1 egyensúlyi egyenletek tetszőleges térbeli erőrendszerre. Térbeli konvergens erőrendszer. Egyensúlyi feltételek sík erőrendszerhez

Tétel. Egy térbeli erőrendszer egyensúlyához szükséges és elegendő, hogy ennek a rendszernek a fővektora és a főmomentuma nulla legyen. Megfelelőség: F o =0-nál az O redukció középpontjában alkalmazott konvergáló erők rendszere nullával, M o =0-nál pedig az erőpárok rendszere nullával egyenértékű. Következésképpen az eredeti erőrendszer nullával egyenértékű. Szükség:

Legyen ez az erőrendszer ekvivalens nullával. Miután a rendszert két erőre redukáltuk, megjegyezzük, hogy a Q és P erőrendszernek (4.4. ábra) nullának kell lennie, ezért ennek a két erőnek közös hatásvonallal kell rendelkeznie, és a Q = –P egyenlőségnek kell lennie. elégedett. De ez akkor lehet, ha a P erő hatásvonala átmegy az O ponton, vagyis ha h = 0. Ez azt jelenti, hogy a főmomentum nulla (M o =0).

Mert Q+P=0, a Q=F o +P", majd F o +P"+P=0, és ezért F o = 0. A szükséges és elégséges feltételek megegyeznek az erők térbeli rendszerével a forma: F o =0, M o =0 (4,15), vagy koordinátatengelyekre vetítésben Fox=åF kx =F 1x +F 2x +…+F nx =0; F Oy =åF ky =F 1y +F 2y +...+F ny =0; F oz =åF kz =F 1z +F 2z +…+F nz =0 (4,16). M Ox =åM Ox (F k)=M Ox (F 1)+M ox (F 2)+...+M Ox (F n)=0, M Oy =åM Oy (F k)=M oy ( F 1)+M oy (F 2)+…+M oy (F n)=0, M oz =åM O z (F k)=M O z (F 1)+M oz (F 2)+.. . +M oz (Fn)=0.(4.17)

Hogy. Ha 6 szintű feladatokat old meg, 6 ismeretlent találhat. Megjegyzés: egy erőpár nem redukálható eredőre.– olyan mozgás, amelyben egy pont (test) egyidejűleg több mozgásban is részt vesz (például egy mozgó kocsi mentén haladó utas). Ebben az esetben egy mozgó koordináta-rendszert (Oxyz) vezetünk be, amely a rögzített (fő) koordinátarendszerhez (O 1 x 1 y 1 z 1) képest egy adott mozgást végez. Abszolút mozgás pontok neve mozgás egy rögzített koordináta-rendszerhez képest. Relatív mozgás– mozgás a mozgó koordinátarendszerhez képest. (mozgás a kocsi körül). Hordozható mozgás– a mobil rendszer mozgása. koordináták egy állóhoz viszonyítva (az autó mozgása). Sebességösszeadás tétel: , ; -orts (egységvektorok) a mozgó koordinátarendszerben, az ort a pillanatnyi tengely körül forog, így a végének sebessége stb., Þ: , ; – relatív sebesség. ; szállítási sebesség: :
, ezért egy pont abszolút sebessége = hordozható (v e) és relatív (v r) sebességének geometriai összege, modul: . stb. A gyorsulást meghatározó kifejezés feltételei: 1) – az O pólus gyorsulása; 2) 3) – a pont relatív gyorsulása; . 4) , kapjuk: .: Az első három tag a hordozható mozgásban lévő pont gyorsulását jelenti: – az O pólus gyorsulása; - forgási gyorsulás, – gyorsuló gyorsulás, i.e. Gyorsulási összeadás tétel (Coriolis-tétel) , Hol Ha két transzlációs mozgást adunk össze, akkor az eredményül kapott mozgás is transzlációs, és az eredményül kapott mozgás sebessége megegyezik az összetevők mozgási sebességeinek összegével. TV forgatások hozzáadása. egymást metsző tengelyek körüli testek. Olyan forgástengelyt, amelynek helye a térben időben változik, ún. a test pillanatnyi forgástengelye. A szögsebesség-vektor egy csúszóvektor, amely a pillanatnyi forgástengely mentén irányul. Egy test abszolút szögsebessége = a komponensek forgási sebességeinek geometriai összege - a szögsebességek paralelogramma szabálya. . Ha egy test egyszerre több, egy pontban metsző tengely körüli pillanatnyi forgásban vesz részt, akkor . Olyan merev test gömbmozgása esetén, amelynek egyik pontja a teljes mozgás alatt mozdulatlan marad, a gömbmozgás egyenletei vannak: Y=f 1 (t); q = f 2 (t); j = f 3 (t). Y – precessziós szög, q – nutációs szög, j – megfelelő elforgatás szöge - Euler-szögek. A precesszió szögsebessége, ang. nutációs sebesség, ív. sk. saját forgatás. , – a test pillanatnyi tengely körüli szögsebességének modulja. Rögzített koordinátatengelyekre vetítéseken keresztül: – Euler-kinematikai egyenletek. Forgatások hozzáadása 2 párhuzamos tengely körül. 1) A forgások egy irányba vannak irányítva. w=w 2 +w 1, C a pillanatnyi sebességközéppont és a pillanatnyi forgástengely átmegy rajta, , . 2) A forgások különböző irányokba irányulnak. , w=w 2 -w 1 S – azonnali. központ sk. és azonnali forgástengely . A ||-edik tengely körüli forgáskor a szögsebesség-vektorok ugyanúgy összeadódnak, mint a párhuzamos erővektorok. 3) Pár pörgés– a ||-edik tengely körüli forgások különböző irányokba irányulnak, és a szögsebességek nagysága egyenlő ( – szögsebességek párja). Ebben az esetben, v A =v B, a test eredő mozgása transzlációs (vagy pillanatnyi transzlációs) mozgás v=w 1 ×AB sebességgel - egy szögsebesség-pár nyomatéka (a kerékpárpedál relatív transzlációs mozgása a kerethez). Azonnali a sebesség középpontja a végtelenben van. Transzlációs és forgó mozgások hozzáadása. 1) A transzlációs mozgás sebessége ^ a forgástengelyhez képest - sík-párhuzamos mozgás - pillanatnyi forgás az Рр tengely körül w=w szögsebességgel". 2) Csavar mozgása– a test mozgása sk szögű Aa tengely körüli forgó mozgásból tevődik össze. w és transzlációs sebesség v||Aa. Az Aa tengely a csavar tengelye. Ha v és w egyirányú, akkor a csavar jobbkezes, ha különböző irányú, akkor balos. A csavar tengelyén fekvő test bármely pontja által egy fordulat alatt megtett távolságot nevezzük. légcsavar emelkedése – h. Ha v és w konstans, akkor h= =const állandó menetemelkedéssel, a csavar tengelyén nem fekvő bármely (×)M csavarvonalat ír le. érintőlegesen a hélix felé irányítva.

3) A transzlációs mozgás sebessége tetszőleges szöget zár be a forgástengellyel, ebben az esetben a mozgást úgy tekinthetjük, mint amely a folyamatosan változó csavartengelyek körüli pillanatnyi csavarmozgások sorozatából áll - pillanatnyi csavarmozgásból.

Egy tetszőleges térbeli erőrendszer egyensúlyi feltételeinek analitikus rögzítését egy hat egyenletből álló rendszer (5.3) ábrázolja.

Mechanikai szempontból az első három egyenlet a transzlációs, az utolsó három pedig a test szögeltolódásának hiányát állapítja meg. Az SSS esetében az egyensúlyi feltételeket az első három egyenletrendszer reprezentálja. Párhuzamos erőrendszer esetén a rendszer három egyenletből is áll: egy egyenlet az erők vetületeinek összegéből arra a tengelyre, amellyel párhuzamosan a rendszer erői irányulnak, és két nyomatékegyenletből tengelyek, amelyek nem párhuzamosak a rendszer erőinek hatásvonalaival.

TEST SÚLYKÖZPONTJA

A szilárd test súlypontja az a pont, amelyen keresztül egy adott test részecskéi eredő gravitációs erőinek hatásvonala áthalad, függetlenül a térben való elhelyezkedésétől.

A súlypont, a C pont koordinátái (6.3. ábra) a következő képletekkel határozhatók meg:

Nyilvánvaló, hogy minél finomabb a partíció, annál pontosabban történik a számítás a (6.7), (6.8) képletekkel. A számítások bonyolultsága azonban meglehetősen nagy lehet. A mérnöki gyakorlatban képleteket használnak a szabályos alakú testek súlypontjának meghatározására.

KINEMATIKA

6. ELŐADÁS.

A kinematika a mechanikának az a ága, amely a testek mozgásával és

Pontok a rájuk ható erők figyelembevétele nélkül.

6.1. Pontmozgások meghatározásának módszerei A testek vagy pontok mozgása csak egyesekhez viszonyítva tekinthető referenciarendszerek –

Tekintsük a feladatmegoldás során leggyakrabban használt három vonatkoztatási rendszert, és ezeknek megfelelően egy pont mozgásának három megadási módját. Jellemzőik: a) magának a referenciarendszernek a leírása; b) egy pont helyének meghatározása a térben; c) egy pont mozgásegyenleteinek jelzése; d) olyan képletek felállítása, amelyek segítségével egy pont mozgásának kinematikai jellemzői megtalálhatók.

Vektoros módszer

Ezt a módszert általában tételek és más elméleti állítások származtatására használják. Előnye a többi módszerrel szemben a rögzítés tömörsége. Ebben a módszerben a központ referenciarendszerként szolgál. KÖRÜLBELÜL egységvektorok hármasával – i, j, k (8.1. ábra). Egy tetszőleges pont térbeli helyzete M által meghatározott sugárvektor, r. Így egy pont mozgásegyenlete M lesz egy értékű függvénye a sugárvektornak az idő függvényében, t :

Az utolsó két definíciót összevetve megállapíthatjuk, hogy egy pont pályája egyben sugárvektorának hodográfja is.

Bemutatjuk a fogalmat átlagsebesség, V átl (8.1. ábra):

És valós (pillanatnyi) sebesség, V:

Irány V egybeesik a pont pályájának érintőjével (8.1. ábra).

Egy pont gyorsulása egy olyan vektormennyiség, amely egy pont sebességének változását jellemzi:

A természetes módon

közötti kapcsolat S és az idő, t , egy pont mozgásegyenlete természetes módon mozgásos feladatok:

A tengely mentén irányított pontsebesség t , meghatározása a következő:

Pontgyorsulás, A, a repülőben van nt és részekre bontható:

Fizikai jelentés ez a bővítés a következő: az érintő komponens hatásvonala, a t , egybeesik a sebességvektor hatásvonalával, V , és a változást csak a sebességmodulban tükrözi; a gyorsulás normál összetevője, a n , a sebességvektor hatásvonalának irányváltozását jellemzi. Számértékeiket a következő képletekkel találhatjuk meg:

Ahol

– a pálya görbületi sugara egy adott pontban.

Koordináta módszer

Ezt a módszert leggyakrabban a problémák megoldására használják. A referenciarendszer egymásra merőleges tengelyek hármasa x , y , z (8.3. ábra). Pont pozíció M koordinátái határozzák meg x M , y M , z M .

Egy pont mozgásegyenletei ezen koordináták egyértékű függvényei

és a modulja:

A sebességvektor térbeli iránya analitikusan meghatározható iránykoszinuszokkal:

Pontgyorsulás M a koordináta tengelyekre való vetületei alapján megállapítható:

A gyorsulásvektor térbeli irányát az iránykoszinuszok határozzák meg.

Bármely erőrendszer egyensúlyának szükséges és elégséges feltételeit egyenlőségek fejezik ki (lásd 13. §). De az R és vektorok csak akkor egyenlők, ha, vagyis ha a ható erők a (49) és (50) képlet szerint teljesítik a feltételeket:

Így egy tetszőleges térbeli erőrendszer egyensúlyához szükséges és elegendő, hogy az összes erőnek a három koordinátatengelyre vetített vetületeinek összege és ezekhez a tengelyekhez viszonyított nyomatékainak összege nullával egyenlő.

Az (51) egyenlőségek egyidejűleg fejezik ki egy merev test egyensúlyi feltételeit bármely térbeli erőrendszer hatására.

Ha az erők mellett egy pár is hat a testre, annak nyomatéka alapján, akkor az (51) feltétel első három alakja nem változik (a pár erőinek vetületeinek összege). bármely tengelyen egyenlő nullával), és az utolsó három feltétel a következő formában jelenik meg:

Párhuzamos erők esete. Abban az esetben, ha a testre ható összes erő párhuzamos egymással, a koordinátatengelyeket úgy választhatjuk meg, hogy a tengely párhuzamos legyen az erőkkel (96. ábra). Ekkor az egyes erők vetületei a tengelyre és nyomatékuk a z tengelyhez képest nullával egyenlőek lesznek, és az (51) rendszer három egyensúlyi feltételt ad:

A fennmaradó egyenlőségek ezután a forma azonosságaivá alakulnak

Következésképpen a párhuzamos erők térbeli rendszerének egyensúlyához szükséges és elegendő, hogy az összes erőnek az erőkkel párhuzamos tengelyre vetületeinek és a másik két koordinátatengelyhez viszonyított nyomatékainak összege egyenlő legyen nulla.

Problémamegoldás. A problémák megoldásának eljárása itt ugyanaz marad, mint egy síkrendszer esetében. Miután megállapítottuk, hogy melyik test (tárgy) egyensúlyát vizsgáljuk, le kell ábrázolni a rá ható összes külső erőt (mind adott, mind a reakciókapcsolatokat), és fel kell dolgozni ezen erők egyensúlyi feltételeit. A kapott egyenletekből meghatározzuk a szükséges mennyiségeket.

Az egyszerűbb egyenletrendszerek megszerzéséhez ajánlatos a tengelyeket úgy megrajzolni, hogy azok több ismeretlen erőt metszenek, vagy merőlegesek legyenek rájuk (kivéve, ha ez feleslegesen bonyolítja más erők vetületeinek és nyomatékainak számítását).

Az egyenletalkotás új eleme a koordinátatengelyek körüli erőnyomatékok számítása.

Azokban az esetekben, amikor általános rajz Nehéz belátni, hogy mekkora egy adott erő nyomatéka bármely tengelyhez képest, javasolt segédrajzon ábrázolni a kérdéses test vetületét (az erővel együtt) egy erre a tengelyre merőleges síkra.

Azokban az esetekben, amikor a nyomaték kiszámításakor nehézségek merülnek fel az erő vetületének a megfelelő síkra vagy ennek a vetületnek a karjára történő meghatározásakor, ajánlott az erőt két egymásra merőleges összetevőre bontani (amelyek közül az egyik párhuzamos valamilyen koordinátával tengely), majd alkalmazzuk a Varignon-tételt (lásd 36. feladat). Ezenkívül analitikusan is kiszámíthatja a pillanatokat a (47) képletekkel, mint például a 37. feladatban.

39. feladat. Terhelés van egy a és b oldalú téglalap alakú lemezen. A födém súlypontja a teherrel együtt a D pontban található koordinátákkal (97. ábra). Az egyik munkás az A sarokban tartja a födémet. Mely B és E pontokon kell két másik munkásnak megtámasztania a födémet, hogy a födémet tartó személyek által kifejtett erők egyenlőek legyenek.

Megoldás. Egy olyan lemez egyensúlyát tekintjük, amely négy párhuzamos erő hatására egyensúlyban lévő szabad test, ahol P a gravitációs erő. Ezekre az erőkre egyensúlyi feltételeket (53) készítünk, figyelembe véve a lemezt vízszintesen és megrajzolva a tengelyeket az ábra szerint. 97. Ezt kapjuk:

A feladat feltételei szerint kell, hogy legyen Akkor az utolsó egyenletből ezt a P értékét behelyettesítve az első két egyenletbe, végre megtaláljuk

A megoldás akkor lehetséges, amikor Mikor és mikor lesz Amikor a D pont a lemez közepén van,

40. feladat Az A és B csapágyakban fekvő vízszintes tengelyre (98. ábra) a tengely tengelyére merőlegesen egy cm sugarú tárcsa és egy sugarú dob van felszerelve. A tengelyt egy szíjtárcsa köré tekert szíj hajtja forgásba; ezzel egyidejűleg a dobra feltekercselt kötélre kötött súlyú teher egyenletesen megemelkedik. A tengely, a dob és a szíjtárcsa súlyát figyelmen kívül hagyva határozzuk meg az A és B csapágyak reakcióit és a szíj hajtóágának feszességét, ha ismert, hogy az kétszerese a hajtott ág feszültségének. Adott: cm, cm,

Megoldás. A vizsgált feladatban a tengely egyenletes forgása mellett a rá ható erők kielégítik az egyensúlyi feltételeket (51) (ezt a 136. §-ban igazoljuk). Rajzoljunk koordináta tengelyeket (98. ábra), és ábrázoljuk a tengelyre ható erőket: a kötél F feszességét, P-vel egyenlő modult, szíjfeszességet és a csapágyreakciók összetevőit.

Az egyensúlyi feltételek (51) összeállításához először kiszámítjuk és beírjuk a táblázatba az összes erő koordinátatengelyekre vetítésének értékét és ezekhez a tengelyekhez viszonyított nyomatékait.

Most egyensúlyi feltételeket hozunk létre (51); mivel kapjuk:

A (III) és (IV) egyenletből azonnal megtaláljuk, figyelembe véve azt

A talált értékeket behelyettesítve a fennmaradó egyenletekbe, azt találjuk;

És végül

41. feladat. A függőlegessel szöget bezáró téglalap alakú fedelet , amelynek súlya szöget zár be, az AB vízszintes tengelyen a B pontban hengeres csapágy, az A pontban pedig egy ütközős csapágy rögzíti (99. ábra). A fedelet a DE kötél tartja egyensúlyban, és az O blokkon átdobott kötél húzza vissza egy súllyal a végén (AB-val párhuzamos KO egyenes). Adott: Határozza meg a DE kötél feszességét és az A és B csapágyak reakcióit!

Megoldás. Tekintsük a fedél egyensúlyát. Rajzoljunk koordinátatengelyeket a B pontból kiindulva (ebben az esetben a T erő metszi a tengelyeket, ami leegyszerűsíti a nyomatékegyenletek formáját).

Ezután ábrázoljuk a burkolatra ható összes adott erőt és reakcióreakciót: a burkolat C súlypontjában kifejtett P gravitációs erőt, a Q-val egyenlő nagyságú Q erőt, a kötél T reakcióját és a burkolat reakcióját. A és B csapágyak (99. ábra; a pontozott vonallal jelölt M k vektor nem releváns ehhez a feladathoz). Az egyensúlyi feltételek meghatározásához bevezetünk egy szöget, és jelöljük, hogy egyes erők nyomatékainak kiszámítását a segédábra magyarázza. 100, a, b.

ábrán. 100, és a nézet a tengely pozitív végétől a síkra vetítve látható

Ez a rajz segít kiszámítani a P és T erők tengelyhez viszonyított nyomatékát. Látható, hogy ezeknek az erőknek a síkra vetületei (síkra merőlegesek) megegyeznek magukkal az erőkkel, a P erő karja pedig a tengelyhez képest. pont B egyenlő; a T erő ehhez a ponthoz viszonyított válla egyenlő

ábrán. A 100. ábra b egy síkra vetített nézetet mutat az y tengely pozitív végétől.

Ez a rajz (a 100. a. ábrával együtt) segít a P erők nyomatékainak kiszámításában és az y tengelyhez viszonyítva. Megmutatja, hogy ezeknek az erőknek a síkra vetületei egyenlőek magukkal az erőkkel, és a P erő B ponthoz viszonyított karja egyenlő a Q erő ehhez a ponthoz viszonyított karjával egyenlő vagy, ahogyan lehet ábrából látható. 100, a.

Az egyensúlyi feltételeket (51) összeállítva a kifejtett magyarázatok figyelembevételével és egyúttal feltételezve a következő eredményt kapjuk:

(ÉN)

Figyelembe véve, amit az (I), (IV), (V), (VI) egyenletekből találunk:

Ezeket az értékeket a (II) és (III) egyenletbe behelyettesítve a következőket kapjuk:

Végül,

42. feladat Oldja meg a 41. feladatot arra az esetre, amikor a fedélre járulékosan hat a síkjában elhelyezkedő pár egy forgási nyomatékkal (a fedelet felülről nézve) az óramutató járásával ellentétes irányba.

Megoldás. A fedélre ható erők mellett (lásd 99. ábra) a pár M nyomatékát a fedélre merőleges vektor formájában ábrázoljuk, és bármely pontban, például az A pontban alkalmazzuk. koordinátatengelyek: . Ezután az (52) egyensúlyi feltételeket összeállítva azt találjuk, hogy az (I) - (IV) egyenletek ugyanazok maradnak, mint az előző feladatban, és az utolsó két egyenlet alakja:

Megjegyzendő, hogy ugyanezt az eredményt az (52) formájú egyenlet összeállítása nélkül is megkaphatjuk, hanem ha a párt két erővel ábrázoljuk, például az AB és KO egyenesek mentén (ebben az esetben az erők modulusai egyenlő), majd használja normál körülmények között egyensúly.

Az (I) - (IV), (V), (VI) egyenletek megoldásával a 41. feladatban kapott eredményekhez hasonló eredményeket kapunk, azzal a különbséggel, hogy minden képlet tartalmazni fogja. Végül megkapjuk:

43. feladat Az AB vízszintes rudat egy gömb alakú A csuklópánt rögzíti a falhoz, és a KE és CD merevítők tartják a falra merőleges helyzetben, az ábrán látható módon. 101, a. A rúd B végére egy súlyt tartalmazó teher függesztve van. Határozza meg az A csukló reakcióját és a vezetőhuzalok feszültségét, ha a rúd súlyát figyelmen kívül hagyjuk.

Megoldás. Tekintsük a rúd egyensúlyát. Hatására P erő és reakciók lépnek fel. Rajzoljunk koordinátatengelyeket, és állítsuk fel az egyensúlyi feltételeket (51). A vetületek és az erőnyomatékok megtalálásához bontsuk komponensekre. Aztán Varignon tétele szerint, hiszen mivel

A tengelyhez viszonyított erőnyomatékok számítását egy segédrajz magyarázza (101. ábra, b), amely egy síkra vetített nézetet mutat.

Tekintsünk egy merev testre ható erők tetszőleges térbeli rendszerét. Vigyük ezt az erőrendszert egy adott középpontba, és összpontosítsunk arra az esetre, amikor ennek az erőrendszernek a fővektora és a főmomentuma egyenlő nullával, azaz.

(1) Egy ilyen erőrendszer ekvivalens nullával, azaz. kiegyensúlyozott. Ezért az (1) egyenlőségek elegendő feltételeket egyensúly. De ezek a feltételek is szükségesek, pl. ha az erőrendszer egyensúlyban van, akkor az (1) egyenlőségek is teljesülnek Valóban, ha a rendszer egyensúlyban lenne, de pl akkor ez a rendszer a redukció középpontjában lévő eredőre oltódna, és nem lenne egyensúly. Ha nem Mo =**O, akkor ez a rendszer be lenne oltva a párba, és nem lenne egyensúly sem. Így bebizonyítottuk, hogy egy tetszőleges térbeli erőrendszer egyensúlyához szükséges és elegendő, hogy ennek a rendszernek a fővektora és a főmomentuma egy tetszőlegesen választott redukciós középponthoz képest nullával egyenlő. Az (1) feltételeket vektor formában egyensúlyi feltételeknek nevezzük. Ahhoz, hogy az egyensúlyi feltételeknek gyakorlati szempontból kényelmesebb analitikus formáját kapjuk, az (1) egyenlőségeket a tengelyekre vetítjük. Descartes-rendszer koordináták Ennek eredményeként a következőket kapjuk:

(2)egyensúlyi feltételek egy párhuzamos erőrendszerhez a térben Egy tetszőleges térbeli erőrendszer egyensúlyához szükséges és elégséges, hogy az x, y és z koordinátatengelyekre ható összes erő vetületeinek összege, valamint az összes erő nyomatékainak összege ugyanahhoz képest. tengelyek, egyenlő nullával Hagyjon párhuzamos erők térbeli rendszere egy merev testre. Mivel a tengelyek kiválasztása tetszőleges, lehetséges olyan koordináta-rendszert választani, hogy az egyik tengely párhuzamos legyen az erőkkel, kettő pedig

mások merőlegesek rájuk (1.38. ábra). A koordinátatengelyek ilyen megválasztásával az egyes erők x és y tengelyekre vetületei és nyomatékaik a z tengelyhez képest mindig nullával egyenlőek. Ez azt jelenti

Ezek az egyenlőségek azonosan teljesülnek, függetlenül attól, hogy egy adott erőrendszer egyensúlyban van-e vagy sem, pl. megszűnnek az egyensúlyi feltételek lenni. Ezért a következő egyensúlyi feltételek maradnak fenn:

Így egy párhuzamos erőrendszer térbeli egyensúlyához szükséges és elégséges, hogy az összes erőnek az ezekkel az erőkkel párhuzamos tengelyre vetített vetületeinek összege nulla legyen, és hogy a nyomatékok ígéretei minden erőhöz képest az erőkre merőleges két koordinátatengely is egyenlő nullával.

17, Tétel két erőpár térbeli egyenértékűségéről.

Erő átvitele egy adott középpontba (Poinsot-módszer) - egy erő önmagával párhuzamosan átvihető a sík bármely pontjára, ha hozzáadja a megfelelő erőpárt, amelynek nyomatéka egyenlő ennek az erőnek a kérdéses pont. Adjunk hozzá a rendszerhez az A pontban két, egymással és az adott erő nagyságával egyenlő nagyságú, egy egyenes mentén ellentétes irányú, az adott erővel párhuzamos erőt: A kinematikai állapot nem változott (a kötődési axióma). Az eredeti erő és az ellentétes irányú hozzáadott erők egyike egy erőpárt alkot. Ennek a párnak a nyomatéka számszerűen egyenlő a kezdeti erő nyomatékával a redukció középpontjához viszonyítva. Sok esetben célszerű egy erőpárt ívnyilakkal ábrázolni. Egy sík tetszőleges erőrendszert egy adott középpontba hozni - kiválasztunk egy tetszőleges pontot a síkon, és a Poinsot-módszerrel minden erőt átviszünk erre a pontra. Az eredeti tetszőleges rendszer helyett egy konvergens erőrendszert és egy párrendszert kapunk. A konvergáló erőrendszer egyetlen, a redukció középpontjában alkalmazott erőre redukálódik, amit korábban eredőnek neveztek, de most ez az erő nem helyettesíti az eredeti erőrendszert, mivel a redukció után párrendszer jött létre. Egy párrendszert egy párra redukálunk (a párok összeadásának tétele), amelynek nyomatéka megegyezik az eredeti erők nyomatékainak a redukció középpontjához viszonyított algebrai összegével. Általában lapos tetszőleges rendszer az erőket egy erőre redukáljuk, amelyet fővektornak nevezünk, és egy olyan párra, amelynek nyomatéka megegyezik a rendszer összes erőjének főnyomatékával a redukciós középponthoz viszonyítva: - fővektor, - főnyomaték. A. A. Egy lapos tetszőleges erőrendszer egyensúlyának feltétele a fővektor és a rendszer főmomentuma egyidejű megfordítása nullára: Az egyensúlyi egyenleteket (I forma) három egyenletrendszer formájában kapjuk meg az egyensúlyi feltételekből kifejezések használata a fővektor vetületeihez: Az egyensúlyi egyenleteknek további két formája van (II és III alak)

17.

27-28 Az erők fő momentumai közötti függés két tetszőlegesen kiválasztott redukciós középponthoz képest. Az erőrendszer invariánsai

Ezt a térrendszert hozzuk O középpontba, azaz.

Ahol A főmomentum a fővektor irányával egy bizonyos a szöget alkot (1.32. ábra)

Vegyünk most egy új redukciós középpontot O1, és hozzuk az összes erőt ebbe a középpontba. Ennek eredményeként ismét egy fővektort kapunk, amely megegyezik az R fővektorral, és egy új főmomentumot, amelyet a képlet határoz meg, ahol pк az Fk erő alkalmazási pontjának sugárvektora, amelyet az új O1 redukciós középpontból húzunk. lásd 1.32. ábra. Mo1 főmomentum az új középponthoz képest a redukció megváltozott, és most egy bizonyos a1 szöget zár be az R fővektor irányával. Állítsunk összefüggést a Mo és Mo1 momentumok között Az 1.32. ábrából jól látható, hogy (3) (3) behelyettesítve a (2) egyenlőségbe, megkapjuk (4) Továbbá a (4) egyenlőség jobb oldalán lévő zárójeleket megnyitva. ) és az O1O közös tényezőt az összegjelen kívülre helyezve megkapjuk

( - a főnyomaték O ponthoz viszonyított vetületei a koordináta tengelyekre).

Erőt hozni egy adott központba.

Ahhoz, hogy a szilárd test bármely pontján kifejtett erőt egy adott középpontba hozzuk, szükséges:

1) Vigye át az erőt önmagával párhuzamosan egy adott középpontba anélkül, hogy megváltoztatná az erő modulusát.

2) Adott középpontban alkalmazzunk egy olyan erőpárt, amelynek vektormomentuma megegyezik az átvitt erőnek az új középponthoz viszonyított vektormomentumával. Ezt az erőpárt adjunkt párnak nevezzük.

Egy merev testre ható erő hatása nem változik meg, ha önmagával párhuzamosan a merev test másik pontjára visszük át, ha pár erőt hozzáadunk.

34. Párhuzamos erők síkrendszerére két egyensúlyi egyenlet állítható fel. Ha az erők párhuzamosak az Y tengellyel, akkor az egyensúlyi egyenletek alakja.

A második egyenlet bármely pontra felállítható.

35 egy teljesen szabad test egyensúlyához, amelyre tetszőleges térbeli erőrendszer hat, szükséges és elegendő, hogy a hat egyensúlyi egyenlet teljesüljön. Ha egy test egy ponton rögzített, akkor három szabadsági foka van. Egy ilyen test nem tud transzlációsan mozogni, hanem csak bármely tengely körül, azaz a koordinátatengelyek körül tud forogni. Ahhoz, hogy egy ilyen test egyensúlyban legyen, szükséges, hogy ne forogjon, és ehhez elegendő megkövetelni, hogy a három nyomatékegyenlet egyenlő legyen nullával

Tehát ahhoz, hogy egy abszolút merev, egy rögzített ponttal rendelkező test egyensúlyban legyen, amelyre egy tetszőleges térbeli erőrendszer hat, szükséges és elegendő, hogy az összes erő nyomatékainak összege három egymásra merőleges tengelyhez képest egyenlő legyen. nulla.

Három másik egyenletet használnak a csuklóreakció összetevőinek meghatározására az Nx, Ny, Nz csatlakozási pontokon.

37. Annak a testnek, amelynek két fix pontja van, egy szabadsági foka van. Csak ezen a két rögzített ponton áthaladó tengely körül tud elfordulni Az egyensúly akkor áll fenn, ha a test nem forog e tengely körül. Ezért az egyensúlyhoz elegendő megkövetelni, hogy a testre ható összes erő nyomatékának összege a két rögzített ponton átmenő tengelyhez képest nullával egyenlő: ∑Mxx(Fi)=0

38/A testek rendszere több, egymással valamilyen módon összekapcsolt test. A rendszer testeire ható erőket külső és belső erőkre osztjuk. A belső az azonos rendszer testei közötti kölcsönhatási erők, a külső pedig azok az erők, amelyekkel egy adott rendszer testeire olyan testek hatnak, amelyek nem részei annak.

Ha egy testrendszer egyensúlyban van, akkor az egyes testek egyensúlyát külön-külön figyelembe vesszük, figyelembe véve belső erők testek közötti kölcsönhatások. Ha lapos tetszőleges rendszert adunk N testek, akkor erre a rendszerre 3N egyensúlyi egyenletek állíthatók össze. A testek rendszerének egyensúlyi problémáinak megoldása során figyelembe lehet venni mind a testrendszer egészének, mind a testek bármely kombinációjának egyensúlyát. Ha a rendszer egészének egyensúlyát tekintjük, a testek közötti kölcsönhatás belső erőit nem vesszük figyelembe a hatás- és reakcióerők egyenlőségének axiómája alapján. Így a testrendszerek egyensúlyának megtalálásának 2 típusa van...1sp Először is megvizsgáljuk a teljes szerkezetet, majd bármely testet leválasztunk ettől a rendszertől és mérlegeljük. Egyensúly van benne. 2sp A rendszert külön testekre osztjuk és az egyensúlyi egyenlet összetételét minden testre.

Statikusan meghatározható rendszerek vannak benne rendszerek amelyben az ismeretlen mennyiségek száma nem haladja meg a független egyensúlyi egyenletek számát egy adott erőrendszerre.

Statikailag meghatározatlan A rendszerek olyan rendszerek, amelyekben az ismeretlen mennyiségek száma meghaladja a független egyensúlyi egyenletek számát egy adott erőrendszerhez Kct=R-Y ahol R a reakciók száma. Y-független egyenletek száma

41.Miután a test elhagyja az egyensúlyi helyzetet, a statikus súrlódási erő csökken, és mozgás közben csúszósúrlódási erőnek nevezik, azaz a csúszósúrlódási tényező valamivel kisebb, mint a statikus súrlódási tényező. A műszaki számításokban ezeket az együtthatókat egyenlőnek feltételezzük. VEL A mozgási sebesség növelésével a legtöbb anyag csúszási súrlódási együtthatója csökken. A csúszósúrlódási együtthatót kísérleti úton határozzuk meg.

A csúszó súrlódási erő a test lehetséges mozgásával ellentétes irányban irányul.

A súrlódási erő nem függ az érintkező felületek területétől.

A maximális súrlódási erő arányos a normál nyomással. A normál nyomás alatt a dörzsölőfelületek teljes érintkezési felületén fellépő össznyomást értjük: Fmax=fN

43. Súrlódás esetén az érdes felület teljes reakciója a normáltól a felületre egy bizonyos szöggel eltér<р, который в случае выхода тела из равновесия достигает максимума и называется углом трения tgφ=Fmax/N Fmax=fN тогда tgφ=f

A súrlódási szög érintője megegyezik a súrlódási tényezővel.

A súrlódási kúp egy olyan kúp, amelyet az R teljes reakció írja le a normál reakció iránya körül. Ha az f súrlódási tényező minden irányban azonos, akkor a súrlódási kúp kör alakú lesz

Ahhoz, hogy egy test durva felületen kiegyensúlyozott legyen, szükséges és elegendő, hogy az aktív erők eredője a súrlódó kúpon belül legyen, vagy a kúp generátora mentén haladjon

30. Ro=√Rx^2+Ry^2 fővektor modulusa ahol Rx= ƩFkx Ry= ƩFky (Rx,Ry fővektor vetületei a megfelelő koordinátatengelyekre)

A fővektor által alkotott szögek a megfelelő koordinátatengellyel Сos(x^Ro)=Rx/Ro Сos(y^Ro)=Ry/Ro

A főnyomaték modulja a kiválasztott redukciós középponthoz viszonyítva O Mo√Mox^2+Moy^2 ahol Mox=∑Mx(Fk) Moy=∑My(Fk) Mox Moy-a főmomentum O ponthoz viszonyított vetületei a koordináta tengelyeken)

A főnyomaték által alkotott szögek a megfelelő koordinátatengelyekkel Сos(x^Mo)=Mox/Mo Сos(y^Mo)=Moy/Mo

Ha Ro nem=0 Mo=0, az erőrendszer egy erővel helyettesíthető

Ro=0 Mo not=0 az erőrendszert egy erőpár helyettesíti

Rone=0 Mo not=0, de a Mo-ra merőleges Ro-t egy olyan erő helyettesíti, amely nem megy át a redukciós középponton

31. Lapos erőrendszer. Ennek a rendszernek az összes ereje egy síkban fekszik. Legyen ez például az XAY sík, ahol A egy tetszőleges redukciós középpont. Ennek a rendszernek az erői nem vetülnek az AZ tengelyre, és nem hoznak létre nyomatékokat az AX és AY tengelyekhez képest, mivel azok az XAY síkban helyezkednek el (13. szakasz). Ebben az esetben az egyenlőség

Ezt figyelembe véve egyensúlyi feltételeket kapunk egy sík erőrendszerre:

Így egy merev test egyensúlyához sík erőrendszer hatására szükséges és elegendő, hogy az erők koordinátatengelyekre vetített két összege és az összes erő algebrai nyomatékainak összege bármely ponthoz képest. a síkban egyenlő legyen nullával.

39.az összes pontra ható erőket elosztottnak nevezzük adott kötet vagy egy felület vagy vonal adott része. Ras korlátozott erőket az intenzitás jellemzi q, azaz erőszakkal, esedékes egységnyi térfogatra, felületre vagy vonalhosszra. Az elosztott erőket általában koncentrált erők váltják fel.

Ha az elosztott erők egy síkban, egyenesen hatnak, akkor azokat koncentrált erővel helyettesítjük a következőképpen.

Az egyenletesen eloszló q intenzitású terhelést Q =qL koncentrált erő váltja fel, amely a szakasz közepén hat. Az egyenletes eloszlású terhelés olyan erőkre vonatkozik, amelyek a test adott területén azonos nagyságúak és irányok.

Ha az elosztott erők lineáris törvény szerint változnak

(a háromszög mentén), akkor a Q = qmaxL/2- koncentrált erő hat a háromszög súlypontjára, amely távolságra van - az alapjától……………….

44. A gördülési súrlódás a mozgással szembeni ellenállás, amely akkor lép fel, amikor a testek egymásra borulnak. Megjelenik például a gördülőcsapágyak elemei között, egy autókerék gumiabroncsa és az útfelület között. A gördülési súrlódás értéke általában jóval kisebb, mint a csúszósúrlódás értéke, ezért a gördülés a technika elterjedt mozgástípusa.

A gördülési súrlódás két test találkozási pontján lép fel, ezért a külső súrlódások egyik típusaként osztályozzák.

45.pörgési súrlódás. Tegyük fel, hogy egy nehéz golyó vízszintes síkon fekszik, a golyó középpontját O-val, a golyó és a sík érintkezési pontját C-vel jelöljük. A labda CO egyenes körüli forgását pörgésnek nevezzük. A tapasztalat azt mutatja, hogy ha a párnak az a pillanata, amitől a labda forogni kell, nagyon kicsi, akkor a labda nem fog forogni. Ebből következik, hogy a hajtópár működését megbénítja egy másik pár, amelynek meglététől függ a forgó súrlódás.

A gördülőcsapágy súrlódási nyomatékának kiszámításának egyik módszere a súrlódási nyomaték felosztása az úgynevezett terheléstől független M0 nyomatékra és a terheléstől függő M1 nyomatékra, amelyeket azután összeadva a teljes nyomatékot kapjuk:

46 két párhuzamos, ugyanabba az irányba ható erő egy erőre redukálódik - egy olyan eredő erőre, amelyet egy olyan pontban alkalmaznak, amely egy egyenest az erők nagyságával fordítottan arányos távolságokra oszt. Párhuzamos erőket páronként konzekvensen összeadva egy erőhöz is eljutunk - az eredő R-hez: Mivel az erő a hatásvonala mentén átvihető, ezért az erő alkalmazási pontja (eredménye) lényegében meghatározatlan. Ha az összes erőt azonos szöggel elforgatjuk, és ismét végrehajtjuk az erők összeadását, akkor az eredő hatásvonalának eltérő irányát kapjuk. Az eredő két hatásvonalának metszéspontja tekinthető az eredő alkalmazási pontjának, amely nem változtatja meg helyzetét, ha minden erő egyidejűleg ugyanabban a szögben forog. Ezt a pontot párhuzamos erők középpontjának nevezzük. A párhuzamos erők középpontja az eredő alkalmazási pontja, amely nem változtatja meg helyzetét, ha minden erő egyidejűleg ugyanabban a szögben forog.

47Egy pont sugárvektora egy olyan vektor, amelynek eleje egybeesik a koordinátarendszer origójával, a vége pedig az adott ponttal.

A sugárvektornak tehát az a sajátossága, amely megkülönbözteti az összes többi vektortól, hogy origója mindig az origópontban található (17. ábra).

A párhuzamos erők középpontja, az a pont, amelyen keresztül az eredő Fk párhuzamos erőrendszer hatásvonala áthalad, ha ezeknek az erőknek az alkalmazási pontjaik közelében, ugyanabban az irányban és ugyanabban a szögben elfordulnak. A párhuzamos erők középpontjának koordinátáit a következő képletek határozzák meg:

ahol xk, yk, zk az erők alkalmazási pontjainak koordinátái.

48Súlypont merev test - egy pont, amely mindig ehhez a testhez kapcsolódik, és amelyen keresztül a test részecskéinek eredő gravitációs erőinek hatásvonala áthalad a test bármely helyén a térben. Ebben az esetben a gravitációs mezőt homogénnek tekintjük, azaz. a test részecskéinek gravitációs erői párhuzamosak egymással, és a test bármely forgása során állandóak. A súlypont koordinátái:

; ; , ahol Р=åр k, x k,y k,z k – р k gravitációs erők alkalmazási pontjainak koordinátái. A súlypont egy geometriai pont, és a testen kívül helyezkedhet el (például egy gyűrű). Lapos alak súlypontja:

DF k – elemi terület, F – az ábra területe. Ha a terület nem osztható több véges részre, akkor . Ha egy homogén testnek van szimmetriatengelye, akkor a test súlypontja ezen a tengelyen van.

49 Egy homogén lemez súlypontjának (koordinátáinak) meghatározására szolgáló feladatok megoldása egy síkban vagy térben elhelyezkedő testrendszer egyenleteinek felállításához és az ismert numerikus adatok további beillesztéséhez és az eredmény kiszámításához vezet:

Azok. a rendszert komponensekre kell bontani, és meg kell találni ezen alkotóelemek súlypontjának helyzetét. Számítsa ki az összetevők tömegét, kifejezve a fajlagos sűrűséggel - lineáris, térfogati vagy felületi, a bemutatott rendszer típusától függően. A megoldás végén a fajlagos sűrűség csökken, ezért ne szégyelljük beírni (általában nincs megadva, de a feladat szövege azt jelzi, hogy a lemez, a rudak és a födém homogén) . Ennek a feladatnak a jellemzői közül két dolgot kell megjegyezni: 1) egy téglalap, négyzet alakú vagy rúd, kör alkotóelemének súlypontjának meghatározása nem nehéz - az ilyen alakzatok súlypontja a középpontban van.

50. körkörös szektor: ; Háromszög. A háromszöget vékony vonalakra osztva,

minden oldalával párhuzamosan határozzák meg, hogy mivel a központ

minden vonal gravitációja a geometriai középpontjában (a középpontban) fekszik

szimmetria), akkor a háromszög súlypontja a metszéspontjában van

középső A mediánok metszéspontja (2:1) arányban osztja el őket.

Körkörös szektor (54. ábra). A súlypont a tengelyen található

szimmetria. Egy körszektort elemi háromszögekre osztva

határozzuk meg a háromszögek súlypontjai által alkotott ívet. Sugár

ív egyenlő a szektor sugarának 2/3-ával. Így a középpont koordinátája

a körkörös szektor gravitációját határozzuk meg

kifejezés xC = sin α.

51 Félgömb. A tömegközéppont a szimmetriatengelyen helyezkedik el távolról

3/8-ra az alaptól.

Piramis (kúp) (55. ábra).

A súlypont a vonalon fekszik

összekötve a csúcsot a középponttal

az alap gravitációja ¾ távolságra

Körív A súlypont a szimmetriatengelyen fekszik, és van

koordináták xC = sin α ; уС = 0.

Kinematika

1Kinematika, az elméleti mechanika egyik ága, az anyagi testek mozgását vizsgálja anélkül, hogy érdekelné a mozgást okozó vagy megváltoztató okok. Számára csak a fizikai érvényesség és a matematikai szigorúság az elfogadott modellek keretein belül fontos. Kinematikai problémák Egy anyagi pont (rendszer) mozgásának beállítása azt jelenti, hogy módot adunk egy pont (a rendszert alkotó összes pont) helyzetének bármely pillanatban történő meghatározására.
A kinematika feladatai egy pont (rendszer) mozgásának meghatározására, valamint a mechanikai rendszert alkotó pontok sebességének, gyorsulásának és egyéb kinematikai mennyiségeinek meghatározására szolgáló módszerek kidolgozása. pont pályája

Egy pont mozgásának megadása azt jelenti, hogy minden pillanatban megadjuk a pozícióját. Ezt a pozíciót, mint már említettük, valamilyen koordinátarendszerben kell meghatározni. Ehhez azonban nem mindig szükséges magukat a koordinátákat megadni; olyan mennyiségeket használhat, amelyek valamilyen módon kapcsolódnak hozzájuk. Az alábbiakban három fő módszer található egy pont mozgásának meghatározására.

1. A természetes út. Ezt a módszert akkor alkalmazzuk, ha a pont pályája ismert. A pálya olyan pontok összessége a térben, amelyeken egy mozgó anyagrészecske áthalad. Ezt a vonalat húzza meg a térben. A természetes módszerrel be kell állítani (1. ábra):

a) mozgás pályája (bármely koordinátarendszerhez viszonyítva);

b) egy tetszőleges pont rajta, a nulla, ahonnan a pálya mentén a mozgó részecske S távolságát mérjük;

c) az S referencia pozitív iránya (ha az M pont ellenkező irányban eltolódik, S negatív);

d) a t időpont kezdete;

e) S(t) függvény, amelyet egy pont mozgástörvényének**) nevezünk.

2. Koordináta módszer. Ez a legegyetemesebb és legátfogóbb módja a mozgás leírásának. Felvállalja a következő feladatot:

a) koordinátarendszerek (nem feltétlenül derékszögűek) q1, q2, q3;

b) a t időpont kezdete;

c) egy pont mozgástörvénye, azaz. q1(t), q2(t), q3(t) függvények.

Amikor egy pont koordinátáiról beszélünk, mindig annak derékszögű koordinátáit fogjuk érteni (hacsak másképp nem jelezzük).

3. Vektoros módszer. Egy pont helye a térben meghatározható egy adott origóból egy adott pontba húzott sugárvektorral is (2. ábra). Ebben az esetben a mozgás leírásához be kell állítania:

a) az r sugárvektor origója;

b) a t időpont kezdete;

c) az r(t) pont mozgástörvénye.

Mivel egy r vektormennyiség megadása ekvivalens a három, x, y, z vetületének a koordinátatengelyeken történő megadásával, könnyen át lehet lépni a vektormódszerről a koordináta tengelyekre. Ha bevezetünk i, j, k egységvektorokat (i = j = k = 1), amelyek rendre az x, y és z tengelyek mentén vannak irányítva (2. ábra), akkor nyilvánvalóan a mozgástörvény alakban ábrázolható. *)

r(t) = x(t)i +y(t)j+z(t)k. (1)

A vektoros rögzítés előnye a koordinátaformával szemben a tömörség (három mennyiség helyett eggyel operálunk) és gyakran a nagyobb áttekinthetőség.

Példa. Rögzített huzal-félkörre egy kis M gyűrűt helyezünk, amelyen egy másik egyenes AB rúd halad át (3. ábra), egyenletesen forogva az A pont körül (= t, ahol = const). Határozzuk meg az M gyűrű mozgásának törvényeit az AB rúd mentén és a félkörhöz képest!

A feladat első részének megoldásához a koordináta módszert használjuk, a derékszögű rendszer x tengelyét a rúd mentén irányítjuk, és az origóját az A pontban választjuk. Mivel a beírt AMS egy egyenes (az átmérő alapján). ),

x(t) = AM = 2Rcos = 2Rcoswt,

ahol R a félkör sugara. Az így létrejövő mozgástörvényt harmonikus rezgésnek nevezzük (ez az oszcilláció nyilvánvalóan csak addig tart, amíg a gyűrű el nem éri az A pontot).

A feladat második részét természetes módszerrel oldjuk meg. Válasszuk az óramutató járásával ellentétes irányban (3. ábra) a pálya (AC félkör) menti távolság számlálásának pozitív irányát, és a C ponttal egybeeső nullát. Ekkor az SM ív hossza az idő függvényében megadja a mozgástörvényt pont M

S(t) = R2 = 2R t,

azok. a gyűrű egyenletesen mozog egy R sugarú kör körül, 2 szögsebességgel. Amint a vizsgálatból kiderül,

az időszámítás nullája mindkét esetben annak a pillanatnak felelt meg, amikor a gyűrű a C pontban volt.

2.Vektoros módszer egy pont mozgásának meghatározására

A pont sebessége érintőlegesen irányul a pályára (2.1. ábra)és kiszámítása az (1.2) szerint a képlet segítségével történik