Az elemi függvények grafikonjai és alapvető tulajdonságai. Függvény grafikon ábrázolása e
A matematika egyik leghíresebb exponenciális függvénye a kitevő. A megadott hatványra emelt Euler-számot jelenti. Az Excelben van egy külön operátor, amely lehetővé teszi a kiszámítását. Lássuk, hogyan használható a gyakorlatban.
A kitevő az adott hatványra emelt Euler-szám. Maga az Euler-szám körülbelül 2,718281828. Néha Napier-számnak is nevezik. A kitevő függvény így néz ki:
ahol e az Euler-szám és n az emelkedés mértéke.
Kiszámolni ezt a mutatót Excelben külön operátort használnak - EXP. Ezenkívül ez a függvény grafikonként is megjeleníthető. Az ezekkel az eszközökkel való munkavégzésről a továbbiakban fogunk beszélni.
1. módszer: Számítsa ki a kitevőt a függvény manuális megadásával
EXP(szám)
Vagyis ez a képlet csak egy argumentumot tartalmaz. Pontosan erre a hatványra kell emelni az Euler-számot. Ez az argumentum lehet numerikus érték vagy hivatkozás egy kitevőt tartalmazó cellára.
2. módszer: A Funkcióvarázsló használata
Bár a kitevő kiszámításának szintaxisa rendkívül egyszerű, néhány felhasználó inkább ezt használja Funkcióvarázsló. Nézzük meg, hogyan történik ez egy példán keresztül.
Ha egy kitevőt tartalmazó cellahivatkozást használunk argumentumként, akkor a kurzort a mezőbe kell helyezni "Szám"és egyszerűen válassza ki azt a cellát a lapon. A koordinátái azonnal megjelennek a mezőben. Ezt követően az eredmény kiszámításához kattintson a gombra "RENDBEN".
3. módszer: ábrázolás
Ezenkívül az Excelben a kitevő számításából kapott eredmények alapján grafikont is lehet készíteni. A grafikon felépítéséhez a lapnak már rendelkeznie kell a különböző hatványok kitevőjének számított értékeivel. Ezeket a fent leírt módszerek egyikével lehet kiszámítani.
Először próbálja meg megtalálni a függvény tartományát:
Sikerült? Hasonlítsuk össze a válaszokat:
Minden rendben van? Gratulálok!
Most próbáljuk meg megtalálni a függvény értéktartományát:
Megtalálta? Hasonlítsuk össze:
Megvan? Gratulálok!
Dolgozzunk újra a grafikonokkal, csak most egy kicsit bonyolultabb lesz - keresse meg a függvény definíciós tartományát és a függvény értéktartományát.
Egy függvény tartományának és tartományának megkeresése (speciális)
Íme, mi történt:
Szerintem kitaláltad a grafikonokat. Most próbáljuk meg megtalálni egy függvény definíciós tartományát a képletekkel összhangban (ha nem tudja, hogyan kell ezt megtenni, olvassa el a következő részt):
Sikerült? Ellenőrizzük válaszol:
- , mivel a gyök kifejezésnek nullánál nagyobbnak vagy egyenlőnek kell lennie.
- , mivel nem lehet nullával osztani, és a gyök kifejezés nem lehet negatív.
- , hiszen, illetve mindenre.
- , mivel nem lehet nullával osztani.
Van azonban még egy megválaszolatlan kérdésünk...
Még egyszer megismétlem a meghatározást, és hangsúlyozom:
Észrevetted? Az „egyedülálló” szó nagyon-nagyon fontos eleme definíciónknak. Megpróbálom az ujjaimmal elmagyarázni neked.
Tegyük fel, hogy van egy egyenes által meghatározott függvényünk. . Ezt az értéket behelyettesítjük a „szabályunkba”, és azt kapjuk. Egy érték egy értéknek felel meg. Akár asztalt is készíthetünk különböző jelentésekés ennek ellenőrzésére készítsünk grafikont erről a függvényről.
"Nézze! - azt mondod: „kétszer fordul elő!” Tehát lehet, hogy a parabola nem függvény? Nem, az!
Az a tény, hogy a „ ” kétszer jelenik meg, nem ok arra, hogy a parabolát kétértelműséggel vádoljuk!
A helyzet az, hogy a számítás során egy meccset kaptunk. A -val számolva pedig egy játékot kaptunk. Tehát ez így van, a parabola egy függvény. Nézd meg a grafikont:
Megvan? Ha nem, akkor itt egy életpélda, ami nagyon távol áll a matematikától!
Tegyük fel, hogy van egy csoport pályázónk, akik találkoztak a dokumentumok benyújtása közben, és mindegyikük egy beszélgetés során elmondta, hol él:
Egyetértek, lehetséges, hogy több srác él egy városban, de lehetetlen, hogy egy ember egyszerre több városban éljen. Ez olyan, mint a mi „parabolánk” logikus ábrázolása – Ugyanahhoz a játékhoz több különböző X is tartozik.
Most jöjjön egy példa, ahol a függőség nem függvény. Tegyük fel, hogy ugyanezek a srácok elmondták, milyen szakokra jelentkeztek:
Nálunk teljesen más a helyzet: egy ember könnyedén benyújthat egy vagy több irányra vonatkozó dokumentumokat. Azaz egy elemet készletek levelezésbe kerülnek több elemet sokaság. Illetőleg, ez nem funkció.
Teszteljük tudásunkat a gyakorlatban.
Határozza meg a képek alapján, hogy mi a függvény és mi nem:
Megvan? És itt van válaszol:
- A függvény - B, E.
- A függvény nem - A, B, D, D.
Kérded miért? Igen, ezért:
Az összes képen, kivéve IN)És E) Több is van egyért!
Biztos vagyok benne, hogy most könnyen megkülönböztetheti a függvényt a nem függvénytől, megmondhatja, mi az argumentum és mi a függő változó, valamint meghatározhatja egy argumentum megengedett értékeinek tartományát és egy függvény definíciójának tartományát. . Térjünk át a következő részre – hogyan állítsunk be egy függvényt?
Funkció megadásának módszerei
Mit gondolsz, mit jelentenek a szavak? "beállítás funkció"? Így van, ez azt jelenti, hogy mindenkinek el kell magyarázni, hogy milyen funkcióban van ebben az esetben beszéd van. És magyarázd el úgy, hogy mindenki jól értse, és az emberek által a magyarázatod alapján rajzolt függvénygrafikonok ugyanazok legyenek.
Hogyan lehet ezt megtenni? Hogyan kell beállítani egy funkciót? A legegyszerűbb módszer, amelyet ebben a cikkben már többször használtak, az képlet segítségével.Írunk egy képletet, és egy értéket behelyettesítve kiszámoljuk az értéket. És amint emlékszel, a képlet egy törvény, egy szabály, amely alapján világossá válik számunkra és egy másik személy számára, hogyan válik X-ből Y.
Általában pontosan ezt csinálják - a feladatokban képletek által meghatározott kész függvényeket látunk, azonban vannak más módok is egy függvény beállítására, amelyről mindenki megfeledkezik, és ezért felvetődik a „hogyan lehet másképpen beállítani egy függvényt?” félreérti. Értsünk meg mindent sorban, és kezdjük az elemzési módszerrel.
Egy függvény megadásának analitikai módszere
Az elemzési módszer egy függvény megadása képlet segítségével. Ez a leguniverzálisabb, legátfogóbb és legegyértelműbb módszer. Ha van képlete, akkor abszolút mindent tud egy függvényről - készíthet belőle értéktáblázatot, készíthet grafikont, meghatározhatja, hol nő és hol csökken a függvény, általában tanulmányozhatja. teljesen.
Nézzük a függvényt. mi a különbség?
– Mit jelent? - kérdezed. most elmagyarázom.
Hadd emlékeztesselek arra, hogy a jelölésben a zárójelben lévő kifejezést argumentumnak nevezzük. Ez az érv pedig bármilyen kifejezés lehet, nem feltétlenül egyszerű. Ennek megfelelően, bármilyen legyen is az argumentum (a zárójelben lévő kifejezés), azt írjuk be a kifejezésbe.
Példánkban ez így fog kinézni:
Tekintsünk egy másik, a függvény megadásának analitikai módszerével kapcsolatos feladatot, amely a vizsgán lesz.
Keresse meg a kifejezés értékét:
Biztos vagyok benne, hogy először megijedt, amikor meglátott egy ilyen kifejezést, de semmi ijesztő nincs benne!
Minden ugyanaz, mint az előző példában: bármi legyen is az argumentum (a zárójelben lévő kifejezés), azt írjuk be a kifejezésbe. Például egy funkcióhoz.
Mit kell tenni a példánkban? Ehelyett írnod kell, és helyette -:
rövidítse le a kapott kifejezést:
Ennyi!
Önálló munkavégzés
Most próbálja meg saját maga megtalálni a következő kifejezések jelentését:
- , Ha
- , Ha
Sikerült? Hasonlítsuk össze a válaszainkat: Megszoktuk, hogy a függvénynek van formája
Példánkban is pontosan így definiáljuk a függvényt, de analitikusan lehetséges például a függvény definiálása implicit formában is.
Próbálja meg saját maga megépíteni ezt a funkciót.
Sikerült?
Így építettem fel.
Milyen egyenletet vezettünk le végül?
Jobbra! Lineáris, ami azt jelenti, hogy a grafikon egy egyenes lesz. Készítsünk egy táblázatot annak meghatározására, hogy mely pontok tartoznak a vonalunkhoz:
Pontosan erről beszéltünk... Egy többnek felel meg.
Próbáljuk meg lerajzolni, mi történt:
Funkciója van annak, amit kaptunk?
Így van, nem! Miért? Próbáljon meg rajz segítségével válaszolni erre a kérdésre. mit kaptál?
"Mert egy érték több értéknek felel meg!"
Milyen következtetést vonhatunk le ebből?
Így van, egy függvényt nem mindig lehet kifejezetten kifejezni, és ami funkciónak van „álcázva”, az nem mindig függvény!
Függvény megadásának táblázatos módszere
Ahogy a neve is sugallja, ez a módszer egy egyszerű jel. Igen, igen. Mint amit te és én már elkészítettünk. Például:
Itt azonnal észrevett egy mintát - az Y háromszor nagyobb, mint az X. És most az a feladat, hogy „gondolkozz nagyon alaposan”: szerinted egy táblázat formájában megadott függvény egyenértékű a függvénnyel?
Ne beszéljünk sokáig, hanem rajzoljunk!
Így. A háttérkép által megadott függvényt a következő módokon rajzoljuk meg:
Látod a különbséget? Nem minden a megjelölt pontokon múlik! Nézze meg közelebbről:
most láttad? Amikor táblázatos módon definiálunk egy függvényt, akkor a grafikonon csak azokat a pontokat jelenítjük meg, amelyek a táblázatban szerepelnek, és az egyenes (mint esetünkben) csak rajtuk halad át. Amikor analitikusan definiálunk egy függvényt, tetszőleges pontot vehetünk, és a funkciónk nem korlátozódik ezekre. Ez a sajátosság. Emlékezz!
Függvénykészítés grafikus módszere
A függvények grafikus módszere sem kevésbé kényelmes. Megrajzoljuk a függvényünket, és egy másik érdeklődő megtalálja, hogy y mi egyenlő egy bizonyos x-nél és így tovább. Grafikus és elemzési módszerek néhány a leggyakoribb.
Itt azonban emlékeznie kell arra, amiről a legelején beszéltünk - nem minden koordináta-rendszerben rajzolt „pörgés” függvény! Emlékszel? Minden esetre idemásolom a függvény meghatározását:
Általában az emberek általában pontosan megnevezik a függvény megadásának három általunk tárgyalt módját - analitikus (képlet segítségével), táblázatos és grafikus, teljesen megfeledkezve arról, hogy egy függvény leírható szóban is. Hogy van ez? Igen, nagyon egyszerű!
A funkció szóbeli leírása
Hogyan írjunk le egy függvényt szóban? Vegyük a legutóbbi példánkat - . Ez a funkcióígy írható le: „x minden valós értékéhez megvan a hármas értéke.” Ennyi. Semmi bonyolult. Természetesen tiltakozni fog - „olyan összetett funkciók vannak, amelyeket egyszerűen lehetetlen szóban megadni!” Igen, vannak ilyenek, de vannak olyan függvények, amelyeket egyszerűbb verbálisan leírni, mint képlettel definiálni. Például: „mindenki természeti érték x a benne lévő számjegyek közötti különbségnek felel meg, míg a minuend a számrekordban található legnagyobb számjegy. Most nézzük meg, hogyan valósul meg a gyakorlatban a funkció szóbeli leírása:
Egy adott szám legnagyobb számjegye a minuend, akkor:
A funkciók fő típusai
Most térjünk át a legérdekesebb részre - nézzük meg azokat a főbb függvénytípusokat, amelyekkel dolgozott/dolgozik és fog működni az iskolai és főiskolai matematika során, vagyis ismerjük meg őket úgymond , és adja át nekik rövid leírás. Olvasson többet az egyes funkciókról a megfelelő részben.
Lineáris függvény
Az alak függvénye, ahol, valós számok.
Ennek a függvénynek a grafikonja egy egyenes, így a lineáris függvény megalkotása két pont koordinátájának megkereséséhez vezet.
Az egyenes helyzete a koordinátasíkon a szögegyütthatótól függ.
Egy függvény hatóköre (más néven érvényes argumentumértékek hatóköre) .
Értéktartomány - .
Kvadratikus függvény
Az űrlap függvénye, hol
A függvény grafikonja parabola, amikor a parabola ágai lefelé, ha az ágak felfelé irányulnak.
Sok ingatlan másodfokú függvény a diszkrimináns értékétől függ. A diszkriminánst a képlet segítségével számítjuk ki
A parabola helyzete a koordinátasíkon az értékhez és az együtthatóhoz képest az ábrán látható:
A meghatározás tartománya
Az értéktartomány az adott függvény szélsőértékétől (a parabola csúcspontjától) és az együtthatótól (a parabola ágainak irányától) függ.
Fordított arányosság
A képlet által adott függvény, ahol
A számot fordított arányossági együtthatónak nevezzük. Az értéktől függően a hiperbola ágai különböző négyzetekben helyezkednek el:
A meghatározás hatálya - .
Értéktartomány - .
ÖSSZEFOGLALÓ ÉS ALAPKÉPLETEK
1. A függvény egy olyan szabály, amely szerint egy halmaz minden eleme a halmaz egyetlen eleméhez kapcsolódik.
- - ez egy függvényt jelölő képlet, vagyis az egyik változó függőségét a másiktól;
- - változó érték, vagy argumentum;
- - függő mennyiség - megváltozik, ha az argumentum megváltozik, azaz bármely meghatározott képlet szerint, amely tükrözi az egyik mennyiségnek a másiktól való függőségét.
2. Érvényes argumentumértékek, vagy egy függvény tartománya az, ami azokhoz a lehetőségekhez kapcsolódik, amelyekben a függvénynek értelme van.
3. Funkció tartomány- ez milyen értékeket igényel, elfogadható értékek mellett.
4. Egy funkció beállításának négy módja van:
- elemző (képletekkel);
- táblázatos;
- grafikus
- szóbeli leírás.
5. A függvények fő típusai:
- : , ahol valós számok;
- : , Hol;
- : , Hol.
Válasszunk a repülőn téglalap alakú rendszer koordinátákat, és az argumentum értékeit az abszcissza tengelyen ábrázoljuk X, és az ordinátán - a függvény értékei y = f(x).
Függvénygrafikon y = f(x) az összes olyan pont halmaza, amelyek abszcisszán a függvény definíciós tartományába tartoznak, és az ordináták megegyeznek a függvény megfelelő értékeivel.
Más szóval, az y = f (x) függvény grafikonja a sík összes pontjának halmaza, koordináták X, at amelyek kielégítik a kapcsolatot y = f(x).
ábrán. A 45. és 46. ábra a függvények grafikonját mutatja y = 2x + 1És y = x 2 - 2x.
Szigorúan véve különbséget kell tenni egy függvény grafikonja (amelynek pontos matematikai definíciója fentebb volt) és a felrajzolt görbe között, amely mindig csak többé-kevésbé pontos vázlatot ad a gráfról (és általában akkor is, nem a teljes gráfot, hanem csak annak egy részét, amely a sík utolsó részein található). A következőkben azonban általában „grafikont” fogunk mondani, nem pedig „grafikonvázlatot”.
Grafikon segítségével megkeresheti egy függvény értékét egy pontban. Mégpedig ha a lényeg x = a a függvény definíciójának tartományába tartozik y = f(x), majd a szám megkereséséhez f(a)(azaz a pont függvényértékei x = a) ezt kell tenned. Az abszcissza ponton keresztül szükséges x = a húzz egy egyenest a tengellyel párhuzamos ordináta; ez az egyenes metszi a függvény grafikonját y = f(x) egy ponton; ennek a pontnak az ordinátája a gráf definíciója értelmében egyenlő lesz f(a)(47. ábra).
Például a funkcióhoz f(x) = x 2 - 2x a grafikon segítségével (46. ábra) f(-1) = 3, f(0) = 0, f(1) = -l, f(2) = 0 stb.
A függvénygráf egyértelműen szemlélteti egy függvény viselkedését és tulajdonságait. Például az ábra figyelembevételével. 46 egyértelmű, hogy a függvény y = x 2 - 2x akkor vesz fel pozitív értékeket X< 0 és at x > 2, negatív - 0-nál< x < 2; legkisebb érték funkció y = x 2 - 2xórakor fogadja x = 1.
Függvény ábrázolása f(x) meg kell találni a sík összes pontját, koordinátáit X,at amelyek kielégítik az egyenletet y = f(x). A legtöbb esetben ez lehetetlen megtenni, mivel végtelen számú ilyen pont van. Ezért a függvény grafikonja megközelítőleg - kisebb-nagyobb pontossággal - van ábrázolva. A legegyszerűbb a grafikon több pont felhasználásával történő ábrázolásának módszere. Abból áll, hogy az érv X adjon meg véges számú értéket - mondjuk x 1, x 2, x 3,..., x k, és hozzon létre egy táblázatot, amely tartalmazza a kiválasztott függvényértékeket.
A táblázat így néz ki:
Egy ilyen táblázat összeállítása után több pontot is felvázolhatunk a függvény grafikonján y = f(x). Ezután ezeket a pontokat egy sima vonallal összekötve hozzávetőleges képet kapunk a függvény grafikonjáról y = f(x).
Meg kell azonban jegyezni, hogy a többpontos ábrázolási módszer nagyon megbízhatatlan. Valójában a gráf viselkedése a tervezett pontok között és viselkedése a felvett szélső pontok közötti szakaszon kívül ismeretlen marad.
1. példa. Függvény ábrázolása y = f(x) valaki összeállított egy táblázatot argumentum- és függvényértékekről:
ábrán látható a megfelelő öt pont. 48.
E pontok elhelyezkedése alapján arra a következtetésre jutott, hogy a függvény grafikonja egy egyenes (a 48. ábrán pontozott vonallal látható). Megbízhatónak tekinthető ez a következtetés? Hacsak nincsenek további megfontolások e következtetés alátámasztására, aligha tekinthető megbízhatónak. megbízható.
Állításunk alátámasztásához vegyük figyelembe a függvényt
.
A számítások azt mutatják, hogy ennek a függvénynek az értékeit a -2, -1, 0, 1, 2 pontokban pontosan leírja a fenti táblázat. Ennek a függvénynek a grafikonja azonban egyáltalán nem egyenes (a 49. ábrán látható). Egy másik példa a függvény lehet y = x + l + sinπx; jelentését a fenti táblázat is leírja.
Ezek a példák azt mutatják, hogy „tiszta” formájában a gráf több pontból történő ábrázolásának módszere megbízhatatlan. Ezért egy adott függvény grafikonjának ábrázolásához általában a következőképpen járjon el. Először ennek a függvénynek a tulajdonságait tanulmányozzuk, melynek segítségével elkészíthetjük a gráf vázlatát. Ezután a függvény értékeinek több ponton történő kiszámításával (amelyek kiválasztása a függvény megállapított tulajdonságaitól függ), megtalálják a grafikon megfelelő pontjait. Végül pedig a függvény tulajdonságait felhasználva görbét rajzolunk a megszerkesztett pontokon.
A gráfvázlat megtalálásához használt függvények néhány (a legegyszerűbb és leggyakrabban használt) tulajdonságát a későbbiekben megvizsgáljuk, most azonban néhány általánosan használt módszert tekintünk át a gráfok felépítésére.
Az y = |f(x)| függvény grafikonja.
Gyakran szükséges egy függvény ábrázolása y = |f(x)|, hol f(x) - adott funkciót. Hadd emlékeztessük, hogyan történik ez. Egy szám abszolút értékének meghatározásával írhatunk
Ez azt jelenti, hogy a függvény grafikonja y =|f(x)| a grafikonból, függvényből nyerhető y = f(x) a következőképpen: a függvény grafikonjának minden pontja y = f(x), amelynek ordinátái nem negatívak, változatlanul hagyandók; továbbá a függvény grafikonjának pontjai helyett y = f(x) negatív koordinátákkal meg kell alkotnia a megfelelő pontokat a függvény grafikonján y = -f(x)(azaz a függvény grafikonjának része
y = f(x), amely a tengely alatt fekszik X, szimmetrikusan kell tükröződnie a tengely körül X).
2. példaÁbrázolja a függvényt y = |x|.
Vegyük a függvény grafikonját y = x(50. ábra, a) és ennek a grafikonnak egy része at X< 0 (a tengely alatt fekszik X) szimmetrikusan tükröződik a tengelyhez képest X. Ennek eredményeként a függvény grafikonját kapjuk y = |x|(50. ábra, b).
3. példa. Ábrázolja a függvényt y = |x 2 - 2x|.
Először ábrázoljuk a függvényt y = x 2 - 2x. Ennek a függvénynek a grafikonja egy parabola, melynek ágai felfelé irányulnak, a parabola csúcsának koordinátái (1; -1), grafikonja 0 és 2 pontokban metszi az x tengelyt. A (0; 2) a függvény negatív értékeket vesz fel, ezért a grafikonnak ez a része szimmetrikusan tükröződik az abszcissza tengelyhez képest. Az 51. ábra a függvény grafikonját mutatja y = |x 2 -2x|, a függvény grafikonja alapján y = x 2 - 2x
Az y = f(x) + g(x) függvény grafikonja
Tekintsük egy függvény gráfjának felépítésének problémáját y = f(x) + g(x). ha függvénygrafikonok adottak y = f(x)És y = g(x).
Figyeljük meg, hogy az y függvény definíciós tartománya = |f(x) + g(x)| x mindazon értékeinek halmaza, amelyekre y = f(x) és y = g(x) függvény is definiálva van, azaz ez a definíciós tartomány a definíciós tartományok, az f(x) függvények metszéspontja. és g(x).
Hagyja a pontokat (x 0, y 1) És (x 0, y 2) ill. a függvénygráfokhoz tartoznak y = f(x)És y = g(x), azaz y 1 = f(x 0), y 2 = g(x 0). Ekkor az (x0;. y1 + y2) pont a függvény grafikonjához tartozik y = f(x) + g(x)(mert f(x 0) + g(x 0) = y 1 +y2),. és a függvény grafikonjának bármely pontja y = f(x) + g(x)így lehet megszerezni. Ezért a függvény grafikonja y = f(x) + g(x) függvénygráfokból kaphatjuk meg y = f(x). És y = g(x) minden pont cseréje ( x n, y 1) funkciógrafika y = f(x) pont (x n, y 1 + y 2), Ahol y 2 = g(x n), azaz az egyes pontok eltolásával ( x n, y 1) függvénygrafikon y = f(x) a tengely mentén at az összeggel y 1 = g(x n). Ebben az esetben csak az ilyen pontokat veszik figyelembe X n, amelyre mindkét függvény definiálva van y = f(x)És y = g(x).
Ez a függvény ábrázolási módszer y = f(x) + g(x) függvények grafikonjainak összeadásának nevezzük y = f(x)És y = g(x)
4. példa. Az ábrán a függvény grafikonját grafikonok összeadásának módszerével készítettük el
y = x + sinx.
Függvény ábrázolásakor y = x + sinx azt gondoltuk f(x) = x, A g(x) = sinx. A függvénygrafikon ábrázolásához a pontokat -1,5π, -, -0,5, 0, 0,5,, 1,5, 2 abszciszákkal jelöljük ki. f(x) = x, g(x) = sinx, y = x + sinx Számoljunk a kiválasztott pontokon, és helyezzük el az eredményeket a táblázatban!
A kitevő jelölése , vagy .
e szám
A kitevő fokának alapja az e szám. Ez irracionális szám. Ez megközelítőleg egyenlő
e ≈ 2,718281828459045...
Az e számot a sorozat határán keresztül határozzuk meg. Ez az ún második csodálatos határ:
.
Az e szám sorozatként is ábrázolható:
.
Exponenciális grafikon
Exponenciális gráf, y = e x .A grafikon a kitevőt mutatja e fokig X.
y (x) = e x
A grafikonon látható, hogy a kitevő monoton növekszik.
Képletek
Az alapképletek ugyanazok, mint az e fokú bázisú exponenciális függvénynél.
;
;
;
Tetszőleges a fokú bázisú exponenciális függvény kifejezése exponenciálison keresztül:
.
Magánértékek
Hadd y (x) = e x.
.
Majd
Kitevő tulajdonságai e > 1 .
A kitevő egy hatványbázisú exponenciális függvény tulajdonságaival rendelkezik
Domain, értékkészlet (x) = e x Kitevő y
minden x-re definiálva.
- ∞ < x + ∞
.
Meghatározási tartománya:
0
< y < + ∞
.
Számos jelentése:
Szélsőségek, növekvő, csökkenő
Az exponenciális monoton növekvő függvény, így nincs szélsőértéke. Főbb tulajdonságait a táblázat tartalmazza.
Inverz függvény
;
.
A kitevő inverze a természetes logaritmus.
A kitevő származéka e fokig X Származék e fokig X
:
.
egyenlő
.
Az n-edik rend származéka:
Képletek származtatása >>>
Integrál
Komplex számok Műveletek a következővel: komplex számok segítségével végezték el:
,
Euler-képletek
.
Kifejezések hiperbolikus függvényeken keresztül
;
;
.
Kifejezések trigonometrikus függvényekkel
;
;
;
.
Teljesítménysorozat bővítése
Felhasznált irodalom:
I.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Matematika kézikönyve mérnökök és főiskolai hallgatók számára, „Lan”, 2009.
A függvénygráf egy függvény viselkedésének vizuális megjelenítése egy koordinátasíkon. A grafikonok segítenek megérteni egy függvény különböző aspektusait, amelyek nem határozhatók meg magából a függvényből. Számos függvény grafikonját összeállíthatja, és mindegyik kap egy adott képletet. Bármely függvény grafikonja egy adott algoritmus segítségével épül fel (ha elfelejtette egy adott függvény grafikus ábrázolásának pontos folyamatát).
Lépések
Lineáris függvény ábrázolása
- Ha a meredekség negatív, a függvény csökken.
-
Attól a ponttól kezdve, ahol az egyenes metszi az Y tengelyt, ábrázoljon egy második pontot függőleges és vízszintes távolságok használatával.
Egy lineáris függvény két pont segítségével ábrázolható. Példánkban az Y tengellyel való metszéspont koordinátái (0,5); Ettől a ponttól lépj 2 szóközzel feljebb, majd 1 szóközzel jobbra. Jelöljön meg egy pontot; koordinátái lesznek (1,7). Most egyenes vonalat húzhat. Vonalzó segítségével húzzon egyenes vonalat két ponton.
A hibák elkerülése érdekében keresse meg a harmadik pontot, de a legtöbb esetben a grafikon két pont segítségével is ábrázolható. Így egy lineáris függvényt ábrázolt.
-
Pontok ábrázolása a koordinátasíkon Határozzon meg egy függvényt.
A függvény jelölése f(x). Az "y" változó minden lehetséges értékét a függvény tartományának, az "x" változó minden lehetséges értékét pedig a függvény tartományának nevezzük. Például vegyük az y = x+2 függvényt, nevezetesen f(x) = x+2. Rajzolj két egymást metsző merőleges vonalat.
A vízszintes vonal az X tengely A függőleges vonal az Y tengely. Jelölje fel a koordinátatengelyeket. Oszd fel az egyes tengelyeket egyenlő szegmensekre, és számozd meg őket. A tengelyek metszéspontja 0. Az X tengelyre: jobbra (0-tól) vannak ábrázolva pozitív számok
, a bal oldalon pedig negatív. Az Y tengely esetében: a pozitív számok felül (0-tól), a negatív számok pedig alul vannak ábrázolva. Keresse meg az "y" értékeit az "x" értékei közül.
- -1: -1 + 2 = 1
- 0: 0 +2 = 2
- 1: 1 + 2 = 3
-
Példánkban f(x) = x+2. Helyettesítsen be adott x értékeket ebbe a képletbe a megfelelő y értékek kiszámításához. Ha összetett függvényt adunk, egyszerűsítsük úgy, hogy az egyenlet egyik oldalán elválasztjuk az „y”-t.Ábrázoljuk a pontokat a koordinátasíkon.
Minden koordinátapárnál tegye a következőket: keresse meg a megfelelő értéket az X tengelyen, és rajzoljon egy függőleges vonalat (pontozott); keresse meg a megfelelő értéket az Y tengelyen, és rajzoljon egy vízszintes vonalat (szaggatott vonal). Jelölje meg a két szaggatott vonal metszéspontját; így egy pontot ábrázolt a grafikonon. Törölje a szaggatott vonalakat.
Ezt azután végezze el, hogy a grafikon összes pontját a koordinátasíkon ábrázolta. Megjegyzés: az f(x) = x függvény grafikonja a koordináták középpontján átmenő egyenes [pont koordinátákkal (0,0)]; az f(x) = x + 2 gráf az f(x) = x egyenessel párhuzamos, de két egységgel felfelé eltolt egyenes, ezért átmegy a (0,2) koordinátájú ponton (mivel az állandó 2) .
Összetett függvény ábrázolása A függvény nullái az x változó értékei, ahol y = 0, vagyis ezek azok a pontok, ahol a grafikon metszi az X-tengelyt lépése bármely függvény grafikus ábrázolásának folyamatában. Egy függvény nulláinak megtalálásához egyenlővé tegyük azt nullával. Például:
Keresse meg és jelölje meg a vízszintes aszimptotákat. Az aszimptota egy olyan egyenes, amelyet egy függvény grafikonja megközelít, de soha nem metszi egymást (azaz ebben a tartományban a függvény nincs definiálva, pl. 0-val osztva). Jelölje meg az aszimptotát szaggatott vonallal. Ha az "x" változó egy tört nevezőjében van (pl. y = 1 4 − x 2 (\displaystyle y=(\frac (1)(4-x^(2))))), állítsa a nevezőt nullára, és keresse meg az „x”-et. Az „x” változó kapott értékeiben a függvény nincs definiálva (példánkban szaggatott vonalakat húzz x = 2 és x = -2 között), mert nem oszthatsz 0-val. De aszimptoták nem csak azokban az esetekben léteznek, amikor a függvény törtkifejezést tartalmaz. Ezért ajánlott a józan ész használata:
-
Határozza meg, hogy a függvény lineáris-e. A lineáris függvényt a forma képlete adja meg F (x) = k x + b (\displaystyle F(x)=kx+b) vagy y = k x + b (\displaystyle y=kx+b)(például ), grafikonja pedig egy egyenes. Így a képlet egy változót és egy állandót (konstanst) tartalmaz kitevők, gyökjelek vagy hasonlók nélkül. Ha egy hasonló típusú függvényt adunk meg, akkor nagyon egyszerű egy ilyen függvény grafikonját ábrázolni. Íme további példák a lineáris függvényekre:
Használjon konstanst egy pont megjelölésére az Y tengelyen. A (b) konstans annak a pontnak az „y” koordinátája, ahol a gráf metszi az Y tengelyt, vagyis ez egy olyan pont, amelynek „x” koordinátája 0. Így ha x = 0 behelyettesítjük a képletbe. , akkor y = b (konstans). Példánkban y = 2 x + 5 (\displaystyle y=2x+5) a konstans egyenlő 5-tel, vagyis az Y tengellyel való metszéspont koordinátái (0,5). Ábrázolja ezt a pontot a koordinátasíkon.
Lelet lejtő közvetlen. Ez egyenlő a változó szorzójával. Példánkban y = 2 x + 5 (\displaystyle y=2x+5) az „x” változóval 2-es tényező; így a lejtési együttható egyenlő 2-vel. A lejtéstényező határozza meg az egyenes dőlésszögét az X tengelyhez képest, vagyis minél nagyobb a meredekségtényező, annál gyorsabban nő vagy csökken a függvény.
Írja fel a lejtőt törtként! A szögegyüttható megegyezik a dőlésszög érintőjével, vagyis a függőleges távolság (egy egyenes két pontja között) és a vízszintes távolság (ugyanazon pontok közötti) arányával. Példánkban a meredekség 2, így kijelenthetjük, hogy a függőleges távolság 2 és a vízszintes távolság 1. Írja ezt törtként: 2 1 (\displaystyle (\frac (2)(1))).