કોઈપણનો અભ્યાસ શારીરિક પ્રક્રિયાઆપેલ પ્રક્રિયાને દર્શાવતા જથ્થાઓ વચ્ચે સંબંધ સ્થાપિત કરવા સાથે સંકળાયેલ છે. જટિલ પ્રક્રિયાઓ માટે, જેમાં થર્મલ વાહકતા દ્વારા હીટ ટ્રાન્સફરનો સમાવેશ થાય છે, જથ્થાઓ વચ્ચે સંબંધ સ્થાપિત કરતી વખતે, ગાણિતિક ભૌતિકશાસ્ત્રની પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરવો અનુકૂળ છે, જે અભ્યાસ હેઠળની સમગ્ર જગ્યામાં પ્રક્રિયાની ઘટનાને ધ્યાનમાં લે છે, પરંતુ સમયના અનંત સમયગાળા દરમિયાન પદાર્થના પ્રાથમિક જથ્થામાં. થર્મલ વાહકતા દ્વારા ગરમીના સ્થાનાંતરણમાં સામેલ જથ્થા વચ્ચેનું જોડાણ આ કિસ્સામાં કહેવાતા દ્વારા સ્થાપિત થાય છે. થર્મલ વાહકતાનું વિભેદક સમીકરણ. પસંદ કરેલ પ્રાથમિક જથ્થાની મર્યાદામાં અને સમયના અસંખ્ય નાના સમયગાળાની અંદર, પ્રક્રિયાની લાક્ષણિકતા ધરાવતા કેટલાક જથ્થામાં ફેરફારની અવગણના કરવી શક્ય બને છે.

થર્મલ વાહકતાનું વિભેદક સમીકરણ મેળવતી વખતે, નીચેની ધારણાઓ કરવામાં આવે છે: ભૌતિક જથ્થા λ, પી સાથેઅને ρ કાયમી ત્યાં કોઈ આંતરિક ગરમી સ્ત્રોત નથી; શરીર સજાતીય અને આઇસોટ્રોપિક છે; ઊર્જાના સંરક્ષણના કાયદાનો ઉપયોગ થાય છે, જે આ કેસનીચે પ્રમાણે ઘડવામાં આવે છે: સમય દરમિયાન થર્મલ વાહકતાને કારણે પ્રાથમિક સમાંતર પાઇપમાં પ્રવેશતી ગરમીની માત્રા વચ્ચેનો તફાવત dτઅને તે જ સમય માટે છોડીને, વિચારણા હેઠળના પ્રારંભિક વોલ્યુમની આંતરિક ઊર્જાને બદલવા માટે ખર્ચવામાં આવે છે. પરિણામે, અમે સમીકરણ પર પહોંચીએ છીએ:

જથ્થો કહેવાય છે લેપ્લેસ ઓપરેટરઅને સામાન્ય રીતે 2 તરીકે સંક્ષિપ્ત કરવામાં આવે છે t(ચિહ્ન "નાબલા" વાંચે છે); કદ λ /cρકહેવાય છે થર્મલ ડિફ્યુસિવિટી ગુણાંકઅને પત્ર દ્વારા સૂચિત એ.સૂચવેલ સંકેત સાથે, વિભેદક ઉષ્મા સમીકરણ સ્વરૂપ લે છે

સમીકરણ (1-10) કહેવાય છે થર્મલ વાહકતાનું વિભેદક સમીકરણ,અથવા ફ્યુરિયર સમીકરણ, આંતરિક ગરમીના સ્ત્રોતોની ગેરહાજરીમાં ત્રિ-પરિમાણીય અસ્થિર તાપમાન ક્ષેત્ર માટે. તે થર્મલ વાહકતા દ્વારા હીટ ટ્રાન્સફરની પ્રક્રિયામાં શરીરને ગરમ કરવા અને ઠંડક આપવાના અભ્યાસમાં મુખ્ય સમીકરણ છે અને ક્ષેત્રના કોઈપણ બિંદુએ તાપમાનમાં ટેમ્પોરલ અને અવકાશી ફેરફારો વચ્ચે જોડાણ સ્થાપિત કરે છે.

થર્મલ ડિફ્યુસિવિટી ગુણાંક એ= λ/cρપદાર્થનું ભૌતિક પરિમાણ છે અને તેનું માપન એકમ m 2/s છે. બિન-સ્થિર થર્મલ પ્રક્રિયાઓમાં મૂલ્ય એતાપમાનમાં ફેરફારનો દર દર્શાવે છે. જો થર્મલ વાહકતા ગુણાંક શરીરની ગરમીનું સંચાલન કરવાની ક્ષમતા દર્શાવે છે, તો થર્મલ પ્રસારતા ગુણાંક એશરીરના થર્મલ જડતા ગુણધર્મોનું માપ છે. સમીકરણ (1-10) થી તે અનુસરે છે કે સમય જતાં તાપમાનમાં ફેરફાર ∂t / ∂τશરીરના કોઈપણ બિંદુ માટે મૂલ્યના પ્રમાણસર છે એતેથી, સમાન પરિસ્થિતિઓમાં, ઉચ્ચ થર્મલ ડિફ્યુસિવિટી ધરાવતા શરીરનું તાપમાન ઝડપથી વધશે. વાયુઓ નાના હોય છે, અને ધાતુઓમાં મોટા, થર્મલ ડિફ્યુસિવિટી ગુણાંક હોય છે.

વિભેદક સમીકરણશરીરની અંદર ગરમીના સ્ત્રોતો સાથે થર્મલ વાહકતાનું સ્વરૂપ હશે

જ્યાં q વિ- એકમ સમય દીઠ પદાર્થના એકમ જથ્થા દીઠ પ્રકાશિત ગરમીનું પ્રમાણ, સાથે- શરીરની સામૂહિક ગરમી ક્ષમતા, ρ - શરીરની ઘનતા .

આંતરિક ઉષ્મા સ્ત્રોત સાથે નળાકાર કોઓર્ડિનેટ્સમાં થર્મલ વાહકતાનું વિભેદક સમીકરણ આ પ્રકારનું હશે

જ્યાં આર-નળાકાર કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં ત્રિજ્યા વેક્ટર; φ - ખૂણો.

પૃષ્ઠ 4

. (2.24)

સમીકરણ (2.24) ને આંતરિક ઉષ્મા સ્ત્રોતોની ગેરહાજરીમાં ત્રિ-પરિમાણીય અસ્થિર તાપમાન ક્ષેત્ર માટે વિભેદક ગરમી સમીકરણ (અથવા ફોરિયર વિભેદક સમીકરણ) કહેવામાં આવે છે. તે થર્મલ વાહકતા દ્વારા હીટ ટ્રાન્સફરની પ્રક્રિયામાં શરીરને ગરમ કરવા અને ઠંડક આપવાના અભ્યાસમાં મૂળભૂત છે અને ક્ષેત્રમાં કોઈપણ સમયે તાપમાનમાં ટેમ્પોરલ અને અવકાશી ફેરફારો વચ્ચે જોડાણ સ્થાપિત કરે છે.

લેસરોની ઓટોલેરીંગોલોજી લેસર એપ્લિકેશન.

થર્મલ ડિફ્યુસિવિટી એ પદાર્થનું ભૌતિક પરિમાણ છે અને તેનું એકમ m2/s છે. બિન-સ્થિર થર્મલ પ્રક્રિયાઓમાં, તાપમાનના ફેરફારના દરને લાક્ષણિકતા આપે છે.

સમીકરણ (2.24) થી તે અનુસરે છે કે શરીર પરના કોઈપણ બિંદુ માટે સમય જતાં તાપમાનમાં ફેરફાર a ના મૂલ્યના પ્રમાણસર છે. તેથી, સમાન પરિસ્થિતિઓમાં, ઉચ્ચ થર્મલ ડિફ્યુસિવિટી ધરાવતા શરીરનું તાપમાન ઝડપથી વધે છે.

, (2.25)

જ્યાં qV એ સ્ત્રોતની ચોક્કસ શક્તિ છે, એટલે કે, એકમ સમય દીઠ પદાર્થના એકમ જથ્થા દીઠ પ્રકાશિત ગરમીનું પ્રમાણ.

આ સમીકરણ લખેલું છે કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ્સ. અન્ય કોઓર્ડિનેટ્સમાં, લેપ્લેસ ઓપરેટરનું સ્વરૂપ અલગ છે, તેથી સમીકરણનું સ્વરૂપ પણ બદલાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, માં નળાકાર કોઓર્ડિનેટ્સઆંતરિક ઉષ્મા સ્ત્રોત સાથે થર્મલ વાહકતા માટેનું વિભેદક સમીકરણ છે:

, (2.26)

જ્યાં r એ નળાકાર કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં ત્રિજ્યા વેક્ટર છે;

ધ્રુવીય કોણ.

2.5 સીમાની સ્થિતિ

પરિણામી ફ્યુરિયર વિભેદક સમીકરણ થર્મલ વાહકતા દ્વારા ગરમીના સ્થાનાંતરણની ઘટનાનું વર્ણન કરે છે. સામાન્ય દૃશ્ય. તેને ચોક્કસ કેસમાં લાગુ કરવા માટે, શરીરમાં તાપમાનનું વિતરણ અથવા પ્રારંભિક પરિસ્થિતિઓને જાણવી જરૂરી છે. વધુમાં, તમારે જાણવું જોઈએ:

· ભૌમિતિક આકાર અને શરીરના પરિમાણો,

પર્યાવરણ અને શરીરના ભૌતિક પરિમાણો,

· સીમા શરતો, શરીરની સપાટી પર તાપમાનનું વિતરણ અથવા પર્યાવરણ સાથે અભ્યાસ હેઠળના શરીરની ક્રિયાપ્રતિક્રિયાનું લક્ષણ.

આ તમામ વિશિષ્ટ લક્ષણો, વિભેદક સમીકરણ સાથે મળીને આપે છે સંપૂર્ણ વર્ણનવિશિષ્ટ ગરમી વહન પ્રક્રિયા અને તેને વિશિષ્ટતાની સ્થિતિ અથવા સીમાની સ્થિતિ કહેવામાં આવે છે.

સામાન્ય રીતે, તાપમાન વિતરણની પ્રારંભિક શરતો સમય t = 0 ની ક્ષણ માટે નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવે છે.

સીમાની સ્થિતિ ત્રણ રીતે સ્પષ્ટ કરી શકાય છે.

પ્રથમ પ્રકારની સીમાની સ્થિતિ સમયની કોઈપણ ક્ષણ માટે શરીરની સપાટી પરના તાપમાનના વિતરણ દ્વારા નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવે છે.

બીજા પ્રકારની સીમાની સ્થિતિ સમયની કોઈપણ ક્ષણ માટે શરીરની સપાટી પરના દરેક બિંદુ પર સપાટીની ગરમીના પ્રવાહની ઘનતા દ્વારા નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવે છે.

ત્રીજા પ્રકારની સીમાની સ્થિતિ શરીરની આસપાસના વાતાવરણના તાપમાન અને શરીરની સપાટી અને પર્યાવરણ વચ્ચે ગરમીના સ્થાનાંતરણના કાયદા દ્વારા આપવામાં આવે છે.

અસ્પષ્ટતાની આપેલ શરતો હેઠળ થર્મલ વાહકતાના વિભેદક સમીકરણને ઉકેલવાથી શરીરના સમગ્ર જથ્થામાં તાપમાન ક્ષેત્રને સમયની કોઈપણ ક્ષણ માટે અથવા કાર્ય શોધવાનું શક્ય બને છે. .

2.6 બોલ દિવાલ દ્વારા થર્મલ વહન

વિભાગો 2.1 - 2.5 માં વર્ણવેલ પરિભાષાને ધ્યાનમાં લેતા, આનું કાર્ય કોર્સ વર્કઆ રીતે ઘડી શકાય છે. સતત ગરમીનો પ્રવાહ ગોળાકાર દિવાલ દ્વારા નિર્દેશિત થાય છે, અને ગરમીનો સ્ત્રોત એ ત્રિજ્યા R1 નો આંતરિક ગોળો છે. સ્ત્રોત શક્તિ P સતત છે. સીમા ગોળાઓ વચ્ચેનું માધ્યમ આઇસોટ્રોપિક છે, તેથી તેની થર્મલ વાહકતા c એ એક ચલનું કાર્ય છે - ગોળાના કેન્દ્રથી અંતર (ત્રિજ્યા) r. સમસ્યાની શરતો અનુસાર . પરિણામે, માધ્યમનું તાપમાન પણ આ કિસ્સામાં એક ચલનું કાર્ય છે - ત્રિજ્યા r: T = T(r), અને ઇસોથર્મલ સપાટીઓ કેન્દ્રિત ગોળા છે. આમ, ઇચ્છિત તાપમાન ક્ષેત્ર સ્થિર અને એક-પરિમાણીય છે, અને સીમાની સ્થિતિ એ પ્રથમ પ્રકારની શરતો છે: T(R1) = T1, T(R2) = T2.

તાપમાન ક્ષેત્રની એક-પરિમાણીયતા પરથી તે અનુસરે છે કે હીટ ફ્લક્સ ડેન્સિટી j, તેમજ થર્મલ વાહકતા અને તાપમાન, આ કિસ્સામાં એક ચલ - ત્રિજ્યા r ના કાર્યો છે. અજાણ્યા ફંક્શન્સ j(r) અને T(r) બેમાંથી એક રીતે નક્કી કરી શકાય છે: કાં તો ફોરિયર ડિફરન્શિયલ સમીકરણ (2.25) ઉકેલવા અથવા ફૌરીયરના કાયદા (2.11) નો ઉપયોગ કરીને. આ કાર્યમાં, બીજી પદ્ધતિ પસંદ કરવામાં આવી હતી. અભ્યાસ કરેલ એક-પરિમાણીય ગોળાકાર સપ્રમાણ ઉષ્ણતામાન ક્ષેત્ર માટે ફોરિયરના નિયમનું સ્વરૂપ છે: 1 4

1. આંતરિક ઉષ્મા સ્ત્રોતો વિના થર્મલ વાહકતાનું વિભેદક સમીકરણ ( = 0) :

2. નળાકાર કોઓર્ડિનેટ્સમાં આંતરિક ઉષ્મા સ્ત્રોતો વિના થર્મલ વાહકતાનું વિભેદક સમીકરણ.

નળાકાર કોઓર્ડિનેટ્સમાં, જેમાં ક્યાં આર– ત્રિજ્યા વેક્ટર, – ધ્રુવીય કોણ, સમીકરણ જેવું દેખાશે

ગરમી વહન પ્રક્રિયાઓ માટે વિશિષ્ટતા શરતો. થર્મલ વાહકતાનું વિભેદક સમીકરણ એક નહીં, પરંતુ થર્મલ વાહકતાની ઘટનાના સમગ્ર વર્ગનું વર્ણન કરે છે. ચોક્કસ પ્રક્રિયાનું વિશ્લેષણાત્મક વર્ણન મેળવવા માટે, તેની વિશિષ્ટ વિશેષતાઓ દર્શાવવી જરૂરી છે, જે, વિભેદક સમીકરણ સાથે, સંપૂર્ણ આપે છે. ગાણિતિક વર્ણનવિશિષ્ટ ગરમી વહન પ્રક્રિયા અને તેને વિશિષ્ટતાની સ્થિતિ અથવા સીમાની સ્થિતિ કહેવામાં આવે છે.

વિશિષ્ટતા શરતોમાં શામેલ છે:

શરીરના આકાર અને કદને દર્શાવતી ભૌમિતિક પરિસ્થિતિઓ જેમાં પ્રક્રિયા થાય છે;

શારીરિક પરિસ્થિતિઓ લાક્ષણિકતા ભૌતિક ગુણધર્મોપર્યાવરણ અને શરીર;

સમયના પ્રારંભિક ક્ષણે શરીરમાં તાપમાનના વિતરણને દર્શાવતી અસ્થાયી અથવા પ્રારંભિક પરિસ્થિતિઓ;

વિચારણા હેઠળના શરીર અને પર્યાવરણ વચ્ચેની ક્રિયાપ્રતિક્રિયાની પરિસ્થિતિઓને દર્શાવતી સીમાની સ્થિતિ.

સીમાની સ્થિતિ ઘણી રીતે સ્પષ્ટ કરી શકાય છે.

પ્રથમ પ્રકારની સીમાની પરિસ્થિતિઓ સમયની દરેક ક્ષણ માટે શરીરની સપાટી પર તાપમાનનું વિતરણ સ્પષ્ટ કરે છે:

બીજા પ્રકારની બાઉન્ડ્રી શરતો શરીરની સપાટી પરના દરેક બિંદુ માટે અને કોઈપણ સમયે ગરમીના પ્રવાહના મૂલ્યોને સ્પષ્ટ કરે છે:

ત્રીજા પ્રકારની સીમાની સ્થિતિઓ આસપાસના તાપમાન અને શરીર અને પર્યાવરણ વચ્ચે ગરમીના વિનિમયના કાયદા દ્વારા નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવે છે, જેનો ઉપયોગ હીટ ટ્રાન્સફરના નિયમ તરીકે થાય છે (ન્યુટન-રિચમેન સમીકરણ):

આ કાયદા અનુસાર, સપાટી પર ગરમીના પ્રવાહની ઘનતા

શરીર દિવાલની સપાટી અને પર્યાવરણ વચ્ચેના તાપમાનના તફાવતને પ્રમાણસર છે. આ સમીકરણમાં પ્રમાણસરતા ગુણાંકને હીટ ટ્રાન્સફર ગુણાંક કહેવામાં આવે છે અને તેને a, [W/(m 2 ×K)] તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે. તે શરીરની સપાટી અને પર્યાવરણ વચ્ચે ગરમીના વિનિમયની તીવ્રતા દર્શાવે છે.

બીજી બાજુ, સમાન ઉષ્મા પ્રવાહની ઘનતા સમીકરણમાંથી શોધી શકાય છે:

જ્યાં સબસ્ક્રિપ્ટ “c” સૂચવે છે કે શરીરની સપાટી પર તાપમાનના ઢાળની ગણતરી કરવામાં આવે છે. અમે ત્રીજા પ્રકારની સીમાની સ્થિતિ માટે વિશ્લેષણાત્મક અભિવ્યક્તિ મેળવીએ છીએ:

જ્યારે બે અથવા વધુ સંસ્થાઓ એકબીજાના નજીકના સંપર્કમાં હોય ત્યારે ચોથા પ્રકારની સીમાની સ્થિતિને ધ્યાનમાં લો. આ કિસ્સામાં, એક શરીરની સપાટી પરથી પસાર થતો ગરમીનો પ્રવાહ બીજા શરીરની સપાટીમાંથી પણ પસાર થશે (સંપર્કના સ્થળે ગરમીનું કોઈ નુકસાન નથી).

વ્યાખ્યાન 2. વિભાગ 2. સ્થિર સ્થિતિમાં થર્મલ વાહકતા

સ્થિર સ્થિતિમાં સપાટ અને નળાકાર દિવાલોમાં થર્મલ વાહકતા દ્વારા ગરમીનો પ્રસાર (પ્રથમ પ્રકારની સીમાની સ્થિતિ)

સજાતીય સિંગલ-લેયર સપાટ દિવાલ. ચાલો તેની અમર્યાદિત પહોળાઈ અને લંબાઈ સાથે 8 જાડાઈની સજાતીય સિંગલ-લેયર સપાટ દિવાલમાં થર્મલ વાહકતા દ્વારા ગરમીના પ્રસારને ધ્યાનમાં લઈએ.

ધરી એક્સતેને દિવાલ પર કાટખૂણે દિશામાન કરો (ફિગ. 7.4). અક્ષની દિશામાંની જેમ દિવાલની બંને સપાટીઓ સાથે y,અને ધરીની દિશામાં જીસમાન પુરવઠા અને ગરમીને દૂર કરવા માટે આભાર, તાપમાન સમાનરૂપે વિતરિત કરવામાં આવે છે.

કારણ કે આ અક્ષોની દિશામાં દિવાલ અનંત છે મોટા કદ, પછી અનુરૂપ તાપમાનના ઢાળ F/yu = (k/(k= = 0, અને, આમ, દિવાલની અંતિમ સપાટીઓની થર્મલ વાહકતાની પ્રક્રિયા પર કોઈ પ્રભાવ નથી. સમસ્યાને સરળ બનાવતી આ શરતો હેઠળ, સ્થિર તાપમાન ક્ષેત્ર એ માત્ર સંકલનનું કાર્ય છે X,તે એક-પરિમાણીય સમસ્યા ગણવામાં આવે છે. આ કેસના સંબંધમાં, થર્મલ વાહકતાનું વિભેદક સમીકરણ સ્વરૂપ લેશે (એટ d^dh = 0)

પ્રથમ પ્રકારની સીમાની શરતો આપવામાં આવી છે:

ચોખા. 7.4.

ચાલો તાપમાન શૂન્ય સમીકરણ શોધીએ અને વિસ્તાર સાથે દિવાલના એક વિભાગમાંથી પસાર થતો ગરમીનો પ્રવાહ Ф નક્કી કરીએ એ(ફિગમાં. 1 એલદિવાલ ચિહ્નિત થયેલ નથી કારણ કે તે ડ્રોઇંગના પ્લેન પર કાટખૂણે સ્થિત છે). પ્રથમ એકીકરણ આપે છે

તે સમગ્ર દિવાલની જાડાઈમાં તાપમાનનો ઢાળ સ્થિર છે.

બીજા એકીકરણ પછી આપણે જરૂરી તાપમાન ક્ષેત્ર સમીકરણ મેળવીએ છીએ

જ્યાં એઅને b -સતત એકીકરણ.

આમ, દીવાલની જાડાઈ સાથે તાપમાનમાં ફેરફાર એક રેખીય નિયમને અનુસરે છે, અને ઇસોથર્મલ સપાટીઓ દિવાલના ચહેરાની સમાંતર સમતલ હોય છે.

મનસ્વી એકીકરણ સ્થિરાંકો નક્કી કરવા માટે, અમે સીમા શરતોનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:

કારણ કે? > ? ST2, પછી ધરી પર ઢાળનું પ્રક્ષેપણ એક્સનકારાત્મક તરીકે

આ પસંદ કરેલ અક્ષ દિશા માટે અપેક્ષિત હતું, જે સપાટીના ઉષ્મા પ્રવાહ ઘનતા વેક્ટરની દિશા સાથે એકરુપ છે.

સ્થિરાંકોના મૂલ્યને (7.24) માં બદલીને, આપણે તાપમાન શૂન્ય માટે અંતિમ અભિવ્યક્તિ મેળવીએ છીએ

રેખા a-bફિગ માં. 7.4, કહેવાતા તાપમાન વળાંક, દિવાલની જાડાઈના આધારે તાપમાનમાં ફેરફાર દર્શાવે છે.

તાપમાનના ઢાળને જાણીને, ફોરીયર સમીકરણ (7.10) નો ઉપયોગ કરીને, સપાટીના ક્ષેત્રફળના તત્વમાંથી પસાર થતી ગરમી 8()ની માત્રા શોધવાનું શક્ય છે? 4 ધરીને લંબરૂપ ટી.

અને સપાટી વિસ્તાર માટે એ

ઉષ્મા પ્રવાહ અને સપાટીની ગરમીના પ્રવાહની ઘનતા માટે ફોર્મ્યુલા (7.28) સ્વરૂપ લેશે

ચાલો એક બીજાને ચુસ્તપણે અડીને અનેક (ઉદાહરણ તરીકે, ત્રણ) સ્તરો ધરાવતી બહુસ્તરીય સપાટ દિવાલમાં થર્મલ વાહકતા દ્વારા ગરમીના પ્રસારને ધ્યાનમાં લઈએ (ફિગ 7.5 જુઓ).

ચોખા. 7.5.

દેખીતી રીતે, સ્થિર તાપમાન ક્ષેત્રના કિસ્સામાં, તે જ વિસ્તારની સપાટીઓમાંથી પસાર થતો ગરમીનો પ્રવાહ એ,બધા સ્તરો માટે સમાન હશે. તેથી, દરેક સ્તરો માટે સમીકરણ (7.29) નો ઉપયોગ કરી શકાય છે.

પ્રથમ સ્તર માટે

બીજા અને ત્રીજા સ્તરો માટે

જ્યાં X 2, A 3 - સ્તરોની થર્મલ વાહકતા; 8 1? 8 2, 8 3 - સ્તરની જાડાઈ.

શું ત્રણ-સ્તરની દિવાલની બાહ્ય સીમાઓ પરનું તાપમાન જાણીતું માનવામાં આવે છે? St1 અને? ST4. શું તાપમાન સ્તરો વચ્ચે વિભાજનના વિમાનો સાથે સ્થાપિત થાય છે? ST2 અને? અજાણ્યા ગણાતા એસ.ટી. અમે તાપમાનના તફાવતોને લગતા સમીકરણો (7.31)-(7.33) હલ કરીએ છીએ:

અને પછી તેમને ટર્મ દ્વારા ટર્મ ઉમેરો અને ત્યાંથી અજાણ્યા મધ્યવર્તી તાપમાનને દૂર કરો:

y-લેયર દિવાલ માટે સામાન્યીકરણ (7.36), અમે મેળવીએ છીએ

મધ્યવર્તી તાપમાન નક્કી કરવા માટે? ST2, ? સ્તરોના વિભાગોના પ્લેન પર STZ અમે સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીએ છીએ (7.34):

અંતે, i-સ્તરની દિવાલની વ્યુત્પત્તિને સામાન્ય બનાવતા, અમે ith અને (r + 1)th સ્તરોની સીમા પર તાપમાન માટે સૂત્ર મેળવીએ છીએ:

કેટલીકવાર સમકક્ષ થર્મલ વાહકતા R eq ની વિભાવનાનો ઉપયોગ થાય છે. સપાટ મલ્ટિલેયર દિવાલમાંથી પસાર થતી સપાટીની ગરમીના પ્રવાહની ઘનતા માટે,

મલ્ટિલેયર દિવાલના તમામ સ્તરોની કુલ જાડાઈ ક્યાં છે. અભિવ્યક્તિઓ (7.37) અને (7.40) ની તુલના કરીને, અમે તે નિષ્કર્ષ પર આવીએ છીએ

ફિગ માં. આકૃતિ 7.5 તૂટેલી રેખાના સ્વરૂપમાં મલ્ટિલેયર દિવાલની જાડાઈ સાથે તાપમાનના ફેરફારોનો ગ્રાફ બતાવે છે. સ્તરની અંદર, ઉપર સાબિત થયા મુજબ, તાપમાનમાં ફેરફાર એક રેખીય કાયદાને અનુસરે છે. ઝોક cp ના કોણની સ્પર્શક, તાપમાન આડી તરફ સીધી રેખા

તે બરાબર સંપૂર્ણ મૂલ્યતાપમાન ઢાળ ^1"ac1 આમ, સીધી રેખાઓના ઢોળાવ અનુસાર ab, bcઅને સાથે

આથી,

તે મલ્ટિલેયર સપાટ દિવાલના વ્યક્તિગત સ્તરો માટે તાપમાન ગ્રેડિયન્ટ આ સ્તરોની થર્મલ વાહકતા માટે વિપરિત પ્રમાણસર છે.

આનો અર્થ એ છે કે મોટા તાપમાનના ગ્રેડિએન્ટ્સ મેળવવા માટે (જે જરૂરી છે, ઉદાહરણ તરીકે, જ્યારે સ્ટીમ પાઇપલાઇન્સને ઇન્સ્યુલેટ કરતી વખતે, વગેરે), નીચા થર્મલ વાહકતા મૂલ્યોવાળી સામગ્રીની જરૂર છે.

સજાતીય સિંગલ-લેયર નળાકાર દિવાલ. ચાલો થર્મલ વાહકતા અને સ્થિર સ્થિતિ માટે તાપમાન ક્ષેત્ર શોધીએ સપાટીની ઘનતાસજાતીય સિંગલ-લેયર નળાકાર દિવાલ માટે ગરમીનો પ્રવાહ (ફિગ. 7.6). સમસ્યાને ઉકેલવા માટે આપણે નળાકાર કોઓર્ડિનેટ્સમાં ઉષ્મા વહનના વિભેદક સમીકરણનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.

એક્સિસ 2 ને પાઇપની ધરી સાથે નિર્દેશિત કરવામાં આવશે. ચાલો ધારીએ કે વ્યાસની સરખામણીમાં પાઇપની લંબાઈ અનંત મોટી છે. આ કિસ્સામાં, આપણે ધરી 2 સાથે તાપમાનના વિતરણ પર પાઇપના છેડાના પ્રભાવને અવગણી શકીએ છીએ. ચાલો ધારીએ કે, સમાન પુરવઠા અને ગરમીને દૂર કરવાને કારણે, આંતરિક સપાટી પરનું તાપમાન દરેક જગ્યાએ સમાન છે? ST1, અને બાહ્ય સપાટી પર - ? ST2 (પ્રથમ પ્રકારની સીમાની સ્થિતિ). આ સરળીકરણો સાથે (k/ = 0, અને કોઈપણ વ્યાસની સાપેક્ષ તાપમાન ક્ષેત્રની સમપ્રમાણતાને કારણે?/?/?Ар = 0. આ કિસ્સામાં આઇસોથર્મલ સપાટીઓ સિલિન્ડરોની સપાટીઓ હશે, પાઇપની ધરી સાથે કોક્સિયલ હશે. આમ , એક-પરિમાણીય તાપમાન ક્ષેત્ર નક્કી કરવા માટે સમસ્યા ઓછી થાય છે, ક્યાં? જી- નળાકાર દિવાલની વર્તમાન ત્રિજ્યા.

ચોખા. 7.6.

શરત હેઠળ વિભેદક ગરમી સમીકરણ (7.19). dt/d t = 0 ફોર્મ લેશે

ચાલો એક નવું ચલ રજૂ કરીએ

તાપમાનનો ઢાળ (ગ્રેડ?) શું છે.

ચલને બદલીને અને(7.43) માં, અમે વિભાજિત ચલો સાથે પ્રથમ ક્રમ વિભેદક સમીકરણ મેળવીએ છીએ

અથવા

એકીકરણ, અમને મળે છે

નળાકાર દિવાલ માટે, તાપમાન ઢાળ એ ચલ મૂલ્ય છે જે ઘટતી ત્રિજ્યા સાથે વધે છે જી.પરિણામે, આંતરિક સપાટી પરનું તાપમાન ઢાળ બાહ્ય સપાટી કરતાં વધારે છે.

મૂલ્યની અવેજીમાં અને(7.44) થી (7.45), અમે મેળવીએ છીએ અને

જ્યાં એક બી- સતત એકીકરણ.

પરિણામે, દિવાલની જાડાઈ પર તાપમાન વિતરણ વળાંક એ લઘુગણક વળાંક છે (વળાંક a-bફિગ માં. 7.6).

ચાલો સ્થિરાંકો વ્યાખ્યાયિત કરીએ એઅને bપ્રથમ પ્રકારની સીમાની સ્થિતિના આધારે તાપમાન ક્ષેત્રના સમીકરણમાં સમાવેશ થાય છે. ચાલો સપાટીની આંતરિક ત્રિજ્યા સૂચવીએ g x,બાહ્ય - g 2.અમે અનુરૂપ વ્યાસ સૂચવીએ છીએ (1 એલઅને (1 2 . પછી આપણી પાસે સમીકરણોની સિસ્ટમ છે

સમીકરણોની આ સિસ્ટમને હલ કરવાથી, આપણને મળે છે

તાપમાન શૂન્ય સમીકરણ સ્વરૂપ લેશે તાપમાનનો ઢાળ સૂત્ર (7.45) દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે:

કારણ કે? ST1 > ? ST2, અને r, r 2, પછી પ્રોજેક્શન ગ્રેડ? ત્રિજ્યા વેક્ટર પર નકારાત્મક મૂલ્ય છે.

બાદમાં દર્શાવે છે કે આ કિસ્સામાં ગરમીનો પ્રવાહ કેન્દ્રથી પરિઘ તરફ નિર્દેશિત થાય છે.

એક વિસ્તારમાંથી પસાર થતો ગરમીનો પ્રવાહ નક્કી કરવા નળાકાર સપાટીલંબાઈ bચાલો સમીકરણનો ઉપયોગ કરીએ

(7.46) થી તે અનુસરે છે કે નળાકાર સપાટી પરથી પસાર થતો ગરમીનો પ્રવાહ બાહ્ય અને આંતરિક ત્રિજ્યા r 2 / ના ગુણોત્તર પર આધાર રાખે છે. g x(અથવા વ્યાસ s1 2 / (1 {), અને દિવાલની જાડાઈ પર નહીં.

નળાકાર સપાટી માટે સપાટીની ગરમીના પ્રવાહની ઘનતા, ગરમીના પ્રવાહ Ф ને આંતરિક સપાટીના વિસ્તાર સાથે સાંકળીને શોધી શકાય છે. એક વી.પીઅથવા બાહ્ય સપાટી વિસ્તાર માટે એક એનપી.ગણતરીમાં, રેખીય ગરમી પ્રવાહ ઘનતાનો ઉપયોગ કેટલીકવાર થાય છે:

(7.47)-(7.49) થી તે અનુસરે છે

મલ્ટિલેયર નળાકાર દિવાલ. ચાલો આંતરિક વ્યાસ સાથે A (ફિગ. 7.7) લંબાઈની ત્રણ-સ્તરની નળાકાર દિવાલ (પાઈપ) માં થર્મલ વાહકતા દ્વારા ગરમીના વિતરણને ધ્યાનમાં લઈએ. c1 xઅને બાહ્ય વ્યાસ (1 એલ.વ્યક્તિગત સ્તરોનો મધ્યવર્તી વ્યાસ - s1 2અને X 2, X 3.

ચોખા. 7.7.

શું તાપમાન જાણીતું માનવામાં આવે છે? ST) આંતરિક અને તાપમાન? ST4 બાહ્ય સપાટી. શું ગરમીનો પ્રવાહ F અને તાપમાન નક્કી કરવાનું છે? ST2 અને? સ્તરની સીમાઓ પર STz. ચાલો દરેક લેયર માટે ફોર્મનું સમીકરણ બનાવીએ (7.46):

તાપમાનના તફાવતો માટે (7.51)-(7.53) ઉકેલો, અને પછી ટર્મ દ્વારા શબ્દ ઉમેરીને, આપણને મળે છે

(7.54) થી અમારી પાસે ત્રણ-સ્તરની દિવાલ માટે ગરમીનો પ્રવાહ નક્કી કરવા માટે ગણતરી કરેલ અભિવ્યક્તિ છે:

ચાલો યુ-લેયર પાઇપ વોલ માટે ફોર્મ્યુલા (7.55) ને સામાન્યીકરણ કરીએ:
જ્યાં i- સ્તરનો સીરીયલ નંબર.

(7.51)-(7.53) માંથી અમને મધ્યવર્તી સ્તરોની સીમાઓ પર તાપમાન નક્કી કરવા માટે એક અભિવ્યક્તિ મળે છે:

તાપમાન? કલા. +) સરહદ પર? (જી+ 1)મા સ્તર સમાન સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને નક્કી કરી શકાય છે

સાહિત્ય પ્રથમ પ્રકારની બાઉન્ડ્રી શરતો હેઠળ હોલો બોલ માટેના વિભેદક ઉષ્મા સમીકરણ તેમજ ત્રીજા પ્રકારની સીમાની સ્થિતિ હેઠળના તમામ ગણવામાં આવતા શરીર માટે ઉકેલો પૂરા પાડે છે. અમે આ સમસ્યાઓને ધ્યાનમાં લેતા નથી. સતત અને વેરિયેબલ ક્રોસ સેક્શનના સળિયા (પાંસળી) માં સ્થિર થર્મલ વાહકતાના મુદ્દાઓ તેમજ બિન-સ્થિર થર્મલ વાહકતાના મુદ્દાઓ પણ અમારા અભ્યાસક્રમની બહાર રહ્યા.

પ્રશ્ન 23 બરફના મિશ્રણની વિશિષ્ટ ગરમી શું છે?

ફ્યુઝનની ચોક્કસ ગરમી સૂત્ર દ્વારા જોવા મળે છે:

જ્યાં Q એ m સમૂહના શરીરને ઓગળવા માટે જરૂરી ગરમીનું પ્રમાણ છે.

જ્યારે ઘનકરણ થાય છે, ત્યારે પદાર્થો તેટલી જ ગરમી છોડે છે જે તેમને ઓગળવા માટે જરૂરી હતી. અણુઓ, ઊર્જા ગુમાવે છે, સ્ફટિકો બનાવે છે, અન્ય પરમાણુઓના આકર્ષણનો પ્રતિકાર કરવામાં અસમર્થ છે. અને ફરીથી, જ્યાં સુધી આખું શરીર સખત ન થાય ત્યાં સુધી શરીરનું તાપમાન ઘટશે નહીં, અને જ્યાં સુધી તેના ગલન પર ખર્ચવામાં આવેલી બધી ઊર્જા છૂટી ન જાય ત્યાં સુધી. એટલે કે, ફ્યુઝનની વિશિષ્ટ ગરમી બતાવે છે કે m સમૂહના શરીરને ઓગળવા માટે કેટલી ઊર્જાનો ખર્ચ કરવો પડશે અને જ્યારે આ શરીર મજબૂત થશે ત્યારે કેટલી ઊર્જા છોડવામાં આવશે.

ઉદાહરણ તરીકે, ઘન અવસ્થામાં પાણીના ફ્યુઝનની ચોક્કસ ગરમી, એટલે કે, બરફના મિશ્રણની ચોક્કસ ગરમી 3.4*10^5 J/kg છે

બરફના ફ્યુઝનની ચોક્કસ ગરમી 3.4 ગુણ્યા 10 થી 5મી પાવર જૌલ/કિલો છે

ફ્યુઝનની વિશિષ્ટ ગરમી ગ્રીક અક્ષર λ (લેમ્બડા) દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે, અને માપનનું એકમ 1 J/kg છે.

પ્રશ્ન 24 ચાલો L1 ને બાષ્પીકરણની વિશિષ્ટ ગરમી તરીકે અને L2 ને ફ્યુઝનની વિશિષ્ટ ગરમી તરીકે દર્શાવીએ. વધુ શું છે?

બાષ્પીભવન દરમિયાન શરીર ઊર્જા મેળવે છે, તેથી આપણે તે નિષ્કર્ષ પર આવી શકીએ છીએ આંતરિક ઊર્જાવાયુયુક્ત અવસ્થામાં રહેલું શરીર પ્રવાહી સ્થિતિમાં સમાન સમૂહના શરીરની આંતરિક ઉર્જા કરતા વધારે હોય છે. તેથી, ઘનીકરણ દરમિયાન, વરાળ ઊર્જાનો જથ્થો છોડે છે જે તેની રચના માટે જરૂરી હતી

બાષ્પીભવનની ચોક્કસ ગરમી- 1 કિલો પદાર્થનું તાપમાન બદલ્યા વિના તેને વરાળમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે જરૂરી ઉષ્માનું પ્રમાણ દર્શાવતો ભૌતિક જથ્થો.મતભેદ « આર

ફ્યુઝનની ચોક્કસ ગરમી- 1 કિલો પદાર્થનું તાપમાન બદલ્યા વિના પ્રવાહીમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે જરૂરી ગરમીનું પ્રમાણ દર્શાવતો ભૌતિક જથ્થો.મતભેદ « λ "માટે વિવિધ પદાર્થો, એક નિયમ તરીકે, અલગ છે. તેઓ પ્રયોગમૂલક રીતે માપવામાં આવે છે અને વિશિષ્ટ કોષ્ટકોમાં દાખલ થાય છે

બાષ્પીભવનની વિશિષ્ટ ગરમી વધારે છે

પ્રશ્ન 25: કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ્સમાં દ્વિ-પરિમાણીય અસ્થિર તાપમાન ક્ષેત્ર માટે વિભેદક ઉષ્મા સમીકરણ?

x i = x, y, z – કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ;

જો કોઈ એક કોઓર્ડિનેટ્સ સાથે તાપમાન સ્થિર રહે છે, તો ગાણિતિક રીતે આ સ્થિતિ (ઉદાહરણ તરીકે, z કોઓર્ડિનેટ માટે) નીચે પ્રમાણે લખવામાં આવે છે: dT/dz=0.

આ કિસ્સામાં, ક્ષેત્રને દ્વિ-પરિમાણીય કહેવામાં આવે છે અને તે લખેલું છે:

બિન-સ્થિર મોડ માટે T=T(x, y, t);

સ્થિર મોડ માટે T=T(x, y).

મોડ માટે દ્વિ-પરિમાણીય તાપમાન ક્ષેત્રના સમીકરણો

બિન-સ્થિર:

પ્રશ્ન 26: નળાકાર કોઓર્ડિનેટ્સમાં બિન-સ્થિર તાપમાન ક્ષેત્ર માટે વિભેદક ઉષ્મા સમીકરણ?

x i = r, φ, z – નળાકાર કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ;

તાપમાન ક્ષેત્રઆપેલ કોમ્પ્યુટેશનલ ડોમેનના તમામ બિંદુઓ પર અને સમય જતાં તાપમાન મૂલ્યોનો સમૂહ છે.

તાપમાન ક્ષેત્ર ડિગ્રી સેલ્સિયસ અને કેલ્વિનમાં માપવામાં આવે છે અને તે જ રીતે નિયુક્ત કરવામાં આવે છે જેમ કે TTD: , જ્યાં x i એ જગ્યાના બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ છે જ્યાં તાપમાન જોવા મળે છે, મીટર [m] માં; τ - સેકન્ડમાં ગરમી વિનિમય પ્રક્રિયાનો સમય, [ઓ]. તે. તાપમાન ક્ષેત્ર કોઓર્ડિનેટ્સની સંખ્યા અને સમય જતાં તેની વર્તણૂક દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે.

નીચેની સંકલન પ્રણાલીઓનો ઉપયોગ થર્મલ ગણતરીઓમાં થાય છે:

x i = r, φ, z – નળાકાર કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ;

તાપમાન ક્ષેત્ર, જે સમય સાથે ફેરફારો, કહેવાય છે બિન-સ્થિરતાપમાન ક્ષેત્ર. અને ઊલટું, તાપમાન ક્ષેત્ર, જે સમય સાથે બદલાતો નથી, કહેવાય છે સ્થિરતાપમાન ક્ષેત્ર.

નળાકારકોઓર્ડિનેટ્સ (r – ત્રિજ્યા; φ – ધ્રુવીય કોણ; z – લાગુ), થર્મલ વાહકતાનું વિભેદક સમીકરણ સ્વરૂપ ધરાવે છે

,