Természetes számok, egész számok, racionális, irracionális, algebrai, transzcendentális. Transzcendentális szám. A Transzcendentális számot jellemző részlet

Ilja Scsurov

Ilya Shchurov matematikus a tizedes törtekről, a Pi szám transzcendenciájáról és irracionalitásáról.

Hogyan segített az „egy” az első városok és nagy birodalmak felépítésében? Hogyan inspiráltad az emberiség kiemelkedő elméit? Milyen szerepet játszott a pénz megjelenésében? Hogyan szövetkezett az „egy” a nullával, hogy uralkodjon modern világ? Az egység története elválaszthatatlanul összefügg az európai civilizáció történetével. Terry Jones humoros utazásra indul, hogy összeállítsa prímszámunk csodálatos történetét. Ebben a programban számítógépes grafikát használva az egység többféle formában kel életre. Az egység története világossá teszi, honnan származnak a modern számok, és hogyan mentett meg a nulla feltalálása attól, hogy ma római számokat kelljen használni.

Jacques Sesiano

Diophantusról keveset tudunk. Azt hiszem, Alexandriában élt. A 4. század előtt egyik görög matematikus sem említi, így valószínűleg a 3. század közepén élt. Diophantus legfontosabb munkája, az Aritmetika (Ἀριθμητικά) 13 „könyv” (βιβλία), azaz fejezet elején játszódik. Ma 10 van belőlük, mégpedig: 6 a görög szövegben és 4 másik a középkori arab fordításban, amelyeknek a helye a görög könyvek közepén van: I-III könyv görögül, IV-VII arabul, VIII-X. görögül. Diophantus „Aritmetika” elsősorban problémák gyűjteménye, összesen körülbelül 260-at, az igazat megvallva, nincs elmélet. csak vannak általános utasításokat a könyv bevezetőjében, és szükség esetén privát megjegyzéseket egyes problémákhoz. Az „aritmetika” már rendelkezik egy algebrai értekezés jellemzőivel. Diophantus első használata különböző jelek az ismeretlen kifejezésére és annak erejére, néhány számításra is; mint a középkor minden algebrai szimbolikája, szimbolikája is matematikai szavakból származik. Ezután Diophantus elmagyarázza a probléma algebrai megoldását. De Diophantus problémái nem a szokásos értelemben vett algebraiak, mert szinte mindegyik egy határozatlan egyenlet vagy ilyen egyenletrendszerek megoldásához vezet.

George Shabat

A kurzus programja: Történelem. Első becslések. A kör kerületének az átmérőjével való összemérhetőségének problémája. Végtelen sorozatok, szorzatok és egyéb kifejezések π-re. Konvergencia és minősége. π-t tartalmazó kifejezések. π-hez gyorsan konvergáló szekvenciák. Modern módszerekπ számításai, számítógépek használata. A π és néhány más szám irracionalitásáról és transzcendenciájáról. A tanfolyam megértéséhez nem szükséges előzetes tudás.

Az Oxfordi Egyetem tudósai szerint a 0 szám legkorábbi ismert használata a helyiérték hiányának jelzésére (mint a 101-es szám esetében) az indiai Bakhshali kézirat szövegének tekintendő.

Vaszilij Pispanen

Ki nem játszott gyerekként a „nevezd meg a legnagyobb számot” játékkal? Már nehéz elképzelni a milliókat, trilliókat és más „-on”-okat az elmédben, de megpróbáljuk megérteni a matematikai „mastodont” - a Graham-számot.

Viktor Kleptsyn

A valós szám a kívánt pontossággal közelíthető racionális számokkal. Mennyire lehet jó egy ilyen közelítés a bonyolultságához képest? Például az x szám decimális jelölésének megtörésével at k-edik számjegy a tizedesvessző után x≈a/10^k közelítést kapunk 1/10^k nagyságrendű hibával. És általában a közelítő tört q nevezőjének rögzítésével pontosan 1/q nagyságrendű hibával közelítést kaphatunk. Lehet-e jobbat csinálni? Az ismert π≈22/7 közelítés 1/1000-es nagyságrendű hibát ad, vagyis egyértelműen sokkal jobbat, mint azt várnánk. Miért? Szerencsénk van, hogy π-nek ilyen közelítése van? Kiderült, hogy bármely irracionális számhoz végtelen sok p/q tört van, amely jobban közelíti, mint 1/q^2. Ezt állítja Dirichlet tétele – és kezdjük a kurzust annak kissé rendhagyó bizonyításával.

1980-ban a Guinness Rekordok Könyve megismételte Gardner állításait, tovább növelve ezzel a számmal kapcsolatos közérdeklődést. Graham száma elképzelhetetlenül sokszor nagyobb, mint más jól ismert nagy számok, mint például a googol, a googolplex, és még nagyobb, mint a Skewes-szám és a Moser-szám. Valójában az egész megfigyelhető univerzum túl kicsi ahhoz, hogy tartalmazza Graham számának szokásos decimális jelölését.

Dmitrij Anosov

Az előadásokat Dmitrij Viktorovics Anosov, a fizikai és matematikai tudományok doktora, professzor, az Orosz Tudományos Akadémia akadémikusa tartja. Nyári iskola"Modern matematika", Dubna. 2002. július 16-18

Erre a kérdésre nem lehet helyes választ adni, mert számsorozat nincs felső határa. Tehát bármely számhoz csak hozzá kell adni egyet, hogy még nagyobb számot kapjon. Bár maguk a számok végtelenek, nem sok tulajdonnevük van, mivel a legtöbbjük megelégszik a kisebb számokból álló nevekkel. Nyilvánvaló, hogy a végső számhalmazban, amelyhez az emberiség saját nevét adta, bizonyosan szerepelnie kell legnagyobb szám. De mi a neve, és mivel egyenlő? Próbáljuk meg ezt kitalálni, és egyúttal megtudni, milyen nagy számokat találtak ki a matematikusok.

Transzcendentális szám

egy szám (valós vagy képzeletbeli), amely egyiket sem elégíti ki algebrai egyenlet(Lásd Algebrai egyenlet) egész együtthatókkal. Így a számszámokat az algebrai számokkal állítják szembe (lásd: Algebrai szám). A T. ch. létezését először J. Liouville állapította meg (1844). Liouville kiindulópontja az a tétele volt, amely szerint egy adott nevezőjű racionális tört adott irracionális algebrai számhoz való közelítési sorrendje nem lehet tetszőlegesen magas. Mégpedig ha az algebrai szám A teljesít egy irreducibilis algebrai fokozategyenletet n egész együtthatókkal, akkor bármely racionális szám esetén c csak attól függ α ). Ezért ha egy adott α irracionális számra meg lehet adni racionális közelítések végtelen halmazát, amely nem tesz eleget az adott egyenlőtlenségnek VelÉs n(minden közelítésre ugyanaz), akkor α a T. h. Egy ilyen számra példa:

A T. számok létezésére egy másik bizonyítékot adott G. Cantor (1874), megjegyezve, hogy az összes algebrai szám megszámlálható (vagyis minden algebrai számokátszámozható; lásd Halmazelmélet), míg az összes valós szám halmaza megszámlálhatatlan.

Ebből az következett, hogy a számok halmaza megszámlálhatatlan, továbbá az is, hogy a számok teszik ki az összes számhalmaz zömét. A T. ch elméletének legfontosabb feladata annak megállapítása, hogy a T. ch elemző funkciók

, amelyek bizonyos aritmetikai és analitikai tulajdonságokkal rendelkeznek az argumentum algebrai értékeire vonatkozóan. Az ilyen jellegű problémák a modern matematika legnehezebb problémái közé tartoznak. 1873-ban C. Hermite bebizonyította, hogy a Nepero-szám F. Lindemann német matematikus 1882-ben általánosabb eredményre jutott: ha α egy algebrai szám, akkorα - T. h. Lipdemann eredményét jelentősen általánosította K. Siegel német matematikus (1930), aki például az érvelés algebrai értékeinek hengeres függvények széles osztályának értékének meghaladását igazolta. 1900-ban, egy párizsi matematikai kongresszuson D. Hilbert a matematika 23 megoldatlan problémája között a következőkre mutatott rá: transzcendentális szám α β , Hol α És β - algebrai számok, és β - irracionális szám, és különösen az e π szám transzcendentális (a számok transzcendenciájának problémája α β privát formában először L. Euler állította színpadra, 1744). Erre a problémára teljes megoldást (megerősítő értelemben) csak 1934-ben kapott az A. O. Gelfond u. Gelfond felfedezéséből különösen az következik, hogy a természetes számok minden decimális logaritmusa (vagyis a „táblázatos logaritmus”) egész szám.

Megvilágított.: Gelfond A. O., Transzcendentális és algebrai számok, M., 1952.

Nagy Szovjet enciklopédia. - M.: Szovjet Enciklopédia. 1969-1978 .

Nézze meg, mi a „transzcendentális szám” más szótárakban:

Olyan szám, amely nem tesz eleget egyetlen egész együtthatós algebrai egyenletnek sem. A transzcendentális számok a következők: szám??3,14159...; bármely olyan egész szám decimális logaritmusa, amelyet nem jelölnek egyesek, amelyeket nullák követnek; szám e=2,71828... és mások... Nagy Enciklopédiai szótár

- (a lat. transzcendere-ből átmenni, felülmúlni) ez valóságos ill komplex szám, ami nem algebrai, más szóval olyan szám, amely nem lehet egész együtthatós polinom gyöke. Tartalom 1 Tulajdonságok 2 ... ... Wikipédia

Olyan szám, amely nem tesz eleget egyetlen egész együtthatós algebrai egyenletnek sem. A transzcendentális számok a következők: π szám = 3,14159...; bármely olyan egész szám decimális logaritmusa, amelyet nem jelölnek egyesek, amelyeket nullák követnek; e szám = 2,71828... stb... Enciklopédiai szótár

Olyan szám, amely nem felel meg egyetlen algebrának sem. egyenlet egész együtthatókkal. Beleértve: PI szám = 3,14159...; bármely olyan egész szám decimális logaritmusa, amelyet nem jelölnek egyesek, amelyeket nullák követnek; e szám = 2,71828... stb... Természettudomány. Enciklopédiai szótár

Olyan szám, amely nem a gyöke egyetlen egész együtthatós polinomnak sem. Az ilyen számok definíciós tartománya a valós, komplex és radikális számok nullája. A valódi T. részek létezését és kifejezett konstrukcióit J. Liouville támasztotta alá... ... Matematikai Enciklopédia

Nem algebrai egyenlet. Ezek tipikusan exponenciális, logaritmikus, trigonometrikus, inverz trigonometrikus függvényeket tartalmazó egyenletek, például: Szigorúbb definíció: A transzcendentális egyenlet egy egyenlet ... Wikipédia

Egy körülbelül 2,718-cal egyenlő szám, amely gyakran megtalálható a matematikában és a természettudományok. Például, amikor egy radioaktív anyag t idő után bomlik, az anyag kezdeti mennyiségéből e kt-val egyenlő hányad marad, ahol k egy szám,... ... Collier enciklopédiája

E egy matematikai állandó, a természetes logaritmus alapja, egy irracionális és transzcendentális szám. Néha az e számot Euler-számnak (nem tévesztendő össze az úgynevezett első típusú Euler-számokkal) vagy Napier-számnak nevezik. Kisbetűs latin „e” betűvel jelölve... ... Wikipédia

E egy matematikai állandó, a természetes logaritmus alapja, egy irracionális és transzcendentális szám. Néha az e számot Euler-számnak (nem tévesztendő össze az úgynevezett első típusú Euler-számokkal) vagy Napier-számnak nevezik. Kisbetűs latin „e” betűvel jelölve... ... Wikipédia

A „transzcendentális” szót általában a transzcendentális meditációhoz és a különféle ezotériákhoz kötik. De ahhoz, hogy helyesen használhassa, legalább meg kell különböztetnie a „transzcendentális” kifejezéstől, és legfeljebb emlékeznie kell Kant és más filozófusok munkáiban betöltött szerepére.

Ez a fogalom a latin transzcendens szóból származik - „áthaladni”, „felülmúlni”, „túllépni”. Általában olyasmit jelöl, ami az empirikus tudás számára alapvetően hozzáférhetetlen, vagy nem tapasztalaton alapul. A kifejezés előfeltételei a neoplatonizmus filozófiájában merültek fel - a mozgalom alapítója, Plotinus megalkotta az Egy tanát - a minden jó első princípiumát, amely sem gondolati erőfeszítéssel, sem érzékszervi segítségével nem ismerhető fel. tapasztalat. „Az Egy nem lény, hanem a szülője” – magyarázza a filozófus.

A „transzcendens” kifejezés a legteljesebben Immanuel Kant filozófiájában tárult fel, ahol a tudattól függetlenül létező, érzékszerveinkre ható, alapvetően megismerhetetlen dolgok jellemzésére használták, mind a gyakorlatban, mind az elméletben. A transzcendencia ellentéte: vagy egy tárgy elidegeníthetetlenségét, bármely minőségének belső kapcsolatát jelenti magával a tárggyal, vagy a tárgy felismerhetőségét. személyes tapasztalat. Például, ha feltételezzük, hogy az Univerzum valamilyen magasabb rendű terv szerint jött létre, akkor maga a terv transzcendentális számunkra – csak hipotéziseket építhetünk fel róla. De ha ez a terv a valóságban létezik, következményei immanensek számunkra, és megnyilvánulnak fizikai törvényekés milyen körülmények között találjuk magunkat. Ezért bizonyos teológiai felfogásokban Isten transzcendentális, és kívül esik az általa teremtett létezésen.

Egyes dolgok önmagukban még mindig hozzáférhetők az a priori tudás számára: például a tér és az idő, az Isten elképzelései, a jóság és a szépség, a logikai kategóriák. Vagyis a transzcendentális tárgyak képletesen szólva „alapértelmezetten előre be vannak állítva” a tudatunkban

A transzcendencia fogalma a matematikában is létezik: a transzcendentális szám olyan szám, amelyet nem lehet algebra segítségével kiszámítani vagy algebrailag kifejezni (vagyis nem lehet nullával nem azonos egész együtthatójú polinom gyöke). Ide tartoznak például a π és e számok.

A „transzcendentális”-hoz közel álló, de jelentésében eltérő fogalom a „transzcendentális”. Kezdetben egyszerűen az absztrakt mentális kategóriák területét jelölte, később pedig Kant fejlesztette ki, saját csapdájába esve: kiderült, hogy lehetetlen csak empirikus adatokra filozófiai rendszert építeni, és nem ismerte fel. az empirikun kívül más tapasztalati források. A kijutáshoz a filozófusnak el kellett ismernie, hogy bizonyos dolgok önmagukban még mindig hozzáférhetők az a priori tudás számára: például a tér és az idő, az Isten eszméi, a jóság és a szépség, a logikai kategóriák. Vagyis a transzcendentális objektumok képletesen szólva „alapértelmezés szerint előre telepítve vannak” az elménkben – miközben a róluk szóló információ önmagában létezik, és nem következik a tapasztalatunkból.

Van egy másik kapcsolódó fogalom - a transzcendencia. A szó legtágabb értelmében a határ átmenetét jelenti két különálló terület között, különösen az e világ szférájából a túlvilági, transzcendentális szférába való átmenetet. Az egyszerűség kedvéért vegyünk egy sci-fi példát: párhuzamos világ Mert hétköznapi ember- transzcendentális jelenség. De amikor a hős ebben a párhuzamos világban találja magát, vagy valamilyen módon képes érzékelni azt, ez transzcendencia. Vagy egy bonyolultabb példa az egzisztenciális filozófiából: Jean-Paul Sartre úgy gondolta, hogy az ember transzcendentális, mert túllép minden lehetséges személyes tapasztalaton: tanulmányozhatjuk önmagunkat és a körülöttünk lévő világot különböző szemszögekből, de a teljes megismerés közelébe sem kerülünk. magunkat. De ugyanakkor az emberben megvan a transzcendálás képessége: minden dolgot túlszárnyal, valami értelmet adva neki. A transzcendencia fontos eleme a vallásnak: segít az embernek megszabadulni anyagi természetétől, és megérinteni valamit, ami azon túl van.

A filozófiából a transzcendentitás fogalma a pszichológiába vándorolt: Carl Jung svájci pszichológus bevezette a „transzcendentális funkció” fogalmát – ez egy olyan funkció, amely egyesíti a tudatost és a tudattalant. A pszichoanalitikus különösen transzcendentális funkciót tölthet be - segít a páciensnek elemezni a tudattalan képeit (például az álmokat), és összekapcsolja azokat a pszichéjében zajló tudatos folyamatokkal.

Hogyan beszéljünk

Helytelen: „Regisztráltam egy transzcendentális meditációs órára.” Így van – „transzcendentális”.

Helyes: „Amikor belépek a templomba, azt az érzést tapasztalom, hogy egybeolvadok valami transzcendentálissal.”

Helyesen: „A művészet túlmutat az anyagi világból ismert tárgyakon, és magasabb jelentéssel tölti meg azokat.”

Transzcendentális szám- olyan komplex szám, amely nem algebrai, azaz nem a racionális együtthatókkal rendelkező nullától eltérő polinom gyöke.

A transzcendentális számok létezését először J. Liouville állapította meg 1844-ben; Ő alkotta meg az ilyen számok első példáit is. Liouville megfigyelte, hogy az alebrai számokat nem lehet "túl jól" racionális számokkal közelíteni. Liouville tétele ugyanis kimondja, hogy ha egy algebrai szám egy racionális együtthatós fokszámú polinom gyöke, akkor bármely racionális számra a következő egyenlőtlenség áll fenn:

ahol az állandó csak attól függ. Ebből a kijelentésből az következik elegendő bizonyíték transzcendencia: ha egy szám olyan, hogy bármely állandóra van egy végtelen racionális számhalmaz, amely kielégíti az egyenlőtlenségeket

hogy transzcendentális. A későbbiekben az ilyen számokat Liouville-számoknak hívták. Ilyen számra példa az

A transzcendentális számok létezésére újabb bizonyítékot szerzett G. Cantor 1874-ben az általa megalkotott halmazelmélet alapján. Cantor bebizonyította, hogy az algebrai számok halmaza megszámlálható, a valós számok halmaza pedig megszámlálhatatlan, ami azt jelenti, hogy a transzcendentális számok halmaza megszámlálhatatlan. Liouville bizonyításával ellentétben azonban ezek az érvek nem teszik lehetővé, hogy legalább egy ilyen számra példát adjunk.

Liouville munkája a transzcendentális számok elméletének egy egész szakaszát eredményezte – az algebrai számok racionális vagy általánosabban algebrai számokkal való közelítésének elméletét. Liouville tételét sok matematikus megerősítette és általánosította. Ez lehetővé tette a transzcendentális számok új példáinak megalkotását. Így K. Mahler megmutatta, hogy ha egy nem konstans polinom, amely nem negatív egész értékeket vesz fel minden természetes számra, akkor bármely természetes szám esetében, ahol egy szám a gyökérszámrendszerben van írva, transzcendentális, de nem Liouville-szám. Például és -vel a következő elegáns eredményt kapjuk: szám

transzcendentális, de nem Liouville-szám.

1873-ban C. Hermite más ötleteket használva bebizonyította a Neper-szám (a természetes logaritmus alapja) transzcendenciáját:

Hermite elképzeléseit kidolgozva F. Lindemann 1882-ben bebizonyította a szám transzcendenciáját, ezzel véget vetett a kör négyzetre emelésének ősi problémájának: iránytűvel és vonalzóval lehetetlen egyenlő méretű négyzetet alkotni (vagyis ugyanaz a terület) adott körre. Általánosabban Lindemann kimutatta, hogy bármely algebrai szám esetében egy szám transzcendentális. Ekvivalens megfogalmazás: bármely algebrai számra, kivéve a és, természetes logaritmusa transzcendentális szám.

1900-ban a párizsi Matematikusok Kongresszusán D. Hilbert a matematika 23 megoldatlan problémája közül a következőket emelte ki, L. Euler által meghatározott formában:

Hadd És algebrai számok, és transzcendentális? Konkrétan a számok transzcendentálisak? És?

Ez a probléma a következő formában ismételhető meg, közel Euler eredeti megfogalmazásához:

Hadd És - eltérő algebrai számok és ráadásul természetes logaritmusaik aránya irracionális. Lesz-e szám transzcendentális?

A probléma első részleges megoldását 1929-ben A. O. Gelfond találta meg, aki különösen a szám transzcendenciáját bizonyította. 1930-ban R. O. Kuzmin továbbfejlesztette Gelfond módszerét, különösen sikerült bebizonyítania egy szám transzcendenciáját. Az Euler-Hilbert probléma teljes megoldását (megerősítő értelemben) A. O. Gelfond és T. Schneider egymástól függetlenül kapta meg 1934-ben.

A. Baker 1966-ban általánosította Lindemann és Gelfond-Schneider tételeit, bizonyítva különösen az alak tetszőleges véges számú és algebrai számok szorzatának túllépését természetes korlátozások mellett.

1996-ban Yu.V. Neszterenko bebizonyította az Eisenstein-sorok értékeinek algebrai függetlenségét, és különösen a számokat és. Ez azt jelenti, hogy tetszőleges számú alak transzcendenciája, ahol egy nem nulla racionális függvény algebrai együtthatókkal. Például a sorozat összege transzcendentális lesz

1929-1930-ban K. Mahler egy sor műben új módszert javasolt az analitikus függvények értékei transzcendenciájának bizonyítására, amelyek egy bizonyos típusú funkcionális egyenleteket kielégítenek (később az ilyen függvényeket Mahler-függvényeknek nevezték).

A transzcendentális számok elméletének módszerei a matematika más ágaiban is alkalmazásra találtak, különösen a diofantini egyenletek elméletében.