સામગ્રી બિંદુના કોણીય વેગનું પરિમાણ. કોણીય વેગમાં ફેરફાર. દંપતી શક્તિ

M. કાર્યક્ષમતાની ગણતરી કરવા માટે. kકેન્દ્ર સંબંધિત સામગ્રી બિંદુ વિશેઅથવા કુહાડીઓ zબળની ક્ષણની ગણતરી કરવા માટે આપેલ તમામ સૂત્રો માન્ય છે જો તેમાં વેક્ટર બદલાયેલ હોય એફમોમેન્ટમ વેક્ટર mv. તે., k o = [ આર · mυ], ક્યાં આર- કેન્દ્રમાંથી દોરેલા મૂવિંગ પોઈન્ટનો ત્રિજ્યા વેક્ટર વિશે, એ k zવેક્ટરના પ્રક્ષેપણની બરાબર છે k ઓધરી દીઠ z, બિંદુમાંથી પસાર થવું વિશે. બિંદુની M. કાર્યક્ષમતામાં ફેરફાર ક્ષણના પ્રભાવ હેઠળ થાય છે m o(એફપ્રયોજિત બળનો ) અને યાંત્રિક કાર્યક્ષમતામાં ફેરફાર પરના પ્રમેય દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે, જે સમીકરણ દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે dk o /dt = m o(એફ). જ્યારે m o(એફ) = 0, જે, ઉદાહરણ તરીકે, કેન્દ્રીય દળો માટેનો કેસ છે, બિંદુની ગતિ વિસ્તાર કાયદાનું પાલન કરે છે.

ચીફ એમ.કે.ડી. (અથવા ગતિ ક્ષણ) યાંત્રિક સિસ્ટમકેન્દ્ર સંબંધિત વિશેઅથવા કુહાડીઓ zસમાન કેન્દ્ર અથવા અક્ષને સંબંધિત સિસ્ટમના તમામ બિંદુઓની M. કાર્યક્ષમતાના ભૌમિતિક અથવા બીજગણિત સરવાળા અનુક્રમે સમાન, એટલે કે. કે ઓ = Σ k oi, K z = Σ k zi. વેક્ટર કે ઓતેના અંદાજો દ્વારા નક્કી કરી શકાય છે K x , K y , K zસંકલન અક્ષો માટે. નિશ્ચિત ધરીની આસપાસ ફરતા શરીર માટે zકોણીય વેગ સાથે ω, કે x = - આઈ xz ω, કે y = - આઈ yz ω, કે z = આઈ z ω, ક્યાં l z- અક્ષીય, અને I xz, l yz- જડતાની કેન્દ્રત્યાગી ક્ષણો.

જો ધરી zમૂળ માટે જડતાની મુખ્ય ધરી છે વિશે,તે કે ઓ = આઈ z ω.

સિસ્ટમની મુખ્ય યાંત્રિક કાર્યક્ષમતામાં ફેરફાર ફક્ત બાહ્ય દળોના પ્રભાવ હેઠળ થાય છે અને તેમની મુખ્ય ક્ષણ પર આધાર રાખે છે. M o e. આ અવલંબન સિસ્ટમની મુખ્ય M. કાર્યક્ષમતામાં ફેરફાર પરના પ્રમેય દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે, જે સમીકરણ દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે. dK o /dt = M o e. સમાન સમીકરણ ક્ષણોને સંબંધિત છે K zઅને M z e. જો M o e= 0 અથવા M z e= 0, પછી તે મુજબ કે ઓઅથવા K zસતત માત્રામાં હશે, એટલે કે, ચુંબકીય કાર્યક્ષમતાના સંરક્ષણનો કાયદો ધરાવે છે.

ટિકિટ 20

ગતિશીલતાનું સામાન્ય સમીકરણ.

ગતિશીલતાનું સામાન્ય સમીકરણ- જ્યારે સિસ્ટમ દરેકમાં આદર્શ જોડાણો સાથે આગળ વધે છે આ ક્ષણેવખત સરવાળો મૂળભૂત કામસિસ્ટમની કોઈપણ સંભવિત હિલચાલ પર તમામ લાગુ સક્રિય દળો અને તમામ જડતા બળો શૂન્ય સમાન હશે. સમીકરણ શક્ય વિસ્થાપનના સિદ્ધાંત અને ડી'એલેમ્બર્ટના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરે છે અને તમને રચના કરવાની મંજૂરી આપે છે વિભેદક સમીકરણોકોઈપણ યાંત્રિક સિસ્ટમની હિલચાલ. ડાયનેમિક્સ સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે સામાન્ય પદ્ધતિ આપે છે. સંકલનનો ક્રમ: એ) તેના પર કાર્ય કરતી સ્પષ્ટ દળો દરેક શરીર પર લાગુ થાય છે, અને જડતા દળોના દળો અને ક્ષણો પણ શરતી રીતે લાગુ પડે છે; b) શક્ય હિલચાલની સિસ્ટમને જાણ કરો; c) સિસ્ટમને સમતુલામાં હોવાનું ધ્યાનમાં લેતા, સંભવિત હલનચલનના સિદ્ધાંત માટે સમીકરણો દોરો.

સંભવિત શક્તિ. મર્યાદિત વિસ્થાપન પર સંભવિત બળ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય.

સંભવિત તાકાત- એક બળ કે જેનું કાર્ય ફક્ત તેના એપ્લિકેશનના બિંદુની પ્રારંભિક અને અંતિમ સ્થિતિ પર આધારિત છે અને તે ક્યાં તો માર્ગના પ્રકાર પર અથવા આ બિંદુના ગતિના કાયદા પર આધારિત નથી.

સંભવિત બળ કાર્યપાથના અંતિમ અને પ્રારંભિક બિંદુઓ પર બળ કાર્યના મૂલ્યો વચ્ચેના તફાવતની સમાન છે અને તે ગતિશીલ બિંદુના માર્ગના પ્રકાર પર આધારિત નથી.

સંભવિત બળ ક્ષેત્રની મુખ્ય મિલકત એ છે કે જ્યારે કોઈ ભૌતિક બિંદુ તેમાં ફરે છે ત્યારે ક્ષેત્ર દળોનું કાર્ય ફક્ત આ બિંદુની પ્રારંભિક અને અંતિમ સ્થિતિ પર આધારિત છે અને તે તેના માર્ગના પ્રકાર અથવા ગતિના કાયદા પર આધારિત નથી.

ટિકિટ 21

વર્ચ્યુઅલ (શક્ય) હલનચલનનો સિદ્ધાંત.

શક્ય હલનચલનના સિદ્ધાંતના બે અલગ અલગ ફોર્મ્યુલેશન છે. એક સૂત્ર જણાવે છે કે ભૌતિક પ્રણાલીને સંતુલનમાં રાખવા માટે, તે જરૂરી છે કે સિસ્ટમ પર લાગુ તમામ બાહ્ય દળોના પ્રારંભિક કાર્યોનો સરવાળો કોઈપણ સંભવિત વિસ્થાપન પર શૂન્ય સમાન હોય.
બીજી રચના, તેનાથી વિપરીત, કહે છે કે સિસ્ટમ સંતુલિત હોવી જોઈએ જેથી તમામ દળોના પ્રારંભિક કાર્યોનો સરવાળો શૂન્ય સમાન હોય. આ સિદ્ધાંતની આ વ્યાખ્યા આપવામાં આવી છે, ઉદાહરણ તરીકે, કાર્યમાં: "આદર્શ જોડાણો અને સંતુલન સાથે સિસ્ટમ પર લાગુ કરાયેલ આપેલ દળોનું વર્ચ્યુઅલ કાર્ય શૂન્ય બરાબર છે."
ગાણિતિક રીતે, શક્ય હલનચલનનો સિદ્ધાંત આ રીતે રજૂ કરવામાં આવે છે:
, (1)
બળ વેક્ટર અને વર્ચ્યુઅલ ડિસ્પ્લેસમેન્ટ વેક્ટરનું સ્કેલર ઉત્પાદન ક્યાં છે.

દંપતી શક્તિ

દળોની જોડી એ તીવ્રતામાં બે સમાન, સમાંતર અને વિરુદ્ધ દિશામાં નિર્દેશિત દળોની સિસ્ટમ છે જે એકદમ સખત શરીર પર કાર્ય કરે છે.

જોડી શક્તિ:

,

જ્યાં ઓમેગા Z એ પરિભ્રમણની ધરી પર કોણીય વેગનું પ્રક્ષેપણ છે.

ટિકિટ 22

1. વર્ચ્યુઅલ હલનચલનનો સિદ્ધાંત
સંખ્યા સાથે સિસ્ટમ બિંદુની વર્ચ્યુઅલ હિલચાલને ધ્યાનમાં લો i વર્ચ્યુઅલ ચળવળ δr i એ ચોક્કસ સમયની ચોક્કસ ક્ષણે તેમના વિનાશ વિના જોડાણો દ્વારા માન્ય બિંદુની માનસિક અનંત ચળવળ છે.

જો ત્યાં માત્ર એક જોડાણ હોય અને સમીકરણ (2) દ્વારા વર્ણવવામાં આવે, તો તે ભૌતિક રીતે સ્પષ્ટ છે કે જ્યારે વર્ચ્યુઅલ ડિસ્પ્લેસમેન્ટ વેક્ટર

જ્યાં ગ્રેડ એફ- ફંક્શનનો ઢાળ (2) નિશ્ચિત પર t, બિંદુના સ્થાન પર જોડાણ સપાટી પર લંબરૂપ, સમાન

વિવિધતાઓની ગણતરીમાં, અનંત માત્રા δr i , δx i , δy i , δz iકાર્યોની વિવિધતા કહેવાય છે r i, x i, y i, z i. પોઈન્ટના કોઓર્ડિનેટ્સ અથવા સતત સમયે સંચાર સમીકરણોમાં ફેરફાર સિંક્રનસ વિવિધતા દ્વારા જોવા મળે છે, જે સૂત્રો (4) અને (6) ની ડાબી બાજુઓ અનુસાર હાથ ધરવામાં આવે છે.

એટલે કે અંદાજો δx i , δy i , δz iવર્ચ્યુઅલ બિંદુ ચળવળ δrયુગલ સમીકરણની પ્રથમ વિવિધતા અદૃશ્ય થઈ જાય છે, જો કે સમય બદલાય નહીં (સિંક્રનસ ભિન્નતા):

(7)

પરિણામે, બિંદુની વર્ચ્યુઅલ હિલચાલ તેની હિલચાલને લાક્ષણિકતા આપતી નથી, પરંતુ જોડાણ નક્કી કરે છે અથવા, સામાન્ય કિસ્સામાં, સિસ્ટમના બિંદુ પર લાદવામાં આવેલા જોડાણો. આમ, વર્ચ્યુઅલ ડિસ્પ્લેસમેન્ટ્સ કનેક્શન્સની પ્રતિક્રિયા રજૂ કર્યા વિના યાંત્રિક જોડાણોની અસરને ધ્યાનમાં લેવાનું શક્ય બનાવે છે, જેમ આપણે પહેલા કર્યું હતું, અને વિશ્લેષણાત્મક સ્વરૂપમાં સિસ્ટમના સંતુલન અથવા ગતિના સમીકરણો મેળવવાનું શક્ય બનાવે છે જેમાં અજ્ઞાત પ્રતિક્રિયાઓ શામેલ નથી. જોડાણો

2.પ્રાથમિક કાર્ય
દળોનું પ્રાથમિક કાર્ય, એકદમ કઠોર શરીર પર અભિનય, બે પદોના બીજગણિત સરવાળા સમાન છે: આ દળોના મુખ્ય વેક્ટરનું કાર્ય શરીરના પ્રાથમિક અનુવાદાત્મક વિસ્થાપન પર મનસ્વી રીતે પસંદ કરેલા ધ્રુવ સાથે અને દળોના મુખ્ય ક્ષણનું કાર્ય. , ધ્રુવની આસપાસના શરીરના પ્રાથમિક રોટેશનલ ડિસ્પ્લેસમેન્ટ પર, ધ્રુવને સંબંધિત લેવામાં આવે છે. [ 1 ]

બળનું પ્રાથમિક કાર્યતે બળના સ્કેલર ઉત્પાદન અને બળના ઉપયોગના બિંદુના ત્રિજ્યા-વેક્ટરના વિભેદક સમાન છે. [ 2 ]

દળોનું પ્રાથમિક કાર્યતે સિસ્ટમની સંભવિત હિલચાલની પસંદગી પર આધારિત છે. [ 3 ]

બળનું પ્રાથમિક કાર્યશરીરને ફેરવતી વખતે જેના પર બળ કાર્ય કરે છે

ટિકિટ 23

1. સામાન્યકૃત કોઓર્ડિનેટ્સમાં વર્ચ્યુઅલ હલનચલનનો સિદ્ધાંત.

ચાલો સામાન્યકૃત કોઓર્ડિનેટ્સમાં સિસ્ટમના સક્રિય દળોના વર્ચ્યુઅલ કાર્યને વ્યક્ત કરીને સિદ્ધાંત લખીએ:

સિસ્ટમ પર હોલોનોમિક અવરોધો લાદવામાં આવ્યા હોવાથી, સામાન્યકૃત કોઓર્ડિનેટ્સની વિવિધતાઓ એકબીજાથી સ્વતંત્ર છે અને એક સાથે શૂન્યની બરાબર હોઈ શકતી નથી. તેથી, છેલ્લી સમાનતા ત્યારે જ સંતુષ્ટ થાય છે જ્યારે ના ગુણાંક δ j (j = 1 ÷ s)એકસાથે અદૃશ્ય થઈ જાય છે, એટલે કે

2. અંતિમ વિસ્થાપન પર બળનું કાર્ય
જોબઅંતિમ વિસ્થાપન પરના બળને પ્રાથમિકના અભિન્ન સરવાળા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જોબઅને જ્યારે ખસેડવું એમ 0 એમ 1 વ્યક્ત કરવામાં આવે છે વક્રીકૃત અભિન્ન:

ટિકિટ 24

1. બીજા પ્રકારનું લેગ્રેન્જ સમીકરણ.

સમીકરણો મેળવવા માટે, અમે ફોર્મમાં સામાન્યકૃત કોઓર્ડિનેટ્સમાં ડી'એલેમ્બર્ટ-લેગ્રેન્જ સિદ્ધાંત લખીએ છીએ -Q j u = Q j (j = 1 ÷ s).

તે ધ્યાનમાં લેતા Ф i = -m i a i = -m i dV i / dt, અમને મળે છે:

(1)

(2)

(2) ને (1) માં બદલીને આપણે સામાન્યકૃત કોઓર્ડિનેટ્સમાં સિસ્ટમની ગતિનું વિભેદક સમીકરણ મેળવીએ છીએ, જેને બીજા પ્રકારનું લેગ્રેન્જ સમીકરણ કહેવામાં આવે છે:

(3)

એટલે કે, હોલોનોમિક જોડાણો સાથેની ભૌતિક સિસ્ટમનું વર્ણન બધા માટે બીજા પ્રકારના લેગ્રેન્જ સમીકરણો દ્વારા કરવામાં આવ્યું છે. sસામાન્યકૃત કોઓર્ડિનેટ્સ.

ચાલો પરિણામી સમીકરણોના મહત્વના લક્ષણોની નોંધ લઈએ.

1. સમીકરણો (3) એ s અજ્ઞાત કાર્યો q j (t) માટે બીજા ક્રમના સામાન્ય વિભેદક સમીકરણોની સિસ્ટમ છે, જે સિસ્ટમની ગતિને સંપૂર્ણપણે નિર્ધારિત કરે છે.

2. સમીકરણોની સંખ્યા સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યા જેટલી છે, એટલે કે, કોઈપણ હોલોનોમિક સિસ્ટમની ગતિ વર્ણવવામાં આવે છે સૌથી નાની સંખ્યાસમીકરણો

3. સમીકરણો (3) માં આદર્શ બોન્ડની પ્રતિક્રિયાઓ શામેલ કરવાની કોઈ જરૂર નથી, જે બોન્ડ્સની અજાણી પ્રતિક્રિયાઓ નક્કી કરવાની સમસ્યાને દૂર કરવા માટે સામાન્યકૃત કોઓર્ડિનેટ્સ પસંદ કરીને, બિન-મુક્ત પ્રણાલીના ગતિના કાયદાને શોધીને પરવાનગી આપે છે.

4. બીજા પ્રકારના લેગ્રેન્જ સમીકરણો ગતિશીલતાની ઘણી સમસ્યાઓના ઉકેલ માટે ક્રિયાઓના એકીકૃત ક્રમને સ્પષ્ટ કરવાનું શક્ય બનાવે છે, જેને ઘણીવાર લેગ્રેન્જ ઔપચારિકતા કહેવામાં આવે છે.

2. સાપેક્ષ પ્રવેગકના મૂલ્યો અને શૂન્ય સમાન કોરિઓલિસ જડતા બળના મૂલ્યોને આ સમીકરણમાં બદલીને ગતિશીલ કોરિઓલિસ સમીકરણમાંથી ભૌતિક બિંદુના સંબંધિત બાકીની સ્થિતિ મેળવવામાં આવે છે:

ગતિનો ટોર્ક(કાઇનેટિક વેગ, કોણીય વેગ, ઓર્બિટલ મોમેન્ટમ, કોણીય વેગ) - ગતિશીલમાંનું એક.

સામગ્રી બિંદુ અથવા યાંત્રિક ચળવળની લાક્ષણિકતાઓ. સિસ્ટમો; પરિભ્રમણના અભ્યાસમાં ખાસ કરીને મહત્વપૂર્ણ ભૂમિકા ભજવે છે. હલનચલન બળની ક્ષણની જેમ, કેન્દ્ર (બિંદુ) અને ધરીને સંબંધિત M. કાર્યક્ષમતા વચ્ચે તફાવત બનાવવામાં આવે છે. વિશે M. કેન્દ્રને સંબંધિત સામગ્રી બિંદુની કાર્યક્ષમતા આર ત્રિજ્યા વેક્ટરના વેક્ટર ઉત્પાદનની સમાન વિશેકેન્દ્રમાંથી દોરવામાં આવેલ બિંદુ mv, તેણીની હિલચાલની સંખ્યા પર k 0 = [આર , એટલે કેm u k 0 = આર , એટલે કેm] અથવા અન્ય સંકેતોમાં k z. M. k.d. વિશેકેન્દ્રમાંથી પસાર થતા z-અક્ષને સંબંધિત સામગ્રી બિંદુ k, વેક્ટરના પ્રક્ષેપણ સમાન છે આ અક્ષ માટે 0.બિંદુની M. કાર્યક્ષમતાની ગણતરી કરવા માટે, ગણતરી માટે આપેલ તમામ સૂત્રો માન્ય છે એફ બળની ક્ષણ , એટલે કેm, જો આપણે તેમાં વેક્ટર બદલીએ , એટલે કે 0 (એફ (અથવા તેના અંદાજો) વેક્ટર દ્વારા (અથવા તેના અંદાજો). બિંદુની M. કાર્યક્ષમતામાં ફેરફાર ક્ષણના પ્રભાવ હેઠળ થાય છેk) બળ લાગુ કર્યું. આ પરિવર્તનની પ્રકૃતિ સમીકરણ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે 0 (એફ ડી , એટલે કે 0 (એફ /dt = m વિશે), જે મુખ્યનું પરિણામ છે ગતિશીલતાનો કાયદો. જ્યારે કેપલરના કાયદા), તેમજ કોસ્મિક ગતિના સિદ્ધાંત માટે. ઉડી ઉપકરણો, ઉપગ્રહો, વગેરે.

યાંત્રિક માટે સિસ્ટમ, કેન્દ્રને સંબંધિત સિસ્ટમની મુખ્ય M. કાર્યક્ષમતા (અથવા ગતિ ક્ષણ) નો ખ્યાલ રજૂ કરવામાં આવ્યો છે. વિશે, geom સમાન. સમાન કેન્દ્રને સંબંધિત સિસ્ટમના તમામ બિંદુઓની M. કાર્યક્ષમતાનો સરવાળો:

વેક્ટર કે 0 ને તેના પરસ્પર લંબરૂપ અક્ષો પરના અંદાજો દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે ઓક્સિઝ. જથ્થો K x , K y , K z, તે જ સમયે અનુરૂપ અક્ષોની તુલનામાં સિસ્ટમની મુખ્ય M. કાર્યક્ષમતા છે. નિશ્ચિત ધરીની આસપાસ ફરતા શરીર માટે zખૂણેથી ઝડપ w, આ જથ્થાઓ સમાન છે: K x = -I xz w K y = = -I yz w K z = I z w, ક્યાં હું z- અક્ષીય, એ હું xzઅને હું yz- જડતાની કેન્દ્રત્યાગી ક્ષણો. જો શરીર નિશ્ચિત બિંદુની નજીક જાય છે વિશે, પછી તે બિંદુ પર દોરેલા જડતાના મુખ્ય અક્ષો પરના અંદાજોમાં વિશે, કરશે K x =- I xડબલ્યુ x, K y = 1 વાયડબલ્યુ y, K z = I zડબલ્યુ z, ક્યાં I x, 1 y, I z- ch સંબંધિત જડતાની ક્ષણો. કુહાડીઓ ડબલ્યુ x, ડબલ્યુ y, ડબલ્યુ z- ત્વરિત કોણનું પ્રક્ષેપણ. ઝડપ ડબલ્યુઆ અક્ષો પર. થી f-l દૃશ્યમાનકે વેક્ટરની દિશા કે 0 દિશા સાથે એકરુપ છે ડબલ્યુમાત્ર ત્યારે જ જ્યારે શરીર તેના એક માથાની આસપાસ ફરે છે. (બિંદુ માટે વિશે)જડતાની અક્ષો. આ કિસ્સામાં કે 0 = આઈડબલ્યુ, ક્યાં આઈ- આ પ્રકરણને સંબંધિત શરીરની જડતાની ક્ષણ. કુહાડીઓ

સિસ્ટમની મુખ્ય M. કાર્યક્ષમતામાં ફેરફાર ફક્ત બાહ્યના પરિણામે થાય છે પ્રભાવિત કરે છે અને સીએચ પર આધાર રાખે છે. ક્ષણ એમ ઇ 0 ext. તાકાત આ અવલંબન સમીકરણ દ્વારા નક્કી થાય છે ડી કે 0 /dt= એમઇ 0 (ક્ષણ સ્તર). એક બિંદુની ગતિના કિસ્સાથી વિપરીત, સિસ્ટમ માટે ક્ષણોનું સમીકરણ એ ગતિની સંખ્યાના સમીકરણનું પરિણામ નથી, અને આ બંને સમીકરણોનો ઉપયોગ સિસ્ટમની ગતિનો એક સાથે અભ્યાસ કરવા માટે થઈ શકે છે. એકલા ક્ષણોના સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને, સિસ્ટમ (શરીર) ની ગતિ ફક્ત શુદ્ધ પરિભ્રમણના કિસ્સામાં સંપૂર્ણપણે નક્કી કરી શકાય છે. ચળવળ (નિશ્ચિત ધરી અથવા બિંદુની આસપાસ). જો સી.એચ. બાહ્ય ક્ષણ -n ને સંબંધિત દળો. કેન્દ્ર અથવા અક્ષ શૂન્યની બરાબર છે, તો પછી આ કેન્દ્ર અથવા અક્ષને સંબંધિત સિસ્ટમની મુખ્ય M. કાર્યક્ષમતા સતત મૂલ્ય રહે છે, એટલે કે, M. કાર્યક્ષમતાના સંરક્ષણનો કાયદો થાય છે (જુઓ.

ટિકિટ 14

પ્રશ્ન 1

ભૌતિક લોલક એ કોઈપણ શરીર તરીકે સમજી શકાય છે જે ગુરુત્વાકર્ષણના પ્રભાવ હેઠળ નિશ્ચિત આડી અક્ષની તુલનામાં નાના ઓસિલેશન બનાવે છે.

અક્ષ (અંતર OS) ને સંબંધિત જટિલ આકારના શરીરના ગુરુત્વાકર્ષણ કેન્દ્રની સ્થિતિ પ્રાયોગિક રીતે કેવી રીતે નક્કી કરવી તે "સ્ટેટિક્સ" વિભાગમાં ચર્ચા કરવામાં આવી હતી. આ શરીરના ઓસિલેશનના માપેલા સમયગાળાથી, કોઈ વ્યક્તિ O બિંદુ પરથી પસાર થતા Oz અક્ષની તુલનામાં તેની જડતાની ક્ષણ નક્કી કરી શકે છે,

અને શરીરના સમૂહના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી આડી અક્ષની તુલનામાં.

નીચેની બાબતો જાણવી પણ રસપ્રદ છે. જેઓ અચકાતા હોય તેમના માટે ભૌતિક શરીરપરિભ્રમણની અક્ષ અને શરીરના ગુરુત્વાકર્ષણના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી રેખાના ચાલુ રાખવા પર, એક બિંદુ છે જેને સ્વિંગનું કેન્દ્ર કહેવાય છે.

જો કોઈ શરીરને ઓસિલેશનના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષની આસપાસ ઓસીલેટ કરવાની ફરજ પાડવામાં આવે છે, તો આ શરીરના ઓસિલેશનનો સમયગાળો O બિંદુ પરથી પસાર થતી અક્ષની આસપાસ ઓસીલેટ કરતી વખતે બરાબર એ જ હશે.

સ્વિંગનું કેન્દ્ર (આકૃતિમાં બિંદુ D) શરીરના ગુરુત્વાકર્ષણના કેન્દ્રની નીચે રેખા OS ના ચાલુ રાખવા પર સ્થિત છે જે સામાન્ય રીતે ભૌતિક લોલકની ઘટાડેલી લંબાઈ કહેવાય છે.

ચાલો આ ખ્યાલને નીચેની વ્યાખ્યા આપીએ.

ભૌતિક લોલકની ઘટેલી લંબાઈ એટલે ગાણિતિક લંબાઈ

એક લોલક જેનો ઓસિલેશનનો સમયગાળો ભૌતિક લોલકના ઓસિલેશનના સમયગાળા જેટલો હોય છે.

લોલકની ઘટાડેલી લંબાઈ જેમાંથી સમીકરણો મેળવે છે તે સરળતાથી નક્કી કરી શકાય છે

ઓસિલેશનની ચક્રીય આવર્તન દરેક કિસ્સામાં નક્કી કરવામાં આવે છે.

પ્રશ્ન 2

કેન્દ્ર અને અક્ષને સંબંધિત બિંદુ અને સિસ્ટમની ગતિશીલ ક્ષણ

સિસ્ટમ ધ્યાનમાં લો સામગ્રી બિંદુઓદળ સાથે m 1 m 2 ....m n આ ક્ષણે વેગ ધરાવે છે v 1 v 2.....v nસંદર્ભના જડતા ફ્રેમને સંબંધિત. ચાલો મનસ્વી કેન્દ્ર O (ફિગ. 1) પસંદ કરીએ. ગતિશીલ ક્ષણ કેન્દ્ર O ની સાપેક્ષ m j બિંદુને આ કેન્દ્રની સાપેક્ષ તેના વેગના ક્ષણનો વેક્ટર કહેવામાં આવે છે.

K oj = m o (q j) = r j  m જે v જે(j=1,2...n) (1)

તે જાણીતું છે કે વેક્ટર ગુણાકાર પ્રથમ પરિબળના સંલગ્ન મેટ્રિક્સ દ્વારા લખી શકાય છે - વેક્ટરની ત્રિજ્યા આર.

ઇન્ડેક્સ j ને છોડીને, અમે xyz અક્ષોમાં O પર મૂળ સાથે મેટ્રિક્સ અભિવ્યક્તિ લખીએ છીએ:

કે o = મી આર.વી(2)

જ્યાં આર-સ્ક્યુ-સપ્રમાણ સંલગ્ન કૉલમ મેટ્રિક્સ આર

= m =m (3)

ધરી પર ગતિશીલ ક્ષણના પ્રક્ષેપણને કહેવામાં આવે છે ધરીને સંબંધિત બિંદુની કોણીય વેગ . તેની ગણતરી ક્યાં તો વિશ્લેષણાત્મક રીતે સૂત્રો (3) નો ઉપયોગ કરીને અથવા ધરી વિશે બળની ક્ષણ તરીકે કરવામાં આવે છે. ક્ષણ માત્ર વેક્ટરના સ્પર્શક ઘટક દ્વારા આપવામાં આવે છે q(ફિગ.2).

K Z = + q t h (4)

ક્ષણ શૂન્ય બની જાય છે જો વેક્ટરનો વેક્ટર (બિંદુની ગતિ) ધરી સાથે સમાન સમતલમાં રહેલો હોય (અક્ષને સમાંતર અથવા છેદે)

સિસ્ટમની ગતિશીલ ક્ષણ કેન્દ્ર O ને સંબંધિત આ કેન્દ્રને સંબંધિત સિસ્ટમના બિંદુઓની ગતિના જથ્થાની મુખ્ય ક્ષણ કહેવામાં આવે છે.

K o =SK oj =S m જે r j v j(5)

એ જ રીતે ફોર્મ્યુલા (3) સાથે, વેક્ટર (4) ના અંદાજો સંકલન અક્ષોની તુલનામાં ગતિશીલ ક્ષણોનો સ્તંભ બનાવે છે

= એસએમ જે (6)

ધ્રુવ (અક્ષ) ને સંબંધિત યાંત્રિક પ્રણાલીની ગતિશીલ ક્ષણ એ સમાન ધ્રુવને સંબંધિત સિસ્ટમના તમામ બિંદુઓની ગતિના જથ્થાના વેક્ટર (બીજગણિતીય) ક્ષણોનો સરવાળો છે. વિશે(સમાન ધરી)

() . (3.22)

મિકેનિકલ સિસ્ટમના કોણીય વેગને ઘણીવાર સિસ્ટમના મુખ્ય કોણીય વેગ કહેવામાં આવે છે, અનુક્રમે, ધ્રુવ અથવા અક્ષની તુલનામાં.

જો આપણે કોણીય વેગ (3.22) થી લંબચોરસ પર પ્રક્ષેપિત કરીએ કાર્ટેશિયન અક્ષોકોઓર્ડિનેટ્સ, પછી આપણે આ અક્ષો પર ગતિ ક્ષણના અંદાજો અથવા સંકલન અક્ષોને સંબંધિત ગતિ ક્ષણો મેળવીએ છીએ

જો ભૌતિક બિંદુઓની સિસ્ટમ અનુવાદમાં આગળ વધે છે, તો અને, પરિણામે, .

અમે સ્કેલર પરિબળ અને ત્રિજ્યા નક્કી કરવા માટેના સૂત્રના સંદર્ભમાં વેક્ટર ઉત્પાદનની સંયોજનની મિલકતનો ઉપયોગ કર્યો - સમૂહના કેન્દ્રનો વેક્ટર (2.4).

આમ, ટ્રાન્સલેશનલ ગતિ દરમિયાન ધ્રુવની સાપેક્ષમાં સિસ્ટમનો કોણીય વેગ આ ધ્રુવની સાપેક્ષમાં સિસ્ટમના કોણીય વેગ સમાન છે, જો સિસ્ટમનો વેગ સમૂહના કેન્દ્રમાં લાગુ કરવામાં આવે.

^ પરિભ્રમણની ધરી વિશે કઠોર શરીરની ગતિશીલ ક્ષણ

ચોખા. 18

કઠોર શરીરને કોણીય વેગ (ફિગ. 18) સાથે નિશ્ચિત ધરીની આસપાસ ફરવા દો. ચાલો કઠોર શરીરમાં એક મનસ્વી બિંદુ પસંદ કરીએ અને પરિભ્રમણની અક્ષની તુલનામાં આ શરીરની ગતિશીલ ક્ષણની ગણતરી કરીએ. અક્ષની તુલનામાં સિસ્ટમના કોણીય વેગની વ્યાખ્યા દ્વારા, આપણી પાસે છે

.
પરંતુ જ્યારે શરીર ધરીની આસપાસ ફરે છે,

તદુપરાંત, બિંદુની ગતિનું પ્રમાણ સેગમેન્ટને લંબરૂપ છે અને પરિભ્રમણની અક્ષને લંબરૂપ સમતલમાં છે. તેથી, બિંદુ માટે ધરી વિશે કોણીય વેગ

આખા શરીર માટે ,

તે છે . (3.24)

પરિભ્રમણની અક્ષની સાપેક્ષમાં ફરતા શરીરની ગતિ ક્ષણ, પરિભ્રમણની અક્ષની સાપેક્ષમાં તેની જડતાના ક્ષણ દ્વારા શરીરના કોણીય વેગના ગુણાંક જેટલી હોય છે.

ટિકિટ 15

પ્રશ્ન 1

સંભવિત વિસ્થાપનના સિદ્ધાંત (સ્ટેટિક્સનું મૂળભૂત સમીકરણ) અનુસાર, એક યાંત્રિક પ્રણાલી કે જેના પર આદર્શ, સ્થિર, સંયમ અને હોલોનોમિક અવરોધો સમતુલામાં લાદવામાં આવે છે, તે જરૂરી અને પૂરતું છે કે આ સિસ્ટમમાં તમામ સામાન્યીકૃત દળો શૂન્ય સમાન બનો:

જ્યાં ક્યુજે- અનુરૂપ સામાન્ય બળ j-ઓહ સામાન્યકૃત સંકલન;

s- યાંત્રિક સિસ્ટમમાં સામાન્યકૃત કોઓર્ડિનેટ્સની સંખ્યા.

જો બીજા પ્રકારના લેગ્રેન્જ સમીકરણોના રૂપમાં અભ્યાસ હેઠળની સિસ્ટમ માટે ગતિના વિભેદક સમીકરણોનું સંકલન કરવામાં આવ્યું હોય, તો સંભવિત સંતુલન સ્થિતિઓ નક્કી કરવા માટે તે સામાન્યીકૃત દળોને શૂન્ય સાથે સમાન કરવા અને પરિણામી સમીકરણોને સામાન્યીકરણના સંદર્ભમાં ઉકેલવા માટે પૂરતું છે. સંકલન

જો યાંત્રિક પ્રણાલી સંભવિત બળ ક્ષેત્રમાં સંતુલનમાં હોય, તો પછી સમીકરણો (1) થી આપણે નીચેની સંતુલન સ્થિતિઓ મેળવીએ છીએ:

તેથી, સંતુલન સ્થિતિમાં સંભવિત ઊર્જાઅત્યંત મહત્વ ધરાવે છે. ઉપરોક્ત સૂત્રો દ્વારા નિર્ધારિત દરેક સંતુલન વ્યવહારીક રીતે સાકાર થઈ શકતું નથી. જ્યારે તે સંતુલન સ્થિતિમાંથી વિચલિત થાય છે ત્યારે સિસ્ટમની વર્તણૂક પર આધાર રાખીને, વ્યક્તિ આ સ્થિતિની સ્થિરતા અથવા અસ્થિરતા વિશે વાત કરે છે.

યાંત્રિક પ્રણાલીનું સંતુલન,દળોના પ્રભાવ હેઠળ યાંત્રિક પ્રણાલીની સ્થિતિ, જેમાં તેના તમામ મુદ્દાઓ વિચારણા હેઠળના સંદર્ભ પ્રણાલીના સંદર્ભમાં આરામ પર છે. જો સંદર્ભ સિસ્ટમ જડતા હોય (જુઓ જડતા સંદર્ભ સિસ્ટમ), સંતુલનને સંપૂર્ણ કહેવામાં આવે છે, અન્યથા - સંબંધિત. R. m.s ની શરતોનો અભ્યાસ - સ્ટેટિક્સની મુખ્ય સમસ્યાઓમાંની એક. R. m.s ની શરતો કાર્યકારી દળો અને પરિમાણોને જોડતી સમાનતાનું સ્વરૂપ છે જે સિસ્ટમની સ્થિતિ નક્કી કરે છે; આ શરતોની સંખ્યા સિસ્ટમની સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યા જેટલી છે. સાપેક્ષતાની શરતો R. m.s. નિરપેક્ષ સંતુલનની સ્થિતિની જેમ જ સંકલિત કરવામાં આવે છે, જો જડતાના અનુરૂપ સ્થાનાંતરણ દળોને બિંદુઓ પર કાર્ય કરતા દળોમાં ઉમેરવામાં આવે છે. મુક્ત કઠોર શરીર માટે સંતુલન શરતો ત્રણ સંકલન અક્ષો પર અંદાજોના સરવાળાની શૂન્યની સમાનતા ધરાવે છે. ઓક્સિઝઅને શરીર પર લાગુ તમામ દળોના આ અક્ષોને સંબંધિત ક્ષણોનો સરવાળો, એટલે કે.

જો શરતો (1) પૂરી થાય છે, તો શરીર આપેલ સંદર્ભ પ્રણાલીના સંબંધમાં આરામ કરશે જો આ સિસ્ટમની તુલનામાં તેના તમામ બિંદુઓની વેગ જે ક્ષણે દળોએ કાર્ય કરવાનું શરૂ કર્યું તે શૂન્ય સમાન હતું. નહિંતર, શરીર, જ્યારે શરતો (1) મળે છે, કહેવાતા પ્રદર્શન કરશે. જડતા દ્વારા ચળવળ, ઉદાહરણ તરીકે, આગળ વધવું, એકસરખું અને સચોટ રીતે. જો કઠોર શરીર મુક્ત ન હોય (યાંત્રિક અવરોધો જુઓ), તો તેના સંતુલન માટેની શરતો સમાનતા (1) (અથવા તેમના પરિણામો) દ્વારા આપવામાં આવે છે જેમાં લાદવામાં આવેલા અવરોધોની પ્રતિક્રિયાઓ શામેલ નથી; બાકીની સમાનતાઓ અજાણી પ્રતિક્રિયાઓ નક્કી કરવા માટે સમીકરણો આપે છે. ઉદાહરણ તરીકે, પરિભ્રમણની નિશ્ચિત ધરી ધરાવતા શરીર માટે ઓઝ,સંતુલન સ્થિતિ å હશે m z(F k) = 0; બાકીની સમાનતાઓ (1) એક્સેલને સુરક્ષિત કરતી બેરિંગ્સની પ્રતિક્રિયાઓ નક્કી કરવા માટે સેવા આપે છે. જો શરીરને સુપરઇમ્પોઝ્ડ બોન્ડ્સ દ્વારા સખત રીતે નિશ્ચિત કરવામાં આવે છે, તો બધી સમાનતાઓ (1) બોન્ડની ચોક્કસ પ્રતિક્રિયા માટે સમીકરણો આપે છે. આ પ્રકારની સમસ્યાઓ ઘણીવાર ટેક્નોલોજીમાં ઉકેલાય છે.

સિદ્ધાંતના મજબૂતીકરણના આધારે, સમાનતાઓ (1), જેમાં બાહ્ય જોડાણોની પ્રતિક્રિયાઓ શામેલ નથી, તે જ સમયે કોઈપણ યાંત્રિક પ્રણાલીના સંતુલન માટે જરૂરી (પરંતુ અપૂરતી) શરતો પૂરી પાડે છે અને, ખાસ કરીને, વિકૃત શરીર. જરૂરી અને પૂરતી શરતોકોઈપણ યાંત્રિક પ્રણાલીનું સંતુલન શક્ય વિસ્થાપન સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને શોધી શકાય છે. કર્યા સિસ્ટમ માટે sસ્વતંત્રતાની ડિગ્રી, આ શરતો અનુરૂપ સામાન્યીકૃત દળોની શૂન્યની સમાનતામાં સમાવે છે:

પ્રશ્ન 1= 0, પ્રશ્ન 2= 0, ×××, સ.સ= 0. (2)

શરતો (1) અને (2) દ્વારા નિર્ધારિત સંતુલન અવસ્થાઓમાંથી, ફક્ત તે જ જે સ્થિર છે તે વ્યવહારીક રીતે સાકાર થાય છે (જુઓ સંતુલનની સ્થિરતા). પ્રવાહી અને વાયુઓના સંતુલનને હાઇડ્રોસ્ટેટિક્સ અને એરોસ્ટેટિક્સમાં ગણવામાં આવે છે.

પ્રશ્ન 2

ટિકિટ 18

દળોની સંતુલિત સિસ્ટમ માટે, સંભવિત વિસ્થાપનના સિદ્ધાંત અનુસાર, સિસ્ટમના કોઈપણ સંભવિત વિસ્થાપન પર દળોના વર્ચ્યુઅલ કાર્યનો સરવાળો શૂન્ય સમાન હોવો જોઈએ.

જે લખવામાં આવ્યું છે તે નીચે મુજબ ઘડી શકાય છે.

આદર્શ જોડાણો સાથે યાંત્રિક સિસ્ટમની ગતિની કોઈપણ ક્ષણે, સિસ્ટમની કોઈપણ સંભવિત હિલચાલ પર સક્રિય દળો અને જડતા દળોના વર્ચ્યુઅલ કાર્યનો સરવાળો શૂન્ય છે.

આ સમાનતાને સામાન્ય રીતે કહેવામાં આવે છે

સામાન્ય સમીકરણડાયનેમિક્સ અથવા લેગ્રેન્જ-ડી'એલેમ્બર્ટ સિદ્ધાંત.

પ્રશ્ન 2

"સંભવિત હલનચલનનો સિદ્ધાંત."

આ સિદ્ધાંત સૌથી વધુ માનવામાં આવે છે સામાન્ય સ્થિતિકોઈપણ યાંત્રિક પ્રણાલીની સંતુલન અથવા સમાન ગતિ. તેમાંથી તમે "સ્ટેટિક્સ" વિભાગમાં ચર્ચા કરેલ દળોની સિસ્ટમની ક્રિયા હેઠળ શરીરના સંતુલન માટેની તમામ વિશ્લેષણાત્મક પરિસ્થિતિઓ મેળવી શકો છો.

સિદ્ધાંત નીચે પ્રમાણે ઘડવામાં આવે છે:

આદર્શ જોડાણો સાથે યાંત્રિક પ્રણાલીના સંતુલન માટે તે જરૂરી અને પૂરતું છે,

જેથી સિસ્ટમની કોઈપણ સંભવિત હિલચાલ પર સક્રિય દળોના પ્રારંભિક કાર્યોનો સરવાળો

શૂન્ય બરાબર હતું.

બાકીની કોઈપણ યાંત્રિક સિસ્ટમ માટે આ સંતુલન સ્થિતિની આવશ્યકતા સાબિત કરવા માટે, અમે સિસ્ટમના કોઈપણ બિંદુ પર કાર્ય કરતા દળોને જોડાણોના આપેલ અને પ્રતિક્રિયા દળોમાં વિભાજિત કરીએ છીએ.

ટિકિટ 19

પ્રશ્ન 1

ગાયરોસ્કોપનો અંદાજિત સિદ્ધાંત

ગાયરોસ્કોપ એ એક એવું શરીર છે જે એક નિશ્ચિત બિંદુ ધરાવે છે અને સામગ્રી સમપ્રમાણતાના ધરીની આસપાસ ફરે છે.

ચાલો ધારીએ કે ગાયરોસ્કોપ તેની પોતાની સમપ્રમાણતાની ધરીની આસપાસ કોણીય વેગ સાથે ફરે છે. આ કિસ્સામાં, ગતિ ક્ષણ

આ એક છે સૌથી મહત્વપૂર્ણ લાક્ષણિકતાઓજ્યારે જાયરોસ્કોપ ફરે છે.

ગાયરોસ્કોપના અંદાજિત સિદ્ધાંતમાં એવું માનવામાં આવે છે કે 1<< и кинетический момент гироскопа равен

સ્વતંત્રતાના ત્રણ ડિગ્રી સાથે ગાયરોસ્કોપ

ત્રણ ડિગ્રી સ્વતંત્રતા ધરાવતું ગાયરોસ્કોપ ગાયરોસ્કોપના પરિભ્રમણની અક્ષને બદલવાના પ્રયાસોનો પ્રતિકાર કરવામાં સક્ષમ છે.

એક ગાયરોસ્કોપનો વિચાર કરો જેનો નિશ્ચિત બિંદુ સમૂહના કેન્દ્ર સાથે એકરુપ છે.

ચાલો આપણે સૌપ્રથમ બાકીના સમયે એક ગાયરોસ્કોપને ધ્યાનમાં લઈએ (= 0, એલ= 0). જો ગાયરોસ્કોપ પર બળ લાગુ કરવામાં આવે છે, તો તે સ્પષ્ટ છે કે ગાયરોસ્કોપ રોટેશનલ ગતિ પ્રાપ્ત કરશે અને પતન કરશે (એટલે ​​​​કે, ગાયરોસ્કોપની ધરી ડ્રોઇંગના પ્લેનમાં ફેરવશે).

સ્પિનિંગ (ઝડપી) જાયરોસ્કોપનો વિચાર કરો. અમે બળ લાગુ કરીએ છીએ.

કોણીય વેગમાં ફેરફાર પરના પ્રમેય મુજબ

ક્ષણ ડ્રોઇંગ પ્લેન પર લંબ છે, પછી

જો ગાયરોસ્કોપની ધરી પર બળ લાગુ કરવામાં આવે છે, તો ગાયરોસ્કોપની ધરી ટોર્કની દિશામાં અભિનય બળને લંબરૂપ રીતે ખસે છે.

જો બળ અટકે છે, તો જાયરોસ્કોપના પરિભ્રમણની ધરી અટકી જાય છે. ^ એવું કહેવાય છે કે ગાયરોસ્કોપ બાહ્ય દળોની ક્રિયાનો સામનો કરવા સક્ષમ છે.

ચાલો નિયમિત અગ્રતાના કિસ્સાને ધ્યાનમાં લઈએ.

એક ગાયરોસ્કોપ છે જેનું દળનું કેન્દ્ર નિશ્ચિત બિંદુ સાથે મેળ ખાતું નથી.

શરીર પર બળ કાર્ય કરે છે

ચાલો કહીએ ઓ.સી. = h, પછી

નોંધ:

ગુરુત્વાકર્ષણના પ્રભાવ હેઠળ, ગાયરોસ્કોપની ધરી ઊભી ધરીની આસપાસ ફરશે z. આ ઘટનાને રેગ્યુલર પ્રિસેશન કહેવામાં આવે છે.

ચાલો કોણીય વેગ 1 નો પરિચય આપીએ - આ કોણીય વેગ છે જેની સાથે ગાયરોસ્કોપ ધરી ધરીની આસપાસ ફરે છે z, તેને "પ્રિસેશનનો કોણીય વેગ" પણ કહેવામાં આવે છે.

સ્પિનિંગ ટોપની હિલચાલ એ જાયરોસ્કોપની હિલચાલનું ખૂબ સારું ઉદાહરણ છે.

આધુનિક ઓરિએન્ટેશન સિસ્ટમ્સમાં ત્રણ ડિગ્રી સ્વતંત્રતા ધરાવતું ગાયરોસ્કોપ વ્યાપકપણે ઉપયોગમાં લેવાય છે (ગેરોકોમ્પાસ, ગાયરોહોરાઇઝન...).

સામાન્યકૃત સંકલન

કોઈપણ પરિમાણના સ્વતંત્ર પરિમાણો qi (i=1, 2, ..., s), જેની સંખ્યા સ્વતંત્રતાની યાંત્રિક ડિગ્રીની સંખ્યા s જેટલી છે. સિસ્ટમો અને જે વિશિષ્ટ રીતે સિસ્ટમની સ્થિતિ નક્કી કરે છે. O.K માં સિસ્ટમની ગતિનો નિયમ qi=qi(t) ના સમીકરણો દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં t સમય છે. બહુવચન ઉકેલતી વખતે ઓકેનો ઉપયોગ થાય છે. કાર્યો, ખાસ કરીને જ્યારે સિસ્ટમ કનેક્શન્સને આધીન હોય જે તેની હિલચાલ પર પ્રતિબંધ લાદે છે. આ કિસ્સામાં, સિસ્ટમની ગતિનું વર્ણન કરતા સમીકરણોની સંખ્યામાં નોંધપાત્ર ઘટાડો થાય છે, ઉદાહરણ તરીકે, કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ્સમાં સમીકરણો સાથે (મેકેનિક્સમાં લેગ્રેન્જ ઇક્વેશન્સ જુઓ). સ્વતંત્રતા (સતત મીડિયા, ભૌતિક ક્ષેત્રો) ની અનંત મોટી સંખ્યામાં સિસ્ટમોમાં, અવકાશી કોઓર્ડિનેટ્સ અને સમયના વિશેષ કાર્યો છે, જેને કહેવાય છે. સંભવિત, તરંગો. કાર્યો, વગેરે.

મિકેનિક્સમાં, સ્વતંત્રતાની ડિગ્રી એ વિસ્થાપન અને/અથવા પરિભ્રમણના સ્વતંત્ર કોઓર્ડિનેટ્સનો સમૂહ છે જે સિસ્ટમ અથવા શરીરની સ્થિતિને સંપૂર્ણપણે નિર્ધારિત કરે છે (અને તેમના સમયના ડેરિવેટિવ્ઝ સાથે - અનુરૂપ વેગ - સંપૂર્ણપણે નિર્ધારિત કરે છે. રાજ્યયાંત્રિક સિસ્ટમ અથવા શરીર - એટલે કે તેની સ્થિતિ અને ચળવળ).

સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યા એ સ્વતંત્ર હિલચાલની સંખ્યા છે જેના પર સિસ્ટમની સ્થિતિ બદલાય છે!

આમ, સામાન્યકૃત બળ, i-th સામાન્યકૃત સંકલનને અનુરૂપ, યાંત્રિક પ્રણાલી પર કાર્ય કરતા દળોના સંભવિત કાર્યની અભિવ્યક્તિમાં આપેલ સામાન્યકૃત સંકલનના વિવિધતાના ગુણાંકની સમાન મૂલ્ય છે.

સામાન્ય કિસ્સામાં, સામાન્યકૃત બળ એ સામાન્યકૃત કોઓર્ડિનેટ્સ, સિસ્ટમ બિંદુઓના વેગ અને સમયનું કાર્ય છે. વ્યાખ્યા પરથી તે અનુસરે છે કે સામાન્યકૃત બળ એ એક સ્કેલર જથ્થો છે જે આપેલ યાંત્રિક સિસ્ટમ માટે પસંદ કરેલ સામાન્યકૃત કોઓર્ડિનેટ્સ પર આધાર રાખે છે. આનો અર્થ એ છે કે જ્યારે સામાન્યકૃત કોઓર્ડિનેટ્સનો સમૂહ જે આપેલ સિસ્ટમની સ્થિતિ નક્કી કરે છે તે બદલાય છે, ત્યારે સામાન્યીકૃત દળો પણ બદલાશે. તેથી, ત્રિજ્યા r અને માસ m સાથેની ડિસ્ક માટે, જે વળાંકવાળા પ્લેન (ફિગ. 18.8) પર સ્લાઇડ કર્યા વિના રોલ કરે છે, કાં તો s - ડિસ્કના સમૂહના કેન્દ્રનું સંકલન, અથવા "ફી" - પરિભ્રમણનો કોણ ડિસ્કને સામાન્યકૃત કોઓર્ડિનેટ્સ તરીકે લઈ શકાય છે.

4.1. સ્વતંત્રતાની એક ડિગ્રી સાથે સિસ્ટમનું સામાન્ય બળ

સ્વતંત્રતાની એક ડિગ્રી ધરાવતી સિસ્ટમ માટે, સામાન્યકૃત સંકલનને અનુરૂપ સામાન્ય બળ q, સૂત્ર દ્વારા નિર્ધારિત જથ્થો કહેવાય છે

જ્યાં  q- સામાન્યકૃત સંકલનનો નાનો વધારો; - તેની સંભવિત હિલચાલ પર સિસ્ટમના દળોના પ્રારંભિક કાર્યોનો સરવાળો.

ટિકિટ 21

પ્રશ્ન 1

બે-ડિગ્રી ગાયરોસ્કોપના સમીકરણો.

બે-ડિગ્રી ગાયરોસ્કોપના સમીકરણો ત્રણ-ડિગ્રી ગાયરોસ્કોપના અગાઉ મેળવેલા સમીકરણોમાંથી આપોઆપ પ્રાપ્ત થાય છે.

બે-ડિગ્રી ગાયરોસ્કોપની હિલચાલ નક્કી કરે છે. બીજું સમીકરણ શરીરની હિલચાલનું વર્ણન કરે છે જેના પર બે-ડિગ્રી ગાયરોસ્કોપ માઉન્ટ થયેલ છે.

જો શરીરની (જડતાની ક્ષણ) મોટી હોય અને ગાયરોસ્કોપિક ક્ષણ નાની હોય, તો સમીકરણ (2) બિલકુલ ધ્યાનમાં લેવામાં આવશે નહીં અને ફક્ત (1) નો ઉપયોગ કરી શકાય છે.

ગાયરોસ્કોપિક ક્ષણ:

θ - ન્યુટેશન એંગલ

ω 1 - પોતાના પરિભ્રમણનો કોણીય વેગ

ω 2 - પ્રિસેશન સ્પીડ

J z - જડતાની ક્ષણ

ન્યુટેશન એ પ્રિસેશનમાંથી પસાર થતા ઘન શરીરની ફરતી નબળી અનિયમિત હિલચાલ છે.

પ્રિસેશન એ એક ઘટના છે જેમાં ફરતી વસ્તુની ધરી ફરે છે, ઉદાહરણ તરીકે, બાહ્ય ક્ષણોના પ્રભાવ હેઠળ.

અગ્રતાનું અવલોકન એકદમ સરળ છે. ટોચને લોંચ કરવા અને તે ધીમું થવાનું શરૂ થાય ત્યાં સુધી રાહ જોવા માટે તે પૂરતું છે. શરૂઆતમાં, ટોચના પરિભ્રમણની અક્ષ ઊભી છે. પછી તેનું ટોચનું બિંદુ ધીમે ધીમે નીચું થાય છે અને વિચલિત સર્પાકારમાં ખસે છે. આ ટોચની ધરીની અગ્રતા છે.

ઝુકોવ્સ્કીનો નિયમ:જો જિરોસ્કોપને ફરજિયાત પૂર્વવર્તી ગતિ આપવામાં આવે છે, તો બળોની એક ગીરોસ્કોપિક જોડી ઊભી થાય છે, જે ગાયરોસ્કોપની ધરીને સમપ્રમાણતાની અક્ષની સમાંતર બનાવવાનું વલણ ધરાવે છે, અને જેથી પરિભ્રમણની દિશાઓ એકરૂપ થાય પછી સમાન બની જાય છે.

પ્રશ્ન 2

જો હોલોનોમિક મિકેનિકલ સિસ્ટમનું વર્ણન લેગ્રેંગિયન (- સામાન્યકૃત કોઓર્ડિનેટ્સ, t- સમય, બિંદુ સમયના સંદર્ભમાં તફાવત સૂચવે છે) અને સિસ્ટમમાં માત્ર સંભવિત દળો કાર્ય કરે છે, પછી બીજા પ્રકારના લેગ્રેન્જ સમીકરણો ફોર્મ ધરાવે છે

જ્યાં i = 1, 2, … n (n- યાંત્રિક સિસ્ટમની સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યા). Lagrangian સિસ્ટમની ગતિ અને સંભવિત ઊર્જા વચ્ચેનો તફાવત દર્શાવે છે.

જો બિન-સંભવિત બળો (ઉદાહરણ તરીકે, ઘર્ષણ દળો) સિસ્ટમમાં કાર્ય કરે છે, તો બીજા પ્રકારના લેગ્રેન્જ સમીકરણો સ્વરૂપ ધરાવે છે

સિસ્ટમની ગતિ ઊર્જા ક્યાં છે, તે સામાન્ય બળ છે.

કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ્સ (ઉદાહરણ તરીકે, 1લા પ્રકારનું લેગ્રેન્જ સમીકરણ જુઓ), સમીકરણો (3) માં સમીકરણોની તુલનામાં, સમીકરણો (3) નો મહત્વનો ફાયદો છે કે તેમની સંખ્યા સિસ્ટમની સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યા જેટલી છે અને તે તેના પર નિર્ભર નથી. સિસ્ટમમાં સમાવિષ્ટ સામગ્રીના કણો અથવા સંસ્થાઓની સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યા; વધુમાં, આદર્શ જોડાણો સાથે, જોડાણોની અગાઉની બધી અજાણી પ્રતિક્રિયાઓ આપમેળે સમીકરણોમાંથી બાકાત થઈ જાય છે (3). એલ.યુ. પ્રકાર 2, જે ખૂબ જ સામાન્ય અને વધુમાં, સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે એકદમ સરળ પદ્ધતિ પ્રદાન કરે છે, તેનો ઉપયોગ વિવિધ પ્રકારની ગતિના અભ્યાસ માટે વ્યાપકપણે થાય છે. યાંત્રિક સિસ્ટમો, ખાસ કરીને મિકેનિઝમ્સ અને મશીનોની ગતિશીલતામાં, સિદ્ધાંતમાં ગાયરોસ્કોપ, ઓસિલેશનના સિદ્ધાંતમાં, વગેરે.

ટિકિટ 22

જુઓ:આ લેખ 18006 વખત વાંચવામાં આવ્યો છે

પીડીએફ ભાષા પસંદ કરો... રશિયન યુક્રેનિયન અંગ્રેજી

સંક્ષિપ્ત ઝાંખી

ભાષા પસંદ કર્યા પછી, સમગ્ર સામગ્રી ઉપર ડાઉનલોડ કરવામાં આવે છે

ભૌતિક બિંદુના કોણીય વેગમાં ફેરફાર પર પ્રમેય

મોમેન્ટમ

કેન્દ્રની સાપેક્ષ M બિંદુના વેગની ક્ષણ O એ મોમેન્ટમ વેક્ટર અને કેન્દ્ર O માંથી પસાર થતા પ્લેન તરફ લંબ નિર્દેશિત વેક્ટર છે જે દિશામાંથી કેન્દ્ર O ની સાપેક્ષ મોમેન્ટમ વેક્ટરનું પરિભ્રમણ ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં દેખાય છે.

અક્ષની સાપેક્ષ M બિંદુના વેગની ક્ષણ અને પ્લેન સાથે અક્ષના આંતરછેદના બિંદુ O ના સંબંધમાં આ પ્રક્ષેપણના ખભા પર અક્ષને લંબરૂપ પ્લેન પર વેક્ટરના પ્રક્ષેપણના ઉત્પાદનની સમાન છે.

કેન્દ્રની સાપેક્ષમાં સામગ્રી બિંદુના કોણીય ગતિમાં ફેરફાર પર પ્રમેય

અમુક નિશ્ચિત કેન્દ્રની સાપેક્ષમાં ભૌતિક બિંદુના વેગની ક્ષણનો સમય વ્યુત્પન્ન સમાન કેન્દ્રની સાપેક્ષ બિંદુ પર કાર્ય કરતા દળોની ક્ષણોના ભૌમિતિક સરવાળા સમાન છે.

અક્ષની તુલનામાં સામગ્રી બિંદુના કોણીય વેગમાં ફેરફાર પર પ્રમેય

અમુક નિશ્ચિત અક્ષની સાપેક્ષમાં ભૌતિક બિંદુના વેગની ક્ષણનો સમય વ્યુત્પન્ન સમાન ધરીની સાપેક્ષ બિંદુ પર કાર્ય કરતા દળોની ક્ષણોના બીજગણિત સરવાળા સમાન છે.

સામગ્રી બિંદુના કોણીય ગતિના સંરક્ષણના નિયમો

1. જો ભૌતિક બિંદુ પર લાગુ કરાયેલા પરિણામી દળોની ક્રિયાની રેખા હંમેશા અમુક નિશ્ચિત કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે, તો ભૌતિક બિંદુની કોણીય ગતિ સ્થિર રહે છે.
2. જો ચોક્કસ ધરીની સાપેક્ષમાં ભૌતિક બિંદુ પર લાગુ પરિણામી દળોની ક્ષણ હંમેશા શૂન્યની બરાબર હોય, તો સમાન ધરીને સંબંધિત સામગ્રી બિંદુની કોણીય ગતિ સ્થિર રહે છે.

સિસ્ટમના મુખ્ય કોણીય ગતિમાં ફેરફાર પર પ્રમેય

ગતિશીલ ક્ષણ

ગતિશીલ ક્ષણ અથવા યાંત્રિક પ્રણાલીના વેગની મુખ્ય ક્ષણ કેન્દ્ર સંબંધિત સમાન કેન્દ્રને સંબંધિત સિસ્ટમના તમામ ભૌતિક બિંદુઓના કોણીય વેગના ભૌમિતિક સરવાળો સમાન વેક્ટર કહેવાય છે.

કાઇનેટિક ક્ષણ અથવા અક્ષની તુલનામાં યાંત્રિક પ્રણાલીના વેગની મુખ્ય ક્ષણ સમાન ધરીને સંબંધિત તમામ ભૌતિક બિંદુઓની ગતિના જથ્થાના ક્ષણોના બીજગણિત સરવાળાને કૉલ કરો

આ કેન્દ્રમાંથી પસાર થતા અક્ષ પર કેન્દ્ર O ને સંબંધિત યાંત્રિક પ્રણાલીની ગતિશીલ ક્ષણનું પ્રક્ષેપણ આ અક્ષની સાપેક્ષ સિસ્ટમની ગતિ ક્ષણ જેટલું છે.

સિસ્ટમના વેગના મુખ્ય ક્ષણમાં ફેરફાર પર પ્રમેય (કેન્દ્રને સંબંધિત) - ક્ષણોનું પ્રમેય

અમુક નિશ્ચિત કેન્દ્રની તુલનામાં યાંત્રિક પ્રણાલીની ગતિશીલ ક્ષણનો સમય વ્યુત્પન્ન એ જ કેન્દ્રની સાપેક્ષે આ સિસ્ટમ પર કાર્ય કરતી બાહ્ય દળોની મુખ્ય ક્ષણની ભૌમિતિક રીતે સમાન હોય છે.

યાંત્રિક પ્રણાલીના કોણીય વેગમાં ફેરફાર પર પ્રમેય (અક્ષની તુલનામાં)

ચોક્કસ અક્ષની સાપેક્ષ યાંત્રિક પ્રણાલીની ગતિશીલ ક્ષણનો સમય વ્યુત્પન્ન સમાન ધરીને સંબંધિત બાહ્ય દળોની મુખ્ય ક્ષણ સમાન છે.

મિકેનિકલ સિસ્ટમના કોણીય વેગના સંરક્ષણના નિયમો

1. જો અમુક નિશ્ચિત કેન્દ્રને સંબંધિત બાહ્ય દળોની મુખ્ય ક્ષણ હંમેશા શૂન્યની બરાબર હોય, તો આ કેન્દ્રની સાપેક્ષ યાંત્રિક પ્રણાલીની ગતિશીલ ક્ષણ એ સ્થિર મૂલ્ય છે.
2. જો ચોક્કસ અક્ષની તુલનામાં બાહ્ય દળોની મુખ્ય ક્ષણ શૂન્ય હોય, તો સમાન અક્ષને સંબંધિત યાંત્રિક પ્રણાલીની ગતિશીલ ક્ષણ એક સ્થિર મૂલ્ય છે.

1. શરીરની પરિભ્રમણ ગતિના અભ્યાસમાં ક્ષણોના પ્રમેયનું ખૂબ મહત્વ છે અને દેખીતી રીતે અજાણ્યા આંતરિક દળોને ધ્યાનમાં ન લેવાનું શક્ય બનાવે છે.
2. આંતરિક દળો સિસ્ટમના મુખ્ય કોણીય વેગને બદલી શકતા નથી.

ફરતી સિસ્ટમની ગતિ

એક નિશ્ચિત અક્ષ (અથવા દળના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષ)ની આસપાસ ફરતી સિસ્ટમ માટે, પરિભ્રમણની અક્ષ વિશે કોણીય વેગ આ અક્ષ અને કોણીય વેગ વિશેની જડતાના ક્ષણના ઉત્પાદન સમાન છે.

ફોર્મેટ: પીડીએફ

ભાષા: રશિયન, યુક્રેનિયન

સ્પુર ગિયરનું ગણતરીનું ઉદાહરણ
સ્પુર ગિયરની ગણતરીનું ઉદાહરણ. સામગ્રીની પસંદગી, અનુમતિપાત્ર તાણની ગણતરી, સંપર્કની ગણતરી અને બેન્ડિંગ તાકાત હાથ ધરવામાં આવી છે.

બીમ બેન્ડિંગ સમસ્યાને ઉકેલવાનું ઉદાહરણ
ઉદાહરણમાં, ટ્રાંસવર્સ ફોર્સ અને બેન્ડિંગ ક્ષણોના આકૃતિઓ બનાવવામાં આવ્યા હતા, એક ખતરનાક વિભાગ મળ્યો હતો અને આઇ-બીમ પસંદ કરવામાં આવ્યો હતો. સમસ્યાએ વિભેદક અવલંબનનો ઉપયોગ કરીને આકૃતિઓના નિર્માણનું વિશ્લેષણ કર્યું અને બીમના વિવિધ ક્રોસ વિભાગોનું તુલનાત્મક વિશ્લેષણ હાથ ધર્યું.

શાફ્ટ ટોર્સિયન સમસ્યા હલ કરવાનું ઉદાહરણ
કાર્ય એ આપેલ વ્યાસ, સામગ્રી અને સ્વીકાર્ય તણાવ પર સ્ટીલ શાફ્ટની મજબૂતાઈ ચકાસવાનું છે. સોલ્યુશન દરમિયાન, ટોર્ક, શીયર સ્ટ્રેસ અને ટ્વિસ્ટ એંગલના આકૃતિઓ બનાવવામાં આવે છે. શાફ્ટનું પોતાનું વજન ધ્યાનમાં લેવામાં આવતું નથી

સળિયાના તાણ-સંકોચનની સમસ્યાને ઉકેલવાનું ઉદાહરણ
કાર્ય સ્પષ્ટ અનુમતિપાત્ર તાણ પર સ્ટીલ બારની મજબૂતાઈ ચકાસવાનું છે. સોલ્યુશન દરમિયાન, રેખાંશ દળો, સામાન્ય તાણ અને વિસ્થાપનના આકૃતિઓ બનાવવામાં આવે છે. સળિયાના પોતાના વજનને ધ્યાનમાં લેવામાં આવતું નથી

ગતિ ઊર્જાના સંરક્ષણ પર પ્રમેયનો ઉપયોગ
યાંત્રિક પ્રણાલીની ગતિ ઊર્જાના સંરક્ષણ પર પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને સમસ્યા ઉકેલવાનું ઉદાહરણ

આપેલ ગતિના સમીકરણોનો ઉપયોગ કરીને બિંદુની ગતિ અને પ્રવેગક નક્કી કરવું
આપેલ ગતિના સમીકરણોનો ઉપયોગ કરીને બિંદુની ઝડપ અને પ્રવેગક નક્કી કરવા સમસ્યા ઉકેલવાનું ઉદાહરણ

પ્લેન-સમાંતર ગતિ દરમિયાન કઠોર શરીરના બિંદુઓના વેગ અને પ્રવેગનું નિર્ધારણ
પ્લેન-સમાંતર ગતિ દરમિયાન કઠોર શરીરના બિંદુઓના વેગ અને પ્રવેગને નિર્ધારિત કરવા માટે સમસ્યા હલ કરવાનું ઉદાહરણ

સપાટ ટ્રસના બારમાં દળોનું નિર્ધારણ
રિટર પદ્ધતિ અને ગાંઠો કાપવાની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને ફ્લેટ ટ્રસના સળિયામાં દળોને નિર્ધારિત કરવાની સમસ્યાને હલ કરવાનું ઉદાહરણ

કેટલીક સમસ્યાઓમાં, વેગને બદલે, અમુક કેન્દ્ર અથવા અક્ષ સાથે સંબંધિત તેની ક્ષણને ગતિશીલ બિંદુની ગતિશીલ લાક્ષણિકતા તરીકે ગણવામાં આવે છે. આ ક્ષણોને બળની ક્ષણોની જેમ જ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.

ગતિનો વેગ જથ્થો અમુક કેન્દ્ર O ને સંબંધિત સામગ્રી બિંદુ સમાનતા દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વેક્ટર કહેવાય છે

બિંદુના કોણીય વેગને પણ કહેવામાં આવે છે ગતિ ક્ષણ .

મોમેન્ટમ કોઈપણ અક્ષની સાપેક્ષમાં, O કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે, આ અક્ષ પર વેગ વેક્ટરના પ્રક્ષેપણ સમાન છે.

જો સંકલન અક્ષો પરના તેના અંદાજો દ્વારા વેગ આપવામાં આવે છે અને અવકાશમાં બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ આપવામાં આવે છે, તો ઉત્પત્તિની તુલનામાં કોણીય વેગ નીચે પ્રમાણે ગણવામાં આવે છે:

સંકલન અક્ષો પર કોણીય વેગના અંદાજો આના સમાન છે:

વેગનું SI એકમ છે – .

કામનો અંત -

આ વિષય વિભાગનો છે:

ડાયનેમિક્સ

વ્યાખ્યાન.. ડાયનેમિક્સનો સારાંશ પરિચય, ક્લાસિકલ મિકેનિક્સના સ્વયંસિદ્ધ.. પરિચય..

જો તમને આ વિષય પર વધારાની સામગ્રીની જરૂર હોય, અથવા તમે જે શોધી રહ્યા હતા તે તમને મળ્યું નથી, તો અમે અમારા કાર્યોના ડેટાબેઝમાં શોધનો ઉપયોગ કરવાની ભલામણ કરીએ છીએ:

પ્રાપ્ત સામગ્રી સાથે અમે શું કરીશું:

જો આ સામગ્રી તમારા માટે ઉપયોગી હતી, તો તમે તેને સામાજિક નેટવર્ક્સ પર તમારા પૃષ્ઠ પર સાચવી શકો છો:

ટ્વીટ

આ વિભાગના તમામ વિષયો:

એકમ સિસ્ટમો
SGS Si ટેકનિકલ [L] cm m m [M]

બિંદુની ગતિના વિભેદક સમીકરણો
ડાયનેમિક્સનું મૂળભૂત સમીકરણ નીચે પ્રમાણે લખી શકાય

ગતિશીલતાના મૂળભૂત કાર્યો
પ્રથમ અથવા સીધું કાર્ય: બિંદુનું દળ અને તેની ગતિનો નિયમ જાણીતો હોય છે.

m
સૌથી મહત્વપૂર્ણ કેસ

1. બળ સતત છે.
બિંદુ ચળવળની રકમ

સામગ્રી બિંદુની ગતિનો જથ્થો એ ઉત્પાદન m સમાન વેક્ટર છે
પ્રાથમિક અને સંપૂર્ણ બળ આવેગ

સમય જતાં ભૌતિક બિંદુ પર બળની ક્રિયા
બિંદુના વેગમાં ફેરફાર પર પ્રમેય

પ્રમેય. બિંદુના વેગનો સમય વ્યુત્પન્ન બિંદુ પર કાર્ય કરતા બળની બરાબર છે.
ચાલો ડાયનેમિક્સનો મૂળભૂત કાયદો લખીએ

બિંદુના કોણીય વેગમાં ફેરફાર પર પ્રમેય
પ્રમેય. અમુક કેન્દ્રની સાપેક્ષમાં લીધેલા બિંદુના વેગના ક્ષણનો સમય વ્યુત્પન્ન સમાન બિંદુ પર કાર્ય કરતા બળની ક્ષણ સમાન છે.

બળનું કામ. શક્તિ
બળની મુખ્ય લાક્ષણિકતાઓમાંની એક જે અમુક હિલચાલ દરમિયાન શરીર પર બળની અસરનું મૂલ્યાંકન કરે છે.

બિંદુની ગતિ ઊર્જામાં ફેરફાર પર પ્રમેય
પ્રમેય. બિંદુની ગતિ ઊર્જાનો તફાવત એ બિંદુ પર કાર્ય કરતા બળના પ્રાથમિક કાર્ય સમાન છે.

ભૌતિક બિંદુ માટે ડી'એલેમ્બર્ટનો સિદ્ધાંત
લાગુ સક્રિય દળો અને જોડાણ પ્રતિક્રિયા દળોની ક્રિયા હેઠળ જડતા સંદર્ભ પ્રણાલીને સંબંધિત સામગ્રી બિંદુની ગતિના સમીકરણનું સ્વરૂપ છે:

બિન-મુક્ત સામગ્રી બિંદુની ગતિશીલતા
ગતિશીલતાની ઘણી સમસ્યાઓમાં, સામગ્રી બિંદુની ગતિને જડતા સંદર્ભ ફ્રેમની સાપેક્ષ ગતિશીલ સંદર્ભ ફ્રેમની તુલનામાં ગણવામાં આવે છે.

સંબંધિત ગતિના વિશેષ કેસો
1. જડતા દ્વારા સાપેક્ષ ગતિ જો કોઈ સામગ્રી બિંદુ સંદર્ભની ગતિશીલ ફ્રેમની સાપેક્ષ રીતે અને એકસરખી રીતે આગળ વધે, તો આવી ગતિને સાપેક્ષ કહેવામાં આવે છે.

સમૂહની ભૂમિતિ
એક યાંત્રિક પ્રણાલીનો વિચાર કરો જેમાં સમૂહ સાથે મર્યાદિત સંખ્યામાં ભૌતિક બિંદુઓનો સમાવેશ થાય છે

જડતાની ક્ષણો
રોટેશનલ હિલચાલને ધ્યાનમાં લેતી વખતે શરીરમાં સમૂહના વિતરણને લાક્ષણિકતા આપવા માટે, જડતાની ક્ષણોની વિભાવનાઓ રજૂ કરવી જરૂરી છે.

બિંદુ વિશે જડતાની ક્ષણ
સરળ શરીરોની જડતાની ક્ષણો

1. સમાન સળિયા 2. લંબચોરસ પ્લેટ 3. સમાન રાઉન્ડ ડિસ્ક
સિસ્ટમ ચળવળ જથ્થો

ભૌતિક બિંદુઓની સિસ્ટમની ગતિનો જથ્થો એ જથ્થાઓનો વેક્ટર સરવાળો છે
સિસ્ટમના વેગમાં ફેરફાર પર પ્રમેય

આ પ્રમેય ત્રણ અલગ અલગ સ્વરૂપોમાં આવે છે.
પ્રમેય. સિસ્ટમના વેગનો સમય વ્યુત્પન્ન તમામ બાહ્ય દળોના વેક્ટર સરવાળો જેટલો છે

ગતિના સંરક્ષણના નિયમો
1. જો સિસ્ટમના તમામ બાહ્ય દળોનો મુખ્ય વેક્ટર શૂન્ય (), તો સિસ્ટમની ગતિનું પ્રમાણ સ્થિર છે

સમૂહના કેન્દ્રની ગતિ પર પ્રમેય
પ્રમેય સિસ્ટમના દળનું કેન્દ્ર ભૌતિક બિંદુની જેમ જ ફરે છે, જેનો સમૂહ સમગ્ર સિસ્ટમના દળ જેટલો હોય છે, જો બિંદુ પર લાગુ તમામ બાહ્ય દળો બિંદુ પર કાર્ય કરે છે.

સિસ્ટમની ગતિ
ભૌતિક બિંદુઓની સિસ્ટમની કોણીય ગતિ કેટલાકની તુલનામાં

કઠોર શરીરની પરિભ્રમણ ગતિ દરમિયાન પરિભ્રમણની અક્ષની તુલનામાં કઠોર શરીરના વેગની ક્ષણ
ચાલો પરિભ્રમણની અક્ષની તુલનામાં કઠોર શરીરના કોણીય વેગની ગણતરી કરીએ.

સિસ્ટમના કોણીય વેગમાં ફેરફાર પર પ્રમેય
પ્રમેય. સિસ્ટમના વેગની ક્ષણનો સમય વ્યુત્પન્ન, અમુક કેન્દ્રની સાપેક્ષમાં લેવામાં આવે છે, તે બાહ્ય દળોની ક્ષણોના વેક્ટર સરવાળા સમાન છે.

કોણીય વેગના સંરક્ષણના નિયમો
1. જો બિંદુને સંબંધિત સિસ્ટમના બાહ્ય દળોની મુખ્ય ક્ષણ શૂન્યની બરાબર હોય (

સિસ્ટમની ગતિ ઊર્જા
સિસ્ટમની ગતિ ઊર્જા એ સિસ્ટમના તમામ બિંદુઓની ગતિ ઊર્જાનો સરવાળો છે.

ઘન ની ગતિ ઊર્જા
આ પ્રમેય બે સ્વરૂપોમાં આવે છે.