Otthon
Kő
Hogyan találjuk meg egy figura teljes területét. A figurák területe kockás papíron. Teljes útmutató (2020). Négyszögletes vagy négyzet alakú szoba

Hogyan találjuk meg egy figura teljes területét. A figurák területe kockás papíron. Teljes útmutató (2020). Négyszögletes vagy négyzet alakú szoba

A geometriában az ábra területe a lapos test egyik fő numerikus jellemzője. Mi a terület, hogyan határozható meg a különböző számokhoz, valamint milyen tulajdonságai vannak - ebben a cikkben ezeket a kérdéseket megvizsgáljuk.

Mi a terület: meghatározás

Az ábra területe az adott ábrán lévő egységnégyzetek száma; informálisan szólva ez a figura mérete. Leggyakrabban az ábra területét "S"-vel jelölik. Mérhető paletta vagy planiméter segítségével. Az alakzat területe az alapvető méretek ismeretében is kiszámítható. Például egy háromszög területe három különböző képlettel számítható ki:

A téglalap területe egyenlő a szélességének a hosszával, a kör területe pedig a sugár négyzetének és a π = 3,14 szám szorzatával.

Az ábra területének tulajdonságai

  • egyenlő számok esetén a terület egyenlő;
  • a terület mindig nem negatív;
  • A terület mértékegysége egy négyzet területe, amelynek oldala 1 egységnyi hosszúságú;
  • ha egy ábra két részre van osztva, akkor az ábra teljes területe egyenlő az alkotórészek területének összegével;
  • az egyenlő területű alakokat egyenlő területűnek nevezzük;
  • ha egy figura egy másik alakhoz tartozik, akkor az első területe nem haladhatja meg a második területét.

1. tétel.

Egy négyzet területe egyenlő az oldalának négyzetével.

Bizonyítsuk be, hogy egy a oldalú négyzet S területe egyenlő a 2-vel. Vegyünk egy négyzetet, amelynek oldala 1, és osszuk fel n egyenlő négyzetre az 1. ábrán látható módon. geometria terület ábra tétel

1. ábra.

Mivel a négyzet oldala 1, akkor mindegyik területe kis négyzet egyenlő. Minden kis négyzet oldala egyenlő, azaz. egyenlő a. Ebből az következik, hogy. A tétel bizonyítást nyert.

2. tétel.

Egy paralelogramma területe egyenlő az oldalának és az oldalra húzott magasságának a szorzatával (2. ábra):

S = a * h.

Legyen ABCD az adott paralelogramma. Ha nem téglalap, akkor az egyik A vagy B sarka hegyesszögű. A határozottság kedvéért legyen A szög hegyes (2. ábra).


2. ábra.

Dobjunk egy merőleges AE-t az A csúcsból a CB egyenesbe. Az AECD trapéz területe egyenlő az ABCD paralelogramma és az AEB háromszög területének összegével. Dobjunk egy merőleges DF-et a D csúcsból a CD vonalra. Ekkor a trapéz AECD területe egyenlő az AEFD téglalap és a DFC háromszög területének összegével. Az AEB és a DFC derékszögű háromszögek egybevágóak, ezért egyenlő területtel rendelkeznek. Ebből következik, hogy az ABCD paralelogramma területe egyenlő az AEFD téglalap területével, azaz. egyenlő AE * AD. Az AE szakasz az AD oldalra süllyesztett paralelogramma magassága, és ezért S = a * h. A tétel bizonyítást nyert.

3. tétel

Egy háromszög területe egyenlő az oldala és a magassága szorzatának felével(3. ábra):


3. ábra.

Bizonyíték.

Legyen ABC a megadott háromszög. Adjuk hozzá az ABCD paralelogrammához, amint az az ábrán látható (3.1. ábra).


3.1. ábra.

A paralelogramma területe egyenlő az ABC és CDA háromszögek területének összegével. Mivel ezek a háromszögek egybevágóak, a paralelogramma területe megegyezik az ABC háromszög területének kétszeresével. A CB oldalnak megfelelő paralelogramma magassága megegyezik a CB oldalra húzott háromszög magasságával. Ez magában foglalja a tétel kijelentését. A tétel bebizonyosodott.

3.1. Tétel.

Egy háromszög területe egyenlő a két oldala és a köztük lévő szög szinuszának szorzatának felével(3.2. ábra).


3.2. ábra.

Bizonyíték.

Vezessünk be egy olyan koordinátarendszert, amelynek origója a C pontban van úgy, hogy B a C x pozitív féltengelyen, A pontnak pedig pozitív ordinátája van. Egy adott háromszög területét a képlet segítségével lehet kiszámítani, ahol h a háromszög magassága. De h egyenlő az A pont ordinátájával, azaz. h=b sin C. Ezért . A tétel bizonyítást nyert.

4. tétel.

A trapéz területe egyenlő az alapjai és a magassága összegének felének szorzatával(4. ábra).


4. ábra.

Bizonyíték.

Legyen ABCD a megadott trapéz (4.1. ábra).

4.1. ábra.

A trapéz AC átlója két háromszögre osztja: ABC és CDA.

Ezért a trapéz területe egyenlő ezen háromszögek területének összegével.

Az ACD háromszög területe megegyezik az ABC háromszög területével. Ezen háromszögek AF és CE magassága megegyezik a BC és AD párhuzamos egyenesek h távolságával, azaz. a trapéz magassága. Ezért,. A tétel bizonyítást nyert.

Az alakzatok területei nagy jelentőséggel bírnak a geometriában, akárcsak a tudományban. Hiszen a terület az egyik legfontosabb mennyiség a geometriában. Területismeret nélkül lehetetlen számos geometriai feladatot megoldani, tételeket bizonyítani, axiómákat igazolni. A figurák területei sok évszázaddal ezelőtt nagy jelentőséggel bírtak, de nem veszítettek jelentőségükből modern világ. A területfogalmakat számos szakmában használják. Építkezésben, tervezésben és sok más emberi tevékenységben használják őket. Ebből arra következtethetünk, hogy a geometria, különösen a területfogalmak fejlődése nélkül az emberiség nem tudott volna ekkora áttörést elérni a tudomány és a technika területén.

Fontos számunkra az Ön adatainak védelme. Emiatt kidolgoztunk egy adatvédelmi szabályzatot, amely leírja, hogyan használjuk és tároljuk az Ön adatait. Kérjük, tekintse át adatvédelmi gyakorlatunkat, és tudassa velünk, ha kérdése van.

Személyes adatok gyűjtése és felhasználása

A személyes adatok olyan adatokra vonatkoznak, amelyek felhasználhatók egy adott személy azonosítására vagy kapcsolatfelvételre.

Amikor kapcsolatba lép velünk, bármikor megkérhetjük személyes adatainak megadására.

Az alábbiakban bemutatunk néhány példát arra, hogy milyen típusú személyes adatokat gyűjthetünk, és hogyan használhatjuk fel ezeket az információkat.

Milyen személyes adatokat gyűjtünk:

  • Amikor kérelmet nyújt be az oldalon, különféle információkat gyűjthetünk, beleértve az Ön nevét, telefonszámát, címét email stb.

Hogyan használjuk fel személyes adatait:

  • Mi gyűjtöttük össze személyes adatok lehetővé teszi, hogy kapcsolatba léphessünk Önnel, és tájékoztassuk egyedi ajánlatokról, promóciókról és egyéb eseményekről és közelgő eseményekről.
  • Időről időre felhasználhatjuk személyes adatait fontos értesítések és közlemények küldésére.
  • A személyes adatokat belső célokra is felhasználhatjuk, például auditok lefolytatására, adatelemzésre és különféle kutatásokra annak érdekében, hogy javítsuk szolgáltatásainkat, és javaslatokat adjunk Önnek szolgáltatásainkkal kapcsolatban.
  • Ha nyereményjátékban, versenyben vagy hasonló promócióban vesz részt, az Ön által megadott információkat felhasználhatjuk az ilyen programok lebonyolítására.

Információk közlése harmadik fél számára

Az Öntől kapott információkat nem adjuk ki harmadik félnek.

Kivételek:

  • Ha szükséges, a jogszabályoknak megfelelően bírósági eljárás, jogi eljárásokban és/vagy az Orosz Föderációban található nyilvános kérések vagy kormányzati szervek kérései alapján - személyes adatainak felfedésére. Felfedhetünk Önnel kapcsolatos információkat is, ha úgy ítéljük meg, hogy az ilyen nyilvánosságra hozatal biztonsági, bűnüldözési vagy egyéb közérdekű célból szükséges vagy megfelelő.
  • Átszervezés, egyesülés vagy eladás esetén az általunk gyűjtött személyes adatokat átadhatjuk a megfelelő jogutód harmadik félnek.

Személyes adatok védelme

Óvintézkedéseket teszünk – beleértve az adminisztratív, technikai és fizikai intézkedéseket is –, hogy megvédjük személyes adatait az elvesztéstől, lopástól és visszaéléstől, valamint a jogosulatlan hozzáféréstől, nyilvánosságra hozataltól, megváltoztatástól és megsemmisítéstől.

A magánélet tiszteletben tartása vállalati szinten

Személyes adatai biztonságának biztosítása érdekében az adatvédelmi és biztonsági előírásokat közöljük alkalmazottainkkal, és szigorúan betartjuk az adatvédelmi gyakorlatokat.

Négyzet geometriai alakzat - egy geometriai alakzat numerikus jellemzője, amely az alakzat méretét mutatja (a felület egy része, amelyet az ábra zárt körvonala korlátoz). A terület nagyságát a benne lévő négyzetegységek száma fejezi ki.

Háromszög terület képletek

  1. A háromszög területének képlete oldal és magasság szerint
    Egy háromszög területe egyenlő a háromszög oldalának hosszának és az erre az oldalra húzott magasság hosszának a szorzatával
  2. A háromszög területének képlete három oldal és a körülírt kör sugara alapján
  3. A háromszög területének képlete a három oldal és a beírt kör sugara alapján
    Egy háromszög területe egyenlő a háromszög fél kerületének és a beírt kör sugarának szorzatával.
    4. ahol S a háromszög területe,
    - a háromszög oldalainak hossza,
    - a háromszög magassága,
    - az oldalak közötti szög és
    - a beírt kör sugara,
    R - a körülírt kör sugara,

Négyzetterület képletek

  1. A négyzet területének képlete oldalhosszonként
    Négyzet alakú terület egyenlő az oldala hosszának négyzetével.
  2. Képlet egy négyzet területének az átlós hossz mentén
    Négyzet alakú terület egyenlő az átlója hosszának négyzetének felével.
    S=1 2
    2
    3. ahol S a négyzet területe,
    - a négyzet oldalának hossza,
    - a négyzet átlójának hossza.

Téglalap terület képlete

    Egy téglalap területe egyenlő két szomszédos oldala hosszának szorzatával

    ahol S - a téglalap területe,
    - a téglalap oldalainak hossza.

Párhuzamos terület képletek

  1. A paralelogramma területének képlete az oldalhossz és a magasság alapján
    Egy paralelogramma területe
  2. A paralelogramma területének képlete két oldal és a köztük lévő szög alapján
    Egy paralelogramma területe egyenlő az oldalai hosszának a szorzatával a köztük lévő szög szinuszával.

    a b sin α

    3. ahol S a paralelogramma területe,
    - a paralelogramma oldalainak hossza,
    - a paralelogramma magasságának hossza,
    - a paralelogramma oldalai közötti szög.

A rombusz területének képletei

  1. A rombusz területének képlete az oldalhossz és a magasság alapján
    Rombusz területe egyenlő az oldala hosszának és az erre az oldalra süllyesztett magasságának szorzatával.
  2. A rombusz területének képlete az oldalhossz és a szög alapján
    Rombusz területe egyenlő az oldala hosszának négyzetének és a rombusz oldalai közötti szög szinuszának szorzatával.
  3. A rombusz területének képlete az átlóinak hossza alapján
    Rombusz területeátlói hosszának a felével egyenlő.
    4. ahol S a rombusz területe,
    - a rombusz oldalának hossza,
    - a rombusz magasságának hossza,
    - a rombusz oldalai közötti szög,
    1, 2 - átlók hossza.

Trapézfelület képletek

  1. Heron képlete a trapézhoz

    ahol S a trapéz területe,
    - a trapéz alapjainak hossza,
    - a trapéz oldalainak hossza,

Osztály: 5

Véleményem szerint a tanár feladata nem csak a tanítás, hanem a kognitív érdeklődés kialakítása a tanulóban. Ezért lehetőség szerint összekapcsolom az órai témákat gyakorlati feladatokkal.

Az óra során a diákok a tanár irányítása mellett tervet készítenek a problémák megoldására, hogy megtalálják egy „összetett alak” területét (javítási becslések kiszámításához), megszilárdítsák a problémák megoldásában a terület megtalálásához szükséges készségeket; fejlődik a figyelem, a kutatói tevékenységre való képesség, az aktivitásra nevelés, az önállóság.

A párban végzett munka kommunikációs helyzetet teremt a tudás birtokában lévők és az azt megszerzők között; Ez a munka a tantárgyi képzés minőségének javításán alapul. Elősegíti a tanulási folyamat iránti érdeklődés kialakulását és az oktatási anyagok mélyebb asszimilációját.

Az óra nemcsak rendszerezi a tanulók tudását, hanem hozzájárul a kreatív és elemző képességek fejlesztéséhez is. A gyakorlati tartalmú feladatok tantermi felhasználása lehetővé teszi, hogy megmutassuk a matematikai ismeretek relevanciáját a mindennapi életben.

Az óra céljai:

Nevelési:

  • a téglalap területére vonatkozó képletek ismereteinek megszilárdítása, derékszögű háromszög;
  • feladatok elemzése egy „összetett” figura területének kiszámításához és végrehajtásukhoz;
  • ismeretek, készségek és képességek tesztelésére szolgáló feladatok önálló elvégzése.

Nevelési:

  • a szellemi és kutatási tevékenység módszereinek fejlesztése;
  • a meghallgatás képességének fejlesztése és a döntés menetének magyarázata.

Nevelési:

  • fejleszteni a tanulók tanulmányi készségeit;
  • ápolják a szóbeli és írásbeli matematikai beszéd kultúráját;
  • felnevel barátságos hozzáállás az osztályteremben és a csoportmunka képességét.

Az óra típusa: kombinált.

Felszerelés:

  • Matematika: tankönyv 5. osztálynak. általános műveltség intézmények/ N.Ya. Vilenkin, V.I. Zhokhov et al., M.: „Mnemosyne”, 2010.
  • Kártyák diákcsoportok számára alakzatokkal az összetett alakzat területének kiszámításához.
  • Rajzeszközök.

Óraterv:

  1. Szervezési pillanat.
  2. Az ismeretek frissítése.
    A) Elméleti kérdések(teszt).
    b) A probléma megfogalmazása.
  3. Új anyagot tanult.
    a) megoldást találni a problémára;
    b) a probléma megoldása.
  4. Az anyag rögzítése.
    a) kollektív problémamegoldás;
    Testnevelés perc.
    b) önálló munkavégzés.
  5. Házi feladat.
  6. Óra összefoglalója. Visszaverődés.

Az óra előrehaladása

I. Szervezési mozzanat.

A leckét ezekkel a búcsúszavakkal kezdjük:

Matek, barátok,
Abszolút mindenkinek szüksége van rá.
Dolgozz szorgalmasan az órán
És biztos, hogy siker vár rád!

II. Az ismeretek frissítése.

A) Frontális munka jelzőkártyákkal (minden tanulónak van 1, 2, 3, 4 számjegyű kártyája; tesztkérdés megválaszolásakor a tanuló felemeli a helyes válasz számát tartalmazó kártyát).

1. Egy négyzetcentiméter:

  1. egy négyzet területe, amelynek oldala 1 cm;
  2. négyzet 1 cm oldallal;
  3. 1 cm kerületű négyzet.

2. Az ábrán látható ábra területe egyenlő:

  1. 8 dm;
  2. 8 dm 2;
  3. 15 dm 2.

3. Igaz-e, hogy az egyenlő számok kerülete és területe egyenlő?

4. A téglalap területét a következő képlet határozza meg:

  1. S = a2;
  2. S=2 (a+b);
  3. S = a b.

5. Az ábrán látható ábra területe egyenlő:

  1. 12 cm;
  2. 8 cm;
  3. 16 cm.

b) (A probléma megfogalmazása). Feladat. Mennyi festékre van szükség a következő alakú padló festéséhez (lásd az ábrát), ha 200 g festéket használunk 1 m2-re?

III. Új anyagok tanulása.

Mit kell tudnunk az utolsó probléma megoldásához? (Keresse meg a padló azon területét, amely „összetett alaknak” tűnik.)

A tanulók megfogalmazzák az óra témáját, céljait (szükség esetén a tanár segít).

Vegyünk egy téglalapot ABCD. Vonjunk rá egy vonalat KPMN, megtörve a téglalapot ABCD két részre: ABNMPKÉs KPMNCD.

Mi a terület? ABCD? (15 cm 2)

Mekkora az ábra területe? ABMNPK? (7 cm 2)

Mekkora az ábra területe? KPMNCD? (8 cm 2)

Elemezze eredményeit. (15 = = 7 + 8)

Következtetés? (A teljes ábra területe egyenlő a részei területének összegével.)

S = S 1 + S 2

Hogyan alkalmazhatjuk ezt a tulajdonságot problémánk megoldására? (Szabjuk szét összetett figura részekre, keresse meg az alkatrészek területét, majd a teljes ábra területét.)

S 1 = 7 2 = 14 (m 2)
S 2 = (7 – 4) (8 – 2 – 3) = 3 3 = 9 (m 2)
S 3 = 7 3 = 21 (m 2)
S = S 1 + S 2 + S 3 = 14 + 9 + 21 = 44 (m2)

Béküljünk ki problémamegoldási terv egy „összetett alak” területének megtalálásához:

  1. A figurát egyszerű figurákra bontjuk.
  2. Az egyszerű figurák területeinek megkeresése.

a) 1. feladat. Hány csempére lesz szükség a következő méretű telek elrendezéséhez:

S = S 1 + S 2
S 1 = (60-30) 20 = 600 (dm 2)
S 2 = 30 50 = 1500 (dm 2)
S = 600 + 1500 = 2100 (dm 2)

Van más megoldás is? (Fontoljuk a javasolt lehetőségeket.)

Válasz: 2100 dm 2.

2. feladat. (kollektív döntés a táblán és a füzetekben.) Hány m2 linóleum szükséges a következő formájú helyiség felújításához:

S = S 1 + S 2
S 1 = 3 2 = 6 (m 2)
S 2 = ((5 – 3) 2): 2 = 2 (m 2)
S = 6 + 2 = 8 (m2)

Válasz: 8 m2.

Testnevelés perc.

És most, srácok, álljatok fel.
Gyorsan felemelték a kezüket.
Oldalra, előre, hátra.
Jobbra, balra fordult.
Csendben leültek és visszamentek dolgozni.

b) Önálló munkavégzés (nevelési) .

A tanulókat csoportokra osztják (az 5-8. sz. erősebbek). Minden csoport egy javítócsapat.

Feladat a csapatoknak: határozza meg, hogy mennyi festék szükséges a kártyán látható ábrának megfelelő padlófestéshez, ha 1 m2-enként 200 g festékre van szükség.

Felépíted ezt az ábrát a füzetedbe, felírod az összes adatot, és elkezded a feladatot. Megbeszélheti a megoldást (de csak a csoportjában!). Ha néhány csoport gyorsan megbirkózik a feladattal, akkor további feladatot kapnak (önálló munka ellenőrzése után).

Feladatok csoportoknak:

V. Házi feladat.

18. bekezdés, 718., 749. sz.

Kiegészítő feladat. A Nyári Kert (Szentpétervár) tervrajza. Számítsa ki a területét.

VI. Óra összefoglalója.

Visszaverődés. Folytasd a mondatot:

  • Ma megtudtam...
  • Érdekes volt...
  • Nehéz volt...
  • Most már tudok...
  • Egy életre szóló leckét adott nekem...
szakaszok