Érintő és normál felület

Meghatározás. Normál az N 0 pontban lévő felülethez az N 0 ponton átmenő egyenes vonal, amely merőleges a felület érintősíkjára.

A felületnek bármely pontján vagy csak egy érintősíkja van, vagy egyáltalán nincs.

Ha a felületet a z = f(x, y) egyenlet adja meg, ahol f(x, y) az M 0 (x 0, y 0) pontban differenciálható függvény, az érintősík az N 0 pontban ( x 0,y 0, ( x 0 ,y 0)) létezik, és a következő egyenlete:

A felület normáljának egyenlete ezen a ponton:

Geometriai érzék teljes differenciálmű két f(x, y) változó függvénye az (x 0, y 0) pontban az érintősík felületre vonatkoztatott alkalmazásának (z koordinátáinak) a növekedése az (x 0, y 0) pontból a pont (x 0 + Dx, y 0 +Dу).

Mint látható, két változó függvénye teljes differenciáljának geometriai jelentése egy térbeli analóg geometriai jelentése egy változó függvényének differenciálja.

Példa. Határozzuk meg a felület érintősíkjának és normáljának egyenleteit!

az M(1, 1, 1) pontban.

Érintősík egyenlet:

Normál egyenlet:

Számítás kettős integrál poláris koordinátákban.

Legyen a D terület határa egy egyenessel r = r()és sugarak = És = , hol és r– a sík egy pontjának polárkoordinátái, amelyek annak derékszögű koordinátáihoz vannak társítva xÉs y

Kapcsolatok (5. ábra). Ebben az esetben

Megjegyzés. Ha a D területen belül Derékszögű koordináták például egy binomiálist tartalmazó egyenlet, stb., akkor célszerűbb poláris koordinátákban kiszámítani a kettős integrált egy ilyen tartomány felett.

Kettős integrál. Alapvető definíciók és tulajdonságok.

Kettős integrálok.

Tekintsünk egy zárt görbét azon a síkon, amelynek egyenlete:

A görbén belül és magán a görbén lévő összes pont halmazát zárt D régiónak nevezzük. Ha a régióban úgy választ ki pontokat, hogy nem veszi figyelembe a görbén fekvő pontokat, akkor a régiót D nyitott régiónak nevezzük.

Geometriai szempontból D az ábra kontúr által határolt területe.

Osszuk fel a D tartományt n részterületre olyan egyenesek rácsával, amelyek az x tengely mentén Dx i távolságra, az y tengely mentén pedig Dу i távolságra helyezkednek el. Általánosságban elmondható, hogy ez a felosztási sorrend kötelező, a területet tetszőleges alakú és méretű részterületekre lehet felosztani.

Azt találjuk, hogy az S terület elemi téglalapokra oszlik, amelyek területei egyenlők S i = Dx i × Dy i.

Minden részterületen vegyünk egy tetszőleges P(x i, y i) pontot, és állítsuk össze az integrál összeget

ahol f egy folytonos és egyértelmű függvény a D tartomány minden pontjára.

Ha végtelenül növeljük a D i részterületek számát, akkor nyilvánvalóan minden S i részterület területe nulla lesz.

Meghatározás: Ha a D tartomány felosztási lépése nullához közelít, az integrálösszegeknek véges határa van, akkor ezt a határértéket ún. kettős integrál az f(x, y) függvényből a D tartományon keresztül.

Figyelembe véve azt a tényt, hogy S i = Dx i × Dy i, a következőt kapjuk:

A fenti jelölésben két S jel van, mert az összegzést két x és y változón hajtjuk végre.

Mert Az integrációs régió felosztása tetszőleges, és a Р i pontok megválasztása is tetszőleges, akkor minden Si területet azonosnak tekintve a következő képletet kapjuk:

A kettős integrál létezésének feltételei.

Fogalmazzuk meg elegendő feltételeket kettős integrál létezése.

Tétel. Ha az f(x, y) függvény folytonos egy zárt D tartományban, akkor létezik a kettős integrál

Tétel. Ha az f(x, y) függvény egy zárt D tartományban korlátos, és mindenhol folytonos, kivéve véges számú darabonkénti sima egyenest, akkor létezik a kettős integrál.

A kettős integrál tulajdonságai.

3) Ha D = D 1 + D 2, akkor

4) Átlagérték tétel. Az f(x, y) függvény kettős integrálja megegyezik a függvény értékének szorzatával az integrációs tartomány egy bizonyos pontján és az integrációs tartomány területén.

5) Ha f(x, y) ³ 0 a D tartományban, akkor .

6) Ha f 1 (x, y) £ f 2 (x, y), akkor .

#43 Meghatározás Tegyük fel, hogy a görbe C adott vektor függvény hol van a változó s− a görbe ívének hossza. Ezután a vektorfüggvény deriváltja

Ez egy egységvektor, amely a görbe érintője mentén irányul (1. ábra).
A fenti képletben α, β És γ − az O tengely érintő és pozitív iránya közötti szögek x, O yés O z, ill.

Vezessünk be egy, a görbén definiált vektorfüggvényt C, így egy skaláris függvényhez

Volt egy görbe vonalú integrál Cés úgy jelöljük

Tehát definíció szerint

ahol a görbe érintőjének egységvektora C.
Az utolsó képlet vektoros formában is átírható:

Ahol.
Ha a görbe C az O síkban fekszik xy, akkor feltételezve R= 0, megkapjuk

Második típusú görbe vonalú integrál tulajdonságai

A második típusú görbe vonalú integrál a következő tulajdonságokkal rendelkezik: Legyen C pontból induló görbét jelöl Aés végpont B. Jelöljük azzal −C görbe az ellenkező irányba - -tól B To A. Majd

Ha C− görbék kombinálása C 1 és C 2 (fenti 2. ábra), majd Ha a görbe C alakban paraméteresen adjuk meg, akkor Ha a görbe C az O síkban fekszik xyés a Tm egyenlet adott (feltételezzük, hogy R= 0 és t = x), akkor az utolsó képlet a formába kerül

49. sz. Az F felület explicit módon z = z(x,y), (x,y)О D (kompakt),

ahol z(x,y) D-ben elsőrendű folytonos parciális deriváltjai vannak, az f(x,y,z) függvény definiált és folytonos F-en. Ekkor létezik egy integrál, amely egyenlő

Bizonyíték. Azokra a területekre, amelyeket kapunk

Ekkor az integrál összegek egyenlőek lesznek

Az összegek közül az első integrál -hoz, a második tetszőlegesen kicsinyíthető, ha kellően kicsi partíciót választunk. Ez utóbbi az f(x,y,z(x,y)) függvény D-n való egyenletes folytonosságából következik.

40. szám (folytatás) A létezéshez elegendő feltétel görbe vonalú integrál Az első típust később fogalmazzuk meg, amikor megmutatjuk, hogyan kell kiszámítani.

Az első típusú görbe vonalú integrál definíciója szerkezetében megegyezik a határozott integrál definíciójával. Ezért az első típusú görbe vonalú integrál ugyanazokkal a tulajdonságokkal rendelkezik, mint a határozott integrál. Ezeket a tulajdonságokat bizonyítás nélkül mutatjuk be.

AZ 1. TÍPUSÚ GÖRBELI INTEGRÁL TULAJDONSÁGAI

1. , ahol a görbe hossza.

2. A konstans tényező kivehető az első típusú görbevonalas integrál előjeléből, azaz.

3. Két (véges számú) függvény algebrai összegéből származó első típusú görbe integrálja egyenlő az ezekből a függvényekből származó első típusú görbevonalas integrálok algebrai összegével, azaz.

4. Ha a görbe két részre oszlik, és nincs közös belső pontja, akkor

(az első típusú görbe vonalú integrál additivitásának tulajdonsága).

5. Ha a () függvény mindenhol ott van a görbén, akkor

6. Ha mindenhol a görbén (),

7. (a 6. és 1. tulajdonság következménye) Ha és a legkisebbek, ill legmagasabb érték függvények a görbén, akkor

hol van a görbe hossza.

8. (átlagérték tétel első típusú görbe integrálra) Ha a függvény folytonos a görbén, akkor van olyan pont, ahol az egyenlőség

hol van a görbe hossza.

42. sz. ív hossza.

Ha az f(x, y, z) integrandusfüggvény ≡ 1, akkor az 1. típusú görbe vonalú integrál definíciójából azt kapjuk, hogy ebben az esetben egyenlő annak a görbének a hosszával, amely mentén az integrációt végrehajtjuk:

Görbe tömeg.

Feltéve, hogy a γ (x, y, z) integrálfüggvény határozza meg a görbe egyes pontjainak sűrűségét, a görbe tömegét a képlet segítségével kapjuk meg.

3. Megtaláljuk az l görbe nyomatékait, úgy érvelve, mint egy sík régió esetén: -

statikus pillanatok lapos görbe l az Ox és Oy tengelyekhez képest;

a térbeli görbe tehetetlenségi nyomatéka az origóhoz viszonyítva;

· a görbe tehetetlenségi nyomatékai a koordinátatengelyekhez képest.

4. A görbe tömegközéppontjának koordinátáit a képletek segítségével számítjuk ki

38. szám (2) Változók változása hármas integrálokban

Egy hármas integrál kiszámításakor, mint a dupla integrál, gyakran célszerű megváltoztatni a változókat. Ez lehetővé teszi az integrációs tartomány vagy az integrandus alakjának egyszerűsítését.

Adjuk meg az eredeti hármas integrált x, y, z derékszögű koordinátákkal az U tartományban:

Ezt az integrált új u, v, w koordinátákkal kell kiszámítani. A régi és új koordináták közötti kapcsolatot a következő összefüggések írják le:

Feltételezhető, hogy a következő feltételek teljesülnek:

1. A φ, ψ, χ függvények parciális deriváltjaikkal együtt folytonosak;

2. Egy az egyhez megfeleltetés van az U integrációs tartomány xyz térbeli pontjai és az uvw tér U" tartományának pontjai között;

3. Az I (u,v,w) transzformáció jakobiánusa, egyenlő

különbözik a nullától, és az U integráció területén mindenhol állandó előjelet tart fenn.

Ekkor a hármas integrál változóinak megváltoztatására szolgáló képlet a következőképpen íródik:

A fenti kifejezésben azt jelenti abszolút érték Jacobi

No. 38 Tripla integrálok be gömbi koordináták

Az M(x,y,z) pont gömbkoordinátái három szám − ρ, φ, θ, ahol

ρ az M pont sugárvektorának hossza;

φ az a szög, amelyet a sugárvektor az Oxy-síkra és az Ox-tengelyre vetítve alkot;

θ a sugárvektornak az Oz tengely pozitív irányától való eltérési szöge (1. ábra).

Vegye figyelembe, hogy a ρ, φ gömb- és hengerkoordinátákban megadott definíciói eltérnek egymástól.

Egy pont gömbkoordinátáit az összefüggések a derékszögű koordinátáihoz viszonyítják

A derékszögű koordinátákról a gömbi koordinátákra való átmenet Jacobi-féle alakja a következő:

A determinánst kiterjesztve a második oszlopra, azt kapjuk

Ennek megfelelően a jakobi abszolút értéke egyenlő

Ezért a változók megváltoztatásának képlete a derékszögű koordináták gömbkoordinátává való konvertálásakor a következő:

Kényelmesebb a hármas integrált gömbkoordinátákkal kiszámítani, ha az U integráció tartománya egy golyó (vagy annak egy része) és/vagy ha az integrandus f (x2 + y2 + z2) alakú.

Felület

Válasszunk ki egy M0 pontot egy sima felületen (sima kontúrral zárva vagy határolva), és rajzoljunk rá egy normálist a felületre, egy bizonyos irányt választva neki (a két lehetséges egyik közül). Rajzoljunk egy zárt kontúrt a felület mentén, amely az M0 pontban kezdődik és végződik. Tekintsünk egy M pontot, amely megkerüli ezt a kontúrt, és minden pozíciójában megrajzoljuk annak az iránynak a normálisát, amelybe az előző pontból származó normál folyamatosan halad. Ha a kontúr bejárása után a normál az M0 pontban visszatér eredeti helyzetébe bármely M0 pont választása esetén a felületen, akkor a felületet kétoldalinak nevezzük. Ha a normál iránya legalább egy pont bejárása után az ellenkezőjére változik, akkor a felületet egyoldalinak nevezzük (egyoldali felületre példa a Mobius-szalag). a normál iránya egy pontban egyértelműen meghatározza a normál irányát a felület minden pontján.

Meghatározás

A felület összes, azonos normál irányú pontjának halmazát a felület oldalának nevezzük.

Felületi tájolás.

Tekintsünk egy nyitott sima kétoldali S felületet, amelyet egy L kontúr határol, és válasszuk ki ennek a felületnek az egyik oldalát.

Meghatározás

Nevezzük pozitívnak az L körvonal bejárási irányát, amelyben a körvonal mentén való mozgás az óramutató járásával ellentétes irányban történik a normál végpontjában elhelyezkedő megfigyelőhöz képest az S felület valamely, a felület kiválasztott oldalának megfelelő pontjához képest. Fordított irány az áramkör bypass-t negatívnak nevezzük.

Vektor mező áramlás.

Tekintsünk egy A(M) vektormezőt egy G térbeli tartományban, egy S G orientált sima felületet és egy n(M) egységnormális mezőt az S felület egy kiválasztott oldalán.

Meghatározás 13.3. 1. típusú felületi integrál, (13.1)

ahol An a megfelelő vektorok skaláris szorzata, An pedig az A vektor normál irányú vetülete, amelyet az A(M) vektormező áramlásának nevezünk az S felület kiválasztott oldalán keresztül.

1. megjegyzés.

Ha a felület másik oldalát választja, akkor a normál, és ennek következtében a fluxus előjelet vált.

2. megjegyzés.

Ha az A vektor a folyadék áramlási sebességét adja meg egy adott pontban, akkor a (13.1) integrál határozza meg az egységnyi idő alatt az S felületen pozitív irányban átáramló folyadék mennyiségét (innen az általános „áramlás”).

53. sz. Második típusú felületi integrál. Meghatározás és szentek.

Meghatározás

Tekintsünk egy kétoldalas, sima vagy darabonként sima felületet, és rögzítsük annak két oldalát, ami egyenértékű egy bizonyos tájolás kiválasztásával a felületen.

A határozottság kedvéért először tegyük fel, hogy a felületet egy explicit egyenlet adja meg, és a pont a síkon egy darabonként sima kontúrral határolt tartományban változik.

Határozzuk meg most ennek a felületnek a pontjain valamilyen függvényt. Miután a felületet darabonként sima görbék hálózatával részekre osztottuk, és mindegyik ilyen részen kiválasztunk egy pontot, kiszámítjuk a függvény értékét egy adott pontban, és megszorozzuk a vetület síkjára való vetület területével. az elem, egy bizonyos jellel ellátva. Készítsünk egy integrál összeget:

Ennek az integrálösszegnek a végső határát, mivel az összes rész átmérője nullára hajlik, a második típusú felületi integrálnak nevezzük.

a felület kiválasztott oldalára terjed, és a szimbólum jelöli

(itt) egy felületelem síkra vetítési területére emlékeztet

Ha sík helyett felületi elemeket vetítünk egy vagy síkra, akkor két másik, második típusú felületi integrált kapunk:

Az alkalmazásokban az összes ilyen típusú integrál kapcsolataival találkozhatunk leggyakrabban:

ahol a felület pontjain meghatározott függvényei.

A második és az első típusú felületi integrálok kapcsolata

Hol van a felület egységnyi normálvektora - ort.

Tulajdonságok

1. Linearitás: ;

2. Additivitás: ;

3. Amikor a felület orientációja megváltozik, a felületi integrál előjelet vált.

No. 60 Operatornabla (Hamilton operátora)- vektor differenciál operátor, szimbólummal (nabla) jelölve. Háromdimenziós euklideszi tér esetén derékszögű derékszögű koordinátákkal a nabla operátort a következőképpen definiáljuk: hol vannak az egységvektorok az x, y, z tengelyek mentén.

A megfigyelhető operátor tulajdonságai. Ennek a vektornak akkor van értelme, ha a skalár- vagy vektorfüggvénnyel kombináljuk, amelyre alkalmazzuk. Ha a vektort megszorozzuk a φ skalárral, akkor egy vektort kapunk, amely a függvény gradiensét reprezentálja. Ha egy vektort skalárisan megszorozunk egy vektorral, az eredmény skalár

vagyis a vektor divergenciája. Ha vektorral szorozunk, megkapjuk egy vektor rotorját:

Megjegyzés: csakúgy, mint a skalár és a vektorszorzat jelölésére általában, amikor a nabla operátorral együtt használják őket, a fent használtakkal együtt gyakran egyenértékű alternatív jelöléseket használnak, például ahelyett, hogy gyakran írnák, és helyette írj ; ez vonatkozik az alább megadott képletekre is.

Ennek megfelelően a skalárszorzat egy skaláris operátor, amelyet Laplace-operátornak neveznek. Utóbbit meg is jelöljük . A derékszögű koordinátákban a Laplace-operátort a következőképpen definiáljuk: Mivel a nabla operátor differenciáloperátor, a kifejezések transzformációja során figyelembe kell venni mind a vektoralgebra, mind a differenciálás szabályait. Például:

Vagyis egy kifejezés két mezőtől függő deriváltja azoknak a kifejezéseknek az összege, amelyek mindegyikében csak egy mező van differenciálva. A nabla melyik mezőkre hatásos jelzésének megkönnyítése érdekében általánosan elfogadott, hogy a mezők és operátorok szorzatában minden operátor a tőle jobbra lévő kifejezésre hat, és nem hat mindenre a balra. Ha az operátornak egy bal oldali mezőn kell cselekednie, akkor ezt a mezőt valamilyen módon megjelöljük, például egy nyíllal a betű fölé: Ezt a jelölési formát általában köztes átalakításoknál használják. Kényelmetlensége miatt próbálnak megszabadulni a nyilaktól a végső válaszban.

№61 Másodrendű vektoros differenciálműveletek A következő öt műveletet nevezzük:

1. hol van a Laplace operátor.

- - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - -

2

- - - - - - - - - - - - -

3 .

- - - - - - - - - - - - - - - - -

4. Itt van az a vektormennyiség, amelyet a Laplace-operátor alkalmazásával kapunk a vektor minden vetületére.

- - - - - - - - - - - - - - -

A kettős integrál alapvető tulajdonságai

A kettős integrál tulajdonságai (és származtatásuk) hasonlóak az egyetlen határozott integrál megfelelő tulajdonságaihoz.

1°. Additivitás. Ha a funkció f(x, y) integrálható a tartományba Dés ha a terület D görbe segítségével G a nulla terület két összefüggő régióra oszlik, amelyeknek nincs közös belső pontja D 1 és D 2, majd a függvény f(x, y) minden tartományba integrálható D 1 és D 2, és

2°. Lineáris tulajdonság . Ha a funkciók f(x, y) És g(x, y) tartományokba integrálhatók D, A α És β - bármilyen valós számok, majd a [ α · f(x, y) + β · g(x, y)] is integrálható a tartományba D, és

3°. Ha a funkciók f(x, y) És g(x, y) tartományokba integrálhatók D, akkor ezeknek a függvényeknek a szorzata integrálható D.

4°. Ha a funkciók f(x, y) És g(x, y) mindkettő tartományba integrálható Dés mindenhol ezen a területen f(x, y) ≤ g(x, y), Ez

5°. Ha a funkció f(x, y) integrálható a tartományba D, majd a | f(x, y)| területekbe integrálható D, és

(Természetesen az integrálhatóságból | f(x, y)| V D integrálhatóság nem következik f(x, y) V D.)

6°. Átlagérték tétel. Ha mindkét funkció működik f(x, y) És g(x, y) tartományokba integrálhatók D, funkció g(x, y) nem negatív (nem pozitív) mindenhol ebben a régióban, MÉs m- a függvény pontos felső és pontos alsó határa f(x, y) a területen D, akkor van egy szám μ , kielégítve az egyenlőtlenséget m ≤ μ ≤ Més úgy, hogy a képlet érvényes legyen

KETTŐS INTEGRÁLOK

1. ELŐADÁS

Kettős integrálok.A kettős integrál definíciója és tulajdonságai. Iterált integrálok. Dupla integrálok redukálása iterált integrálokká. Az integráció határainak meghatározása. Kettős integrálok számítása a derékszögű koordinátarendszerben.

A kettős integrál a határozott integrál fogalmának általánosítása két változós függvény esetére. Ebben az esetben az integrációs szegmens helyett valamilyen lapos figura lesz.

Hadd D egy zárt korlátozott terület, és f(x,y) egy tetszőleges függvény, amelyet ezen a területen határoznak meg és korlátoznak. Feltételezzük, hogy a régió határait D formaegyenletekkel meghatározott véges számú görbéből állnak y=f(x) vagy x=g( y), Hol f(x) És g(y) folyamatos függvények.

Osszuk fel a területet D véletlenszerűen bekapcsolva n alkatrészek. Négyzet én a -edik szakaszt a D szimbólum jelöli s i. Minden szakaszban véletlenszerűen választunk ki egy pontot pi,és legyenek koordinátái valamilyen rögzített derékszögű rendszerben ( x i, y i). Komponáljunk integrál összeg funkcióhoz f(x,y) régiónként D, ehhez keresse meg a függvény értékeit minden ponton P i, szorozza meg őket a megfelelő Ds szakaszok területével énés összegezze az összes kapott eredményt:

Hívjuk átmérő átm(G) területeken G ennek a területnek a határpontjai közötti legnagyobb távolság.

Kettős integrál függvények f(x,y) a D tartomány felett az a határ, amelyre az integrálösszegek sorozata hajlik (1.1) a partíciók számának korlátlan növelésével n (egy időben). Ez a következőképpen van leírva

Vegye figyelembe, hogy általánosságban elmondható, hogy az integrál összege adott funkciótés egy adott integrációs tartomány a tartomány particionálásának módjától függ Dés pontok kiválasztása P i. Ha azonban létezik kettős integrál, ez azt jelenti, hogy a megfelelő integrálösszegek határa már nem függ a feltüntetett tényezőktől. A kettős integrál létezéséhez(vagy ahogy mondják, tehát az f függvény(x,y) integrálható legyen a D tartományban), elegendő, ha az integrand függvény legyen folyamatos egy adott integrációs tartományban.

Legyen a függvény f(x,y) integrálható a tartományba D. Mivel az ilyen függvények megfelelő integrálösszegek határa nem függ az integrációs tartomány particionálásának módjától, a partíció függőleges és vízszintes vonalak használatával is elvégezhető. Aztán a régió legtöbb területén D téglalap alakú lesz, amelynek területe D s i=D x i D y i. Ezért a területi különbséget így írhatjuk fel ds=dxdy. Ezért, a derékszögű koordinátarendszerben kettős integrálok formába írható

Megjegyzés. Ha az integrand f(x,y)º1, akkor a kettős integrál egyenlő lesz az integrációs régió területével:

Figyeljük meg, hogy a kettős integrálok ugyanazokkal a tulajdonságokkal rendelkeznek, mint a határozott integrálok. Jegyezzünk meg néhányat.

Kettős integrálok tulajdonságai.

1 0 .Lineáris tulajdonság. A függvények összegének integrálja egyenlő az integrálok összegével:

a konstans tényező pedig kivehető az integráljelből:

2 0 .Additív tulajdonság. Ha a D integráció tartományát két részre osztjuk, akkor a kettős integrál egyenlő lesz az egyes részek integráljainak összegével:

3 0 .Átlagérték tétel. Ha a funkció f( x,y)folytonos a D régióban, akkor ebben a tartományban van ilyen pont(x,h) , Mi:

A következő kérdés: hogyan számítják ki a dupla integrálokat? Körülbelül kiszámolható, erre a célra fejlesztették ki hatékony módszerek a megfelelő integrál összegek összeállítása, amelyeket aztán számítógép segítségével numerikusan kiszámolunk. A kettős integrálok analitikus kiszámításakor két határozott integrálra redukálódnak.

1.1 A kettős integrál definíciója

1.2 A kettős integrál tulajdonságai

A kettős integrál tulajdonságai (és származtatásuk) hasonlóak az egyetlen határozott integrál megfelelő tulajdonságaihoz.

1°. Additivitás. Ha az f(x, y) függvény integrálható egy D tartományba, és ha a D tartományt egy nulla területű Г görbe osztja fel két összefüggő D1 és D2 tartományra, amelyeknek nincs közös belső pontja, akkor az f(x) függvény , y) mindegyikbe integrálható a D 1 és D 2 területekről, és

2°. Lineáris tulajdonság. Ha az f(x, y) és g(x, y) függvények integrálhatók a D tartományban, mi? És? - bármilyen valós szám, akkor a [? · f(x, y) + ?· g(x, y)] szintén integrálható a D tartományba, és

3°. Ha az f(x, y) és g(x, y) függvények integrálhatók a D tartományban, akkor ezen függvények szorzata is integrálható D tartományban.

4°. Ha az f(x, y) és g(x, y) függvények egyaránt integrálhatók a D tartományban és mindenhol ebben az f(x, y) tartományban? g(x, y), akkor

5°. Ha az f(x, y) függvény integrálható a D tartományban, akkor az |f(x, y)| integrálható a D tartományba, és

(Természetesen az |f(x, y)| integrálhatósága D-ben nem jelenti az f(x, y) integrálhatóságát D-ben.)

6°. Átlagérték tétel. Ha mindkét f(x, y) és g(x, y) függvény integrálható egy D tartományban, akkor a g(x, y) függvény nem negatív (nem pozitív) mindenhol ebben a tartományban, M és m a f( x, y) függvény felső és infimuma a D tartományban, akkor van olyan szám, amely kielégíti az m egyenlőtlenséget? ? ? M és olyan, hogy a képlet érvényes legyen

Konkrétan, ha az f(x, y) függvény folytonos D-ben és a D tartomány összefügg, akkor ebben a tartományban van egy olyan pont (?, ?), hogy? = f(?, ?), és a képlet alakját veszi fel

7°. Fontos geometriai tulajdonság. megegyezik a D régió területével

Legyen adott egy T test a térben (2.1. ábra), amelyet alulról a D tartomány határol, felülről - egy folytonos és nem negatív függvény grafikonja) z=f (x, y), amelyet a a D régió oldalról - hengeres felület, melynek iránya a D tartomány határa, a generatricák pedig párhuzamosak az Oz tengellyel. Az ilyen típusú testet hengeres testnek nevezzük.

1.3 A kettős integrál geometriai értelmezése

1.4 A téglalap kettős integráljának fogalma

Legyen egy tetszőleges f(x, y) függvény definiálva mindenhol az R = téglalapon?

(lásd 1. ábra).< x 1 < x 2 < ... < x n = b, а сегмент c ? y ? d на p частичных сегментов при помощи точек c = y 0 < y 1 < y 2 < ... < y p = d.

Osszuk fel az a szegmenst? x? b-t n részszakaszra az a = x 0 pontok felhasználásával

Ez az Ox és Oy tengellyel párhuzamos egyeneseket használó partíció megfelel az R téglalap n · p részleges téglalapokra R kl = ?

(k = 1, 2, ..., n; l = 1, 2, ..., p). Az R téglalap jelzett partícióját a T szimbólummal jelöljük. A továbbiakban ebben a részben a „téglalap” kifejezésen olyan téglalapot értünk, amelynek oldalai párhuzamosak a koordinátatengelyekkel.

Minden R kl részleges téglalapon kiválasztunk egy tetszőleges pontot (? k, ? l). Ha?x k = x k - x k-1, ?y l = y l - y l-1, akkor?R kl-lel jelöljük az R kl téglalap területét. Nyilvánvaló, hogy ?R kl = ?x k ?y l .

Az R téglalap adott T partíciójának megfelelő f(x, y) függvény és a T partíció résztéglalapjain lévő közbülső pontok adott megválasztása (? k, ? l) integrálösszegének nevezzük. Az átlót az R kl téglalap átmérőjének nevezzük. Egy szimbólum? jelöljük az összes résztéglalap átmérője közül a legnagyobbat R kl -al. Az I számot integrálösszegek határának (1) nevezzük? > 0, ha bármely pozitív számra? ezt megadhatja< ? независимо от выбора точек (? k , ? l) на частичных прямоугольниках R выполняется равенство

pozitív szám< ?.

?, mi van?

| ? - Én |

Egy f(x, y) függvényt R téglalapra integrálhatónak nevezünk Riemann-nak, ha ennek a függvénynek az integrál összegeinek véges I határa van? > 0.

A megadott I határértéket az f(x, y) függvény kettős integráljának nevezzük az R téglalap felett, és a következő szimbólumok egyikével jelöljük:

Megjegyzés. Ugyanúgy, mint egyetlen határozott integrál esetében, megállapítható, hogy az R téglalapra integrálható f(x, y) függvény erre a téglalapra korlátozódik. Ez okot ad arra, hogy a következőkben csak korlátozott f(x, y) függvényeket vegyünk figyelembe.

1. KETTŐS INTEGRÁLOK

1.1. A kettős integrál definíciója

A kettős integrál a határozott integrál fogalmának általánosítása két változós függvény esetére. Ebben az esetben az integrációs szegmens helyett valamilyen lapos figura lesz.

Hadd D egy zárt korlátozott terület, és f(x, y) egy tetszőleges függvény, amelyet ezen a területen határoznak meg és korlátoznak. Feltételezzük, hogy a régió határait D formaegyenletekkel meghatározott véges számú görbéből állnak y=f(x) vagy x=g( y), Hol f(x) És g(y) folyamatos függvények.

R

Rizs. 1.1

azobiem területen D véletlenszerűen bekapcsolva n alkatrészek. Négyzet én a szakaszt a  szimbólum jelöli s én. Minden szakaszban véletlenszerűen választunk ki egy pontot P én , és legyenek koordinátái valamilyen rögzített derékszögű rendszerben ( x én , y én). Komponáljunk integrál összeg funkcióhoz f(x, y) régiónként D, ehhez keresse meg a függvény értékeit minden ponton P én, szorozza meg őket a megfelelő szakaszok területével s énés összegezze az összes kapott eredményt:

. (1.1)

Hívjuk átmérő átm(G) területeken G ennek a területnek a határpontjai közötti legnagyobb távolság.

Kettős integrál funkciókat f(x, y) régiónként D az a határ, amelyre az integrálok sorozata hajlik összegeket (1.1) a partíciók számának korlátlan növelésével n (egy időben
). Ez a következőképpen van leírva

. (1.2)

Vegye figyelembe, hogy általában véve egy adott függvény és egy adott integrációs tartomány integrálösszege a tartomány particionálásának módjától függ. Dés pontok kiválasztása P én. Ha azonban létezik kettős integrál, ez azt jelenti, hogy a megfelelő integrálösszegek határa már nem függ a feltüntetett tényezőktől. A kettős integrál létezéséhez(vagy ahogy mondják, hogy funkció f(x, y) volt integrálva a terepenD), elegendő, ha az integrand függvény azfolyamatos egy adott integrációs tartományban.

P

Rizs. 1.2

funkciójuk van f(x, y) integrálható a tartományba D. Mivel az ilyen függvények megfelelő integrálösszegek határa nem függ az integrációs tartomány particionálásának módjától, a partíció függőleges és vízszintes vonalak használatával is elvégezhető. Aztán a régió legtöbb területén D téglalap alakú lesz, amelynek területe  s én =x én y én. Ezért a területi különbséget így írhatjuk fel ds= dxdy. Ezért, derékszögű koordinátarendszerben kettős integrálok formába írható

. (1.3)

Megjegyzés . Ha az integrand f(x, y)1, akkor a kettős integrál egyenlő lesz az integrációs régió területével:

. (1.4)

Figyeljük meg, hogy a kettős integrálok ugyanazokkal a tulajdonságokkal rendelkeznek, mint a határozott integrálok. Jegyezzünk meg néhányat.

Kettős integrálok tulajdonságai.

1 0 . Lineáris tulajdonság. A függvények összegének integrálja egyenlő az integrálok összegével:

a konstans tényező pedig kivehető az integráljelből:

.

2 0 . Additív tulajdonság. Ha az integráció tartományaDkét részre osztva, akkor a kettős integrál egyenlő lesz az egyes részek integráljainak összegével:

.

3 0 . Átlagérték tétel. Ha a funkció f( x, y)folyamatos a régióbanD, akkor ebben a régióban van egy olyan pont() , Mi:

.

A következő kérdés: hogyan számítják ki a dupla integrálokat? Erre a célra megközelítőleg kiszámítható, hatékony módszereket dolgoztak ki a megfelelő integrálösszegek összeállítására, amelyeket aztán számítógép segítségével numerikusan kiszámolnak. A kettős integrálok analitikus kiszámításakor két határozott integrálra redukálódnak.

1.2. Iterált integrálok

Az iterált integrálok az űrlap integráljai

. (1.5)

Ebben a kifejezésben először a belső integrált számítjuk ki, azaz. Először a változó feletti integrációt hajtjuk végre y(ebben az esetben a változó xállandó értéknek számít). Az integráció eredményeként vége y szerint kapsz valamilyen funkciót x:

.

Ezután a kapott függvényt integráljuk x:

.

Példa 1.1. Integrálok kiszámítása:

A)
, b)
.

Megoldás . a) Integráljunk át y, feltételezve, hogy a változó x= const. Ezt követően kiszámítjuk az integrált over x:

.

b) Mivel a belső integrálban az integráció a változó felett történik x, Azt y A 3 a külső integrálba konstans tényezőként vehető. Mivel y A belső integrálban lévő 2 állandó értéknek számít, akkor ez az integrál táblázatos lesz. Szekvenciális integráció végrehajtása yÉs x, megkapjuk

Van kapcsolat a dupla és az iterált integrálok között, de először nézzük az egyszerű és összetett területeket. A terület ún egyszerű bármely irányban, ha bármely ebben az irányban húzott egyenes legfeljebb két pontban metszi a terület határát. A derékszögű koordinátarendszerben általában az O tengelyek mentén vett irányokat veszik figyelembe xés O y. Ha a terület mindkét irányban egyszerű, akkor röviden azt mondják - egyszerű terület, az irány kiemelése nélkül. Ha egy régió nem egyszerű, akkor annak mondják összetett.

L

a b

Rizs. 1.4

Bármely összetett régió ábrázolható egyszerű régiók összegeként. Ennek megfelelően bármely kettős integrál ábrázolható egyszerű régiók kettős integráljainak összegeként. Ezért a következőkben elsősorban csak az egyszerű tartományok feletti integrálokat fogjuk figyelembe venni.

Tétel . Ha az integráció tartományaD– tengelyirányban egyszerűOy(lásd 1.4a. ábra), akkor a kettős integrál a következőképpen írható fel ismételt formában:

; (1.6)

ha az integráció tartományaD– tengelyirányban egyszerűÖkör(lásd 1.4b. ábra), akkor a kettős integrál a következőképpen írható fel ismételt formában:

. (1.7)

E

Rizs. 1.3

Ha az integráció tartománya mindkét irányban helyes, akkor tetszőlegesen választhatja ki az iterált integrál típusát, az integráció egyszerűségétől függően.

1.3. INTEGRÁCIÓS HATÁRÉRTÉKEK BEÁLLÍTÁSA

1.3.1. Téglalap alakú integrációs régió

P

Rizs. 1.5

A kettős integrálok ismétlődőkre redukálásakor a fő nehézség a belső integrálok határértékeinek beállításakor adódik. Ez a legegyszerűbb téglalap alakú területeken (lásd 1.5. ábra).

Példa 1.2. Dupla integrál kiszámítása

.

Megoldás . Írjuk fel a dupla integrált iteratívaként:

.

1.3.2. Az integráció tetszőleges tartománya

A kettős integrálról ismétlődőre való átlépéshez a következőket kell tennie:

konstruálja meg az integráció tartományát;

állítson be határértékeket az integrálokban, miközben ne feledje, hogy a külső integrál határértékeinek állandó mennyiségeknek (azaz számoknak) kell lenniük, függetlenül attól, hogy a külső integrált melyik változóból számítjuk..

1.3. példa. Rendezzük el az integrálás határait a megfelelő iterált integrálokban a kettős integrálhoz

, ha a)
b)

R

Rizs. 1.6

döntés . A)Ábrázoljuk az integráció területét D(lásd 1.6. ábra). Végezzük el az integrációt a külső integrálban a változón x, a belsőben pedig – szerint y. A határértékek beállításakor mindig a külső integrállal kell kezdenie, ebben az esetben változóval x. Az ábrából jól látszik, hogy x 0-ról 1-re változik, míg a változó értékei y eltérni fog az egyenesen lévő értékektől y= x az egyenesen lévő értékekhez y=2x. Így kapunk

.

Végezzük el most a külső integrálba való integrálást a szerint y, a belsőben pedig – szerint x. y Ebben az esetben az értékek x 0-ról 2-re változik. Ekkor azonban a változó értékeinek változásának felső határa x= y két részből fog állni x/2 és y=1. Ez azt jelenti, hogy az integrációs régiót az egyenes két részre kell osztani x=1. Ekkor az első tartományban y 0-ról 1-re változik, és x= y az egyenesből x= y/2 egyenesre x. A második régióban y 1-ről 2-re változik, és x= y az egyenesből x– egyenes vonalból

.

=1. Ennek eredményeként azt kapjuk

b

) Rizs. 1.7 DÉpítsük meg az integráció tartományát x, a belsőben pedig – szerint y(lásd 1.7. ábra). A külső integrálba való integrációt a szerint hajtsuk végre x. Ebben az esetben váltáskor y– 1:1 változás a változóban y felülről két vonal korlátozza: egy kör és egy egyenes. A szegmensen [–1;0] y től változik
=0 to y felülről két vonal korlátozza: egy kör és egy egyenes. A szegmensen [–1;0] y; változó a szegmensen y=1–x=0 to

.

. Így, y, a belsőben pedig – szerint x Most a külső integrálban az integrációt a szerint hajtsuk végre y. Ebben az esetben x 0-ról 1-re változik, és a változó
– a körívből x=1–y egyenesre

.

Ezek a példák megmutatják, mennyire fontos az integráció helyes sorrendjének kiválasztása.

Példa 1.4. Az integráció sorrendjének módosítása

A)
;
.

R

b)

döntés . A) Rizs. 1.8 x Alkossuk meg az integráció tartományát. A szegmensen y változó y egyenestől változik y= x. =0 az egyeneshez

.

Az eredmény a következő integrációs régió (lásd 1.8. ábra). A megszerkesztett ábra alapján meghatározzuk az integráció határait Rizs. 1.8 y Alkossuk meg az integráció tartományát. A szegmensen x változó x=y b)
parabolának x=y; szakaszon - egyenesből x= egyenesre

.