ચતુર્ભુજ મેટ્રિક સાથે સતત કાર્યોની જગ્યા. અંતર (મેટ્રિક). મેટ્રિક જગ્યા. મેટ્રિક જગ્યાઓમાં સિદ્ધાંત સેટ કરો

1. અલગ બિંદુઓની જગ્યા.

મનસ્વી સમૂહ અને

2. અંતર સાથેની વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો સમૂહ મેટ્રિક જગ્યા બનાવે છે.

3. વાસ્તવિક સંખ્યા c ના ક્રમબદ્ધ જૂથોના સમૂહને પરિમાણીય અંકગણિત યુક્લિડિયન સ્પેસ કહેવામાં આવે છે.

પુરાવો.

સ્પેસ મેટ્રિક છે તે સાબિત કરવા માટે, સ્વયંસિદ્ધોની સંતોષકારકતા તપાસવી જરૂરી છે.

ચાલો , , .

, , …, , એટલે કે .

A3. ચાલો તપાસીએ કે ત્રિકોણ સ્વયંસિદ્ધ ધરાવે છે કે કેમ. ચાલો ફોર્મમાં સ્વયંસિદ્ધ લખીએ:

ધારી રહ્યા છીએ , , આપણે મેળવીએ છીએ અને .

આ અસમાનતાને સાબિત કરવા માટે, કોચી-બુન્યાકોવ્સ્કી અસમાનતાનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે.

ખરેખર,

પરિણામે, ત્રિકોણ સ્વયંસિદ્ધ સંતુષ્ટ છે, અને આપેલ મેટ્રિક સાથે વિચારણા હેઠળનો સમૂહ મેટ્રિક જગ્યા છે.

Q.E.D.

4. સાથે વાસ્તવિક સંખ્યાઓના ક્રમબદ્ધ જૂથોનો સમૂહ. આ મેટ્રિક જગ્યા દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે.

5. સાથે વાસ્તવિક સંખ્યાઓના ક્રમબદ્ધ જૂથોનો સમૂહ. આ મેટ્રિક જગ્યા દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે.

ઉદાહરણો 3, 4 અને 5 દર્શાવે છે કે પોઈન્ટના સમાન સ્ટોકને અલગ અલગ રીતે મીટર કરી શકાય છે.

6. અંતર સાથેના સેગમેન્ટ પર વ્યાખ્યાયિત તમામ સતત વાસ્તવિક કાર્યોનો સમૂહ. આ મેટ્રિક સ્પેસને અવકાશમાં જ પોઈન્ટના સમૂહ તરીકે સૂચવવામાં આવે છે: . ખાસ કરીને, તેઓ તેના બદલે લખે છે.

7. દ્વારા મેટ્રિક સ્પેસ સૂચવે છે, જેના બિંદુઓ વાસ્તવિક સંખ્યાઓના તમામ સંભવિત ક્રમ છે જે સ્થિતિને સંતોષે છે, અને મેટ્રિક સૂત્ર દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.

પુરાવો.

ત્યારથી, તે દરેક માટે અર્થપૂર્ણ છે. તે. શ્રેણી જો અને .

ચાલો આપણે બતાવીએ કે શું ધરીને સંતોષે છે.

સ્વયંસિદ્ધ 1, 2 સ્પષ્ટ છે. ત્રિકોણ સ્વયંસિદ્ધ સ્વરૂપ લેશે:

બધી શ્રેણી સંકલિત છે.

અસમાનતા કોઈપણ માટે સાચી છે (ઉદાહરણ 3 જુઓ). જ્યારે આપણે માટે અસમાનતા મેળવીએ છીએ.

Q.E.D.

8. બધા ફંક્શન્સના સમૂહને ધ્યાનમાં લો જે અંતરાલ પર સતત હોય છે અને . આવી મેટ્રિક જગ્યા સૂચવવામાં આવે છે અને તેને સ્પેસ કહેવામાં આવે છે સતત કાર્યોચતુર્ભુજ મેટ્રિક સાથે.

9. વાસ્તવિક સંખ્યાઓના તમામ બાઉન્ડેડ સિક્વન્સના સમૂહને ધ્યાનમાં લો. ચાલો વ્યાખ્યાયિત કરીએ. આ મેટ્રિક જગ્યા દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે.

10. અંતર સાથે વાસ્તવિક સંખ્યાઓના ક્રમાંકિત જૂથોનો સમૂહ, જ્યાં કોઈપણ નિશ્ચિત સંખ્યા છે, તે મેટ્રિક જગ્યા છે, જે દ્વારા સૂચિત કરવામાં આવે છે.

આ ઉદાહરણમાં ગણવામાં આવેલ મેટ્રિક માટે યુક્લિડિયન મેટ્રિક (ઉદાહરણ 3 જુઓ) અને ઉદાહરણ 4 માટે મેટ્રિકમાં ફેરવાય છે. તે બતાવી શકાય છે કે મેટ્રિક (ઉદાહરણ 5 જુઓ) એ મર્યાદિત કેસ છે.

11. વાસ્તવિક સંખ્યાઓના તમામ સંભવિત અનુક્રમોને ધ્યાનમાં લો જે સ્થિતિને સંતોષે છે, જ્યાં અમુક નિશ્ચિત સંખ્યા છે, અને અંતર સૂત્ર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. અમારી પાસે મેટ્રિક જગ્યા છે.

12. બધા અનંત ક્રમનો સમૂહ બનવા દો - જટિલ સંખ્યાઓ. ચાલો વ્યાખ્યાયિત કરીએ. અમારી પાસે મેટ્રિક જગ્યા છે.

વ્યાખ્યા: ચાલો મેટ્રિક સ્પેસ હોઈએ અને તેનો કોઈપણ સબસેટ હોઈએ. પછી એ જ કાર્ય સાથે, જે હવે માટે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે, તે મેટ્રિક જગ્યા કહેવાય છે સબસ્પેસજગ્યા

મૂળભૂત ખ્યાલો

ચાલો મેટ્રિક સ્પેસ દ્વારા દર્શાવીએ.

વ્યાખ્યા: મેટ્રિક સ્પેસ સાથે જોડાયેલા ક્રમને કહેવામાં આવે છે મૂળભૂત, જો દરેક સંખ્યાને અનુલક્ષે છે જેમ કે અસમાનતા .

વ્યાખ્યા: મેટ્રિક સ્પેસ સાથે જોડાયેલા ક્રમને કહેવામાં આવે છે કન્વર્જન્ટ, જો ત્યાં અસ્તિત્વમાં છે કે દરેક સંખ્યાને અનુલક્ષે છે જેમ કે અસમાનતા બધા માટે ધરાવે છે. પછી તે કહેવાય છે મર્યાદાસિક્વન્સ

પ્રમેય: જો કોઈ ક્રમની મર્યાદા હોય, તો તે અનન્ય છે.

પુરાવો.

ખરેખર, જો અને પછી . ત્યારથી અને, પછી, એટલે કે. .

પ્રમેય સાબિત થયો છે.

વ્યાખ્યા: સંપૂર્ણ મેટ્રિક જગ્યામેટ્રિક સ્પેસ છે જેમાં દરેક મૂળભૂત ક્રમ કન્વર્જ થાય છે.

પ્રમેય: બે દલીલોના કાર્ય તરીકે મેટ્રિક એ સતત કાર્ય છે, એટલે કે. જો અને , પછી .

પુરાવો:

ચાલો , , , .

ત્રિકોણ અસમાનતા દ્વારા:

(1) થી આપણને મળે છે:

(2) થી આપણને મળે છે:

કારણ કે,

ચાલો સૂચિત કરીએ.

IN મેટ્રિક જગ્યાતમે વિવિધ સમૂહો, બિંદુઓના પડોશ, મર્યાદા બિંદુઓ અને શાસ્ત્રીય વિશ્લેષણના અન્ય ખ્યાલોને ધ્યાનમાં લઈ શકો છો.

વ્યાખ્યા: હેઠળ આસપાસનાબિંદુઓનો અર્થ બિંદુ પર કેન્દ્ર સાથે ત્રિજ્યાના ખુલ્લા બોલ ધરાવતો સમૂહ છે, એટલે કે.

વ્યાખ્યા: બિંદુ કહેવાય છે મર્યાદા બિંદુસમૂહ માટે જો કોઈ બિંદુના કોઈપણ પડોશમાં ઓછામાં ઓછું એક બિંદુ હોય, તો તેનાથી અલગ હોય.

વ્યાખ્યા: બિંદુ કહેવાય છે આંતરિક બિંદુસેટ કરો જો તે તેના કેટલાક પડોશ સાથે એકસાથે સમાવવામાં આવેલ છે.

વ્યાખ્યા: સમૂહ કહેવાય છે ખુલ્લું, જો તેમાં ફક્ત આંતરિક બિંદુઓનો સમાવેશ થાય છે. સમૂહ કહેવાય છે બંધજો તે તેના તમામ મર્યાદા બિંદુઓ ધરાવે છે.

મેટ્રિક જગ્યા બંધ છે.

સબસ્પેસ બંધ સબસેટ્સ ન હોઈ શકે.

જો આપણે તેના તમામ મર્યાદા બિંદુઓને ઉમેરીએ, તો આપણને બંધ થાય છે.

વ્યાખ્યા: મેટ્રિક જગ્યામાં પડેલા સમૂહને કહેવામાં આવે છે બંધ, જો તે તેના બંધ સાથે એકરુપ છે: .

બંધ સમૂહ એ સૌથી નાનો બંધ સમૂહ છે.

વ્યાખ્યા: દો . સમૂહ કહેવાય છે ચુસ્તમાં , જો . સમૂહ કહેવાય છે સર્વત્ર ગાઢ, જો . સમૂહ કહેવાય છે માં ક્યાંય ગાઢ નથી, જો બોલ ગમે તે હોય, તો સેટના પોઈન્ટથી મુક્ત બીજો બોલ છે.

વ્યાખ્યા: જગ્યાને અલગ કરી શકાય તેવું કહેવામાં આવે છે જો તેમાં દરેક જગ્યાએ ગાઢ ગણવા યોગ્ય સેટ હોય.

IN ગાણિતિક વિશ્લેષણસંખ્યા રેખાની પૂર્ણતાના ગુણધર્મ દ્વારા મહત્વની ભૂમિકા ભજવવામાં આવે છે, એટલે કે વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો દરેક મૂળભૂત ક્રમ ચોક્કસ મર્યાદા (કોચી કન્વર્જન્સ માપદંડ) સુધી કન્વર્જ થાય છે તે હકીકત.

સંખ્યા રેખા સંપૂર્ણ મેટ્રિક જગ્યાના ઉદાહરણ તરીકે સેવા આપે છે.

અલગ બિંદુઓની જગ્યાઓ, , , , , , છે મેટ્રિક જગ્યાઓ પૂર્ણ કરો.

અવકાશ પૂર્ણ નથી.

વિશ્લેષણ વ્યાપકપણે કહેવાતા ઉપયોગ કરે છે નેસ્ટેડ સેગમેન્ટ્સ પર લેમ્મા :

ચાલો નેસ્ટેડ સેગમેન્ટ્સની સિસ્ટમ બનીએ. પછી સેગમેન્ટ માટે અમારી પાસે છે.

આનો અર્થ એ છે કે સેટમાંથી તમામ સેગમેન્ટ્સ ધરાવે છે સામાન્ય બિંદુ.

મેટ્રિક સ્પેસના સિદ્ધાંતમાં, એમ્બેડેડ બોલ પર પ્રમેય દ્વારા સમાન ભૂમિકા ભજવવામાં આવે છે.

પ્રમેય: મેટ્રિક સ્પેસ પૂર્ણ થવા માટે, તે જરૂરી અને પર્યાપ્ત છે કે તેમાં દડાઓનો દરેક ક્રમ એકબીજામાં જડિત હોય, જેની ત્રિજ્યા , બિન-ખાલી આંતરછેદ હોય.

પુરાવો:

આવશ્યકતા:

એક સંપૂર્ણ મેટ્રિક સ્પેસ બનવા દો અને એકબીજામાં એમ્બેડ કરેલા બંધ દડાઓનો ક્રમ બનવા દો.

ત્રિજ્યા બનવા દો અને બોલનું કેન્દ્ર બનો.

કેન્દ્રોનો ક્રમ મૂળભૂત છે, કારણ કે પર , અને પર . ત્યારથી - પૂર્ણ, પછી. ચાલો પછી મૂકીએ. ખરેખર, બોલમાં પોઈન્ટના સંભવિત અપવાદ સાથે, ક્રમના તમામ બિંદુઓ શામેલ છે. આમ પોઈન્ટ એ દરેક બોલ માટે ટચ પોઈન્ટ (મર્યાદા પોઈન્ટ) છે. પરંતુ ત્યારથી બંધ સમૂહ છે, તો પછી.

પર્યાપ્તતા:

એક મૂળભૂત ક્રમ બનવા દો. ચાલો સાબિત કરીએ કે તેની મર્યાદા છે. મૂળભૂતતાને લીધે, અમે ક્રમમાં એક બિંદુ પસંદ કરી શકીએ છીએ જે બધા માટે છે. ચાલો બિંદુને ત્રિજ્યાના બંધ બોલના કેન્દ્ર તરીકે લઈએ. , એકબીજામાં જડિત, અને બોલ - ત્રિજ્યાના કેટલાક બંધ બોલમાં પૂર્ણતા દ્વારા ચોક્કસ બિંદુ હોય છે

અંગ્રેજી:વિકિપીડિયા સાઇટને વધુ સુરક્ષિત બનાવી રહ્યું છે. તમે જૂના વેબ બ્રાઉઝરનો ઉપયોગ કરી રહ્યાં છો કે જે ભવિષ્યમાં વિકિપીડિયા સાથે કનેક્ટ થઈ શકશે નહીં. કૃપા કરીને તમારું ઉપકરણ અપડેટ કરો અથવા તમારા IT વ્યવસ્થાપકનો સંપર્ક કરો.

中文: 维基百科正在使网站更加安全。长, 更具技术性的更新（仅英语）.

સ્પેનિશ:વિકિપીડિયા está haciendo el sitio más seguro. Usted está utilizando un navegador web viejo que no será capaz de conectarse a Wikipedia en el futuro. વાસ્તવિકતા સુ ડિપોઝિટિવ અથવા સુ એડમિનિસ્ટ્રેડર માહિતીનો સંપર્ક કરો. Más abajo hay una actualización más larga y más técnica en inglés.

ﺎﻠﻋﺮﺒﻳﺓ: ويكيبيديا تسعى لتأمين الموقع أكثر من ذي قبل. أنت تستخدم متصفح وب قديم لن يتمكن من الاتصال بموقع ويكيبيديا في المستقبل. يرجى تحديث جهازك أو الاتصال بغداري تقنية المعلومات الخاص بك. يوجد تحديث فني أطول ومغرق في التقنية باللغة الإنجليزية تاليا.

ફ્રાન્સ: Wikipédia va bientôt augmenter la securité de son site. Vous utilisez actuellement un navigateur web ancien, qui ne pourra plus se connecter à Wikipédia lorsque ce sera fait. Merci de mettre à jour votre appareil ou de contacter votre administrateur informatique à cette fin. Des informations supplementaires plus technics et en anglais sont disponibles ci-dessous.

日本語: ????す るか情報は以下に英語で提供しています.

જર્મન: Wikipedia erhöht die Sicherheit der Webseite. Du benutzt einen alten Webbrowser, der in Zukunft nicht mehr auf Wikipedia zugreifen können wird. Bitte aktualisiere dein Gerät oder sprich deinen IT-Administrator an. Ausführlichere (und technisch detailliertere) Hinweise findest Du unten in englischer Sprache.

ઇટાલિયન: Wikipedia sta rendendo il sito più sicuro. સ્ટે યુસેન્ડો અન બ્રાઉઝર વેબ ચે નોન સારા ઇન ગ્રેડો ડી કોન્નેટરસી એ વિકિપીડિયા ઇન ફ્યુચરો. તરફેણમાં, aggiorna il tuo dispositivo o contatta il tuo amministratore informatico. Più in basso è disponibile un aggiornamento più dettagliato e tecnico in inglese.

મગ્યાર: Biztonságosabb lesz a Wikipédia. A böngésző, amit használsz, nem lesz képes kapcsolódni a jövőben. Használj modernebb szoftvert vagy jelezd a problémát a rendszergazdádnak. Alább olvashatod a részletesebb magyarázatot (angolul).

સ્વેન્સ્કા:વિકિપીડિયા gör sidan mer säker. Du använder en äldre webbläsare som inte kommer att kunna läsa Wikipedia i framtiden. IT-administratör સાથે સંપર્ક કરવા માટે અપડેટ કરો. Det finns en längre och mer teknisk förklaring på engelska längre ned.

हिन्दी: विकिपीडिया साइट को और अधिक सुरक्षित बना रहा है। आप एक पुराने वेब ब्राउज़र का उपयोग कर रहे हैं जो भविष्य में विकिपीडिया से कनेक्ट नहीं हो पाएगा। कृपया अपना डिवाइस अपडेट करें या अपने आईटी व्यवस्थापक से संपर्क करें। नीचे अंग्रेजी में एक लंबा और अधिक तकनीकी अद्यतन है।

અમે અસુરક્ષિત TLS પ્રોટોકોલ સંસ્કરણો, ખાસ કરીને TLSv1.0 અને TLSv1.1 માટેના સમર્થનને દૂર કરી રહ્યા છીએ, જેના પર તમારું બ્રાઉઝર સૉફ્ટવેર અમારી સાઇટ્સ સાથે કનેક્ટ થવા માટે આધાર રાખે છે. આ સામાન્ય રીતે જૂના બ્રાઉઝર અથવા જૂના Android સ્માર્ટફોનને કારણે થાય છે. અથવા તે કોર્પોરેટ અથવા વ્યક્તિગત "વેબ સિક્યુરિટી" સોફ્ટવેરની દખલગીરી હોઈ શકે છે, જે વાસ્તવમાં કનેક્શન સુરક્ષાને ડાઉનગ્રેડ કરે છે.

અમારી સાઇટ્સને ઍક્સેસ કરવા માટે તમારે તમારું વેબ બ્રાઉઝર અપગ્રેડ કરવું પડશે અથવા અન્યથા આ સમસ્યાને ઠીક કરવી પડશે. આ સંદેશ 1 જાન્યુઆરી, 2020 સુધી રહેશે. તે તારીખ પછી, તમારું બ્રાઉઝર અમારા સર્વર સાથે કનેક્શન સ્થાપિત કરી શકશે નહીં.

મોડ્યુલ 2.

લેક્ચર 17. અનેક ચલોનું કાર્ય

કલમ 17.1. n-પરિમાણીય જગ્યા

1. બહુપરીમાણીય જગ્યાઓ

2. અંતરનો ખ્યાલ (મેટ્રિક્સ). મેટ્રિક જગ્યા

3. ક્લસ્ટર વિશ્લેષણના સિદ્ધાંતો

વિભાગ 17.2 બહુવિધ ચલોનું કાર્ય

1. અનેક ચલોનું કાર્ય

2. આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ

3. ડબલ ઇન્ટિગ્રલ

4. ધ્રુવીય કોઓર્ડિનેટ્સ અને યુલર-પોઈસન અભિન્ન

પ્રોગ્રામ જોગવાઈઓ

વ્યાખ્યાનમાં બે કરતા વધુ પરિમાણોની જગ્યાઓ સંબંધિત મુદ્દાઓની ચર્ચા કરવામાં આવી છે: અંતરની વિભાવનાનો પરિચય, ક્લસ્ટર વિશ્લેષણમાં અંતરનો ઉપયોગ, અનેક (અમારા કિસ્સામાં, બે) ચલોનું કાર્ય, આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝનો ઉપયોગ કરીને તેની લાક્ષણિકતા, તેમજ વિસ્તાર અને વોલ્યુમની ગણતરી તરીકે. બે ચલોના કાર્યોની વિભાવનાઓ અને ડબલ અભિન્નસંભાવના સિદ્ધાંતમાં રેન્ડમ વેક્ટરનો અભ્યાસ કરતી વખતે આપણને તેમની જરૂર પડશે. વ્યાખ્યાન સામગ્રી યુલર-પોઇસન ઇન્ટિગ્રલની ગણતરી સાથે સમાપ્ત થાય છે - સંભાવના સિદ્ધાંતમાં મુખ્ય મુદ્દાઓમાંથી એક ( અનિશ્ચિત અભિન્નગૌસિયન ફંક્શનમાંથી અવિભાજ્ય તરીકે વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે, અને એકીકરણ મર્યાદાની હાજરીના કિસ્સામાં, આવા અવિભાજ્યની ગણતરી માટે બિન-સ્પષ્ટ પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરવાની જરૂર છે, જેમાંથી એક અહીં આપવામાં આવી છે).

વ્યાખ્યાન સામગ્રીનો અભ્યાસ કરતા પહેલા, ફંક્શન, ડેરિવેટિવ અને ઇન્ટિગ્રલની વ્યાખ્યાનું પુનરાવર્તન કરો.

સાહિત્ય

બી.પી. ડેમિડોવિચ, વી.એ ઉચ્ચ ગણિત» પ્રકરણ XX (§1, 2.3,10), પ્રકરણ XXIV (§1, 2,3,4,7)

સ્વ-નિયંત્રણ માટે પ્રશ્નો

1. કઈ જગ્યાને n-પરિમાણીય કહેવામાં આવે છે?

2. અંતરે કઈ શરતો સંતોષવી જોઈએ?

3. કઈ જગ્યાને મેટ્રિક કહેવામાં આવે છે?

4. ક્લસ્ટર વિશ્લેષણ શા માટે વપરાય છે?

5. 2 ચલોના કાર્યનો ગ્રાફ શું છે? સ્તર રેખાઓ શું છે?

6. આંશિક વ્યુત્પન્ન શું છે?

7. ડબલ ઇન્ટિગ્રલની વ્યાખ્યા આપો. વિસ્તાર અને વોલ્યુમની ગણતરી કરવા માટે તમે તેનો ઉપયોગ કેવી રીતે કરી શકો?

8. બિંદુઓ A(1,2,3) અને B(5,1,0) વચ્ચેનું અંતર શોધો (વિવિધ અંતરનો ઉપયોગ કરીને)

9. ફંક્શન લેવલ લાઇન શોધો

z = x + y.

10. ફંક્શનના આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ શોધો

11. રેખાઓ દ્વારા બંધાયેલ આકૃતિનો વિસ્તાર શોધો

12. ગણતરી કરો

કલમ 17.1. બહુપરીમાણીય જગ્યાનો ખ્યાલ

વ્યાખ્યા 17.1.1. n-પરિમાણીય જગ્યા.

જો R2 પ્લેન પર નિશ્ચિત છે લંબચોરસ સિસ્ટમકોઓર્ડિનેટ્સ, પછી પ્લેનના બિંદુઓ અને સંખ્યાઓની તમામ સંભવિત જોડી (x, y) (x અને y એ બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ છે) વચ્ચે એક-થી-એક પત્રવ્યવહાર છે. જો અવકાશમાં સમાન સંકલન પ્રણાલી આપવામાં આવે છે, તો અવકાશના બિંદુઓ અને તેમના કોઓર્ડિનેટ્સ વચ્ચે એક-થી-એક પત્રવ્યવહાર પણ છે - તમામ સંભવિત ત્રિપુટીઓ (x, y, z).

અંતર (મેટ્રિક). મેટ્રિક જગ્યા

વ્યાખ્યા 17.1.2

મેટ્રિક જગ્યા ( એમ ,ડી) એ પોઈન્ટ M નો સમૂહ છે, જેના ચોરસ પર (એટલે ​​​​કે, M થી પોઈન્ટની કોઈપણ જોડી માટે) એક અંતર કાર્ય (મેટ્રિક) આપવામાં આવે છે. તે નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે:

કોઈપણ પોઈન્ટ માટે x, y, zથી એમઆ કાર્ય નીચેની શરતોને સંતોષે છે:

આ સ્વયંસિદ્ધ અંતરના સાહજિક ખ્યાલને પ્રતિબિંબિત કરે છે. ઉદાહરણ તરીકે, અંતર બિન-નકારાત્મક હોવું જોઈએ અને તેનાથી અંતર હોવું જોઈએ xથી yમાંથી સમાન yથી x. ત્રિકોણ અસમાનતાનો અર્થ એ છે કે થી જવું xથી zટૂંકા હોઈ શકે છે, અથવા ઓછામાં ઓછું પ્રથમ વોક કરતા વધુ લાંબું હોઈ શકે છે xથી y, અને પછી થી yથી z.

આપણા માટે સૌથી વધુ પરિચિત છે યુક્લિડિયન અંતર. જો કે, તેને સેટ કરવાની આ એકમાત્ર રીતથી દૂર છે. ઉદાહરણ તરીકે, નીચેનું અંતર ઉપરોક્ત સિદ્ધાંતોને સંતોષશે: d(x,y) = 1, જો x ≠ yઅને d(x,y) = 0, જો x = y.

જગ્યાની ચોક્કસ જરૂરિયાતો અથવા ગુણધર્મોના આધારે, વિવિધ મેટ્રિક્સને ધ્યાનમાં લઈ શકાય છે.

ચાલો અંતરના થોડા ઉદાહરણો જોઈએ:

વ્યાખ્યાઓ 17.1.3.

યુક્લિડિયન અંતર.આ અંતરનો સૌથી સામાન્ય પ્રકાર હોવાનું જણાય છે. બહુપરીમાણીય અવકાશમાં તે ખાલી ભૌમિતિક અંતર છે અને તેની ગણતરી નીચે પ્રમાણે કરવામાં આવે છે:

d(x,y) = ( i (x i - y i) 2 ) 1/2

નોંધ કરો કે યુક્લિડિયન અંતર (અને તેનો ચોરસ) મૂળ ડેટા પરથી ગણવામાં આવે છે, પ્રમાણિત ડેટાથી નહીં. તેની ગણતરી કરવાની આ એક સામાન્ય રીત છે, જેના ચોક્કસ ફાયદા છે (ઉદાહરણ તરીકે, જ્યારે વિશ્લેષણમાં નવો ઑબ્જેક્ટ દાખલ કરવામાં આવે ત્યારે બે ઑબ્જેક્ટ વચ્ચેનું અંતર બદલાતું નથી, જે આઉટલાયર હોઈ શકે છે). જો કે, જે અક્ષોમાંથી અંતરની ગણતરી કરવામાં આવે છે તે અક્ષો વચ્ચેના તફાવતો દ્વારા અંતરને મોટા પ્રમાણમાં પ્રભાવિત કરી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો એક અક્ષ સેન્ટીમીટરમાં માપવામાં આવે છે, અને પછી તમે તેને મિલીમીટરમાં રૂપાંતરિત કરો છો (મૂલ્યોને 10 વડે ગુણાકાર કરો), તો કોઓર્ડિનેટ્સમાંથી ગણતરી કરાયેલ અંતિમ યુક્લિડિયન અંતર (અથવા યુક્લિડિયન અંતરનો ચોરસ) મોટા પ્રમાણમાં બદલાશે. , અને પરિણામે, ક્લસ્ટર વિશ્લેષણના પરિણામો અગાઉના પરિણામો કરતા મોટા પ્રમાણમાં અલગ હોઈ શકે છે.

સ્ક્વેર્ડ યુક્લિડિયન અંતર.પ્રમાણભૂત યુક્લિડિયન અંતર વધુ અલગ હોય તેવા પદાર્થોને વધુ વજન આપવા માટે ચોરસ કરવામાં આવે છે. આ અંતરની ગણતરી નીચે પ્રમાણે કરવામાં આવે છે (આ અગાઉના ફકરામાંથી માપનના એકમોના પ્રભાવ વિશેની નોંધ પર પણ લાગુ પડે છે):

d(x,y) = i (x i - y i) 2

શહેર બ્લોક અંતર (મેનહટન અંતર).આ અંતર ફક્ત કોઓર્ડિનેટ્સ પરના તફાવતોની સરેરાશ છે. મોટાભાગના કિસ્સાઓમાં, આ અંતર માપ સામાન્ય યુક્લિડિયન અંતર જેવા જ પરિણામો આપે છે. જો કે, અમે નોંધીએ છીએ કે આ માપ માટે વ્યક્તિગત મોટા તફાવતો (આઉટલિયર્સ) નો પ્રભાવ ઓછો થયો છે (કારણ કે તેઓ વર્ગમાં નથી). મેનહટન અંતરની ગણતરી સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે:

d(x,y) = i |x i - y i |

ચેબીશેવ અંતર.આ અંતર ઉપયોગી થઈ શકે છે જ્યારે કોઈ બે વસ્તુઓને "અલગ" તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવા ઈચ્છે છે, જો તેઓ કોઈપણ એક સંકલનમાં (કોઈપણ એક પરિમાણમાં) અલગ હોય. ચેબીશેવ અંતરની ગણતરી સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે:

d(x,y) = મહત્તમ |x i - y i |

(મહત્તમ એટલે મહત્તમ - તફાવત મોડ્યુલોના તમામ મૂલ્યોમાં સૌથી મોટો)

પાવર અંતર.કેટલીકવાર વ્યક્તિ એક પરિમાણ સાથે સંબંધિત વજનમાં ઉત્તરોત્તર વધારો અથવા ઘટાડો કરવા માંગે છે જેના માટે સંબંધિત વસ્તુઓ ખૂબ જ અલગ હોય છે. આનો ઉપયોગ કરીને પ્રાપ્ત કરી શકાય છે પાવર અંતર. પાવર અંતરની ગણતરી સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે:

d(x,y) = ( i |x i - y i | p) 1/r

જ્યાં આરઅને p-વપરાશકર્તા વ્યાખ્યાયિત પરિમાણો. કેટલાક ઉદાહરણ ગણતરીઓ બતાવી શકે છે કે આ માપ કેવી રીતે "કાર્ય કરે છે". પરિમાણ પીવ્યક્તિગત કોઓર્ડિનેટ્સ, પરિમાણ સાથેના તફાવતોના ધીમે ધીમે વજન માટે જવાબદાર છે આરવસ્તુઓ વચ્ચેના મોટા અંતરને ક્રમશઃ વજન કરવા માટે જવાબદાર. જો બંને પરિમાણો છે આરઅને પી, બે બરાબર છે, તો આ અંતર યુક્લિડિયન અંતર સાથે એકરુપ છે.

મૂળભૂત કાર્યાત્મક જગ્યાઓ

વ્યાખ્યાન 5

પૃથ્થકરણમાં સૌથી મહત્વપૂર્ણ કામગીરીમાંની એક મર્યાદામાં પસાર થવું છે. આ કામગીરી એ હકીકત પર આધારિત છે કે એક બિંદુથી બીજા બિંદુ સુધીનું અંતર સંખ્યા રેખા પર વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે. વિશ્લેષણના ઘણા મૂળભૂત તથ્યો વાસ્તવિક સંખ્યાઓની બીજગણિત પ્રકૃતિ સાથે સંબંધિત નથી (એટલે ​​​​કે, તેઓ એક ક્ષેત્ર બનાવે છે તે હકીકત સાથે), પરંતુ માત્ર અંતરના ખ્યાલ પર આધાર રાખે છે. એક સમૂહ તરીકે વાસ્તવિક સંખ્યાઓના વિચારને સામાન્ય બનાવતા, જેમાં તત્વો વચ્ચેનું અંતર રજૂ કરવામાં આવે છે, આપણે મેટ્રિક સ્પેસની વિભાવના પર આવીએ છીએ - આધુનિક ગણિતની સૌથી મહત્વપૂર્ણ વિભાવનાઓમાંની એક.

વ્યાખ્યા.

મેટ્રિક સ્પેસ એ એક જોડી છે (X, ρ), અમુક સમૂહ (જગ્યા) નો સમાવેશ કરે છે એક્સતત્વો (બિંદુઓ) અને અંતર, એટલે કે, એક-મૂલ્યવાળું, બિન-નકારાત્મક, વાસ્તવિક કાર્ય ρ(x,y), કોઈપણ માટે વ્યાખ્યાયિત xઅને yથી એક્સઅને નીચેના સ્વયંસિદ્ધોને આધીન;

1. ρ(x,y) ≥ 0દરેક માટે x,y,

2. ρ(x,y) = 0પછી અને ત્યારે જ x=y,

3. ρ(x,y) = ρ(y,x)(સપ્રમાણતા સ્વયંસિદ્ધ),

4. ρ(x,z) £ ρ(x,y) + ρ(y,z)(ત્રિકોણ સ્વયંસિદ્ધ).

મેટ્રિક જગ્યા પોતે, એટલે કે જોડી (X, ρ), અમે સામાન્ય રીતે એક અક્ષર દ્વારા સૂચિત કરીશું R = (X, ρ).

એવા કિસ્સાઓમાં કે જ્યાં ગેરસમજણો બાકાત રાખવામાં આવી છે, અમે ઘણીવાર મેટ્રિક જગ્યાને "પોઇન્ટ્સનો સ્ટોક" જેવા જ પ્રતીક સાથે દર્શાવીશું. એક્સ.

ચાલો મેટ્રિક સ્પેસના ઉદાહરણો આપીએ. આમાંની કેટલીક જગ્યાઓ વિશ્લેષણમાં ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ ભૂમિકા ભજવે છે.

1. મનસ્વી સમૂહના ઘટકો માટે સેટિંગ

દેખીતી રીતે, અમે મેટ્રિક જગ્યા મેળવીએ છીએ. તેને અલગ-અલગ બિંદુઓની જગ્યા કહી શકાય.

2. અંતર સાથે વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો સમૂહ

મેટ્રિક જગ્યા બનાવે છે આર 1.

3. ના ઓર્ડર કરેલ જૂથોનો સમૂહ nવાસ્તવિક સંખ્યા x = (x 1, …, x n)અંતર સાથે

કહેવાય છે n-પરિમાણીય અંકગણિત યુક્લિડિયન જગ્યા આર.એન. સ્વયંસિદ્ધ 1) - 3) માટેની માન્યતા આર.એનસ્પષ્ટ ચાલો તે બતાવીએ આર.એનત્રિકોણ સ્વયંસિદ્ધ પણ સંતુષ્ટ છે.

દો x = (x 1 ,…, x n), y = (y 1 ,…, y n),

z = (z 1,…, z n);

પછી ત્રિકોણ સ્વયંસિદ્ધ તરીકે લખવામાં આવે છે

ધારીએ છીએ કે, આપણે મેળવીએ છીએ, અને અસમાનતા (2) સ્વરૂપ લે છે

પરંતુ આ અસમાનતા તરત જ જાણીતી કોચી-બુન્યાકોવ્સ્કી અસમાનતાને અનુસરે છે

ખરેખર, આ અસમાનતાને લીધે આપણી પાસે છે

આમ, અસમાનતા (3), અને તેથી (2), સાબિત થાય છે.

4.માંથી ઓર્ડર કરેલા જૂથોના સમાન સમૂહને ધ્યાનમાં લો nવાસ્તવિક સંખ્યાઓ x = (x 1,…, x n)પરંતુ આપણે તેમાં અંતરને સૂત્ર દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ

અહીં સ્વયંસિદ્ધની માન્યતા સ્પષ્ટ છે.

કાર્ય.સ્વયંસિદ્ધ 4 સાબિત કરો.

ચાલો આ મેટ્રિક સ્પેસને પ્રતીક દ્વારા દર્શાવીએ.

5. ઉદાહરણો 3 અને 4માં આપેલા સમાન સમૂહને ફરીથી લો અને સૂત્ર દ્વારા તેના તત્વો વચ્ચેનું અંતર નક્કી કરો

સ્વયંસિદ્ધ 1) - 3) ની માન્યતા સ્પષ્ટ છે.

કાર્ય.સ્વયંસિદ્ધ 4 સાબિત કરો.

આ જગ્યા, જેને આપણે દ્વારા દર્શાવીએ છીએ, તે યુક્લિડિયન અવકાશ કરતાં વિશ્લેષણના ઘણા પ્રશ્નોમાં ઓછી અનુકૂળ નથી. આર.એન.

છેલ્લા ત્રણ ઉદાહરણો દર્શાવે છે કે કેટલીકવાર મેટ્રિક સ્પેસ માટે અને તેના પોઈન્ટના સમૂહ માટે અલગ-અલગ સંકેતો હોવા ખરેખર મહત્વપૂર્ણ છે, કારણ કે પોઈન્ટના સમાન સ્ટોકને અલગ અલગ રીતે મેટ્રિઝ કરી શકાય છે.

6. ઘણાં સીસેગમેન્ટ પર વ્યાખ્યાયિત તમામ સતત વાસ્તવિક કાર્યો , અંતર સાથે

મેટ્રિક જગ્યા પણ બનાવે છે. સ્વયંસિદ્ધ 1) - 3) સીધા ચકાસવામાં આવે છે.

કાર્ય.સ્વયંસિદ્ધ 4 સાબિત કરો.

આ જગ્યા વિશ્લેષણમાં ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ ભૂમિકા ભજવે છે. આપણે તેને સમાન પ્રતીક વડે દર્શાવીશું સી, જે આ જગ્યાના પોઈન્ટનો સમૂહ છે. ની જગ્યાએ સીઅમે સરળ રીતે લખીશું સાથે.

7. ચાલો દ્વારા સૂચિત કરીએ એલ 2મેટ્રિક સ્પેસ જેના પોઈન્ટ તમામ સંભવિત ક્રમ છે x=(x 1,...,x n,...)સ્થિતિને સંતોષતી વાસ્તવિક સંખ્યાઓ,

અને અંતર સૂત્ર દ્વારા નક્કી થાય છે

પ્રાથમિક અસમાનતામાંથી તે કાર્યને અનુસરે છે ρ(x,y)દરેક વ્યક્તિ માટે અર્થપૂર્ણ બને છે જો કન્વર્ઝ

ચાલો હવે બતાવીએ કે ફંક્શન (8) મેટ્રિક સ્પેસના એક્સિઓમને સંતોષે છે. સ્વયંસિદ્ધ 1) - 3) સ્પષ્ટ છે, અને અહીં ત્રિકોણ સ્વયંસિદ્ધ સ્વરૂપ લે છે

ઉપરોક્ત કારણે, અહીં લખેલી ત્રણ શ્રેણીઓમાંથી દરેક એકરૂપ થાય છે. બીજી બાજુ, દરેક વખતે nઅસમાનતા સાચી છે

(ઉદાહરણ 4 જુઓ). ખાતે મર્યાદા માટે અહીં પસાર n®∞અમે (8) મેળવીએ છીએ, એટલે કે. માં ત્રિકોણ અસમાનતા એલ 2.

8. ઉદાહરણ 6 ની જેમ, અંતરાલ પર સતત તમામ કાર્યોનો સમૂહ ધ્યાનમાં લો , પરંતુ ચાલો અંતરને અલગ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરીએ, એટલે કે, ચાલો મૂકીએ

અમે આવી મેટ્રિક સ્પેસ દર્શાવીશું સી 2અને તેને ચતુર્ભુજ મેટ્રિક સાથે સતત કાર્યોની જગ્યા કહે છે. અહીં મેટ્રિક સ્પેસના તમામ સ્વયંસિદ્ધ છે, અને ત્રિકોણ સ્વયંસિદ્ધ સીધા કોચી-બુન્યાકોવ્સ્કી અસમાનતાના અભિન્ન સ્વરૂપને અનુસરે છે.

9. વાસ્તવિક સંખ્યાઓના તમામ બાઉન્ડેડ સિક્વન્સ x = (x 1 , ..., x n , ...) ના સમૂહને ધ્યાનમાં લો.

અમને મેટ્રિક સ્પેસ મળે છે, જે અમે દર્શાવીએ છીએ m. સ્વયંસિદ્ધની માન્યતા સ્પષ્ટ છે.

10. ના ઓર્ડર કરેલ જૂથોનો સમૂહ nઅંતર સાથે વાસ્તવિક સંખ્યાઓ

જ્યાં આર- કોઈપણ નિશ્ચિત સંખ્યા ≥ 1 , એક મેટ્રિક જગ્યા છે, જેને આપણે દ્વારા દર્શાવીએ છીએ.

ચાલો સ્વયંસિદ્ધ 4 તપાસીએ.

દો x=(x 1 ,…,x n), y=(y 1 ,…,y n), z=(z 1 ,…,z n).

ધારો કે પછી અસમાનતા

જે ન્યાય આપણે સ્થાપિત કરવો જોઈએ તે સ્વરૂપ લેશે

આ કહેવાતી મિન્કોવ્સ્કી અસમાનતા છે. મુ p= 1મિન્કોવ્સ્કીની અસમાનતા સ્પષ્ટ છે (સરવાળાનું મોડ્યુલસ મોડ્યુલીના સરવાળા કરતાં વધી જતું નથી), તેથી અમે ધારીશું કે p > 1.

અસમાનતાનો પુરાવો (13) સાથે p>1કહેવાતી હોલ્ડર અસમાનતા પર આધારિત છે

નંબરો ક્યાં છે p > 1અને q > 1શરત દ્વારા બંધાયેલ

નોંધ કરો કે અસમાનતા (14) સજાતીય છે. આનો અર્થ એ છે કે જો તે કોઈપણ બે વેક્ટર માટે સંતુષ્ટ છે a = (a 1,…, a n),અને b = (b 1,…, b n),પછી તે વેક્ટર માટે પણ ધરાવે છે λaઅને μb, ક્યાં λ અને μ - મનસ્વી સંખ્યાઓ. તેથી, જ્યારે કેસ માટે અસમાનતા (14) સાબિત કરવા માટે તે પૂરતું છે

તેથી, શરત (16) સંતુષ્ટ થવા દો; ચાલો તે સાબિત કરીએ

પ્લેનમાં ધ્યાનમાં લો (ξ,η) સમીકરણ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વળાંક η = ξ p -1 (ξ>0), અથવા, સમીકરણ દ્વારા સમાન શું છે ξ p -1 (η >0)(ફિગ. 1). તે આકૃતિ પરથી સ્પષ્ટ છે કે હકારાત્મક મૂલ્યોની કોઈપણ પસંદગી માટે aઅને bકરશે S 1 + S 2 > ab. ચાલો વિસ્તારની ગણતરી કરીએ એસ 1અને એસ 2:

આમ, સંખ્યાત્મક અસમાનતા સાચી છે

અહીં બદલી રહ્યા છીએ aપર |a k |અને bપર |b k |અને દ્વારા સારાંશ k 1 થી n, અમે (15) અને (16) ને ધ્યાનમાં રાખીને મેળવીએ છીએ,

અસમાનતા (17), અને, પરિણામે, સામાન્ય અસમાનતા (14) સાબિત થઈ છે.

મુ p = 2હોલ્ડરની અસમાનતા (14) કોચી-બુન્યાકોવ્સ્કી અસમાનતા (4) માં ફેરવાય છે.

ચાલો હવે મિન્કોવસ્કીની અસમાનતાના પુરાવા તરફ આગળ વધીએ. આ કરવા માટે, ઓળખને ધ્યાનમાં લો

લેખિત ઓળખમાં બદલવું aપર a kઅને bપર b kઅને દ્વારા સારાંશ kથી 1 થી nઅમે મેળવીએ છીએ

હવે જમણી બાજુની બે રકમોમાંથી દરેક પર હોલ્ડરની અસમાનતા લાગુ કરવી અને તે ધ્યાનમાં લેવું (p - 1)q = p, આપણને x(t) મળે છે, આપણને મળે છે

આમ, તે સાબિત થયું છે કે સૂત્ર (18), જે અંતર નક્કી કરે છે એલ પીખરેખર કોઈને પણ સમજણ પડે છે. તે જ સમયે, અસમાનતા (19) દર્શાવે છે કે માં એલ પીત્રિકોણ સ્વયંસિદ્ધ સંતુષ્ટ છે. બાકીના સ્વયંસિદ્ધ છે.

નીચેની તકનીક અમર્યાદિત સંખ્યામાં વધુ ઉદાહરણો પ્રદાન કરે છે. દો R = (X, ρ)- મેટ્રિક જગ્યા અને એમ- માં કોઈપણ સબસેટ એક્સ. પછી એમસમાન કાર્ય સાથે ρ(x,y), જેને આપણે હવે વ્યાખ્યાયિત ગણીએ છીએ xઅને ખાતેથી એમ, એક મેટ્રિક જગ્યા પણ છે; તેને અવકાશની સબસ્પેસ કહેવામાં આવે છે આર.

મેટ્રિક શું છે? તેનો ઉપયોગ શેના માટે થાય છે? શું તે ભૌતિક ક્ષેત્ર છે?

આપણા સમયમાં મેટ્રિક્સ ગુરુત્વાકર્ષણના સિદ્ધાંત સાથે નિશ્ચિતપણે જોડાયેલા છે, હિલ્બર્ટ અને આઈન્સ્ટાઈનના ગ્રોસમેન સાથેના કાર્યોને આભારી છે. જો કે, તે આના ઘણા સમય પહેલા ગણિતમાં રજૂ કરવામાં આવ્યું હતું. જો હું ભૂલથી ન હોઉં, તો તેનો એક યા બીજી રીતે સ્પષ્ટ રીતે ઉપયોગ કરનાર પ્રથમ લોકોમાં રીમેન અને ગૌસ હતા. પહેલા આપણે ભૂમિતિમાં તેની ભૂમિકાને સમજવાનો પ્રયત્ન કરીશું અને પછી જ આપણે જોઈશું કે કેવી રીતે મેટ્રિક જીટીઆર, સાપેક્ષતાના સામાન્ય સિદ્ધાંતનું મુખ્ય માળખું બન્યું.

આજે મેટ્રિક જગ્યાઓની એકદમ વિગતવાર અને સ્પષ્ટ વ્યાખ્યા છે, તદ્દન સામાન્ય દૃશ્ય:

ગણિતમાં મેટ્રિક સ્પેસ ("મેટ્રિકથી સજ્જ") એક એવી જગ્યા છે જેમાં તેના કોઈપણ બે ક્રમાંકિત બિંદુઓ (એટલે ​​​​કે, તેમાંથી એકને પ્રથમ કહેવામાં આવે છે, અને બીજાને બીજો કહેવામાં આવે છે), વાસ્તવિક સંખ્યા છે એવી રીતે વ્યાખ્યાયિત કરેલ છે કે તે શૂન્યની બરાબર છે, જો અને માત્ર જો , જ્યારે બિંદુઓ એકરૂપ થાય છે, અને "ત્રિકોણ" અસમાનતા સંતુષ્ટ છે - કોઈપણ ત્રણ બિંદુઓ (x,y,z) માટે આ સંખ્યા કોઈપણ જોડી (x,y) છે અન્ય બે જોડી, (x,z) અને (y,z) માટે આ સંખ્યાઓના સરવાળા કરતા બરાબર અથવા ઓછા. તે વ્યાખ્યામાંથી પણ અનુસરે છે કે આ સંખ્યા બિન-નકારાત્મક છે અને જ્યારે જોડીમાં પોઈન્ટનો ક્રમ બદલાય છે ત્યારે તે બદલાતો નથી (મેટ્રિક સપ્રમાણ છે).

હંમેશની જેમ, જલદી કંઈક વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, આ વ્યાખ્યા વિસ્તૃત થાય છે અને નામ અન્ય, સમાન જગ્યાઓ સુધી વિસ્તૃત થાય છે. તેથી તે અહીં છે. ઉદાહરણ તરીકે, સખત રીતે ઔપચારિક રીતે ઉપર આપેલ વ્યાખ્યા અનુસાર મેટ્રિક હશે નહીં, કારણ કે તેમાં, "મેટ્રિક" નંબર, અંતરાલ, બે જુદા જુદા બિંદુઓ માટે શૂન્ય હોઈ શકે છે, અને તેનો વર્ગ નકારાત્મક વાસ્તવિક સંખ્યા પણ હોઈ શકે છે. જો કે, તેઓ મેટ્રિક જગ્યાઓના પરિવારમાં લગભગ શરૂઆતથી જ સમાવિષ્ટ છે વ્યાખ્યામાં અનુરૂપ જરૂરિયાતને દૂર કરીને, વ્યાખ્યાને વિસ્તૃત કરવી.

વધુમાં, મેટ્રિક પણ અવકાશના તમામ બિંદુઓ માટે નહીં, પરંતુ માત્ર અનંત નજીકના (સ્થાનિક રીતે) માટે પણ નક્કી કરી શકાય છે. આવી જગ્યાઓને રીમેનિયન કહેવામાં આવે છે અને રોજિંદા જીવનમાં તેમને મેટ્રિક પણ કહેવામાં આવે છે. વધુમાં, તે રીમેનિયન જગ્યાઓ હતી જેણે મેટ્રિકને એટલું પ્રખ્યાત બનાવ્યું હતું અને ગણિતશાસ્ત્રીઓ અને ભૌતિકશાસ્ત્રીઓ બંનેનું ધ્યાન આકર્ષિત કર્યું હતું, અને આ વિજ્ઞાન સાથે બહુ ઓછું જોડાણ ધરાવતા ઘણા લોકો માટે પણ પરિચિત હતા..

આખરે, અહીં આપણે મેટ્રિકની ચર્ચા ખાસ કરીને રીમેનિયન જગ્યાઓના સંબંધમાં કરીશું, એટલે કે. સ્થાનિક અર્થમાં. અને તે પણ સ્થાનિક રીતે સિગ્નલી અનિશ્ચિત.

ઔપચારિક ગાણિતિક વ્યાખ્યા અને તેના વિસ્તરણ એ મેટ્રિકની વિભાવનાને સમજવા અને સ્પષ્ટતાનું પરિણામ છે. ચાલો જોઈએ કે આ ખ્યાલ ક્યાંથી વધ્યો અને કયા ગુણધર્મો સાથે વાસ્તવિક દુનિયાતે મૂળ રીતે જોડાયેલ હતું.

તમામ ભૂમિતિ તે વિભાવનાઓમાંથી ઉદ્ભવી જે મૂળ યુક્લિડ દ્વારા ઔપચારિક કરવામાં આવી હતી. તેથી મેટ્રિક છે. યુક્લિડિયન ભૂમિતિમાં (સરળતા અને સ્પષ્ટતા માટે, આપણે દ્વિ-પરિમાણીય ભૂમિતિ વિશે વાત કરીશું, અને તેથી પ્લેનની ભૂમિતિ) બે બિંદુઓ વચ્ચેના અંતરનો ખ્યાલ છે. ઘણી વાર, હવે પણ, મેટ્રિકને અંતર કહેવામાં આવે છે. કારણ કે યુક્લિડિયન પ્લેન માટે, અંતર એક મેટ્રિક છે, અને મેટ્રિક અંતર છે. અને આ જ રીતે તે ખૂબ જ શરૂઆતમાં કલ્પના કરવામાં આવી હતી. તેમ છતાં, હું બતાવવાનો પ્રયત્ન કરીશ, માટે આધુનિક ખ્યાલઆ ઘણા રિઝર્વેશન અને શરતો સાથે માત્ર ખૂબ જ મર્યાદિત અર્થમાં મેટ્રિક્સ પર લાગુ થાય છે.

યુક્લિડિયન પ્લેન પરનું અંતર (કાગળના ટુકડા પર) એક અત્યંત સરળ અને સ્પષ્ટ વસ્તુ લાગે છે. ખરેખર, શાસકનો ઉપયોગ કરીને તમે કોઈપણ બે બિંદુઓ વચ્ચે સીધી રેખા દોરી શકો છો અને તેની લંબાઈને માપી શકો છો. પરિણામી સંખ્યા અંતર હશે. ત્રીજા બિંદુને લઈને, તમે ત્રિકોણ દોરી શકો છો અને ખાતરી કરો કે આ અંતર (પ્લેન પરના કોઈપણ બે બિંદુઓ માટે) ઉપરની વ્યાખ્યાને બરાબર સંતોષે છે. વાસ્તવમાં, પ્લેન પર યુક્લિડિયન અંતરના ગુણધર્મોમાંથી વ્યાખ્યા એક-એક-એક નકલ કરવામાં આવી હતી. અને "મેટ્રિક્સ" શબ્દ શરૂઆતમાં માપ સાથે સંકળાયેલ છે (મીટરનો ઉપયોગ કરીને), પ્લેનનું "મેટ્રાઇઝેશન".

પ્લેનનું આ ખૂબ જ માપન કરવા માટે, અંતર માપવા માટે શા માટે જરૂરી હતું? સારું, શા માટે તેઓ અંતર માપે છે? વાસ્તવિક જીવનદરેક વ્યક્તિનો પોતાનો વિચાર કદાચ હોય છે. અને ભૂમિતિમાં તેઓએ ખરેખર આ વિશે વિચારવાનું શરૂ કર્યું જ્યારે તેઓએ પ્લેનના દરેક બિંદુને અન્ય લોકોથી અલગ અને વિશિષ્ટ રીતે વર્ણવવા માટે કોઓર્ડિનેટ્સ રજૂ કર્યા. પ્લેન પરની કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ સ્પષ્ટપણે બે બિંદુઓ વચ્ચેના અંતર કરતાં વધુ જટિલ હશે. અહીં મૂળ, અને સંકલન અક્ષો, અને અંતર (તેમના વિના આપણે કેવી રીતે કરી શકીએ?) મૂળથી ધરી પરના બિંદુના અંદાજો છે. તે સ્પષ્ટ લાગે છે કે કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમની શા માટે જરૂર છે - તે એકબીજાને લંબરૂપ રેખાઓની સતત ગ્રીડ છે (જો કોઓર્ડિનેટ્સ કાર્ટેશિયન હોય તો), પ્લેનને સંપૂર્ણપણે ભરીને અને આમ સમસ્યાનું નિરાકરણતેના પરના કોઈપણ બિંદુના સરનામાં.

તે તારણ આપે છે કે મેટ્રિક અંતર છે અને કોઓર્ડિનેટ્સ અંતર છે. શું કોઈ તફાવત છે? કોઓર્ડિનેટ્સ દાખલ કર્યા. તો પછી મેટ્રિક શા માટે? ત્યાં એક તફાવત છે, અને એક ખૂબ જ નોંધપાત્ર છે. સંકલન પ્રણાલીઓની પસંદગી ચોક્કસ સ્વતંત્રતા સૂચવે છે. IN કાર્ટેશિયન સિસ્ટમ્સઅમે અક્ષ તરીકે સીધી રેખાઓનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. પરંતુ આપણે વણાંકો પણ વાપરી શકીએ? કરી શકે છે. અને તમામ પ્રકારના ટ્વિસ્ટી પણ. શું આપણે આવી રેખાઓ સાથે અંતર માપી શકીએ? ચોક્કસ. રેખા સાથેનું અંતર, લંબાઈ માપવા એ રેખા કયા પ્રકારની છે તેનાથી સંબંધિત નથી. વળાંકવાળા માર્ગની લંબાઈ પણ છે અને તેના પર માઇલપોસ્ટ મૂકી શકાય છે. પરંતુ યુક્લિડિયન અવકાશમાં મેટ્રિક એ મનસ્વી અંતર નથી. આ બે બિંદુઓને જોડતી સીધી રેખાની લંબાઈ છે. પ્રત્યક્ષ. આ શું છે? કઈ રેખા સીધી છે અને કઈ વક્ર છે? શાળાના અભ્યાસક્રમોમાં, સીધી રેખાઓ એક સ્વયંસિદ્ધ છે. અમે તેમને જોઈએ છીએ અને વિચાર મેળવીએ છીએ. પરંતુ સામાન્ય ભૂમિતિમાં, સીધી રેખાઓ (આ પોતે એક નામ છે, એક લેબલ છે, વધુ કંઈ નથી!) બે બિંદુઓને જોડતી તમામ સંભવિત રેખાઓ વચ્ચે કેટલીક વિશિષ્ટ રેખાઓ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. જેમ કે, ટૂંકી તરીકે, સૌથી ટૂંકી લંબાઈ ધરાવે છે. (અને કેટલાક કિસ્સાઓમાં, કેટલીક ગાણિતિક જગ્યાઓ માટે, તેનાથી વિપરીત, સૌથી લાંબી, સૌથી વધુ લંબાઈ ધરાવતી.) એવું લાગે છે કે અમે મેટ્રિક અને બે બિંદુઓ વચ્ચેના મનસ્વી અંતર વચ્ચેના તફાવતને સમજી લીધો છે. એવું નથી. અમે ખોટો રસ્તો અપનાવ્યો. હા, તે સાચું છે, યુક્લિડિયન અવકાશમાં સીધી રેખાઓ સૌથી ટૂંકી છે. પરંતુ મેટ્રિક એ માત્ર ટૂંકા માર્ગની લંબાઈ નથી. ના. આ તેની ગૌણ મિલકત છે. યુક્લિડિયન અવકાશમાં, મેટ્રિક એ માત્ર બે બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર નથી. મેટ્રિક, સૌ પ્રથમ, પાયથાગોરિયન પ્રમેયની છબી છે. એક પ્રમેય જે તમને બે બિંદુઓ વચ્ચેના અંતરની ગણતરી કરવાની પરવાનગી આપે છે જો તમે તેમના કોઓર્ડિનેટ્સ અને અન્ય બે અંતર જાણતા હોવ. તદુપરાંત, તે સંકલન અંતરના વર્ગોના સરવાળાના વર્ગમૂળ તરીકે ખૂબ જ વિશિષ્ટ રીતે ગણવામાં આવે છે. યુક્લિડિયન મેટ્રિક સંકલન અંતરનું રેખીય સ્વરૂપ નથી, પરંતુ એક ચતુર્ભુજ છે!યુક્લિડિયન સમતલના વિશિષ્ટ ગુણધર્મો જ મેટ્રિકના જોડાણને સૌથી ટૂંકા માર્ગો સાથે જોડતા બિંદુઓને ખૂબ સરળ બનાવે છે. અંતર હંમેશા પાથ સાથે વિસ્થાપનના રેખીય કાર્યો છે. મેટ્રિક એ આ વિસ્થાપનનું એક ચતુર્ભુજ કાર્ય છે. અને અહીં એક બિંદુથી વિસ્થાપનના રેખીય કાર્ય તરીકે મેટ્રિક અને સાહજિક રીતે સમજાયેલા અંતર વચ્ચેનો મૂળભૂત તફાવત છે. વધુમાં, સામાન્ય રીતે આપણા માટે, અંતર સીધું જ વિસ્થાપન સાથે સંકળાયેલું છે.

શા માટે, પૃથ્વી પર ચતુર્ભુજ વિસ્થાપન કાર્ય આટલું મહત્વનું કેમ છે? અને શું ખરેખર તેને અંતર કહેવાનો અધિકાર છે દરેક અર્થમાંઆ શબ્દ? અથવા શું આ માત્ર યુક્લિડિયન જગ્યા (સારી રીતે, અથવા યુક્લિડિયનની નજીકની જગ્યાઓના અમુક કુટુંબ)ની ચોક્કસ મિલકત છે?

ચાલો એક નાનું પગલું બાજુએ લઈએ અને માપનના એકમોના ગુણધર્મો વિશે વધુ વિગતવાર વાત કરીએ. ચાલો આપણી જાતને પ્રશ્ન પૂછીએ: કાગળની શીટ પર સંકલન ગ્રીડ લાગુ કરવા માટે શાસકો કેવા હોવા જોઈએ? નક્કર, સખત અને અપરિવર્તનશીલ, તમે કહો છો. અને શા માટે "શાસકો"? એક પર્યાપ્ત છે! સાચું, જો તેને કાગળના પ્લેનમાં ઇચ્છિત તરીકે ફેરવી શકાય અને તેની સાથે ખસેડી શકાય. શું તમે "જો" નોંધ્યું છે? હા, અમારી પાસે પ્લેનના સંબંધમાં આવા શાસકનો ઉપયોગ કરવાની તક છે. શાસક તેના પોતાના પર છે, વિમાન તેના પોતાના પર છે, પરંતુ વિમાન આપણને આપણા શાસકને પોતાની સાથે "જોડવાની" મંજૂરી આપે છે. ગોળાકાર સપાટી વિશે શું? તમે તેને કેવી રીતે લાગુ કરો છો તે મહત્વનું નથી, બધું સપાટીની બહાર ચોંટી જાય છે. હું ફક્ત તેને વાળવા માંગુ છું, તેની કઠિનતા અને કઠોરતા છોડી દઉં છું. ચાલો આ વિચારની પંક્તિ હમણાં માટે છોડી દઈએ. અમને લાઇનમાંથી વધુ શું જોઈએ છે? કઠિનતા અને કઠોરતા વાસ્તવમાં કંઈક બીજું સૂચિત કરે છે, માપ લેતી વખતે આપણા માટે વધુ મહત્વપૂર્ણ - પસંદ કરેલા શાસકની અનિવાર્યતાની બાંયધરી. અમે સમાન સ્કેલથી માપવા માંગીએ છીએ. આ શા માટે જરૂરી છે? કેવી રીતે કેમ ?! પ્લેનમાં દરેક જગ્યાએ માપના પરિણામોની તુલના કરવામાં સમર્થ થવા માટે. ભલે આપણે શાસકને કેવી રીતે ફેરવીએ, ભલે આપણે તેને કેવી રીતે બદલીએ, તેના કેટલાક ગુણધર્મો, લંબાઈ, યથાવત રહેવાની ખાતરી આપવી જોઈએ. લંબાઈ એ શાસક પરના બે બિંદુઓ (સીધી રેખામાં) વચ્ચેનું અંતર છે. મેટ્રિક સાથે ખૂબ સમાન. પરંતુ મેટ્રિક પ્લેનમાં રજૂ કરવામાં આવે છે (અથવા અસ્તિત્વમાં છે), પ્લેન પરના બિંદુઓ માટે, અને શાસકને તેની સાથે શું કરવાનું છે? અને તે હકીકત હોવા છતાં મેટ્રિક ચોક્કસ રીતે અમૂર્ત શાસકની સતત લંબાઈની છબી છે જે તેના તાર્કિક નિષ્કર્ષ પર લેવામાં આવે છે, જે સૌથી બહારના શાસકથી ફાટી જાય છે અને પ્લેનના દરેક બિંદુને સોંપવામાં આવે છે..

જો કે આપણા શાસકો વિમાનમાં જે અંતર માપે છે તેના માટે હંમેશા બાહ્ય પદાર્થો હોય છે, અમે તેમને વિમાનના આંતરિક ભીંગડા તરીકે પણ વિચારીએ છીએ. પરિણામે, અમે બાહ્ય અને આંતરિક બંને શાસકોની સામાન્ય મિલકત વિશે વાત કરી રહ્યા છીએ. અને આ ગુણધર્મ બે મુખ્ય પૈકીની એક છે - તીવ્રતા, જે સ્કેલને માપનનું એકમ બનાવે છે (સ્કેલની બીજી મિલકત દિશા છે). યુક્લિડિયન અવકાશ માટે, આ ગુણધર્મ શાસકની દિશા અને તેની સ્થિતિ (અવકાશમાંના બિંદુથી) સ્વતંત્ર હોય તેવું લાગે છે. આ સ્વતંત્રતા વ્યક્ત કરવાની બે રીત છે. પ્રથમ પદ્ધતિ, વસ્તુઓનો નિષ્ક્રિય દૃષ્ટિકોણ, જથ્થાના અવ્યવસ્થાની વાત કરે છે, અનુમતિપાત્ર કોઓર્ડિનેટ્સની મનસ્વી પસંદગી હેઠળ તેની સમાનતા. બીજી પદ્ધતિ, સક્રિય ત્રાટકશક્તિ, બિંદુથી બિંદુ સુધી સ્પષ્ટ સંક્રમણના પરિણામે અનુવાદ અને પરિભ્રમણ હેઠળના અવ્યવસ્થાની વાત કરે છે. આ પદ્ધતિઓ એકબીજાની સમકક્ષ નથી. પ્રથમ એ વિધાનનું ઔપચારિકીકરણ છે કે આપેલ સ્થાન (બિંદુ) પર જે જથ્થો અસ્તિત્વમાં છે તે દૃષ્ટિકોણને ધ્યાનમાં લીધા વિના સમાન છે. બીજું એ પણ જણાવે છે કે વિવિધ બિંદુઓ પરના જથ્થાના મૂલ્યો સમાન છે. સ્પષ્ટપણે આ એક વધુ મજબૂત નિવેદન છે.

ચાલો હમણાં માટે કોઓર્ડિનેટ્સની મનસ્વી પસંદગી માટે સ્કેલ મૂલ્યના અવ્યવસ્થા પર ધ્યાન આપીએ. અરે! આ કેવી રીતે છે? બિંદુઓને કોઓર્ડિનેટ્સ સોંપવા માટે તમારી પાસે પહેલાથી જ ભીંગડા હોવા જરૂરી છે. તે. આ જ લાઇન. અન્ય કોઓર્ડિનેટ્સ શું છે? અન્ય રેખાઓ? હકીકતમાં, તે બરાબર શું છે! પણ! હકીકત એ છે કે યુક્લિડિયન પ્લેનમાં આપણે આપણા શાસકને આપણે જોઈએ તે બિંદુએ ફેરવી શકીએ છીએ, તે દેખાવ બનાવે છે કે શાસક બદલ્યા વિના કોઓર્ડિનેટ્સ બદલી શકાય છે.તે એક ભ્રમણા છે, પણ આવો સુખદ ભ્રમ! આપણે એનાથી કેટલા ટેવાઈ ગયા છીએ! અમે હંમેશા કહીએ છીએ - એક ફરતી સંકલન સિસ્ટમ. અને આ ભ્રમણા યુક્લિડિયન પ્લેનમાં સ્કેલની ચોક્કસ અનુમાનિત મિલકત પર આધારિત છે - એક બિંદુ પર મનસ્વી પરિભ્રમણ હેઠળ તેની "લંબાઈ" ની અવ્યવસ્થા, એટલે કે. સ્કેલ, દિશાની બીજી મિલકતમાં મનસ્વી ફેરફાર સાથે. અને આ મિલકત યુક્લિડિયન પ્લેનના કોઈપણ બિંદુએ થાય છે. દરેક જગ્યાએ સ્કેલની "લંબાઈ" હોય છે જે સંકલન અક્ષોની દિશાઓની સ્થાનિક પસંદગી પર આધારિત નથી. આ યુક્લિડિયન અવકાશ માટેનું અનુમાન છે. અને આપણે આ લંબાઈ કેવી રીતે નક્કી કરી શકીએ? સંકલન પ્રણાલીમાં જેમાં પસંદ કરેલ સ્કેલ એ એક અક્ષ સાથે માપનનું એકમ છે, અમે તેને ખૂબ જ સરળ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ - આ તે જ એકમ છે. અને કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ (લંબચોરસ) માં, જેમાં પસંદ કરેલ સ્કેલ કોઈપણ અક્ષો સાથે મેળ ખાતો નથી? પાયથાગોરિયન પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને. પ્રમેય પ્રમેય છે, પરંતુ અહીં થોડી છેતરપિંડી છે. વાસ્તવમાં, આ પ્રમેય યુક્લિડ દ્વારા ઘડવામાં આવેલા કેટલાક સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંતોને બદલવું જોઈએ. તેણી તેમની સમકક્ષ છે. અને ભૂમિતિના વધુ સામાન્યીકરણ સાથે (ઉદાહરણ તરીકે, મનસ્વી સપાટીઓ માટે), તેઓ સ્કેલની લંબાઈની ગણતરી કરવાની પદ્ધતિ પર ચોક્કસપણે આધાર રાખે છે. વાસ્તવમાં, આ પદ્ધતિને સ્વયંસિદ્ધ શ્રેણીમાં ઉતારવામાં આવી રહી છે.

ચાલો હવે કંઈક પુનરાવર્તન કરીએ જે ભૂમિતિને નીચે આપે છે, જે આપણને સમતલમાં બિંદુઓને કોઓર્ડિનેટ્સ સોંપવા દે છે.

અમે માપના એકમ, સ્કેલ વિશે વાત કરી રહ્યા છીએ. સ્કેલ કોઈપણ બિંદુએ અસ્તિત્વમાં છે. તેની તીવ્રતા છે - "લંબાઈ" અને દિશા. જ્યારે કોઈ બિંદુ પરની દિશા બદલાય છે ત્યારે લંબાઈ અવિચલ છે (બદલતી નથી). યુક્લિડિયન અવકાશમાં લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ્સમાં, એક બિંદુ પરથી મનસ્વી રીતે નિર્દેશિત સ્કેલની લંબાઈનો ચોરસ અક્ષ પરના તેના અંદાજોના ચોરસના સરવાળા જેટલો હોય છે. આ ભૌમિતિક જથ્થાને વેક્ટર પણ કહેવામાં આવે છે. તેથી સ્કેલ એ વેક્ટર છે. અને વેક્ટરની "લંબાઈ" ને ધોરણ પણ કહેવામાં આવે છે. દંડ. પરંતુ અહીં મેટ્રિક ક્યાં છે? એ મેટ્રિક્સઆ અભિગમ સાથે છે દરેક બિંદુએ કોઈપણ વેક્ટરને ધોરણ સોંપવાની રીત, આધાર, સંદર્ભ બિંદુ બનાવે છે તેવા વેક્ટરની તુલનામાં આ વેક્ટરની મનસ્વી સ્થિતિ માટે આ ધોરણની ગણતરી કરવાની પદ્ધતિ(જે આપેલ બિંદુ પરથી સંકલન અક્ષોની દિશા નિર્ધારિત કરે છે અને વ્યાખ્યા દ્વારા એકમ ધોરણ ધરાવે છે, એટલે કે માપનના એકમો). તે ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે કે આ પદ્ધતિ અવકાશના દરેક બિંદુ માટે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવી છે (પ્લેન ઇન આ કિસ્સામાં). આમ, તે આ જગ્યા અને તેના આંતરિક વેક્ટરનો ગુણધર્મ છે, અને અવકાશની બહારની વસ્તુઓની નહીં.

માફ કરશો, પરંતુ પહેલાથી જ અમે મેટ્રિક જગ્યાઓની વ્યાખ્યા આપી છે. નવી વ્યાખ્યા શા માટે? અને શું તે જૂના સાથે સંમત છે? પણ શા માટે. આ વાસ્તવિક સંખ્યા કેવી રીતે સુયોજિત અને નિર્ધારિત થાય છે તે અમે અહીં દર્શાવ્યું છે. એટલે કે, બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર "લંબાઈ" જેટલું છે, આ બિંદુઓને જોડતા વેક્ટરના ધોરણ (યુક્લિડિયન અવકાશમાં). હકીકત એ છે કે વેક્ટરનું ચોક્કસ ધોરણ છે, તેના પરના દૃષ્ટિકોણથી સ્વતંત્ર (સંદર્ભ બિંદુની પસંદગી) એ વેક્ટરની વ્યાખ્યા છે. સૌથી મહત્વની સ્થિતિ, જે સ્પેસ મેટ્રિક બનાવે છે, તે આવશ્યકતા છે કે આપેલ ધોરણ સાથેના વેક્ટર અવકાશના દરેક બિંદુએ બધી દિશામાં અસ્તિત્વ ધરાવે છે. અને આ વ્યાખ્યા ખૂબ જ શરૂઆતમાં આપેલી વ્યાખ્યા સાથે એકદમ સુસંગત છે. શું કોઈ ચોક્કસ જગ્યા પર મેટ્રિકને અલગ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવું શક્ય છે? સિદ્ધાંતમાં, તે શક્ય છે. અને તે પણ ઘણી રીતે. ફક્ત આ જગ્યાઓના સંપૂર્ણપણે અલગ વર્ગો હશે જેમાં વિશિષ્ટ કેસ તરીકે પણ યુક્લિડિયન અવકાશનો સમાવેશ થતો નથી.

શા માટે યુક્લિડિયન અવકાશ આપણા માટે ખાસ છે? સારું, તે શું છે? પ્રથમ નજરમાં, આપણે જે જગ્યામાં રહીએ છીએ તે જગ્યામાં ચોક્કસપણે આ ગુણધર્મો છે. હા, નજીકથી તપાસ કરવા પર, એવું નથી. પરંતુ "એવું બિલકુલ નથી" અને "એવું બિલકુલ નથી" વચ્ચે તફાવત છે?! જો કે શબ્દોનો સમૂહ સરખો જ લાગે છે. તેથી આપણો અવકાશ-સમય, જો યુક્લિડિયન નહીં, તો ચોક્કસ પરિસ્થિતિઓમાં તેની ખૂબ નજીક હોઈ શકે છે. પરિણામે, આપણે જગ્યાઓના કુટુંબમાંથી પસંદ કરવું જોઈએ જેમાં યુક્લિડિયન અવકાશ અસ્તિત્વમાં છે. તે આપણે કરીએ છીએ. પરંતુ તેમ છતાં, યુક્લિડિયન અવકાશ વિશે શું વિશેષ છે જે તેના મેટ્રિકના ચોક્કસ ગુણધર્મોમાં વ્યક્ત થાય છે? ત્યાં ઘણી બધી મિલકતો છે, તેમાંથી મોટાભાગની ઉપર પહેલેથી જ ઉલ્લેખ કરવામાં આવ્યો છે. હું આ સુવિધાને તદ્દન સઘન બનાવવાનો પ્રયત્ન કરીશ. યુક્લિડિયન જગ્યા એવી છે કે તે ભીંગડા પસંદ કરવાનું શક્ય છે (એટલે ​​​​કે, કોઓર્ડિનેટ્સ દાખલ કરો) જેથી તે લંબચોરસ સંકલન ગ્રીડથી સંપૂર્ણપણે ભરાઈ જાય. કદાચ આ ત્યારે છે જ્યારે અવકાશમાં દરેક બિંદુ પર મેટ્રિક સમાન હોય છે. અનિવાર્યપણે, આનો અર્થ એ છે કે આ માટે જરૂરી ભીંગડા અવકાશમાં દરેક બિંદુએ અસ્તિત્વમાં છે અને તે બધા એક જ એક સમાન છે. સમગ્ર જગ્યા માટે, એક શાસક પર્યાપ્ત છે, જે તેની તીવ્રતા અને તેની દિશા બંને બદલ્યા વિના કોઈપણ બિંદુ (સક્રિય અર્થમાં) પર ખસેડી શકાય છે.

ઉપર મેં પ્રશ્ન પૂછ્યો કે શા માટે મેટ્રિક વિસ્થાપનનું ચતુર્ભુજ કાર્ય છે. તે હાલ માટે અનુત્તર રહે છે. અમે ચોક્કસપણે આ પર ફરીથી આવીશું. હવે ભવિષ્ય માટે તમારા માટે એક નોંધ બનાવો - અમને જરૂરી જગ્યાઓના પરિવારમાં મેટ્રિક એ સંકલન પરિવર્તન હેઠળ જથ્થામાં અવિવર્તી છે. અમે અત્યાર સુધી કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ્સ વિશે વાત કરી છે, પરંતુ હું અહીં તરત જ ભારપૂર્વક કહીશ કે આપેલ જગ્યામાં આપેલ બિંદુ પર અનુમતિપાત્ર એવા કોઈપણ સંકલન પરિવર્તન માટે આ સાચું છે. કોઓર્ડિનેટ ટ્રાન્સફોર્મેશન દરમિયાન એક જથ્થા જે અવિચલ (બદલતી નથી) છે તેનું ભૂમિતિમાં બીજું વિશેષ નામ છે - સ્કેલર. એક જ વસ્તુ માટે કેટલા નામો છે તે જુઓ - અચળ, અપરિવર્તનશીલ, સ્કેલર... કદાચ બીજું કંઈક છે, તે તરત જ ધ્યાનમાં આવતું નથી. આ ખ્યાલના જ મહત્વની વાત કરે છે. તેથી, ચોક્કસ અર્થમાં મેટ્રિક એ સ્કેલર છે. અલબત્ત, ભૂમિતિમાં અન્ય સ્કેલર્સ છે.

શા માટે "ચોક્કસ અર્થમાં"? કારણ કે મેટ્રિકની વિભાવનામાં એક નહીં પણ બે બિંદુઓનો સમાવેશ થાય છે! અને વેક્ટર માત્ર એક બિંદુ સાથે જોડાયેલ (વ્યાખ્યાયિત) છે. તે તારણ આપે છે કે મેં તમને ગેરમાર્ગે દોર્યા છે? ના, મેં ફક્ત તે બધું કહ્યું નથી જે કહેવાની જરૂર છે. પરંતુ તે કહેવું આવશ્યક છે કે મેટ્રિક એ મનસ્વી વેક્ટરનો ધોરણ નથી, પરંતુ મનસ્વી દિશામાં આપેલ બિંદુથી અનંત વિસ્થાપનના વેક્ટરનો જ છે. જ્યારે આ ધોરણ કોઈ બિંદુથી વિસ્થાપનની દિશા પર આધાર રાખતું નથી, તો પછી તેનું સ્કેલર મૂલ્ય ફક્ત આ એક બિંદુની મિલકત તરીકે ગણી શકાય. તે જ સમયે, તે હજુ પણ કોઈપણ અન્ય વેક્ટર માટેના ધોરણની ગણતરી માટેનો નિયમ છે. આની જેમ.

કંઈક ઉમેરાતું નથી... જુદા જુદા વેક્ટર માટે ધોરણો અલગ છે! અને મેટ્રિક સ્કેલર છે, મૂલ્ય સમાન છે. વિરોધાભાસ!

તેમાં કોઈ વિરોધાભાસ નથી. મેં સ્પષ્ટપણે કહ્યું - ગણતરીનો નિયમ. બધા વેક્ટર માટે. અને ચોક્કસ મૂલ્ય પોતે, જેને મેટ્રિક પણ કહેવામાં આવે છે, આ નિયમ અનુસાર માત્ર એક વેક્ટર, વિસ્થાપન માટે ગણતરી કરવામાં આવે છે. આપણી ભાષા સ્વાતંત્ર્ય, અવગણના, સંક્ષેપથી ટેવાયેલી છે... તેથી આપણે માપદંડની ગણતરી કરવા માટે સ્કેલર અને નિયમ બંનેને બોલાવવા ટેવાયેલા છીએ. હકીકતમાં, તે લગભગ સમાન વસ્તુ છે. લગભગ, પરંતુ તદ્દન નહીં. નિયમ અને તેની મદદથી મેળવેલા પરિણામ વચ્ચેનો તફાવત જોવો હજુ પણ મહત્વપૂર્ણ છે. વધુ મહત્વનું શું છે - નિયમ કે પરિણામ? વિચિત્ર રીતે, આ કિસ્સામાં, નિયમ... તેથી, ભૂમિતિ અને ભૌતિકશાસ્ત્રમાં ઘણી વાર, જ્યારે તેઓ મેટ્રિક્સ વિશે વાત કરે છે, ત્યારે તેનો અર્થ નિયમ છે. માત્ર ખૂબ જ હઠીલા ગણિતશાસ્ત્રીઓ પરિણામ વિશે કડક વાત કરવાનું પસંદ કરે છે. અને આના કારણો છે, પરંતુ અન્યત્ર તેમના પર વધુ.

હું એ પણ નોંધવા માંગુ છું કે જ્યારે વિભાવનાઓને આધાર તરીકે લેવામાં આવે છે ત્યારે પ્રસ્તુતિની વધુ સામાન્ય રીતે વેક્ટર જગ્યાઓ, મેટ્રિકને તમામ આધાર અને સંદર્ભ વેક્ટરના સ્કેલર પેરવાઇઝ ઉત્પાદન તરીકે રજૂ કરવામાં આવે છે. આ કિસ્સામાં, વેક્ટર્સનું સ્કેલર ઉત્પાદન અગાઉથી વ્યાખ્યાયિત કરવું આવશ્યક છે. અને મેં અહીં જે માર્ગને અનુસર્યો છે તેના પર, તે અવકાશમાં મેટ્રિક ટેન્સરની હાજરી છે જે આપણને વેક્ટર્સના સ્કેલર ઉત્પાદનને રજૂ કરવા અને વ્યાખ્યાયિત કરવાની મંજૂરી આપે છે. અહીં મેટ્રિક પ્રાથમિક છે, તેની હાજરી અમને બે અલગ-અલગ વેક્ટરને જોડતા અપ્રિય પ્રકાર તરીકે સ્કેલર પ્રોડક્ટ રજૂ કરવાની મંજૂરી આપે છે. જો સમાન વેક્ટર માટે મેટ્રિકનો ઉપયોગ કરીને સ્કેલરની ગણતરી કરવામાં આવે, તો આ ફક્ત તેનો ધોરણ છે. જો આ સ્કેલરની ગણતરી બે અલગ-અલગ વેક્ટર માટે કરવામાં આવે, તો તે તેમની ડોટ પ્રોડક્ટ છે. જો આ પણ અનંત વેક્ટરનો ધોરણ છે, તો પછી તેને આપેલ બિંદુ પર ફક્ત મેટ્રિક કહેવું તદ્દન સ્વીકાર્ય છે.

અને નિયમ તરીકે આપણે મેટ્રિક વિશે શું કહી શકીએ? અહીં આપણે સૂત્રોનો ઉપયોગ કરવો પડશે. અક્ષ નંબર i સાથેના કોઓર્ડિનેટ્સને x i તરીકે દર્શાવવા દો. અને આપેલ બિંદુથી પડોશી એક dx i સુધીનું વિસ્થાપન. મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે કોઓર્ડિનેટ્સ એ વેક્ટર નથી! અને વિસ્થાપન એ માત્ર એક વેક્ટર છે! આવા સંકેતમાં, આપેલ બિંદુ અને પડોશી એક વચ્ચેનું મેટ્રિક "અંતર", પાયથાગોરિયન પ્રમેય અનુસાર, સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરવામાં આવશે.

ds 2 = g ik dx i dx k

અહીં ડાબી બાજુએ બિંદુઓ વચ્ચે મેટ્રિક "અંતર" નો ચોરસ છે, "સંકલન" (એટલે ​​​​કે દરેક વ્યક્તિગત સંકલન રેખા સાથે) અંતર જે વિસ્થાપન વેક્ટર dx i દ્વારા નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવે છે. જમણી બાજુએ સંબંધિત ગુણાંક સાથે વિસ્થાપન વેક્ટરના ઘટકોના તમામ જોડીવાઇઝ ઉત્પાદનોના એકરૂપ સૂચકાંકોનો સરવાળો છે. અને તેમનું કોષ્ટક, ગુણાંકનું મેટ્રિક્સ g ik , જે ગણતરીનો નિયમ સેટ કરે છે મેટ્રિક ધોરણ, મેટ્રિક ટેન્સર કહેવાય છે. અને તે આ ટેન્સર છે જેને મોટાભાગના કિસ્સાઓમાં મેટ્રિક કહેવામાં આવે છે. અહીં "" શબ્દ અત્યંત મહત્વપૂર્ણ છે. અને તેનો અર્થ એ છે કે અન્ય સંકલન પ્રણાલીમાં, ઉપર લખેલ સૂત્ર સમાન હશે, ફક્ત કોષ્ટકમાં અન્ય (સામાન્ય કિસ્સામાં) ગુણાંક હશે, જેની ગણતરી આ દ્વારા સખત રીતે વ્યાખ્યાયિત રીતે કરવામાં આવે છે અને રૂપાંતરણ ગુણાંકનું સંકલન કરે છે. યુક્લિડિયન અવકાશ એ હકીકત દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે કે કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ્સમાં આ ટેન્સરનું સ્વરૂપ અત્યંત સરળ છે અને કોઈપણ કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ્સમાં સમાન છે. મેટ્રિક્સ g ik માં કર્ણ (i=k માટે) પર માત્ર એક જ હોય ​​છે, અને બાકીની સંખ્યાઓ શૂન્ય છે. જો યુક્લિડિયન અવકાશમાં નોન-કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ્સનો ઉપયોગ કરવામાં આવે, તો મેટ્રિક્સ તેમનામાં એટલું સરળ દેખાશે નહીં.

તેથી, અમે એક નિયમ લખ્યો છે જે યુક્લિડિયન અવકાશમાં બે બિંદુઓ વચ્ચે મેટ્રિક "અંતર" નક્કી કરે છે. આ નિયમ બે મનસ્વી રીતે બંધ બિંદુઓ માટે લખાયેલ છે. યુક્લિડિયન અવકાશમાં, એટલે કે. એક જેમાં મેટ્રિક ટેન્સર દરેક બિંદુ પર અમુક સંકલન પ્રણાલીમાં કર્ણ પરના એકમો સાથે વિકર્ણ હોઈ શકે છે, ત્યાં મર્યાદિત અને અનંત વિસ્થાપન વેક્ટર વચ્ચે કોઈ મૂળભૂત તફાવત નથી. પરંતુ અમે રીમેનિયન સ્પેસ (જેમ કે બોલની સપાટી, ઉદાહરણ તરીકે) ના કિસ્સામાં વધુ રસ ધરાવીએ છીએ, જ્યાં આ તફાવત નોંધપાત્ર છે. તેથી, અમે ધારીએ છીએ કે મેટ્રિક ટેન્સર સામાન્ય રીતે ત્રાંસા નથી અને અવકાશમાં એક બિંદુથી બીજા બિંદુ સુધી જાય ત્યારે બદલાય છે. પરંતુ તેની અરજીનું પરિણામ, ds 2, દરેક બિંદુએ વિસ્થાપનની દિશા અને બિંદુની પસંદગીથી સ્વતંત્ર રહે છે. આ એક ખૂબ જ કડક સ્થિતિ છે (યુક્લિડિયન સ્થિતિ કરતાં ઓછી કડક) અને જ્યારે તે પૂર્ણ થાય છે ત્યારે જગ્યાને રીમેનિયન કહેવામાં આવે છે.

તમે નોંધ્યું હશે કે ઘણી વાર હું અવતરણ ચિહ્નોમાં "લંબાઈ" અને અંતર શબ્દો મૂકું છું. આ માટે જ હું આવું કરું છું. પ્લેન અને ત્રિ-પરિમાણીય યુક્લિડિયન અવકાશના કિસ્સામાં, મેટ્રિક "અંતર" અને "લંબાઈ" શાસકો સાથે માપવામાં આવતા સામાન્ય અંતરની બરાબર સમાન દેખાય છે. તદુપરાંત, આ વિભાવનાઓ માપન પરિણામો સાથે કાર્યને ઔપચારિક બનાવવા માટે રજૂ કરવામાં આવી હતી. તો પછી શા માટે "સંયોગ લાગે છે"? તે રમુજી છે, પરંતુ આ બરાબર તે જ કેસ છે જ્યારે ગણિતશાસ્ત્રીઓ, ગંદા (તેમની જરૂર નથી) પાણી સાથે, બાળકને સ્નાનમાંથી બહાર ફેંકી દે છે. ના, તેઓએ કંઈક છોડી દીધું, પરંતુ જે બાકી હતું તે બાળક (અંતર) બનવાનું બંધ કર્યું. ઉદાહરણ તરીકે યુક્લિડિયન પ્લેનનો ઉપયોગ કરીને પણ આ જોવાનું સરળ છે.

ચાલો હું તમને યાદ અપાવી દઉં કે મેટ્રિક "અંતર" કાગળની શીટ પર કાર્ટેશિયન (અને માત્ર નહીં) કોઓર્ડિનેટ્સની પસંદગી પર આધારિત નથી. કેટલાક કોઓર્ડિનેટ્સમાં કોઓર્ડિનેટ અક્ષ પરના બે બિંદુઓ વચ્ચેનું આ અંતર 10 જેટલું છે. શું તે અન્ય કોઓર્ડિનેટ્સ સૂચવવાનું શક્ય છે જેમાં આ સમાન બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર 1 જેટલું હશે? કોઈ સમસ્યા નથી. ફક્ત સમાન અક્ષો સાથે એક એકમ તરીકે 10 અગાઉના એકના સમાન નવા એકમ તરીકે પ્લોટ કરો. શું આ કારણે યુક્લિડિયન અવકાશ બદલાઈ ગયો છે? શું વાત છે? પરંતુ હકીકત એ છે કે જ્યારે આપણે કોઈ વસ્તુને માપીએ છીએ, ત્યારે તે સંખ્યા જાણવા માટે આપણા માટે પૂરતું નથી. આપણે એ પણ જાણવાની જરૂર છે કે આ નંબર મેળવવા માટે કયા એકમોનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો હતો. આજે દરેકને પરિચિત સ્વરૂપમાં ગણિતને આમાં રસ નથી. તેણી ફક્ત સંખ્યાઓ સાથે વ્યવહાર કરે છે. માપનના એકમોની પસંદગી ગણિત લાગુ કરતાં પહેલાં કરવામાં આવી હતી અને ફરીથી બદલવી જોઈએ નહીં!પરંતુ ભીંગડા સૂચવ્યા વિના આપણું અંતર અને લંબાઈ આપણને કશું કહેતી નથી! ગણિતને વાંધો નથી. જ્યારે મેટ્રિક "અંતર" ની વાત આવે છે, ત્યારે તેની ઔપચારિક એપ્લિકેશન સ્કેલની પસંદગી પ્રત્યે ઉદાસીન છે. મીટર પણ, ફેથમ્સ પણ. માત્ર સંખ્યાઓ જ મહત્વ ધરાવે છે. તેથી જ મેં અવતરણ ચિહ્નો મૂક્યા છે. શું તમે જાણો છો કે કઈ? આડ અસરરીમેનિયન સ્પેસના ગણિતમાં આવો અભિગમ છે? તે શું છે તે અહીં છે. બિંદુથી બિંદુ સુધીના સ્કેલમાં ફેરફારને ધ્યાનમાં લેવાનો કોઈ અર્થ નથી. માત્ર તેની દિશામાં ફેરફાર. અને આ એ હકીકત હોવા છતાં કે આવા ભૂમિતિમાં સંકલન પરિવર્તનનો ઉપયોગ કરીને ભીંગડા બદલવા એ એકદમ સામાન્ય બાબત છે. શું ભૂમિતિમાં ભીંગડાના ગુણધર્મોને તેમની સંપૂર્ણતામાં સતત ધ્યાનમાં લેવાનું શક્ય છે?કરી શકે છે. માત્ર આ કરવા માટે, તમારે ઘણા સંમેલનો દૂર કરવા પડશે અને વસ્તુઓને તેમના યોગ્ય નામથી બોલાવવાનું શીખવું પડશે.પ્રથમ પગલાંઓમાંનું એક એ હકીકતને સમજવાનું છે કે કોઈપણ મેટ્રિક આવશ્યકપણે અંતર નથી અને હોઈ શકતું નથી. તેણી પાસે ચોક્કસપણે કેટલાક છે ભૌતિક અર્થ, અને તે એક ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે. પરંતુ અલગ.

ભૌતિકશાસ્ત્રમાં, સાપેક્ષતાના સિદ્ધાંતોના આગમન સાથે મેટ્રિક્સની ભૂમિકા પર ધ્યાન દોરવામાં આવ્યું હતું - પ્રથમ વિશેષ, પછી સામાન્ય, જેમાં મેટ્રિક સિદ્ધાંતનું કેન્દ્રિય માળખું બન્યું. સાપેક્ષતાના વિશેષ સિદ્ધાંતની રચના એ હકીકતના આધારે કરવામાં આવી હતી કે ત્રિ-પરિમાણીય અંતર એ એકબીજાની સાપેક્ષ રીતે એકસરખી અને સચોટ રીતે આગળ વધતા જડતા ભૌતિક સંદર્ભ પ્રણાલીઓના સમૂહના દૃષ્ટિકોણથી એક સ્કેલર નથી. અન્ય જથ્થો એક સ્કેલર, એક અપરિવર્તક બન્યો, જેને અંતરાલ કહેવામાં આવે છે. ઘટનાઓ વચ્ચે અંતરાલ. અને તેના મૂલ્યની ગણતરી કરવા માટે, તમારે આ ઇવેન્ટ્સ વચ્ચેના સમય અંતરાલને ધ્યાનમાં લેવાની જરૂર છે. તદુપરાંત, તે બહાર આવ્યું છે કે મેટ્રિકની ગણતરી કરવાનો નિયમ (અને અંતરાલને તરત જ એકીકૃત અવકાશ-સમય, ઘટનાઓની અવકાશમાં મેટ્રિક તરીકે ગણવામાં આવે છે) સામાન્ય યુક્લિડિયન કરતાં અલગ છે. ત્રિ-પરિમાણીય જગ્યા. સમાન, પરંતુ થોડી અલગ. ચાર પરિમાણોની અનુરૂપ મેટ્રિક જગ્યા રજૂ કરી હર્મન મિન્કોવસ્કી, કહેવા લાગ્યા. તે મિન્કોવસ્કીનું કાર્ય હતું જેણે આઈન્સ્ટાઈન સહિતના ભૌતિકશાસ્ત્રીઓનું ધ્યાન ભૌતિક જથ્થા તરીકે મેટ્રિકની વિભાવનાના મહત્વ તરફ દોર્યું હતું, અને માત્ર એક ગાણિતિક જ નહીં.

સાપેક્ષતાના સામાન્ય સિદ્ધાંતમાં ભૌતિક સંદર્ભ પ્રણાલીઓને પણ ધ્યાનમાં લેવામાં આવી છે જે એકબીજાની તુલનામાં વેગ આપે છે. અને આ રીતે, તે ન્યૂટનના સિદ્ધાંતના સંબંધમાં નવા સ્તરે ગુરુત્વાકર્ષણની ઘટનાનું વર્ણન આપવા સક્ષમ હતી. અને તે ભૌતિક ક્ષેત્રને ખાસ કરીને મેટ્રિકને અર્થ આપીને આ હાંસલ કરવામાં સક્ષમ હતી - મૂલ્ય અને નિયમ બંને, મેટ્રિક ટેન્સર. તે જ સમયે, તે જગ્યા-સમયની છબી તરીકે રીમેનિયન સ્પેસના ગાણિતિક બાંધકામનો ઉપયોગ કરે છે. અમે આ સિદ્ધાંતની વિગતોમાં વધુ દૂર જઈશું નહીં. અન્ય બાબતોમાં, આ સિદ્ધાંત જણાવે છે કે વિશ્વ (અવકાશ-સમય), જેમાં વિશાળ સંસ્થાઓ છે, એટલે કે, એકબીજાને આકર્ષિત કરતી સંસ્થાઓ, એક મેટ્રિક ધરાવે છે જે યુક્લિડિયન મેટ્રિકથી અલગ છે જે આપણા માટે ખૂબ જ સુખદ છે. નીચેના તમામ નિવેદનો સમાન છે:

ભૌતિક નિવેદન. સમૂહ સાથેના પોઈન્ટ બોડી એકબીજા તરફ આકર્ષાય છે.

અવકાશ-સમયમાં, જેમાં વિશાળ સંસ્થાઓ હોય છે, દરેક જગ્યાએ સખત લંબચોરસ ગ્રીડ રજૂ કરવી અશક્ય છે. ત્યાં કોઈ માપન સાધનો નથી જે આને કરવાની મંજૂરી આપે છે. હંમેશા, ભલે ગમે તેટલા નાના હોય, પરિણામી ગ્રીડના "કોષો" વક્ર ચતુષ્કોણ હશે.

તમે સમગ્ર અવકાશ-સમય માટે સમાન મૂલ્ય (ધોરણ) સાથે સ્કેલ પસંદ કરી શકો છો. આવા કોઈપણ સ્કેલને તેના બિંદુથી અન્ય કોઈપણ બિંદુ પર ખસેડી શકાય છે અને ત્યાં પહેલાથી અસ્તિત્વમાં છે તેની સાથે સરખામણી કરી શકાય છે. પરંતુ! જો વિસ્થાપન અમર્યાદિત હોય, તો પણ તુલનાત્મક ભીંગડાની દિશાઓ સામાન્ય રીતે એકરૂપ થશે નહીં. દળ સાથેના શરીરની નજીક સ્કેલ જેટલું મજબૂત છે અને આ જ સમૂહ તેટલો મોટો છે. માત્ર જ્યાં સમૂહ નથી (જોકે, અહીં તમારા માટે એક પ્રશ્ન છે - ભીંગડા વિશે શું?) દિશાઓ એકરૂપ થશે.

વિશાળ શરીર ધરાવતા અવકાશ-સમયના પ્રદેશમાં, એવી કોઈ સંકલન પ્રણાલી નથી કે જેમાં દરેક બિંદુ પરના મેટ્રિક ટેન્સરને મેટ્રિક્સ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે જે કર્ણ જ્યાં સ્થિત હોય તે સિવાય દરેક જગ્યાએ શૂન્ય હોય.

મેટ્રિક અને યુક્લિડિયન વચ્ચેનો તફાવત એ ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર (ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર) ની હાજરીનું અભિવ્યક્તિ છે. વધુમાં, મેટ્રિક ટેન્સરનું ક્ષેત્ર ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર છે.

બીજા ઘણા સમાન નિવેદનો ટાંકવામાં આવી શકે છે, પરંતુ હવે હું છેલ્લા એક તરફ તમારું ધ્યાન દોરવા માંગુ છું. વક્રતા. આ એવી વસ્તુ છે જેની અમે હજુ સુધી ચર્ચા કરી નથી. તેનો મેટ્રિક્સ સાથે શું સંબંધ છે? મોટાભાગે - કોઈ નહીં! મેટ્રિક કરતાં વધુ સામાન્ય ખ્યાલ છે. કયા અર્થમાં?

રીમેનિયન જગ્યાઓનું કુટુંબ, જેમાં યુક્લિડિયન જગ્યાઓ પણ શામેલ છે, તે પોતે વધુ સામાન્ય કુટુંબનો ભાગ છે. આ જગ્યાઓ, સામાન્ય રીતે કહીએ તો, પોઈન્ટની દરેક જોડી માટે મેટ્રિક તરીકે આવા જથ્થાના અસ્તિત્વને સૂચિત કરતી નથી. પરંતુ તેમની આવશ્યક મિલકત એ એકબીજા સાથે સંબંધિત બે અન્ય રચનાઓનું અસ્તિત્વ છે - affine જોડાણ અને વક્રતા. અને માત્ર વક્રતા (અથવા કનેક્ટિવિટી) પર અમુક શરતો હેઠળ આવી જગ્યાઓમાં મેટ્રિક અસ્તિત્વમાં છે. પછી આ જગ્યાઓને રીમેનિયન કહેવામાં આવે છે. કોઈપણ રીમેનિયન જગ્યા કનેક્ટિવિટી અને વક્રતા ધરાવે છે. પરંતુ બીજી રીતે નહીં.

પરંતુ એવું પણ કહી શકાય નહીં કે મેટ્રિક કનેક્ટિવિટી અથવા વક્રતા માટે ગૌણ છે. ના. મેટ્રિકનું અસ્તિત્વ એ જોડાણના ચોક્કસ ગુણધર્મોનું નિવેદન છે, અને તેથી વક્રતા. સામાન્ય સાપેક્ષતાના પ્રમાણભૂત અર્થઘટનમાં, મેટ્રિકને વધુ મહત્વપૂર્ણ માળખું માનવામાં આવે છે જે સિદ્ધાંતનું સ્વરૂપ બનાવે છે. અને અફિન કનેક્શન અને વક્રતા મેટ્રિકમાંથી મેળવેલ ગૌણ છે. આ અર્થઘટન આઈન્સ્ટાઈન દ્વારા નક્કી કરવામાં આવ્યું હતું, તે સમયે જ્યારે ગણિતમાં યુક્લિડિયન લોકો તરફ દોરી જતી જગ્યાઓના પરિવારના ગુણધર્મોને નિર્ધારિત કરતી રચનાઓના મહત્વના વંશવેલાની પૂરતી અદ્યતન અને સુસંગત સમજ હજી વિકસિત થઈ ન હતી. જીટીઆર ઉપકરણની રચના પછી, મુખ્યત્વે વેઇલ અને શાઉટેનના કાર્યો દ્વારા (અલબત્ત તેઓ એકલા નહીં), એફિન કનેક્શનની જગ્યાઓનું ગણિત વિકસાવવામાં આવ્યું હતું. ખરેખર, આ કાર્ય સામાન્ય સાપેક્ષતાના ઉદભવ દ્વારા ઉત્તેજિત થયું હતું. જેમ તમે જોઈ શકો છો, સામાન્ય સાપેક્ષતામાં માળખાના મહત્વનું પ્રામાણિક અર્થઘટન તેમના સંબંધો પરના ગણિતના વર્તમાન દૃષ્ટિકોણ સાથે મેળ ખાતું નથી. આ પ્રામાણિક અર્થઘટન ભૌતિક ક્ષેત્રો સાથે ચોક્કસ ગાણિતિક બંધારણોની ઓળખ કરતાં વધુ કંઈ નથી. તેમને ભૌતિક અર્થ આપવો.

સામાન્ય સાપેક્ષતામાં અવકાશ-સમયનું વર્ણન કરવા માટે બે યોજનાઓ છે. તેમાંથી પ્રથમ ઘટનાની જગ્યા તરીકે સ્પેસ-ટાઇમ છે. અવકાશ-સમયના કોઈપણ ક્ષેત્રને સતત ભરતી ઘટનાઓ ચાર કોઓર્ડિનેટ્સનો ઉપયોગ કરીને દર્શાવવામાં આવે છે. તેથી, કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ્સ દાખલ કરવામાં આવી હોવાનું માનવામાં આવે છે. સિદ્ધાંતનું ખૂબ જ નામ આના પર ચોક્કસ ધ્યાન કેન્દ્રિત કરે છે - આવા અવકાશ-સમયમાં થતા પ્રકૃતિના નિયમો કોઈપણ સ્વીકાર્ય સંકલન પ્રણાલીના સંદર્ભમાં સમાન રીતે ઘડાયેલા હોવા જોઈએ. આ જરૂરિયાતને સામાન્ય સાપેક્ષતાનો સિદ્ધાંત કહેવામાં આવે છે. નોંધ કરો કે સિદ્ધાંતની આ યોજના હજુ સુધી અવકાશ-સમયમાં મેટ્રિકની હાજરી અથવા ગેરહાજરી વિશે કશું કહેતી નથી, પરંતુ તે પહેલાથી જ તેમાં અફિન જોડાણના અસ્તિત્વ માટેનો આધાર પૂરો પાડે છે (વક્રતા અને અન્ય મેળવેલા ગાણિતિક બંધારણો સાથે). સ્વાભાવિક રીતે, આ સ્તરે પહેલેથી જ સિદ્ધાંતના ગાણિતિક પદાર્થોને ભૌતિક અર્થ આપવાની જરૂર છે. અહીં તે છે. અવકાશ-સમયમાં એક બિંદુ એક ઘટના દર્શાવે છે, જે એક તરફ સ્થિતિ અને સમયની ક્ષણ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે, બીજી તરફ ચાર કોઓર્ડિનેટ્સ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે. કંઈ વિચિત્ર? તેઓ એક જ વસ્તુ નથી? પણ ના. સામાન્ય સાપેક્ષતામાં તે સમાન વસ્તુ નથી. સૌથી સામાન્ય સ્વરૂપના કોઓર્ડિનેટ્સ, સિદ્ધાંતમાં સ્વીકાર્ય, સ્થિતિ અને સમયની ક્ષણો તરીકે અર્થઘટન કરી શકાતા નથી. આ સંભાવના માત્ર કોઓર્ડિનેટ્સના ખૂબ જ મર્યાદિત જૂથ માટે નક્કી કરવામાં આવે છે - સ્થાનિક રીતે જડતા, જે ફક્ત દરેક બિંદુની નજીકમાં જ અસ્તિત્વ ધરાવે છે, પરંતુ સામાન્ય સંકલન પ્રણાલી દ્વારા આવરી લેવામાં આવેલા સમગ્ર પ્રદેશમાં નથી. આ સિદ્ધાંતની બીજી ધારણા છે. આ આવા વર્ણસંકર છે. હું નોંધ કરીશ કે આ તે છે જ્યાં સામાન્ય સાપેક્ષતાની ઘણી સમસ્યાઓ ઊભી થાય છે, પરંતુ હું હવે તેનો સામનો કરીશ નહીં.

સિદ્ધાંતની બીજી યોજના તેના અનુમાનનો તે ભાગ ગણી શકાય, જે અવકાશ-સમયમાં ભૌતિક ઘટના - ગુરુત્વાકર્ષણ, વિશાળ શરીરના પરસ્પર આકર્ષણને ધ્યાનમાં લઈને પરિચય આપે છે. એવી દલીલ કરવામાં આવે છે કે આ ભૌતિક ઘટના ચોક્કસ પરિસ્થિતિઓમાં, યોગ્ય સંદર્ભ ફ્રેમની સરળ પસંદગી દ્વારા નાશ પામી શકે છે, એટલે કે, સ્થાનિક રીતે જડતી. દૂરના વિશાળ શરીરના ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રના નાના ક્ષેત્રમાં હાજરીને કારણે સમાન પ્રવેગક (ફ્રી ફોલ) ધરાવતા તમામ સંસ્થાઓ માટે, આ ક્ષેત્ર ચોક્કસ સંદર્ભ ફ્રેમમાં અવલોકનક્ષમ નથી. ઔપચારિક રીતે, પોસ્ટ્યુલેટ્સ ત્યાં સમાપ્ત થાય છે, પરંતુ વાસ્તવમાં સિદ્ધાંતનું મુખ્ય સમીકરણ, જે મેટ્રિકને ધ્યાનમાં રાખીને રજૂ કરે છે, તે ગાણિતિક વિધાન અને ભૌતિક નિવેદન તરીકે પણ પોસ્ટ્યુલેટ્સનો સંદર્ભ આપે છે. જ્યારે હું સમીકરણ (ખરેખર સમીકરણોની સિસ્ટમ) વિશે વિગતમાં જવાનો નથી, તો પણ તે તમારી સામે રાખવું ઉપયોગી છે:

R ik = -с (T ik – 1/2 T g ik)

અહીં ડાબી બાજુએ કહેવાતા રિક્કી ટેન્સર છે, સંપૂર્ણ વક્રતા ટેન્સરનું ચોક્કસ કન્વોલ્યુશન (ઘટક ઘટકોનું સંયોજન). તેને યોગ્ય રીતે વક્રતા પણ કહી શકાય. જમણી બાજુએ એનર્જી-મોમેન્ટમ ટેન્સરનું બાંધકામ છે (સામાન્ય સાપેક્ષતામાં એક સંપૂર્ણ ભૌતિક જથ્થો, વિશાળ શરીર માટે એકવચન અને અવકાશ-સમય માટે બાહ્ય, જે આ સિદ્ધાંતમાં ઊર્જા-વેગ માટેનું વાહક છે) અને એક મેટ્રિક, જે અસ્તિત્વમાં હોવાનું માનવામાં આવે છે. વધુમાં, આ મેટ્રિક, મેટ્રિક ટેન્સર દ્વારા ઉત્પાદિત સ્કેલર જથ્થા તરીકે, પ્રદેશના તમામ બિંદુઓ માટે સમાન છે. ગુરુત્વાકર્ષણ સ્થિરાંકના પ્રમાણસર, એક પરિમાણીય સ્થિરાંક c પણ છે. આ સમીકરણ પરથી તે સ્પષ્ટ છે કે, મોટા ભાગે, વક્રતાને ઊર્જા-વેગ અને મેટ્રિક સાથે સરખાવવામાં આવે છે. આ સમીકરણોનો ઉકેલ મેળવ્યા પછી ભૌતિક અર્થ સામાન્ય સાપેક્ષતામાં મેટ્રિકને સોંપવામાં આવે છે. આ સોલ્યુશનમાં મેટ્રિક ગુણાંક રેખીય રીતે ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રની સંભવિતતા સાથે સંબંધિત હોવાથી (તેના દ્વારા ગણતરી કરવામાં આવે છે), આ ક્ષેત્રની સંભવિતતાઓનો અર્થ મેટ્રિક ટેન્સરને સોંપવામાં આવે છે. આ અભિગમ સાથે, વક્રતાનો સમાન અર્થ હોવો જોઈએ. અને affine કનેક્શનને ફીલ્ડ સ્ટ્રેન્થ તરીકે અર્થઘટન કરવામાં આવે છે. આ અર્થઘટન ખોટું છે; તેની ભ્રમણા કોઓર્ડિનેટ્સના અર્થઘટનમાં ઉપર દર્શાવેલ વિરોધાભાસ સાથે સંકળાયેલી છે. સ્વાભાવિક રીતે, આ સિદ્ધાંત માટે કોઈનું ધ્યાન જતું નથી અને ઘણી જાણીતી સમસ્યાઓ (ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રની ઊર્જાની બિન-સ્થાનિકતા, એકલતાનું અર્થઘટન) માં પોતાને પ્રગટ કરે છે, જે ભૌમિતિક જથ્થાને યોગ્ય ભૌતિક આપતી વખતે ઉદ્ભવતી નથી. અર્થ "" પુસ્તકમાં આ બધાની વધુ વિગતવાર ચર્ચા કરવામાં આવી છે.

જો કે, સામાન્ય સાપેક્ષતામાં પણ, મેટ્રિક અનિવાર્યપણે, તેના પર કૃત્રિમ રીતે લાદવામાં આવેલા અર્થ ઉપરાંત, અન્ય ભૌતિક અર્થ ધરાવે છે. ચાલો યાદ કરીએ કે યુક્લિડિયન અવકાશના કિસ્સામાં મેટ્રિકનું શું લક્ષણ છે? અવકાશ-સમયમાં માપન માટે એક ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ બાબત એ છે કે આ જગ્યામાં એક સખત લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ ગ્રીડ રજૂ કરવાની ક્ષમતા છે જે સમગ્ર વિસ્તારને એકસરખી રીતે ભરી દે છે. આ ગ્રીડને ભૌતિકશાસ્ત્રમાં ઇનર્શિયલ રેફરન્સ ફ્રેમ કહેવામાં આવે છે. આવી સંદર્ભ સિસ્ટમ (સંકલન સિસ્ટમ) મેટ્રિક ટેન્સરના એક અને માત્ર એક પ્રમાણભૂત સ્વરૂપને અનુરૂપ છે. સંદર્ભ પ્રણાલીઓમાં જે જડતાની તુલનામાં મનસ્વી રીતે આગળ વધે છે, મેટ્રિક ટેન્સરનું સ્વરૂપ પ્રમાણભૂત એક કરતા અલગ હોય છે. ભૌતિક દૃષ્ટિકોણથી, "સંદર્ભ ગ્રીડ" ની ભૂમિકા એકદમ પારદર્શક છે. જો તમારી પાસે સંદર્ભનો કઠોર ભાગ છે, જેમાંથી દરેક બિંદુ સમાન ઘડિયાળથી સજ્જ છે, જે સમયસર અસ્તિત્વ ધરાવે છે, તો તે ફક્ત આવી ગ્રીડ લાગુ કરે છે. ખાલી જગ્યા માટે, અમે ફક્ત તે જ મેટ્રિક સાથે (જગ્યા) પ્રદાન કરીને સંદર્ભના આવા મુખ્ય ભાગની શોધ કરીએ છીએ. આ સમજણમાં, મેટ્રિક ટેન્સર, પ્રમાણભૂત યુક્લિડિયનથી અલગ છે, કહે છે કે સંદર્ભ સિસ્ટમ (કોઓર્ડિનેટ્સ) બિન-કઠોર શરીરનો ઉપયોગ કરીને બનાવવામાં આવે છે, અને કદાચ ઘડિયાળ પણ તેના બિંદુઓ પર અલગ રીતે ચાલે છે. મારો આનો અર્થ શું છે? અને શું મેટ્રિક ટેન્સર એ આપણા માટે સંદર્ભ સિસ્ટમના કેટલાક સૌથી મહત્વપૂર્ણ ગુણધર્મોની ગાણિતિક છબી છે. તે ગુણધર્મો જે સંદર્ભ પ્રણાલીની રચનાને સંપૂર્ણપણે લાક્ષણિકતા આપે છે તે અમને તે નક્કી કરવા દે છે કે તે કેટલું "સારું" છે, તે આદર્શ - જડતા ફ્રેમથી કેટલું અલગ છે. તેથી GTR મેટ્રિક ટેન્સરનો ઉપયોગ ચોક્કસ રીતે આવી ઇમેજ તરીકે કરે છે. કેવી રીતે સંદર્ભ વિસ્તારમાં વિતરિત માપવાના સાધનોની એક છબી, સંભવતઃ બિંદુથી બિંદુ સુધી તેની દિશા બદલીને, પરંતુ દરેક જગ્યાએ સમાન ધોરણ ધરાવે છે, જે તમામ સંદર્ભ વેક્ટર્સ માટે સામાન્ય છે. માપદંડ, જેને સ્કેલર તરીકે ગણવામાં આવે છે, તે આ ધોરણ છે, સ્કેલની તીવ્રતા. ટેન્સર તરીકે મેટ્રિક અમને સંદર્ભના મુખ્ય ભાગને બનાવેલ તમામ ભીંગડાઓના એકબીજાને સંબંધિત મનસ્વી સંબંધિત ગતિને ધ્યાનમાં લેવાની મંજૂરી આપે છે. અને સામાન્ય સાપેક્ષતા એવી પરિસ્થિતિનું વર્ણન કરે છે કે જ્યાં અવકાશ-સમયમાં આવા સંદર્ભ, વાસ્તવિક અથવા કાલ્પનિક હોવું શક્ય છે.

મેટ્રિક્સનો આ દૃષ્ટિકોણ ચોક્કસપણે સાચો છે. વધુમાં, તે ઉત્પાદક પણ છે, કારણ કે તે તરત જ જીટીઆરમાં બાકીના કરારો પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરે છે. ખરેખર, અમે સંદર્ભના ફ્રેમ્સનો ઉપયોગ કરવાની મંજૂરી આપી છે જેમાં વિવિધ બિંદુઓ પરના ભીંગડાને અલગ રીતે લક્ષી કરી શકાય છે (ચાર-પરિમાણીય વિશ્વમાં, ઓરિએન્ટેશનમાં હલનચલન પણ શામેલ છે). અને અમને હજુ પણ જરૂરી છે કે સ્કેલની અમુક ચોક્કસ લાક્ષણિકતા, તેના ધોરણ (અંતરાલ) સમાન રહે. પરિણામે, સામાન્ય સાપેક્ષતાનું નિવેદન કે તેણે તમામ સંભવિત સંદર્ભ પ્રણાલીઓને ધ્યાનમાં લીધી છે તે અતિશય છે. આ સિદ્ધાંતમાં સાપેક્ષતા એટલી સામાન્ય નથી.

© Gavryusev V.G.
સાઇટ પર પ્રકાશિત સામગ્રીનો ઉપયોગ અવતરણ નિયમોને આધીન થઈ શકે છે.