પૂર્ણ સંખ્યાઓ ન ગણો. લઘુત્તમ સામાન્ય બહુવિધ અને મહાન સામાન્ય વિભાજક. વિભાજ્યતા માપદંડ અને જૂથ પદ્ધતિઓ (2020). સકારાત્મક પૂર્ણાંકો અને નકારાત્મક પૂર્ણાંકો

આ લેખમાં આપણે પૂર્ણાંકોના સમૂહને વ્યાખ્યાયિત કરીશું, ધ્યાનમાં લઈશું કે કયા પૂર્ણાંકોને સકારાત્મક કહેવામાં આવે છે અને કયા નકારાત્મક છે. અમે એ પણ બતાવીશું કે ચોક્કસ માત્રામાં ફેરફારોનું વર્ણન કરવા માટે પૂર્ણાંકોનો ઉપયોગ કેવી રીતે થાય છે. ચાલો પૂર્ણાંકોની વ્યાખ્યા અને ઉદાહરણો સાથે પ્રારંભ કરીએ.

સંપૂર્ણ સંખ્યાઓ. વ્યાખ્યા, ઉદાહરણો

પ્રથમ, ચાલો કુદરતી સંખ્યાઓ ℕ વિશે યાદ કરીએ. નામ જ સૂચવે છે કે આ એવા નંબરો છે જેનો ઉપયોગ કુદરતી રીતે પ્રાચીન સમયથી ગણતરી માટે કરવામાં આવે છે. પૂર્ણાંકોની વિભાવનાને આવરી લેવા માટે, આપણે કુદરતી સંખ્યાઓની વ્યાખ્યાને વિસ્તૃત કરવાની જરૂર છે.

વ્યાખ્યા 1. પૂર્ણાંકો

પૂર્ણાંકો એ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ, તેમના વિરોધી અને સંખ્યા શૂન્ય છે.

પૂર્ણાંકોનો સમૂહ અક્ષર ℤ દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે.

પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સમૂહ ℕ એ પૂર્ણાંક ℤનો ઉપગણ છે. કોઈપણ કુદરતી સંખ્યાપૂર્ણાંક છે, પરંતુ દરેક પૂર્ણાંક કુદરતી સંખ્યા નથી.

વ્યાખ્યા પરથી તે અનુસરે છે કે 1, 2, 3 નંબરોમાંથી કોઈપણ પૂર્ણાંક છે. . , નંબર 0, તેમજ નંબરો - 1, - 2, - 3, . .

આને અનુરૂપ, અમે ઉદાહરણો આપીશું. સંખ્યાઓ 39, - 589, 10000000, - 1596, 0 પૂર્ણાંકો છે.

સંકલન રેખાને આડી રીતે દોરવા દો અને જમણી તરફ નિર્દેશિત કરો. ચાલો લીટી પર પૂર્ણાંકોના સ્થાનની કલ્પના કરવા માટે તેના પર એક નજર કરીએ.

સંકલન રેખા પરની ઉત્પત્તિ સંખ્યા 0 ને અનુરૂપ છે, અને શૂન્યની બંને બાજુએ આવેલા બિંદુઓ હકારાત્મક અને નકારાત્મક પૂર્ણાંકોને અનુરૂપ છે. દરેક બિંદુ એક પૂર્ણાંકને અનુલક્ષે છે.

તમે મૂળમાંથી ચોક્કસ સંખ્યાના એકમ વિભાગોને બાજુ પર મૂકીને રેખા પર કોઈપણ બિંદુ સુધી પહોંચી શકો છો જેનું સંકલન પૂર્ણાંક છે.

સકારાત્મક અને નકારાત્મક પૂર્ણાંકો

તમામ પૂર્ણાંકોમાંથી, સકારાત્મક અને નકારાત્મક પૂર્ણાંકોને અલગ પાડવાનું તાર્કિક છે. ચાલો તેમની વ્યાખ્યાઓ આપીએ.

વ્યાખ્યા 2: હકારાત્મક પૂર્ણાંકો

ધન પૂર્ણાંકો વત્તા ચિહ્ન સાથે પૂર્ણાંકો છે.

ઉદાહરણ તરીકે, નંબર 7 એ વત્તા ચિહ્ન સાથેનો પૂર્ણાંક છે, એટલે કે, સકારાત્મક પૂર્ણાંક. સંકલન રેખા પર, આ સંખ્યા સંદર્ભ બિંદુની જમણી બાજુએ આવેલી છે, જે સંખ્યા 0 તરીકે લેવામાં આવે છે. હકારાત્મક પૂર્ણાંકોના અન્ય ઉદાહરણો: 12, 502, 42, 33, 100500.

વ્યાખ્યા 3: નકારાત્મક પૂર્ણાંકો

ઋણ પૂર્ણાંકો એ ઓછા ચિહ્ન સાથે પૂર્ણાંકો છે.

નકારાત્મક પૂર્ણાંકોના ઉદાહરણો: - 528, - 2568, - 1.

સંખ્યા 0 સકારાત્મક અને નકારાત્મક પૂર્ણાંકોને અલગ કરે છે અને તે પોતે સકારાત્મક કે નકારાત્મક નથી.

કોઈપણ સંખ્યા કે જે સકારાત્મક પૂર્ણાંકની વિરુદ્ધ હોય તે વ્યાખ્યા દ્વારા, નકારાત્મક પૂર્ણાંક છે. વિપરીત પણ સાચું છે. કોઈપણ ઋણ પૂર્ણાંકનો વ્યસ્ત એ સકારાત્મક પૂર્ણાંક છે.

શૂન્ય સાથે તેમની સરખામણીનો ઉપયોગ કરીને નકારાત્મક અને સકારાત્મક પૂર્ણાંકોની વ્યાખ્યાના અન્ય ફોર્મ્યુલેશન આપવાનું શક્ય છે.

વ્યાખ્યા 4. હકારાત્મક પૂર્ણાંકો

ધન પૂર્ણાંક એ પૂર્ણાંકો છે જે શૂન્ય કરતા વધારે હોય છે.

વ્યાખ્યા 5: નકારાત્મક પૂર્ણાંકો

ઋણ પૂર્ણાંક એવા પૂર્ણાંકો છે જે શૂન્ય કરતા ઓછા હોય છે.

તદનુસાર, સકારાત્મક સંખ્યાઓ સંકલન રેખા પર મૂળની જમણી બાજુએ છે, અને નકારાત્મક પૂર્ણાંકો શૂન્યની ડાબી બાજુએ છે.

અમે અગાઉ કહ્યું હતું કે કુદરતી સંખ્યાઓ પૂર્ણાંકોનો ઉપગણ છે. ચાલો આ મુદ્દાને સ્પષ્ટ કરીએ. કુદરતી સંખ્યાઓના સમૂહમાં ધન પૂર્ણાંકોનો સમાવેશ થાય છે. બદલામાં, નકારાત્મક પૂર્ણાંકોનો સમૂહ એ કુદરતી રાશિઓની વિરુદ્ધ સંખ્યાઓનો સમૂહ છે.

મહત્વપૂર્ણ!

કોઈપણ કુદરતી સંખ્યાને પૂર્ણાંક કહી શકાય, પરંતુ કોઈપણ પૂર્ણાંકને પ્રાકૃતિક સંખ્યા કહી શકાતી નથી. નકારાત્મક સંખ્યાઓ કુદરતી સંખ્યાઓ છે કે કેમ તે પ્રશ્નનો જવાબ આપતી વખતે, આપણે હિંમતભેર કહેવું જોઈએ - ના, તે નથી.

બિન-ધન અને બિન-નકારાત્મક પૂર્ણાંકો

ચાલો કેટલીક વ્યાખ્યાઓ આપીએ.

વ્યાખ્યા 6. બિન-નકારાત્મક પૂર્ણાંકો

બિન-નકારાત્મક પૂર્ણાંકો હકારાત્મક પૂર્ણાંકો અને સંખ્યા શૂન્ય છે.

વ્યાખ્યા 7. બિન-ધન પૂર્ણાંકો

બિન-ધન પૂર્ણાંકો એ નકારાત્મક પૂર્ણાંકો અને સંખ્યા શૂન્ય છે.

જેમ તમે જોઈ શકો છો, શૂન્ય નંબર સકારાત્મક કે નકારાત્મક નથી.

બિન-નકારાત્મક પૂર્ણાંકોના ઉદાહરણો: 52, 128, 0.

બિન-ધન પૂર્ણાંકોના ઉદાહરણો: - 52, - 128, 0.

બિન-ઋણાત્મક સંખ્યા એ શૂન્ય કરતા મોટી અથવા સમાન સંખ્યા છે. તદનુસાર, બિન-ધન પૂર્ણાંક એ શૂન્ય કરતા ઓછી અથવા સમાન સંખ્યા છે.

સંક્ષિપ્તતા માટે "બિન-ધન સંખ્યા" અને "નૉન-નેગેટિવ નંબર" શબ્દોનો ઉપયોગ થાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, સંખ્યા a એ પૂર્ણાંક છે જે શૂન્ય કરતા મોટો અથવા તેની બરાબર છે એમ કહેવાને બદલે, તમે કહી શકો છો: a એ બિન-નકારાત્મક પૂર્ણાંક છે.

જથ્થામાં ફેરફારોનું વર્ણન કરવા માટે પૂર્ણાંકોનો ઉપયોગ કરવો

પૂર્ણાંકો શું માટે વપરાય છે? સૌ પ્રથમ, તેમની સહાયથી કોઈપણ પદાર્થોના જથ્થામાં ફેરફારોનું વર્ણન અને નિર્ધારણ કરવું અનુકૂળ છે. ચાલો એક ઉદાહરણ આપીએ.

ચોક્કસ સંખ્યામાં ક્રેન્કશાફ્ટને વેરહાઉસમાં સંગ્રહિત કરવા દો. જો વેરહાઉસમાં 500 વધુ ક્રેન્કશાફ્ટ લાવવામાં આવે તો તેમની સંખ્યા વધી જશે. સંખ્યા 500 ચોક્કસ રીતે ભાગોની સંખ્યામાં ફેરફાર (વધારો) વ્યક્ત કરે છે. જો વેરહાઉસમાંથી 200 ભાગો લેવામાં આવે છે, તો આ સંખ્યા ક્રેન્કશાફ્ટની સંખ્યામાં ફેરફારને પણ લાક્ષણિકતા આપશે. આ વખતે, નીચે તરફ.

જો વેરહાઉસમાંથી કંઈ લેવામાં આવતું નથી અને કંઈપણ ડિલિવર કરવામાં આવતું નથી, તો નંબર 0 સૂચવે છે કે ભાગોની સંખ્યા યથાવત છે.

પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના વિરોધમાં પૂર્ણાંકોનો ઉપયોગ કરવાની સ્પષ્ટ સગવડ એ છે કે તેમની નિશાની સ્પષ્ટપણે મૂલ્યમાં ફેરફારની દિશા દર્શાવે છે (વધારો અથવા ઘટાડો).

તાપમાનમાં 30 ડિગ્રીનો ઘટાડો નકારાત્મક પૂર્ણાંક - 30 અને 2 ડિગ્રીનો વધારો - હકારાત્મક પૂર્ણાંક 2 દ્વારા વર્ગીકૃત કરી શકાય છે.

ચાલો પૂર્ણાંકોનો ઉપયોગ કરીને બીજું ઉદાહરણ આપીએ. આ વખતે, ચાલો કલ્પના કરીએ કે આપણે કોઈને 5 સિક્કા આપવાના છે. પછી, આપણે કહી શકીએ કે અમારી પાસે - 5 સિક્કા છે. નંબર 5 દેવાના કદનું વર્ણન કરે છે, અને બાદબાકીનું ચિહ્ન સૂચવે છે કે આપણે સિક્કા આપવા જોઈએ.

જો આપણે એક વ્યક્તિને 2 સિક્કા અને બીજાને 3 આપવાના હોઈએ, તો કુલ દેવું (5 સિક્કા) ઋણ સંખ્યાઓ ઉમેરવાના નિયમનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરી શકાય છે:

2 + (- 3) = - 5

જો તમને ટેક્સ્ટમાં કોઈ ભૂલ દેખાય છે, તો કૃપા કરીને તેને હાઇલાઇટ કરો અને Ctrl+Enter દબાવો

કુદરતી સંખ્યાઓ એ સંખ્યાઓ છે જેની સાથે તે બધું શરૂ થયું. અને આજે આ તે પ્રથમ નંબરો છે જેનો વ્યક્તિ તેના જીવનમાં સામનો કરે છે, જ્યારે બાળપણમાં તે તેની આંગળીઓ અથવા લાકડીઓ ગણવાનું શીખે છે.

વ્યાખ્યા: કુદરતી સંખ્યાઓ એવી સંખ્યાઓ છે જેનો ઉપયોગ વસ્તુઓની ગણતરી કરવા માટે થાય છે (1, 2, 3, 4, 5, ...) [સંખ્યા 0 કુદરતી નથી. ગણિતના ઈતિહાસમાં તેનો પોતાનો અલગ ઈતિહાસ છે અને તે પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ કરતા ઘણો પાછળથી દેખાયો છે.]

તમામ કુદરતી સંખ્યાઓનો સમૂહ (1, 2, 3, 4, 5, ...) અક્ષર N દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે.

પૂર્ણાંક

ગણવાનું શીખ્યા પછી, આપણે આગળનું કામ સંખ્યાઓ પર અંકગણિત ક્રિયાઓ કરવાનું શીખીએ છીએ. સામાન્ય રીતે, સરવાળા અને બાદબાકી પહેલા શીખવવામાં આવે છે (ગણતરી લાકડીઓનો ઉપયોગ કરીને).

વધુમાં, બધું સ્પષ્ટ છે: કોઈપણ બે કુદરતી સંખ્યાઓ ઉમેરવાથી, પરિણામ હંમેશા સમાન કુદરતી સંખ્યા હશે. પરંતુ બાદબાકીમાં આપણે શોધીએ છીએ કે આપણે નાનામાંથી મોટાને બાદ કરી શકતા નથી જેથી પરિણામ કુદરતી સંખ્યા છે. (3 − 5 = શું?) આ તે છે જ્યાં નકારાત્મક સંખ્યાઓનો વિચાર અમલમાં આવે છે. (ઋણાત્મક સંખ્યાઓ હવે કુદરતી સંખ્યા નથી)

નકારાત્મક સંખ્યાઓની ઘટનાના તબક્કે (અને તેઓ અપૂર્ણાંક કરતા પાછળથી દેખાયા)તેમના વિરોધીઓ પણ હતા, જેઓ તેમને બકવાસ માનતા હતા. (તમારી આંગળીઓ પર ત્રણ ઑબ્જેક્ટ્સ બતાવી શકાય છે, દસ બતાવી શકાય છે, એક હજાર ઑબ્જેક્ટ્સને સાદ્રશ્ય દ્વારા રજૂ કરી શકાય છે. અને "માઈનસ થ્રી બેગ્સ" શું છે? - ​​તે સમયે, સંખ્યાઓ પહેલેથી જ તેમના પોતાના પર, ચોક્કસથી અલગતામાં ઉપયોગમાં લેવાતી હતી. ઑબ્જેક્ટ્સ, જેની સંખ્યા તેઓ સૂચવે છે તે લોકોના મગજમાં આજે પણ આ વિશિષ્ટ વિષયોની વધુ નજીક હતી.) પરંતુ, વાંધાઓની જેમ, નકારાત્મક સંખ્યાઓની તરફેણમાં મુખ્ય દલીલ પ્રેક્ટિસમાંથી આવી હતી: નકારાત્મક સંખ્યાઓએ તેને અનુકૂળ રીતે શક્ય બનાવ્યું. દેવાની ગણતરી કરો. 3 − 5 = −2 - મારી પાસે 3 સિક્કા હતા, મેં 5 ખર્ચ્યા. આનો અર્થ એ છે કે મારી પાસે માત્ર સિક્કા ખતમ થયા નથી, પણ મારી પાસે 2 સિક્કા પણ બાકી છે. જો હું એક પરત કરું, તો દેવું બદલાઈ જશે −2+1=−1, પણ નકારાત્મક સંખ્યા દ્વારા પણ દર્શાવી શકાય છે.

પરિણામે, ગણિતમાં નકારાત્મક સંખ્યાઓ દેખાઈ, અને હવે આપણી પાસે અસંખ્ય પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ છે (1, 2, 3, 4, ...) અને તેમના વિરોધીઓની સમાન સંખ્યા છે (−1, −2, − 3, −4 , ...). ચાલો તેમાં બીજું 0 ઉમેરીએ અને આપણે આ બધા નંબરોના સેટને પૂર્ણાંક કહીશું.

વ્યાખ્યા: કુદરતી સંખ્યાઓ, તેમના વિરોધી અને શૂન્ય પૂર્ણાંકોનો સમૂહ બનાવે છે. તે અક્ષર Z દ્વારા નિયુક્ત કરવામાં આવે છે.

કોઈપણ બે પૂર્ણાંકોને એકબીજામાંથી બાદ કરી શકાય છે અથવા પૂર્ણ સંખ્યા બનાવવા માટે ઉમેરી શકાય છે.

પૂર્ણાંકો ઉમેરવાનો વિચાર પહેલેથી જ ગુણાકારની શક્યતાને અનુમાન કરે છે, જેમ કે વધુ ઝડપી માર્ગઉમેરો કરી રહ્યા છે. જો અમારી પાસે 6 કિલોગ્રામની 7 બેગ હોય, તો અમે 6+6+6+6+6+6+6 ઉમેરી શકીએ છીએ (હાલના કુલ સાત વખતમાં 6 ઉમેરી શકીએ છીએ), અથવા આપણે ફક્ત યાદ રાખી શકીએ કે આવા ઓપરેશનનું પરિણામ હંમેશા આવશે. 42. જેમ છ સેવન ઉમેરવાથી, 7+7+7+7+7+7 પણ હંમેશા 42 આપશે.

ઉમેરણ કામગીરીના પરિણામો ચોક્કસતમારી સાથે નંબરો ચોક્કસ 2 થી 9 સુધીની સંખ્યાઓની તમામ જોડી માટે સમયની સંખ્યા લખવામાં આવે છે અને ગુણાકાર કોષ્ટક બનાવવામાં આવે છે. 9 થી વધુ પૂર્ણાંકોનો ગુણાકાર કરવા માટે, કૉલમ ગુણાકાર નિયમની શોધ કરવામાં આવી છે. (જે દશાંશ અપૂર્ણાંકને પણ લાગુ પડે છે, અને જેની ચર્ચા નીચેના લેખોમાંથી એકમાં કરવામાં આવશે.) જ્યારે કોઈપણ બે પૂર્ણાંકોનો એકબીજા દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે છે, ત્યારે પરિણામ હંમેશા પૂર્ણાંક હશે.

તર્કસંગત સંખ્યાઓ

હવે વિભાજન. જેમ બાદબાકી એ સરવાળાની વ્યસ્ત ક્રિયા છે, તેમ આપણે ગુણાકારની વ્યસ્ત ક્રિયા તરીકે ભાગાકારનો વિચાર કરીએ છીએ.

જ્યારે અમારી પાસે 6 કિલોગ્રામની 7 બેગ હતી, ત્યારે ગુણાકારનો ઉપયોગ કરીને અમે સરળતાથી ગણતરી કરી કે બેગની સામગ્રીનું કુલ વજન 42 કિલોગ્રામ હતું. ચાલો કલ્પના કરીએ કે અમે 42 કિલોગ્રામ વજનના એક સામાન્ય થાંભલામાં તમામ બેગની સંપૂર્ણ સામગ્રી રેડી છે. અને પછી તેઓએ તેમનો વિચાર બદલી નાખ્યો અને સામગ્રીને 7 બેગમાં વિતરિત કરવા માંગતા હતા. જો આપણે તેને સમાનરૂપે વહેંચીએ તો એક થેલીમાં કેટલા કિલોગ્રામ હશે? - દેખીતી રીતે, 6.

જો આપણે 42 કિલોગ્રામને 6 બેગમાં વહેંચવા માંગતા હોય તો શું? અહીં આપણે વિચારીશું કે જો આપણે 7 કિલોગ્રામની 6 થેલીઓ એક ખૂંટામાં નાખીએ તો તે જ કુલ 42 કિલોગ્રામ મેળવી શકાય. અને આનો અર્થ એ છે કે જ્યારે 42 કિલોગ્રામને 6 બેગમાં સમાન રીતે વિભાજીત કરીએ છીએ, ત્યારે આપણને એક થેલીમાં 7 કિલોગ્રામ મળે છે.

જો તમે 42 કિલોગ્રામને સમાન રીતે 3 બેગમાં વહેંચો તો શું થશે? અને અહીં પણ, આપણે એવી સંખ્યા પસંદ કરવાનું શરૂ કરીએ છીએ જેને 3 વડે ગુણાકાર કરવામાં આવે ત્યારે 42 મળે. માત્ર ગુણાકાર કોષ્ટકને યાદ કરીને કામગીરી. વધુ જટિલ કેસો માટે, કૉલમ ડિવિઝનનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે, જેની ચર્ચા નીચેના લેખોમાંથી એકમાં કરવામાં આવશે. 3 અને 42 ના કિસ્સામાં, તમે યાદ રાખવા માટે "પસંદ" કરી શકો છો કે 3 · 14 = 42. આનો અર્થ છે 42:3 = 14. દરેક બેગમાં 14 કિલોગ્રામ હશે.

હવે ચાલો 42 કિલોગ્રામને 5 બેગમાં સમાન રીતે વિભાજીત કરવાનો પ્રયાસ કરીએ. 42:5=?
અમે નોંધ્યું છે કે 5 · 8 = 40 (થોડા), અને 5 · 9 = 45 (ઘણા). એટલે કે, અમને 5 બેગમાંથી 42 કિલોગ્રામ નહીં મળે, ન તો બેગમાં 8 કિલોગ્રામ મળશે, ન તો 9 કિલોગ્રામ મળશે. તે જ સમયે, તે સ્પષ્ટ છે કે વાસ્તવમાં અમને કોઈપણ જથ્થા (ઉદાહરણ તરીકે, અનાજ) ને 5 સમાન ભાગોમાં વિભાજિત કરવાથી કંઈપણ અટકાવતું નથી.

પૂર્ણાંકોને એકબીજા દ્વારા વિભાજિત કરવાની ક્રિયા પૂર્ણાંકમાં પરિણમે છે તે જરૂરી નથી. આ રીતે આપણે અપૂર્ણાંકના ખ્યાલ પર આવ્યા. 42:5 = 42/5 = 8 સંપૂર્ણ 2/5 (જો સામાન્ય અપૂર્ણાંકમાં ગણવામાં આવે તો) અથવા 42:5 = 8.4 (જો દશાંશ અપૂર્ણાંકમાં ગણવામાં આવે તો).

સામાન્ય અને દશાંશ અપૂર્ણાંક

આપણે કહી શકીએ કે કોઈપણ સામાન્ય અપૂર્ણાંક m/n (m એ કોઈપણ પૂર્ણાંક છે, n કોઈપણ કુદરતી સંખ્યા છે) એ સંખ્યા m ને સંખ્યા n વડે ભાગવાનું પરિણામ લખવાનું એક વિશિષ્ટ સ્વરૂપ છે. (m એ અપૂર્ણાંકનો અંશ કહેવાય છે, n એ છેદ છે) ભાગાકારનું પરિણામ, ઉદાહરણ તરીકે, સંખ્યા 5 વડે 25 નંબરને પણ સામાન્ય અપૂર્ણાંક 25/5 તરીકે લખી શકાય છે. પરંતુ આ જરૂરી નથી, કારણ કે 25 ને 5 વડે ભાગવાનું પરિણામ ફક્ત પૂર્ણાંક 5 તરીકે લખી શકાય છે. (અને 25/5 = 5). પરંતુ સંખ્યા 25 ને નંબર 3 વડે ભાગવાનું પરિણામ હવે પૂર્ણાંક તરીકે રજૂ કરી શકાતું નથી, તેથી અહીં અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરવાની જરૂર ઊભી થાય છે, 25:3 = 25/3. (તમે સંપૂર્ણ ભાગ 25/3 = 8 સંપૂર્ણ 1/3 ને અલગ કરી શકો છો. સામાન્ય અપૂર્ણાંકો અને સામાન્ય અપૂર્ણાંકો સાથેની ક્રિયાઓ વિશે નીચેના લેખોમાં વધુ વિગતવાર ચર્ચા કરવામાં આવશે.)

સામાન્ય અપૂર્ણાંકો વિશે સારી વાત એ છે કે કોઈપણ બે પૂર્ણાંકોને આવા અપૂર્ણાંક તરીકે વિભાજિત કરવાના પરિણામને દર્શાવવા માટે, તમારે ફક્ત અપૂર્ણાંકના અંશમાં ડિવિડન્ડ અને છેદમાં વિભાજક લખવાની જરૂર છે. (123:11=123/11, 67:89=67/89, 127:53=127/53, ...) પછી, જો શક્ય હોય તો, અપૂર્ણાંક ઘટાડવો અને/અથવા સમગ્ર ભાગને અલગ કરો (સામાન્ય અપૂર્ણાંકો સાથે આ ક્રિયાઓ નીચેના લેખોમાં વિગતવાર ચર્ચા કરવામાં આવશે). સમસ્યા એ છે કે સામાન્ય અપૂર્ણાંકો સાથે અંકગણિત કામગીરી (ઉમેરો, બાદબાકી) કરવાનું હવે પૂર્ણાંકોની જેમ અનુકૂળ નથી.

લખવાની સુવિધા માટે (એક લીટીમાં) અને ગણતરીઓની સગવડ માટે (સામાન્ય પૂર્ણાંકોની જેમ, કૉલમમાં ગણતરીની શક્યતા સાથે), સામાન્ય અપૂર્ણાંકો ઉપરાંત, દશાંશ અપૂર્ણાંકની પણ શોધ કરવામાં આવી હતી. દશાંશ અપૂર્ણાંક એ 10, 100, 1000, વગેરેના છેદ સાથે ખાસ લખાયેલ સામાન્ય અપૂર્ણાંક છે. ઉદાહરણ તરીકે, સામાન્ય અપૂર્ણાંક 7/10 એ દશાંશ અપૂર્ણાંક 0.7 સમાન છે. (8/100 = 0.08; 2 સંપૂર્ણ 3/10 = 2.3; 7 સંપૂર્ણ 1/1000 = 7, 001). એક અલગ લેખ સામાન્ય અપૂર્ણાંકને દશાંશ અને તેનાથી વિપરિતમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે સમર્પિત કરવામાં આવશે. દશાંશ અપૂર્ણાંક સાથેની કામગીરી - અન્ય લેખો.

કોઈપણ પૂર્ણાંકને 1 ના છેદ સાથે સામાન્ય અપૂર્ણાંક તરીકે રજૂ કરી શકાય છે. (5=5/1; −765=−765/1).

વ્યાખ્યા: અપૂર્ણાંક તરીકે રજૂ કરી શકાય તેવી તમામ સંખ્યાઓને તર્કસંગત સંખ્યાઓ કહેવામાં આવે છે. તર્કસંગત સંખ્યાઓનો સમૂહ Q અક્ષર દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે.

જ્યારે કોઈપણ બે પૂર્ણાંકોને એકબીજા દ્વારા વિભાજિત કરવામાં આવે છે (0 વડે ભાગ્યા સિવાય), પરિણામ હંમેશા તર્કસંગત સંખ્યા હશે. સામાન્ય અપૂર્ણાંકો માટે, સરવાળા, બાદબાકી, ગુણાકાર અને ભાગાકાર માટેના નિયમો છે જે તમને કોઈપણ બે અપૂર્ણાંક સાથે અનુરૂપ કામગીરી કરવા દે છે અને પરિણામે તર્કસંગત સંખ્યા (અપૂર્ણાંક અથવા પૂર્ણાંક) પણ મેળવી શકે છે.

તર્કસંગત સંખ્યાઓનો સમૂહ એ અમે ધ્યાનમાં લીધેલા સમૂહોમાંથી પ્રથમ છે જેમાં તમે ઉમેરી શકો છો, બાદબાકી કરી શકો છો, ગુણાકાર કરી શકો છો અને ભાગાકાર કરી શકો છો (0 વડે ભાગાકાર સિવાય), આ સમૂહની સીમાઓથી ક્યારેય આગળ વધશો નહીં (એટલે ​​કે, હંમેશા તર્કસંગત મેળવો. પરિણામે નંબર).

એવું લાગે છે કે અન્ય કોઈ સંખ્યાઓ નથી; બધી સંખ્યાઓ તર્કસંગત છે. પરંતુ આ પણ સાચું નથી.

વાસ્તવિક સંખ્યાઓ

એવી સંખ્યાઓ છે જેને m/n અપૂર્ણાંક તરીકે દર્શાવી શકાતી નથી (જ્યાં m પૂર્ણાંક છે, n એ કુદરતી સંખ્યા છે).

આ નંબરો શું છે? અમે હજી સુધી ઘાતની કામગીરીને ધ્યાનમાં લીધી નથી. ઉદાહરણ તરીકે, 4 2 =4 ·4 = 16. 5 3 =5 ·5 ·5=125. જેમ ગુણાકાર એ સરવાળો લખવાનું અને ગણતરી કરવાનું વધુ અનુકૂળ સ્વરૂપ છે, તેવી જ રીતે ઘાત એ એક જ સંખ્યાના ગુણાકારને ચોક્કસ સંખ્યાની વાર લખવાનું એક સ્વરૂપ છે.

પરંતુ હવે ચાલો પાવર વધારવાની વિપરિત કામગીરી જોઈએ - મૂળ કાઢવા. 16 નું વર્ગમૂળ એ એવી સંખ્યા છે જેનો વર્ગ જ્યારે 16 આપે છે, એટલે કે, સંખ્યા 4. 9 નું વર્ગમૂળ 3 છે. પરંતુ 5 અથવા 2 નું વર્ગમૂળ, ઉદાહરણ તરીકે, રજૂ કરી શકાતું નથી. તર્કસંગત સંખ્યા. (આ નિવેદનનો પુરાવો, અતાર્કિક સંખ્યાઓના અન્ય ઉદાહરણો અને તેમનો ઇતિહાસ મળી શકે છે, ઉદાહરણ તરીકે, વિકિપીડિયા પર)

ગ્રેડ 9 માં GIA માં તે નક્કી કરવાનું એક કાર્ય છે કે તેના સંકેતમાં રુટ ધરાવતી સંખ્યા તર્કસંગત છે કે અતાર્કિક છે. કાર્ય એ છે કે આ સંખ્યાને એવા સ્વરૂપમાં રૂપાંતરિત કરવાનો પ્રયાસ કરવો કે જેમાં મૂળ ન હોય (મૂળના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને). જો તમે મૂળમાંથી છૂટકારો મેળવી શકતા નથી, તો સંખ્યા અતાર્કિક છે.

અતાર્કિક સંખ્યાનું બીજું ઉદાહરણ π એ સંખ્યા છે, જે ભૂમિતિ અને ત્રિકોણમિતિથી દરેકને પરિચિત છે.

વ્યાખ્યા: તર્કસંગત અને અતાર્કિક સંખ્યાઓને એકસાથે વાસ્તવિક (અથવા વાસ્તવિક) સંખ્યાઓ કહેવામાં આવે છે. તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો સમૂહ R અક્ષર દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે.

વાસ્તવિક સંખ્યામાં, તર્કસંગત સંખ્યાઓથી વિપરીત, આપણે રેખા અથવા સમતલ પરના કોઈપણ બે બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર વ્યક્ત કરી શકીએ છીએ.
જો તમે એક સીધી રેખા દોરો અને તેના પર બે મનસ્વી બિંદુઓ પસંદ કરો અથવા પ્લેન પર બે મનસ્વી બિંદુઓ પસંદ કરો, તો તે બહાર આવી શકે છે કે આ બિંદુઓ વચ્ચેનું ચોક્કસ અંતર તર્કસંગત સંખ્યા તરીકે વ્યક્ત કરી શકાતું નથી. (ઉદાહરણ: કર્ણ જમણો ત્રિકોણપગ 1 અને 1 સાથે, પાયથાગોરિયન પ્રમેય અનુસાર, બેના મૂળની બરાબર હશે - એટલે કે, એક અતાર્કિક સંખ્યા. આમાં નોટબુક કોષના કર્ણની ચોક્કસ લંબાઈનો પણ સમાવેશ થાય છે (સંપૂર્ણ બાજુઓ સાથેના કોઈપણ સંપૂર્ણ ચોરસના કર્ણની લંબાઈ).)
અને વાસ્તવિક સંખ્યાઓના સમૂહમાં, રેખા પર, પ્લેનમાં અથવા અવકાશમાં કોઈપણ અંતર અનુરૂપ વાસ્તવિક સંખ્યા દ્વારા વ્યક્ત કરી શકાય છે.

પૂર્ણાંક -આ કુદરતી સંખ્યાઓ, તેમજ તેમની વિરોધી સંખ્યાઓ અને શૂન્ય.

પૂર્ણાંક- કુદરતી સંખ્યાઓના સમૂહનું વિસ્તરણ એન, જે ઉમેરીને મેળવવામાં આવે છે એન 0 અને ઋણ સંખ્યાઓ જેવી કે − n. પૂર્ણાંકોનો સમૂહ સૂચવે છે ઝેડ.

સરવાળો , તફાવતઅને કામપૂર્ણાંકો ફરીથી પૂર્ણાંકો આપે છે, એટલે કે. સરવાળો અને ગુણાકારની ક્રિયાઓના સંદર્ભમાં પૂર્ણાંકો એક રિંગ બનાવે છે.

સંખ્યા રેખા પર પૂર્ણાંકો:

કેટલા પૂર્ણાંકો? કેટલા પૂર્ણાંકો? ત્યાં કોઈ સૌથી મોટો અને નાનો પૂર્ણાંક નથી. આ શ્રેણી અનંત છે. સૌથી મોટો અને નાનો પૂર્ણાંક અસ્તિત્વમાં નથી.

કુદરતી નંબરો પણ કહેવાય છે હકારાત્મક પૂર્ણાંક, એટલે કે શબ્દસમૂહ "કુદરતી સંખ્યા" અને "ધન પૂર્ણાંક" સમાન વસ્તુ છે.

ન તો અપૂર્ણાંક અથવા દશાંશપૂર્ણાંકો નથી. પરંતુ ત્યાં પૂર્ણ સંખ્યાઓ સાથે અપૂર્ણાંક છે.

પૂર્ણાંકોના ઉદાહરણો: -8, 111, 0, 1285642, -20051 અને તેથી વધુ.

બોલતા સરળ ભાષામાં, પૂર્ણાંકો છે (∞... -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4...+ ∞) - પૂર્ણાંકોનો ક્રમ. એટલે કે જેમનો અપૂર્ણાંક ભાગ ()) શૂન્ય બરાબર છે. તેમની પાસે કોઈ શેર નથી.

કુદરતી સંખ્યાઓ હકારાત્મક પૂર્ણાંકો છે. પૂર્ણાંક, ઉદાહરણો: (1,2,3,4...+ ∞).

પૂર્ણાંકો પર કામગીરી.

1. પૂર્ણાંકોનો સરવાળો.

સમાન ચિહ્નો સાથે બે પૂર્ણાંક ઉમેરવા માટે, તમારે ઉમેરવાની જરૂર છે મોડ્યુલોઆ નંબરો અને રકમની સામે અંતિમ ચિહ્ન મૂકો.

ઉદાહરણ:

(+2) + (+5) = +7.

2. પૂર્ણાંકોની બાદબાકી.

સાથે બે પૂર્ણાંક ઉમેરવા વિવિધ ચિહ્નો, તે સંખ્યાના મોડ્યુલસમાંથી બાદબાકી કરવી જરૂરી છે જે મોટી હોય તે સંખ્યાના મોડ્યુલસ જે નાની હોય અને જવાબ આપતા પહેલા મોટી મોડ્યુલો સંખ્યાનું ચિહ્ન મૂકે.

ઉદાહરણ:

(-2) + (+5) = +3.

3. પૂર્ણાંકોનો ગુણાકાર.

બે પૂર્ણાંકોનો ગુણાકાર કરવા માટે, તમારે આ સંખ્યાઓની મોડ્યુલીનો ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે અને જો મૂળ સંખ્યાઓ સમાન ચિહ્નની હોય તો ઉત્પાદનની આગળ વત્તા ચિહ્ન (+) અને જો તે અલગ હોય તો બાદબાકી ચિહ્ન (-) મૂકવાની જરૂર છે.

ઉદાહરણ:

(+2) ∙ (-3) = -6.

જ્યારે બહુવિધ સંખ્યાઓનો ગુણાકાર કરવામાં આવે છે, ત્યારે જો બિન-હકારાત્મક પરિબળોની સંખ્યા સમાન હોય તો ગુણાંકનું ચિહ્ન ધન હશે અને જો બિન-ધનાત્મક પરિબળોની સંખ્યા બેકી હોય તો નકારાત્મક હશે.

ઉદાહરણ:

(-2) ∙ (+3) ∙ (-5) ∙ (-3) ∙ (+4) = -360 (3 બિન-હકારાત્મક પરિબળો).

4. પૂર્ણાંકોનું વિભાજન.

પૂર્ણાંકોને વિભાજિત કરવા માટે, તમારે એકના મોડ્યુલસને બીજાના મોડ્યુલસ દ્વારા વિભાજિત કરવાની જરૂર છે અને જો સંખ્યાના ચિહ્નો સમાન હોય તો પરિણામની સામે "+" ચિહ્ન મૂકવું અને જો તે અલગ હોય તો બાદબાકીનું ચિહ્ન મૂકવાની જરૂર છે.

ઉદાહરણ:

(-12) : (+6) = -2.

પૂર્ણાંકોના ગુણધર્મો.

Z એ 2 પૂર્ણાંકોના વિભાજન હેઠળ બંધ નથી ( ઉદાહરણ તરીકે 1/2). નીચેનું કોષ્ટક કોઈપણ પૂર્ણાંક માટે સરવાળો અને ગુણાકારના કેટલાક મૂળભૂત ગુણધર્મો દર્શાવે છે a, bઅને c.

મિલકત	વધુમાં	ગુણાકાર
આઇસોલેશન	a + b- સમગ્ર	a × b- સમગ્ર
સહયોગ	a + (b + c) = (a + b) + c	a × ( b × c) = (a × b) × c
પરિવર્તનશીલતા	a + b = b + a	a × b = b × a
અસ્તિત્વ તટસ્થ તત્વ	a + 0 = a	a × 1 = a
અસ્તિત્વ વિરોધી તત્વ	a + (−a) = 0	a ≠ ± 1 ⇒ 1/aપૂર્ણાંક નથી
વિતરણ ગુણાકાર સંબંધિત વધુમાં	a × ( b + c) = (a × b) + (a × c)

કોષ્ટકમાંથી આપણે તે તારણ કરી શકીએ છીએ ઝેડસરવાળો અને ગુણાકાર હેઠળ એકતા સાથે વિનિમયાત્મક રિંગ છે.

પ્રમાણભૂત વિભાગ પૂર્ણાંકોના સમૂહ પર અસ્તિત્વમાં નથી, પરંતુ કહેવાતા છે શેષ સાથે વિભાજન: બધા પૂર્ણાંકો માટે aઅને b, b≠0, ત્યાં પૂર્ણાંકોનો એક સમૂહ છે qઅને આર, શું a = bq + rઅને 0≤r<|b| , ક્યાં |b|— સંખ્યાનું સંપૂર્ણ મૂલ્ય (મોડ્યુલસ). b. અહીં a- વિભાજ્ય, b- વિભાજક, q- ખાનગી, આર- બાકી.