Elliptikus paraboloid kanonikus egyenlet. Ellipszoid. Hiperboloidok. Paraboloidok. Paraboloidok a világon

A tengelye körül egy közönséges elliptikust kaphat. Ez egy üreges izometrikus test, amelynek metszetei ellipszisek és parabolák. Az elliptikus paraboloidot a következőképpen adjuk meg:
x^2/a^2+y^2/b^2=2z
A paraboloidok minden fő szakasza parabola. Az XOZ és YOZ síkok vágásakor csak parabolákat kapunk. Ha merőleges metszetet rajzol az Xoy síkhoz képest, akkor ellipszist kaphat. Ezenkívül a szakaszokat, amelyek parabolák, a következő alakú egyenletek határozzák meg:
x^2/a^2=2z; y^2/a^2=2z
Az ellipszis szakaszait más egyenletek adják meg:
x^2 /a^2+y^2/b^2=2h
Az a=b pontban lévő elliptikus paraboloid forradalom paraboloidjává változik. A paraboloid felépítésének számos olyan jellemzője van, amelyeket figyelembe kell venni. Indítsa el a műveletet az alap elkészítésével - a függvény grafikonjának rajzával.

Ahhoz, hogy elkezdhess építeni egy paraboloidot, először meg kell építeni egy parabolát. Rajzolj egy parabolát az Oxz síkban az ábra szerint! Adj meg a leendő paraboloidnak egy bizonyos magasságot. Ehhez húzzon egy egyenest úgy, hogy az érintse a parabola felső pontjait, és párhuzamos legyen az Ox tengellyel. Ezután rajzoljon egy parabolát a Yoz síkban, és húzzon egy egyenest. Két egymásra merőleges paraboloid síkot kapunk. Ezután az Xoy síkban készítsünk egy paralelogrammát, amely segít ellipszis rajzolásában. Ebbe a paralelogrammába írjon ellipszist úgy, hogy az minden oldalát érintse. Ezen átalakítások után töröljük a paralelogrammát, és ami megmarad, az egy paraboloid háromdimenziós képe.

Létezik egy hiperbolikus paraboloid is, amely homorúbb, mint egy elliptikus. A szakaszaiban parabolák és esetenként hiperbolák is találhatók. Az Oxz és Oyz menti fő szakaszok, akárcsak az elliptikus paraboloidok, parabolák. Ezeket a következő alakú egyenletek adják meg:
x^2/a^2=2z; y^2/a^2=-2z
Ha az Oxy tengelyhez viszonyított metszetet rajzol, hiperbolát kaphat. Ha hiperbolikus paraboloidot készít, használja a következő egyenletet:
x^2/a^2-y^2/b^2=2z - hiperbolikus paraboloid egyenlete

Kezdetben konstruáljon egy rögzített parabolát az Oxz síkban. Rajzolj egy mozgó parabolát az Oyz-síkban. Ezután állítsa be a paraboloid h magasságát. Ehhez jelöljünk ki két pontot a rögzített parabolán, amelyek két további mozgatható parabola csúcsai lesznek. Ezután rajzoljon egy másik O"x"y" koordináta-rendszert a hiperbolák ábrázolásához. Ennek a koordináta-rendszernek a középpontja egybe kell esnie a paraboloid magasságával. Az összes szerkesztés után rajzolja meg a fent említett két mozgatható parabolát úgy, hogy azok érintkezzenek szélsőséges pontok túlzás. Az eredmény egy hiperbolikus paraboloid.

A parabola érintőjének bizonyított tulajdonsága nagyon fontos, hiszen ebből az következik, hogy a homorú parabolatükör fókuszpontjából kiinduló sugarak, azaz olyan tükör, amelynek felülete a parabola tengelye körüli forgásából származik, párhuzamos sugár, nevezetesen párhuzamos tükörtengelyek tükrözik vissza (ábra).

A parabola tükrök ezt a tulajdonságát keresőlámpák építésénél, bármely autó fényszórójában, valamint fényvisszaverő teleszkópokban használják. Sőt, az utóbbi esetben fordítva, az égitestből érkező sugarak; közel párhuzamosan koncentrálódnak a távcsőtükör fókuszpontja közelében, és mivel a lámpatest különböző pontjaiból érkező sugarak nem párhuzamosak, ezért a fókusz közelében, különböző pontokon koncentrálódnak, így a fókusz közelében a fénysugár képe látható. lámpatestet kapunk, minél nagyobb, annál több gyújtótávolság parabolák. Ezt a képet már mikroszkópon (teleszkópos okuláron) keresztül nézzük. Szigorúan véve csak a tükör tengelyével szigorúan párhuzamos sugarakat gyűjtjük egy pontban (a fókuszban), míg a tükör tengelyével szöget bezáró párhuzamos sugarakat csak majdnem egy pontig gyűjtjük össze, és minél távolabb ez a pont a fókusztól, annál homályosabb a kép. Ez a körülmény korlátozza a „teleszkóp látóterét”.

Legyen a belső felülete tükörfelület, ezt a parabola tükröt az op-amp tengelyével párhuzamos fénysugár világítja meg. Minden, a műveleti erősítő tengelyével párhuzamos sugár a visszaverődés után metszi egymást a műveleti erősítő tengelyének egy pontjában (F fókusz). A parabolikus teleszkópok tervezése ezen a tulajdonságon alapul. A távoli csillagok sugarai párhuzamos nyaláb formájában érkeznek hozzánk. Egy parabola távcső elkészítésével és egy fényképező lemez fókuszába helyezésével lehetőséget kapunk a csillagból érkező fényjel felerősítésére.

Ugyanez az elv a parabolaantenna létrehozásának alapja, amely lehetővé teszi a rádiójelek erősítését. Ha egy parabola tükör fókuszába fényforrást helyezünk, akkor a tükör felületéről való visszaverődés után az ebből a forrásból érkező sugarak nem szóródnak szét, hanem a tükör tengelyével párhuzamos keskeny nyalábba gyűlnek össze. . Ezt a tényt reflektorok és lámpák, különféle projektorok gyártásánál használják, amelyek tükrei paraboloidok formájában készülnek.

A parabolatükör fent említett optikai tulajdonságával tükörteleszkópokat, különféle napkollektoros fűtési rendszereket és keresőlámpákat is készítenek. Ha egy parabolatükör fókuszába egy erős pontszerű fényforrást helyezünk, sűrű, a tükör tengelyével párhuzamos visszavert sugarakat kapunk.

Amikor egy parabola a tengelye körül forog, egy alakzatot kapunk, amelyet paraboloidnak nevezünk. Ha a paraboloid belső felülete tükrös, és sugárnyaláb irányul rá, a tengellyel párhuzamos parabola szimmetriája, akkor a visszavert sugarak egy pontban konvergálnak, amit fókusznak nevezünk. Ugyanakkor, ha a fényforrást a fókuszba helyezzük, akkor a paraboloid tükörfelületéről visszaverődő sugarak párhuzamosak és nem szóródnak.

Az első tulajdonság lehetővé teszi magas hőmérséklet elérését a paraboloid fókuszában. A legenda szerint ezt az ingatlant az ókori görög tudós, Arkhimédész (Kr. e. 287-212) használta. Miközben Siracusát védte a rómaiak elleni háborúban, parabola tükrök rendszerét építette, amely lehetővé tette, hogy a visszavert napsugarakat a római hajókra összpontosítsák. Emiatt a parabolatükrök gócainál olyan magasnak bizonyult a hőmérséklet, hogy a hajókon tűz ütött ki, és leégtek.

A második tulajdonságot például spotlámpák és autófényszórók gyártásához használják.

Hiperbola

4. A hiperbola definíciója egyszerű módot ad arra, hogy folytonos mozgással megszerkeszthessük: vegyünk két szálat, amelyek hosszkülönbsége 2a, és rögzítsük e szálak egyik végét az F" és az F pontokhoz. Ha a másikat tartod két végét a kezünkkel együtt mozgassa a szálak mentén egy ceruza hegyével, ügyelve arra, hogy a szálak a papírhoz nyomódjanak, nyújtva és összeérjenek, a rajz hegyétől kezdve a végek találkozásáig, a hegy húzni fog a hiperbola egyik ágának egy része (minél nagyobb, minél hosszabbra vesszük a szálakat) (ábra).

Az F" és F pontok szerepét felcserélve egy másik ág egy részét kapjuk.

Például, A „Másodrendű görbék” témakörben a következő probléma merülhet fel:

Feladat. Két A és B pályaudvar s km-re található egymástól. Bármely M pontra a rakományt az A állomásról lehet szállítani közvetlen közúti szállítással (első útvonalon), vagy úgy vasúti a B állomásra, és onnan autóval (második útvonal). A vasúti tarifa (1 tonna 1 km-enkénti szállítási ára) m rubel, a közúti szállítás díja n rubel, n > m, a be- és kirakodási díj k rubel. Határozza meg a B pályaudvar befolyási területét, vagyis azt a területet, ahová az A állomásról olcsóbb rakományt szállítani vegyes úton - vasúton, majd közúton, pl. határozza meg azon pontok geometriai helyét, amelyeknél a második út jövedelmezőbb, mint az első.

Megoldás. Jelöljük AM = r, BM = g, akkor a szállítási költség (szállítás és be-/kirakodás) az AM útvonalon egyenlő nr + k, az ABM útvonalon a szállítás költsége ms + 2k + ng. Ekkor azok az M pontok, amelyeknél mindkét érték egyenlő, kielégítik az nr + k = ms+2k+nг egyenletet, vagy

ms + k = nr - ng

r - r = = állandó > O,

ezért a régiót határoló vonal a hiperbola | egyik ága r - r | = konst. Ennek a hiperbolának az A pontjával azonos oldalon fekvő sík összes pontjára az első út előnyösebb, a másik oldalon fekvő pontoknál pedig a második, ezért a hiperbola ága körvonalazza a hatásterületet. a B állomásról.

Ennek a problémának a változata.

Két A és B vasútállomás egymástól l km távolságra található. Az M pontba az A állomásról lehet szállítani a rakományt akár közvetlen közúti szállítással, akár vasúton a B állomásra, onnan pedig autóval (49. ábra). Ebben az esetben a vasúti tarifa (1 tonna 1 km-enkénti szállítási ára) m rubel, a be- és kirakodás költsége k rubel (1 tonnánként), a közúti szállítás díja pedig n rubel (n > m). Határozzuk meg a B pályaudvar úgynevezett befolyási zónáját, vagyis azt a zónát, ahová A-ból vegyes útvonalon: vasúton, majd közúton olcsóbban szállítani a rakományt.

Megoldás. 1 tonna rakomány szállításának költsége az AM útvonalon r n, ahol r = AM, az ABM útvonalon pedig 1m + k + r n lesz. Meg kell oldanunk az r n 1m+ k+ r n kettős egyenlőtlenséget, és meg kell határoznunk, hogy az (x, y) síkon azok a pontok hogyan oszlanak el, ahova olcsóbb a rakományt akár az első, akár a második úton szállítani.

Határozzuk meg a két zóna közötti határt jelentő egyenes egyenletét, vagyis azon pontok helyét, amelyekre mindkét út „egyformán előnyös”:

r n = 1m+ k+ r n

Ebből a feltételből azt kapjuk, hogy r - r = = const.

Ezért az elválasztó vonal egy hiperbola. Ennek a hiperbolának minden külső pontja esetében az első út előnyösebb, a belső pontok esetében pedig a második. Ezért a hiperbola a B állomás befolyási zónáját fogja körvonalazni. A hiperbola második ága az A állomás hatászónáját (a rakományt a B állomásról szállítják). Keressük meg hiperbolánk paramétereit. Nagytengelye 2a = , a fókuszok (amelyek az A és B állomások) közötti távolság ebben az esetben 2c = l.

Így e probléma lehetőségének feltétele, amelyet az a reláció határoz meg< с, будет

Ez a feladat összekapcsolja az absztraktot geometriai koncepció hiperbolák a közlekedési és gazdasági problémával.

A szükséges ponthely a B pontot tartalmazó hiperbola jobb oldali ágán belüli pontok halmaza.

6. Ismerős" Mezőgazdasági gépek» fontos teljesítmény jellemzői A lejtőn dolgozó traktor stabilitását a hosszirányú dőlésszög és az oldalirányú dőlésszög mutatja.

Az egyszerűség kedvéért egy kerekes traktort fogunk fontolóra venni. Az a felület, amelyen a traktor dolgozik (legalábbis egy meglehetősen kis része), síknak (mozgássíknak) tekinthető. A traktor hossztengelye az első és a hátsó tengely felezőpontját összekötő egyenes vonalnak a mozgássíkra való vetülete. Az oldalsó dőlésszög a hossztengelyre merőleges és a mozgás síkjában fekvő egyenes vízszintes síkjával bezárt szög.

A „Vonalok és síkok a térben” témakör tanulmányozásakor a matematika tanfolyamon a következő problémákat vesszük figyelembe:

a) Határozza meg a lejtőn mozgó traktor hosszirányú dőlésszögét, ha ismert a lejtő hajlásszöge és a traktor pályájának a hossziránytól való eltérési szöge!

b) A traktor legnagyobb oldaldőlési szöge annak a lejtőnek a megengedett legnagyobb dőlésszöge, amelyen a traktor felborulás nélkül állhat. Milyen traktorparamétereket elegendő ismerni a maximális oldaldőlési szög meghatározásához; hogyan találja meg ezt
sarok?

7. Az építőipari berendezésekben az egyenes vonalú generátorok jelenlétét használják. Ennek a ténynek a gyakorlati alkalmazásának alapítója a híres orosz mérnök, Vladimir Grigorievich Shukhov (1853-1939). V. G. Shukhov fémgerendákból álló árbocok, tornyok és támaszok tervezését végezte el egyenes vonalú generatricák mentén egylapos forradalomhiperboloid. Nagy szilárdság Az ilyen szerkezetek könnyedséggel, alacsony gyártási költséggel és eleganciával kombinálva biztosítják széles körű alkalmazásukat a modern építőiparban.

8. A SZABAD MEREV TEST MOZGÁS TÖRVÉNYEI

Egy szabad test számára mindenféle mozgás egyformán lehetséges, de ez nem jelenti azt, hogy egy szabad test mozgása rendezetlen, és nem engedelmeskedik semmilyen törvénynek; ellenkezőleg, a merev test transzlációs mozgását, függetlenül annak külső alakjától, a tömegközéppont törvénye korlátozza és egy pont mozgására redukálja, a forgó mozgást pedig az úgynevezett főtengelyek. a tehetetlenség vagy tehetetlenségi ellipszoid. Így a szabad térbe dobott bot, vagy a válogatóból kirepülő gabona stb. egy pontként (tömegközéppontként) halad előre, és egyúttal a tömegközéppont körül is forog. Általánosságban elmondható, hogy transzlációs mozgás során bármilyen merev test, alakjától függetlenül, vagy összetett gép egy ponttal (tömegközépponttal), forgó mozgás közben pedig tehetetlenségi ellipszoiddal helyettesíthető. , amelynek sugárvektorai egyenlőek a ---val, ahol / ennek a testnek az ellipszoid középpontján átmenő tengelyekhez viszonyított tehetetlenségi nyomatéka.

Ha egy test tehetetlenségi nyomatéka valamilyen okból megváltozik a forgás során, akkor a forgási sebesség is ennek megfelelően változik. Például egy fej feletti ugrás során az akrobaták labdává préselődnek össze, amitől a test tehetetlenségi nyomatéka csökken, a forgási sebesség pedig nő, ami az ugrás sikeréhez szükséges. Ugyanígy csúszás után az ember oldalra nyújtja a karját, amitől a tehetetlenségi nyomaték nő, a forgási sebesség pedig csökken. Ugyanígy a betakarítási gereblye tehetetlenségi nyomatéka a függőleges tengely körül változó a vízszintes tengely körüli forgása során.

A paraboloid magassága a képlettel határozható meg

A fenekét érintő paraboloid térfogata megegyezik egy R alapsugarú és H magasságú henger térfogatának felével, ugyanez a térfogat foglalja el a paraboloid alatti W’ teret (4.5a. ábra).

4.5. Az alját érintő paraboloid térfogatainak aránya.

Wп – a paraboloid térfogata, W’ – a paraboloid alatti térfogat, Hп – a paraboloid magassága

4.6. A henger széleit érintő paraboloid térfogataránya Hp a paraboloid magassága., R az edény sugara, Wl az edényben lévő folyadék magassága alatti térfogat a forgás megkezdése előtt, z 0 a paraboloid csúcsának helyzete, H a folyadék magassága az edényben a forgás megkezdése előtt.

A 4.6a ábrán a hengerben lévő folyadékszint a forgás megkezdése előtt H. A folyadék Wl térfogata forgás előtt és után megmarad, és egyenlő a z 0 magasságú henger térfogatának Wt összegével, plusz a a paraboloid alatti folyadék térfogata, amely megegyezik a Hn magasságú Wp paraboloid térfogatával

Ha a paraboloid érinti a henger felső szélét, akkor a hengerben lévő folyadék magassága a H forgás megkezdése előtt a Hn paraboloid magasságát két egyenlő részre osztja, a paraboloid legalacsonyabb pontja (csúcsa) a relációban helyezkedik el. az alaphoz (4.6c ábra)

Ezenkívül a H magasság két részre osztja a paraboloidot (4.6c. ábra), amelyek térfogata W 2 = W 1. A W 2 parabolagyűrű és a W 1 parabolikus csésze térfogatának egyenlőségéből a 4.6c. ábra

Amikor a paraboloid felülete metszi az ér alját (4.7. ábra) W 1 =W 2 =0,5W gyűrű

4.7. ábra Térfogatok és magasságok, amikor egy paraboloid felülete metszi a henger alját

Magasságok a 4.6

kötetek a 4.6.

Elhelyezkedés szabad felület egy edényben

4.8. Három relatív pihenés esete forgás közben

1. Ha az edény nyitva van, Po = Ratm (4.8a ábra). Forgatás közben a paraboloid teteje a kezdeti H szint alá esik, élei pedig a kezdeti szint fölé emelkednek, a tetejének helyzete

2. Ha az edény teljesen megtelt, fedővel lefedett, nincs szabad felülete, túlnyomás alatt van Po>Patm, akkor forgás előtt az a felület (PP), amelyen Po=Patm magasságban a fedél szintje felett lesz h 0i =M/ρg, H1 =H+ M/ρg.

3. Ha az edény teljesen megtelt, akkor Po vákuum alatt van<Ратм, до вращения поверхность П.П., на которой Ро=Ратм будет находиться под уровнем крышки на высоте h 0и =-V/ρg, Н 2 =Н-V/ρg ,

4.7. Forgás nagy szögsebességgel (4.9. ábra)

Amikor egy folyadékot tartalmazó edény nagy szögsebességgel forog, a gravitációs erő elhanyagolható a centrifugális erőkhöz képest. A folyadék nyomásváltozásának törvénye a képletből adódik

(4.22),

A szint felületei hengereket alkotnak, amelyek közös tengelye körül forog az edény. Ha az edény nincs teljesen feltöltve a forgás megkezdése előtt, a nyomás P 0 sugár mentén fog hatni r = r 0 , a (4.22) kifejezés helyett lesz

amelyben felvesszük g(z 0 - z) = 0,

Rizs. 4.9 A forgásfelületek elhelyezkedése gravitáció hiányában.

A belső felület sugara ismert H és h esetén

Kétféle paraboloid létezik: elliptikus és hiperbolikus.

Elliptikus paraboloid olyan felület, amelyet a derékszögű derékszögű koordináták valamely rendszerében az egyenlet határoz meg

Egy elliptikus paraboloid végtelen domború tál alakú. Két egymásra merőleges szimmetriasíkja van. Azt a pontot, amellyel a koordináták origóját kombináljuk, az elliptikus paraboloid csúcsának nevezzük; a p és q számokat a paramétereinek nevezzük.

A hiperbolikus paraboloid az egyenlet által meghatározott felület

Hiperbolikus paraboloid nyereg alakja van. Két egymásra merőleges szimmetriasíkja van. Azt a pontot, amellyel a koordináták origóját kombináljuk, egy hiperbolikus paraboloid csúcsának nevezzük; számok rÉs q paramétereinek nevezzük.

8.4. gyakorlat. Tekintsük az alak hiperbolikus paraboloidjának felépítését

Legyen szükséges egy paraboloid egy olyan részét megszerkeszteni, amely a következő tartományokban található: xО[–3; 3], atО[–2; 2] D=0,5 lépéssel mindkét változó esetében.

Végrehajtás. Először meg kell oldania a változó egyenletét z. A példában

Adjuk meg a változó értékeket X oszlophoz A. Ehhez a cellában A1írjon be egy szimbólumot X. A cellába A2 az argumentum első értéke kerül megadásra - a tartomány bal oldali határa (–3). A cellába A3- az argumentum második értéke a tartomány bal határa plusz az építési lépés (–2,5). Ezután válassza ki a cellablokkot A2:AZ, az automatikus kitöltéssel megkapjuk az argumentum összes értékét (a blokk jobb alsó sarkát húzzuk a cellába A14).

Változó értékek at belép a sorba 1 . Ehhez a cellában B1 A változó első értéke kerül megadásra - a tartomány bal oldali határa (–2). A cellába C1- a változó második értéke - a tartomány bal határa plusz a szerkesztési lépés (- 1,5). Ezután válassza ki a cellablokkot B1:C1,automatikus kitöltéssel megkapjuk az argumentum összes értékét (a blokk jobb alsó sarkát a cellába húzzuk J1).

Ezután adja meg a változó értékeit z. Ehhez a táblázat kurzorát a cellába kell helyezni B2és írja be a - = képletet $A2^2/18 -B$1^2/8, majd nyomja meg a gombot Enter. Egy cellában B2 jelenik meg 0. Most ki kell másolnia a függvényt a cellából B2. Ehhez használja az automatikus kitöltést (jobbra húzva), hogy először ezt a képletet másolja a tartományba B2:J2, majd (lehúzással) - a tartományba B2:J14.

Ennek eredményeként a tartományban B2:J14 Megjelenik a hiperbolikus paraboloid pontok táblázata.

Diagram megjelenítése az eszköztáron Standard meg kell nyomnia egy gombot Diagram varázsló. A megjelenő párbeszédpanelen Chart Wizard (4/1. lépés): Diagram típusa adja meg a diagram típusát - Felület, és nézd meg - Huzal (átlátszó) felület(jobb felső diagram a jobb oldali ablakban). Ezután nyomja meg a gombot Következő a párbeszédpanelen.

A megjelenő párbeszédpanelen Diagram varázsló (4/2. lépés): Adatforrás diagramok esetén válassza ki a lapot Hatótávolság adatok és a terepen Hatótávolság az egérrel jelölje ki az adatintervallumot B2:J14.

Ezután meg kell jelölnie azokat a sorokat vagy oszlopokat, ahol az adatsorok találhatók. Ez határozza meg a tengelyek tájolását XÉs u. A példában a kapcsoló Sorok be Az egérmutató segítségével állítsa be az oszlopok pozíciójába.

Válassza ki a Sor fület és a mezőt X-tengely címkék jelezze az aláírások körét. Ehhez aktiválja ezt a mezőt a benne lévő egérmutatóra kattintva, és adja meg a tengelycímkék tartományát X -A2:A14.

Adja meg a tengelycímkék értékeit u. Ehhez a munkaterületen Sor válassza ki az első bejegyzést 1. sorés a munkamező aktiválásával Név az egérmutatóval írja be a változó első értékét y: –2. Aztán a mezőre Sor válassza ki a második bejegyzést 2. sorés a munkaterületre Névírja be a változó második értékét y: –1,5. Ismételje meg ezt az eljárást az utolsó bejegyzésig - 9. sor.

A szükséges bejegyzések megjelenése után kattintson a gombra Következő.

A harmadik ablakban meg kell adnia a diagram címét és a tengelyneveket. Ehhez válassza ki a lapot Címsorok az egérmutatóval rákattintva. Aztán a munkaterületre Diagram címeírja be a nevet a billentyűzetről: Hiperbolikus paraboloid. Ezután ugyanígy lépjen be a munkamezőkbe X-tengely (kategóriák),Y tengely (adatsor)És Z tengely (értékek) megfelelő nevek: x, yÉs z.

Az ellipszoid olyan felület, amelynek egyenlete valamilyen téglalap alakú Descartes-rendszer koordináták Az Oxyz alakja a ^ b ^ c > 0. Annak érdekében, hogy megtudjuk, hogyan néz ki az ellipszoid, a következőképpen járunk el. Vegyünk egy ellipszist az Oxz síkon, és forgassuk el az Oz tengely körül (46. ábra). 46. ​​ábra A kapott felület egy ellipszoid. Hiperboloidok. Paraboloidok. Hengerek és másodrendű kúp. - forgásellipszoid - már képet ad az ellipszoid felépítéséről általános nézet . Egyenletének megszerzéséhez elegendő a forgásellipszoidot az Oy tengely mentén egyenlően összenyomni J ^!, t.c. együtthatóval. az egyenletében szereplő y helyére Jt/5). 10.2. Hiperboloidok A hiperbola elforgatása fl i! = a2 c2 1 az Oz tengely körül (47. ábra), egy lapos fordulathiperboloidnak nevezett felületet kapunk. Egyenlete *2 + y; ugyanúgy kapjuk meg, mint a forgásellipszoid esetében. 5) Forgási ellipszoidot kaphatunk a +yJ + *J = l" gömb egyenletes összenyomásával az Oz tengely mentén, ~ ^ 1 együtthatóval. Ennek a felületnek az Oy tengely mentén történő egyenletes összenyomásával 2 ^ 1 együtthatóval , egy lapos általános formájú hiperboloidot kapunk Hiperboloidok A hengereket és a másodrendű kúpot ugyanúgy kapjuk, mint a fent tárgyalt ellipszoid esetében O tengely, egy kétlapos fordulatszámú hiperboloidot kapunk (48. ábra) Ezt a felületet az Oy tengely mentén egyenletesen összenyomva 2 ^ 1-es együtthatóval kapunk egy általános alakú kétlapos hiperboloidot -y egyenletével a parabolát az Oz tengely körül elforgatva kapunk egy x2 + y2 = 2 pz formájú forgásparaboloidot az Oy tengely mentén yj* ^ 1 együtthatóval. egy elliptikus paraboloidot kapunk a forgási paraboloid egyenletéből If helyettesítésével, akkor az ábrán látható formájú paraboloidot kapunk. 50. 10.4. Hiperbolikus paraboloid A hiperbolikus paraboloid olyan felület, amelynek egyenlete egy bizonyos derékszögű derékszögű Oxyz koordinátarendszerben p > 0, q > 0. Ennek a felületnek a típusát az úgynevezett metszetmódszerrel határozzuk meg, amely a következőkből áll. : a koordinátasíkokkal párhuzamosan olyan síkokat rajzolunk, amelyek metszik a vizsgált felületet, és az így létrejövő lapos görbék konfigurációjának megváltoztatásával magára a felület szerkezetére vonunk le következtetést. Kezdjük az Oxy koordinátasíkkal párhuzamos z = h = const sík szerinti metszetekkel. Ha h > 0, akkor kapunk hiperbolákat h - konjugált hiperbolákra, és - metsző egyenesek párjára. Megjegyezzük, hogy ezek az egyenesek minden hiperbola aszimptotái (azaz bármely h Ф 0 esetén). A kapott görbéket vetítsük az Oxy síkra. A következő képet kapjuk (51. ábra). Már ez a megfontolás is lehetővé teszi, hogy következtetést vonjunk le a vizsgált felület nyereg alakú szerkezetére vonatkozóan (52. ábra). 51. ábra 52. ábra Tekintsük a metszeteket síkonként Ha az egyenletben az y felületeket A-val helyettesítjük, megkapjuk a parabolák egyenleteit (ábra). 53). Hasonló kép adódik egy adott felület síkokkal történő vágásakor is. Ilyenkor olyan parabolákat is kapunk, amelyek ágai lefelé irányulnak (és nem felfelé, mint az y = h síkokkal történő vágásnál) (54. ábra). lejtő a valódi X tengely 3; c) parabola У2 = , csúcs (3, 2), a parabola homorúsága felé irányuló tengelyvektor egyenlő (-2, -1); d) középpontos hiperbola, koordinátatengelyekkel párhuzamos aszimptoták; e) egy metsző egyenes pár f) egy pár párhuzamos egyenes