હોર્નર સ્કીમનો ઉપયોગ કરીને રેખીય પરિબળોમાં પરિબળ. ઉચ્ચ ગણિતમાં સમીકરણો બહુપદીના તર્કસંગત મૂળ. હોર્નરની યોજના. ગ્રાફિકલ ઉકેલ પદ્ધતિ

વેબસાઇટ "વ્યવસાયિક ગણિત શિક્ષક" શિક્ષણ વિશે પદ્ધતિસરના લેખોની શ્રેણી ચાલુ રાખે છે. હું શાળાના અભ્યાસક્રમના સૌથી જટિલ અને સમસ્યારૂપ વિષયો સાથે મારા કાર્યની પદ્ધતિઓનું વર્ણન પ્રકાશિત કરું છું. આ સામગ્રી નિયમિત કાર્યક્રમ અને ગણિતના વર્ગોના કાર્યક્રમમાં ધોરણ 8-11 ના વિદ્યાર્થીઓ સાથે કામ કરતા ગણિતના શિક્ષકો અને ટ્યુટર્સને ઉપયોગી થશે.

ગણિતના શિક્ષક હંમેશા પાઠ્યપુસ્તકમાં નબળી રીતે રજૂ કરવામાં આવેલી સામગ્રીને સમજાવી શકતા નથી. કમનસીબે, આવા વિષયો વધુ ને વધુ અસંખ્ય બની રહ્યા છે, અને મેન્યુઅલના લેખકોને અનુસરીને રજૂઆતની ભૂલો એકસાથે કરવામાં આવી રહી છે. આ માત્ર શરૂઆતના ગણિતના ટ્યુટર્સ અને પાર્ટ-ટાઇમ ટ્યુટર્સ (ટ્યુટર્સ વિદ્યાર્થીઓ અને યુનિવર્સિટી ટ્યુટર્સ છે) માટે જ નહીં, પણ અનુભવી શિક્ષકો, વ્યાવસાયિક ટ્યુટર્સ, અનુભવ અને લાયકાત ધરાવતા ટ્યુટર્સને પણ લાગુ પડે છે. તમામ ગણિતના શિક્ષકો પાસે શાળાના પાઠ્યપુસ્તકોમાં ખરબચડી ધારને યોગ્ય રીતે સુધારવાની પ્રતિભા હોતી નથી. દરેક વ્યક્તિ એ પણ સમજતું નથી કે આ સુધારાઓ (અથવા ઉમેરાઓ) જરૂરી છે. બાળકો દ્વારા તેની ગુણાત્મક દ્રષ્ટિ માટે સામગ્રીને અનુકૂલિત કરવામાં થોડા બાળકો સામેલ છે. કમનસીબે, સમય વીતી ગયો છે જ્યારે ગણિતના શિક્ષકો, મેથડોલોજીસ્ટ અને પ્રકાશનોના લેખકો સાથે મળીને, પાઠ્યપુસ્તકના દરેક અક્ષરોની સામૂહિક ચર્ચા કરતા હતા. અગાઉ, શાળાઓમાં પાઠયપુસ્તક બહાર પાડતા પહેલા, શીખવાના પરિણામોનું ગંભીર વિશ્લેષણ અને અભ્યાસ કરવામાં આવતો હતો. એમેચ્યોર્સ માટે સમય આવી ગયો છે કે જેઓ પાઠ્યપુસ્તકોને સાર્વત્રિક બનાવવાનો પ્રયત્ન કરે છે, તેમને મજબૂત ગણિતના વર્ગોના ધોરણો સાથે સમાયોજિત કરે છે.

માહિતીના જથ્થામાં વધારો કરવાની દોડ માત્ર તેના એસિમિલેશનની ગુણવત્તામાં ઘટાડો તરફ દોરી જાય છે અને પરિણામે, ગણિતના વાસ્તવિક જ્ઞાનના સ્તરમાં ઘટાડો થાય છે. પરંતુ આ તરફ કોઈ ધ્યાન આપતું નથી. અને અમારા બાળકોને, પહેલેથી જ 8મા ધોરણમાં, અમે સંસ્થામાં જે અભ્યાસ કર્યો છે તેનો અભ્યાસ કરવા માટે ફરજ પાડવામાં આવે છે: સંભાવનાનો સિદ્ધાંત, ઉચ્ચ-ડિગ્રી સમીકરણો ઉકેલવા અને બીજું કંઈક. બાળકની સંપૂર્ણ સમજ માટે પુસ્તકોમાં સામગ્રીનું અનુકૂલન ઇચ્છિત કરવા માટે ઘણું બધું છોડી દે છે, અને ગણિતના શિક્ષકને કોઈક રીતે આનો સામનો કરવાની ફરજ પાડવામાં આવે છે.

ચાલો આવા ચોક્કસ વિષયને શીખવવા માટેની પદ્ધતિ વિશે વાત કરીએ જેમ કે "એક ખૂણા દ્વારા બહુપદીનું વિભાજન", પુખ્ત ગણિતમાં "બેઝાઉટનું પ્રમેય અને હોર્નરની યોજના" તરીકે વધુ જાણીતું છે. થોડા વર્ષો પહેલા, ગણિતના શિક્ષક માટે પ્રશ્ન એટલો દબાવતો ન હતો, કારણ કે તે મુખ્ય શાળાના અભ્યાસક્રમનો ભાગ ન હતો. હવે ટેલિયાકોવ્સ્કી દ્વારા સંપાદિત પાઠયપુસ્તકના આદરણીય લેખકોએ, મારા મતે, શ્રેષ્ઠ પાઠ્યપુસ્તક શું છે તેની નવીનતમ સંસ્કરણમાં ફેરફારો કર્યા છે, અને, તેને સંપૂર્ણપણે બગાડ્યા પછી, ફક્ત શિક્ષકને બિનજરૂરી ચિંતાઓ ઉમેરી છે. શાળાઓ અને વર્ગોના શિક્ષકો કે જેમની પાસે ગણિતની સ્થિતિ નથી, લેખકોની નવીનતાઓ પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરીને, તેમના પાઠોમાં વધુ વખત વધારાના ફકરાઓનો સમાવેશ કરવાનું શરૂ કર્યું, અને જિજ્ઞાસુ બાળકો, તેમના ગણિતના પાઠ્યપુસ્તકના સુંદર પૃષ્ઠો જોઈને, વધુને વધુ પૂછે છે. શિક્ષક: “આ ખૂણા દ્વારા વિભાજન શું છે? શું આપણે આમાંથી પસાર થવાના છીએ? કોર્નર કેવી રીતે શેર કરવું? આવા સીધા સવાલોથી હવે કોઈ છુપાયેલું નથી. શિક્ષકે બાળકને કંઈક કહેવું પડશે.

કેવી રીતે? જો તે પાઠ્યપુસ્તકોમાં યોગ્ય રીતે રજૂ કરવામાં આવ્યો હોત તો મેં કદાચ વિષય સાથે કામ કરવાની પદ્ધતિનું વર્ણન કર્યું ન હોત. અમારી સાથે બધું કેવી રીતે ચાલે છે? પાઠ્યપુસ્તકો છાપીને વેચવાની જરૂર છે. અને આ માટે તેમને નિયમિતપણે અપડેટ કરવાની જરૂર છે. શું યુનિવર્સિટીના શિક્ષકો ફરિયાદ કરે છે કે બાળકો તેમની પાસે જ્ઞાન અને કૌશલ્ય વિના ખાલી માથે આવે છે? શું ગાણિતિક જ્ઞાન માટેની જરૂરિયાતો વધી રહી છે? મહાન! ચાલો કેટલીક કસરતો દૂર કરીએ અને તેના બદલે અન્ય પ્રોગ્રામ્સમાં અભ્યાસ કરવામાં આવતા વિષયો દાખલ કરીએ. આપણું પાઠ્યપુસ્તક કેમ ખરાબ છે? અમે કેટલાક વધારાના પ્રકરણોનો સમાવેશ કરીશું. શાળાના બાળકોને ખૂણા વડે ભાગવાનો નિયમ ખબર નથી? આ મૂળભૂત ગણિત છે. આ ફકરો વૈકલ્પિક બનાવવો જોઈએ, જેનું શીર્ષક "જેઓ વધુ જાણવા માંગે છે તેમના માટે." તેની સામે ટ્યુટર? શા માટે આપણે સામાન્ય રીતે શિક્ષકોની કાળજી રાખીએ છીએ? મેથોડોલોજિસ્ટ અને શાળાના શિક્ષકો પણ તેની સામે છે? અમે સામગ્રીને જટિલ બનાવીશું નહીં અને તેના સરળ ભાગને ધ્યાનમાં લઈશું.

અને આ તે છે જ્યાં તે શરૂ થાય છે. વિષયની સરળતા અને તેના એસિમિલેશનની ગુણવત્તા, સૌ પ્રથમ, તેના તર્કને સમજવામાં, અને પાઠ્યપુસ્તકના લેખકોની સૂચનાઓ અનુસાર, કામગીરીનો ચોક્કસ સમૂહ જે સ્પષ્ટપણે એકબીજા સાથે સંબંધિત નથી. . નહિંતર, વિદ્યાર્થીના માથામાં ધુમ્મસ હશે. જો લેખકો પ્રમાણમાં મજબૂત વિદ્યાર્થીઓને લક્ષ્ય બનાવી રહ્યા છે (પરંતુ નિયમિત પ્રોગ્રામમાં અભ્યાસ કરે છે), તો તમારે વિષયને આદેશ સ્વરૂપમાં રજૂ કરવો જોઈએ નહીં. પાઠ્યપુસ્તકમાં આપણે શું જોઈએ છીએ? બાળકો, આપણે આ નિયમ પ્રમાણે વિભાજન કરવું જોઈએ. કોણ હેઠળ બહુપદી મેળવો. આમ, મૂળ બહુપદીને અવયવિત કરવામાં આવશે. જો કે, તે સમજવું સ્પષ્ટ નથી કે શા માટે ખૂણા હેઠળના શબ્દો બરાબર આ રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે, શા માટે તેમને ખૂણાની ઉપરના બહુપદી વડે ગુણાકાર કરવા જોઈએ, અને પછી વર્તમાન શેષમાંથી બાદબાકી કરવી જોઈએ. અને સૌથી અગત્યનું, તે સ્પષ્ટ નથી કે પસંદ કરેલ મોનોમિયલ આખરે શા માટે ઉમેરવું જોઈએ અને શા માટે પરિણામી કૌંસ મૂળ બહુપદીનું વિસ્તરણ હશે. કોઈપણ સક્ષમ ગણિતશાસ્ત્રી પાઠ્યપુસ્તકમાં આપેલા ખુલાસા પર બોલ્ડ પ્રશ્ન ચિહ્ન મૂકશે.

હું શિક્ષકો અને ગણિતના શિક્ષકોના ધ્યાન પર સમસ્યાનો ઉકેલ લાવું છું, જે પાઠ્યપુસ્તકમાં જણાવેલી દરેક વસ્તુ વિદ્યાર્થીને વ્યવહારીક રીતે સ્પષ્ટ બનાવે છે. હકીકતમાં, અમે બેઝાઉટના પ્રમેયને સાબિત કરીશું: જો સંખ્યા a એ બહુપદીનું મૂળ છે, તો આ બહુપદીને પરિબળોમાં વિઘટિત કરી શકાય છે, જેમાંથી એક x-a છે, અને બીજો મૂળમાંથી ત્રણમાંથી એક રીતે મેળવવામાં આવે છે: રૂપાંતરણ દ્વારા રેખીય પરિબળને અલગ કરીને, ખૂણા દ્વારા વિભાજીત કરીને અથવા હોર્નરની યોજના દ્વારા. આ ફોર્મ્યુલેશનથી જ ગણિતના શિક્ષક માટે કામ કરવું સરળ બનશે.

શિક્ષણ પદ્ધતિ શું છે? સૌ પ્રથમ, આ સ્પષ્ટતા અને ઉદાહરણોના ક્રમમાં સ્પષ્ટ ક્રમ છે જેના આધારે ગાણિતિક નિષ્કર્ષ દોરવામાં આવે છે. આ વિષય કોઈ અપવાદ નથી. ગણિતના શિક્ષક માટે બાળકને બેઝાઉટના પ્રમેયનો પરિચય કરાવવો ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે ખૂણા દ્વારા વિભાજીત કરતા પહેલા. આ ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે! સમજણ હાંસલ કરવાનો શ્રેષ્ઠ માર્ગ છે ચોક્કસ ઉદાહરણ. ચાલો પસંદ કરેલ મૂળ સાથે કેટલાક બહુપદી લઈએ અને ઓળખ પરિવર્તનની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને તેને પરિબળોમાં પરિબળ બનાવવાની તકનીક બતાવીએ, જે 7મા ધોરણથી શાળાના બાળકો માટે પરિચિત છે. ગણિતના શિક્ષકની યોગ્ય સમજૂતી, ભાર અને ટીપ્સ સાથે, કોઈપણ સામાન્ય ગાણિતિક ગણતરીઓ, મનસ્વી ગુણાંક અને સત્તાઓ વિના સામગ્રીને અભિવ્યક્ત કરવી તદ્દન શક્ય છે.

ગણિતના શિક્ષક માટે મહત્વપૂર્ણ સલાહ- શરૂઆતથી અંત સુધી સૂચનાઓનું પાલન કરો અને આ ક્રમમાં ફેરફાર કરશો નહીં.

તો, ચાલો કહીએ કે આપણી પાસે બહુપદી છે. જો આપણે તેના X ને બદલે નંબર 1 ને બદલીએ, તો બહુપદીનું મૂલ્ય શૂન્ય બરાબર થશે. તેથી x=1 તેનું મૂળ છે. ચાલો તેને બે શબ્દોમાં વિઘટિત કરવાનો પ્રયાસ કરીએ જેથી તેમાંથી એક રેખીય અભિવ્યક્તિનું ઉત્પાદન હોય અને કેટલાક મોનોમિયલ હોય, અને બીજામાં એક ડિગ્રી કરતાં ઓછી હોય. એટલે કે, ચાલો તેને ફોર્મમાં રજૂ કરીએ

અમે લાલ ક્ષેત્ર માટે મોનોમિયલ પસંદ કરીએ છીએ જેથી જ્યારે અગ્રણી શબ્દનો ગુણાકાર કરવામાં આવે, ત્યારે તે મૂળ બહુપદીના અગ્રણી શબ્દ સાથે સંપૂર્ણપણે એકરુપ થાય. જો વિદ્યાર્થી સૌથી નબળો ન હોય, તો તે ગણિતના શિક્ષકને જરૂરી અભિવ્યક્તિ કહેવા માટે તદ્દન સક્ષમ હશે: . ટ્યુટરને તરત જ તેને લાલ ફીલ્ડમાં દાખલ કરવા અને જ્યારે તે ખોલવામાં આવશે ત્યારે શું થશે તે દર્શાવવા માટે કહેવામાં આવવું જોઈએ. આ વર્ચ્યુઅલ અસ્થાયી બહુપદી પર તીર હેઠળ (નાના ફોટા હેઠળ) સહી કરવી શ્રેષ્ઠ છે, તેને કેટલાક રંગથી પ્રકાશિત કરો, ઉદાહરણ તરીકે, વાદળી. આ તમને લાલ ક્ષેત્ર માટે શબ્દ પસંદ કરવામાં મદદ કરશે, જેને પસંદગીનો બાકીનો ભાગ કહેવાય છે. હું ટ્યુટર્સને સલાહ આપીશ કે તે અહીં નિર્દેશ કરે કે આ શેષ બાદબાકી દ્વારા શોધી શકાય છે. આ ઓપરેશન કરવાથી અમને મળે છે:

ગણિતના શિક્ષકે વિદ્યાર્થીનું ધ્યાન એ હકીકત તરફ દોરવું જોઈએ કે આ સમાનતામાં એકને બદલીને, આપણે તેની ડાબી બાજુએ શૂન્ય મેળવવાની ખાતરી આપીએ છીએ (કારણ કે 1 એ મૂળ બહુપદીનું મૂળ છે), અને જમણી બાજુ, દેખીતી રીતે, આપણે પ્રથમ ટર્મ પણ શૂન્ય કરશે. આનો અર્થ એ છે કે કોઈપણ ચકાસણી વિના આપણે કહી શકીએ કે એક "લીલા શેષ" નું મૂળ છે.

ચાલો તેની સાથે તે જ રીતે વ્યવહાર કરીએ જે રીતે આપણે મૂળ બહુપદી સાથે કર્યું છે, તે જ રેખીય પરિબળને તેનાથી અલગ કરીને. ગણિત શિક્ષક વિદ્યાર્થીની સામે બે ફ્રેમ દોરે છે અને તેમને ડાબેથી જમણે ભરવા માટે કહે છે.

વિદ્યાર્થી ટ્યુટર માટે લાલ ફીલ્ડ માટે મોનોમિયલ પસંદ કરે છે જેથી કરીને, જ્યારે રેખીય અભિવ્યક્તિના અગ્રણી પદથી ગુણાકાર કરવામાં આવે, ત્યારે તે વિસ્તરતી બહુપદીનો અગ્રણી શબ્દ આપે. અમે તેને ફ્રેમમાં ફિટ કરીએ છીએ, તરત જ કૌંસ ખોલીએ છીએ અને ફોલ્ડિંગમાંથી બાદબાકી કરવાની જરૂર હોય તેવા અભિવ્યક્તિને વાદળી રંગમાં હાઇલાઇટ કરીએ છીએ. આ ઓપરેશન કરવાથી આપણને મળે છે

અને છેલ્લે, છેલ્લા શેષ સાથે તે જ કરવું

અમે આખરે તે મેળવીશું

હવે ચાલો કૌંસમાંથી અભિવ્યક્તિ લઈએ અને આપણે મૂળ બહુપદીના પરિબળોમાં વિઘટન જોશું, જેમાંથી એક "x ઓછા પસંદ કરેલ મૂળ" છે.

વિદ્યાર્થીને એવું ન લાગે કે છેલ્લું "લીલું શેષ" આકસ્મિક રીતે જરૂરી પરિબળોમાં વિઘટિત થયું હતું, ગણિતના શિક્ષકે તમામ લીલા અવશેષોની મહત્વપૂર્ણ મિલકત દર્શાવવી જોઈએ - તેમાંના દરેકનું મૂળ 1 છે. કારણ કે ડિગ્રી આ અવશેષો ઘટે છે, તો પછી આપણને બહુપદીનો કેટલો પણ ભાગ આપવામાં આવે તે પછી ભલેને પ્રારંભિકની ગમે તે ડિગ્રી હોય, વહેલા કે પછી આપણને મૂળ 1 સાથે એક રેખીય "લીલો શેષ" મળશે, અને તેથી તે આવશ્યકપણે ચોક્કસ ઉત્પાદનમાં વિઘટિત થશે. સંખ્યા અને અભિવ્યક્તિ.

આ પછી પ્રારંભિક કાર્યગણિતના શિક્ષક માટે વિદ્યાર્થીને એક ખૂણાથી વિભાજીત કરવાથી શું થાય છે તે સમજાવવું મુશ્કેલ નહીં હોય. આ સમાન પ્રક્રિયા છે, માત્ર ટૂંકા અને વધુ કોમ્પેક્ટ સ્વરૂપમાં, સમાન ચિહ્નો વિના અને સમાન હાઇલાઇટ કરેલા શબ્દોને ફરીથી લખ્યા વિના. બહુપદી કે જેમાંથી રેખીય પરિબળ કાઢવામાં આવે છે તે ખૂણાની ડાબી બાજુએ લખવામાં આવે છે, પસંદ કરેલ લાલ મોનોમિઅલ્સ એક ખૂણા પર એકત્રિત કરવામાં આવે છે (હવે તે સ્પષ્ટ થઈ ગયું છે કે તેઓ શા માટે ઉમેરવું જોઈએ), "વાદળી બહુપદી" મેળવવા માટે, "લાલ ”નો x-1 વડે ગુણાકાર કરવો જોઈએ, અને પછી વર્તમાનમાં પસંદ કરેલામાંથી બાદબાકી કરવી જોઈએ કે કૉલમમાં સંખ્યાઓના સામાન્ય વિભાજનમાં આ કેવી રીતે થાય છે (અહીં અગાઉ જે અભ્યાસ કરવામાં આવ્યો હતો તેની સાથે સામ્યતા છે). પરિણામી "લીલા અવશેષો" નવા અલગતા અને "લાલ મોનોમિયલ" ની પસંદગીને આધિન છે. અને એવું જ જ્યાં સુધી તમને શૂન્ય “ગ્રીન બેલેન્સ” ન મળે ત્યાં સુધી. સૌથી મહત્વની બાબત એ છે કે વિદ્યાર્થી સમજે છે વધુ ભાવિકોણની ઉપર અને નીચે બહુપદી લખેલ છે. દેખીતી રીતે, આ કૌંસ છે જેનું ઉત્પાદન મૂળ બહુપદી સમાન છે.

ગણિતના શિક્ષકના કાર્યનો આગળનો તબક્કો બેઝાઉટના પ્રમેયની રચના છે. વાસ્તવમાં, શિક્ષકના આ અભિગમ સાથે તેની રચના સ્પષ્ટ બને છે: જો સંખ્યા a એ બહુપદીનું મૂળ હોય, તો તે પરિબળ બનાવી શકાય છે, જેમાંથી એક છે , અને અન્ય મૂળમાંથી ત્રણમાંથી એક રીતે મેળવવામાં આવે છે. :

• પ્રત્યક્ષ વિઘટન (ગ્રુપિંગ પદ્ધતિને અનુરૂપ)
• ખૂણા દ્વારા વિભાજન (કૉલમમાં)
• હોર્નરના સર્કિટ દ્વારા

એવું કહેવું આવશ્યક છે કે ગણિતના બધા શિક્ષકો તેમના વિદ્યાર્થીઓને હોર્નર ડાયાગ્રામ બતાવતા નથી, અને બધા શાળાના શિક્ષકો (સદભાગ્યે શિક્ષકો માટે) પાઠ દરમિયાન વિષયમાં એટલા ઊંડાણપૂર્વક જતા નથી. જો કે, ગણિતના વર્ગના વિદ્યાર્થી માટે, મને લાંબા ભાગાકાર પર રોકવાનું કોઈ કારણ દેખાતું નથી. વધુમાં, સૌથી અનુકૂળ અને ઝડપીવિઘટન તકનીક ચોક્કસ રીતે હોર્નરની યોજના પર આધારિત છે. બાળકને તે ક્યાંથી આવે છે તે સમજાવવા માટે, ખૂણા દ્વારા વિભાજનના ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને, લીલા અવશેષોમાં ઉચ્ચ ગુણાંકનો દેખાવ ટ્રેસ કરવા માટે તે પૂરતું છે. તે સ્પષ્ટ થાય છે કે પ્રારંભિક બહુપદીના અગ્રણી ગુણાંકને પ્રથમ "લાલ મોનોમિયલ" ના ગુણાંકમાં લઈ જવામાં આવે છે, અને વર્તમાન ઉપલા બહુપદીના બીજા ગુણાંકથી આગળ. કપાત"લાલ મોનોમિયલ" ના વર્તમાન ગુણાંકને વડે ગુણાકાર કરવાનું પરિણામ. તેથી તે શક્ય છે ઉમેરોદ્વારા ગુણાકારનું પરિણામ. ગુણાંક સાથેની ક્રિયાઓની વિશિષ્ટતાઓ પર વિદ્યાર્થીનું ધ્યાન કેન્દ્રિત કર્યા પછી, ગણિત શિક્ષક બતાવી શકે છે કે આ ક્રિયાઓ સામાન્ય રીતે ચલોને રેકોર્ડ કર્યા વિના કેવી રીતે કરવામાં આવે છે. આ કરવા માટે, નીચેના કોષ્ટકમાં અગ્રતાના ક્રમમાં મૂળ બહુપદીના મૂળ અને ગુણાંકને દાખલ કરવું અનુકૂળ છે:

જો બહુપદીમાં કોઈપણ ડિગ્રી ખૂટે છે, તો તેના શૂન્ય ગુણાંકને કોષ્ટકમાં ફરજ પાડવામાં આવે છે. "લાલ બહુપદી" ના ગુણાંક "હૂક" નિયમ અનુસાર નીચેની લાઇનમાં બદલામાં લખવામાં આવે છે:

મૂળને છેલ્લા લાલ ગુણાંક દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે છે, ટોચની લાઇનમાં આગલા ગુણાંકમાં ઉમેરવામાં આવે છે, અને પરિણામ નીચેની લીટીમાં લખવામાં આવે છે. છેલ્લી કૉલમમાં અમને છેલ્લા "ગ્રીન શેષ", એટલે કે શૂન્યના ઉચ્ચતમ ગુણાંક મેળવવાની ખાતરી આપવામાં આવી છે. પ્રક્રિયા પૂર્ણ થયા પછી, નંબરો મેળ ખાતા મૂળ અને શૂન્ય શેષ વચ્ચે સેન્ડવીચબીજા (બિનરેખીય) પરિબળના ગુણાંક હોવાનું બહાર આવ્યું છે.

મૂળ a નીચે લીટીના અંતે શૂન્ય આપે છે, તેથી હોર્નરની યોજનાનો ઉપયોગ બહુપદીના મૂળના શીર્ષક માટે સંખ્યાઓ તપાસવા માટે થઈ શકે છે. જો વિશેષ પસંદગી પ્રમેય તર્કસંગત મૂળ. તેની મદદથી મેળવેલા આ શીર્ષક માટેના તમામ ઉમેદવારોને હોર્નરના ડાયાગ્રામમાં ડાબી બાજુથી બદલામાં દાખલ કરવામાં આવે છે. જલદી આપણે શૂન્ય મેળવીશું, પરીક્ષણ કરેલ સંખ્યા મૂળ હશે, અને તે જ સમયે આપણે તેની રેખા પર મૂળ બહુપદીના અવયવીકરણના ગુણાંક મેળવીશું. ખૂબ અનુકૂળ.

નિષ્કર્ષમાં, હું એ નોંધવા માંગુ છું કે હોર્નરની યોજનાને સચોટ રીતે રજૂ કરવા માટે, તેમજ વિષયને વ્યવહારીક રીતે એકીકૃત કરવા માટે, ગણિતના શિક્ષક પાસે તેના નિકાલ પર હોવું જોઈએ. પર્યાપ્ત જથ્થોકલાક "અઠવાડિયામાં એકવાર" શાસન સાથે કામ કરતા શિક્ષકે કોર્નર ડિવિઝનમાં જોડાવું જોઈએ નહીં. ગણિતમાં એકીકૃત રાજ્ય પરીક્ષા અને ગણિતમાં ગણિતની રાજ્ય એકેડેમી પર, તે અસંભવિત છે કે પ્રથમ ભાગમાં તમે ક્યારેય ત્રીજા ડિગ્રીના સમીકરણનો સામનો કરશો જે આવા માધ્યમો દ્વારા ઉકેલી શકાય છે. જો કોઈ શિક્ષક મોસ્કો સ્ટેટ યુનિવર્સિટીમાં ગણિતની પરીક્ષા માટે બાળકને તૈયાર કરી રહ્યો હોય, તો વિષયનો અભ્યાસ કરવો ફરજિયાત બની જાય છે. યુનિવર્સિટીના શિક્ષકો, યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષાના કમ્પાઇલર્સથી વિપરીત, ખરેખર અરજદારના જ્ઞાનની ઊંડાઈને ચકાસવાનું પસંદ કરે છે.

કોલ્પાકોવ એલેક્ઝાન્ડર નિકોલાવિચ, ગણિતના શિક્ષક મોસ્કો, સ્ટ્રોગિનો

સમીકરણો અને અસમાનતાઓને ઉકેલતી વખતે, ઘણી વખત બહુપદીનું પરિબળ બનાવવું જરૂરી છે જેની ડિગ્રી ત્રણ કે તેથી વધુ હોય. આ લેખમાં આપણે આ કરવાની સૌથી સહેલી રીત જોઈશું.

હંમેશની જેમ, ચાલો મદદ માટે સિદ્ધાંત તરફ વળીએ.

બેઝાઉટનું પ્રમેયજણાવે છે કે બહુપદીને દ્વિપદી વડે વિભાજિત કરતી વખતે શેષ છે.

પરંતુ આપણા માટે જે મહત્વનું છે તે પ્રમેય પોતે નથી, પરંતુ તેમાંથી પરિણામ:

જો સંખ્યા એ બહુપદીનું મૂળ છે, તો બહુપદી એ શેષ વિના દ્વિપદી વડે વિભાજ્ય છે.

બહુપદીનું ઓછામાં ઓછું એક રુટ શોધવાનું, પછી બહુપદીને , બહુપદીનું મૂળ ક્યાં છે વડે વિભાજિત કરવાના કાર્યનો આપણે સામનો કરી રહ્યા છીએ. પરિણામે, આપણે બહુપદી મેળવીએ છીએ જેની ડિગ્રી મૂળની ડિગ્રી કરતા એક ઓછી છે. અને પછી, જો જરૂરી હોય તો, તમે પ્રક્રિયાને પુનરાવર્તિત કરી શકો છો.

આ કાર્ય બે ભાગમાં વિભાજિત થાય છે: બહુપદીનું મૂળ કેવી રીતે શોધવું અને બહુપદીને દ્વિપદી વડે કેવી રીતે વિભાજિત કરવું.

ચાલો આ મુદ્દાઓ પર નજીકથી નજર કરીએ.

1. બહુપદીનું મૂળ કેવી રીતે શોધવું.

પહેલા આપણે તપાસીએ કે નંબર 1 અને -1 બહુપદીના મૂળ છે કે કેમ.

નીચેના તથ્યો અમને અહીં મદદ કરશે:

જો બહુપદીના તમામ ગુણાંકનો સરવાળો શૂન્ય હોય, તો સંખ્યા એ બહુપદીનું મૂળ છે.

ઉદાહરણ તરીકે, બહુપદીમાં ગુણાંકનો સરવાળો શૂન્ય છે: . બહુપદીનું મૂળ શું છે તે તપાસવું સરળ છે.

જો બહુપદીના ગુણાંકનો સરવાળો એકી સત્તાઓ પરના ગુણાંકના સરવાળા જેટલો હોય, તો સંખ્યા એ બહુપદીનું મૂળ છે.મુક્ત શબ્દને એક સમાન ડિગ્રી માટે ગુણાંક ગણવામાં આવે છે, કારણ કે , a એ એક સમાન સંખ્યા છે.

ઉદાહરણ તરીકે, બહુપદીમાં સમ શક્તિઓ માટે ગુણાંકનો સરવાળો છે: , અને વિષમ શક્તિઓ માટે ગુણાંકનો સરવાળો છે: . બહુપદીનું મૂળ શું છે તે તપાસવું સરળ છે.

જો 1 કે -1 એ બહુપદીના મૂળ નથી, તો આપણે આગળ વધીએ છીએ.

ડિગ્રીના ઘટાડેલા બહુપદી માટે (એટલે ​​​​કે, બહુપદી જેમાં અગ્રણી ગુણાંક - પર ગુણાંક - એકતા સમાન છે), વિએટા સૂત્ર માન્ય છે:

બહુપદીના મૂળ ક્યાં છે.

બહુપદીના બાકીના ગુણાંકને લગતા વિએટા સૂત્રો પણ છે, પરંતુ અમને આમાં રસ છે.

આ વિએટા સૂત્રમાંથી તે અનુસરે છે જો બહુપદીના મૂળ પૂર્ણાંકો છે, તો તે તેના મુક્ત પદના વિભાજક છે, જે પૂર્ણાંક પણ છે.

આના આધારે, આપણે બહુપદીના મુક્ત પદને પરિબળ કરવાની જરૂર છે, અને ક્રમિક રીતે, નાનાથી મોટા સુધી, તપાસો કે કયું પરિબળ બહુપદીનું મૂળ છે.

ઉદાહરણ તરીકે, બહુપદીનો વિચાર કરો

ફ્રી ટર્મના વિભાજકો: ;

;

;

બહુપદીના તમામ ગુણાંકનો સરવાળો બરાબર છે, તેથી, સંખ્યા 1 એ બહુપદીનું મૂળ નથી.

સમ શક્તિઓ માટે ગુણાંકનો સરવાળો:

વિષમ શક્તિઓ માટે ગુણાંકનો સરવાળો:

તેથી, સંખ્યા -1 એ બહુપદીનું મૂળ પણ નથી.

ચાલો જોઈએ કે નંબર 2 એ બહુપદીનું મૂળ છે કે કેમ: તેથી, સંખ્યા 2 એ બહુપદીનું મૂળ છે. આનો અર્થ એ છે કે, બેઝાઉટના પ્રમેય મુજબ, બહુપદી એ શેષ વિના દ્વિપદી વડે વિભાજ્ય છે.

2. બહુપદીને દ્વિપદીમાં કેવી રીતે વિભાજીત કરવી.

બહુપદીને કૉલમ દ્વારા દ્વિપદીમાં વિભાજિત કરી શકાય છે.

કૉલમનો ઉપયોગ કરીને બહુપદીને દ્વિપદી વડે વિભાજીત કરો: બહુપદીને દ્વિપદી દ્વારા વિભાજીત કરવાની બીજી રીત છે - હોર્નરની યોજના.

સમજવા માટે આ વિડીયો જુઓ

સ્તંભ સાથે દ્વિપદી દ્વારા બહુપદીને કેવી રીતે વિભાજીત કરવી અને હોર્નરના ડાયાગ્રામનો ઉપયોગ કરીને.

હું નોંધું છું કે જો, જ્યારે કૉલમ દ્વારા ભાગાકાર કરવામાં આવે ત્યારે, મૂળ બહુપદીમાં અજ્ઞાતની અમુક ડિગ્રી ખૂટે છે, તો અમે તેની જગ્યાએ 0 લખીએ છીએ - તે જ રીતે જ્યારે હોર્નરની યોજના માટે કોષ્ટકનું સંકલન કરતી વખતે. તેથી, જો આપણે બહુપદીને દ્વિપદી વડે ભાગવાની જરૂર હોય અને ભાગાકારના પરિણામે આપણને બહુપદી મળે, તો આપણે હોર્નરની યોજનાનો ઉપયોગ કરીને બહુપદીના ગુણાંક શોધી શકીએ છીએ:આપણે પણ ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ

હોર્નર યોજના

આપેલ સંખ્યા બહુપદીનું મૂળ છે કે કેમ તે ચકાસવા માટે: જો સંખ્યા બહુપદીનું મૂળ છે, તો બહુપદીને વડે વિભાજિત કરતી વખતે બાકીની રકમ શૂન્યની બરાબર છે, એટલે કે, બીજી પંક્તિની છેલ્લી કૉલમમાં હોર્નરની આકૃતિ આપણને 0 મળે છે.હોર્નરની યોજનાનો ઉપયોગ કરીને, અમે "એક પથ્થરથી બે પક્ષીઓને મારીએ છીએ": અમે એક સાથે તપાસ કરીએ છીએ કે સંખ્યા બહુપદીનું મૂળ છે કે કેમ અને આ બહુપદીને દ્વિપદી વડે વિભાજીત કરીએ છીએ.

ઉદાહરણ.

સમીકરણ ઉકેલો:

1. ચાલો મુક્ત પદના વિભાજકો લખીએ અને મુક્ત પદના વિભાજકોમાં બહુપદીના મૂળ શોધીએ.

24 ના વિભાજકો:

2. ચાલો તપાસ કરીએ કે નંબર 1 એ બહુપદીનું મૂળ છે કે કેમ.

બહુપદીના ગુણાંકનો સરવાળો, તેથી, સંખ્યા 1 એ બહુપદીનું મૂળ છે.

સમાવિષ્ટ શબ્દ ખૂટતો હોવાથી, કોષ્ટકની કૉલમ જેમાં ગુણાંક લખવો જોઈએ તેમાં આપણે 0 લખીએ છીએ. ડાબી બાજુએ આપણે મળી આવેલ મૂળ લખીએ છીએ: નંબર 1.

બી) કોષ્ટકની પ્રથમ પંક્તિ ભરો.

છેલ્લી કૉલમમાં, અપેક્ષા મુજબ, અમને શૂન્ય મળ્યું; અમે મૂળ બહુપદીને દ્વિપદી દ્વારા શેષ વિના વિભાજિત કર્યું. વિભાજનના પરિણામે બહુપદીના ગુણાંક કોષ્ટકની બીજી હરોળમાં વાદળી રંગમાં દર્શાવવામાં આવ્યા છે:

તે તપાસવું સરળ છે કે સંખ્યાઓ 1 અને -1 બહુપદીના મૂળ નથી

બી) ચાલો કોષ્ટક ચાલુ રાખીએ. ચાલો તપાસ કરીએ કે નંબર 2 એ બહુપદીનું મૂળ છે કે કેમ:

તેથી બહુપદીની ડિગ્રી, જે એક વડે વિભાજનના પરિણામે પ્રાપ્ત થાય છે, તે મૂળ બહુપદીની ડિગ્રી કરતાં ઓછી છે, તેથી, ગુણાંકની સંખ્યા અને કૉલમની સંખ્યા એક ઓછી છે.

છેલ્લી કૉલમમાં આપણને -40 મળ્યો - એક એવી સંખ્યા જે શૂન્યની બરાબર નથી, તેથી, બહુપદી એ શેષ સાથે દ્વિપદી વડે વિભાજ્ય છે, અને સંખ્યા 2 એ બહુપદીનું મૂળ નથી.

C) ચાલો તપાસ કરીએ કે શું સંખ્યા -2 બહુપદીનું મૂળ છે. અગાઉનો પ્રયાસ નિષ્ફળ ગયો હોવાથી, ગુણાંક સાથે મૂંઝવણ ટાળવા માટે, હું આ પ્રયાસને અનુરૂપ રેખા ભૂંસીશ:

મહાન! અમને શેષ તરીકે શૂન્ય મળ્યું, તેથી, બહુપદીને શેષ વિના દ્વિપદીમાં વિભાજિત કરવામાં આવી હતી, તેથી, સંખ્યા -2 એ બહુપદીનું મૂળ છે. બહુપદીના ગુણાંક કે જે બહુપદીને દ્વિપદી વડે ભાગવાથી મેળવવામાં આવે છે તે કોષ્ટકમાં લીલા રંગમાં બતાવવામાં આવે છે.

વિભાજનના પરિણામે આપણને ચતુર્ભુજ ત્રિનોમી મળે છે , જેના મૂળ વિયેટાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને સરળતાથી શોધી શકાય છે:

તેથી, મૂળ સમીકરણના મૂળ છે:

{}

જવાબ: ( }

પાઠ હેતુઓ:

• હોર્નરની સ્કીમનો ઉપયોગ કરીને વિદ્યાર્થીઓને ઉચ્ચ ડિગ્રીના સમીકરણો ઉકેલતા શીખવો;
• જોડીમાં કામ કરવાની ક્ષમતા વિકસાવો;
• અભ્યાસક્રમના મુખ્ય વિભાગો સાથે મળીને વિદ્યાર્થીઓની ક્ષમતાઓ વિકસાવવા માટેનો આધાર બનાવો;
• વિદ્યાર્થીને તેની સંભવિતતાનું મૂલ્યાંકન કરવામાં, ગણિતમાં રસ વિકસાવવા, વિચારવાની ક્ષમતા અને વિષય પર બોલવામાં મદદ કરો.

સાધન:જૂથ કાર્ય માટેના કાર્ડ, હોર્નરના ડાયાગ્રામ સાથે પોસ્ટર.

શિક્ષણ પદ્ધતિ:વ્યાખ્યાન, વાર્તા, સમજૂતી, તાલીમ કસરતો કરવા.

નિયંત્રણ ફોર્મ:કાર્યો તપાસી રહ્યા છીએ સ્વતંત્ર નિર્ણય, સ્વતંત્ર કાર્ય.

પાઠ પ્રગતિ

1. સંસ્થાકીય ક્ષણ

2. વિદ્યાર્થીઓના જ્ઞાનને અપડેટ કરવું

કયું પ્રમેય તમને એ નક્કી કરવા દે છે કે સંખ્યા આપેલ સમીકરણનું મૂળ છે કે કેમ (પ્રમેય ઘડવો)?

બેઝાઉટનું પ્રમેય. દ્વિપદી દ્વારા બહુપદી P(x) ના વિભાજનનો બાકીનો ભાગ x-c બરાબર છે P(c), સંખ્યા c એ બહુપદી P(x) નું મૂળ કહેવાય છે જો P(c)=0. પ્રમેય, વિભાજન કામગીરી કર્યા વિના, આપેલ સંખ્યા બહુપદીનું મૂળ છે કે કેમ તે નક્કી કરવા માટે પરવાનગી આપે છે.

કયા નિવેદનો મૂળ શોધવાનું સરળ બનાવે છે?

a) જો બહુપદીનો અગ્રણી ગુણાંક એક સમાન હોય, તો બહુપદીના મૂળ મુક્ત પદના વિભાજકોમાં શોધવું જોઈએ.

b) જો બહુપદીના ગુણાંકનો સરવાળો 0 છે, તો મૂળમાંથી એક 1 છે.

c) જો સમ સ્થાનોના ગુણાંકનો સરવાળો વિષમ સ્થાનોના ગુણાંકના સરવાળા જેટલો હોય, તો મૂળમાંથી એક -1 બરાબર છે.

d) જો બધા ગુણાંક ધન છે, તો બહુપદીના મૂળ નકારાત્મક સંખ્યાઓ છે.

e) વિષમ ડિગ્રીના બહુપદીમાં ઓછામાં ઓછું એક વાસ્તવિક મૂળ હોય છે.

3. નવી સામગ્રી શીખવી

સમગ્ર બીજગણિત સમીકરણો ઉકેલતી વખતે, તમારે બહુપદીના મૂળના મૂલ્યો શોધવા પડશે. જો હોર્નર સ્કીમ તરીકે ઓળખાતા વિશિષ્ટ અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કરીને ગણતરીઓ હાથ ધરવામાં આવે તો આ કામગીરીને નોંધપાત્ર રીતે સરળ બનાવી શકાય છે. આ સર્કિટનું નામ અંગ્રેજી વૈજ્ઞાનિક વિલિયમ જ્યોર્જ હોર્નરના નામ પરથી રાખવામાં આવ્યું છે. હોર્નરની સ્કીમ એ બહુપદી P(x) ને x-c વડે વિભાજિત કરવાના અવશેષ અને શેષની ગણતરી કરવા માટેનું અલ્ગોરિધમ છે. સંક્ષિપ્તમાં તે કેવી રીતે કાર્ય કરે છે.

મનસ્વી બહુપદી P(x) = a 0 x n + a 1 x n-1 + …+ a n-1 x+ a n આપવા દો. આ બહુપદીને x-c વડે ભાગવું એ P(x)=(x-c)g(x) + r(x) સ્વરૂપમાં તેનું પ્રતિનિધિત્વ છે. આંશિક g(x)= 0 x n-1 માં + n x n-2 માં +... n-2 x + n-1 માં, જ્યાં 0 =a 0 માં, n =st n-1 +a n માં , n=1,2,3,…n-1. બાકી r(x)= st n-1 +a n. આ ગણતરી પદ્ધતિને હોર્નર સ્કીમ કહેવામાં આવે છે. અલ્ગોરિધમના નામમાં "સ્કીમ" શબ્દ એ હકીકતને કારણે છે કે તેના અમલીકરણને સામાન્ય રીતે નીચે પ્રમાણે ફોર્મેટ કરવામાં આવે છે. પ્રથમ, કોષ્ટક 2(n+2) દોરો. નીચલા ડાબા કોષમાં c નંબર લખો અને ટોચની લાઇનમાં બહુપદી P(x) ના ગુણાંક લખો. આ કિસ્સામાં, ઉપલા ડાબા કોષને ખાલી છોડી દેવામાં આવે છે.

અલ્ગોરિધમનો અમલ કર્યા પછી, નીચેના જમણા કોષમાં લખવામાં આવતી સંખ્યા એ x-c દ્વારા બહુપદી P(x) ના વિભાજનનો બાકીનો ભાગ છે. 0 માં, 1 માં, 2 માં,... નીચેની લીટીમાં અન્ય સંખ્યાઓ ભાગના ગુણાંક છે.

ઉદાહરણ તરીકે: બહુપદી P(x)= x 3 -2x+3 ને x-2 વડે વિભાજિત કરો.

આપણને તે x 3 -2x+3=(x-2) (x 2 +2x+2) + 7 મળે છે.

4. અભ્યાસ કરેલ સામગ્રીનું એકીકરણ

ઉદાહરણ 1:બહુપદી P(x)=2x4-7x 3 -3x 2 +5x-1 ને પૂર્ણાંક ગુણાંક સાથે અવયવમાં પરિબળ કરો.

અમે મુક્ત શબ્દ -1: 1 ના વિભાજકો વચ્ચે સંપૂર્ણ મૂળ શોધી રહ્યા છીએ; -1. ચાલો એક ટેબલ બનાવીએ:

X = -1 – મૂળ

P(x)= (x+1) (2x 3 -9x 2 +6x -1)

ચાલો 1/2 તપાસીએ.

તેથી, બહુપદી P(x) ફોર્મમાં રજૂ કરી શકાય છે

P(x)= (x+1) (x-1/2) (x 2 -8x +2) = (x+1) (2x -1) (x 2 - 4x +1)

ઉદાહરણ 2:સમીકરણ 2x 4 - 5x 3 + 5x 2 - 2 = 0 ઉકેલો

સમીકરણની ડાબી બાજુએ લખેલા બહુપદીના ગુણાંકનો સરવાળો શૂન્ય સમાન હોવાથી, મૂળમાંથી એક 1 છે. ચાલો હોર્નરની યોજનાનો ઉપયોગ કરીએ:

આપણને P(x)=(x-1) (2x 3 -3x 2 =2x +2) મળે છે. અમે ફ્રી ટર્મ 2 ના વિભાજકોમાં મૂળ શોધીશું.

અમને જાણવા મળ્યું કે ત્યાં કોઈ વધુ અકબંધ મૂળ નથી. ચાલો 1/2 તપાસીએ; -1/2.

જવાબ: 1; -1/2.

ઉદાહરણ 3:સમીકરણ 5x 4 – 3x 3 – 4x 2 -3x+ 5 = 0 ઉકેલો.

આપણે આ સમીકરણના મૂળ 5:1;-1;5;-5 ના વિભાજકોમાં શોધીશું. x=1 એ સમીકરણનું મૂળ છે, કારણ કે ગુણાંકનો સરવાળો શૂન્ય છે. ચાલો હોર્નરની યોજનાનો ઉપયોગ કરીએ:

ચાલો સમીકરણને ત્રણ પરિબળોના ગુણાંક તરીકે રજૂ કરીએ: (x-1) (x-1) (5x 2 -7x + 5) = 0. ચતુર્ભુજ સમીકરણ 5x 2 -7x+5=0 ઉકેલવાથી, આપણને D=49-100=-51 મળ્યું, ત્યાં કોઈ મૂળ નથી.

કાર્ડ 1

1. બહુપદીનો અવયવ: x 4 +3x 3 -5x 2 -6x-8
2. સમીકરણ ઉકેલો: 27x 3 -15x 2 +5x-1=0

કાર્ડ 2

1. બહુપદીનો અવયવ: x 4 - x 3 -7x 2 +13x-6
2. સમીકરણ ઉકેલો: x 4 +2x 3 -13x 2 -38x-24=0

કાર્ડ 3

1. આમાં પરિબળ: 2x 3 -21x 2 +37x+24
2. સમીકરણ ઉકેલો: x 3 -2x 2 +4x-8=0

કાર્ડ 4

1. આમાં પરિબળ: 5x 3 -46x 2 +79x-14
2. સમીકરણ ઉકેલો: x 4 +5x 3 +5x 2 -5x-6=0

5. સારાંશ

ક્રિયાની પદ્ધતિ અને જવાબના નામને ઓળખીને વર્ગમાં જોડીમાં હલ કરતી વખતે જ્ઞાનનું પરીક્ષણ કરવામાં આવે છે.

ગૃહકાર્ય:

સમીકરણો ઉકેલો:

a) x 4 -3x 3 +4x 2 -3x+1=0

b) 5x 4 -36x 3 +62x 2 -36x+5=0

c) x 4 + x 3 + x + 1 = 4x 2

ડી) x 4 +2x 3 -x-2=0

સાહિત્ય

1. N.Ya. વિલેન્કિન એટ અલ., બીજગણિત અને વિશ્લેષણની શરૂઆત, ગ્રેડ 10 (ગણિતનો ઊંડાણપૂર્વકનો અભ્યાસ): બોધ, 2005.
2. યુ.આઈ. સાખારચુક, એલ.એસ. સાગાટેલોવા, ઉચ્ચ ડિગ્રીના સમીકરણોનું સોલ્યુશન: વોલ્ગોગ્રાડ, 2007.
3. એસ.બી. ગાશકોવ, નંબર સિસ્ટમ્સ અને તેમની એપ્લિકેશન.

સ્લાઇડ 3

હોર્નર વિલિયમ્સ જ્યોર્જ (1786-22.9.1837) - અંગ્રેજી ગણિતશાસ્ત્રી. બ્રિસ્ટોલમાં જન્મ. તેણે ત્યાં અભ્યાસ કર્યો અને કામ કર્યું, પછી બાથની શાળાઓમાં. બીજગણિત પર મૂળભૂત કામ કરે છે. 1819 માં બહુપદીના વાસ્તવિક મૂળની અંદાજિત ગણતરી માટે એક પદ્ધતિ પ્રકાશિત કરી, જેને હવે રફિની-હોર્નર પદ્ધતિ કહેવામાં આવે છે (આ પદ્ધતિ 13મી સદીમાં ચીનમાં જાણીતી હતી). હોર્નર પછી.

સ્લાઇડ 4

હોર્નર સ્કીમ

વિભાજન પદ્ધતિ nth બહુપદીરેખીય દ્વિપદી પર ડિગ્રી - a, એ હકીકત પર આધારિત છે કે અપૂર્ણ ભાગના ગુણાંક અને શેષ ભાગ વિભાજ્ય બહુપદીના ગુણાંક સાથે અને સૂત્રો સાથે સંબંધિત છે:

સ્લાઇડ 5

હોર્નરની યોજના અનુસાર ગણતરીઓ કોષ્ટકમાં મૂકવામાં આવી છે:

ઉદાહરણ 1. ભાગાકાર કરો આંશિક ભાગ x3-x2+3x - 13 છે અને બાકીનો ભાગ 42=f(-3) છે.

સ્લાઇડ 6

આ પદ્ધતિનો મુખ્ય ફાયદો એ નોટેશનની કોમ્પેક્ટનેસ અને બહુપદીને દ્વિપદીમાં ઝડપથી વિભાજીત કરવાની ક્ષમતા છે. વાસ્તવમાં, હોર્નરની સ્કીમ એ ગ્રૂપિંગ પદ્ધતિને રેકોર્ડ કરવાનું બીજું સ્વરૂપ છે, જોકે, બાદમાંની જેમ, તે સંપૂર્ણપણે બિન-દૃશ્ય છે. જવાબ (ફેક્ટરાઇઝેશન) અહીં જાતે જ પ્રાપ્ત થાય છે, અને આપણે તેને મેળવવાની પ્રક્રિયા જોતા નથી. અમે હોર્નરની યોજનાના સખત પુરાવામાં જોડાઈશું નહીં, પરંતુ તે કેવી રીતે કાર્ય કરે છે તે જ બતાવીશું.

સ્લાઇડ 7

ઉદાહરણ 2.

ચાલો સાબિત કરીએ કે બહુપદી P(x)=x4-6x3+7x-392 x-7 વડે વિભાજ્ય છે, અને ભાગાકારનો ભાગ શોધીએ. ઉકેલ. હોર્નરની યોજનાનો ઉપયોગ કરીને, આપણે P(7) શોધીએ છીએ: અહીંથી આપણે P(7)=0 મેળવીએ છીએ, એટલે કે. બહુપદીને x-7 વડે વિભાજિત કરતી વખતે બાકીનો ભાગ શૂન્યની બરાબર હોય છે અને તેથી, બહુપદી P(x) એ (x-7) નો ગુણાંક છે વધુમાં, કોષ્ટકની બીજી હરોળમાંની સંખ્યાઓ ગુણાંક છે P(x) નો ભાગાકાર (x-7), તેથી P(x)=(x-7)(x3+x2+7x+56).

સ્લાઇડ 8

બહુપદી x3 – 5x2 – 2x + 16 અવયવ કરો.

આ બહુપદીમાં પૂર્ણાંક ગુણાંક છે. જો પૂર્ણાંક આ બહુપદીનું મૂળ છે, તો તે સંખ્યા 16નો વિભાજક છે. આમ, જો આપેલ બહુપદીમાં પૂર્ણાંક મૂળ હોય, તો તે માત્ર ±1 સંખ્યાઓ જ હોઈ શકે છે; ±2; ±4; ±8; ±16. સીધી ચકાસણી દ્વારા અમને ખાતરી છે કે નંબર 2 એ આ બહુપદીનું મૂળ છે, એટલે કે, x3 – 5x2 – 2x + 16 = (x – 2)Q(x), જ્યાં Q(x) એ બીજી ડિગ્રીનો બહુપદી છે.

સ્લાઇડ 9

પરિણામી સંખ્યાઓ 1, −3, −8 એ બહુપદીના ગુણાંક છે, જે મૂળ બહુપદીને x – 2 વડે વિભાજિત કરીને મેળવવામાં આવે છે. આનો અર્થ એ છે કે ભાગાકારનું પરિણામ છે: 1 x2 + (–3)x + ( –8) = x2 – 3x – 8. ભાગાકારથી પરિણમેલી બહુપદીની ડિગ્રી મૂળની ડિગ્રી કરતાં હંમેશા 1 ઓછી હોય છે. તેથી: x3 – 5x2 – 2x + 16 = (x – 2)(x2 – 3x – 8).

ચાલો ax + b = 0 ફોર્મનો એક સરળ દ્વિપદી હોઈએ. તેને ઉકેલવું મુશ્કેલ નથી. તમારે ફક્ત અજ્ઞાતને એક બાજુ અને ગુણાંકને બીજી તરફ ખસેડવાની જરૂર છે. પરિણામે, x = - b/a. વર્ગ ax2 + bx + c = 0 ઉમેરીને વિચારણા હેઠળનું સમીકરણ જટિલ બની શકે છે. તે ભેદભાવ શોધીને ઉકેલાય છે. જો તે શૂન્ય કરતાં વધારે હોય, તો ત્યાં બે ઉકેલો હશે; જો તે શૂન્યની બરાબર છે, તો ત્યાં માત્ર એક જ મૂળ છે, અને જ્યારે તે ઓછું હોય, તો ત્યાં કોઈ ઉકેલો નથી.

આગલા પ્રકારના સમીકરણમાં ત્રીજી શક્તિ ax3 + bx2 + c + d = 0 છે. આ સમાનતા ઘણા લોકો માટે મુશ્કેલીઓનું કારણ બને છે. જોકે ત્યાં છે વિવિધ રીતે, કોઈને આવા સમીકરણને હલ કરવાની મંજૂરી આપે છે, ઉદાહરણ તરીકે, કોર્ડનનું સૂત્ર, પરંતુ તેનો ઉપયોગ હવે પાંચમા અને ઉચ્ચ ઓર્ડરની સત્તાઓ માટે થઈ શકશે નહીં. તેથી, ગણિતશાસ્ત્રીઓએ એક સાર્વત્રિક પદ્ધતિ વિશે વિચાર્યું જેની સાથે કોઈપણ જટિલતાના સમીકરણોની ગણતરી કરવી શક્ય બનશે.

શાળામાં, તેઓ સામાન્ય રીતે જૂથીકરણ અને વિશ્લેષણ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવાનું સૂચન કરે છે, જેમાં બહુપદીને ઓછામાં ઓછા બે પરિબળોમાં પરિબળ કરી શકાય છે. માટે ઘન સમીકરણલખી શકાય છે: (x - x0) (ax2 + bx + c) = 0. પછી તેઓ એ હકીકતનો ઉપયોગ કરે છે કે જો રેખીય દ્વિપદી અથવા ચતુર્ભુજ સમીકરણ તેની બરાબર હોય તો જ ઉત્પાદન શૂન્યની બરાબર થશે. પછી પ્રમાણભૂત ઉકેલ કરવામાં આવે છે. આ પ્રકારની ઘટાડેલી સમાનતાની ગણતરી કરતી વખતે સમસ્યા x0 ની શોધ દરમિયાન ઊભી થાય છે. આ તે છે જ્યાં હોર્નરની યોજના મદદ કરશે.

હોર્નર દ્વારા પ્રસ્તાવિત અલ્ગોરિધમ વાસ્તવમાં ઇટાલિયન ગણિતશાસ્ત્રી અને તબીબી ડૉક્ટર પાઓલો રુફિની દ્વારા અગાઉ શોધાયું હતું. પાંચમી ડિગ્રીના અભિવ્યક્તિઓમાં આમૂલ શોધવાની અશક્યતા સાબિત કરનાર તે પ્રથમ હતો. પરંતુ તેના કાર્યમાં ઘણા વિરોધાભાસ હતા જેણે તેને વૈજ્ઞાનિકોના ગાણિતિક વિશ્વ દ્વારા સ્વીકારવા દીધા ન હતા. તેમના કાર્યોના આધારે, 1819 માં બ્રિટન વિલિયમ જ્યોર્જ હોર્નરે લગભગ બહુપદીના મૂળ શોધવા માટેની પદ્ધતિ પ્રકાશિત કરી. આ કાર્ય રોયલ સાયન્ટિફિક સોસાયટી દ્વારા પ્રકાશિત કરવામાં આવ્યું હતું અને તેને રફિની-હોર્નર પદ્ધતિ કહેવામાં આવતું હતું.

પછીથી, સ્કોટ ઓગસ્ટસ ડી મોર્ગને પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવાની શક્યતાઓને વિસ્તૃત કરી. પદ્ધતિને સમૂહ-સૈદ્ધાંતિક સંબંધો અને સંભાવના સિદ્ધાંતમાં એપ્લિકેશન મળી છે. સારમાં, સ્કીમ એ રેકોર્ડ P (x) થી x-c ના સંબંધના ભાગ અને શેષની ગણતરી કરવા માટેનું અલ્ગોરિધમ છે.

પદ્ધતિનો સિદ્ધાંત

પ્રથમ વખત, વિદ્યાર્થીઓને ઉપલા ધોરણોમાં હોર્નરના ડાયાગ્રામનો ઉપયોગ કરીને મૂળ શોધવાની પદ્ધતિનો પરિચય આપવામાં આવે છે. ઉચ્ચ શાળાબીજગણિત પાઠમાં. તે તૃતીય-ડિગ્રી સમીકરણ ઉકેલવાના ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને સમજાવે છે: x3 + 6x - x - 30 = 0. વધુમાં, સમસ્યાનું નિવેદન જણાવે છે કે આ સમીકરણનું મૂળ નંબર બે છે. પડકાર અન્ય મૂળોને ઓળખવાનો છે.

આ સામાન્ય રીતે નીચે મુજબ કરવામાં આવે છે. જો બહુપદી p (x) પાસે રુટ x0 હોય, તો p (x) ને અમુક અન્ય બહુપદી q (x) દ્વારા x ઓછા x શૂન્યના તફાવતના ગુણાંક તરીકે રજૂ કરી શકાય છે, જેની ડિગ્રી એક ઓછી હશે. આવશ્યક બહુપદી સામાન્ય રીતે વિભાજન દ્વારા અલગ કરવામાં આવે છે. વિચારણા હેઠળના ઉદાહરણ માટે, સમીકરણ આના જેવું દેખાશે: (x3 + 6x - x - 30) / (x - x2). "ખૂણા" નો ઉપયોગ કરીને વિભાજન કરવું વધુ સારું છે. પરિણામી અભિવ્યક્તિ છે: x 2 + 8x + 15.

આમ, ઇચ્છિત અભિવ્યક્તિ (x - 2)* (x 2 + 8x + 15) = 0 તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે. આગળ, ઉકેલ શોધવા માટે, તમારે નીચેના કરવાની જરૂર છે:

• સમાનતાના પ્રથમ પદમાં મૂળ શોધો, તેને શૂન્ય સાથે સરખાવો: x - 2 = 0. તેથી x = 2, જે શરતમાંથી પણ અનુસરે છે.
• બહુપદીના બીજા પદને શૂન્ય સાથે સમાન કરીને ચતુર્ભુજ સમીકરણ ઉકેલો: x 2 + 8x + 15 = 0. તમે ભેદભાવ અથવા વિએટા સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને મૂળ શોધી શકો છો. તેથી આપણે લખી શકીએ કે (x+3) * (x+5) = 0, એટલે કે, x એક બરાબર ત્રણ, અને x બે બરાબર માઈનસ પાંચ.

ત્રણેય મૂળ મળી આવ્યા છે. પરંતુ અહીં એક વાજબી પ્રશ્ન ઊભો થાય છે: ઉદાહરણમાં હોર્નર યોજના ક્યાં વપરાય છે? તેથી, આ બધી બોજારૂપ ગણતરીને હાઇ-સ્પીડ સોલ્યુશન એલ્ગોરિધમથી બદલી શકાય છે. તે સમાવે છે સરળ ક્રિયાઓ. પ્રથમ તમારે ઘણા કૉલમ અને પંક્તિઓ ધરાવતું કોષ્ટક દોરવાની જરૂર છે. પ્રારંભિક લીટીની બીજી કોલમથી શરૂ કરીને, મૂળ બહુપદીના સમીકરણમાં ગુણાંક લખો. પ્રથમ કૉલમમાં તેઓ સંખ્યા મૂકે છે જેના દ્વારા વિભાજન કરવામાં આવશે, એટલે કે, ઉકેલની સંભવિત શરતો (x0).

પસંદ કરેલ x0 કોષ્ટકમાં લખાઈ ગયા પછી, નીચેના સિદ્ધાંત અનુસાર ભરવાનું થાય છે:

• પ્રથમ કૉલમ ફક્ત બીજા કૉલમના ટોચના ઘટકમાં શું છે તે સમાવે છે;
• આગલી સંખ્યા શોધવા માટે, તમારે દૂર કરેલ સંખ્યાને પસંદ કરેલ x0 વડે ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે અને ટોચ પર ભરવા માટે કૉલમમાં સ્થાયી સંખ્યા ઉમેરવાની જરૂર છે;
• જ્યાં સુધી બધા કોષો સંપૂર્ણપણે ભરાઈ ન જાય ત્યાં સુધી સમાન કામગીરી કરવામાં આવે છે;
• શૂન્યની બરાબર છેલ્લી કૉલમમાંની રેખાઓ ઇચ્છિત ઉકેલ હશે.

વિચારણા હેઠળના ઉદાહરણ માટે, જ્યારે બેને બદલે છે, ત્યારે લીટી શ્રેણીનો સમાવેશ કરશે: 2, 1, 8, 15, 0. આમ, તમામ શબ્દો જોવા મળે છે. આ કિસ્સામાં, યોજના પાવર સમીકરણના કોઈપણ ક્રમ માટે કાર્ય કરે છે.

ઉપયોગનું ઉદાહરણ

હોર્નરના ડાયાગ્રામનો ઉપયોગ કેવી રીતે કરવો તે સમજવા માટે, વિગતવાર ધ્યાનમાં લેવાની જરૂર છે લાક્ષણિક ઉદાહરણ . બહુપદી p(x) = x 5 - 5x 4 + 7x 3 - 2x 2 + 4x - 8 ના મૂળ x0 ની ગુણાકાર નક્કી કરવા માટે તે જરૂરી છે. ઘણીવાર સમસ્યાઓમાં મૂળને જડ બળ દ્વારા પસંદ કરવું જરૂરી છે, પરંતુ સમય બચાવવા માટે, અમે ધારીશું કે તેઓ પહેલાથી જ જાણીતા છે અને માત્ર તપાસ કરવાની જરૂર છે. અહીં તમારે સમજવું જોઈએ કે યોજનાનો ઉપયોગ કરીને, ગણતરી હજુ પણ અન્ય પ્રમેય અથવા ઘટાડો પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરતાં વધુ ઝડપી હશે.

સોલ્યુશન એલ્ગોરિધમ અનુસાર, સૌ પ્રથમ તમારે ટેબલ દોરવાની જરૂર છે. પ્રથમ લીટી મુખ્ય ગુણાંક સૂચવે છે. તમારે સમીકરણ માટે આઠ કૉલમ દોરવાની જરૂર પડશે. પછી બીજા સ્તંભની બીજી લાઇનમાં x0 = 2 કેટલી વખત અભ્યાસ હેઠળ ફિટ થશે તે શોધો. વિચારણા હેઠળના કેસ માટે, તે એક સમાન હશે. નજીકના કોષમાં, મૂલ્ય 2 * 1 -5 = -3 તરીકે ગણવામાં આવે છે. આગામી એકમાં: 2 * (-3) + 7 = 1. બાકીના કોષો એ જ રીતે ભરવામાં આવે છે.

જેમ તમે જોઈ શકો છો, ઓછામાં ઓછા એક વખત બેને બહુપદીમાં મૂકવામાં આવે છે. હવે આપણે તપાસવાની જરૂર છે કે શું બે પ્રાપ્ત થયેલ સૌથી નીચી અભિવ્યક્તિનું મૂળ છે. સમાન ક્રિયાઓ કર્યા પછી, કોષ્ટકમાં નીચેની પંક્તિ હોવી જોઈએ: 1, -1, -1. -2, 0. આ વાસ્તવમાં એક ચતુર્ભુજ સમીકરણ છે જેને પણ તપાસવાની જરૂર છે. પરિણામે, ગણતરી કરેલ શ્રેણીમાં 1, 1, 1, 0 હશે.

છેલ્લા અભિવ્યક્તિમાં, બે એક તર્કસંગત ઉકેલ ન હોઈ શકે. એટલે કે, મૂળ બહુપદીમાં નંબર બે ત્રણ વખત વપરાય છે, જેનો અર્થ છે કે આપણે લખી શકીએ છીએ: (x - 2) 3 * (x 2 + x + 1). હકીકત એ છે કે બે ચોરસ અભિવ્યક્તિનું મૂળ નથી તે નીચેની હકીકતો પરથી સમજી શકાય છે:

• મુક્ત ગુણાંક બે વડે વિભાજ્ય નથી;
• ત્રણેય ગુણાંક હકારાત્મક છે, જેનો અર્થ છે કે અસમાનતા ગ્રાફ બેથી શરૂ કરીને વધશે.

આમ, સિસ્ટમનો ઉપયોગ તમને જટિલ અંશ અને વિભાજકોના ઉપયોગથી છુટકારો મેળવવાની મંજૂરી આપે છે. બધી ક્રિયાઓ પૂર્ણાંકોના સરળ ગુણાકાર અને શૂન્યને પ્રકાશિત કરવા માટે નીચે આવે છે.

પદ્ધતિની સમજૂતી

હોર્નરની યોજનાના અસ્તિત્વની માન્યતાની પુષ્ટિ ઘણા પરિબળો દ્વારા સમજાવવામાં આવી છે. ચાલો કલ્પના કરીએ કે ત્રીજી ડિગ્રીની બહુપદી છે: x3 + 5x – 3x + 8. આ અભિવ્યક્તિમાંથી, x કૌંસમાંથી બહાર લઈ શકાય છે: x * (x2 + 5x – 3) + 8. પરિણામી સૂત્રમાંથી, x ફરીથી લઈ શકાય છે: x * (x * (x + 5) – 3) + 8 = x * (x* ((x * 1) + 5) – 3) + 8.

આવશ્યકપણે, પરિણામી અભિવ્યક્તિની ગણતરી કરવા માટે, તમે x ના અપેક્ષિત મૂલ્યને પ્રથમ આંતરિક કૌંસમાં બદલી શકો છો અને અગ્રતા અનુસાર બીજગણિત ક્રિયાઓ કરી શકો છો. હકીકતમાં, આ બધી ક્રિયાઓ છે જે હોર્નર પદ્ધતિમાં કરવામાં આવે છે. આ કિસ્સામાં, સંખ્યાઓ 8, -3, 5, 1 એ મૂળ બહુપદીના ગુણાંક છે.

ચાલો ત્યાં બહુપદી P (x) = an * x n + an -1 * x n-1 + 1x1 + a0 = 0. જો આ અભિવ્યક્તિનું ચોક્કસ મૂળ x = x0 હોય, તો તેનો અર્થ એ છે કે પ્રશ્નમાં અભિવ્યક્તિ હોઈ શકે છે. આ રીતે ફરીથી લખાયેલ: P (x) = (x-x0) * Q(x). આ બેઝાઉટના પ્રમેયનું પરિણામ છે. અહીં મહત્વની બાબત એ છે કે બહુપદી Q(x) ની ડિગ્રી P(x) કરતા એક ઓછી હશે. તેથી, તેને નાના સ્વરૂપમાં લખી શકાય છે: P (x) = (x-x0) * (bn-1 * x n-1 + bn-2 * x n-2 + b0) = 0. બે બાંધકામો છે. સમાન રીતે એકબીજાની સમાન.

આનો અર્થ એ છે કે વિચારણા હેઠળના બહુપદીના તમામ ગુણાંક સમાન છે, ખાસ કરીને, (x0)b) = a0. આનો ઉપયોગ કરીને, આપણે દલીલ કરી શકીએ છીએ કે સંખ્યાઓ a0 અને b0 ગમે તે હોય, x એ હંમેશા વિભાજક છે, એટલે કે, a0 હંમેશા બહુપદીના મૂળમાં વિભાજિત કરી શકાય છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, તર્કસંગત ઉકેલો શોધો.

પદ્ધતિ સમજાવતો સામાન્ય કિસ્સો આ હશે: an * x n + an-1 * x n-1 + … + a1x + a0 = x * (an * x n-1 + an-1 * x n-2 + … + a1 ) + a0 = x * (x * (... (an * x + an -1)+ an-2...an-m)+ a0). એટલે કે, આ યોજના બહુપદીની ડિગ્રીને ધ્યાનમાં લીધા વિના કાર્ય કરે છે. તે સાર્વત્રિક છે. તે જ સમયે, તે અપૂર્ણ અને સંપૂર્ણ સમીકરણો બંને માટે યોગ્ય છે. આ એક સાધન છે જે તમને રૂટ માટે x0 તપાસવા દે છે. જો તે ઉકેલ ન હોય, તો અંતે બાકી રહેલી સંખ્યા પ્રશ્નમાં રહેલા બહુપદીના ભાગાકારની બાકીની હશે.

ગણિતમાં, પદ્ધતિ માટે યોગ્ય સંકેત છે: Pn(x) = ∑i = 0naixn−i = a0xn + a1xn ​​− 1 + a2xn − 2 +…+ an − 1x + an. તેમાં, i નું મૂલ્ય શૂન્યથી en માં બદલાય છે, અને બહુપદી પોતે જ દ્વિપદી x – a દ્વારા વિભાજિત થાય છે. આ ક્રિયા કર્યા પછી, એક અભિવ્યક્તિ પ્રાપ્ત થાય છે જેની ડિગ્રી મૂળ કરતાં એક ઓછી છે. બીજા શબ્દોમાં, n – 1 તરીકે વ્યાખ્યાયિત.

ઑનલાઇન કેલ્ક્યુલેટરનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી

બહુપદીની ઉચ્ચ શક્તિઓના મૂળની ગણતરીની ઍક્સેસ પ્રદાન કરતા સંસાધનોનો ઉપયોગ કરવો એકદમ અનુકૂળ છે. આવી સાઇટ્સનો ઉપયોગ કરવા માટે તમારે ગણિત કે પ્રોગ્રામિંગમાં કોઈ વિશેષ જ્ઞાન હોવું જરૂરી નથી. વપરાશકર્તાને ઈન્ટરનેટની ઍક્સેસ અને જાવા સ્ક્રિપ્ટ્સને સપોર્ટ કરતું બ્રાઉઝરની જરૂર છે.

આવી ઘણી ડઝન સાઇટ્સ છે. જો કે, તેમાંના કેટલાક પૂરા પાડવામાં આવેલ ઉકેલ માટે નાણાકીય પુરસ્કાર માંગી શકે છે. જો કે મોટાભાગના સંસાધનો મફત છે અને માત્ર શક્તિ સમીકરણોમાં મૂળની ગણતરી જ નથી કરતા, પણ ટિપ્પણીઓ સાથે વિગતવાર ઉકેલ પણ પ્રદાન કરે છે. વધુમાં, કેલ્ક્યુલેટરના પૃષ્ઠો પર, કોઈપણ વ્યક્તિ પોતાની જાતને સંક્ષિપ્ત સૈદ્ધાંતિક સામગ્રીથી પરિચિત કરી શકે છે અને વિવિધ જટિલતાના ઉદાહરણો ઉકેલવા પર વિચાર કરી શકે છે. તેથી જવાબ ક્યાંથી આવ્યો તે ખ્યાલ વિશેના પ્રશ્નો ઉભા થવા જોઈએ નહીં.

હોર્નરની સ્કીમનો ઉપયોગ કરીને ઓનલાઈન કેલ્ક્યુલેટરના સંપૂર્ણ સેટમાંથી, નીચેના ત્રણને ઓળખી શકાય છે:

• Controlnaya-worka. આ સેવા ઉચ્ચ શાળાના વિદ્યાર્થીઓને ધ્યાનમાં રાખીને બનાવવામાં આવી છે, પરંતુ તેની ક્ષમતાઓમાં તે તદ્દન કાર્યાત્મક છે. તેની સહાયથી, તમે પાલન માટે ખૂબ જ ઝડપથી મૂળ ચકાસી શકો છો.
• નૌચનિસ્ટેટી. એપ્લિકેશન તમને શાબ્દિક બે થી ત્રણ સેકંડમાં હોર્નર પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને મૂળ નક્કી કરવાની મંજૂરી આપે છે. સાઇટ પર તમે બધા જરૂરી સિદ્ધાંત શોધી શકો છો. ગણતરી કરવા માટે, તમારે વેબસાઇટ પર જ દર્શાવેલ ગાણિતિક સૂત્ર દાખલ કરવાના નિયમોથી પોતાને પરિચિત કરવાની જરૂર છે.
• કેલ્ક. આ સાઇટનો ઉપયોગ કરીને, વપરાશકર્તા પ્રાપ્ત કરી શકશે વિગતવાર વર્ણનટેબલ ઇમેજ સાથે ઉકેલો. આ કરવા માટે, તમારે સમીકરણને વિશિષ્ટ સ્વરૂપમાં દાખલ કરવાની જરૂર છે અને "સોલ્યુશન" બટનને ક્લિક કરો.

ગણતરીઓ માટે ઉપયોગમાં લેવાતા પ્રોગ્રામ્સમાં સાહજિક ઇન્ટરફેસ હોય છે અને તેમાં જાહેરાત અથવા દૂષિત કોડ હોતા નથી. આ સંસાધનો પર ઘણી ગણતરીઓ કર્યા પછી, વપરાશકર્તા સ્વતંત્ર રીતે હોર્નરની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને મૂળ નક્કી કરવાનું શીખી શકશે.

તે જ સમયે, ઑનલાઇન કેલ્ક્યુલેટર માત્ર વિદ્યાર્થીઓ માટે જ નહીં, પરંતુ જટિલ ગણતરીઓ કરતા એન્જિનિયરો માટે પણ ઉપયોગી છે. છેવટે, સ્વતંત્ર ગણતરી માટે ધ્યાન અને એકાગ્રતાની જરૂર છે. કોઈપણ નાની ભૂલ આખરે ખોટા જવાબ તરફ દોરી જશે. તે જ સમયે, ઓનલાઈન કેલ્ક્યુલેટરનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરતી વખતે ભૂલો થવી અશક્ય છે.