આંકડાકીય વસ્તીમાં લક્ષણની વિવિધતા માટેના મુખ્ય માપદંડો છે: મર્યાદા, કંપનવિસ્તાર, પ્રમાણભૂત વિચલન, ઓસિલેશન ગુણાંક અને વિવિધતાના ગુણાંક. અગાઉના પાઠમાં, તે ચર્ચા કરવામાં આવી હતી કે સરેરાશ મૂલ્યો એકંદરમાં અભ્યાસ કરેલ લક્ષણની માત્ર એક સામાન્ય લાક્ષણિકતા આપે છે અને તેના વ્યક્તિગત ચલોના મૂલ્યોને ધ્યાનમાં લેતા નથી: લઘુત્તમ અને મહત્તમ મૂલ્યો, સરેરાશ કરતાં વધુ , સરેરાશથી નીચે, વગેરે.

ઉદાહરણ. બે અલગ અલગ સંખ્યાત્મક ક્રમના સરેરાશ મૂલ્યો: -100; -20; 100; 20 અને 0.1; -0.2; 0.1 બરાબર સમાન અને સમાન છેવિશે.જો કે, આ સંબંધિત સરેરાશ સિક્વન્સની ડેટા સ્કેટર રેન્જ ખૂબ જ અલગ છે.

લક્ષણની વિવિધતા માટે સૂચિબદ્ધ માપદંડોની વ્યાખ્યા મુખ્યત્વે આંકડાકીય વસ્તીના વ્યક્તિગત ઘટકો માટે તેના મૂલ્યને ધ્યાનમાં લઈને હાથ ધરવામાં આવે છે.

લક્ષણની વિવિધતાને માપવાના સૂચકાંકો છે સંપૂર્ણઅને સંબંધિત. વિવિધતાના સંપૂર્ણ સૂચકોમાં સમાવેશ થાય છે: વિવિધતાની શ્રેણી, મર્યાદા, પ્રમાણભૂત વિચલન, વિચલન. વિવિધતાના ગુણાંક અને ઓસિલેશનના ગુણાંક વિવિધતાના સંબંધિત માપનો સંદર્ભ આપે છે.

મર્યાદા (લિમ) -આ એક માપદંડ છે જે વિવિધતા શ્રેણીમાં વેરિઅન્ટના આત્યંતિક મૂલ્યો દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, આ માપદંડ લક્ષણના લઘુત્તમ અને મહત્તમ મૂલ્યો દ્વારા મર્યાદિત છે:

કંપનવિસ્તાર (Am)અથવા વિવિધતાની શ્રેણી -આ ચરમસીમા વચ્ચેનો તફાવત છે. આ માપદંડની ગણતરી એટ્રિબ્યુટના મહત્તમ મૂલ્યમાંથી તેના લઘુત્તમ મૂલ્યને બાદ કરીને હાથ ધરવામાં આવે છે, જે વેરિઅન્ટના વિક્ષેપની ડિગ્રીનો અંદાજ કાઢવાનું શક્ય બનાવે છે:

પરિવર્તનશીલતા માટેના માપદંડ તરીકે મર્યાદા અને કંપનવિસ્તારનો ગેરલાભ એ છે કે તેઓ વિવિધતા શ્રેણીમાં વિશેષતાના આત્યંતિક મૂલ્યો પર સંપૂર્ણપણે આધાર રાખે છે. આ કિસ્સામાં, શ્રેણીની અંદરના લક્ષણના મૂલ્યોમાં વધઘટ ધ્યાનમાં લેવામાં આવતી નથી.

આંકડાકીય વસ્તીમાં લક્ષણની વિવિધતાની સૌથી સંપૂર્ણ લાક્ષણિકતા દ્વારા આપવામાં આવે છે પ્રમાણભૂત વિચલન(સિગ્મા), જે તેના સરેરાશ મૂલ્યમાંથી ચલના વિચલનનું સામાન્ય માપ છે. પ્રમાણભૂત વિચલનને ઘણીવાર તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે પ્રમાણભૂત વિચલન.

પ્રમાણભૂત વિચલનનો આધાર આ વસ્તીના અંકગણિત સરેરાશ સાથે દરેક વિકલ્પની સરખામણી છે. એકંદરમાં હંમેશા તેના કરતા ઓછા અને વધુ બંને વિકલ્પો હશે, તો પછી "" ચિહ્ન ધરાવતા વિચલનોનો સરવાળો "" ચિહ્ન ધરાવતા વિચલનોના સરવાળા દ્વારા ચૂકવવામાં આવશે, એટલે કે. તમામ વિચલનોનો સરવાળો શૂન્ય છે. તફાવતોના ચિહ્નોના પ્રભાવને ટાળવા માટે, અંકગણિત સરેરાશ વર્ગમાંથી ચલના વિચલનો લેવામાં આવે છે, એટલે કે. . ચોરસ વિચલનોનો સરવાળો શૂન્ય બરાબર નથી. પરિવર્તનક્ષમતાને માપવા સક્ષમ ગુણાંક મેળવવા માટે, ચોરસના સરવાળાની સરેરાશ લો - આ મૂલ્ય કહેવાય છે વિક્ષેપ:

વ્યાખ્યા મુજબ, વિચલન એ તેના સરેરાશ મૂલ્યમાંથી વિશેષતાના વ્યક્તિગત મૂલ્યોના વિચલનોનો સરેરાશ વર્ગ છે. વિક્ષેપ – વર્ગ પ્રમાણભૂત વિચલન.

વિક્ષેપ એ પરિમાણીય જથ્થો છે (નામ આપવામાં આવ્યું છે). તેથી, જો સંખ્યા શ્રેણીના ચલો મીટરમાં દર્શાવવામાં આવે છે, તો વિક્ષેપ ચોરસ મીટર આપે છે; જો ચલોને કિલોગ્રામમાં દર્શાવવામાં આવે છે, તો ભિન્નતા આ માપનો વર્ગ આપે છે (કિલો 2), અને તેથી વધુ.

પ્રમાણભૂત વિચલનવિભિન્નતાનું વર્ગમૂળ છે:

જો વસ્તીમાં તત્વોની સંખ્યા, પછી જ્યારે અપૂર્ણાંકના છેદમાં ભિન્નતા અને પ્રમાણભૂત વિચલનની ગણતરી કરતી વખતે, તેના બદલેમૂકવું જરૂરી છે.

પ્રમાણભૂત વિચલનની ગણતરીને છ તબક્કામાં વિભાજિત કરી શકાય છે, જે ચોક્કસ ક્રમમાં હાથ ધરવામાં આવશ્યક છે:

પ્રમાણભૂત વિચલન લાગુ કરવું:

a) વિવિધતા શ્રેણીની વધઘટ અને અંકગણિત માધ્યમોની લાક્ષણિકતા (પ્રતિનિધિત્વ) નું તુલનાત્મક મૂલ્યાંકન નક્કી કરવા. ચિહ્નોની સ્થિરતા નક્કી કરતી વખતે વિભેદક નિદાનમાં આ જરૂરી છે.

b) વિવિધતા શ્રેણીના પુનર્નિર્માણ માટે, એટલે કે. પર આધારિત તેના આવર્તન પ્રતિભાવને પુનઃસ્થાપિત કરી રહ્યું છે ત્રણ સિગ્મા નિયમો. અંતરાલમાં (М±3σ) શ્રેણીના તમામ પ્રકારોમાં 99.7% છે, અંતરાલમાં (М±2σ) - 95.5% અને અંતરાલમાં (М±1σ) - 68.3% પંક્તિ વિકલ્પ(ફિગ. 1).

c) "પોપ-અપ" વિકલ્પો ઓળખવા માટે

d) સિગ્મા અંદાજનો ઉપયોગ કરીને ધોરણ અને પેથોલોજીના પરિમાણો નક્કી કરવા

e) વિવિધતાના ગુણાંકની ગણતરી કરવા માટે

e) અંકગણિત સરેરાશની સરેરાશ ભૂલની ગણતરી કરવા માટે.

કોઈપણ સામાન્ય વસ્તીને લાક્ષણિકતા આપવા માટે કે જે હોયસામાન્ય વિતરણ પ્રકાર , તે બે પરિમાણો જાણવા માટે પૂરતું છે: અંકગણિત સરેરાશ અને પ્રમાણભૂત વિચલન.

આકૃતિ 1. ત્રણ સિગ્મા નિયમ

ઉદાહરણ.

બાળરોગમાં, પ્રમાણભૂત વિચલનનો ઉપયોગ ચોક્કસ બાળકના ડેટાને અનુરૂપ પ્રમાણભૂત સૂચકાંકો સાથે સરખાવીને બાળકોના શારીરિક વિકાસનું મૂલ્યાંકન કરવા માટે થાય છે. તંદુરસ્ત બાળકોના શારીરિક વિકાસના અંકગણિત સરેરાશ સૂચકાંકોને ધોરણ તરીકે લેવામાં આવે છે. ધોરણો સાથે સૂચકોની સરખામણી વિશેષ કોષ્ટકો અનુસાર હાથ ધરવામાં આવે છે, જેમાં ધોરણો તેમના અનુરૂપ સિગ્મા ભીંગડા સાથે આપવામાં આવે છે. એવું માનવામાં આવે છે કે જો બાળકના શારીરિક વિકાસનું સૂચક ધોરણ (અંકગણિત સરેરાશ) ±σ ની અંદર હોય, તો પછી શારીરિક વિકાસબાળક (આ સૂચક અનુસાર) ધોરણને અનુરૂપ છે. જો સૂચક ધોરણ ±2σ ની અંદર હોય, તો ધોરણમાંથી થોડું વિચલન છે. જો સૂચક આ મર્યાદાઓથી આગળ વધે છે, તો પછી બાળકનો શારીરિક વિકાસ ધોરણથી તીવ્ર રીતે અલગ પડે છે (પેથોલોજી શક્ય છે).

નિરપેક્ષ મૂલ્યોમાં વ્યક્ત કરાયેલ વિવિધતા સૂચકો ઉપરાંત, આંકડાકીય સંશોધન સંબંધિત મૂલ્યોમાં વ્યક્ત કરાયેલ વિવિધતા સૂચકોનો ઉપયોગ કરે છે. ઓસિલેશન ગુણાંક -આ લક્ષણના સરેરાશ મૂલ્ય સાથે વિવિધતાની શ્રેણીનો ગુણોત્તર છે. વિવિધતાનો ગુણાંક -આ લક્ષણના સરેરાશ મૂલ્ય સાથે પ્રમાણભૂત વિચલનનો ગુણોત્તર છે. સામાન્ય રીતે, આ મૂલ્યો ટકાવારી તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.

વિવિધતાના સંબંધિત સૂચકાંકોની ગણતરી માટેના સૂત્રો:

ઉપરોક્ત સૂત્રોમાંથી તે જોઈ શકાય છે કે ગુણાંક જેટલો મોટો છે વી શૂન્યની નજીક, લક્ષણ મૂલ્યોની ભિન્નતા જેટલી નાની. વધુ વી, વધુ ચલ ચિન્હ.

આંકડાકીય પ્રેક્ટિસમાં, વિવિધતાના ગુણાંકનો મોટાભાગે ઉપયોગ થાય છે. તેનો ઉપયોગ માત્ર ભિન્નતાના તુલનાત્મક મૂલ્યાંકન માટે જ નહીં, પણ વસ્તીની એકરૂપતાને દર્શાવવા માટે પણ થાય છે. જો ભિન્નતાનો ગુણાંક 33% (સામાન્યની નજીકના વિતરણો માટે) કરતાં વધુ ન હોય તો સમૂહને સજાતીય ગણવામાં આવે છે. અંકગણિત રીતે, σ નો ગુણોત્તર અને અંકગણિત સરેરાશ આ લાક્ષણિકતાઓના સંપૂર્ણ મૂલ્યના પ્રભાવને દૂર કરે છે, અને ટકાવારી ગુણોત્તર વિવિધતાના ગુણાંકને પરિમાણહીન (નામ વિનાનું) મૂલ્ય બનાવે છે.

વિવિધતાના ગુણાંકના પ્રાપ્ત મૂલ્યનો અંદાજ લક્ષણની વિવિધતાની ડિગ્રીના અંદાજિત ક્રમાંક અનુસાર કરવામાં આવે છે:

નબળા - 10% સુધી

સરેરાશ - 10 - 20%

મજબૂત - 20% થી વધુ

વિવિધતાના ગુણાંકનો ઉપયોગ એવા કિસ્સાઓમાં સલાહભર્યું છે જ્યાં કદ અને પરિમાણમાં ભિન્ન લક્ષણોની તુલના કરવી જરૂરી છે.

ભિન્નતાના ગુણાંક અને અન્ય સ્કેટર માપદંડ વચ્ચેનો તફાવત સ્પષ્ટપણે દર્શાવેલ છે ઉદાહરણ.

કોષ્ટક 1

ઔદ્યોગિક સાહસના કર્મચારીઓની રચના

ઉદાહરણમાં આપેલ આંકડાકીય લાક્ષણિકતાઓના આધારે, તે નિષ્કર્ષ પર આવી શકે છે કે એન્ટરપ્રાઇઝના કર્મચારીઓની વય રચના અને શૈક્ષણિક સ્તર પ્રમાણમાં એકરૂપ છે, જેમાં સર્વેક્ષણ કરાયેલ ટુકડીની ઓછી વ્યાવસાયિક સ્થિરતા છે. તે જોવાનું સરળ છે કે પ્રમાણભૂત વિચલન દ્વારા આ સામાજિક વલણોને ન્યાય કરવાનો પ્રયાસ એક ભૂલભરેલા નિષ્કર્ષ તરફ દોરી જશે, અને એકાઉન્ટિંગ લક્ષણો "કામનો અનુભવ" અને "વય" ની તુલના એકાઉન્ટિંગ લક્ષણ "શિક્ષણ" સાથે કરવાનો પ્રયાસ સામાન્ય રીતે હશે. આ લક્ષણોની વિશિષ્ટતાને કારણે ખોટું.

રેન્ડમ ચલની ગાણિતિક અપેક્ષા ઉપરાંત જે. સંભાવના વિતરણના કેન્દ્રની સ્થિતિ નક્કી કરે છે, રેન્ડમ ચલના વિતરણની જથ્થાત્મક લાક્ષણિકતા રેન્ડમ ચલનું વિચલન છે

વિક્ષેપને D [х] અથવા દ્વારા સૂચવવામાં આવશે.

"વિખેરવું" શબ્દનો અર્થ થાય છે વિખેરવું. વિક્ષેપ એ વિક્ષેપની સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતા છે, તેની ગાણિતિક અપેક્ષાને અનુરૂપ રેન્ડમ ચલના મૂલ્યોનો ફેલાવો.

વ્યાખ્યા 1. રેન્ડમ ચલનો ભિન્નતા એ રેન્ડમ ચલના તફાવતના વર્ગની ગાણિતિક અપેક્ષા અને તેની ગાણિતિક અપેક્ષા છે. (એટલે ​​​​કે, અનુરૂપ કેન્દ્રીય, રેન્ડમ ચલના વર્ગની ગાણિતિક અપેક્ષા):

ભિન્નતામાં રેન્ડમ ચલના ચોરસનું પરિમાણ હોય છે. કેટલીકવાર, સ્કેટરિંગની લાક્ષણિકતા માટે, તે જથ્થાનો ઉપયોગ કરવો વધુ અનુકૂળ છે જેનું પરિમાણ રેન્ડમ વેરીએબલ સાથે મેળ ખાતું હોય. આ મૂલ્ય પ્રમાણભૂત વિચલન છે.

વ્યાખ્યા 2. રેન્ડમ ચલનું પ્રમાણભૂત વિચલન તેના વિચલનનું વર્ગમૂળ છે:

અથવા વિસ્તૃત

પ્રમાણભૂત વિચલન તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે

ટીકા 1. વિભિન્નતાની ગણતરી કરતી વખતે, સૂત્ર (1) ને નીચે પ્રમાણે રૂપાંતરિત કરી શકાય છે:

એટલે કે, વિચલન રેન્ડમ ચલના વર્ગની ગાણિતિક અપેક્ષા અને રેન્ડમ ચલની ગાણિતિક અપેક્ષાના વર્ગ વચ્ચેના તફાવતની બરાબર છે.

ઉદાહરણ 1. ઑબ્જેક્ટ પર એક ગોળી ચલાવવામાં આવે છે. હિટ સંભાવના. ગાણિતિક અપેક્ષા, ભિન્નતા અને પ્રમાણભૂત વિચલન નક્કી કરો.

ઉકેલ. અમે હિટની સંખ્યા માટે મૂલ્યોનું કોષ્ટક બનાવીએ છીએ

આથી,

રેન્ડમ ચલના વિક્ષેપની લાક્ષણિકતા તરીકે ભિન્નતા અને પ્રમાણભૂત વિચલનની વિભાવનાના અર્થને રજૂ કરવા માટે, ઉદાહરણોનો વિચાર કરો.

ઉદાહરણ 2. નીચેના વિતરણ કાયદા દ્વારા રેન્ડમ ચલ આપવામાં આવે છે (કોષ્ટક અને ફિગ. 413 જુઓ):

ઉદાહરણ 3. નીચેના વિતરણ કાયદા દ્વારા રેન્ડમ ચલ આપવામાં આવે છે (કોષ્ટક અને ફિગ. 414 જુઓ):

નક્કી કરો: 1) ગાણિતિક અપેક્ષા, 2) વિક્ષેપ, 3) પ્રમાણભૂત વિચલન.

છૂટાછવાયા, પ્રથમ ઉદાહરણમાં રેન્ડમ ચલનો ફેલાવો બીજા ઉદાહરણમાં રેન્ડમ ચલના ફેલાવા કરતાં ઓછો છે (જુઓ ફિગ. 414 અને 415). આ મૂલ્યોના વિક્ષેપ અનુક્રમે 0.6 અને 2.4 છે.

ઉદાહરણ 4; રેન્ડમ ચલ નીચેના વિતરણ કાયદા દ્વારા આપવામાં આવે છે (કોષ્ટક અને ફિગ. 415 જુઓ):

નક્કી કરો: 1) ગાણિતિક અપેક્ષા, 2) વિક્ષેપ, 3) પ્રમાણભૂત વિચલન.

વ્યાખ્યા

પ્રમાણભૂત વિચલન ( અંગ્રેજી માનક વિચલન, SD) એ એક સૂચક છે જેનો ઉપયોગ સંભવિતતા સિદ્ધાંત અને ગાણિતિક આંકડાઓમાં તેની ગાણિતિક અપેક્ષાને સંબંધિત રેન્ડમ ચલના વિખેરવાની ડિગ્રીનો અંદાજ કાઢવા માટે થાય છે. રોકાણમાં, સિક્યોરિટી અથવા પોર્ટફોલિયો પરના વળતરના પ્રમાણભૂત વિચલનનો ઉપયોગ જોખમના માપદંડનું મૂલ્યાંકન કરવા માટે થાય છે. વળતરના વિખેરવાની ઉચ્ચ ડિગ્રી સુરક્ષાઅપેક્ષિત વળતરની તુલનામાં (વળતરની અપેક્ષા), રોકાણનું જોખમ વધારે છે અને ઊલટું.

પ્રમાણભૂત વિચલન સામાન્ય રીતે ગ્રીક અક્ષર σ (સિગ્મા), અને લેટિન અક્ષર S દ્વારા અથવા Std(X) દ્વારા પ્રમાણભૂત વિચલન દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે, જ્યાં X એ રેન્ડમ ચલ છે.

ફોર્મ્યુલા

સાચું પ્રમાણભૂત વિચલન

જો અલગ રેન્ડમ ચલનું ચોક્કસ વિતરણ જાણીતું હોય, એટલે કે, તેનું મૂલ્ય દરેક પરિણામ માટે જાણીતું હોય અને દરેક પરિણામની સંભાવનાનો અંદાજ લગાવી શકાય, તો પ્રમાણભૂત વિચલનની ગણતરી માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ દેખાશે.

જ્યાં X i એ i-th પરિણામ પર રેન્ડમ ચલ Xનું મૂલ્ય છે; M(X) રેન્ડમ ચલ X ની ગાણિતિક અપેક્ષા; p i એ i-th પરિણામની સંભાવના છે; N એ સંભવિત પરિણામોની સંખ્યા છે.

આ કિસ્સામાં, રેન્ડમ ચલની ગાણિતિક અપેક્ષા સૂત્ર દ્વારા ગણવામાં આવે છે:

વસ્તી પ્રમાણભૂત વિચલન

વ્યવહારમાં, રેન્ડમ ચલના ચોક્કસ વિતરણને બદલે, સામાન્ય રીતે ડેટાનો માત્ર એક નમૂનો ઉપલબ્ધ હોય છે. આ કિસ્સામાં, પ્રમાણભૂત વિચલનનું અંદાજિત મૂલ્ય ગણવામાં આવે છે, જે આ કિસ્સામાં પ્રમાણભૂત વિચલન (S) કહેવાય છે. જો અંદાજ ડેટાની સમગ્ર વસ્તી પર આધારિત હોય, તો નીચેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરવો જોઈએ.

જ્યાં X i એ રેન્ડમ ચલ Xનું i-th મૂલ્ય છે; X એ સામાન્ય વસ્તીનો અંકગણિત સરેરાશ છે; N એ સામાન્ય વસ્તીનું પ્રમાણ છે.

નમૂના પ્રમાણભૂત વિચલન

જો ડેટાની સંપૂર્ણ વસ્તીનો ઉપયોગ કરવામાં આવતો નથી, પરંતુ તેમાંથી એક નમૂનાનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે, તો પ્રમાણભૂત વિચલનની ગણતરી માટેનું સૂત્ર ભિન્નતાના નિષ્પક્ષ અંદાજ પર આધારિત છે.

જ્યાં X i એ રેન્ડમ ચલ Xનું i-th મૂલ્ય છે; X એ નમૂનાનું અંકગણિત સરેરાશ છે; N એ નમૂનાનું કદ છે.

ગણતરી ઉદાહરણો

ઉદાહરણ 1

પોર્ટફોલિયો મેનેજરે બે કંપનીઓ A અને B ના શેરમાં રોકાણ કરવાના જોખમોનું મૂલ્યાંકન કરવું આવશ્યક છે. તે જ સમયે, તે ઇવેન્ટ્સના વિકાસ માટે 5 દૃશ્યો ધ્યાનમાં લે છે, જેની માહિતી કોષ્ટકમાં પ્રસ્તુત છે.

અમે દરેક સ્ટોક માટે વળતરનું ચોક્કસ વિતરણ જાણતા હોવાથી, અમે તે દરેક માટેના વળતરના સાચા પ્રમાણભૂત વિચલનની ગણતરી કરી શકીએ છીએ.

પગલું 1.ચાલો દરેક શેર માટે નફાકારકતાની ગાણિતિક અપેક્ષાની ગણતરી કરીએ.

M(A) = -5%×0.02+6%×0.25+15%×0.40+24%×0.30+34%×0.03 = 15.62%

M(B) = -18%×0.02+2%×0.25+16%×0.40+27%×0.30+36%×0.03 = 22.14%

પગલું 2પ્રથમ સૂત્રમાં પ્રાપ્ત ડેટાને બદલો.

જેમ આપણે જોઈ શકીએ છીએ, કંપની A ના શેર ઓછા જોખમી છે કારણ કે તેમાં વળતરનું પ્રમાણ નીચું વિચલન છે. એ પણ નોંધવું જોઈએ કે તેમનું અપેક્ષિત વળતર કંપની Bના શેર કરતા ઓછું છે.

ઉદાહરણ 2

વિશ્લેષક પાસે છેલ્લા 5 વર્ષની બે સિક્યોરિટીઝની યીલ્ડનો ડેટા છે, જે કોષ્ટકમાં રજૂ કરવામાં આવ્યો છે.

વળતરનું ચોક્કસ વિતરણ જાણીતું ન હોવાથી અને વિશ્લેષક પાસે માત્ર વસ્તીનો નમૂનો છે, તેથી અમે નિષ્પક્ષ તફાવતમાંથી નમૂનાના પ્રમાણભૂત વિચલનની ગણતરી કરી શકીએ છીએ.

પગલું 1.અમે નમૂનાના અંકગણિત સરેરાશ તરીકે દરેક સુરક્ષા માટે અપેક્ષિત વળતરની ગણતરી કરીએ છીએ.

X A \u003d (7 + 15 + 2 - 5 + 6) ÷ 5 \u003d 5%

X B \u003d (3 - 2 + 12 + 4 + 8) ÷ 5 \u003d 5%

પગલું 2ચાલો સામાન્ય ડેટા સેટમાંથી નમૂના લેવા માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને દરેક સિક્યોરિટીઝ માટે ઉપજના પ્રમાણભૂત વિચલનની ગણતરી કરીએ.

એ નોંધવું જોઈએ કે બંને સિક્યોરિટીઝમાં 5% ની સમાન અપેક્ષિત ઉપજ છે. તે જ સમયે, સુરક્ષા B પરના વળતરનું પ્રમાણભૂત વિચલન ઓછું છે, જે, અન્ય વસ્તુઓ સમાન હોવાને કારણે, વધુ સારી જોખમ-વળતર પ્રોફાઇલને કારણે તેને વધુ આકર્ષક રોકાણ ઑબ્જેક્ટ બનાવે છે.

એક્સેલમાં માનક વિચલન

એક્સેલ નમૂના અને વસ્તીના પ્રમાણભૂત વિચલનની ગણતરી કરવા માટે બે કાર્યો પૂરા પાડે છે.

નમૂના માટે, STDEV.V કાર્યનો ઉપયોગ કરો:

1. કોષોની શ્રેણીમાં B1:F1
2. આઉટપુટ સેલ પસંદ કરો B2.
3. fx , પોપ-અપ વિન્ડોમાં " ફંક્શન દાખલ કરવું" શ્રેણી ની પસંદગી કરો " સંપૂર્ણ મૂળાક્ષરોની સૂચિ» અને ફંક્શન પસંદ કરો « STDEV.V».
4. ક્ષેત્રમાં " ક્રમ 1» કોષોની શ્રેણી પસંદ કરો B1:F1, ક્ષેત્ર " નંબર 2બરાબર».

સામાન્ય વસ્તી માટે, STDEV.G ફંક્શનનો ઉપયોગ થાય છે:

1. કોષોની શ્રેણીમાં B1:F1રેન્ડમ ચલ X ની કિંમતો રજૂ કરવામાં આવી છે.
2. આઉટપુટ સેલ પસંદ કરો B2.
3. આદેશ વાક્ય પર, બટન પર ક્લિક કરો fx , પોપ-અપ વિન્ડોમાં " ફંક્શન દાખલ કરવું" શ્રેણી ની પસંદગી કરો " સંપૂર્ણ મૂળાક્ષરોની સૂચિ» અને ફંક્શન પસંદ કરો « STDEV.G».
4. ક્ષેત્રમાં " ક્રમ 1» કોષોની શ્રેણી પસંદ કરો B1:F1, ક્ષેત્ર " નંબર 2» ખાલી છોડો અને બટન પર ક્લિક કરો « બરાબર».

અર્થઘટન

રોકાણમાં, વળતરના પ્રમાણભૂત વિચલનનો ઉપયોગ અસ્થિરતાના માપદંડ તરીકે થાય છે. તેનું મૂલ્ય જેટલું ઊંચું છે, આ એસેટમાં રોકાણ સાથે સંકળાયેલું જોખમ વધારે છે અને તેનાથી ઊલટું. અન્ય વસ્તુઓ સમાન હોવાને કારણે, લઘુત્તમ મૂલ્ય સાથેની સંપત્તિને પ્રાધાન્ય આપવું જોઈએ.

વિભિન્નતાના વર્ગમૂળને સરેરાશમાંથી પ્રમાણભૂત વિચલન કહેવામાં આવે છે, જેની ગણતરી નીચે પ્રમાણે કરવામાં આવે છે:

પ્રમાણભૂત વિચલન સૂત્રનું પ્રાથમિક બીજગણિત પરિવર્તન તેને નીચેના સ્વરૂપમાં લાવે છે:

આ સૂત્ર ઘણીવાર ગણતરીની પ્રેક્ટિસમાં વધુ અનુકૂળ હોય છે.

પ્રમાણભૂત વિચલન, તેમજ સરેરાશ રેખીય વિચલન, દર્શાવે છે કે વિશેષતાના ચોક્કસ મૂલ્યો તેમના સરેરાશ મૂલ્યથી સરેરાશ કેટલા વિચલિત થાય છે. પ્રમાણભૂત વિચલન હંમેશા સરેરાશ રેખીય વિચલન કરતા વધારે હોય છે. તેમની વચ્ચે સંબંધ છે:

આ ગુણોત્તરને જાણીને, જાણીતા સૂચકાંકોમાંથી અજ્ઞાતને નિર્ધારિત કરવું શક્ય છે, ઉદાહરણ તરીકે, પરંતુ (આઇ ગણતરી કરો અને ઊલટું. પ્રમાણભૂત વિચલન એટ્રિબ્યુટ વધઘટના સંપૂર્ણ કદને માપે છે અને એટ્રિબ્યુટ મૂલ્યો (રુબેલ્સ, ટન, વર્ષ, વગેરે) જેવા જ એકમોમાં વ્યક્ત થાય છે. તે વિવિધતાનું સંપૂર્ણ માપ છે.

માટે વૈકલ્પિક લક્ષણો, દા.ત. હાજરી અથવા ગેરહાજરી ઉચ્ચ શિક્ષણ, વીમો, વિચલન અને પ્રમાણભૂત વિચલન ફોર્મ્યુલા નીચે મુજબ છે:

અમે યુનિવર્સિટીની એક ફેકલ્ટીના વિદ્યાર્થીઓની વય (કોષ્ટક 6.2) દ્વારા વિતરણની લાક્ષણિકતા ધરાવતી એક અલગ શ્રેણીના ડેટા અનુસાર પ્રમાણભૂત વિચલનની ગણતરી બતાવીશું.

કોષ્ટક 6.2.

સહાયક ગણતરીઓના પરિણામો કોષ્ટકની કૉલમ 2-5 માં આપવામાં આવ્યા છે. 6.2.

વિદ્યાર્થીની સરેરાશ ઉંમર, વર્ષ, ભારાંકિત અંકગણિત સરેરાશ સૂત્ર (કૉલમ 2) દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે:

સરેરાશથી વિદ્યાર્થીની વ્યક્તિગત વયના વિચલનના વર્ગો કૉલમ 3-4 માં સમાયેલ છે, અને અનુરૂપ ફ્રીક્વન્સીઝ દ્વારા વિચલનોના વર્ગોના ઉત્પાદનો કૉલમ 5 માં છે.

વિદ્યાર્થીઓની ઉંમરનો વિક્ષેપ, વર્ષો, અમે સૂત્ર દ્વારા શોધીએ છીએ (6.2):

પછી o \u003d l / 3.43 1.85 * oda, એટલે કે વિદ્યાર્થીની ઉંમરનું પ્રત્યેક ચોક્કસ મૂલ્ય સરેરાશ મૂલ્યથી 1.85 વર્ષ વિચલિત થાય છે.

વિવિધતાનો ગુણાંક

મારી રીતે સંપૂર્ણ મૂલ્યપ્રમાણભૂત વિચલન માત્ર લક્ષણની વિવિધતાની ડિગ્રી પર જ નહીં, પણ ચલોના સંપૂર્ણ સ્તરો અને સરેરાશ પર પણ આધારિત છે. તેથી, વિવિધ સરેરાશ સ્તરો સાથે વિવિધતા શ્રેણીના પ્રમાણભૂત વિચલનોની સીધી સરખામણી કરવી અશક્ય છે. આવી સરખામણી કરવા માટે સક્ષમ થવા માટે, તમારે અંકગણિત સરેરાશમાં સરેરાશ વિચલન (રેખીય અથવા ચતુર્ભુજ) નો હિસ્સો શોધવાની જરૂર છે, જે ટકાવારી તરીકે વ્યક્ત કરવામાં આવે છે, એટલે કે. ગણત્રી વિવિધતાના સંબંધિત સૂચકાંકો.

વિવિધતાનો રેખીય ગુણાંક સૂત્ર અનુસાર ગણતરી

વિવિધતાનો ગુણાંક નીચેના સૂત્ર દ્વારા નિર્ધારિત:

ભિન્નતાના ગુણાંકમાં, અભ્યાસ હેઠળના લક્ષણોના માપનના વિવિધ એકમો સાથે સંકળાયેલી અસંગતતા જ નહીં, પણ અંકગણિતના અર્થના મૂલ્યમાં તફાવતને કારણે ઊભી થતી અસંગતતા પણ દૂર થાય છે. વધુમાં, વિવિધતાના સૂચકાંકો વસ્તીની એકરૂપતાની લાક્ષણિકતા આપે છે. જો ભિન્નતાનો ગુણાંક 33% થી વધુ ન હોય તો સમૂહને સજાતીય ગણવામાં આવે છે.

કોષ્ટક મુજબ. 6.2 અને ઉપર મેળવેલ ગણતરીઓના પરિણામો, અમે ફોર્મ્યુલા (6.3) અનુસાર વિવિધતાના ગુણાંક,% નક્કી કરીએ છીએ:

જો વિવિધતાનો ગુણાંક 33% કરતા વધી જાય, તો આ અભ્યાસ કરેલ વસ્તીની વિજાતીયતા સૂચવે છે. અમારા કિસ્સામાં પ્રાપ્ત મૂલ્ય સૂચવે છે કે વય દ્વારા વિદ્યાર્થીઓની વસ્તી રચનામાં એકરૂપ છે. આમ, વિવિધતાના સામાન્યીકરણ સૂચકાંકોનું એક મહત્વપૂર્ણ કાર્ય એ સરેરાશની વિશ્વસનીયતાનું મૂલ્યાંકન છે. ઓછું c1, a2 અને વી, અસાધારણ ઘટનાનો પરિણામી સમૂહ જેટલો વધુ એકરૂપ અને મેળવેલ સરેરાશ વધુ વિશ્વસનીય. ગાણિતિક આંકડાઓ દ્વારા ગણવામાં આવતા "ત્રણ સિગ્માના નિયમ" અનુસાર, સામાન્ય રીતે વિતરિત અથવા તેમની નજીકની શ્રેણીમાં, અંકગણિત સરેરાશમાંથી વિચલનો, ± 3 લીથી વધુ ન હોય, 1000 માંથી 997 કેસોમાં થાય છે. આમ, જાણીને એક્સ અને a, તમે વિવિધતા શ્રેણીનો સામાન્ય પ્રારંભિક વિચાર મેળવી શકો છો. જો, ઉદાહરણ તરીકે, સરેરાશ વેતનકંપનીમાં કર્મચારીની રકમ 25,000 રુબેલ્સ છે, અને a 100 રુબેલ્સની બરાબર છે, પછી વિશ્વસનીયતાની નજીકની સંભાવના સાથે, એવી દલીલ કરી શકાય છે કે કંપનીના કર્મચારીઓનું વેતન (25,000 ± 3 x 100) ની અંદર વધઘટ થાય છે, એટલે કે. 24,700 થી 25,300 રુબેલ્સ સુધી.

આ લેખનો હેતુ બતાવવાનો છે, ગાણિતિક સૂત્રો તરીકે જે તમને પુસ્તકો અને લેખોમાં મળી શકે છે, તેમાં વિઘટન થાય છે પ્રાથમિક કાર્યોએક્સેલ માં.

આ લેખમાં, અમે સૂત્રોનું વિશ્લેષણ કરીશું પ્રમાણભૂત વિચલન અને વિચલન અને એક્સેલમાં તેમની ગણતરી કરો.

પ્રમાણભૂત વિચલનની ગણતરીમાં આગળ વધતા પહેલા અને સૂત્રનું વિશ્લેષણ કરતા પહેલા, પ્રાથમિક આંકડાકીય સૂચકાંકો અને સંકેતોને સમજવાની સલાહ આપવામાં આવે છે.

આગાહીના નમૂનાઓના સૂત્રોને ધ્યાનમાં લેતા, અમે નીચેના સૂચકાંકો સાથે મળીશું:

ઉદાહરણ તરીકે, અમારી પાસે સમય શ્રેણી છે - એકમોમાં સાપ્તાહિક વેચાણ.

આ સમય શ્રેણી માટે i=1, n=10, ,

સરેરાશ મૂલ્ય સૂત્રને ધ્યાનમાં લો:

અમારી સમય શ્રેણી માટે, અમે સરેરાશ મૂલ્ય નક્કી કરીએ છીએ

વળી, વલણોને ઓળખવા માટે, સરેરાશ મૂલ્ય ઉપરાંત, તે પણ રસપ્રદ છે કે અવલોકનો સરેરાશની તુલનામાં કેટલા વિખેરાયેલા છે. પ્રમાણભૂત વિચલન સરેરાશથી અવલોકનોના વિચલનનું માપ દર્શાવે છે.

નમૂના માટે પ્રમાણભૂત વિચલનની ગણતરી માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:

ચાલો સૂત્રને તેના ઘટક ભાગોમાં વિઘટિત કરીએ અને ઉદાહરણ તરીકે અમારી સમય શ્રેણીનો ઉપયોગ કરીને એક્સેલમાં પ્રમાણભૂત વિચલનની ગણતરી કરીએ.

1. આ માટે સરેરાશ મૂલ્યની ગણતરી કરો, એક્સેલ ફોર્મ્યુલા = સરેરાશ (B11: K11) નો ઉપયોગ કરો

2. સરેરાશની તુલનામાં શ્રેણીના દરેક મૂલ્યનું વિચલન નક્કી કરો

પ્રથમ અઠવાડિયા માટે = 6-10=-4

બીજા અઠવાડિયા માટે = 10-10=0

ત્રીજા ભાગ માટે = 7-1=-3 વગેરે.

3. શ્રેણીના દરેક મૂલ્ય માટે, અમે સરેરાશની તુલનામાં શ્રેણીના મૂલ્યોના વિચલનમાં તફાવતનો વર્ગ નક્કી કરીએ છીએ

પ્રથમ સપ્તાહ માટે = (-4)^2=16

બીજા અઠવાડિયા માટે = 0^2=0

ત્રીજા ભાગ માટે = (-3)^2=9 વગેરે.

4. સરેરાશ સાથે સંબંધિત મૂલ્યોના ચોરસ વિચલનોના સરવાળાની ગણતરી કરો સૂત્ર =SUM(શ્રેણી સંદર્ભ (સાથે શ્રેણી સંદર્ભ) નો ઉપયોગ કરીને