કનેક્ટિંગ પોઈન્ટના લાઇન ઇન્ટિગ્રલની ગણતરી કરો. વક્રીય ઇન્ટિગ્રલ્સની ગણતરી: સિદ્ધાંત અને ઉદાહરણો. આપણે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ચાપનો સમૂહ શોધીએ છીએ

વ્યાખ્યાન 5 1 લી અને 2 જી પ્રકારના વક્રીકૃત અવિભાજ્ય, તેમના ગુણધર્મો..

વળાંક સમૂહ સમસ્યા. 1 લી પ્રકારનું વક્રીકૃત અભિન્ન.

વળાંક સમૂહ સમસ્યા.પીસવાઇઝ સ્મૂથ મટિરિયલ વળાંકના દરેક બિંદુએ L: (AB) તેની ઘનતા સ્પષ્ટ કરીએ. વળાંકનો સમૂહ નક્કી કરો.

ચાલો આપણે એ જ રીતે આગળ વધીએ જે રીતે આપણે સપાટ પ્રદેશ (ડબલ ઇન્ટિગ્રલ) અને અવકાશી શરીર (ટ્રિપલ ઇન્ટિગ્રલ) નું દળ નક્કી કરતી વખતે કર્યું હતું.

1. અમે ચાપ પ્રદેશ L ના વિભાજનને તત્વોમાં ગોઠવીએ છીએ - પ્રાથમિક ચાપ જેથી આ તત્વોમાં સામાન્ય આંતરિક બિંદુઓ ન હોય અને( શરત એ )

3. અવિભાજ્ય સરવાળો બનાવો , ચાપની લંબાઈ ક્યાં છે (સામાન્ય રીતે ચાપ અને તેની લંબાઈ માટે સમાન સંકેત રજૂ કરવામાં આવે છે). આ વળાંકના સમૂહ માટે અંદાજિત મૂલ્ય છે. સરળીકરણ એ છે કે અમે ચાપની ઘનતા દરેક તત્વ પર સ્થિર હોવાનું માની લીધું અને ઘટકોની મર્યાદિત સંખ્યા લીધી.

પૂરી પાડવામાં આવેલ મર્યાદા પર ખસેડવું (શરત B ), અમને મળે છે રેખા અભિન્નઅવિભાજ્ય રકમની મર્યાદા તરીકે પ્રથમ પ્રકારનું:

.

અસ્તિત્વ પ્રમેય.

વિધેયને પીસવાઇઝ સ્મૂથ ચાપ L પર સતત રહેવા દો. પછી અવિભાજ્ય સરવાળોની મર્યાદા તરીકે પ્રથમ પ્રકારની એક રેખા અવિભાજ્ય અસ્તિત્વમાં છે.

ટિપ્પણી.આ મર્યાદા તેના પર નિર્ભર નથી

પ્રથમ પ્રકારના વક્રીય અભિન્ન અંગના ગુણધર્મો.

1. રેખીયતા
a) સુપરપોઝિશન પ્રોપર્ટી

b) એકરૂપતાની મિલકત .

પુરાવો. ચાલો સમાનતાઓની ડાબી બાજુએ અવિભાજ્ય માટેના અવિભાજ્ય સરવાળો લખીએ. અવિભાજ્ય સરવાળો મર્યાદિત સંખ્યામાં પદો ધરાવે છે, તેથી આપણે સમાનતાઓની જમણી બાજુઓ માટે અવિભાજ્ય સરવાળો તરફ આગળ વધીએ છીએ. પછી આપણે મર્યાદામાં પસાર થઈએ છીએ, સમાનતામાં મર્યાદા સુધી પસાર થવા પર પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને, આપણે ઇચ્છિત પરિણામ મેળવીએ છીએ.

2. ઉમેરણ.
જો , તે = +

3. અહીં આર્ક લંબાઈ છે.

4. જો અસમાનતા ચાપ પર સંતુષ્ટ છે, તો પછી

પુરાવો. ચાલો આપણે અવિભાજ્ય રકમો માટે અસમાનતા લખીએ અને મર્યાદા તરફ આગળ વધીએ.

નોંધ કરો કે, ખાસ કરીને, તે શક્ય છે

5. અંદાજ પ્રમેય.

જો ત્યાં સ્થિરાંકો છે, તો પછી

પુરાવો. એકીકૃત અસમાનતા (સંપત્તિ 4), આપણને મળે છે . ગુણધર્મ 1 દ્વારા, અવિભાજ્યમાંથી સ્થિરાંકોને દૂર કરી શકાય છે. પ્રોપર્ટી 3 નો ઉપયોગ કરીને, અમે ઇચ્છિત પરિણામ મેળવીએ છીએ.

6. સરેરાશ મૂલ્ય પ્રમેય(અવિભાજ્યનું મૂલ્ય).

એક બિંદુ છે , શું

પુરાવો. બંધ બાઉન્ડેડ સેટ પર ફંક્શન સતત હોવાથી, તેનું ઇન્ફિમમ અસ્તિત્વમાં છે અને ટોચની ધાર . અસમાનતા સંતોષાય છે. બંને બાજુઓને L વડે ભાગતા, આપણને મળે છે . પરંતુ નંબર કાર્યના નીચલા અને ઉપલા સીમાઓ વચ્ચે બંધાયેલ છે. બંધ બાઉન્ડેડ સેટ L પર ફંક્શન સતત હોવાથી, પછી અમુક સમયે ફંક્શને આ મૂલ્ય લેવું આવશ્યક છે. આથી, .

પ્રથમ પ્રકારના વક્રીય અભિન્ન અંગની ગણતરી.

ચાલો ચાપ Lનું પરિમાણ કરીએ: AB x = x(t), y = y(t), z =z (t). ચાલો t 0 એ બિંદુ A ને અનુલક્ષે છે, અને t 1 બિંદુ B ને અનુરૂપ છે. પછી પ્રથમ પ્રકારની રેખા અવિભાજ્ય ચોક્કસ અવિભાજ્ય ( - ચાપની લંબાઈના તફાવતની ગણતરી કરવા માટે 1લા સેમેસ્ટરથી જાણીતું સૂત્ર):

ઉદાહરણ.સજાતીય (k બરાબર ઘનતા) હેલિક્સના એક વળાંકના સમૂહની ગણતરી કરો: .

2જા પ્રકારનું કર્વિલિનિયર ઇન્ટિગ્રલ.

બળના કામની સમસ્યા.

બળ કેટલું કામ કરે છે?એફ(એમ) જ્યારે કોઈ બિંદુ ખસેડે છેએમએક ચાપ સાથેએબી? જો ચાપ AB એ એક સીધી રેખા સેગમેન્ટ હોત, અને આર્ક AB સાથે બિંદુ M ને ખસેડતી વખતે બળ તીવ્રતા અને દિશામાં સ્થિર હોય, તો કાર્યની ગણતરી સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કરી શકાય છે, વેક્ટર વચ્ચેનો કોણ ક્યાં છે. સામાન્ય કિસ્સામાં, આ સૂત્રનો ઉપયોગ પૂરતા પ્રમાણમાં નાની લંબાઈના ચાપના તત્વ પર સતત બળ ધારીને, એક અવિભાજ્ય સરવાળો બનાવવા માટે થઈ શકે છે. ચાપના નાના તત્વની લંબાઈને બદલે, તમે તેને ઉપાડીને તારની લંબાઈ લઈ શકો છો, કારણ કે આ જથ્થાઓ શરત (પ્રથમ સેમેસ્ટર) હેઠળ સમાન અનંત જથ્થાઓ છે.

1. અમે પ્રદેશ-આર્ક AB ના વિભાજનને તત્વો - પ્રાથમિક ચાપમાં ગોઠવીએ છીએ જેથી આ તત્વોમાં સામાન્ય આંતરિક બિંદુઓ ન હોય અને( શરત એ )

2. ચાલો પાર્ટીશનના તત્વો પર "ચિહ્નિત બિંદુઓ" M i ને ચિહ્નિત કરીએ અને તેમાં ફંક્શનની કિંમતોની ગણતરી કરીએ

3. ચાલો અવિભાજ્ય સરવાળો બનાવીએ , જ્યાં વેક્ટર -આર્કને સબટેન્ડ કરતી તાર સાથે નિર્દેશિત થાય છે.

4. પૂરી પાડવામાં આવેલ મર્યાદા પર જવું (શરત B ), અમે અવિભાજ્ય રકમની મર્યાદા (અને બળના કાર્ય) તરીકે બીજા પ્રકારનું વક્રીકૃત અવિભાજ્ય પ્રાપ્ત કરીએ છીએ:

. ઘણીવાર સૂચવવામાં આવે છે

અસ્તિત્વ પ્રમેય.

વેક્ટર ફંક્શનને પીસવાઇઝ સ્મૂથ ચાપ L પર સતત રહેવા દો. પછી બીજા પ્રકારનું વક્રીકૃત અવિભાજ્ય અવિભાજ્ય સરવાળોની મર્યાદા તરીકે અસ્તિત્વમાં છે.

.

ટિપ્પણી.આ મર્યાદા તેના પર નિર્ભર નથી

જ્યાં સુધી શરત A સંતુષ્ટ હોય ત્યાં સુધી પાર્ટીશન પસંદ કરવાની પદ્ધતિ

પાર્ટીશન તત્વો પર "ચિહ્નિત બિંદુઓ" પસંદ કરીને,

જ્યાં સુધી શરત B સંતુષ્ટ હોય ત્યાં સુધી પાર્ટીશનને શુદ્ધ કરવા માટેની પદ્ધતિ

2જી પ્રકારના વક્રીય અભિન્ન અંગના ગુણધર્મો.

1. રેખીયતા
a) સુપરપોઝિશન પ્રોપર્ટી

b) એકરૂપતાની મિલકત .

પુરાવો. ચાલો સમાનતાઓની ડાબી બાજુએ અવિભાજ્ય માટેના અવિભાજ્ય સરવાળો લખીએ. અવિભાજ્ય સરવાળામાં પદોની સંખ્યા મર્યાદિત હોવાથી, સ્કેલર પ્રોડક્ટના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને, અમે સમાનતાઓની જમણી બાજુઓ માટે અવિભાજ્ય સરવાળો તરફ આગળ વધીએ છીએ. પછી આપણે મર્યાદામાં પસાર થઈએ છીએ, સમાનતામાં મર્યાદા સુધી પસાર થવા પર પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને, આપણે ઇચ્છિત પરિણામ મેળવીએ છીએ.

2. ઉમેરણ.
જો , તે = + .

પુરાવો. ચાલો પ્રદેશ L નું પાર્ટીશન પસંદ કરીએ જેથી પાર્ટીશનના કોઈપણ તત્વો (શરૂઆતમાં અને પાર્ટીશનને રિફાઈન કરતી વખતે) એકસાથે L 1 અને તત્વો L 2 બંને સમાવે નહીં. આ અસ્તિત્વ પ્રમેય (પ્રમેય પર ટિપ્પણી) નો ઉપયોગ કરીને કરી શકાય છે. આગળ, ફકરા 1 ની જેમ, પુરાવો અભિન્ન રકમ દ્વારા હાથ ધરવામાં આવે છે.

3. ઓરિએન્ટેબિલિટી.

= -

પુરાવો. ચાપ -L ઉપર અભિન્ન, એટલે કે. ચાપને પાર કરવાની નકારાત્મક દિશામાં અવિભાજ્ય રકમોની મર્યાદા હોય છે જેની જગ્યાએ () હોય છે. સ્કેલર પ્રોડક્ટમાંથી અને મર્યાદિત સંખ્યામાં શરતોના સરવાળામાંથી "માઈનસ" લઈને અને મર્યાદામાં પસાર થવાથી, અમે જરૂરી પરિણામ મેળવીએ છીએ.

2જી પ્રકારના વક્રીલીનિયર ઇન્ટિગ્રલની ગણતરી એ જ રીતે કરવામાં આવે છે જે રીતે 1લા પ્રકારના વક્રીલિનીય ઇન્ટિગ્રલને ચોક્કસ સુધી ઘટાડી શકાય છે. આ કરવા માટે, ઇન્ટિગ્રલ ચિન્હ હેઠળના તમામ ચલોને એક ચલ દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે, જે રેખા સાથે એકીકરણ કરવામાં આવે છે તેના સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને.

a) જો રેખા એબીપછી સમીકરણોની સિસ્ટમ દ્વારા આપવામાં આવે છે

(10.3)

પ્લેન કેસ માટે, જ્યારે વળાંક સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે કર્વિલિનિયર ઇન્ટિગ્રલની ગણતરી સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે: . (10.4)

જો રેખા એબીપછી પેરામેટ્રિક સમીકરણો દ્વારા આપવામાં આવે છે

(10.5)

ફ્લેટ કેસ માટે, જો રેખા એબીપેરામેટ્રિક સમીકરણો દ્વારા આપવામાં આવે છે , વક્રીકૃત અભિન્ન સૂત્ર દ્વારા ગણવામાં આવે છે:

, (10.6)

પરિમાણ મૂલ્યો ક્યાં છે ટી,એકીકરણ પાથના પ્રારંભિક અને અંતિમ બિંદુઓને અનુરૂપ.

જો રેખા એબીપીસવાઈઝ સ્મૂથ, તો આપણે વિભાજન કરીને વક્રીકૃત અભિન્નતાના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરવો જોઈએ એબીસરળ ચાપ પર.

ઉદાહરણ 10.1ચાલો વક્રીકૃત અભિન્ન ની ગણતરી કરીએ એક બિંદુથી વળાંકનો ભાગ ધરાવતા સમોચ્ચ સાથે થી અને લંબગોળ ચાપ બિંદુ થી થી .

સમોચ્ચમાં બે ભાગોનો સમાવેશ થતો હોવાથી, અમે વક્રીય અભિન્નતાના ઉમેરણ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: . ચાલો બંને અવિભાજ્યને ચોક્કસમાં ઘટાડીએ. સમોચ્ચનો ભાગ ચલને સંબંધિત સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે . ચાલો સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ (10.4 ), જેમાં આપણે ચલોની ભૂમિકાઓને સ્વિચ કરીએ છીએ. તે.

. ગણતરી પછી આપણને મળે છે .

કોન્ટૂર ઇન્ટિગ્રલની ગણતરી કરવા માટે સૂર્યચાલો અંડાકાર સમીકરણ લખવાના પેરામેટ્રિક સ્વરૂપ તરફ આગળ વધીએ અને સૂત્ર (10.6) નો ઉપયોગ કરીએ.

એકીકરણની મર્યાદાઓ પર ધ્યાન આપો. બિંદુ મૂલ્ય અને બિંદુને અનુલક્ષે છે અનુલક્ષે છે જવાબ:
.

ઉદાહરણ 10.2.ચાલો સીધી રેખા ખંડ સાથે ગણતરી કરીએ એબી, ક્યાં A(1,2,3), B(2,5,8).

ઉકેલ. 2જી પ્રકારનું વક્રીય અભિન્ન અંગ આપવામાં આવ્યું છે. તેની ગણતરી કરવા માટે, તમારે તેને ચોક્કસમાં રૂપાંતરિત કરવાની જરૂર છે. ચાલો રેખાના સમીકરણો બનાવીએ. તેના દિશા વેક્ટરમાં કોઓર્ડિનેટ્સ છે .

રેખા AB ના પ્રામાણિક સમીકરણો: .

આ રેખાના પેરામેટ્રિક સમીકરણો: ,

મુ
.

ચાલો સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ (10.5) :

અવિભાજ્યની ગણતરી કર્યા પછી, અમને જવાબ મળે છે: .

5. ખસેડતી વખતે બળનું કાર્ય સામગ્રી બિંદુવળાંક સાથે બિંદુથી બિંદુ સુધી એકમ સમૂહ .

પીસવાઇઝ સ્મૂધ વળાંકના દરેક બિંદુ પર દો એક વેક્ટર આપવામાં આવે છે જે સતત સંકલન કાર્યો ધરાવે છે: ચાલો આ વળાંકને પોઈન્ટ સાથે નાના ભાગોમાં તોડીએ જેથી દરેક ભાગના બિંદુઓ પર કાર્યોનો અર્થ
સ્થિર ગણી શકાય, અને ભાગ પોતે સીધા સેગમેન્ટ માટે ભૂલ થઈ શકે છે (જુઓ આકૃતિ. 10.1). પછી . સતત બળનું સ્કેલર ઉત્પાદન, જેની ભૂમિકા વેક્ટર દ્વારા ભજવવામાં આવે છે , પ્રતિ રેક્ટીલીનિયર ડિસ્પ્લેસમેન્ટ વેક્ટર એ સામગ્રીના બિંદુને સાથે ખસેડતી વખતે બળ દ્વારા કરવામાં આવતા કાર્યની સંખ્યાત્મક રીતે સમાન છે . ચાલો એક અભિન્ન સરવાળો કરીએ . મર્યાદામાં, પાર્ટીશનોની સંખ્યામાં અમર્યાદિત વધારા સાથે, અમે 2જી પ્રકારનું વક્રીકૃત અભિન્નતા મેળવીએ છીએ.

. (10.7) આમ, 2જી પ્રકારના વક્રીય અભિન્ન અંગનો ભૌતિક અર્થ - આ બળ દ્વારા કરવામાં આવેલું કામ છે જ્યારે કોઈ સામગ્રી બિંદુ પરથી ખસેડવું એથી INસમોચ્ચ સાથે એલ.

ઉદાહરણ 10.3.ચાલો વેક્ટર દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્યની ગણતરી કરીએ ગોળાર્ધના આંતરછેદ તરીકે વ્યાખ્યાયિત વિવિયાની વળાંકના એક ભાગ સાથે બિંદુને ખસેડતી વખતે અને સિલિન્ડર , જ્યારે ધરીના સકારાત્મક ભાગમાંથી જોવામાં આવે ત્યારે ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં ચાલે છે ઓક્સ.

ઉકેલ. ચાલો આપેલ વળાંકને બે સપાટીઓના આંતરછેદની રેખા તરીકે બનાવીએ (ફિગ. 10.3 જુઓ).

.

ઇન્ટિગ્રેન્ડને એક ચલમાં ઘટાડવા માટે, આપણે જઈએ છીએ નળાકાર સિસ્ટમસંકલન: .

કારણ કે એક બિંદુ વળાંક સાથે ફરે છે , તો પછી સમોચ્ચ સાથે બદલાતા ચલને પરિમાણ તરીકે પસંદ કરવાનું અનુકૂળ છે . પછી આપણે આ વળાંકના નીચેના પેરામેટ્રિક સમીકરણો મેળવીએ છીએ:

.તે જ સમયે
.

ચાલો પરિભ્રમણની ગણતરી માટેના સૂત્રમાં પરિણામી સમીકરણોને બદલીએ:

(- + ચિહ્ન સૂચવે છે કે બિંદુ સમોચ્ચ સાથે ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં આગળ વધે છે)

ચાલો અવિભાજ્યની ગણતરી કરીએ અને જવાબ મેળવીએ: .

પાઠ 11.

સરળ રીતે જોડાયેલા પ્રદેશ માટે ગ્રીનનું સૂત્ર. એકીકરણના માર્ગથી વક્રીકૃત અભિન્નતાની સ્વતંત્રતા. ન્યુટન-લીબનીઝ સૂત્ર. વક્રીય અભિન્ન (પ્લેન અને અવકાશી કેસો) નો ઉપયોગ કરીને તેના કુલ વિભેદકમાંથી કાર્ય શોધવું.

OL-1 પ્રકરણ 5, OL-2 પ્રકરણ 3, OL-4 પ્રકરણ 3 § 10, કલમ 10.3, 10.4.

પ્રેક્ટિસ કરો : OL-6 નંબર 2318 (a, b, d), 2319 (a, c), 2322 (a, d), 2327, 2329 અથવા OL-5 નંબર 10.79, 82, 133, 135, 139.

પાઠ 11 માટે ઘરનું નિર્માણ: OL-6 નંબર 2318 (c, d), 2319 (c, d), 2322 (b, c), 2328, 2330 અથવા OL-5 નંબર 10.80, 134, 136, 140

લીલાનું સૂત્ર.

પ્લેનમાં જવા દો પીસવાઇઝ સ્મૂથ બંધ કોન્ટૂર દ્વારા બંધાયેલ સરળ રીતે જોડાયેલ ડોમેન આપવામાં આવે છે. (એક પ્રદેશને સરળ રીતે જોડાયેલ કહેવામાં આવે છે જો તેમાં કોઈપણ બંધ સમોચ્ચ આ પ્રદેશના કોઈ બિંદુ સુધી સંકોચાઈ શકે).

પ્રમેય. જો કાર્યો અને તેમના આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ જી, તે

આકૃતિ 11.1

- લીલાનું સૂત્ર . (11.1)

હકારાત્મક બાયપાસ દિશા સૂચવે છે (ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં).

ઉદાહરણ 11.1.ગ્રીનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને, અમે અવિભાજ્યની ગણતરી કરીએ છીએ સેગમેન્ટ્સ ધરાવતા સમોચ્ચ સાથે O.A., O.B.અને વર્તુળની મોટી ચાપ , પોઈન્ટને જોડે છે એઅને બી,જો , , .

ઉકેલ. ચાલો એક સમોચ્ચ બનાવીએ (ફિગ 11.2 જુઓ). ચાલો જરૂરી ડેરિવેટિવ્ઝની ગણતરી કરીએ.

આકૃતિ 11.2

, ; , . કાર્યો અને તેમના ડેરિવેટિવ્સ આપેલ સમોચ્ચ દ્વારા બંધાયેલા બંધ પ્રદેશમાં સતત હોય છે. ગ્રીનના સૂત્ર મુજબ, આ અભિન્ન છે.

ગણતરી કરેલ ડેરિવેટિવ્ઝને અવેજી કર્યા પછી આપણને મળે છે

. અમે ધ્રુવીય કોઓર્ડિનેટ્સ પર જઈને ડબલ ઈન્ટિગ્રલની ગણતરી કરીએ છીએ:
.

ચાલો 2જા પ્રકારના વક્રીલીયર ઇન્ટિગ્રલ તરીકે સીધા સમોચ્ચ સાથેના પૂર્ણાંકની ગણતરી કરીને જવાબ તપાસીએ.
.

જવાબ આપો:
.

2. એકીકરણના માર્ગથી વક્રીકૃત અભિન્નતાની સ્વતંત્રતા.

દો અને - સરળ રીતે જોડાયેલા પ્રદેશના મનસ્વી બિંદુઓ pl. . આ બિંદુઓને જોડતા વિવિધ વણાંકોમાંથી ગણતરી કરાયેલ વક્રીલીયર ઇન્ટિગ્રલ્સ સામાન્ય રીતે હોય છે વિવિધ અર્થો. પરંતુ જો અમુક શરતો પૂરી થાય છે, તો આ બધા મૂલ્યો સમાન હોઈ શકે છે. પછી ઇન્ટિગ્રલ પાથના આકાર પર આધારિત નથી, પરંતુ ફક્ત પ્રારંભિક અને અંતિમ બિંદુઓ પર આધાર રાખે છે.

નીચેના પ્રમેય ધરાવે છે.

પ્રમેય 1. અભિન્ન માટે ક્રમમાં
બિંદુઓને જોડતા પાથના આકાર પર આધાર રાખતો નથી અને , તે જરૂરી અને પૂરતું છે કે કોઈપણ બંધ સમોચ્ચ સાથે આ અભિન્ન શૂન્ય સમાન હોય.

પ્રમેય 2.. અભિન્ન માટે ક્રમમાં
કોઈપણ બંધ સમોચ્ચ સાથે શૂન્ય બરાબર છે, તે જરૂરી અને પૂરતું છે કે કાર્ય અને તેમના આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ બંધ પ્રદેશમાં સતત હતા જીઅને જેથી સ્થિતિ ( 11.2)

આમ, જો ઇન્ટિગ્રલ માટે પાથના આકારથી સ્વતંત્ર રહેવાની શરતો પૂરી થાય છે (11.2) , પછી તે ફક્ત પ્રારંભ અને અંતિમ બિંદુઓને સ્પષ્ટ કરવા માટે પૂરતું છે: (11.3)

પ્રમેય 3.જો સ્થિતિ સરળ રીતે જોડાયેલા પ્રદેશમાં સંતોષાય છે, તો ત્યાં એક કાર્ય છે જેમ કે (11.4)

આ સૂત્રને સૂત્ર કહેવામાં આવે છે ન્યુટન-લીબનીઝઅવિભાજ્ય રેખા માટે.

ટિપ્પણી.યાદ કરો કે સમાનતા એ હકીકત માટે જરૂરી અને પર્યાપ્ત શરત છે કે અભિવ્યક્તિ
.

પછી ઉપરોક્ત પ્રમેય પરથી તે અનુસરે છે કે જો કાર્યો અને તેમના આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ બંધ પ્રદેશમાં સતત જી, જેમાં પોઈન્ટ આપવામાં આવ્યા છે અને , અને , પછી

એ) એક કાર્ય છે , જેમ કે,

પાથના આકાર પર આધાર રાખતો નથી, ,

c) સૂત્ર ધરાવે છે ન્યુટન-લીબનીઝ .

ઉદાહરણ 11.2. ચાલો ખાતરી કરીએ કે અભિન્ન
પાથના આકાર પર આધાર રાખતો નથી, અને ચાલો તેની ગણતરી કરીએ.

ઉકેલ. .

આકૃતિ 11.3

ચાલો તપાસીએ કે શરત (11.2) સંતુષ્ટ છે.
. જેમ આપણે જોઈ શકીએ છીએ, શરત પૂરી થઈ છે. ઇન્ટિગ્રલનું મૂલ્ય એકીકરણના માર્ગ પર આધારિત નથી. ચાલો એકીકરણ પાથ પસંદ કરીએ. સૌથી વધુ

ગણતરી કરવાની એક સરળ રીત એ તૂટેલી લાઇન છે ડીઆઈએ, પાથના પ્રારંભિક અને અંતિમ બિંદુઓને જોડે છે. (ફિગ. 11.3 જુઓ)

પછી .

3. તેના કુલ વિભેદક દ્વારા કાર્ય શોધવું.

વક્રીય અભિન્નનો ઉપયોગ કરીને, જે પાથના આકાર પર આધારિત નથી, આપણે કાર્ય શોધી શકીએ છીએ , તેના સંપૂર્ણ તફાવતને જાણીને. આ સમસ્યાનું નિરાકરણ નીચે મુજબ છે.

જો કાર્યો અને તેમના આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ બંધ પ્રદેશમાં સતત જીઅને, પછી અભિવ્યક્તિ છે સંપૂર્ણ વિભેદકકેટલાક કાર્ય . વધુમાં, અભિન્ન
, સૌપ્રથમ, પાથના આકાર પર આધાર રાખતો નથી અને બીજું, ન્યૂટન-લીબનીઝ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરી શકાય છે.

ચાલો ગણતરી કરીએ
બે રીતે.

આકૃતિ 11.4

a) પ્રદેશમાં એક બિંદુ પસંદ કરો ચોક્કસ કોઓર્ડિનેટ્સ અને મનસ્વી કોઓર્ડિનેટ્સ સાથેના બિંદુ સાથે. ચાલો આ બિંદુઓને જોડતી બે રેખાખંડો ધરાવતી તૂટેલી રેખા સાથે વક્રીકૃત અભિન્ન ખંડની ગણતરી કરીએ, જેમાં એક અક્ષની સમાંતર હોય અને બીજો અક્ષ સાથે હોય. પછી . (જુઓ ફિગ. 11.4)

સમીકરણ.

સમીકરણ.

અમને મળે છે: બંને અવિભાજ્યની ગણતરી કર્યા પછી, અમને જવાબમાં અમુક ફંક્શન મળે છે.

b) હવે આપણે ન્યૂટન-લીબનીઝ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને સમાન અભિન્ન ગણતરી કરીએ છીએ.

હવે ચાલો સમાન અભિન્ન ગણતરીના બે પરિણામોની તુલના કરીએ. બિંદુ a) માં જવાબનો કાર્યાત્મક ભાગ જરૂરી કાર્ય છે , અને સંખ્યાત્મક ભાગ બિંદુ પર તેનું મૂલ્ય છે .

ઉદાહરણ 11.3.ચાલો ખાતરી કરીએ કે અભિવ્યક્તિ
અમુક ફંક્શનનો કુલ તફાવત છે અને અમે તેને શોધીશું. ચાલો ન્યુટન-લીબનીઝ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ઉદાહરણ 11.2 ની ગણતરીના પરિણામો તપાસીએ.

ઉકેલ.કાર્યના અસ્તિત્વ માટેની શરત (11.2) અગાઉના ઉદાહરણમાં તપાસવામાં આવી હતી. ચાલો આ ફંક્શન શોધીએ, જેના માટે આપણે આકૃતિ 11.4 નો ઉપયોગ કરીશું, અને માટે લઈશું બિંદુ . ચાલો તૂટેલી રેખા સાથે અવિભાજ્ય કંપોઝ કરીએ અને ગણતરી કરીએ DIA,જ્યાં :

ઉપર સૂચવ્યા મુજબ, પરિણામી અભિવ્યક્તિનો કાર્યાત્મક ભાગ ઇચ્છિત કાર્ય છે
.

ચાલો ન્યુટન-લીબનીઝ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ઉદાહરણ 11.2 માંથી ગણતરીઓનું પરિણામ તપાસીએ:

પરિણામો સમાન હતા.

ટિપ્પણી.ધ્યાનમાં લેવાયેલ તમામ નિવેદનો માટે પણ સાચા છે અવકાશી કેસ, પરંતુ ઘણી બધી શરતો સાથે.

એક ટુકડા પ્રમાણે સરળ વળાંક અવકાશમાંના પ્રદેશ સાથે સંબંધિત છે . પછી, જો કાર્યો અને તેમના આંશિક ડેરિવેટિવ્સ બંધ ડોમેનમાં સતત હોય જેમાં પોઈન્ટ આપવામાં આવે છે અને , અને
(11.5 ), તે

a) અભિવ્યક્તિ એ અમુક કાર્યનો કુલ તફાવત છે ,

b) અમુક કાર્યના કુલ વિભેદકનું વક્રીકૃત અભિન્ન અંગ પાથના આકાર પર આધાર રાખતો નથી અને,

c) સૂત્ર ધરાવે છે ન્યુટન-લીબનીઝ .(11.6 )

ઉદાહરણ 11.4. ચાલો ખાતરી કરીએ કે અભિવ્યક્તિ એ અમુક ફંક્શનનો કુલ વિભેદક છે અને અમે તેને શોધીશું.

ઉકેલ.આપેલ અભિવ્યક્તિ એ અમુક કાર્યનો સંપૂર્ણ વિભેદક છે કે કેમ તે પ્રશ્નનો જવાબ આપવા માટે , ચાલો વિધેયોના આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝની ગણતરી કરીએ, , . (સે.મી. (11.5) ) ; ; ; ; ; .

આ કાર્યો અવકાશમાં કોઈપણ બિંદુએ તેમના આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ સાથે સતત હોય છે.

આપણે જોઈએ છીએ કે અસ્તિત્વ માટે જરૂરી અને પર્યાપ્ત શરતો સંતુષ્ટ છે : , , , વગેરે

કાર્યની ગણતરી કરવા માટે ચાલો એ હકીકતનો લાભ લઈએ કે રેખીય અવિભાજ્ય એકીકરણના માર્ગ પર આધારિત નથી અને ન્યૂટન-લીબનીઝ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને તેની ગણતરી કરી શકાય છે. બિંદુ દો - પાથની શરૂઆત અને અમુક બિંદુ - રસ્તાનો અંત . ચાલો ઇન્ટિગ્રલની ગણતરી કરીએ

કોઓર્ડિનેટ અક્ષની સમાંતર સીધા ભાગો ધરાવતા સમોચ્ચ સાથે. (જુઓ ફિગ. 11.5).

.

આકૃતિ 11.5

સમોચ્ચ ભાગોના સમીકરણો: , ,
.

પછી

, xઅહીં નિશ્ચિત છે, તેથી ,

અહીં રેકોર્ડ કરેલ છે y, એટલે જ .

પરિણામે આપણને મળે છે: .

હવે આપણે ન્યૂટન-લીબનીઝ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને સમાન અવિભાજ્યની ગણતરી કરીએ.

ચાલો પરિણામોની તુલના કરીએ: .

પરિણામી સમાનતામાંથી તે અનુસરે છે, અને

પાઠ 12.

પ્રથમ પ્રકારની સપાટી અભિન્ન: વ્યાખ્યા, મૂળભૂત ગુણધર્મો. ડબલ ઇન્ટિગ્રલનો ઉપયોગ કરીને પ્રથમ પ્રકારની સપાટીના અવિભાજ્યની ગણતરી કરવા માટેના નિયમો. પ્રથમ પ્રકારની સપાટીના અવિભાજ્યનો ઉપયોગ: સપાટીનો વિસ્તાર, સામગ્રીની સપાટીનો સમૂહ, સંકલન વિમાનો વિશેની સ્થિર ક્ષણો, જડતાની ક્ષણો અને ગુરુત્વાકર્ષણ કેન્દ્રના સંકલન. OL-1 ch.6, OL 2 ch.3, OL-4§ 11.

પ્રેક્ટિસ કરો: OL-6 નંબર 2347, 2352, 2353 અથવા OL-5 નંબર 10.62, 65, 67.

પાઠ 12 માટે હોમવર્ક:

OL-6 નંબર 2348, 2354 અથવા OL-5 નંબર 10.63, 64, 68.

1 લી પ્રકાર.

1.1.1. 1લા પ્રકારના વક્રીય અભિન્ન અંગની વ્યાખ્યા

પ્લેનમાં જવા દો ઓક્સીઆપેલ વળાંક (એલ).વળાંક પર કોઈપણ બિંદુ માટે દો (એલ)નિર્ધારિત સતત કાર્ય f(x;y).ચાલો ચાપ તોડીએ એબીરેખાઓ (એલ)બિંદુઓ A=P 0, P 1, P n = Bપર nમનસ્વી ચાપ P i -1 P iલંબાઈ સાથે ( i = 1, 2, n) (ફિગ. 27)

ચાલો દરેક ચાપ પર પસંદ કરીએ P i -1 P iમનસ્વી બિંદુ M i (x i; y i),ચાલો ફંક્શનની કિંમતની ગણતરી કરીએ f(x;y)બિંદુ પર એમ આઇ. ચાલો એક અભિન્ન સરવાળો કરીએ

ક્યાં દો.

λ→0 (n→∞), વળાંકને પાર્ટીશન કરવાની પદ્ધતિથી સ્વતંત્ર ( એલ)પ્રાથમિક ભાગોમાં, કે પોઈન્ટની પસંદગીથી એમ આઇ 1 લી પ્રકારનું વક્રીકૃત અભિન્નકાર્યમાંથી f(x;y)(ચાપની લંબાઈ સાથે વક્રીકૃત અભિન્ન) અને સૂચિત કરો:

ટિપ્પણી. ફંક્શનના વક્રીય અભિન્નતાની વ્યાખ્યા એ જ રીતે રજૂ કરવામાં આવી છે f(x;y;z)અવકાશી વળાંક સાથે (એલ).

ભૌતિક અર્થ 1 લી પ્રકારનું વક્રીકૃત અભિન્ન:

જો (L)-રેખીય સમતલ સાથે સપાટ વળાંક, પછી વળાંકનો સમૂહ સૂત્ર દ્વારા જોવા મળે છે:

1.1.2. 1 લી પ્રકારના વક્રીય અભિન્ન અંગના મૂળભૂત ગુણધર્મો:

3. જો એકીકરણ પાથજેમ કે ભાગોમાં ભાંગી, અને એક છે સામાન્ય બિંદુ, તે .

4. 1લા પ્રકારનું કર્વિલિનિયર ઇન્ટિગ્રલ એકીકરણની દિશા પર આધારિત નથી:

5. , વળાંકની લંબાઈ ક્યાં છે.

1.1.3. 1લા પ્રકારના વક્રીય અભિન્ન અંગની ગણતરી.

વક્રીકૃત અભિન્નની ગણતરી ચોક્કસ પૂર્ણાંકની ગણતરીમાં ઘટાડી દેવામાં આવે છે.

1. વળાંક દો (એલ)સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે. પછી

એટલે કે, સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ચાપ વિભેદકની ગણતરી કરવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ

બિંદુ પરથી સીધી રેખાખંડના સમૂહની ગણતરી કરો A(1;1)બિંદુ સુધી B(2;4),જો

ઉકેલ

બે બિંદુઓમાંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ: .

પછી રેખાનું સમીકરણ ( એબી): , .

ચાલો વ્યુત્પન્ન શોધીએ.

પછી . =

2. વળાંક દો (એલ)પેરામેટ્રિક રીતે ઉલ્લેખિત: .

પછી, એટલે કે, સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ચાપ વિભેદકની ગણતરી કરવામાં આવે છે.

વળાંકનો ઉલ્લેખ કરવાના અવકાશી કેસ માટે: પછી

એટલે કે, સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ચાપ વિભેદકની ગણતરી કરવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ

વળાંકની ચાપ લંબાઈ શોધો, .

ઉકેલ

સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને આપણે ચાપની લંબાઈ શોધીએ છીએ: .

આ કરવા માટે, આપણે ચાપ વિભેદક શોધીએ છીએ.

ચાલો ડેરિવેટિવ્ઝ શોધીએ , , પછી ચાપની લંબાઈ: .

3. વળાંક દો (એલ)ધ્રુવીય સંકલન પ્રણાલીમાં ઉલ્લેખિત: . પછી

એટલે કે, સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ચાપ વિભેદકની ગણતરી કરવામાં આવશે.

ઉદાહરણ

રેખા ચાપના દળની ગણતરી કરો, 0≤ ≤ જો .

ઉકેલ

આપણે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ચાપનો સમૂહ શોધીએ છીએ:

આ કરવા માટે, ચાલો ચાપ વિભેદક શોધીએ.

ચાલો વ્યુત્પન્ન શોધીએ.

1.2. 2જા પ્રકારનું કર્વિલિનિયર ઇન્ટિગ્રલ

1.2.1. 2જી પ્રકારના વક્રીય અભિન્ન અંગની વ્યાખ્યા

પ્લેનમાં જવા દો ઓક્સીઆપેલ વળાંક (એલ). ચાલો (એલ)સતત કાર્ય આપવામાં આવે છે f(x;y).ચાલો ચાપ તોડીએ એબીરેખાઓ (એલ)બિંદુઓ A = P 0 , P 1 , P n = Bબિંદુથી દિશામાં એબિંદુ સુધી INપર nમનસ્વી ચાપ P i -1 P iલંબાઈ સાથે ( i = 1, 2, n) (ફિગ. 28).

ચાલો દરેક ચાપ પર પસંદ કરીએ P i -1 P iમનસ્વી બિંદુ M i (x i; y i), ચાલો ફંક્શનની કિંમતની ગણતરી કરીએ f(x;y)બિંદુ પર એમ આઇ. ચાલો એક અભિન્ન સરવાળો કરીએ, જ્યાં - ચાપ પ્રક્ષેપણ લંબાઈ P i -1 P iધરી દીઠ ઓહ. જો પ્રક્ષેપણ સાથેની હિલચાલની દિશા અક્ષની સકારાત્મક દિશા સાથે એકરુપ હોય ઓહ, પછી આર્ક્સનું પ્રક્ષેપણ ગણવામાં આવે છે હકારાત્મક, અન્યથા - નકારાત્મક.

ક્યાં દો.

જો અવિભાજ્ય રકમ પર મર્યાદા છે λ→0 (n→∞), વળાંકને પાર્ટીશન કરવાની પદ્ધતિથી સ્વતંત્ર (એલ)પ્રાથમિક ભાગોમાં, કે પોઈન્ટની પસંદગીમાંથી એમ આઇદરેક પ્રાથમિક ભાગમાં, પછી આ મર્યાદા કહેવામાં આવે છે 2જી પ્રકારનું વક્રીય અભિન્ન અંગકાર્યમાંથી f(x;y)(સંકલન ઉપર વક્રીકૃત અભિન્ન એક્સ) અને સૂચિત કરો:

ટિપ્પણી. y કોઓર્ડિનેટ ઉપર વક્રીકૃત અભિન્ન સમાન રીતે રજૂ કરવામાં આવે છે:

ટિપ્પણી.જો (એલ)એક બંધ વળાંક છે, પછી તેની ઉપરનો અભિન્ન ભાગ સૂચવવામાં આવે છે

ટિપ્પણી.જો ચાલુ હોય ( એલ) ત્રણ ફંક્શન એકસાથે આપવામાં આવે છે અને આ ફંકશનમાંથી ઇન્ટિગ્રલ છે , , ,

પછી અભિવ્યક્તિ: + + કહેવાય છે 2જી પ્રકારનું સામાન્ય વક્રીકૃત અભિન્નઅને લખો:

1.2.2. 2જી પ્રકારના વક્રીય અભિન્ન અંગના મૂળભૂત ગુણધર્મો:

3. જ્યારે એકીકરણની દિશા બદલાય છે, ત્યારે 2જી પ્રકારનું વક્રીકૃત અવિભાજ્ય તેની નિશાની બદલે છે.

4. જો એકીકરણ પાથને ભાગોમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે, અને તેમાં એક સામાન્ય બિંદુ હોય, તો

5. જો વળાંક ( એલ) પ્લેનમાં આવેલું છે:

લંબ અક્ષ ઓહ, પછી =0;

લંબ અક્ષ ઓય, તે ;

લંબ અક્ષ ઓઝ, પછી =0.

6. બંધ વળાંક પર 2જી પ્રકારનો વક્રીકૃત અભિન્ન ભાગ પ્રારંભિક બિંદુની પસંદગી પર આધારિત નથી (માત્ર વળાંકને પસાર કરવાની દિશા પર આધાર રાખે છે).

1.2.3. 2જી પ્રકારના વક્રીય અભિન્ન અંગનો ભૌતિક અર્થ.

જોબ એએકમ સમૂહના પદાર્થ બિંદુને બિંદુ પરથી ખસેડતી વખતે દળો એમબિંદુ સુધી એનસાથે ( MN) બરાબર છે:

1.2.4. 2જી પ્રકારના વક્રીય અભિન્ન અંગની ગણતરી.

2જી પ્રકારના વક્રીલીનિયર ઇન્ટિગ્રલની ગણતરી ચોક્કસ ઇન્ટિગ્રલની ગણતરીમાં ઘટાડવામાં આવે છે.

1. વળાંક દો ( એલ) સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ

ગણતરી કરો ક્યાં ( એલ) - તૂટેલી લાઇન OAB: O(0;0), A(0;2), B(2;4).

ઉકેલ

ત્યારથી (ફિગ. 29), પછી

1) સમીકરણ (OA): , ,

2) રેખાનું સમીકરણ (એબી): .

2. વળાંક દો (એલ)પેરામેટ્રિક રીતે ઉલ્લેખિત: .

ટિપ્પણી.અવકાશી કિસ્સામાં:

ઉદાહરણ

ગણતરી કરો

ક્યાં ( એબી)-માંથી સેગમેન્ટ A(0;0;1)થી B(2;-2;3).

ઉકેલ

ચાલો રેખાનું સમીકરણ શોધીએ ( એબી):

ચાલો સીધી રેખાના સમીકરણના પેરામેટ્રિક રેકોર્ડિંગ પર આગળ વધીએ (એબી). પછી .

બિંદુ A(0;0;1)પરિમાણને અનુરૂપ છે tસમાન: તેથી t=0.

બિંદુ B(2;-2;3)પરિમાણને અનુરૂપ છે t, સમાન: તેથી, t=1.

જ્યારે થી ખસેડવું એથી IN,પેરામીટર t 0 થી 1 સુધી બદલાય છે.

1.3. લીલાનું સૂત્ર. એલ) સહિત. M(x;y;z)ધરી સાથે બળદ, ઓય, ઓઝ

વિભાગ " ઉચ્ચ ગણિત»

વક્રીકૃત અભિન્ન

માર્ગદર્શિકા

વોલ્ગોગ્રાડ

UDC 517.373(075)

સમીક્ષક:

એપ્લાઇડ મેથેમેટિક્સ વિભાગના વરિષ્ઠ લેક્ચરર N.I. કોલ્ટ્સોવા

સંપાદકીય અને પ્રકાશન પરિષદના નિર્ણય દ્વારા પ્રકાશિત

વોલ્ગોગ્રાડ સ્ટેટ ટેકનિકલ યુનિવર્સિટી

કર્વિલિનિયર ઇન્ટિગ્રલ્સ: પદ્ધતિ. સૂચનાઓ / કોમ્પ. એમ.આઈ. એન્ડ્રીવા,

ઓ.ઈ. ગ્રિગોરીએવા; વોલ્ગા સ્ટેટ ટેકનિકલ યુનિવર્સિટી. - વોલ્ગોગ્રાડ, 2011. - 26 પૃષ્ઠ.

માર્ગદર્શિકા એ વિષય પર વ્યક્તિગત સોંપણીઓ પૂર્ણ કરવા માટેની માર્ગદર્શિકા છે "કર્વિલિનિયર ઇન્ટિગ્રલ્સ અને ફિલ્ડ થિયરીમાં તેમની એપ્લિકેશન."

માર્ગદર્શિકાના પ્રથમ ભાગમાં વ્યક્તિગત કાર્યો પૂર્ણ કરવા માટે જરૂરી સૈદ્ધાંતિક સામગ્રી શામેલ છે.

બીજો ભાગ વિષય પરના વ્યક્તિગત કાર્યોમાં સમાવિષ્ટ તમામ પ્રકારના કાર્યો કરવાના ઉદાહરણોની તપાસ કરે છે, જે વધુ સારી સંસ્થામાં ફાળો આપે છે. સ્વતંત્ર કાર્યવિદ્યાર્થીઓ અને વિષયમાં સફળ નિપુણતા.

માર્ગદર્શિકા પ્રથમ અને બીજા વર્ષના વિદ્યાર્થીઓ માટે બનાવાયેલ છે.

© વોલ્ગોગ્રાડ રાજ્ય

તકનીકી યુનિવર્સિટી, 2011

1. 1લી પ્રકારનું કર્વિલિનિયર ઇન્ટિગ્રલ

1લા પ્રકારના વક્રીય અભિન્ન અંગની વ્યાખ્યા

ચાલો È એબી- પ્લેનનો ચાપ અથવા અવકાશી ટુકડા પ્રમાણે સરળ વળાંક એલ, f(પી) આ ચાપ પર વ્યાખ્યાયિત એક સતત કાર્ય છે, એ 0 = એ, એ 1 , એ 2 , …, એ એન – 1 , એ એન = બી એબીઅને પી i– આંશિક ચાપ પર મનસ્વી બિંદુઓ È એ i – 1 એ i, જેની લંબાઈ D છે l i (i = 1, 2, …, n

ખાતે n® ¥ અને મહત્તમ D l i® 0, જે આર્ક È પાર્ટીશન કરવાની પદ્ધતિ પર આધારિત નથી એબીબિંદુઓ એ i, અથવા પોઈન્ટની પસંદગીમાંથી પી iઆંશિક ચાપ પર È એ i – 1 એ i (i = 1, 2, …, n). આ મર્યાદાને ફંક્શનના 1લા પ્રકારનું વક્રીકૃત અભિન્ન કહેવામાં આવે છે f(પી) વળાંક સાથે એલઅને નિયુક્ત થયેલ છે

1લા પ્રકારના વક્રીય અભિન્ન અંગની ગણતરી

1લી પ્રકારના વક્રીલીનિયર ઇન્ટિગ્રલની ગણતરીને ચોક્કસ ઇન્ટિગ્રલની ગણતરીમાં ઘટાડી શકાય છે અલગ અલગ રીતેએકીકરણ વળાંક સુયોજિત કરી રહ્યા છીએ.

જો ચાપ È એબીસમીકરણો દ્વારા પ્લેન વળાંક પેરામેટ્રિકલી આપવામાં આવે છે જ્યાં x(t) અને y(t t, અને x(t 1) = x એ, x(t 2) = x B, તે

જ્યાં - વળાંકની ચાપ લંબાઈનો તફાવત.

અવકાશી વળાંકના પેરામેટ્રિક સ્પષ્ટીકરણના કિસ્સામાં સમાન સૂત્ર ધરાવે છે એલ. જો ચાપ È એબીકુટિલ એલસમીકરણો દ્વારા આપવામાં આવે છે, અને x(t), y(t), z(t) - પરિમાણના સતત વિભેદક કાર્યો t, તે

વળાંકની ચાપ લંબાઈનો તફાવત ક્યાં છે.

વી કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ્સ

જો ચાપ È એબીસપાટ વળાંક એલસમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે જ્યાં y(x

અને વક્રીકૃત અભિન્ન ગણતરી માટેનું સૂત્ર છે:

ચાપ È નો ઉલ્લેખ કરતી વખતે એબીસપાટ વળાંક એલફોર્મમાં x= x(y), y Î [ y 1 ; y 2 ],
જ્યાં x(y) એ સતત વિભેદક કાર્ય છે,

અને કર્વિલિનિયર ઇન્ટિગ્રલની ગણતરી સૂત્ર દ્વારા કરવામાં આવે છે

(1.4)

ધ્રુવીય સમીકરણ દ્વારા એકીકરણ કર્વનો ઉલ્લેખ કરવો

જો વળાંક સપાટ છે એલધ્રુવીય સંકલન પ્રણાલીમાં સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે આર = આર(j), j О , ક્યાં આર(j) એ સતત વિભેદક કાર્ય છે, તો પછી

અને

(1.5)

1લી પ્રકારની વક્રીલિનીય અભિન્નતાની એપ્લિકેશનો

1 લી પ્રકારના વક્રીય અભિન્ન અંગનો ઉપયોગ કરીને, નીચેની ગણતરી કરવામાં આવે છે: વળાંકના ચાપની લંબાઈ, ભાગનો વિસ્તાર નળાકાર સપાટી, સમૂહ, સ્થિર ક્ષણો, જડતાની ક્ષણો અને આપેલ રેખીય ઘનતા સાથે સામગ્રી વળાંકના ગુરુત્વાકર્ષણ કેન્દ્રના કોઓર્ડિનેટ્સ.

1. લંબાઈ lસપાટ અથવા અવકાશી વળાંક એલસૂત્ર દ્વારા જોવા મળે છે

2. ધરીની સમાંતર નળાકાર સપાટીના ભાગનો વિસ્તાર ઓઝેડ generatrix અને પ્લેનમાં સ્થિત છે XOYમાર્ગદર્શિકા એલ, પ્લેન વચ્ચે બંધ XOYઅને સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવેલ સપાટી z = f(x; y) (f(પી) ³ 0 ખાતે પી Î એલ), બરાબર છે

(1.7)

3. વજન mસામગ્રી વળાંક એલરેખીય ઘનતા સાથે m( પી) સૂત્ર દ્વારા નક્કી થાય છે

(1.8)

4. સ્થિર ક્ષણોઅક્ષો સંબંધિત બળદઅને ઓયઅને સમતલ સામગ્રી વળાંકના ગુરુત્વાકર્ષણ કેન્દ્રના કોઓર્ડિનેટ્સ એલરેખીય ઘનતા સાથે m( x; y) અનુક્રમે સમાન છે:

(1.9)

5. વિમાનો વિશે સ્થિર ક્ષણો ઓક્સી, ઓક્સઝ, ઓયઝઅને રેખીય ઘનતા m સાથે અવકાશી સામગ્રી વળાંકના ગુરુત્વાકર્ષણ કેન્દ્રના કોઓર્ડિનેટ્સ ( x; y; z) સૂત્રો દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે:

(1.11)

6. સપાટ સામગ્રી વળાંક માટે એલરેખીય ઘનતા સાથે m( x; y) અક્ષો વિશે જડતાની ક્ષણો બળદ, ઓયઅને કોઓર્ડિનેટ્સનું મૂળ અનુક્રમે સમાન છે:

(1.13)

7. અવકાશી સામગ્રી વળાંકની જડતાની ક્ષણો એલરેખીય ઘનતા સાથે m( x; y; z) કોઓર્ડિનેટ પ્લેન સંબંધિત સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરવામાં આવે છે

(1.14)

અને સંકલન અક્ષો વિશે જડતાની ક્ષણો સમાન છે:

(1.15)

2. બીજા પ્રકારનું કર્વિલિનિયર ઇન્ટિગ્રલ

2જી પ્રકારના વક્રીય અભિન્ન અંગની વ્યાખ્યા

ચાલો È એબી- પીસવાઇઝ સ્મૂધ ઓરિએન્ટેડ વળાંકની ચાપ એલ, = (a x(પી); a y(પી); a z(પી)) - આ ચાપ પર વ્યાખ્યાયિત સતત છે વેક્ટર કાર્ય, એ 0 = એ, એ 1 , એ 2 , …, એ એન – 1 , એ એન = બી- મનસ્વી ચાપ વિભાજન એબીઅને પી i- આંશિક ચાપ પર મનસ્વી બિંદુઓ એ i – 1 એ i. કોઓર્ડિનેટ્સ D સાથે વેક્ટર બનવા દો x i, ડી y i, ડી z i(i = 1, 2, …, n), અને વેક્ટર અને ( i = 1, 2, …, n). પછી અવિભાજ્ય સરવાળોના ક્રમની મર્યાદા છે

ખાતે n® ¥ અને મહત્તમ ÷ ç ® 0, જે ચાપને વિભાજીત કરવાની પદ્ધતિ પર આધારિત નથી એબીબિંદુઓ એ i, અથવા પોઈન્ટની પસંદગીમાંથી પી iઆંશિક ચાપ પર È એ i – 1 એ i
(i = 1, 2, …, n). આ મર્યાદાને ફંક્શનના 2જા પ્રકારનું વક્રીકૃત અભિન્ન કહેવામાં આવે છે ( પી) વળાંક સાથે એલઅને નિયુક્ત થયેલ છે

એવા કિસ્સામાં જ્યારે વેક્ટર ફંક્શન પ્લેન વળાંક પર નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવે છે એલ, એ જ રીતે અમારી પાસે છે:

જ્યારે એકીકરણની દિશા બદલાય છે, ત્યારે 2જી પ્રકારનું વક્રીકૃત અભિન્ન ચિહ્ન બદલાય છે.

પ્રથમ અને બીજા પ્રકારના વક્રીય અભિન્ન અંગો સંબંધ દ્વારા સંબંધિત છે

(2.2)

લક્ષી વળાંક માટે સ્પર્શકનો એકમ વેક્ટર ક્યાં છે.

2જી પ્રકારના વક્રીલીનિયર ઇન્ટિગ્રલનો ઉપયોગ કરીને, તમે વળાંકની ચાપ સાથે ભૌતિક બિંદુને ખસેડતી વખતે બળના કાર્યની ગણતરી કરી શકો છો. એલ:

બંધ વળાંકને પાર કરવાની સકારાત્મક દિશા સાથે,સરળ રીતે જોડાયેલા પ્રદેશને બાઉન્ડિંગ જી, કાઉન્ટરક્લોકવાઇઝ ટ્રાવર્સલ ગણવામાં આવે છે.

બંધ વળાંક પર 2જી પ્રકારનું વક્રીકૃત અભિન્ન સાથેતેને પરિભ્રમણ કહેવામાં આવે છે અને તે સૂચવવામાં આવે છે

(2.4)

2જી પ્રકારના વક્રીય અભિન્ન અંગની ગણતરી

2જી પ્રકારના વક્રીલીનિયર ઇન્ટિગ્રલની ગણતરી ચોક્કસ ઇન્ટિગ્રલની ગણતરીમાં ઘટાડવામાં આવે છે.

એકીકરણ વળાંકની પેરામેટ્રિક વ્યાખ્યા

જો È એબીઓરિએન્ટેડ પ્લેન વળાંક સમીકરણો દ્વારા પેરામેટ્રિકલી આપવામાં આવે છે જ્યાં એક્સ(t) અને y(t) - પરિમાણના સતત વિભેદક કાર્યો t, અને પછી

અવકાશી લક્ષી વળાંકના પેરામેટ્રિક સ્પષ્ટીકરણના કિસ્સામાં સમાન સૂત્ર થાય છે એલ. જો ચાપ È એબીકુટિલ એલસમીકરણો દ્વારા આપવામાં આવે છે, અને - પરિમાણના સતત વિભેદક કાર્યો t, તે

પ્લેન ઇન્ટિગ્રેશન કર્વનો સ્પષ્ટ ઉલ્લેખ કરવો

જો ચાપ È એબી એલજ્યાં સમીકરણ દ્વારા કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટમાં આપવામાં આવે છે y(x) એ સતત વિભેદક કાર્ય છે, તો પછી

(2.7)

ચાપ È નો ઉલ્લેખ કરતી વખતે એબીવિમાન લક્ષી વળાંક એલફોર્મમાં
x= x(y), y Î [ y 1 ; y 2], ક્યાં x(y) એ સતત વિભેદક કાર્ય છે, સૂત્ર માન્ય છે

(2.8)

કાર્યો કરવા દો તેમના ડેરિવેટિવ્ઝ સાથે સતત છે

સપાટ બંધ પ્રદેશમાં જી, એક પીસવાઇઝ સરળ બંધ સ્વ-વિચ્છેદ સકારાત્મક લક્ષી વળાંક દ્વારા બંધાયેલ સાથે+ પછી ગ્રીનનું સૂત્ર ધરાવે છે:

દો જી- સપાટી-સરળ રીતે જોડાયેલ પ્રદેશ, અને

= (a x(પી); a y(પી); a z(પી))

- આ વિસ્તારમાં ઉલ્લેખિત વેક્ટર ક્ષેત્ર. ક્ષેત્ર ( પી) જો આવા કાર્ય અસ્તિત્વમાં હોય તો તેને સંભવિત કહેવામાં આવે છે યુ(પી), શું

(પી) = ગ્રેડ યુ(પી),

જરૂરી અને પૂરતી સ્થિતિવેક્ટર ક્ષેત્ર સંભવિતતા ( પી) ફોર્મ ધરાવે છે:

સડો( પી) = , જ્યાં (2.10)

(2.11)

જો વેક્ટર ક્ષેત્ર સંભવિત હોય, તો 2જી પ્રકારનું વક્રીલીયર ઇન્ટિગ્રલ એકીકરણ વળાંક પર આધારિત નથી, પરંતુ માત્ર ચાપની શરૂઆત અને અંતના કોઓર્ડિનેટ્સ પર આધાર રાખે છે. એમ 0 એમ. સંભવિત યુ(એમવેક્ટર ક્ષેત્રનું ) સ્થિર પદ સુધી નિર્ધારિત થાય છે અને તે સૂત્ર દ્વારા જોવા મળે છે

(2.12)

જ્યાં એમ 0 એમ- એક નિશ્ચિત બિંદુને જોડતો મનસ્વી વળાંક એમ 0 અને ચલ બિંદુ એમ. ગણતરીઓને સરળ બનાવવા માટે, તૂટેલી રેખાને એકીકરણ પાથ તરીકે પસંદ કરી શકાય છે એમ 0 એમ 1 એમ 2 એમસંકલન અક્ષની સમાંતર લિંક્સ સાથે, ઉદાહરણ તરીકે:

3. કાર્યો પૂર્ણ કરવાના ઉદાહરણો

કાર્ય 1

પ્રથમ પ્રકારના વક્રીય અભિન્ન અંગની ગણતરી કરો

જ્યાં L એ વળાંકની ચાપ છે, 0 ≤ x ≤ 1.

ઉકેલ.સુગમ સમતલ સ્પષ્ટ રીતે વ્યાખ્યાયિત વળાંકના કિસ્સામાં પ્રથમ પ્રકારના વક્રીય અભિન્નતાને ચોક્કસ અવિભાજ્યમાં ઘટાડવા માટે સૂત્ર (1.3) નો ઉપયોગ કરીને:

જ્યાં y = y(x), x 0 ≤ x ≤ x 1 - આર્ક સમીકરણ એલએકીકરણ વળાંક. વિચારણા હેઠળના ઉદાહરણમાં આ કાર્યનું વ્યુત્પન્ન શોધો

અને વળાંકની ચાપ લંબાઈનો તફાવત એલ

પછી, આ અભિવ્યક્તિમાં અવેજી તેના બદલે y, અમને મળે છે

ચાલો વક્રીકૃત અભિન્નને ચોક્કસ અભિન્નમાં પરિવર્તિત કરીએ:

અમે અવેજીનો ઉપયોગ કરીને આ અભિન્ન ગણતરી કરીએ છીએ. પછી
t 2 = 1 + x, x = t 2 – 1, ડીએક્સ = 2t તા; ખાતે x = 0 t= 1; એ x= 1 અનુલક્ષે છે. પરિવર્તન પછી આપણને મળે છે

કાર્ય 2

1લી પ્રકારની વક્રીલીયર ઇન્ટિગ્રલની ગણતરી કરો એક ચાપ સાથે એલકુટિલ એલ:x= cos 3 t, y= પાપ 3 t, .

ઉકેલ.કારણ કે એલપેરામેટ્રિક સ્વરૂપમાં આપવામાં આવેલ એક સરળ સમતલ વળાંકનો એક ચાપ છે, પછી અમે પ્રથમ પ્રકારના વક્રીય અભિન્નને ચોક્કસમાં ઘટાડવા માટે સૂત્ર (1.1) નો ઉપયોગ કરીએ છીએ:

.

વિચારણા હેઠળના ઉદાહરણમાં

ચાલો ચાપની લંબાઈનો તફાવત શોધીએ

અમે મળેલા સમીકરણોને સૂત્ર (1.1) માં બદલીએ છીએ અને ગણતરી કરીએ છીએ:

કાર્ય 3

રેખાના ચાપનો સમૂહ શોધો એલરેખીય વિમાન m સાથે.

ઉકેલ.વજન mચાપ એલઘનતા સાથે m( પી) ની ગણતરી સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે (1.8)

આ અવકાશમાં વક્રના પેરામેટ્રિકલી વ્યાખ્યાયિત સરળ ચાપ પર 1 લી પ્રકારનું વક્રીકૃત અભિન્ન અંગ છે, તેથી તેની ગણતરી સૂત્ર (1.2) નો ઉપયોગ કરીને 1લા પ્રકારના વક્રીકૃત અભિન્નને ચોક્કસ પૂર્ણાંકમાં ઘટાડવા માટે કરવામાં આવે છે:

ચાલો ડેરિવેટિવ્ઝ શોધીએ

અને ચાપ લંબાઈનો તફાવત

અમે આ અભિવ્યક્તિઓને સમૂહ માટેના સૂત્રમાં બદલીએ છીએ:

કાર્ય 4

ઉદાહરણ 1. 2જા પ્રકારના વક્રીલીનિયર ઇન્ટિગ્રલની ગણતરી કરો

એક ચાપ સાથે એલવળાંક 4 x + yબિંદુથી 2 = 4 એ(1; 0) થી પોઇન્ટ બી(0; 2).

ઉકેલ.સપાટ ચાપ એલસ્પષ્ટપણે ઉલ્લેખિત છે. ઇન્ટિગ્રલની ગણતરી કરવા માટે, તે વ્યક્ત કરવા માટે વધુ અનુકૂળ છે xદ્વારા y:

અને બીજા પ્રકારના વક્રીકૃત અવિભાજ્યને ચલ પર ચોક્કસ પૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે સૂત્ર (2.8) નો ઉપયોગ કરીને અભિન્ન શોધો y:

જ્યાં a x(x; y) = xy – 1, a y(x; y) = xy 2 .

વળાંકના સ્પષ્ટીકરણને ધ્યાનમાં લેવું

ફોર્મ્યુલા (2.8) નો ઉપયોગ કરીને આપણે મેળવીએ છીએ

ઉદાહરણ 2. 2જા પ્રકારના વક્રીલીનિયર ઇન્ટિગ્રલની ગણતરી કરો

જ્યાં એલ- તૂટેલી લાઇન ABC, એ(1; 2), બી(3; 2), સી(2; 1).

ઉકેલ. વક્રીકૃત અવિભાજ્યની ઉમેરણની મિલકત દ્વારા

દરેક અભિન્ન પદની ગણતરી સૂત્ર (2.7) નો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે.

જ્યાં a x(x; y) = x 2 + y, a y(x; y) = –3xy.

રેખાખંડનું સમીકરણ એબી: y = 2, y¢ = 0, x 1 = 1, x 2 = 3. આ અભિવ્યક્તિઓને સૂત્ર (2.7) માં બદલીને, આપણે મેળવીએ છીએ:

ઇન્ટિગ્રલની ગણતરી કરવી

ચાલો સીધી રેખાનું સમીકરણ બનાવીએ બી.સી.સૂત્ર અનુસાર

જ્યાં x B, y B, x સી, y C- બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ બીઅને સાથે. અમને મળે છે

y – 2 = x – 3, y = x – 1, y¢ = 1.

અમે પરિણામી સમીકરણોને સૂત્રમાં બદલીએ છીએ (2.7):

કાર્ય 5

ચાપ સાથે 2જી પ્રકારના વક્રીકૃત અભિન્નની ગણતરી કરો એલ

0 ≤ t ≤ 1.

ઉકેલ. કારણ કે એકીકરણ વળાંક સમીકરણો દ્વારા પેરામેટ્રિકલી આપવામાં આવે છે x = x(t), y = y(t), t Î [ t 1 ; t 2], ક્યાં x(t) અને y(t) - સતત વિભેદક કાર્યો tખાતે t Î [ t 1 ; t 2 ], પછી બીજા પ્રકારના વક્રીય અભિન્નતાની ગણતરી કરવા માટે આપણે સૂત્ર (2.5) નો ઉપયોગ કરીએ છીએ, જે સમતલના પેરામેટ્રિકલી આપેલ વળાંક માટે વ્યાખ્યાયિત એકથી વક્રીલિનીય અભિન્ન ઘટાડીને ઘટાડે છે.

વિચારણા હેઠળના ઉદાહરણમાં a x(x; y) = y; a y(x; y) = –2x.

વળાંક સેટિંગને ધ્યાનમાં લેવું એલઅમને મળે છે:

અમે મળેલા સમીકરણોને ફોર્મ્યુલા (2.5) માં બદલીએ છીએ અને ચોક્કસ અભિન્નની ગણતરી કરીએ છીએ:

કાર્ય 6

ઉદાહરણ 1. સી + જ્યાં સાથે : y 2 = 2x, y = x – 4.

ઉકેલ.હોદ્દો સી+ સૂચવે છે કે સર્કિટ હકારાત્મક દિશામાં છે, એટલે કે, ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં.

ચાલો તપાસીએ કે સમસ્યાના ઉકેલ માટે આપણે ગ્રીનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ (2.9)

કાર્યો થી a x (x; y) = 2y – x 2 ; a y (x; y) = 3x + yઅને તેમના આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ સપાટ બંધ પ્રદેશમાં સતત જી, સમોચ્ચ દ્વારા મર્યાદિત સી, પછી ગ્રીનનું સૂત્ર લાગુ પડે છે.

ડબલ ઇન્ટિગ્રલની ગણતરી કરવા માટે, અમે પ્રદેશનું નિરૂપણ કરીએ છીએ જી, વણાંકોના ચાપના આંતરછેદ બિંદુઓને અગાઉ નિર્ધારિત કર્યા y 2 = 2xઅને
y = x- 4, સમોચ્ચ બનાવે છે સી.

આપણે સમીકરણોની સિસ્ટમ હલ કરીને આંતરછેદ બિંદુઓ શોધીશું:

સિસ્ટમનું બીજું સમીકરણ સમીકરણની સમકક્ષ છે x 2 – 10x+ 16 = 0, ક્યાંથી x 1 = 2, x 2 = 8, y 1 = –2, y 2 = 4.

તેથી, વળાંકોના આંતરછેદના બિંદુઓ: એ(2; –2), બી(8; 4).

વિસ્તાર થી જી- ધરીની દિશામાં યોગ્ય બળદ, પછી પુનરાવર્તિત એકમાં ડબલ ઇન્ટિગ્રલ ઘટાડવા માટે, અમે પ્રદેશને પ્રોજેક્ટ કરીએ છીએ જીધરી દીઠ ઓ.વાયઅને સૂત્રનો ઉપયોગ કરો

.

કારણ કે a = –2, b = 4, x 2 (y) = 4+y, તે

ઉદાહરણ 2.બંધ સમોચ્ચ સાથે 2જી પ્રકારના વક્રીય અભિન્ન અંગની ગણતરી કરો જ્યાં સાથે- શિરોબિંદુઓ સાથે ત્રિકોણની રૂપરેખા એ(0; 0), બી(1; 2), સી(3; 1).

ઉકેલ.હોદ્દાનો અર્થ એ છે કે ત્રિકોણનો સમોચ્ચ ઘડિયાળની દિશામાં આગળ વધે છે. એવા કિસ્સામાં જ્યારે વક્રીકૃત અવિભાજ્યને બંધ સમોચ્ચ પર લેવામાં આવે છે, ત્યારે ગ્રીનનું સૂત્ર સ્વરૂપ લે છે

ચાલો વિસ્તારનું નિરૂપણ કરીએ જી, આપેલ સમોચ્ચ દ્વારા મર્યાદિત.

કાર્યો અને આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ અને વિસ્તારમાં સતત જી, તેથી ગ્રીનનું સૂત્ર લાગુ કરી શકાય છે. પછી

પ્રદેશ જીકોઈપણ અક્ષની દિશામાં યોગ્ય નથી. ચાલો એક સીધી રેખા ખંડ દોરીએ x= 1 અને કલ્પના કરો જીફોર્મમાં જી = જી 1 È જી 2 જ્યાં જી 1 અને જી 2 વિસ્તારો ધરી દિશામાં યોગ્ય ઓય.

પછી

દરેકની માહિતી માટે ડબલ ઇન્ટિગ્રલદ્વારા જી 1 અને જી 2 પુનરાવર્તન કરવા માટે આપણે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીશું

જ્યાં [ a; b] - વિસ્તાર પ્રક્ષેપણ ડીધરી દીઠ બળદ,

y = y 1 (x) - નીચલા બાઉન્ડિંગ વળાંકનું સમીકરણ,

y = y 2 (x) - ઉપલા મર્યાદિત વળાંકનું સમીકરણ.

ચાલો ડોમેન સીમાઓના સમીકરણો લખીએ જી 1 અને શોધો

એબી: y = 2x, 0 ≤ x ≤ 1; ઈ.સ: , 0 ≤ x ≤ 1.

ચાલો સીમા માટે એક સમીકરણ બનાવીએ બી.સી.પ્રદેશ જી 2 સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને

બી.સી.: જ્યાં 1 ≤ x ≤ 3.

ડીસી: 1 ≤ x ≤ 3.

કાર્ય 7

ઉદાહરણ 1.બળનું કામ શોધો એલ: y = xબિંદુથી 3 એમ(0; 0) થી બિંદુ એન(1; 1).

ઉકેલ. વળાંકની ચાપ સાથે ભૌતિક બિંદુને ખસેડતી વખતે ચલ બળ દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય એલફોર્મ્યુલા (2.3) દ્વારા નિર્ધારિત (વક્ર સાથેના બીજા પ્રકારનાં કાર્યના વક્રીકૃત અભિન્ન અંગ તરીકે એલ) .

કારણ કે વેક્ટર ફંક્શન સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવ્યું છે અને સમીકરણ દ્વારા પ્લેન ઓરિએન્ટેડ કર્વની ચાપ સ્પષ્ટ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવી છે y = y(x), x Î [ x 1 ; x 2], ક્યાં y(x) એ સતત વિભેદક કાર્ય છે, પછી સૂત્ર દ્વારા (2.7)

વિચારણા હેઠળના ઉદાહરણમાં y = x 3 , , x 1 = x એમ = 0, x 2 = x એન= 1. તેથી

ઉદાહરણ 2. બળનું કામ શોધો જ્યારે સામગ્રી બિંદુને રેખા સાથે ખસેડો એલ: x 2 + yબિંદુથી 2 = 4 એમ(0; 2) થી નિર્દેશ એન(–2; 0).

ઉકેલ. ફોર્મ્યુલા (2.3) નો ઉપયોગ કરીને, આપણે મેળવીએ છીએ

.

વિચારણા હેઠળના ઉદાહરણમાં, વળાંકની ચાપ એલ(È MN) એ ઉલ્લેખિત વર્તુળનો એક ક્વાર્ટર છે પ્રામાણિક સમીકરણ x 2 + y 2 = 4.

બીજા પ્રકારના વક્રીકૃત અભિન્નની ગણતરી કરવા માટે, વર્તુળની પેરામેટ્રિક વ્યાખ્યા પર જવાનું વધુ અનુકૂળ છે: x = આર cos t, y = આરપાપ tઅને ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરો (2.5)

કારણ કે x= 2cos t, y= 2 પાપ t, , , અમને મળે છે

કાર્ય 8

ઉદાહરણ 1. સમોચ્ચ સાથે વેક્ટર ક્ષેત્રના પરિભ્રમણના મોડ્યુલસની ગણતરી કરો જી:

ઉકેલ.બંધ સમોચ્ચ સાથે વેક્ટર ક્ષેત્રના પરિભ્રમણની ગણતરી કરવા માટે જીચાલો સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ (2.4)

કારણ કે એક અવકાશી વેક્ટર ક્ષેત્ર અને અવકાશી બંધ લૂપ આપવામાં આવે છે જી, પછી વક્રીકૃત અવિભાજ્યને સંકલન સ્વરૂપમાં લખવાના વેક્ટર સ્વરૂપમાંથી પસાર થતાં, આપણે મેળવીએ છીએ

વળાંક જીબે સપાટીઓના આંતરછેદ તરીકે વ્યાખ્યાયિત: એક હાયપરબોલિક પેરાબોલોઇડ z = x 2 – y 2 + 2 અને સિલિન્ડરો x 2 + y 2 = 1. વક્રીય અવિભાજ્યની ગણતરી કરવા માટે વક્રના પેરામેટ્રિક સમીકરણો પર જવાનું અનુકૂળ છે જી.

નળાકાર સપાટીનું સમીકરણ આ રીતે લખી શકાય છે:
x=cos t, y= પાપ t, z = z. માટે અભિવ્યક્તિ zવળાંકના પેરામેટ્રિક સમીકરણોમાં અવેજીકરણ દ્વારા મેળવવામાં આવે છે x=cos t, y= પાપ tહાઇપરબોલિક પેરાબોલોઇડના સમીકરણમાં z = 2 + cos 2 t- પાપ 2 t= 2 + cos 2 t. તેથી, જી: x=cos t,
y= પાપ t, z= 2 + cos 2 t, 0 ≤ t≤ 2p.

કારણ કે તે વળાંકના પેરામેટ્રિક સમીકરણોમાં શામેલ છે જીકાર્યો
x(t) = cos t, y(t) = પાપ t, z(t) = 2 + cos 2 tપરિમાણના સતત વિભેદક કાર્યો છે tખાતે tО , પછી આપણે સૂત્ર (2.6) નો ઉપયોગ કરીને વક્રીકૃત પૂર્ણાંક શોધીએ છીએ.