám utolsó számjegyét, és ezt a számjegyet kétszer ki kell vonnia a kapott eredményből. Ha az eredmény osztható 7-tel, akkor maga a szám osztható 7-tel.

1. példa:
A 238 osztható 7-tel?
23-8-8 = 7. Tehát a 238-as szám osztható 7-tel.
Valóban, 238 = 34x7

Ez a művelet többször is végrehajtható.
2. példa:
65835 osztható 7-tel?
6583-5-5 = 6573
657-3-3 = 651
65-1-1 = 63
A 63 osztható 7-tel (ha ezt nem vettük volna észre, még egy lépést tehettünk volna: 6-3-3 = 0, és a 0 biztosan osztható 7-tel).

Ez azt jelenti, hogy a 65835 szám osztható 7-tel.

Az univerzális oszthatósági kritérium alapján lehetőség van a 4-gyel és a 8-cal való oszthatóság kritériumának javítására.

Javított teszt a 4-gyel oszthatóra
Ha az egységek számának fele plusz a tízesek száma páros szám, akkor a szám osztható 4-gyel.

3. példa
Az 52-es szám osztható 4-gyel?
5+2/2 = 6, a szám páros, ami azt jelenti, hogy a szám osztható 4-gyel.

4. példa
A 134-es szám osztható 4-gyel?
3+4/2 = 5, a szám páratlan, ami azt jelenti, hogy 134 nem osztható 4-gyel.

A 8-cal való oszthatóság javított tesztje
Ha összeadja a százasok kétszeresét, a tízesek számát és az egységek számának felét, és az eredmény osztható 4-gyel, akkor maga a szám osztható 8-cal.

5. példa
Az 512-es szám osztható 8-cal?
5*2+1+2/2 = 12, a szám osztható 4-gyel, ami azt jelenti, hogy 512 osztható 8-cal.

6. példa
Az 1984 szám osztható 8-cal?
9*2+8+4/2 = 28, a szám osztható 4-gyel, ami azt jelenti, hogy 1984 osztható 8-cal.

Oszthatósági teszt 12-vel- ez a 3-mal és 4-gyel való oszthatóság előjeleinek uniója. Ugyanez működik bármely n-re, amely p és q koprím szorzata. Ahhoz, hogy egy szám osztható legyen n-nel (amely egyenlő a pq,actih szorzattal, tehát gcd(p,q)=1), oszthatónak kell lennie p-vel és q-val is.

Azonban légy óvatos! Ahhoz, hogy az összetett oszthatósági kritériumok működjenek, egy szám tényezőinek koprímnek kell lenniük. Nem mondhatjuk, hogy egy szám osztható 8-cal, ha osztható 2-vel és 4-gyel.

Javított teszt a 13-mal oszthatóra
Annak ellenőrzéséhez, hogy egy szám osztható-e 13-mal, el kell hagynia a szám utolsó számjegyét, és négyszer kell hozzáadnia a kapott eredményhez. Ha az eredmény osztható 13-mal, akkor maga a szám osztható 13-mal.

7. példa
65835 osztható 8-cal?
6583+4*5 = 6603
660+4*3 = 672
67+4*2 = 79
7+4*9 = 43

A 43-as szám nem osztható 13-mal, ami azt jelenti, hogy a 65835-ös szám nem osztható 13-mal.

8. példa
715 osztható 13-mal?
71+4*5 = 91
9+4*1 = 13
A 13 osztható 13-mal, ami azt jelenti, hogy a 715 osztható 13-mal.

A 14, 15, 18, 20, 21, 24, 26, 28-cal való oszthatóság jeleiés más összetett számok, amelyek nem prímszámok hatványai, hasonlóak a 12-vel való oszthatóság tesztjéhez. Ellenőrizzük ezeknek a számoknak az oszthatóságát koprímtényezőkkel.

• 14-re: 2-re és 7-re;
• 15-re: 3-ra és 5-re;
• 18 éveseknek: 2-n és 9-en;
• 21-re: 3-on és 7-en;
• 20 esetén: 4-gyel és 5-tel (vagy más szóval az utolsó számjegynek nullának, az utolsó előttinek pedig párosnak kell lennie);
• 24-re: 3-ra és 8-ra;
• 26-nak: 2-n és 13-on;
• 28-ra: 4-re és 7-re.

A 16-tal oszthatóság javított tesztje.
Ahelyett, hogy ellenőrizné, hogy egy szám 4 számjegyű vége osztható-e 16-tal, hozzáadhatja az egyes számjegyeket a tízes számjegy tízszeresével, a négyszeres százas számjegyet és a
megszorozva az ezres számjegy nyolcszorosával, és ellenőrizze, hogy az eredmény osztható-e 16-tal.

9. példa
Az 1984-es szám osztható 16-tal?
4+10*8+4*9+2*1 = 4+80+36+2 = 126
6+10*2+4*1=6+20+4=30
A 30 nem osztható 16-tal, ami azt jelenti, hogy 1984 nem osztható 16-tal.

10. példa
Az 1526 szám osztható 16-tal?
6+10*2+4*5+2*1 = 6+20+20+2 = 48
A 48 nem osztható 16-tal, ami azt jelenti, hogy 1526 nem osztható 16-tal.

A 17-tel oszthatóság javított tesztje.
Annak ellenőrzéséhez, hogy egy szám osztható-e 17-tel, el kell hagynia a szám utolsó számjegyét, és ezt a számjegyet ötször ki kell vonnia a kapott eredményből. Ha az eredmény osztható 13-mal, akkor maga a szám osztható 13-mal.

11. példa
Az 59772 szám osztható 17-tel?
5977-5*2 = 5967
596-5*7 = 561
56-5*1 = 51
5-5*5 = 0
A 0 osztható 17-tel, ami azt jelenti, hogy az 59772 szám osztható 17-tel.

12. példa
A 4913 szám osztható 17-tel?
491-5*3 = 476
47-5*6 = 17
A 17 osztható 17-tel, ami azt jelenti, hogy a 4913 szám osztható 17-tel.

Egy javított teszt a 19-cel oszthatóságra.
Annak ellenőrzéséhez, hogy egy szám osztható-e 19-cel, az utolsó számjegy elvetése után az utolsó számjegyet kétszer kell hozzáadnia az utolsó számjegyhez.

13. példa
A 9044 szám osztható 19-cel?
904+4+4 = 912
91+2+2 = 95
9+5+5 = 19
A 19 osztható 19-cel, ami azt jelenti, hogy a 9044 szám osztható 19-cel.

Egy továbbfejlesztett teszt a 23-mal oszthatóságra.
Annak ellenőrzéséhez, hogy egy szám osztható-e 23-mal, hozzá kell adnia a hétszeresével megnövelt utolsó számjegyet az utolsó számjegy elvetése után fennmaradó számhoz.

14. példa
A 208012 szám osztható 23-mal?
20801+7*2 = 20815
2081+7*5 = 2116
211+7*6 = 253
Valójában már észreveheti, hogy a 253 az 23,

Szabály

Tesztelje az oszthatóságot 7-tel

Annak meghatározásához, hogy egy szám osztható-e \(\displaystyle 7\-el), a következőket kell tennie:

1. Vegye ki az eredeti számot az utolsó számjegy nélkül.

2. Az első lépésben kapott számhoz adja hozzá az eredeti szám utolsó számjegyét, szorozva \(\displaystyle 5\-el).

Egy szám akkor és csak akkor osztható \(\displaystyle 7\)-vel, ha a második lépésben kapott összeg osztható \(\displaystyle 7\-el).

Magyarázat

Négyjegyű számok 7-tel való oszthatósági tesztje

Négyjegyű szám esetén a \(\displaystyle 7\)-vel való oszthatóság tesztje a következőképpen fogalmazható meg:

1. \(\displaystyle (\szín(kék)X)(\szín(piros)Y)(\szín(zöld)Z)(\szín(kék)W) \jobbra nyíl (\szín(kék)X)(\ szín(piros)Y)(\szín(zöld)Z)\).

2. \(\displaystyle (\szín(kék)X)(\szín(piros)Y)(\szín(zöld)Z)+5\cdot(\szín(kék)W)\).

A \(\displaystyle (\szín(kék)X)(\szín(piros)Y)(\szín(zöld)Z)(\szín(kék)W)\) osztható a következővel: \(\displaystyle 7\) akkor csak akkor, ha a \(\displaystyle (\szín(kék)X)(\szín(piros)Y)(\szín(zöld)Z)+5\cdot(\szín(kék)W)\) osztható \ (\displaystyle 7\).

A \(\displaystyle 2367\) szám van megadva. Végezzünk számításokat a fent leírt szabály szerint.

\(\displaystyle (\szín(kék)2)(\szín(piros)3)(\szín(zöld)6)(\szín(kék)7) \jobbra nyíl (\szín(kék)2)(\szín( piros)3)(\szín(zöld)6)\).

2. Számolja ki:

\(\displaystyle (\szín(kék)2)(\szín(piros)3)(\szín(zöld)6)+5 \cdot (\szín(kék)7) = 271\).

A \(\displaystyle 2367\) akkor és csak akkor osztható a \(\displaystyle 7\) számmal, ha a \(\displaystyle 271\) osztható \(\displaystyle 7\) számmal.

Ellenőrizzük, hogy a \(\displaystyle 271\, (=(\color(blue)X)(\color(red)Y)(\color(green)Z))\ háromjegyű szám osztható-e \(\displaystyle 7\) ). Ezután \(\displaystyle (\szín(kék)X=2), (\szín(piros)Y=7), (\szín(zöld)Z=1)\).

1. Eldobjuk az eredeti szám utolsó számjegyét:

\(\displaystyle (\szín(kék)2)(\szín(piros)7)(\szín(zöld)1) \jobbra nyíl (\szín(kék)2)(\szín(piros)7)\).

2. Számolja ki:

\(\displaystyle (\szín(kék)2)(\szín(piros)7)+5 \cdot (\szín(zöld)1) = 32\).

A \(\displaystyle 271\) akkor és csak akkor osztható \(\displaystyle 7\)-vel, ha a \(\displaystyle 32\) osztható \(\displaystyle 7\-el).

Mivel a \(\displaystyle 32\) nem osztható \(\displaystyle 7\-el), így a \(\displaystyle 271\) is nem osztja meg ide: \(\displaystyle 7\).

Mivel a \(\displaystyle 271\) nem osztható \(\displaystyle 7\-el), így a \(\displaystyle 2367\) is nem osztja meg ide: \(\displaystyle 7\).

Válasz: nem, nem osztható \(\displaystyle 7\-el).

A szám osztható 2-vel akkor és csak akkor, ha az utolsó számjegye osztható 2-vel, azaz páros.

Például:
2, 8, 16, 24, 66, 150 - osztható vele 2 , mivel ezeknek a számoknak az utolsó számjegye páros;
3, 7, 19, 35, 77, 453 - nem osztható vele 2 , mivel ezeknek a számoknak az utolsó számjegye páratlan.

Tesztelje az oszthatóságot 3-mal

A szám osztható 3-mal akkor és csak akkor, ha számjegyeinek összege osztható 3-mal.

Például:
471 - osztható vele 3 , mivel 4+7+1=12, és a 12-es szám osztható 3-mal;
532 - nem osztható vele 3 , hiszen 5+3+2=10, és a 10-es szám nem osztható 3-mal.

Tesztelje a 4-gyel való oszthatóságot

A szám osztható 4-gyel akkor és csak akkor, ha az utolsó két számjegye 4-gyel osztható számot alkot. Egy kétjegyű szám osztható 4-gyel akkor és csak akkor, ha az egységek számához hozzáadott tízes szám kétszerese osztható 4-gyel.

Például:
4576 - osztható vele 4 , mivel a 76-os szám (7·2+6=20) osztható 4-gyel;
9634 - nem osztható vele 4 , mivel a 34-es szám (3·2+4=10) nem osztható 4-gyel.

5-tel oszthatósági teszt

A szám osztható 5-tel amikor az utolsó számjegy osztható 5-tel, azaz. ha 0 vagy 5.

Például:
375, 5680, 233575 - osztva 5 , mivel az utolsó számjegyük 0 vagy 5;
9634, 452, 389753 - nem osztható vele 5 , mivel az utolsó számjegyük nem 0 vagy 5.

Tesztelje az oszthatóságot 6-tal

A szám osztható 6-tal akkor és csak akkor, ha osztható 2-vel és 3-mal is, vagyis ha páros és számjegyeinek összege osztható 3-mal.

Például:
462, 3456, 24642 ​​- osztható vele 6 , mivel egyszerre oszthatók 2-vel és 3-mal is;
6 , mivel a 861 nem osztható 2-vel, a 3458 nem osztható 3-mal, a 34681 nem osztható 2-vel.

Tesztelje az oszthatóságot 7-tel

A szám osztható 7-tel, ha a tízes számjegy és az egyesek duplája közötti különbség osztható 7-tel.

Például:

296492-es szám
Az utolsó „2” számjegyet vesszük, megduplázzuk, 4-et kapunk. Kivonjuk a 29649-4=29645-et. Nem tudjuk, hogy osztható-e 7-tel. Tehát nézzük meg újra.
Az utolsó „5” számjegyet vesszük, megduplázzuk, 10-et kapunk. Vonjuk ki 2964-10=2954. Nem tudjuk, hogy osztható-e 7-tel. Tehát nézzük meg újra.
Az utolsó „4” számjegyet vesszük, megduplázzuk, 8-at kapunk. Vonjuk ki 295-8=287. Nem tudjuk, hogy osztható-e 7-tel. Tehát nézzük meg újra.
Az utolsó „7” számjegyet vesszük, megduplázzuk, 14-et kapunk. Vonjuk ki 28-14=14. A 14-es szám osztható 7-tel, ami azt jelenti, hogy az eredeti szám osztható 7-tel

Oszthatósági teszt 8-cal

A szám osztható vele 8 akkor és csak akkor, ha az utolsó három számjegyéből képzett szám osztható 8-cal. Egy háromjegyű szám akkor és csak akkor osztható 8-cal, ha a tízesek számának kétszereséhez és a százak számának négyszereséhez adott egységek száma osztható 8.

Például:

A 952 osztható 8-cal, mivel a 9*4+5*2+2=48 osztható 8-cal

9-cel oszthatósági teszt

A szám osztható 9-cel akkor és csak akkor, ha számjegyeinek összege osztható 9-cel.

Például:
468, 4788, 69759 - osztva 9 , hiszen számjegyeik összege osztható kilenccel (4+6+8=18, 4+7+8+8=27, 6+9+7+5+9=36);
861, 3458, 34681 - nem osztható vele 9 , hiszen számjegyeik összege nem osztható kilenccel (8+6+1=15, 3+4+5+8=20, 3+4+6+8+1=22).

Oszthatósági teszt 10-zel

A szám osztható 10-zel akkor és csak akkor, ha nullára végződik.

Például:
460, 24000, 1245464570 - osztva 10 , mivel ezeknek a számoknak az utolsó számjegye nulla;
234, 25048, 1230000003 - nem osztható 10 , mivel ezeknek a számoknak az utolsó számjegye nem nulla.

Oszthatósági teszt 11-gyel

1. jel: a szám osztható vele 11 akkor és csak akkor, ha a páratlan helyeket elfoglaló számjegyek összege és a páros helyeket elfoglaló számjegyek összege közötti különbség modulusa osztható 11-gyel.

Például a 9163627 osztható 11-gyel, mert osztható 11-gyel.

Egy másik példa, hogy a 99077 osztható 11-gyel, mert osztható 11-gyel.

2. jel: a szám osztható 11-gyel akkor és csak akkor, ha a két számjegyből álló (egyesekkel kezdődő) csoportokat alkotó számok összege osztható 11-gyel.

Például az 103785 osztható 11-gyel, mivel a 11 osztható 11-gyel

Oszthatósági teszt 13-mal

1. jel: A szám osztható vele 13 amikor a tízesek számának összege és az egyesek számának négyszerese osztható 13-mal.

Például a 845 osztható 13-mal, mivel a 13 osztható 13-mal

2. jel: A szám osztható 13-mal, akkor amikor a tízesek száma és az egyesek kilencszerese közötti különbséget elosztjuk 13-mal.

Például a 845 osztható 13-mal, mivel a 13 osztható

Oszthatósági teszt 17-tel

A szám osztható vele 17 amikor a tízesek száma és az egyesek ötszöröse közötti különbség modulusát elosztjuk 17-tel.

A szám osztható 17-tel amikor a tízesek számának és a tizenkettesnek az egyesek számának szorzatának modulusát elosztjuk 17-tel.

Például a 221 osztható 17-tel, mert osztható 17-tel.

Oszthatósági teszt 19-el

A szám osztható vele 19 akkor és csak akkor, ha az egységek számának kétszereséhez hozzáadott tízesek száma osztható 19-cel.

Például a 646 osztható 19-cel, mivel a 19 is osztható 19-cel

Oszthatósági teszt 20-al

A szám osztható vele 20 akkor és csak akkor, ha az utolsó két számjegyből képzett szám osztható 20-zal.

Egy másik megfogalmazás: a szám osztható 20-zal akkor és csak akkor, ha a szám utolsó számjegye 0, a második számjegy pedig páros.

23-mal való oszthatóság tesztje

1. jel: a szám osztható vele 23 akkor és csak akkor, ha az utolsó két számjegyből képzett szám háromszorosához hozzáadott százak száma osztható 23-mal.

Például a 28842 osztható 23-mal, mivel a 23 is osztható 23-mal

2. jel: a szám osztható vele 23 akkor és csak akkor, ha az egyesek hétszereséhez hozzáadott tízesek száma osztható 23-mal. Például a 391 osztható 23-mal, mert osztható 23-mal.

3. jel: a szám osztható vele 23 akkor és csak akkor, ha a tízesek számának hétszereséhez és az egységek háromszorosához hozzáadott százak száma osztható 23-mal.

Például a 391 osztható 23-mal, mert osztható 23-mal.

Tesztelje a 25-tel való oszthatóságot

A szám osztható vele 25 akkor és csak akkor, ha az utolsó két számjegye olyan számot alkot, amely osztható 25-tel.

Tesztelje a 27-tel való oszthatóságot

A szám osztható vele 27 akkor és csak akkor, ha a háromjegyű (egyesekkel kezdődő) csoportokat alkotó számok összege osztható 27-tel.

Tesztelje az oszthatóságot 29-cel

A szám osztható vele 29 akkor és csak akkor, ha az egységek számának háromszorosához hozzáadott tízek száma osztható 29-cel.

Például a 261 osztható 29-cel, mert osztható 29-cel.

Oszthatósági teszt 30-al

A szám osztható 30-zal akkor és csak akkor, ha 0-ra végződik, és az összes számjegy összege osztható 3-mal.

Például: 510 osztható 30-zal, de 678 nem.

Tesztelje a 31-gyel való oszthatóságot

A szám osztható vele 31 akkor és csak akkor, ha a tízesek száma és az egységek háromszorosa közötti különbség modulusa osztható 31-gyel. Például a 217 osztható 31-gyel, mert osztható 31-gyel.

Tesztelje a 37-tel való oszthatóságot

1. jel: a szám osztható vele 37 akkor és csak akkor, ha egy szám háromjegyű csoportokra osztva (egyesekkel kezdődően), ezeknek a csoportoknak az összege 37 többszöröse.

2. jel: a szám osztható 37-tel akkor és csak akkor, ha a tízesek számának négyszereséhez hozzáadott százak háromszorosának modulusa mínusz az egységek számának héttel szorzata osztható 37-tel.

3. jel: a szám osztható 37-tel akkor és csak akkor, ha a százasok összegének az egyesek számának tízszeresével mínusz a tízesek számának 11-gyel szorzatának modulusa osztható 37-tel.

Például a 481-es szám osztható 37-tel, mivel a 37 osztható -val

Tesztelje a 41-gyel való oszthatóságot

1. jel: a szám osztható vele 41 akkor és csak akkor, ha a tízesek száma és az egyesek számának négyszerese közötti különbség modulusa osztható 41-gyel.

Például a 369 osztható 41-gyel, mert osztható 41-gyel.

2. jel: annak ellenőrzéséhez, hogy egy szám osztható-e 41-gyel, jobbról balra kell felosztani egyenként 5 számjegyű élekre. Ezután mindegyik oldalon szorozza meg a jobb oldali első számjegyet 1-gyel, a második számjegyet 10-zel, a harmadikat 18-mal, a negyediket 16-tal, az ötödiket 37-tel, és adja hozzá az összes kapott terméket. Ha az eredmény osztható 41-gyel, akkor és csak akkor lesz a szám osztható 41-gyel.

50-el oszthatósági teszt

A szám osztható vele 50 akkor és csak akkor, ha a két legkisebb tizedesjegyből alkotott szám osztható 50-zel.

Tesztelje az 59-cel való oszthatóságot

A szám osztható vele 59 akkor és csak akkor, ha az egyesek 6-tal szorzott tízeseinek száma osztható 59-cel. Például 767 osztható 59-cel, mivel 59 osztható

Tesztelje az oszthatóságot 79-cel

A szám osztható vele 79 akkor és csak akkor, ha a 8-cal szorzott egységek számához hozzáadott tízek száma osztható 79-cel. Például a 711 osztható 79-cel, mivel a 79 osztható -vel.

Oszthatósági teszt 99-el

A szám osztható vele 99 akkor és csak akkor, ha a két számjegyből álló (egyesekkel kezdődő) csoportokat alkotó számok összege osztható 99-cel. Például az 12573 osztható 99-cel, mert a 99 osztható

Oszthatósági teszt 101-gyel

A szám osztható 101-gyel akkor és csak akkor, ha a „+” előjellel felvett kétjegyű (egyesekkel kezdődő) páratlan csoportokat alkotó számok és a „-” jelű páros számok algebrai összege osztható 101-gyel.

Például az 590547 osztható 101-gyel, mert a 101 osztható 101-gyel

Szergej Vlagyimirovics Efremov, a TRIZ tanára arról beszél, hogy feltalálta a 7-tel osztható új kritériumot, amely kényelmesen használható az iskolában.

Amikor egy előkészítő iskolában dolgoztam, bementem a hatodik osztályos irodába, és megláttam a falon egy plakátot: „Számok oszthatóságának jelei”. A 2-es, 3-as, 4-es, 5-ös, 6-os, 8-as, 9-es számoknál voltak oszthatóság jelei, de a 7-esnél nem volt ilyen. Megkérdeztem a matek tanárt:

— Miért nincs jele a héttel oszthatóságnak?

Azt mondták, hogy létezik, de nagyon bonyolult. Érdeklődtem az interneten. Három jelet találtam.

1. jel : a szám osztható vele akkor és csak akkor, ha az egyesek számához hozzáadott tízesek hármasa osztható 7-tel. Például 154 osztható 7-tel, mivel a 15*3+4=49 osztható 7-tel.

Egy másik példa, hogy az 1001 szám osztható 7-tel, mivel a 100*3+1=301, a 30*3+1=91, a 9*3+1=28, a 2*3+8=14 osztható 7-tel.

2. jel . egy szám akkor és csak akkor osztható 7-tel, ha a „+” előjellel felvett háromjegyű (egyesekkel kezdődő) páratlan csoportokat alkotó számok és a „-” jelű páros számok algebrai összegének modulusa osztható 7. Például 138689257 osztható 7-tel, mivel a 7 osztható |138-689+257|=294-gyel.

3. jel . Egy szám akkor és csak akkor osztható 7-tel, ha az utolsó számjegy nélküli számból az utolsó számjegy kétszeresének kivonása osztható 7-tel (például a 259 osztható 7-tel, mivel a 25 - (2 9) = 7 osztható által 7).

Ellenőrizzük egy szám oszthatóságát 86 576 (nyolcvanhatezer-ötszázhetvenhat). Ebben a számban 8 657 (nyolcezer hatszázötvenhét) tízes és 6 (hat) egység. Kezdjük el ellenőrizni ennek a számnak az oszthatóságát 7 (hét):

8657 - 6 x 2 = 8657 - 12 = 8645

Ismét ellenőrizzük az oszthatóságot 7 (hét), most a már megkapott szám 8 645 (nyolcezer-hatszáznegyvenöt). Most megvan 864 (nyolc hatvannégy) tízes és 5 (öt) egység:

864 - 5 x 2 = 864 - 10 = 854

Ismételjük meg a műveleteinket a számra 854 (nyolcszázötvennégy), amelyben 85 (nyolcvanöt) tízes és 4 (négy) egység:

85 - 4 x 2 = 85 - 8 = 77

Elvileg már szabad szemmel is látszik, hogy a szám 77 (hetvenhét) osztva 7 (hét) és az eredmény az 11 (tizenegy). Fentebb már foglalkoztunk hasonló eredménnyel.

Amint látja, a jelek nagyon összetettek. Nehéz használni őket az elmédben, mert nagy mennyiségben műveleteket. A legegyszerűbb a harmadik előjel, de van két művelet is, először szorzás, majd kivonás, és a 700 feletti számoknál már több ciklust is meg kell csinálni.

Állítsa be a feladatot:

„Találjon osztást 7-tel kevesebb matematikai művelettel.”

A TRIZ eszközt használtam – IFR (ideális végeredmény).

A számnak magának kell forrást adnia a számításhoz.

És ez az erőforrás meglett. Ha megnézi a 7-es szorzótáblát, akkor a szorzatai megkülönböztető tulajdonsággal rendelkeznek - a végső számjegy nem ismétlődik: 0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70. Első pillantásra , ez bonyolítja a feladatot, hiszen .To. a tetszőleges végű ellenőrzött szám osztható 7-tel. De a TRIZ szabály szerint: "Aki beavatkozik, az segít." Ezt az ingatlant a magunk javára kell használnunk.

Ha a vizsgált szám utolsó számjegyét nézzük, már ismerjük a válasz egyik jelét - ez a szám a szorzótáblából, amely ezt a tippet adja. Például, ha a vizsgált szám 154, akkor ha osztható 7-tel, akkor a válasz utolsó számjegye 2 legyen (7x2=14), ha pedig 259, akkor a válasz utolsó számjegye legyen 7 (7x7=49).

Itt van a szükséges erőforrás - ez a 7-es szorzótábla - 0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70.

Feltételezzük, hogy megvan a memóriában. Most a harmadik (legegyszerűbb) attribútumból származó műveletet használjuk - kivonás.Új tesztet kapunk a 7-tel való oszthatóságra.

Egy szám osztható 7-tel, ha egy ismert szorzat első számjegyének az utolsó számjegy nélküli számból való kivonása osztható 7-tel.

És most egyszerű szavakkal.

— Nézzük az ellenőrzött számot, például a már ismert 259-et.

— 9-re végződik. Az erőforrást a szorzótáblából vesszük 49 . Az első számjegye 4.

- Vonjuk ki ezt a számot 25-ből. 25 – 4 = 21

— A válasz: 21. Tehát a szám osztható 7-tel. Ez: 259: 7 = 37. Az utolsó számjegy a 7, ahogy azt vártuk.

Még néhány példa. 756 osztható 7-tel?

6-ra végződik. Erőforrás 56. Vonja ki 75-öt – 5 = 70. A számot elosztjuk 756-tal: 7 = 108

392-es szám. 2-re végződik. Erőforrás – 42. Vonja ki a 39-et -4 = 35. Ossza el a 392-t: 7 = 56.

571-es szám. 1-gyel végződik. Erőforrás – 21. 57 kivonása – 2 = 55. Nem osztható.

574-es szám. 4-re végződik. Erőforrás – 14. Vonja ki az 57-et – 1 = 56. Ossza el az 574-et: 7 = 82

Ebben a funkcióban egy matematikai műveletet - a szorzást - kizártunk.

Kiegészítés.

A 700-nál nagyobb tesztelendő számok esetén az ismétlődő ciklusok elkerülése érdekében, mint a 3. előjelben, használja a hetes többszörösét a részrészhez.

Tekintsük például a 973-as számot. 3-ra végződik. Erőforrás 63. Kivonás 97 - 6 = 91. Mehet a második ciklus, vagy kivonhat nem 6-ot, hanem 76-ot. 97 - 76 = 21. Oszt .

Az összeadás a hetes számrendszer szerint történik: 70, 140, 210 stb. az ellenőrzött számtól függően.

1. Ez a jel 1000-ig terjedő számok esetén használható mentálisan minden nehézség nélkül. Segít megtalálni az osztás többszöröseit.

2. Kollégák, használjátok a TRIZ-t a problémáik megoldására! Ez időt takarít meg. 3 órába telt, amíg megtaláltam az oszthatóság jelét, figyelembe véve az analógok internetes keresését.

Örülök, ha valakinek hasznos lesz ez a jel.