Végtelenül nagy tulajdonságfüggvények. Végtelenül kicsi és végtelenül nagy funkciók. Infinitezimális függvények

Infinitezimálisok és nagyok számítása

Infinitezimális számítás- infinitezimális mennyiségekkel végzett számítások, amelyekben a származtatott eredményt a végtelen kicsinyek végtelen összegének tekintjük. Az infinitezimális számítás az általános koncepció differenciál- és integrálszámításhoz, amelyek a modern felsőbb matematika alapját képezik. Az infinitezimális mennyiség fogalma szorosan összefügg a határ fogalmával.

Elenyésző

Utóbbi a n hívott elenyésző, Ha . Például egy számsorozat végtelenül kicsi.

A függvényt hívják végtelenül kicsi egy pont közelében x 0 ha .

A függvényt hívják végtelenül kicsi a végtelenben, Ha vagy .

Szintén infinitezimális az a függvény, amely a függvény és a határértéke közötti különbség, azaz ha , Azt f(x) − a = α( x) , .

Végtelenül nagy mennyiség

Az összes alábbi képletben az egyenlőségtől jobbra lévő végtelenségnek van egy bizonyos jele (vagy „plusz” vagy „mínusz”). Ez például a függvény x bűn x, mindkét oldalon korlátlan, nem végtelenül nagy -nál.

Utóbbi a n hívott végtelenül nagy, Ha .

A függvényt hívják végtelenül nagy egy pont közelében x 0 ha .

A függvényt hívják végtelenül nagy a végtelenben, Ha vagy .

A végtelenül kicsi és a végtelenül nagy tulajdonságai

Infinitezimálisok összehasonlítása

Hogyan hasonlítsuk össze a végtelenül kicsi mennyiségeket?
Az infinitezimális mennyiségek aránya alkotja az úgynevezett bizonytalanságot.

Meghatározások

Tegyük fel, hogy infinitezimális α( x) és β( x) (vagy ami a definíció szempontjából nem fontos, infinitezimális sorozatok).

Az ilyen határértékek kiszámításához célszerű a L'Hopital-szabályt használni.

Összehasonlítási példák

Használata KÖRÜLBELÜL-szimbolika, a kapott eredményeket a következő formában írhatjuk fel x 5 = o(x 3). IN ebben az esetben a feljegyzések helyesek 2x 2 + 6x = O(x) És x = O(2x 2 + 6x).

Egyenértékű értékek

Meghatározás

Ha , akkor az α és β végtelenül kicsiny mennyiségeket nevezzük egyenértékű ().
Nyilvánvaló, hogy az ekvivalens mennyiségek az azonos kicsinységi nagyságrendű végtelenül kicsi mennyiségek speciális esetét jelentik.

Ha a következő ekvivalencia viszonyok érvényesek (az ún. figyelemre méltó határok következményeként):

Tétel

Két végtelenül kicsi mennyiség hányadosának (arányának) határa nem változik, ha az egyiket (vagy mindkettőt) egy ekvivalens mennyiségre cseréljük.

Ennek a tételnek gyakorlati jelentősége van a határok megtalálásakor (lásd a példát).

Használati példa

Csere sénn 2x egyenértékű érték 2 x, megkapjuk

Történelmi vázlat

Az „infinitezimális” fogalmát már az ókorban tárgyalták az oszthatatlan atomok fogalmával kapcsolatban, de a klasszikus matematikában nem szerepelt. A 16. században az „oszthatatlanok módszerének” megjelenésével újjáéledt – a vizsgált figurát végtelenül kis részekre osztva.

A 17. században megtörtént az infinitezimális számítás algebraizálása. Olyan numerikus mennyiségekként kezdték meghatározni őket, amelyek kisebbek bármely véges (nem nulla) mennyiségnél, és mégsem egyenlők nullával. Az elemzés művészete abból állt, hogy felállítottunk egy infinitezimálisokat (differenciálokat) tartalmazó relációt, majd integráltuk azt.

A régi iskola matematikusai próbára teszik a koncepciót elenyésző kemény kritika. Michel Rolle azt írta, hogy az új kalkulus: zseniális hibák halmaza"; Voltaire maróan megjegyezte, hogy a kalkulus olyan dolgok kiszámításának és pontos mérésének művészete, amelyek létezését nem lehet bizonyítani. Még Huygens is elismerte, hogy nem értette a magasabb rendű különbségek jelentését.

A sors iróniájának tekinthető a nem szabványos elemzések század közepén történő megjelenése, amely bebizonyította, hogy az eredeti nézőpont - a tényleges infinitezimálisok - is konzisztens volt, és az elemzés alapjául szolgálhat.

Lásd még

Wikimédia Alapítvány.

2010.

Nézze meg, mi az „infinitezimális mennyiség” más szótárakban: VÉGTELEN KIS MENNYISÉG - változó mennyiség egy bizonyos folyamatban, ha ebben a folyamatban végtelenül közelít (hajlik) a nullához...

Nagy Politechnikai Enciklopédia Elenyésző - ■ Valami ismeretlen, de a homeopátiához kapcsolódó...

Közös igazságok lexikona Funkció y=f(x) elenyésző hívott at x→a x vagy mikor

→∞, ha vagy , azaz. Az infinitezimális függvény olyan függvény, amelynek határértéke egy adott pontban nulla.

Példák. 1. Funkció=(x f(x) x-1) 2 infinitezimális at

→1, mivel (lásd az ábrát). 1. Funkció 2. Funkció x= tg x→0.

3. 1. Funkció– végtelenül kicsi at x= log(1+ x→0.

4. 1. Funkció = 1/x) – végtelenül kicsi x→∞.

– végtelenül kicsi at

Hozzuk létre a következő fontos kapcsolatot: Tétel. Funkció Ha a funkció at-val reprezentálható állandó szám összegeként b és végtelenül kicsiny nagyságrendűα(x): f(x)=b+ α(x)

Az . Fordítva, ha , akkor f(x)=b+α(x) , Hol= tg fejsze)

x→a..

1. Bizonyítsuk be az állítás első részét! Az egyenlőségtől f(x)=b+α(x) kellene |f(x) – b|=| α|. De mióta , Hol infinitezimális, akkor tetszőleges ε esetén van δ – a pont szomszédsága a, mindenki előtt x ahonnan, értékek , Hol kielégíti a kapcsolatot |α(x)|< ε. Majd |f(x) – b|< ε. Ez pedig azt jelenti.

2. Ha , akkor bármely ε esetén >0 mindenkinek X valamilyen δ – egy pont szomszédságából a akarat |f(x) – b|< ε. De ha jelöljük f(x) – b= α, Azt |α(x)|< ε, ami azt jelenti a– végtelenül kicsi.

Tekintsük az infinitezimális függvények alapvető tulajdonságait.

1. tétel. Kettő, három és általában tetszőleges számú infinitezimális algebrai összege végtelen kicsi függvény.

x→a.. Bizonyítsunk két kifejezésre. Hadd f(x)=α(x)+β(x), hol és . Be kell bizonyítanunk, hogy tetszőleges tetszőlegesen kicsi ε esetén > 0 talált δ> 0, olyan, hogy x, kielégítve az egyenlőtlenséget |x – a|<δ , végrehajtják |f(x)|< ε.

Tehát rögzítsünk egy tetszőleges ε számot > 0. Mivel a tétel feltételei szerint α(x) egy infinitezimális függvény, akkor van ilyen δ 1 > 0, ami |x – a|< δ 1 van |α(x)|< ε / 2. Ugyanígy, mióta β(x) végtelenül kicsi, akkor van ilyen δ 2 > 0, ami |x – a|< δ 2 van | β(x)|< ε / 2.

Vegyük δ=min(δ 1 , δ2 } .Akkor a pont környékén a sugár δ mindegyik egyenlőtlenség teljesülni fog |α(x)|< ε / 2 és | β(x)|< ε / 2. Ezért ezen a környéken lesz

|f(x)|=| α(x)+β(x)| ≤ |α(x)| + | β(x)|< ε /2 + ε /2= ε,

azok. |f(x)|< ε, amit bizonyítani kellett.

2. tétel. Egy infinitezimális függvény szorzata , Hol korlátozott funkcióhoz 1. Funkció hívott at(vagy mikor x→∞) egy végtelenül kicsi függvény.

x→a.. A funkció óta 1. Funkció korlátozott, akkor van egy szám M olyan, hogy minden értékre x egy pont valamelyik környékéről a|f(x)|≤M. Ráadásul mivel , Hol egy végtelenül kicsi függvény at at, akkor tetszőleges ε-re > 0 van a pont szomszédsága a, amelyben az egyenlőtlenség érvényesül |α(x)|< ε /M. Aztán a kisebbik környéken van | αf|< ε /M= ε. Ez pedig azt jelenti af– végtelenül kicsi. Az alkalomra x→∞ a bizonyítás is hasonlóan történik.

A bizonyított tételből az következik:

Következmény 1. Ha és akkor.

Következmény 2. Ha és c= const, akkor .

3. tétel. Egy infinitezimális függvény aránya α(x) függvényenként 1. Funkció, amelynek határértéke eltér nullától, egy infinitezimális függvény.

x→a.. Hadd . Aztán 1 /f(x) korlátozott funkciója van. Ezért a tört egy infinitezimális függvény és egy korlátozott függvény szorzata, azaz. függvény végtelenül kicsi.

Alapértelmezett: A függvényt hívják elenyésző at , ha .

A „ ” jelölésben ezt feltételezzük x 0 végső értéket vehet fel: x 0= Сonst, és végtelen: x 0= ∞.

Az infinitezimális függvények tulajdonságai:

1) Véges számú infinitezimális függvény algebrai összege a függvények infinitezimális összege.

2) Véges számú infinitezimális függvény szorzata egy infinitezimális függvény.

3) Egy korlátos függvény és egy infinitezimális függvény szorzata egy infinitezimális függvény.

4) Egy végtelenül kicsi függvénynek egy nullától eltérő határértékkel való osztásának hányadosa egy infinitezimális függvény.

Példa: Funkció y = 2 + x végtelenül kicsi a , mert .

Alapértelmezett: A függvényt hívják végtelenül nagy at , ha .

A végtelenül nagy függvények tulajdonságai:

1) A végtelenül nagy függvények összege végtelenül nagy függvény.

2) Egy végtelenül nagy függvény és egy olyan függvény szorzata, amelynek határértéke nem nulla, végtelenül nagy függvény.

3) Egy végtelenül nagy függvény és egy korlátos függvény összege végtelenül nagy függvény.

4) Ha végtelenül nagy függvényt osztunk el egy véges határértékkel rendelkező függvénnyel, az egy végtelenül nagy függvény.

Példa: Funkció y= végtelenül nagy -nál, mert .

Hozzuk létre a következő fontos kapcsolatot:A végtelenül kicsi és a végtelenül nagy mennyiségek kapcsolata. Ha egy függvény végtelenül kicsi -ben, akkor a függvény végtelenül nagy -ben. És fordítva, ha egy függvény végtelenül nagy -ben, akkor a függvény végtelenül kicsi -ben.

Két infinitezimális arányát általában a szimbólummal, két infinitezimális arányát a szimbólummal jelöljük. Mindkét reláció határozatlan abban az értelemben, hogy a határértéke létezhet vagy nem, egy bizonyos számmal egyenlő vagy végtelen, attól függően, hogy a határozatlan kifejezésekben milyen konkrét függvények szerepelnek.

A típus- és bizonytalanságokon kívül a következő kifejezések:

Az azonos előjelű végtelenül nagyok különbsége;

Egy infinitezimális és egy végtelen nagy szorzata;

Egy exponenciális függvény, amelynek bázisa 1-re, kitevője pedig ;

Exponenciális függvény, amelynek bázisa végtelenül kicsi, kitevője pedig végtelenül nagy;

Exponenciális függvény, amelynek bázisa és kitevője végtelenül kicsi;

Exponenciális függvény, amelynek bázisa végtelenül nagy, kitevője pedig végtelenül kicsi.

Azt mondják, hogy van a megfelelő típusú bizonytalanság. A limitszámítást ezekben az esetekben hívják bizonytalanságot árul el. A bizonytalanság feltárására a határjel alatti kifejezést olyan formává alakítjuk, amely nem tartalmaz bizonytalanságot.

A határértékek kiszámításakor a határértékek tulajdonságait, valamint a végtelenül kicsi és a végtelenül nagy függvények tulajdonságait használjuk.

Nézzünk példákat különböző határértékek számításaira.

1) . 2) .

4) , mert egy infinitezimális at függvény és egy korlátos függvény szorzata végtelenül kicsi.

5) . 6) .

7) = =

. Ebben az esetben volt egy típusbizonytalanság, amit a polinomok faktorálásával és közös faktorra redukálásával oldottak meg.

= .

Ebben az esetben volt egy típusú bizonytalanság, amelyet úgy oldottak meg, hogy a számlálót és a nevezőt megszorozták a kifejezéssel, a képlet felhasználásával, majd a törtet (+1) csökkentették.

9)
. Ebben a példában a típus-bizonytalanságot úgy mutattuk ki, hogy a tört számlálóját és nevezőjét elosztottuk a vezető hatvánnyal.

Csodálatos határok

Az első csodálatos határ : .

Bizonyíték. Tekintsük az egységkört (3. ábra).

3. ábra. Egységkör

Hadd X– a középponti szög radián mértéke MOA(), Akkor OA = R= 1, MK= bűn x, AT= tg x. A háromszögek területeinek összehasonlítása OMA, OTAés ágazatok OMA, kapunk:

,

.

Ossza el az utolsó egyenlőtlenséget a bűnnel x, kapunk:

.

Mivel at , akkor tulajdonság 5) határértékei szerint

Innen származik az inverz érték, amit bizonyítani kellett.

Megjegyzés: Ha a függvény infinitezimális -nél, azaz. , akkor az első figyelemre méltó határ a következőképpen alakul:

.

Nézzünk példákat az első figyelemre méltó határértéket használó határszámításokra.

Ennek a határértéknek a kiszámításakor a trigonometrikus képletet használtuk: .

.

Nézzünk példákat a határérték számításokra a második figyelemre méltó határérték használatával.

2) .

3) . Típusbizonytalanság van. Akkor cseréljünk; at .

Egy végtelenül nagy sorozat definíciója adott. A végtelenben lévő pontok szomszédságára vonatkozó fogalmakat vizsgáljuk. Adott egy sorozat határának univerzális definíciója, amely mind a véges, mind a végtelen határokra vonatkozik. Példákat veszünk a végtelenül nagy sorozat definíciójának alkalmazására.

Tartalom

Lásd még: A sorozathatár meghatározása

Meghatározás

Utóbbi (βn) végtelenül nagy sorozatnak nevezzük, ha bármely M számra, függetlenül attól, hogy mekkora, létezik M-től függő N M természetes szám úgy, hogy minden n > N M természetes számra érvényes az egyenlőtlenség
|βn | >M.
Ebben az esetben írnak
.
Vagy at .
Azt mondják, hogy a végtelenbe hajlik, ill a végtelenbe konvergál.

Ha valamelyik N számból kiindulva 0 , Azt
( plusz végtelenbe konvergál).
Ha akkor
( konvergál a mínusz végtelenhez).

Írjuk fel ezeket a definíciókat a létezés és az egyetemesség logikai szimbólumaival:
(1) .
(2) .
(3) .

A (2) és (3) határértékkel rendelkező sorozatok egy végtelenül nagy sorozat (1) speciális esetei. Ezekből a definíciókból az következik, hogy ha egy sorozat határértéke egyenlő plusz vagy mínusz végtelennel, akkor egyenlő a végtelennel is:
.
Ennek a fordítottja természetesen nem igaz. A sorozat tagjainak váltakozó jelei lehetnek. Ebben az esetben a határ egyenlő lehet a végtelennel, de konkrét előjel nélkül.

Vegye figyelembe azt is, hogy ha valamilyen tulajdonság teljesül egy tetszőleges sorozatra, amelynek határértéke a végtelen, akkor ugyanez a tulajdonság érvényes egy olyan sorozatra is, amelynek határértéke egyenlő plusz vagy mínusz végtelennel.

Számos számítástechnikai tankönyvben a végtelenül nagy sorozat definíciója kimondja, hogy az M szám pozitív: M > 0 .

Ez a követelmény azonban szükségtelen. Ha törlik, akkor nem merül fel ellentmondás. Csak a kicsi vagy negatív értékek nem érdekelnek minket. Érdekel bennünket a sorozat viselkedése M tetszőlegesen nagy pozitív értékeire. > 0 Ezért ha szükség van rá, akkor M alulról bármely előre meghatározott a számmal korlátozható, azaz feltételezhetjük, hogy M > a.

Ha ε-t - a végpont környékét definiáltuk, akkor az ε követelményt

fontos. Negatív értékek esetén az egyenlőtlenség egyáltalán nem teljesíthető.

Pontok szomszédsága a végtelenben
Amikor véges határokat vettünk figyelembe, bevezettük a pont szomszédságának fogalmát. Emlékezzünk vissza, hogy egy végpont szomszédsága egy nyitott intervallum, amely ezt a pontot tartalmazza. Bevezethetjük a végtelenben lévő pontok szomszédságának fogalmát is. Legyen M tetszőleges szám.
A "végtelen" pont szomszédsága Legyen M tetszőleges szám.
, , halmaznak nevezzük. Legyen M tetszőleges szám.

A pont szomszédsága "plusz a végtelen"
(4) ,
A "mínusz végtelen" pont közelében 1 Szigorúan véve a "végtelen" pont szomszédsága a halmaz 2 ahol M

és M

- tetszőleges pozitív számok. Az első definíciót fogjuk használni, mivel az egyszerűbb. Bár az alábbiakban leírtak a (4) definíció használatakor is igazak..
Egy a pont (véges vagy végtelenben) egy sorozat határértéke, ha ennek a pontnak bármely szomszédságára létezik olyan N természetes szám, hogy a sorozat minden eleme számokkal ebbe a szomszédságba tartozik.

Így ha létezik határ, akkor az a pont környezetén kívül a sorozatnak csak véges számú tagja, vagy üres halmaza lehet. Ez a feltétel szükséges és elégséges. Ennek a tulajdonságnak a bizonyítása pontosan ugyanaz, mint a véges határok esetében.

Egy konvergens sorozat szomszédsági tulajdonsága
Ahhoz, hogy egy a pont (véges vagy végtelenben) legyen a sorozat határa, szükséges és elegendő, hogy ennek a pontnak a szomszédságán kívül legyen véges számú tagja a sorozatnak vagy egy üres halmaz.
Bizonyíték .

Néha bevezetik az ε fogalmát is – a végtelenben lévő pontok szomszédságait.
Emlékezzünk vissza, hogy egy véges a pont ε-szomszédsága a halmaz.
Bemutatjuk következő kijelölés. Jelölje ε az a pont környékét.
.
Aztán a végponthoz
;
;
.
A végtelenben lévő pontokhoz:

Az ε-szomszédságok fogalmát felhasználva egy újabb univerzális definíciót adhatunk egy sorozat határának: Egy a pont (terminális vagy végtelen) a sorozat határa, ha van ilyen ε > 0 pozitív szám
.

van egy ε-től függő N ε természetes szám úgy, hogy minden n > N ε számra az x n tagok az a pont ε-környékéhez tartoznak:
.

A létezés és az egyetemesség logikai szimbólumait felhasználva ez a meghatározás a következőképpen írható fel:

Példák végtelenül nagy sorozatokra

.

.
1. példa
(1) .
Írjuk fel egy végtelenül nagy sorozat definícióját:
.

A mi esetünkben
.
Bevezetjük a számokat, és összekapcsoljuk őket egyenlőtlenségekkel:
.
Az egyenlőtlenségek tulajdonságai szerint, ha és , akkor
Vegye figyelembe, hogy ez az egyenlőtlenség bármely n-re érvényes.
Ezért a következőképpen választhat:

at ;
.
at .

Tehát bármelyikre találhatunk olyan természetes számot, amely kielégíti az egyenlőtlenséget.

Akkor mindenkinek,
.

(2) .
Ez azt jelenti, hogy .
.

Vagyis a sorozat végtelenül nagy.
.
.

2. példa
.
Egy végtelenül nagy sorozat definícióját használva mutasd meg, hogy

.

Az adott sorozat általános tagjának alakja:

Akkor mindenkinek,
.

Írja be a számokat és:
(3) .
Ez azt jelenti, hogy .
.

Vagyis a sorozat végtelenül nagy.
.
Ekkor bárki találhat egy természetes számot, amely kielégíti az egyenlőtlenséget, tehát mindenki számára
.

Mivel bármelyikre találhatunk olyan természetes számot, amely kielégíti az egyenlőtlenséget, akkor
.

Adott, N-ként tetszőleges természetes számot vehetünk, amely kielégíti a következő egyenlőtlenséget:
.

4. példa

Akkor mindenkinek,
.

Írjuk fel a sorozat általános tagját:
.
Írjuk fel a plusz végtelennel egyenlő sorozat határértékét:
(2) .

Mivel n természetes szám, n = 1, 2, 3, ... , Azt
;
;
.

Bevezetjük a számokat és az M-et, összekapcsolva őket egyenlőtlenségekkel:
.
Ekkor bárki találhat egy természetes számot, amely kielégíti az egyenlőtlenséget, tehát mindenki számára
.

Tehát bármely M számra találhatunk olyan természetes számot, amely kielégíti az egyenlőtlenséget.
.
Egy végtelenül nagy sorozat definícióját használva mutasd meg, hogy

Akkor mindenkinek,
Felhasznált irodalom: L.D. Kudrjavcev. Jól matematikai elemzés
. 1. kötet Moszkva, 2003.

CM. Nikolszkij. Matematikai elemzés tanfolyam. 1. kötet, Moszkva, 1983.

Lásd még:

Infinitezimális függvények elenyésző A %%f(x)%% függvény meghívásra kerül

(b.m.) %%x \to a \in \overline(\mathbb(R))%%, ha az argumentum ezen tendenciájával a függvény határértéke nulla.

A b.m. fogalma. A függvény elválaszthatatlanul kapcsolódik az argumentumát módosító utasításokhoz. Beszélhetünk a b.m. függvények: %%a \to a + 0%% és %%a \to a - 0%%. Általában b.m. a függvényeket a görög ábécé első betűivel jelöljük %%\alpha, \beta, \gamma, \ldots%%

1. Példák
2. A %%f(x) = x%% függvény a b.m. %%x \to 0%%, mivel a határa a %%a = 0%% pontban nulla. A kétoldali határ és az egyoldali határ kapcsolatáról szóló tétel szerint ez a függvény b.m. mind a %%x \to +0%% és a %%x \to -0%% értékkel.

Függvény %%f(x) = 1/(x^2)%% - b.m. %%x \to \infty%% között (valamint %%x \to +\infty%% és %%x \to -\infty%%) között. Nem nulla állandó szám, bármilyen kicsi is abszolút érték

, nem b.m. funkció. Állandó számok esetén az egyetlen kivétel a nulla, mivel a %%f(x) \equiv 0%% függvény nulla határértékkel rendelkezik.

Tétel

A %%f(x)%% függvénynek a kiterjesztett számsor %%a \in \overline(\mathbb(R))%% pontjában van egy végső határértéke, amely akkor és csak a %%b%% számmal egyenlő ha ez a függvény egyenlő ennek a számnak a %%b%% és a b.m összegével. %%\alpha(x)%% függvények %%x \to a%%, vagy $$ \exists~\lim\limits_(x \to a)(f(x)) = b \in \mathbb(R ) \Baljobbra nyíl \bal(f(x) = b + \alpha(x)\jobbra) \land \left(\lim\limits_(x \to a)(\alpha(x) = 0)\jobbra). $$

Infinitezimális függvények tulajdonságai

1. A %%c_k = 1~ \forall k = \overline(1, m), m \in \mathbb(N)%%, határértékre való áthaladás szabályai szerint a következő állítások következnek:
2. A végső szám összege a b.m. függvények %%x-hez \to a%% a b.m. itt: %%x \to a%%.

Termék b.m. függvények %%x \to a%% pontban, és egy függvény, amely az a pont %%\stackrel(\circ)(\text(U))(a)%% pontjában van átszúrva, ott van b.m. a %%x \to a%% függvényben.

Nyilvánvaló, hogy egy állandó függvény és a b.m szorzata. %%x \to a%% között van b.m. függvény: %%x \to a%%.

Egyenértékű infinitezimális függvények

A %%\alpha(x), \beta(x)%% végtelen kicsi függvények a %%x \to a%% esetén egyenértékűés írja be a %%\alpha(x) \sim \beta(x)%%, ha

$$ \lim\limits_(x \to a)(\frac(\alpha(x))(\beta(x))) = \lim\limits_(x \to a)(\frac(\beta(x) )(\alpha(x))) = 1. $$

Tétel a b.m pótlásáról. funkciók egyenértékűek

Legyen %%\alpha(x), \alpha_1(x), \beta(x), \beta_1(x)%% b.m. függvények %%x \to a%%, %%\alpha(x) \sim \alpha_1(x); \beta(x) \sim \beta_1(x)%%, majd $$ \lim\limits_(x \to a)(\frac(\alpha(x))(\beta(x))) = \lim\ limits_(x \to a)(\frac(\alpha_1(x))(\beta_1(x))). $$

Egyenértékű b.m. funkciókat.

Legyen %%\alpha(x)%% b.m. függvény %%x \to a%%, akkor

1. %%\sin(\alpha(x)) \sim \alpha(x)%%
2. %%\displaystyle 1 - \cos(\alpha(x)) \sim \frac(\alpha^2(x))(2)%%
3. %%\tan \alpha(x) \sim \alpha(x)%%
4. %%\arcsin\alpha(x) \sim \alpha(x)%%
5. %%\arctan\alpha(x) \sim \alpha(x)%%
6. %%\ln(1 + \alpha(x)) \sim \alpha(x)%%
7. %%\displaystyle\sqrt[n](1 + \alpha(x)) - 1 \sim \frac(\alpha(x))(n)%%
8. %%\displaystyle a^(\alpha(x)) - 1 \sim \alpha(x) \ln(a)%%

Példa

$$ \begin(array)(ll) \lim\limits_(x \to 0)( \frac(\ln\cos x)(\sqrt(1 + x^2) - 1)) & = \lim\limits_ (x \to 0)(\frac(\ln(1 + (\cos x - 1)))(\frac(x^2)(4))) = \\ & = \lim\limits_(x \to 0)(\frac(4(\cos x - 1))(x^2)) = \\ & = \lim\limits_(x \to 0)(-\frac(4 x^2)(2 x^ 2)) = -2 \end(tömb) $$

Végtelenül nagy funkciók

Infinitezimális függvények végtelenül nagy(b.b.) %%x \to a \in \overline(\mathbb(R))%%, ha az argumentum ezen tendenciájával a függvénynek végtelen határa van.

Hasonló a b.m. függvények fogalma b.b. A függvény elválaszthatatlanul kapcsolódik az argumentumát módosító utasításokhoz. Beszélhetünk a b.b. függvények %%x \to a + 0%% és %%x \to a - 0%%. A „végtelenül nagy” kifejezés nem a függvény abszolút értékéről, hanem a kérdéses pont környezetében bekövetkezett változásának természetéről beszél. Egyetlen állandó szám sem, akármekkora is legyen abszolút értékben, végtelenül nagy.

A b.m. fogalma. A függvény elválaszthatatlanul kapcsolódik az argumentumát módosító utasításokhoz. Beszélhetünk a b.m. függvények: %%a \to a + 0%% és %%a \to a - 0%%. Általában b.m. a függvényeket a görög ábécé első betűivel jelöljük %%\alpha, \beta, \gamma, \ldots%%

1. %%f(x) = 1/x%% függvény - b.b. %%x \-0%% között.
2. Függvény %%f(x) = x%% - b.b. %%x \to \infty%%.

Ha a definíciós feltételek $$ \begin(array)(l) \lim\limits_(x \to a)(f(x)) = +\infty, \\ \lim\limits_(x \to a)(f( x)) = -\infty, \end(tömb) $$

aztán arról beszélnek pozitív vagy negatív b.b. %%a%% függvénynél.

Példa

%%1/(x^2)%% függvény - pozitív b.b. %%x \-0%% között.

A kapcsolat a b.b. és b.m. funkciókat

Ha %%f(x)%% b.b. %%x \to a%% függvénnyel, majd %%1/f(x)%% - b.m.

itt: %%x \to a%%. Ha %%\alpha(x)%% - b.m. mert %%x \to a%% egy nem nulla függvény a %%a%% pont valamely átszúrt környezetében, akkor a %%1/\alpha(x)%% b.b. itt: %%x \to a%%.

Végtelenül nagy függvények tulajdonságai

Mutassuk be a b.b. számos tulajdonságát. funkciókat. Ezek a tulajdonságok közvetlenül a b.b definíciójából következnek. véges határértékekkel rendelkező függvények függvényei és tulajdonságai, valamint a b.b. közötti kapcsolatra vonatkozó tételből. és b.m. funkciókat.

1. Véges számú b.b szorzata. függvények %%x \to a%% számára b.b. függvény: %%x \to a%%. Valóban, ha %%f_k(x), k = \overline(1, n)%% - b.b. függvény a %%x \to a%%, majd a pont valamilyen kilyukadt szomszédságában %%a%% %%f_k(x) \ne 0%%, és kapcsolódási tétel alapján b.b. és b.m. függvények %%1/f_k(x)%% - b.m. függvény: %%x \to a%%. Kiderült, hogy %%\displaystyle\prod^(n)_(k = 1) 1/f_k(x)%% - b.m függvény %%x \to a%%, és %%\displaystyle\prod^(n )_(k = 1)f_k(x)%% - b.b. függvény: %%x \to a%%.
2. Termék b.b. függvények %%x \to a%%-kal, és egy olyan függvény, amely a %%a%% pont valamely szúrt környezetében abszolút értékben nagyobb, mint egy pozitív állandó, a b.b. függvény: %%x \to a%%. Különösen a termék b.b. egy %%x \to a%% függvény és egy véges, nem nulla határértékkel rendelkező függvény a %%a%% pontban b.b. függvény: %%x \to a%%.

A %%a%% pont és a b.b pont valamely átszúrt környezetében határolt függvény összege. függvények %%x-el \to a%% a b.b. függvény: %%x \to a%%.

Például a %%x - \sin x%% és a %%x + \cos x%% függvények b.b. %%x \to \infty%%.

3. Két b.b. függvények %%x \to a%% között bizonytalanság van. A feltételek előjelétől függően egy ilyen összeg változásának jellege nagyon eltérő lehet.

   Példa

   Legyenek adottak a %%f(x)= x, g(x) = 2x, h(x) = -x, v(x) = x + \sin x%% függvények. függvények: %%x \to \infty%%. Majd:

   • %%f(x) + g(x) = 3x%% - b.b. függvény %%x \to \infty%%;
   • %%f(x) + h(x) = 0%% - b.m. függvény: %%x \to \infty%%;
   • %%h(x) + v(x) = \sin x%% nincs korlátja %%x \to \infty%%.