Hogyan lesz irányítva a labdák lendülete az ütközés után? Impulzus ütközés után. Megoldás. A probléma több folyamatot ír le: a rúd leesése, ütközés, a kocka mozgása, a rúd felemelése. Tekintsük az egyes folyamatokat

Az energiamegmaradás törvénye lehetővé teszi mechanikai problémák megoldását olyan esetekben, amikor valamilyen oknál fogva a testre ható gyógyító erők ismeretlenek. Érdekes példa Két test ütközése pontosan ilyen eset. Ez a példa különösen azért érdekes, mert elemzése során nem lehet egyedül az energia megmaradás törvényét használni. Be kell vonni a lendület (impulzus) megmaradásának törvényét is.

A mindennapi életben és a technikában nem kell olyan gyakran foglalkozni a testek ütközésével, de az atomok és atomi részecskék fizikájában az ütközések igen gyakoriak.

Az egyszerűség kedvéért először figyelembe vesszük két olyan tömegű golyó ütközését, amelyek közül a második nyugalomban van, és az első sebességgel a második felé halad. Feltételezzük, hogy a mozgás a két golyó középpontját összekötő vonal mentén történik . Mekkora mindkét golyó sebessége az ütközés után?

Az ütközés előtt a második golyó mozgási energiája nulla, az elsőé. A két golyó energiáinak összege:

Az ütközés után az első golyó egy bizonyos sebességgel mozogni kezd. A második golyó, amelynek sebessége nulla volt, szintén kap némi sebességet egyenlővé váljanak

Az energiamegmaradás törvénye szerint ennek az összegnek egyenlőnek kell lennie a golyók ütközés előtti energiájával:

Ebből az egyenletből természetesen nem találhatunk két ismeretlen sebességet: Itt jön a segítség a második megmaradási törvény – a lendület megmaradásának törvénye. A labdák ütközése előtt az első labda lendülete egyenlő volt, a másodiké nulla. A két labda összesített lendülete egyenlő volt:

Az ütközés után mindkét golyó impulzusa megváltozott és egyenlővé vált, és a teljes impulzus lett

Az impulzusmegmaradás törvénye szerint ütközés közben a teljes lendület nem változhat. Ezért ezt kell írnunk:

Mivel a mozgás egyenes vonal mentén történik, ahelyett vektor egyenletírhatunk algebrai (az első golyó ütközés előtti mozgási sebessége mentén irányított koordinátatengelyre történő sebességvetítésekhez):

Most két egyenletünk van:

Egy ilyen egyenletrendszer megoldható, és ezek és a golyók ütközés utáni ismeretlen sebessége megkereshető. Ehhez a következőképpen írjuk át:

Ha az első egyenletet elosztjuk a másodikkal, a következőt kapjuk:

Most oldjuk meg ezt az egyenletet a második egyenlettel együtt

(csináld ezt magad), azt fogjuk tapasztalni, hogy az ütközés utáni első labda gyorsan fog mozogni

és a második - sebességgel

Ha mindkét golyó azonos tömegű, akkor ez azt jelenti, hogy az első golyó a másodikkal ütközve átadta neki a sebességét, és megállt (206. ábra).

Így az energia- és impulzusmegmaradás törvényeit felhasználva lehetőség nyílik a testek ütközés előtti sebességének ismeretében meghatározni azok ütközés utáni sebességét.

Milyen volt a helyzet az ütközés során, abban a pillanatban, amikor a labdák középpontjai a lehető legközelebb voltak?

Nyilvánvaló, hogy ebben az időben bizonyos sebességgel haladtak együtt. Azonos testtömegekkel azok össztömeg egyenlő 2t. Az impulzusmegmaradás törvénye szerint mindkét golyó együttes mozgása során a lendületüknek meg kell egyeznie az ütközés előtti teljes lendülettel:

Ebből következik

Így mindkét golyó sebessége, amikor együtt mozognak, egyenlő a felével

egyikük sebessége az ütközés előtt. Határozzuk meg mindkét golyó mozgási energiáját erre a pillanatra:

És az ütközés előtt teljes energia mindkét labda egyenlő volt

Következésképpen a golyók ütközésének pillanatában a mozgási energia felére csökkent. Hová tűnt a mozgási energia fele? Itt megsértik az energia megmaradás törvényét?

Az energia természetesen a golyók közös mozgása során is változatlan maradt. Az a tény, hogy az ütközés során mindkét golyó deformálódott, és ezért rendelkezett a rugalmas kölcsönhatás potenciális energiájával. Ennek a potenciális energiának a mennyiségével csökkent a golyók mozgási energiája.

1. feladat. Egy 50 g tömegű golyó gyorsan mozog és ütközik egy álló golyóval, amelynek a tömege mekkora az ütközés után? A labdák ütközése központinak számít.

Egyáltalán nem demonstrál rugalmas hatás Használhatunk egymás felé mozgó gyurma (agyag) golyókat is. Ha a golyók tömegei m 1 és m 2, becsapódás előtti sebességük, akkor a lendület megmaradásának törvénye alapján felírhatjuk:

Ha a golyók egymás felé mozogtak, akkor együtt folytatják a mozgást abba az irányba, amerre a nagyobb lendületű labda mozgott. Egy adott esetben, ha a golyók tömege és sebessége egyenlő, akkor

Nézzük meg, hogyan változik a golyók mozgási energiája egy központi abszolút rugalmatlan ütközés során. Mivel a golyók egymás közötti ütközésekor olyan erők hatnak, amelyek nem maguktól az alakváltozásoktól, hanem azok sebességétől függenek, ezért a súrlódási erőkhöz hasonló erőkkel van dolgunk, ezért a mechanikai energia megmaradásának törvényét nem szabad betartani. A deformáció következtében a kinetikus energia „vesztése” következik be, amely hő- vagy más energiaformává alakul át. energia disszipáció). Ez a „veszteség” az ütközés előtti és utáni kinetikus energiák különbségével határozható meg:

.

Innen kapjuk:

(5.6.3)

Ha az elütött test kezdetben mozdulatlan volt (υ 2 = 0), akkor

Amikor m 2 >> m 1 (egy álló test tömege nagyon nagy), akkor az ütközés során szinte minden mozgási energia más energiaformává alakul.

Ezért például a jelentős deformáció eléréséhez az üllőnek masszívabbnak kell lennie, mint a kalapácsnak.

Ekkor szinte az összes energiát a lehető legnagyobb mozgásra fordítják, és nem a maradék deformációra (például egy kalapács - egy szög).

Egy abszolút rugalmatlan ütközés egy példa arra, hogy a mechanikai energia „vesztése” disszipatív erők hatására történik.

Néhány meghatározással kezdem, amelyek ismerete nélkül értelmetlen lesz a kérdés további vizsgálata. Azt az ellenállást, amelyet a test akkor fejt ki, amikor megpróbálja mozgásba hozni vagy megváltoztatni sebességét

tehetetlenség. A tehetetlenség mértéke -.

súly

1. Így a következő következtetések vonhatók le:
2. Minél nagyobb egy test tömege, annál nagyobb az ellenállása azokkal az erőkkel szemben, amelyek megpróbálják kimozdítani a nyugalmából.

Minél nagyobb egy test tömege, annál jobban ellenáll azoknak az erőknek, amelyek megpróbálják megváltoztatni a sebességét, ha a test egyenletesen mozog.

Összefoglalva azt mondhatjuk, hogy a test tehetetlensége ellensúlyozza azokat a kísérleteket, amelyek a testnek gyorsulást adnak. A tömeg pedig a tehetetlenségi szint mutatójaként szolgál. Minél nagyobb a tömeg, annál nagyobb erőt kell kifejteni a testre, hogy gyorsuljon. Zárt rendszer (szigetelt)

Ha a fenti két feltétel közül legalább az egyik nem teljesül, akkor a rendszer nem nevezhető zártnak. Legyen egy rendszer, amely két anyagi pontból áll, amelyek sebessége, ill. Képzeljük el, hogy a pontok között kölcsönhatás volt, aminek következtében a pontok sebessége megváltozott. Jelöljük ezeknek a sebességeknek a pontok közötti kölcsönhatás során bekövetkező növekedését és -vel. Feltételezzük, hogy a növekmények ellentétes irányúak, és a reláció összefügg . Tudjuk, hogy az együtthatók nem függnek az anyagi pontok kölcsönhatásának természetétől – ezt számos kísérlet igazolta. Az együtthatók maguknak a pontoknak a jellemzői. Ezeket az együtthatókat tömegeknek (inerciatömegeknek) nevezzük. A sebességek és tömegek növekedésének adott összefüggése a következőképpen írható le.

Két anyagi pont tömegének aránya megegyezik ezen anyagi pontok sebességnövekedésének arányával a köztük lévő kölcsönhatás eredményeként.

A fenti összefüggés más formában is bemutatható. Jelöljük a testek sebességét a kölcsönhatás előtt rendre mint és , a kölcsönhatás után pedig mint és . Ebben az esetben a sebességnövekedéseket a következő formában lehet megadni - és . Ezért a kapcsolat a következőképpen írható fel - .

Impulzus (energia mennyisége anyagi pont) – egy vektor, amely egyenlő egy anyagi pont tömegének és sebességvektorának szorzatával –

A rendszer lendülete (az anyagi pontrendszer mozgásának mértéke)– azon anyagi pontok momentumainak vektorösszege, amelyekből ez a rendszer áll - .

Megállapíthatjuk, hogy zárt rendszer esetén az anyagi pontok kölcsönhatása előtti és utáni lendületnek azonosnak kell maradnia - , ahol és . Meg tudjuk fogalmazni a lendület megmaradásának törvényét.

Egy elszigetelt rendszer lendülete idővel állandó marad, függetlenül a köztük lévő kölcsönhatástól.

Kötelező meghatározás:

Konzervatív erők – olyan erők, amelyek munkája nem függ a pályától, hanem csak a pont kezdeti és végső koordinátái határozzák meg.

Az energiamegmaradás törvényének megfogalmazása:

Egy olyan rendszerben, amelyben csak konzervatív erők hatnak, a rendszer teljes energiája változatlan marad. Csak a potenciális energia átalakulása mozgási energiává és fordítva lehetséges.

Egy anyagi pont potenciális energiája csak ennek a pontnak a koordinátáinak függvénye. Azok. potenciális energia függ a pont helyzetétől a rendszerben. Így a pontra ható erők a következőképpen definiálhatók: a következőképpen definiálható: . – egy anyagi pont potenciális energiája. Szorozzuk meg mindkét oldalt és kapjuk meg . Alakítsuk át, és kapjunk egy bizonyítási kifejezést az energiamegmaradás törvénye .

Rugalmas és rugalmatlan ütközések

Teljesen rugalmatlan ütés - két test ütközése, aminek következtében összekapcsolódnak, majd egyként mozognak.

Két golyó, és egy teljesen rugalmatlan ajándékot tapasztalnak meg egymással. A lendület megmaradásának törvénye szerint. Innentől kezdve két ütközés után mozgó golyó sebességét egyetlen egészként fejezhetjük ki - . Kinetikai energiák ütközés előtt és után: És . Találjuk meg a különbséget

,

hol- csökkentett tömegű golyók . Ebből látható, hogy két golyó abszolút rugalmatlan ütközése során a makroszkopikus mozgás kinetikai energiája csökken. Ez a veszteség egyenlő a csökkentett tömeg és a relatív sebesség négyzetének szorzatának felével.

A lendület olyan fizikai mennyiség, amely bizonyos feltételek mellett állandó marad a kölcsönható testek rendszerében. Az impulzusmodulus egyenlő a tömeg és a sebesség szorzatával (p = mv). A lendület megmaradásának törvénye a következőképpen fogalmazódik meg:

Zárt testrendszerben a testek momentumainak vektorösszege állandó marad, azaz nem változik. Zártságon olyan rendszert értünk, ahol a testek csak egymással kölcsönhatásban vannak. Például ha elhanyagolható a súrlódás és a gravitáció. A súrlódás kicsi lehet, és a gravitációs erőt kiegyenlíti a támasz normál reakciójának ereje.

Tegyük fel, hogy egy mozgó test ütközik egy másik, azonos tömegű, de mozdulatlan testtel. Mi fog történni? Először is, az ütközés lehet rugalmas vagy rugalmatlan. Rugalmatlan ütközéskor a testek egy egésszé tapadnak össze. Vegyünk egy ilyen ütközést.

Mivel a testek tömegei azonosak, tömegüket index nélkül ugyanazzal a betűvel jelöljük: m. Az első test lendülete az ütközés előtt mv 1, a másodiké mv 2. De mivel a második test nem mozog, akkor v 2 = 0, ezért a második test lendülete 0.

Rugalmatlan ütközés után a két testből álló rendszer tovább mozog abban az irányban, ahol az első test mozgott (az impulzusvektor egybeesik a sebességvektorral), de a sebesség 2-szer kisebb lesz. Vagyis a tömeg kétszeresére nő, a sebesség pedig 2-szeresére csökken. Így a tömeg és a sebesség szorzata változatlan marad. Az egyetlen különbség az, hogy az ütközés előtt a sebesség kétszerese volt, de a tömeg egyenlő m-rel. Az ütközés után a tömeg 2 m-re, a sebesség 2-szer kisebb lett.

Képzeljük el, hogy két egymás felé mozgó test rugalmatlanul ütközik. Sebességük vektorai (valamint az impulzusok) ellentétes irányúak. Ez azt jelenti, hogy az impulzusmodulokat ki kell vonni. Az ütközés után a két testből álló rendszer tovább mozog abban az irányban, amerre a nagyobb lendületű test az ütközés előtt mozgott.

Például, ha az egyik test tömege 2 kg, és 3 m/s sebességgel mozgott, a másik pedig 1 kg tömegű és 4 m/s sebességű, akkor az első impulzusa 6 kg. m/s, a második impulzusa pedig 4 kg m /With. Ez azt jelenti, hogy az ütközés utáni sebességvektor egyirányú lesz az első test sebességvektorával. De a sebességértéket így is ki lehet számítani. Az ütközés előtti összimpulzus 2 kg m/s volt, mivel a vektorok ellentétes irányúak, és az értékeket ki kell vonnunk. Ennek az ütközés után is változatlannak kell maradnia. De az ütközés után a testtömeg 3 kg-ra nőtt (1 kg + 2 kg), ami azt jelenti, hogy a p = mv képletből az következik, hogy v = p/m = 2/3 = 1,6(6) (m/s) . Azt látjuk, hogy az ütközés következtében a sebesség csökkent, ami megfelel a mindennapi tapasztalatainknak.

Ha két test mozog egy irányba, és az egyik utoléri a másikat, meglöki, kapcsolatba lép vele, akkor hogyan változik meg ennek a testrendszernek a sebessége az ütközés után? Tegyük fel, hogy egy 1 kg súlyú test 2 m/s sebességgel mozgott. Egy 0,5 kg súlyú, 3 m/s sebességgel mozgó test utolérte és megbirkózott vele.

Mivel a testek egy irányba mozognak, e két test rendszerének impulzusa egyenlő az egyes testek impulzusainak összegével: 1 2 = 2 (kg m/s) és 0,5 3 = 1,5 (kg m/s) . A teljes impulzus 3,5 kg m/s. Az ütközés után változatlannak kell maradnia, de a testtömeg itt már 1,5 kg (1 kg + 0,5 kg) lesz. Ekkor a sebesség 3,5/1,5 = 2,3(3) (m/s) lesz. Ez a sebesség nagyobb, mint az első test sebessége, és kisebb, mint a másodiké. Ez érthető, az első testet meglökték, a második pedig, mondhatni, akadályba ütközött.

Most képzeljük el, hogy két test kezdetben összekapcsolódik. Valami azonos erő különböző irányokba löki őket. Mekkora lesz a testek sebessége? Mivel minden testre egyenlő erő hat, az egyik impulzusmodulusának meg kell egyeznie a másik impulzusának modulusával. A vektorok azonban ellentétes irányúak, tehát mikor lesz az összegük egyenlő nullával. Ez igaz, mert mielőtt a testek eltávolodtak egymástól, lendületük nullával egyenlő volt, mivel a testek nyugalomban voltak. Mivel a lendület egyenlő a tömeg szor a sebességgel, akkor ebben az esetben világos, hogy minél masszívabb a test, annál kisebb lesz a sebessége. Minél könnyebb a test, annál nagyobb lesz a sebessége.

Amikor a testek egymásnak ütköznek, deformálódnak. Ebben az esetben az a mozgási energia, amellyel a testek az ütközés előtt rendelkeztek, részben vagy teljesen átalakul rugalmas alakváltozási potenciális energiává és ún. belső energia tel. A testek belső energiájának növekedése a test hőmérsékletének emelkedésével jár.

Két korlátozó típusú ütés létezik: abszolút rugalmas és abszolút rugalmatlan. Abszolút rugalmas ütés az, amelyben mechanikai energia a testek nem alakulnak át más, nem mechanikus típusú energiává. Egy ilyen ütközéssel a kinetikus energia teljesen vagy részben átalakul rugalmas deformáció potenciális energiájává. Ezután a testek egymást taszítva visszatérnek eredeti formájukba. Ennek eredményeként a rugalmas deformáció potenciális energiája ismét kinetikus energiává alakul, és a testek olyan sebességgel repülnek szét, amelynek nagyságát és irányát két feltétel határozza meg - a teljes energia megőrzése és a testek rendszerének teljes lendületének megmaradása.

A teljesen rugalmatlan ütést az a tény jellemzi, hogy nem keletkezik potenciális alakváltozási energia; a testek mozgási energiája teljesen vagy részben belső energiává alakul át; Az ütközés után az ütköző testek vagy azonos sebességgel mozognak, vagy nyugalomban vannak. Abszolút rugalmatlan ütés esetén csak az impulzus megmaradásának törvénye teljesül, de a mechanikai energia megmaradásának törvényét nem tartják be - létezik a különféle típusú - mechanikai és belső - teljes energiák megmaradásának törvénye.

Két labda központi hatásának figyelembevételére szorítkozunk. A találatot középpontnak nevezzük, ha a labdák az ütés előtt a középpontjukon áthaladó egyenes vonal mentén mozognak. Központi behatás esetén becsapódás következhet be, ha; 1) a golyók egymás felé mozognak (70. ábra, a) és 2) az egyik golyó utoléri a másikat (70.6. ábra).

Feltételezzük, hogy a golyók zárt rendszert alkotnak, vagy a golyókra ható külső erők kiegyenlítik egymást.

Tekintsünk először egy teljesen rugalmatlan hatást. Legyen a golyók tömege egyenlő m 1 és m 2 -vel, az ütközés előtti sebesség pedig V 10 és V 20. A megmaradási törvény értelmében a golyók összimpulzusának az ütközés után azonosnak kell lennie a becsapódás előttivel. hatás:

Mivel a v 10 és v 20 vektorok ugyanazon egyenes mentén irányulnak, a v vektornak is van egy iránya, amely egybeesik ezzel az egyenessel. A b) esetben (lásd a 70. ábrát) a v 10 és v 20 vektorokkal azonos irányba van irányítva. Az a) esetben a v vektor azon v i0 vektorok felé irányul, amelyeknél az m i v i0 szorzat nagyobb.

A v vektor nagysága a következő képlettel számítható ki:

ahol υ 10 és υ 20 a v 10 és v 20 vektorok moduljai; a „-” jel az a), a „+” jel a b) esetnek felel meg.

Most vegye figyelembe a tökéletesen rugalmas ütést. Egy ilyen hatással két megmaradási törvény teljesül: a lendület megmaradásának törvénye és a mechanikai energia megmaradásának törvénye.

Jelöljük a golyók tömegét m 1 és m 2 -vel, a golyók ütközés előtti sebességét v 10 és v 20 értékkel, végül pedig a golyók ütközés utáni sebességét v 1 és v 2 értékkel. felírjuk az impulzus és az energia megmaradási egyenleteit;

Ezt figyelembe véve redukáljuk (30,5) alakra

Ha (30,8)-t megszorozunk m 2-vel, és kivonjuk az eredményt (30,6-ból), majd megszorozzuk (30,8) m 1-gyel, és az eredményt összeadjuk (30,6-tal), megkapjuk a golyók ütközés utáni sebességvektorait:

Numerikus számításokhoz vetítsük (30.9) a v 10 vektor irányába;

Ezekben a képletekben υ 10 és υ 20 modulok, υ 1 és υ 2 pedig a megfelelő vektorok vetületei. A felső „-” jel az egymás felé mozgó labdák esetére, az alsó „+” jel arra az esetre vonatkozik, amikor az első labda megelőzi a másodikat.

Vegye figyelembe, hogy a golyók sebessége abszolút rugalmas ütközés után nem lehet azonos. Valójában a (30.9) v 1 és v 2 kifejezések egymással való egyenlővé tételével és átalakításokkal a következőket kapjuk:

Ebből következően ahhoz, hogy a golyók sebessége az ütközés után azonos legyen, az szükséges, hogy az ütközés előtt azonosak legyenek, de ebben az esetben az ütközés nem következhet be. Ebből következik, hogy a golyók becsapódás utáni egyenlő sebességének feltétele összeegyeztethetetlen az energiamegmaradás törvényével. Tehát egy rugalmatlan ütközés során a mechanikai energia nem marad meg - részben átalakul az ütköző testek belső energiájává, ami melegedéshez vezet.

Tekintsük azt az esetet, amikor az ütköző golyók tömege egyenlő: m 1 =m 2. A (30.9)-ből az következik, hogy ezen feltétel mellett

azaz amikor a golyók összeütköznek, sebességet cserélnek. Különösen, ha az azonos tömegű golyók egyike, például a második, az ütközés előtt nyugalomban van, akkor az ütközés után ugyanolyan sebességgel mozog, mint a kezdetben használt első golyó; Az ütközés utáni első labda mozdulatlannak bizonyul.

A (30.9) képletekkel meghatározható a labda sebessége egy álló, nem mozgó falra (ami végtelenül nagy tömegű m2 és végtelenül nagy sugarú golyónak tekinthető) elasztikus ütközés után. A (30,9) kifejezések számlálóját és nevezőjét elosztva m 2 -vel, és figyelmen kívül hagyva az m 1 / m 2 faktort tartalmazó tagokat, kapjuk:

A kapott eredményekből következően a falak hamarosan változatlanok maradnak. A labda sebessége, ha a fal mozdulatlan (v 20 = 0), az ellenkező irányba változik; mozgó fal esetén a labda sebessége is változik (2υ 20-ra nő, ha a fal a labda felé mozdul, és 2υ 20-ra csökken, ha a fal „eltávolodik” az őt felzárkózó labdától)