A konvergencia elegendő jele. A számsorok konvergenciájának jelei. Legyen két pozitív előjelű sorozat

FELSŐ MATEMATIKA

Számsorozat

Előadás.Számsorozat

1. Számsorozat definíciója. Konvergencia

2. A számsorok alapvető tulajdonságai

3. Pozitív feltételekkel rendelkező sorozatok. A konvergencia jelei

4. Váltakozó sorok. Leibniz konvergencia teszt

5. Váltakozó sorozatok

Önellenőrző kérdések

Irodalom

Előadás. NUMERIKUS SOROZAT

1. Számsorozat definíciója. Konvergencia.

2. A számsorok alapvető tulajdonságai.

3. Pozitív feltételekkel rendelkező sorozatok. A konvergencia jelei.

4. Váltakozó sorok. Leibniz konvergencia teszt.

5. Váltakozó sorozatok.

1. Számsorozat definíciója. Konvergencia

A matematikai alkalmazásokban, valamint a közgazdaságtan, a statisztika és más területek egyes problémáinak megoldásában végtelen számú tagú összegeket vesznek figyelembe. Itt fogjuk meghatározni, hogy mit kell érteni az ilyen összegeken.

Legyen adott egy végtelen számsorozat

, , …, , …

Meghatározás 1.1. Számsorozat vagy éppen közel a forma kifejezésének (összegének) nevezzük

. (1.1) hívják egy szám tagjai, – általános vagy n – m sorozat tagja.

Az (1.1) sorozat meghatározásához elegendő a természetes argumentum függvényét megadni

a sorozat edik tagjának kiszámítása a szám alapján

Példa 1.1. Hadd

. sor (1.2)

hívott harmonikus sorozat .

Példa 1.2. Hadd

, sor (1,3)

hívott általánosított harmonikus sorozat. Abban a speciális esetben, amikor

harmonikus sorozatot kapunk.

Példa 1.3. Hadd

= . sor (1,4)

hívott közel a geometriai progresszióhoz.

Az (1.1) sorozat tagjaiból egy numerikust képezünk részek sorozataösszegeket Ahol

– a sorozat első tagjainak összege, amelyet ún n-részösszeg, azaz , , ,

…………………………….

, (1.5)

…………………………….

Számsorozat

korlátlan számnövekedéssel képes:

1) véges határral rendelkeznek;

2) nincs véges határa (a határ nem létezik, vagy egyenlő a végtelennel).

Meghatározás 1.2. Az (1.1) sorozatot hívják konvergens, ha részösszegei sorozatának (1.5) véges határa van, azaz.

Ebben az esetben a szám

hívott összeg sorozat (1.1) és .

Meghatározás 1.3.Az (1.1) sorozatot hívják eltérő, ha részösszegei sorozatának nincs véges határa.

Nincs összeg hozzárendelve az eltérő sorozatokhoz.

Így egy (1.1) konvergens sorozat összegének megtalálásának problémája egyenértékű a részösszegei sorozatának határértékének kiszámításával.

Nézzünk néhány példát.

Példa 1.4. Bizonyítsd be, hogy a sorozat

konvergál, és találja meg az összegét.

Meg fogjuk találni n- ennek a sorozatnak a részösszege

.

Általános tag

Képviseljük a sorozatot a formában.

Innentől a következőket kapjuk:

. Ezért ez a sorozat konvergál, és összege egyenlő 1-gyel:

1.5. példa. Vizsgálja meg a sorozatot a konvergencia szempontjából

(1.6)

Ehhez a sorhoz

. Ezért ez a sorozat eltér egymástól.

Megjegyzés. at

sorozat (1.6) végtelen számú nulla összege, és nyilvánvalóan konvergens.

Példa 1.6. Vizsgálja meg a sorozatot a konvergencia szempontjából

(1.7)

Ehhez a sorhoz

Ebben az esetben a részösszegek sorozatának határa az

nem létezik, és a sorozat eltér.

Példa 1.7. Vizsgáljuk meg a geometriai progresszió sorozatát (1.4) a konvergencia szempontjából:

Ezt könnyű megmutatni n-edik parciális összege egy geometriai progresszió sorozat at

képlet adja meg.

Nézzük az eseteket:

Aztán és.

Ezért a sorozat konvergál, és összege egyenlő

Ez a cikk egy strukturált és részletes információkat, ami gyakorlatok, feladatok elemzésekor lehet hasznos. Megnézzük a számsorok témáját.

Ez a cikk az alapvető definíciókkal és fogalmakkal kezdődik. Ezután standard opciókat használunk, és tanulmányozzuk az alapvető képleteket. Az anyag egységesítése érdekében a cikk alapvető példákat és feladatokat közöl.

Alaptézisek

Először képzeljük el a rendszert: a 1 , a 2 . . . , a n , . . . , ahol a k ∈ R, k = 1, 2. . . .

Vegyünk például olyan számokat, mint: 6, 3, - 3 2, 3 4, 3 8, - 3 16, . . . .

1. definíció

Egy számsor a ∑ a k k = 1 ∞ = a 1 + a 2 + tagok összege. . . + a n +. . . .

A definíció jobb megértéséhez tekintsük az adott esetet, amelyben q = - 0. 5: 8 - 4 + 2 - 1 + 1 2 - 1 4 + . . . = ∑ k = 1 ∞ (- 16) · - 1 2 k .

2. definíció

a k általános vagy k –th sorozat tagja.

Valahogy így néz ki - 16 · - 1 2 k.

3. definíció

Sorozatok részösszege valahogy így néz ki S n = a 1 + a 2 + . . . + a n , amelyben n– tetszőleges szám. S n is nth a sorozat összege.

Például ∑ k = 1 ∞ (- 16) · - 1 2 k S 4 = 8 - 4 + 2 - 1 = 5.

S 1 , S 2 , . . . , S n , . . . végtelen számsort alkotnak.

Egy sorra nth az összeget az S n = a 1 · (1 - q n) 1 - q = 8 · 1 - - 1 2 n 1 - - 1 2 = 16 3 · 1 - - 1 2 n képlettel találjuk meg. A következő részösszegeket használjuk: 8, 4, 6, 5, . . . , 16 3 · 1 - - 1 2 n , . . . .

4. definíció

A ∑ k = 1 ∞ a k sorozat az konvergens amikor a sorozatnak véges határértéke van S = lim S n n → + ∞ . Ha nincs határérték, vagy a sorozat végtelen, akkor a ∑ k = 1 ∞ a k sorozatot ún. divergens.

5. definíció

Egy konvergens sorozat összege∑ k = 1 ∞ a k a ∑ k = 1 ∞ a k = lim S n n → + ∞ = S sorozat határértéke.

Ebben a példában lim S n n → + ∞ = lim 16 3 t → + ∞ · 1 - 1 2 n = 16 3 · lim n → + ∞ 1 - - 1 2 n = 16 3, sor ∑ k = 1 ∞ ( - 16) · - 1 2 k konvergál. Az összeg 16 3: ∑ k = 1 ∞ (- 16) · - 1 2 k = 16 3 .

1. példa

Divergens sorozatra példa egynél nagyobb nevezővel rendelkező geometriai sorozat összege: 1 + 2 + 4 + 8 +. . . + 2 n - 1 + . . . = ∑ k = 1 ∞ 2 k - 1 .

Az n-edik részösszeget a következőképpen adja meg: S n = a 1 (1 - q n) 1 - q = 1 (1 - 2 n) 1 - 2 = 2 n - 1, a részösszegek határa pedig végtelen: lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ (2 n - 1) = + ∞ .

Egy másik példa a divergens számsorokra a ∑ k = 1 ∞ 5 = 5 + 5 + alakú összeg. . . . Ebben az esetben az n-edik részösszeg úgy számítható ki, hogy Sn = 5n. A részösszegek határa végtelen lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ 5 n = + ∞ .

6. definíció

Ugyanolyan alakú összeg, mint ∑ k = 1 ∞ = 1 + 1 2 + 1 3 + . . . + 1 n + . . . - Ezt harmonikus számsorozat.

7. definíció

Összeg ∑ k = 1 ∞ 1 k s = 1 + 1 2 s + 1 3 s + . . . + 1 n s + . . . , Hol s– valós szám, egy általánosított harmonikus számsor.

A fent tárgyalt definíciók segítenek a legtöbb példa és probléma megoldásában.

A definíciók kiegészítéséhez bizonyos egyenletek bizonyítása szükséges.

1. ∑ k = 1 ∞ 1 k – divergens.

Fordított módszert alkalmazunk. Ha konvergál, akkor a határ véges. Az egyenletet felírhatjuk a következőképpen: lim n → + ∞ S n = S és lim n → + ∞ S 2 n = S. Bizonyos műveletek után az l i m n → + ∞ (S 2 n - S n) = 0 egyenlőséget kapjuk.

Ellen,

S 2 n - S n = 1 + 1 2 + 1 3 +. . . + 1 n + 1 n + 1 + 1 n + 2 + . . . + 1 2 n - - 1 + 1 2 + 1 3 + . . . + 1 n = 1 n + 1 + 1 n + 2 + . . . + 1 2 n

A következő egyenlőtlenségek érvényesek: 1 n + 1 > 1 2 n, 1 n + 1 > 1 2 n, . . . , 1 2 n - 1 > 1 2 n . Azt kapjuk, hogy S 2 n - S n = 1 n + 1 + 1 n + 2 + . . . + 1 2 n > 1 2 n + 1 2 n + . . . + 1 2 n = n 2 n = 1 2 . Az S 2 n - S n > 1 2 kifejezés azt jelzi, hogy a lim n → + ∞ (S 2 n - S n) = 0 nem teljesül. A sorozat szerteágazó.

1. b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + . . . + b 1 q n + . . . = ∑ k = 1 ∞ b 1 q k - 1

Meg kell erősíteni, hogy egy számsorozat összege q-hoz konvergál< 1 , и расходится при q ≥ 1 .

A fenti meghatározások szerint az összeg n kifejezéseket az S n = b 1 · (q n - 1) q - 1 képlet szerint határozzuk meg.

Ha q< 1 верно

lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ b 1 · q n - 1 q - 1 = b 1 · lim n → + ∞ q n q - 1 - lim n → + ∞ 1 q - 1 = = b 1 · 0 - 1 q - 1 = b 1 q - 1

Bebizonyítottuk, hogy a számsorok konvergálnak.

q = 1 b 1 + b 1 + b 1 + esetén. . . ∑ k = 1 ∞ b 1 . Az összegek az S n = b 1 · n képlettel határozhatók meg, a határérték végtelen lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ b 1 · n = ∞. A bemutatott változatban a sorozat eltér.

Ha q = -1, akkor a sorozat így néz ki: b 1 - b 1 + b 1 - . . . = ∑ k = 1 ∞ b 1 (- 1) k + 1 . A részösszegek így néznek ki: S n = b 1 páratlanra n, és S n = 0 párosra n. Ezt az esetet figyelembe véve megbizonyosodunk arról, hogy nincs határ, és a sorozatok eltérőek.

q > 1 esetén lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ b 1 · (q n - 1) q - 1 = b 1 · lim n → + ∞ q n q - 1 - lim n → + ∞ 1 q - 1 = = b 1 ∞ - 1 q - 1 = ∞

Bebizonyítottuk, hogy a számsorok eltérnek egymástól.

1. A ∑ k = 1 ∞ 1 k s sorozat konvergál, ha s > 1és divergál, ha s ≤ 1.

Mert s = 1∑ k = 1 ∞ 1 k eredményt kapunk, a sorozat divergál.

Amikor s< 1 получаем 1 k s ≥ 1 k для k,természetes szám. Mivel a sorozat ∑ k = 1 ∞ 1 k divergens, nincs határ. Ezt követően a ∑ k = 1 ∞ 1 k s sorozat korlátlan. Arra a következtetésre jutunk, hogy a kiválasztott sorozat akkor tér el s< 1 .

Bizonyítani kell, hogy a ∑ k = 1 ∞ 1 k s sorozat konvergál s > 1.

Képzeljük el, hogy S 2 n - 1 - S n - 1:

S 2 n - 1 - S n - 1 = 1 + 1 2 s + 1 3 s + . . . + 1 (n - 1) s + 1 n s + 1 (n + 1) s + . . . + 1 (2 n - 1) s - - 1 + 1 2 s + 1 3 s + . . . + 1 (n - 1) s = 1 n s + 1 (n + 1) s + . . . + 1 (2 n - 1) s

Tegyük fel, hogy 1 (n + 1) s< 1 n s , 1 (n + 2) s < 1 n s , . . . , 1 (2 n - 1) s < 1 n s , тогда S 2 n - 1 - S n - 1 = 1 n s + 1 (n + 1) s + . . . + 1 (2 n - 1) s < < 1 n s + 1 n s + . . . + 1 n s = n n s = 1 n s - 1

Képzeljük el az egyenletet a természetes és páros n = 2 számokra: S 2 n - 1 - S n - 1 = S 3 - S 1 = 1 2 s + 1 3 s< 1 2 s - 1 n = 4: S 2 n - 1 - S n - 1 = S 7 - S 3 = 1 4 s + 1 5 s + 1 6 s + 1 7 s < 1 4 s - 1 = 1 2 s - 1 2 n = 8: S 2 n - 1 - S n - 1 = S 15 - S 7 = 1 8 s + 1 9 s + . . . + 1 15 s < 1 8 s - 1 = 1 2 s - 1 3 . . .

Kapunk:

∑ k = 1 ∞ 1 k s = 1 + 1 2 s + 1 3 s + 1 4 s + . . . + 1 7 s + 1 8 s + . . . + 1 15 s + . . . = = 1 + S 3 - S 1 + S 7 - S 3 + S 15 + S 7 + . . .< < 1 + 1 2 s - 1 + 1 2 s - 1 2 + 1 2 s - 1 3 + . . .

A kifejezés 1 + 1 2 s - 1 + 1 2 s - 1 2 + 1 2 s - 1 3 + . . . a q = 1 2 s - 1 geometriai haladás összege. A kezdeti adatok szerint a s > 1, majd 0< q < 1 . Получаем, ∑ k = 1 ∞ < 1 + 1 2 s - 1 + 1 2 s - 1 2 + 1 2 s - 1 3 + . . . = 1 1 - q = 1 1 - 1 2 s - 1 . Последовательность ряда при s > 1 növekszik és 1 1 - 1 2 s - 1 felett korlátozódik. Képzeljük el, hogy van egy határérték, és a sorozat konvergens ∑ k = 1 ∞ 1 k s .

8. definíció

Sorozat ∑ k = 1 ∞ a k ebben az esetben pozitív, ha tagjai > 0 a k > 0 , k = 1 , 2 , . . . .

Sorozat ∑ k = 1 ∞ b k jeladó, ha a számok előjele eltérő. Ezt a példát a következőképpen mutatjuk be: ∑ ​​k = 1 ∞ b k = ∑ k = 1 ∞ (- 1) k · a k vagy ∑ k = 1 ∞ b k = ∑ k = 1 ∞ (- 1) k + 1 · a k , ahol a k > 0 , k = 1 , 2 , . . . .

Sorozat ∑ k = 1 ∞ b k váltakozó, mivel sok negatív és pozitív számot tartalmaz.

A második sor opció az speciális eset harmadik lehetőség.

Íme az egyes esetekre példák:

6 + 3 + 3 2 + 3 4 + 3 8 + 3 16 + . . . 6 - 3 + 3 2 - 3 4 + 3 8 - 3 16 + . . . 6 + 3 - 3 2 + 3 4 + 3 8 - 3 16 + . . .

A harmadik lehetőségnél az abszolút és feltételes konvergenciát is meghatározhatja.

9. definíció

A ∑ k = 1 ∞ b k váltakozó sorozat abszolút konvergens abban az esetben, ha ∑ k = 1 ∞ b k is konvergensnek tekinthető.

Nézzünk meg néhány tipikus lehetőséget részletesen.

2. példa

Ha a sorok 6 - 3 + 3 2 - 3 4 + 3 8 - 3 16 +. . . és 6 + 3 - 3 2 + 3 4 + 3 8 - 3 16 + . . . konvergensnek vannak definiálva, akkor helyes azt feltételezni, hogy 6 + 3 + 3 2 + 3 4 + 3 8 + 3 16 + . . .

10. definíció

Egy ∑ k = 1 ∞ b k váltakozó sorozatot feltételesen konvergensnek tekintünk, ha ∑ k = 1 ∞ b k divergens, és a ∑ k = 1 ∞ b k sorozatot konvergensnek tekintjük.

3. példa

Vizsgáljuk meg részletesen a ∑ k = 1 ∞ (- 1) k + 1 k = 1 - 1 2 + 1 3 - 1 4 + opciót. . . . Az abszolút értékekből álló ∑ k = 1 ∞ (- 1) k + 1 k = ∑ k = 1 ∞ 1 k sorozatot divergensnek definiáljuk. Ez az opció konvergensnek tekinthető, mivel könnyen meghatározható. Ebből a példából megtudjuk, hogy a ∑ k = 1 ∞ (- 1) k + 1 k = 1 - 1 2 + 1 3 - 1 4 + sorozat. . . feltételesen konvergensnek tekintendő.

A konvergens sorozatok jellemzői

Elemezzük a tulajdonságokat bizonyos esetekben

1. Ha ∑ k = 1 ∞ a k konvergál, akkor a ∑ k = m + 1 ∞ a k sorozatot is konvergensnek tekintjük. Megjegyezhető, hogy a sor nélkül m kifejezéseket is konvergensnek tekintik. Ha ∑ k = m + 1 ∞ a k-hez több számot adunk, akkor a kapott eredmény is konvergens lesz.
2. Ha ∑ k = 1 ∞ a k konvergál és az összeg = S, akkor a ∑ k = 1 ∞ A · a k , ∑ k = 1 ∞ A · a k = A · S sorozat is konvergál, ahol A-állandó.
3. Ha ∑ k = 1 ∞ a k és ∑ k = 1 ∞ b k konvergensek, az összegek AÉs B is, akkor a ∑ k = 1 ∞ a k + b k és a ∑ k = 1 ∞ a k - b k sorozat is konvergál. Az összegek egyenlőek lesznek A+BÉs A-B illetőleg.

4. példa

Határozzuk meg, hogy a sorozat ∑ k = 1 ∞ 2 3 k · k 3 konvergál.

Változtassuk meg a ∑ k = 1 ∞ 2 3 k · k 3 = ∑ k = 1 ∞ 2 3 · 1 k 4 3 kifejezést. A ∑ k = 1 ∞ 1 k 4 3 sorozatot konvergensnek tekintjük, mivel a ∑ k = 1 ∞ 1 k s sorozat konvergál, ha s > 1. A második tulajdonság szerint ∑ k = 1 ∞ 2 3 · 1 k 4 3 .

5. példa

Határozza meg, hogy a ∑ n = 1 ∞ 3 + n n 5 2 sorozat konvergál-e.

Alakítsuk át az eredeti változatot ∑ n = 1 ∞ 3 + n n 5 2 = ∑ n = 1 ∞ 3 n 5 2 + n n 2 = ∑ n = 1 ∞ 3 n 5 2 + ∑ n = 1 n 2 .

∑ n = 1 ∞ 3 n 5 2 és ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 összeget kapjuk. Minden sorozat a tulajdonság szerint konvergensnek minősül. Tehát ahogy a sorozatok közelednek, úgy az eredeti verzió is.

6. példa

Számítsa ki, hogy az 1 - 6 + 1 2 - 2 + 1 4 - 2 3 + 1 8 - 2 9 + sorozat konvergál-e. . . és számolja ki az összeget.

Bővítsük ki az eredeti verziót:

1 - 6 + 1 2 - 2 + 1 4 - 2 3 + 1 8 - 2 9 + . . . = = 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + . . . - 2 · 3 + 1 + 1 3 + 1 9 + . . . = = ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 - 2 · ∑ k = 1 ∞ 1 3 k - 2

Mindegyik sorozat konvergál, mert egy számsorozat egyik tagja. A harmadik tulajdonság szerint kiszámolhatjuk, hogy az eredeti változat is konvergens. Kiszámoljuk az összeget: A ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 = 1 sorozat első tagja és a nevező = 0. 5, ezt követi: ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 = 1 1 - 0 . 5 = 2. Az első tag ∑ k = 1 ∞ 1 3 k - 2 = 3 , és a csökkenő számsor nevezője = 1 3 . A következőt kapjuk: ∑ k = 1 ∞ 1 3 k - 2 = 3 1 - 1 3 = 9 2 .

A fent kapott kifejezéseket használjuk az 1 - 6 + 1 2 - 2 + 1 4 - 2 3 + 1 8 - 2 9 + összeg meghatározásához. . . = ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 - 2 ∑ k = 1 ∞ 1 3 k - 2 = 2 - 2 9 2 = - 7

Szükséges feltétele annak meghatározásának, hogy egy sorozat konvergens-e

11. definíció

Ha a ∑ k = 1 ∞ a k sorozat konvergens, akkor a határértéke kth term = 0: lim k → + ∞ a k = 0 .

Ha bármelyik opciót bejelöljük, nem szabad megfeledkeznünk a nélkülözhetetlen feltételről. Ha nem teljesül, akkor a sorozat szétválik. Ha lim k → + ∞ a k ≠ 0, akkor a sorozat divergens.

Tisztázni kell, hogy a feltétel fontos, de nem elégséges. Ha teljesül a lim k → + ∞ a k = 0 egyenlőség, akkor ez nem garantálja, hogy ∑ k = 1 ∞ a k konvergens.

Mondjunk egy példát. A ∑ k = 1 ∞ 1 k harmonikus sorozatra a feltétel teljesül lim k → + ∞ 1 k = 0 , de a sorozat továbbra is eltér.

7. példa

Határozzuk meg a ∑ n = 1 ∞ n 2 1 + n konvergenciát.

Ellenőrizzük az eredeti kifejezést a lim n → + ∞ n 2 1 + n = lim n → + ∞ n 2 n 2 1 n 2 + 1 n = lim n → + ∞ 1 1 n 2 + 1 n feltétel teljesítésére. = 1 + 0 + 0 = + ∞ ≠ 0

Határ nth tag nem egyenlő 0-val. Bebizonyítottuk, hogy ez a sorozat eltér egymástól.

Hogyan határozható meg egy pozitív sorozat konvergenciája.

Ha folyamatosan használja ezeket a jellemzőket, folyamatosan számolnia kell a határértékeket. Ez a rész segít elkerülni a nehézségeket a példák és problémák megoldása során. Egy pozitív sorozat konvergenciájának meghatározásához van egy bizonyos feltétel.

Pozitív előjelű ∑ k = 1 ∞ a k konvergenciájára a k > 0 ∀ k = 1 , 2 , 3 , . . . az összegek korlátozott sorozatát kell meghatározni.

Hogyan hasonlítsuk össze a sorozatokat

A sorozatok összehasonlításának több jele is van. Összehasonlítjuk azokat a sorozatokat, amelyek konvergenciáját javasoljuk meghatározni, azzal a sorozattal, amelynek konvergenciája ismert.

Első jel

∑ k = 1 ∞ a k és ∑ k = 1 ∞ b k pozitív előjelű sorozatok. Az a k ≤ b k egyenlőtlenség érvényes k = 1, 2, 3, ... Ebből következik, hogy a ∑ k = 1 ∞ b k sorozatból ∑ k = 1 ∞ a k . Mivel ∑ k = 1 ∞ a k divergens, a ∑ k = 1 ∞ b k sorozat divergensként definiálható.

Ezt a szabályt folyamatosan használják egyenletek megoldására, és komoly érv, amely segít a konvergencia meghatározásában. A nehézség abban rejlik, hogy nem minden esetben lehet megfelelő példát találni az összehasonlításra. Elég gyakran egy sorozatot az indikátor elvének megfelelően választanak ki kth tag egyenlő lesz a számláló és a nevező kitevőinek levonásának eredményével kth sorozat tagja. Tegyük fel, hogy a k = k 2 + 3 4 k 2 + 5, a különbség egyenlő lesz 2 – 3 = - 1 . IN ebben az esetben megállapítható, hogy összehasonlítás céljából egy sorozatot k-th b k = k - 1 = 1 k tag, ami harmonikus.

A kapott anyag megszilárdítása érdekében részletesen megvizsgálunk néhány tipikus lehetőséget.

8. példa

Határozzuk meg, hogy mekkora a ∑ k = 1 ∞ 1 k - 1 2 sorozat!

Mivel határ = 0 lim k → + ∞ 1 k - 1 2 = 0 , megtettük szükséges feltétel. Az egyenlőtlenség igazságos lesz 1 k< 1 k - 1 2 для k, amelyek természetesek. Az előző bekezdésekből megtudtuk, hogy a ∑ k = 1 ∞ 1 k harmonikus sorozat divergens. Az első kritérium szerint bizonyítható, hogy az eredeti változat eltérő.

9. példa

Határozzuk meg, hogy a sorozat konvergens vagy divergens ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 + 3 k - 1 .

Ebben a példában a szükséges feltétel teljesül, mivel lim k → + ∞ 1 k 3 + 3 k - 1 = 0. 1 k 3 + 3 k - 1 egyenlőtlenségként ábrázoljuk< 1 k 3 для любого значения k. A ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 sorozat konvergens, mivel a ∑ k = 1 ∞ 1 k s harmonikus sorozat konvergál s > 1. Az első kritérium alapján megállapíthatjuk, hogy a számsor konvergens.

10. példa

Határozzuk meg, mi a ∑ k = 3 ∞ 1 k ln (ln k) sorozat! lim k → + ∞ 1 k ln (ln k) = 1 + ∞ + ∞ = 0 .

Ebben az opcióban jelölheti meg a kívánt feltétel teljesülését. Határozzuk meg az összehasonlítás céljából egy sorozatot. Például ∑ k = 1 ∞ 1 k s . A fokozat meghatározásához tekintsük az (ln (ln k)) sorozatot, k = 3, 4, 5. . . . Az ln (ln 3) , ln (ln 4) , ln (ln 5) , szekvencia tagjai. . . a végtelenségig növekszik. Az egyenlet elemzése után megállapíthatjuk, hogy ha N = 1619 értéket veszünk, akkor a sorozat tagjai > 2. Erre a sorozatra az 1 k ln (ln k) egyenlőtlenség igaz< 1 k 2 . Ряд ∑ k = N ∞ 1 k 2 сходится согласно первому признаку, так как ряд ∑ k = 1 ∞ 1 k 2 тоже сходящийся. Отметим, что согласно первому признаку ряд ∑ k = N ∞ 1 k ln (ln k) сходящийся. Можно сделать вывод, что ряд ∑ k = 3 ∞ 1 k ln (ln k) также сходящийся.

Második jel

Tegyük fel, hogy ∑ k = 1 ∞ a k és ∑ k = 1 ∞ b k pozitív számsorok.

Ha lim k → + ∞ a k b k ≠ ∞ , akkor a ∑ k = 1 ∞ b k sorozat konvergál, és ∑ k = 1 ∞ a k is konvergál.

Ha lim k → + ∞ a k b k ≠ 0, akkor mivel a ∑ k = 1 ∞ b k sorozat divergál, akkor ∑ k = 1 ∞ a k is divergál.

Ha lim k → + ∞ a k b k ≠ ∞ és lim k → + ∞ a k b k ≠ 0, akkor egy sorozat konvergenciája vagy divergenciája egy másik sorozat konvergenciáját vagy divergenciáját jelenti.

Tekintsük ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 + 3 k - 1 a második előjellel. Összehasonlításhoz ∑ k = 1 ∞ b k vesszük a ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 konvergens sorozatot. Határozzuk meg a határértéket: lim k → + ∞ a k b k = lim k → + ∞ 1 k 3 + 3 k - 1 1 k 3 = lim k → + ∞ k 3 k 3 + 3 k - 1 = 1

A második kritérium szerint megállapítható, hogy a ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 konvergens sorozat azt jelenti, hogy az eredeti változat is konvergál.

11. példa

Határozzuk meg, hogy mekkora a ∑ n = 1 ∞ k 2 + 3 4 k 3 + 5 sorozat!

Elemezzük a lim k → ∞ k 2 + 3 4 k 3 + 5 = 0 szükséges feltételt, amely ebben a változatban teljesül. A második kritérium szerint vegyük a ∑ k = 1 ∞ 1 k sorozatot. A határértéket keressük: lim k → + ∞ k 2 + 3 4 k 3 + 5 1 k = lim k → + ∞ k 3 + 3 k 4 k 3 + 5 = 1 4

A fenti tézisek szerint a divergens sorozat az eredeti sorozat divergenciáját vonja maga után.

Harmadik jel

Nézzük az összehasonlítás harmadik jelét.

Tegyük fel, hogy ∑ k = 1 ∞ a k és _ ∑ k = 1 ∞ b k pozitív számsorok. Ha a feltétel teljesül egy bizonyos a k + 1 a k ≤ b k + 1 b k számra, akkor ennek a sorozatnak a ∑ k = 1 ∞ b k konvergenciája azt jelenti, hogy a ∑ k = 1 ∞ a k sorozat is konvergens. A ∑ k = 1 ∞ a k divergens sorozat a ∑ k = 1 ∞ b k divergenciát vonja maga után.

D'Alembert jele

Képzeljük el, hogy ∑ k = 1 ∞ a k egy pozitív számsor. Ha lim k → + ∞ a k + 1 a k< 1 , то ряд является сходящимся, если lim k → + ∞ a k + 1 a k >1, majd divergens.

1. megjegyzés

D'Alembert tesztje akkor érvényes, ha a határ végtelen.

Ha lim k → + ∞ a k + 1 a k = - ∞ , akkor a sorozat konvergens, ha lim k → ∞ a k + 1 a k = + ∞ , akkor divergens.

Ha lim k → + ∞ a k + 1 a k = 1, akkor a d’Alembert-jel nem segít, és további kutatásokra lesz szükség.

12. példa

Határozzuk meg, hogy a sorozat konvergens vagy divergens ∑ k = 1 ∞ 2 k + 1 2 k d’Alembert-kritérium segítségével.

Ellenőrizni kell, hogy a szükséges konvergencia feltétel teljesül-e. Számítsuk ki a határértéket L'Hopital szabályával: lim k → + ∞ 2 k + 1 2 k = ∞ ∞ = lim k → + ∞ 2 k + 1 " 2 k " = lim k → + ∞ 2 2 k ln 2 = 2 + ∞ ln 2 = 0

Láthatjuk, hogy a feltétel teljesül. Használjuk d'Alembert tesztjét: lim k → + ∞ = lim k → + ∞ 2 (k + 1) + 1 2 k + 1 2 k + 1 2 k = 1 2 lim k → + ∞ 2 k + 3 2 k + 1 = 1 2< 1

A sorozat konvergens.

13. példa

Határozza meg, hogy a sorozat divergens-e ∑ k = 1 ∞ k k k ! .

Határozzuk meg a sorozat divergenciáját a d'Alembert-próbával: lim k → + ∞ a k + 1 a k = lim k → + ∞ (k + 1) k + 1 (k + 1) ! k k k! = lim k → + ∞ (k + 1) k + 1 · k ! k k · (k + 1) ! = lim k → + ∞ (k + 1) k + 1 k k (k + 1) = = lim k → + ∞ (k + 1) k k k = lim k → + ∞ k + 1 k k = lim k → + ∞ 1 + 1 k k = e > 1

Ezért a sorozat eltérő.

Radikális Cauchy jele

Tegyük fel, hogy ∑ k = 1 ∞ a k egy pozitív előjelű sorozat. Ha lim k → + ∞ a k k< 1 , то ряд является сходящимся, если lim k → + ∞ a k k >1, majd divergens.

2. megjegyzés

Ha lim k → + ∞ a k k = 1, akkor ez a jel nem ad információt - további elemzés szükséges.

Ez a funkció könnyen azonosítható példákban használható. Tipikus az az eset, amikor egy számsor tagja egy exponenciális hatványkifejezés.

A kapott információk konszolidálása érdekében nézzünk meg néhány tipikus példát.

14. példa

Határozza meg, hogy a ∑ k = 1 ∞ 1 (2 k + 1) k pozitív előjelű sorozat konvergens-e.

Szükséges állapot teljesültnek tekintendő, mivel lim k → + ∞ 1 (2 k + 1) k = 1 + ∞ + ∞ = 0 .

A fent tárgyalt ismérv szerint lim k → + ∞ a k k = lim k → + ∞ 1 (2 k + 1) k k = lim k → + ∞ 1 2 k + 1 = 0.< 1 . Данный ряд является сходимым.

15. példa

Konvergál-e a ∑ k = 1 ∞ 1 3 k · 1 + 1 k k 2 számsor?

Az előző bekezdésben leírt jellemzőt használjuk lim k → + ∞ 1 3 k 1 + 1 k k 2 k = 1 3 lim k → + ∞ 1 + 1 k k = e 3< 1 , следовательно, числовой ряд сходится.

Integrált Cauchy-teszt

Tegyük fel, hogy ∑ k = 1 ∞ a k pozitív előjelű sorozat. Szükséges a folytonos argumentum függvényének jelölése y = f(x), ami egybeesik a n = f (n) -vel. Ha y = f(x) nagyobb, mint nulla, nem szakad meg és csökken [ a ; + ∞) , ahol a ≥ 1

Ekkor, ha a ∫ a + ∞ f (x) d x nem megfelelő integrál konvergens, akkor a vizsgált sorozat is konvergál. Ha eltér, akkor a vizsgált példában a sorozat is eltér.

Ha ellenőrizni szeretné, hogy egy függvény csökken-e, használhatja az előző leckékben tárgyalt anyagot.

16. példa

Tekintsük a ∑ k = 2 ∞ 1 k · ln k példát a konvergenciára.

A sorozat konvergenciájának feltétele teljesültnek tekinthető, mivel lim k → + ∞ 1 k · ln k = 1 + ∞ = 0 . Tekintsük y = 1 x ln x. Nagyobb, mint nulla, nem szakad meg és [2-vel csökken; + ∞) . Az első két pont biztosan ismert, de a harmadikat részletesebben kell tárgyalni. Keresse meg a deriváltot: y " = 1 x · ln x " = x · ln x " x · ln x 2 = ln x + x · 1 x x · ln x 2 = - ln x + 1 x · ln x 2. nullánál kisebb a [ 2 ; + ∞ -n. Ez bizonyítja azt a tézist, hogy a függvény csökken.

Valójában az y = 1 x ln x függvény megfelel a fentebb vizsgált elv jellemzőinek. Használjuk: ∫ 2 + ∞ d x x · ln x = lim A → + ∞ ∫ 2 A d (ln x) ln x = lim A → + ∞ ln (ln x) 2 A = = lim A → + ∞ (ln ( ln A) - ln (ln 2)) = ln (ln (+ ∞)) - ln (ln 2) = + ∞

A kapott eredmények szerint az eredeti példa divergens, mivel a nem megfelelő integrál divergens.

17. példa

Igazoljuk a ∑ k = 1 ∞ 1 (10 k - 9) (ln (5 k + 8)) 3 sorozat konvergenciáját.

Mivel lim k → + ∞ 1 (10 k - 9) (ln (5 k + 8)) 3 = 1 + ∞ = 0, akkor a feltételt teljesültnek tekintjük.

A k = 4-től kezdve a helyes kifejezés 1 (10 k - 9) (ln (5 k + 8)) 3< 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8)) 3 .

Ha a ∑ k = 4 ∞ 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8)) 3 sorozatot konvergensnek tekintjük, akkor az egyik összehasonlítási elv szerint a ∑ k = 4 ∞ 1 (10) sorozatot k - 9) ( ln (5 k + 8)) 3 is konvergensnek tekintendő. Így megállapíthatjuk, hogy az eredeti kifejezés is konvergens.

Térjünk át a bizonyításra: ∑ k = 4 ∞ 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8)) 3 .

Mivel az y = 1 5 x + 8 (ln (5 x + 8)) 3 függvény nagyobb nullánál, ezért nem szakad meg, és [4-gyel csökken; + ∞) . Az előző bekezdésben leírt funkciót használjuk:

∫ 4 + ∞ d x (5 x + 8) (l n (5 x + 8)) 3 = lim A → + ∞ ∫ 4 A d x (5 x + 8) (ln (5 x + 8)) 3 = = 1 5 lim A → + ∞ ∫ 4 A d (ln (5 x + 8) (ln (5 x + 8)) 3 = - 1 10 lim A → + ∞ 1 (ln (5 x + 8)) 2 | 4 A = = - 1 10 · lim A → + ∞ 1 (ln (5 · A + 8)) 2 - 1 (ln (5 · 4 + 8)) 2 = = - 1 10 · 1 + ∞ - 1 (ln 28) 2 = 1 10 · ln 28 2

A kapott ∫ 4 + ∞ d x (5 x + 8) (ln (5 x + 8)) 3 konvergens sorozatban meghatározhatjuk, hogy ∑ k = 4 ∞ 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8 )) 3 is konvergál.

Raabe jele

Tegyük fel, hogy ∑ k = 1 ∞ a k egy pozitív számsor.

Ha lim k → + ∞ k · a k a k + 1< 1 , то ряд расходится, если lim k → + ∞ k · a k a k + 1 - 1 >1, akkor konvergál.

Ez a meghatározási módszer akkor használható, ha a fent leírt technikák nem adnak látható eredményeket.

Abszolút konvergencia tanulmány

A vizsgálathoz ∑ k = 1 ∞ b k -t veszünk. Pozitív előjelet használunk ∑ k = 1 ∞ b k . A fentebb leírt megfelelő funkciók bármelyikét használhatjuk. Ha a ∑ k = 1 ∞ b k sorozat konvergál, akkor az eredeti sorozat abszolút konvergens.

18. példa

Vizsgáljuk meg a ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 3 k 3 + 2 k - 1 sorozatot a ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 3 k 3 + 2 k - 1 = ∑ k = 1 ∞ 1 3 k konvergenciára 3 + 2 k - 1 .

A feltétel teljesül lim k → + ∞ 1 3 k 3 + 2 k - 1 = 1 + ∞ = 0 . Használjuk a ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 2 és a második jelet: lim k → + ∞ 1 3 k 3 + 2 k - 1 1 k 3 2 = 1 3 .

A ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 3 k 3 + 2 k - 1 sorozat konvergál. Az eredeti sorozat is abszolút konvergens.

Váltakozó sorozatok eltérése

Ha a ∑ k = 1 ∞ b k sorozat divergens, akkor a megfelelő ∑ k = 1 ∞ b k váltakozó sorozat vagy divergens, vagy feltételesen konvergens.

Csak a d'Alembert-próba és a radikális Cauchy-teszt segít levonni a ∑ k = 1 ∞ b k-ra vonatkozó következtetéseket a ∑ k = 1 ∞ b k modulusoktól való eltérésből. A ∑ k = 1 ∞ b k sorozat akkor is divergál, ha a szükséges konvergenciafeltétel nem teljesül, vagyis ha lim k → ∞ + b k ≠ 0.

19. példa

Ellenőrizd az eltérést 1 7, 2 7 2, - 6 7 3, 24 7 4, 120 7 5 - 720 7 6, . . . .

Modul kth kifejezést a következőképpen ábrázoljuk: b k = k ! 7 k.

Vizsgáljuk meg a ∑ k = 1 ∞ b k = ∑ k = 1 ∞ k sorozatot! 7 k a konvergenciára d'Alembert-próbával: lim k → + ∞ b k + 1 b k = lim k → + ∞ (k + 1) ! 7 k + 1 k ! 7 k = 1 7 · lim k → + ∞ (k + 1) = + ∞ .

∑ k = 1 ∞ b k = ∑ k = 1 ∞ k ! 7 k ugyanúgy eltér, mint az eredeti verzió.

20. példa

∑ k = 1 ∞ (- 1) k · k 2 + 1 ln (k + 1) konvergens.

Tekintsük a szükséges feltételt: lim k → + ∞ b k = lim k → + ∞ k 2 + 1 ln (k + 1) = ∞ ∞ = lim k → + ∞ = k 2 + 1 " (ln (k + 1)) " = = lim k → + ∞ 2 k 1 k + 1 = lim k → + ∞ 2 k (k + 1) = + ∞ . A feltétel nem teljesül, ezért ∑ k = 1 ∞ (- 1) k · k 2 + 1 ln (k + 1) a sorozat divergens. A határértéket a L'Hopital-szabály alapján számítottuk ki.

Feltételes konvergenciakritériumok

Leibniz tesztje

12. definíció

Ha a váltakozó sorozat tagjainak értékei csökkennek b 1 > b 2 > b 3 > . . . > . . . és a modulushatár = 0, ha k → + ∞, akkor a ∑ k = 1 ∞ b k sorozat konvergál.

17. példa

Tekintsük ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) a konvergenciához.

A sorozatot a következőképpen ábrázoljuk: ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) = ∑ k = 1 ∞ 2 k + 1 5 k (k + 1) . A szükséges feltétel teljesül: lim k → + ∞ = 2 k + 1 5 k (k + 1) = 0 . Tekintsük ∑ k = 1 ∞ 1 k a második összehasonlítási kritérium lim k → + ∞ 2 k + 1 5 k (k + 1) 1 k = lim k → + ∞ 2 k + 1 5 (k + 1) = 2 5

Azt találjuk, hogy ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) = ∑ k = 1 ∞ 2 k + 1 5 k (k + 1) divergál. A ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) sorozat a Leibniz-kritérium szerint konvergál: szekvencia 2 1 + 1 5 1 1 1 + 1 = 3 10, 2 2 + 1 5 2 (2 + 1) = 5 30, 2 3 + 1 5 3 3 + 1, . . . csökken és lim k → + ∞ = 2 k + 1 5 k (k + 1) = 0 .

A sorozat feltételesen konvergál.

Abel-Dirichlet teszt

13. definíció

∑ k = 1 + ∞ u k · v k konvergál, ha ( u k ) nem növekszik, és a ∑ k = 1 + ∞ v k sorozat korlátos.

17. példa

Fedezze fel az 1 - 3 2 + 2 3 + 1 4 - 3 5 + 1 3 + 1 7 - 3 8 + 2 9 + számokat. . . a konvergencia érdekében.

Képzeljük el

1 - 3 2 + 2 3 + 1 4 - 3 5 + 1 3 + 1 7 - 3 8 + 2 9 + . . . = 1 1 + 1 2 (- 3) + 1 3 2 + 1 4 1 + 1 5 (- 3) + 1 6 = ∑ k = 1 ∞ u k v k

ahol (u k) = 1, 1 2, 1 3, . . . nem növekvő, és a sorozat (v k) = 1, - 3, 2, 1, - 3, 2, . . . korlátozott (S k) = 1, - 2, 0, 1, - 2, 0, . . . . A sorozat összefolyik.

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt

Meghatározás. Számsorozat(1.1)pozitívnak nevezzük, ha minden feltételeAn– pozitív számok. Részösszeg Sn= a1+ a2 + …+ aN egy ilyen sorozat bármilyen értékre N természetesen szintén pozitív, és egyre nagyobb számban N monoton növekszik. Ezért csak két lehetőség van:

2) hol S– néhány pozitív szám.

Az első esetben a sorozat divergál, a másodikban konvergál. Az, hogy e két lehetőség közül melyik valósul meg, nyilvánvalóan az at sorozat feltételeinek viselkedésétől függ N® ∞. Ha ezek a kifejezések általában nullára esnek, és ezt elég gyorsan teszik, akkor a sorozatok konvergálnak. És ha nem hajlamosak nullázni, vagy hajlamosak rá, de nem elég gyorsan, akkor a sorozat el fog válni.

Például az (1,16) harmonikus sorozatban a kifejezések csökkennek, nullára hajlanak, de ezt meglehetősen lassan teszik. Ezért a harmonikus sorozatok divergensnek bizonyultak. De a pozitív sorozatban (1,6) a kifejezések sokkal gyorsabban nulláznak, így konvergensnek bizonyult.

Egy másik példa. Sorozat megtekintése

(1.18)

Hívott Általánosított harmonikus sorozat(ez egy közönséges harmonikus sorozat lesz). Ha a konvergenciát - divergenciát úgy vizsgálja, ahogyan az (1.16) felharmonikus sorozatot vizsgáltuk (egy, a 7.1. ábrához hasonló ábrát használva), akkor megállapíthatja (próbálja ki Ön is), hogy az általánosított harmonikus sorozat a (összegében) divergál. ) és konvergál (az összegéhez S– véges pozitív szám). És ez érthető: amikor az általánosított harmonikus sorozat tagjai lassabban csökkennek, mint a harmonikus sorozat tagjai. És mivel a harmonikus sorozat divergál (tagjainak csökkenési sebessége nem elegendő a konvergenciához), akkor az általánosított harmonikus sorozat (1,18) is még jobban szét fog térni. És amikor a sorozat tagjai (1.18) nyilvánvalóan gyorsabban csökkennek, mint a harmonikus sorozat tagjai (1.16). És ez a megnövekedett csökkenési ütem elegendőnek bizonyul az (1.18) sorozatok konvergenciájához.

Ezeket a szempontokat szigorúbban, az ún Pozitív számsorok összehasonlításának jele.

Ennek lényege a következő. Hadd

(1.19)

(1.20)

Két tetszőleges pozitív számsor. És legyen mindenkié N=1,2,… . Azaz (1.20) nagyobb tagokkal rendelkező sorozat, mint (1.19) sorozat. Akkor nyilvánvaló, hogy:

1) Ha egy nagyobb tagú sorozat konvergál, akkor a kisebb tagú sorozatok konvergálnak.

2) Ha egy kisebb tagú sorozat divergál (összege egyenlő +∞), akkor egy nagyobb tagú sorozat is eltér (összege még inkább +∞).

3) Ha egy nagyobb tagú sorozat konvergál (összege +∞), akkor a kisebb tagú sorozatokról nem mondható el semmi.

4) Ha egy kisebb tagú sorozat konvergál (összege egy szám), akkor a nagyobb tagú sorozatról nem mondható el semmi.

1. megjegyzés. Az összehasonlítási kritérium mind a négy pontjának megfogalmazásánál használható egy olyan feltétel, amelynek segítségével a sorozatokat összehasonlítjuk, és amelynek mindenre teljesülnie kell. N=1,2,3,…, cserélje ki ugyanazzal a feltétellel, amely nem mindenkire érvényes N, de csak egy bizonyos számtól kezdve N, vagyis azért N> N, mert egy sorozat véges számú tagjának elvetése nem befolyásolja a konvergenciáját.

2. megjegyzés. A pozitív számsorok összehasonlításának kritériuma általánosítást tesz lehetővé. Mégpedig ha van véges és nem nulla határérték

, (1.21)

Vagyis ha

(Bn egyenértékű Lan esetén ), akkor az (1.19) és (1.20) pozitív számsorok egyidejűleg konvergálnak vagy divergálnak. Ezt a megjegyzést bizonyíték nélkül hagyjuk.

5. példa . Sor

(1.23)

Divergál (összege +∞). Valójában, összehasonlítva ezt a sorozatot a harmonikussal (1,16), amelynek tagjai kisebbek, mint a sorozat (1,23) tagjai N>1, az összehasonlítási kritérium 2. pontja alapján azonnal erre a következtetésre jutunk. Divergenciája abból is következik, hogy ez egy általánosított harmonikus sorozat (1.18) -ra.

6. példa. Sor

(1.24)

Ez egy pozitív sorozat, mindenkinek kevesebb N>1 tag, mint sorozat

(1.25)

De sorozat (1.25) egy végtelen geometriai haladás összege nevezővel. Egy ilyen sorozat az (1.15) szerint konvergál, és megvan az összeg S=1. De ekkor a kisebb sorozat (1,24) is konvergál, és az összege .

7. példa . Sorozat - pozitív számsorozat, amelynek feltételei a következők

at .

De egy szám (1.17) alapján eltér. Ez azt jelenti, hogy (1.22) összhangban ez a sorozat a kifejezésekkel is eltér An.

D'Alembert jele . Ez a jel a következő. Legyen pozitív számsorozat. Találjuk meg a határt K a sorozat következő tagjának viszonya az előzőhöz:

(1.26)

A 19. századi francia matematikus és mechanikus D'Alembert bebizonyította, hogy amikor K<1 ряд Сходится; при K>1 eltér; at K=1 a sorozat konvergencia - divergenciája kérdése nyitva marad. Kihagyjuk a d'Alembert-kritérium bizonyítását.

8. példa. Pozitív számsorok konvergenciájának vizsgálata - divergenciája.

. Alkalmazzuk d'Alembert tesztjét erre a sorozatra. Ehhez az (1.26) képlet segítségével kiszámítjuk K:

Azóta ez a sorozat konvergál.

Integrált Cauchy-teszt . Ez a jel a következő. Ha tagok An pozitív sorozatok monoton csökkennek, akkor ez a sorozat és a nem megfelelő integrál egyszerre konvergál vagy divergál. Itt van egy folyamatos, monoton csökkenő függvény, amely at X = Nértékeket An sorozat tagjai.

Számsorozat. Számsorok konvergenciája és divergenciája. D'Alembert konvergencia tesztje. Váltakozó sorozat. Sorok abszolút és feltételes konvergenciája. Funkcionális sorozat. Teljesítmény sorozat. Bomlás elemi függvények a Maclaurin sorozatban.

Útmutató az 1.4 témához:

Számsorozat:

A számsorozat az alak összege

hol vannak a számok u 1, u 2, u 3, n n, sorozat tagjainak nevezzük, végtelen sorozatot alkotnak; az un kifejezést a sorozat közös tagjának nevezzük.

. . . . . . . . .

A sorozat (27.1) első tagjaiból álló részösszegeket a sorozat részösszegeinek nevezzük.

Minden sor társítható részösszegek sorozatához S 1, S 2, S 3. Ha az n szám végtelen növekedésével a sorozat részösszege S n a határig hajlik S, akkor a sorozatot konvergensnek nevezzük, és a számot S- konvergens sorozat összege, azaz.

Ez a bejegyzés egyenértékű a

Ha a részösszeg S n sorozat (27.1) korlátlan növekedéssel n nincs véges határértéke (különösen + ¥ vagy - ¥ felé hajlik), akkor az ilyen sorozatot divergensnek nevezzük

Ha a sorozat konvergál, akkor az érték S n mert elég nagy n a sorozat összegének közelítő kifejezése S.

Különbség r n = S - S n a sorozat többi részének nevezik. Ha a sorozat konvergál, akkor a maradéka nullára hajlik, azaz. r n = 0, és fordítva, ha a maradék nullára hajlik, akkor a sorozat konvergál.

Az űrlap sorozatát ún geometriai sorozat.

hívott harmonikus.

Ha N®¥, akkor S n®¥, azaz a harmonikus sorozat szétválik.

Példa 1. Írjon sorozatot a megadott közös kifejezés alapján:

1) ha n = 1, n = 2, n = 3, akkor végtelen számsort kapunk: , , , Összeadva a tagjait, megkapjuk a sorozatot

2) Ugyanezt csinálva megkapjuk a sorozatot

3) Adjuk meg n-nek az 1, 2, 3 értékeket, és figyelembe vesszük, hogy 1! = 1, 2! = 1 × 2,3! = 1 × 2 × 3, megkapjuk a sorozatot

2. példa Find n-a sorozat harmadik tagja a megadott első számai szerint:

1) ; 2) ; 3) .

3. példa Keresse meg a sorozat tagjainak összegét:

1) Keresse meg a sorozat tagjainak részösszegeit:

Írjuk fel a részösszegek sorrendjét: …, , … .

Ennek a sorozatnak a közös tagja a . Ezért,

A részösszegek sorozatának korlátja egyenlő. Tehát a sorozat konvergál, és összege egyenlő .

2) Ez egy végtelenül csökkenő geometriai progresszió, amelyben a 1 = , q= . A képlet segítségével a következőt kapjuk: Ez azt jelenti, hogy a sorozat konvergál, és összege 1.

Számsorok konvergenciája és divergenciája. A konvergencia jele d'Alembert :

Egy sorozat konvergenciájának szükséges jele. Egy sorozat csak akkor konvergálhat, ha a közös tagja u n korlátlan számnövekedéssel n nullára hajlik:

Ha , akkor a sorozat eltér – ez van elegendő bizonyíték oldhatósági sorozat.

Elegendő jele egy pozitív tagú sorozat konvergenciájának.

A sorozatok pozitív kifejezésekkel való összehasonlításának jele. A vizsgált sorozat akkor konvergál, ha tagjai nem haladják meg egy másik, nyilvánvalóan konvergens sorozat megfelelő tagjait; a vizsgált sorozat akkor divergál, ha tagjai meghaladják egy másik nyilvánvalóan divergens sorozat megfelelő tagjait.

Amikor a konvergencia és az oldhatóság sorozatait tanulmányozzuk ezen a kritériumon alapulóan, gyakran geometriai sorozatot használnak

amely |q|-nál konvergál

divergens lévén.

Sorozatok tanulmányozásakor az általánosított harmonikus sorozatot is használják

Ha p= 1, akkor ez a sorozat harmonikus sorozattá alakul, amely divergens.

Ha p< 1, то члены данного ряда больше соответствующих членов гармонического ряда и, значит, он расходится. При p> 1 van egy geometriai sorozatunk, amelyben | q| < 1; он является сходящимся. Итак, обобщенный гармонический ряд сходится при p> 1 és eltér a p£1.

D'Alembert jele. Ha pozitív feltételekkel rendelkező sorozathoz

(u n > 0)

a feltétel teljesül, akkor a sorozat at l l > 1.

D'Alembert jele nem ad választ, ha l= 1. Ebben az esetben más technikákat alkalmaznak a sorozat tanulmányozására.

Váltakozó sorozat.

Sorozatok abszolút és feltételes konvergenciája:

Számsorozat

u 1 + u 2 + u 3 + u n

alternálónak nevezzük, ha tagjai között vannak pozitív és negatív számok is.

Egy számsort váltakozónak nevezünk, ha bármely két szomszédos tag ellentétes előjelű. Ez a sorozat egy váltakozó sorozat speciális esete.

Változó sorozatok konvergenciavizsgálata. Ha egy váltakozó sorozat tagjai monoton módon csökkennek abszolút értékben és a közös tagban u n nullára hajlamos as n® , akkor a sorozat konvergál.

Egy sorozatot abszolút konvergensnek mondunk, ha a sorozatok is konvergálnak. Ha egy sorozat abszolút konvergens, akkor konvergens (a szokásos értelemben). A fordított állítás nem igaz. Egy sorozatot feltételesen konvergensnek nevezünk, ha maga is konvergál, és a tagjainak modulusaiból álló sorozat divergál. 4. példa Vizsgáljuk meg a sorozatot a konvergencia szempontjából.

Alkalmazzuk Leibniz elégséges tesztjét váltakozó sorozatokra. Kapunk, mert. Ezért ez a sorozat konvergál. 5. példa. Vizsgálja meg a sorozat konvergenciáját.

Próbáljuk meg alkalmazni a Leibniz-próbát: Látható, hogy az általános tag modulusa nem hajlik nullára, ha n → ∞. Ezért ez a sorozat eltér egymástól. 6. példa Határozza meg, hogy egy sorozat abszolút konvergens, feltételesen konvergens vagy divergens.

A D'Alembert-próbát a megfelelő tagok modulusaiból álló sorozatra alkalmazva azt kapjuk, hogy Következésképpen ez a sorozat abszolút konvergál.

7. példa: Vizsgálja meg az előjel-váltakozó sorozatot a konvergencia szempontjából (abszolút vagy feltételes):

1) Ennek a sorozatnak a feltételei monoton módon csökkennek abszolút értékben és . Ezért Leibniz kritériuma szerint a sorozatok konvergálnak. Nézzük meg, hogy ez a sorozat abszolút vagy feltételesen konvergál.

2) Ennek a sorozatnak a tagjai abszolút értékben monoton csökkennek: , de

Funkcionális sorok:

Egy szabályos számsor számokból áll:

A sorozat összes tagja számok.

A funkcionális sorozat a következőkből áll funkciók:

A polinomok, faktoriálisok stb. mellett a sorozat általános kifejezése biztosan az "x" betű szerepel. Például így néz ki: . A számsorokhoz hasonlóan bármely funkcionális sorozat felírható kiterjesztett formában:

Mint látható, a funkcionális sorozat összes tagja funkciókat.

A funkcionális sorozatok legnépszerűbb típusa az teljesítmény sorozat.

Teljesítmény sorozat:

Teljesítmény sorozat forma sorozatának nevezzük

hol vannak a számok a 0, a 1, a 2, a n sorozat együtthatóinak nevezzük, és a kifejezés a n x n- a sorozat közös tagja.

Egy hatványsor konvergenciatartománya az összes érték halmaza x, amelyhez ez a sorozat konvergál.

Szám R a sorozat konvergencia sugarának nevezzük, ha | x| a sorozat összefolyik.

8. példa Adott egy sorozat

Vizsgáljuk meg a konvergenciáját a pontokban x= 1 és X= 3, x= -2.

Ha x = 1, ez a sorozat számsorozattá változik

Vizsgáljuk meg ennek a sorozatnak a konvergenciáját D'Alembert-kritérium segítségével. megvan

Azok. a sorozat összefolyik.

Ha x = 3, megkapjuk a sorozatot

Ami eltér, mert a sorozatok konvergenciájához szükséges kritérium nem teljesül

Ha x = -2 kapjuk

Ez egy váltakozó sorozat, amely Leibniz kritériuma szerint konvergál.

Szóval pontokon x= 1 és X= -2. a sorozat konvergál, és a ponton x= 3 eltér.

Az elemi funkciók bővítése a Maclaurin sorozatban:

Taylor közelében funkcióhoz f(x) alak hatványsorának nevezzük

Ha, a = 0, akkor a Taylor sorozat egy speciális esetét kapjuk

amelyet úgy hívnak Maclaurin a közelben van.

Egy hatványsor a konvergencia intervallumán belül tagonként differenciálható és tetszőlegesen integrálható, és a kapott sorozatok azonos konvergencia intervallumúak, mint az eredeti sorozat.

Két hatványsor adható össze és szorozható tagonként a polinomok összeadási és szorzási szabályai szerint. Ebben az esetben a kapott új sorozatok konvergenciaintervalluma egybeesik az eredeti sorozat konvergencia intervallumainak általános részével.

Ahhoz, hogy egy függvényt Maclaurin sorozattá bővítsünk, a következőkre van szükség:

1) számítsa ki a függvény értékeit és az egymást követő deriváltjait a pontban x = 0, azaz .

8. Bontsa ki a függvényeket Maclaurin sorozattá.

A gyakorlatban gyakran nem annyira fontos egy sorozat összegének megtalálása, mint a sorozatok konvergenciájának megválaszolása. Erre a célra a sorozat közös tagjának tulajdonságai alapján konvergenciakritériumokat használnak.

Egy sorozat konvergenciájának szükséges jele

1. TÉTEL

Ha a sorkonvergál, akkor a közös kifejezés nullára hajlamos, mint
, azok.
.

Röviden: Ha egy sorozat konvergál, akkor a közös tagja nullára hajlik.

Bizonyíték. Legyen a sorozat konvergál, és összege egyenlő . Bárkinek részösszeg

.

Akkor . 

A konvergencia bizonyítottan szükséges kritériumából az következik elegendő jele egy sorozat divergenciájának: ha at
Ha a sorozat közös tagja nem hajlik nullára, akkor a sorozat eltér.

4. példa

Ennél a sorozatnál a közös kifejezés
És
.

Ezért ez a sorozat eltér egymástól.

5. példa Vizsgálja meg a sorozatot a konvergencia szempontjából

Nyilvánvaló, hogy ennek a sorozatnak az általános kifejezése, amelynek formája a kifejezés nehézkessége miatt nincs feltüntetve, nullára hajlik, mint
, azaz egy sorozat konvergenciájának szükséges kritériuma teljesül, de ez a sorozat eltér, mivel összege a végtelenbe hajlik.

Pozitív számsorozat

Olyan számsort nevezünk, amelyben minden tag pozitív pozitív előjel.

2. TÉTEL (Egy pozitív sorozat konvergenciájának kritériuma)

Ahhoz, hogy egy pozitív előjelű sorozat konvergáljon, szükséges és elegendő, hogy minden részösszege felülről ugyanazzal a számmal legyen határolva.

Bizonyíték. Hiszen bárkinek
, akkor pl. utósorozat
– monoton növekvő, ezért a határérték fennállásához szükséges és elegendő a sorozatot felülről valamilyen számmal korlátozni.

Ennek a tételnek inkább elméleti, mint gyakorlati jelentősége van. Az alábbiakban további, szélesebb körben használt konvergenciateszteket talál.

A pozitív sorozatok konvergenciájának elegendő jele

3. TÉTEL (Első összehasonlító jel)

Legyen két pozitív előjelű sorozat:

(1)

(2)

és egy bizonyos számtól kezdve
, bárkinek
egyenlőtlenség érvényesül
Majd:

Az első összehasonlító jellemző sematikus jelölése:

leereszkedés.gyülekező.

exp.exp.

Bizonyíték. 1) Mivel a sorozat véges számú tagjának elvetése nem befolyásolja a konvergenciáját, bebizonyítjuk a tételt az esetre
. Legyen bárkinek
van

, (3)

Ahol
És
- az (1) és (2) sorozatok részösszegei.

Ha a (2) sorozat konvergál, akkor van szám
. Mivel ebben az esetben a sorrend
- növekszik, határa nagyobb bármely tagjánál, i.e.
bárkinek . Ezért a (3) egyenlőtlenségből az következik
. Így az (1) sorozat összes részösszege fent a szám által határolt . A 2. tétel szerint ez a sorozat konvergál.

2) Valóban, ha a (2) sorozat konvergálna, akkor összehasonlításképpen az (1) sorozat is konvergálna. 

Ennek a funkciónak az alkalmazásához gyakran olyan szabványos sorozatokat használnak, amelyek konvergenciája vagy divergenciája előre ismert, például:

3) - Dirichlet sorozat (konvergál a
és eltér a
).

Ezenkívül gyakran használnak olyan sorozatokat, amelyek a következő nyilvánvaló egyenlőtlenségekkel érhetők el:

,

,
,
.

Tekintsünk konkrét példákon egy sémát a konvergencia pozitív sorozatának tanulmányozására az első összehasonlítási kritérium segítségével.

6. példa. Sor felfedezése
a konvergencia érdekében.

1. lépés: Ellenőrizze a sorozat pozitív előjelét:
Mert

2. lépés. Ellenőrizzük egy sorozat konvergenciájához szükséges kritérium teljesülését:
. Mert
, Azt

(ha a határ kiszámítása nehézkes, ezt a lépést kihagyhatja).

3. lépés: Használja az első összehasonlító jelet. Ehhez kiválasztunk egy szabványos sorozatot ehhez a sorozathoz. Mert
, akkor standardnak vehetjük a sorozatot
, azaz Dirichlet sorozat. Ez a sorozat azért konvergál, mert a kitevő
. Ebből következően az első összehasonlítási kritérium szerint a vizsgált sorozatok is konvergálnak.

7. példa. Sor felfedezése
a konvergencia érdekében.

1) Ez a sorozat pozitív, mivel
Mert

2) Egy sorozat konvergenciájához szükséges kritérium teljesül, mert

3) Válasszunk ki egy szabványos sort. Mert
, akkor a geometriai sorozatot vehetjük szabványnak

. Ez a sorozat konvergál, és ezért a vizsgált sorozatok is konvergálnak.

4. TÉTEL (Második összehasonlítási feltétel)

Ha pozitív sorozatokra És van egy nem nulla véges határ
, Azt a sorok egyidejűleg konvergálnak vagy válnak szét.

Bizonyíték. Konvergáljon a (2) sorozat; Bizonyítsuk be, hogy akkor az (1) sorozat is konvergál. Válasszunk egy számot , több mint . Az állapottól
ebből következik, hogy létezik ilyen szám ez mindenkinek szól
az egyenlőtlenség igaz
, vagy mi ugyanaz,

(4)

Az (1) és (2) sorban lévő elsők elvetése után kifejezések (ami nem befolyásolja a konvergenciát), feltételezhetjük, hogy a (4) egyenlőtlenség mindenkire érvényes
De egy sorozat egy közös taggal
sorozatok konvergenciája miatt konvergál (2). Az első összehasonlítási kritérium szerint a (4) egyenlőtlenség az (1) sorozatok konvergenciáját jelenti.

Most az (1) sorozat konvergáljon; Bizonyítsuk be a (2) sorozatok konvergenciáját. Ehhez egyszerűen fel kell cserélni az adott sorok szerepét. Mert

akkor a fentiek szerint az (1) sorozat konvergenciája a (2) sorozat konvergenciáját jelenti. 

Ha
at
(a konvergencia szükséges jele), majd a feltételből
, ebből következik És – azonos kicsinységi rendű végtelen kicsinyek (egyenértékű
). Ezért, ha adott egy sorozat , Hol
at
, akkor ehhez a sorozathoz veheti a standard sorozatot , hol a gyakori kifejezés kicsinységi sorrendje megegyezik az adott sorozat általános tagjával.

Ha szabványos sorozatot választ, használhatja a következő táblázatot az egyenértékű infinitezimális számokról
:

1)
; 4)
;

2)
; 5)
;

3)
; 6)
.

8. példa. Vizsgálja meg a sorozatot a konvergencia szempontjából

.

bárkinek
.

Mert
, akkor a harmonikus divergens sorozatot vesszük standard sorozatnak
. Mivel a közös kifejezések arányának határa És véges és különbözik nullától (egyenlő 1), akkor a második összehasonlítási feltétel alapján ez a sorozat divergál.

9. példa.
két összehasonlítási szempont szerint.

Ez a sorozat pozitív, hiszen
, És
. Mivel
, akkor a harmonikus sorozat standard sorozatnak tekinthető . Ez a sorozat eltér, ezért az összehasonlítás első jele szerint a vizsgált sorozat is eltér.

Mivel ennél a sorozatnál és a standard sorozatnál a feltétel teljesül
(itt az 1. figyelemre méltó határértéket használjuk), majd a második összehasonlítási kritérium alapján a sorozatot
– eltér.

5. TÉTEL (D'Alembert teszt)

véges határ van
, akkor a sorozat at
és eltér a
.

Bizonyíték. Hadd
. Vegyünk néhány számot , között kötöttek és 1:
. Az állapottól
ebből az következik, hogy valamilyen számból kiindulva egyenlőtlenség érvényesül

;
;
(5)

Fontolja meg a sorozatot

Az (5) szerint a (6) sorozat egyetlen tagja sem haladja meg a végtelen geometriai progresszió megfelelő tagját
Mivel
, ez a progresszió konvergens. Innentől az első összehasonlítási kritérium miatt a sorozatok konvergenciája következik

Esemény
gondold meg magad.

Megjegyzések :

ebből következik, hogy a sorozat többi része

.

A D'Alembert-próba akkor hasznos a gyakorlatban, ha a sorozat közös tagja exponenciális függvényt vagy faktoriálist tartalmaz.

10. példa. Vizsgálja meg a sorozatot a konvergencia szempontjából D'Alembert jele szerint.

Ez a sorozat pozitív és

.

(Itt a számítás során a L'Hopital-szabályt kétszer alkalmazzuk).

akkor d'Alembert kritériuma szerint ez a sorozat konvergál.

11. példa..

Ez a sorozat pozitív és
. Mivel

akkor ez a sorozat összefolyik.

6. TÉTEL (Cauchy-teszt)

Ha pozitív sorozatra véges határ van
, majd mikor
a sorozat konvergál, és mikor
a sor eltér.

A bizonyítás hasonló az 5. Tételhez.

Megjegyzések :

12. példa. Vizsgálja meg a sorozatot a konvergencia szempontjából
.

Ez a sorozat pozitív, hiszen
bárkinek
. A határérték számítása óta
bizonyos nehézségeket okoz, akkor elhagyjuk a sorozat konvergenciájához szükséges kritérium megvalósíthatóságának ellenőrzését.

akkor a Cauchy-kritérium szerint ez a sorozat eltér.

7. TÉTEL (Maklaurin integráltesztje – Cauchy konvergencia)

Legyen adott egy sorozat

amelyeknek a feltételei pozitívak és nem nőnek:

Engedd tovább
- minden valóshoz definiált függvény
, folyamatos, nem növekszik és