ઘરે જાઓ ગુણાતીત સંખ્યા

- એક જટિલ સંખ્યા કે જે બીજગણિત નથી, એટલે કે તર્કસંગત ગુણાંક સાથેના કોઈપણ બિનશૂન્ય બહુપદીનું મૂળ નથી.

1844 માં જે. લિઓવિલે દ્વારા અતીન્દ્રિય સંખ્યાઓનું અસ્તિત્વ પ્રથમ વખત સ્થાપિત કરવામાં આવ્યું હતું; તેણે આવી સંખ્યાઓના પ્રથમ ઉદાહરણો પણ બનાવ્યા. લિઓવિલે અવલોકન કર્યું હતું કે અલેબ્રેઇક સંખ્યાઓને તર્કસંગત સંખ્યાઓ દ્વારા "ખૂબ સારી" અંદાજિત કરી શકાતી નથી. એટલે કે, લિઓવિલેનું પ્રમેય જણાવે છે કે જો બીજગણિતીય સંખ્યા તર્કસંગત ગુણાંક સાથે ડિગ્રીના બહુપદીનું મૂળ છે, તો કોઈપણ તર્કસંગત સંખ્યા માટે નીચેની અસમાનતા ધરાવે છે: જ્યાં અચલ માત્ર પર આધાર રાખે છે. આ નિવેદન પરથી તે નીચે મુજબ છેપૂરતા પુરાવા

અતિરેક: જો સંખ્યા એવી હોય કે કોઈપણ સ્થિરતા માટે અસમાનતાને સંતોષતી તર્કસંગત સંખ્યાઓનો અનંત સમૂહ હોય

તે ગુણાતીત છે. ત્યારબાદ, આવી સંખ્યાઓને લિઓવિલે નંબર્સ કહેવામાં આવી. આવી સંખ્યાનું ઉદાહરણ છે

અતીન્દ્રિય સંખ્યાઓના અસ્તિત્વનો બીજો પુરાવો જી. કેન્ટર દ્વારા 1874માં તેમણે બનાવેલ સેટ થિયરીના આધારે મેળવ્યો હતો. કેન્ટરે સાબિત કર્યું કે બીજગણિત સંખ્યાઓનો સમૂહ ગણતરીપાત્ર છે અને વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો સમૂહ અગણિત છે, જે સૂચવે છે કે અતીન્દ્રિય સંખ્યાઓનો સમૂહ અગણિત છે. જો કે, લિયુવિલેના પુરાવાથી વિપરીત, આ દલીલો અમને ઓછામાં ઓછી એક આવી સંખ્યાનું ઉદાહરણ આપવા દેતી નથી.

લિઓવિલેના કાર્યે અતીન્દ્રિય સંખ્યાઓના સિદ્ધાંતના સંપૂર્ણ વિભાગને જન્મ આપ્યો - તર્કસંગત અથવા વધુ સામાન્ય રીતે, બીજગણિતીય સંખ્યાઓ દ્વારા બીજગણિતીય સંખ્યાઓના અંદાજનો સિદ્ધાંત. ઘણા ગણિતશાસ્ત્રીઓના કાર્યોમાં લિઓવિલેના પ્રમેયને મજબૂત અને સામાન્યીકરણ કરવામાં આવ્યું હતું. આનાથી ગુણાતીત સંખ્યાઓના નવા ઉદાહરણો બનાવવાનું શક્ય બન્યું. આમ, કે. માહલેરે બતાવ્યું કે જો બિન-સતત બહુપદી છે જે તમામ કુદરતી સંખ્યાઓ માટે બિન-નકારાત્મક પૂર્ણાંક મૂલ્યો લે છે, તો કોઈપણ પ્રાકૃતિક સંખ્યા માટે, જ્યાં રેડીક્સ નંબર સિસ્ટમમાં કોઈ સંખ્યા લખેલી છે, તે ગુણાતીત છે, પરંતુ Liouville નંબર નથી. ઉદાહરણ તરીકે, સાથે અને અમને નીચેના ભવ્ય પરિણામ મળે છે: સંખ્યા

1873 માં, સી. હર્માઇટે, અન્ય વિચારોનો ઉપયોગ કરીને, નેપર નંબર (કુદરતી લઘુગણકનો આધાર) ની પારદર્શિતા સાબિત કરી:

હર્માઈટના વિચારો વિકસાવ્યા પછી, એફ. લિન્ડેમેને 1882માં સંખ્યાની અધિકતા સાબિત કરી, જેનાથી વર્તુળના વર્ગીકરણની પ્રાચીન સમસ્યાનો અંત આવ્યો: હોકાયંત્ર અને શાસકનો ઉપયોગ કરીને સમાન કદનો ચોરસ બાંધવો અશક્ય છે (એટલે ​​કે, સમાન વિસ્તાર) આપેલ વર્તુળમાં. વધુ સામાન્ય રીતે, લિન્ડેમેને દર્શાવ્યું હતું કે, કોઈપણ બીજગણિત સંખ્યા માટે, સંખ્યા ગુણાતીત છે. સમકક્ષ ફોર્મ્યુલેશન: અને સિવાયની કોઈપણ બીજગણિત સંખ્યા માટે, તેનો કુદરતી લઘુગણક એક અતીન્દ્રિય સંખ્યા છે.

1900 માં, પેરિસમાં ગણિતશાસ્ત્રીઓની કોંગ્રેસમાં, ડી. હિલ્બર્ટ, ગણિતની 23 વણઉકેલાયેલી સમસ્યાઓ પૈકી, એલ. યુલર દ્વારા ચોક્કસ સ્વરૂપમાં ઘડવામાં આવેલી નીચેની બાબતો પર ધ્યાન દોર્યું:

દો અને બીજગણિત નંબરો છે, અને ગુણાતીત? ખાસ કરીને, સંખ્યાઓ ગુણાતીત છે? અને?

આ સમસ્યાને નીચેના સ્વરૂપમાં પુનઃસ્થાપિત કરી શકાય છે, યુલરની મૂળ રચનાની નજીક:

દો અને - સિવાયની બીજગણિતીય સંખ્યાઓ અને, વધુમાં, તેમના કુદરતી લઘુગણકનો ગુણોત્તર અતાર્કિક એક નંબર હશે ગુણાતીત?

સમસ્યાનો પ્રથમ આંશિક ઉકેલ 1929 માં એ.ઓ. ગેલફોન્ડ દ્વારા મેળવવામાં આવ્યો હતો, જેમણે, ખાસ કરીને, સંખ્યાની અધિકતા સાબિત કરી હતી. 1930 માં, આર.ઓ. કુઝમિને ગેલફોન્ડની પદ્ધતિમાં સુધારો કર્યો, ખાસ કરીને, તે સંખ્યાની અધિકતા સાબિત કરવામાં સફળ રહ્યો. યુલર-હિલ્બર્ટ સમસ્યાનો સંપૂર્ણ ઉકેલ (હકારાત્મક અર્થમાં) એ.ઓ. ગેલફોન્ડ અને ટી. સ્નેડર દ્વારા સ્વતંત્ર રીતે 1934માં મેળવવામાં આવ્યો હતો.

એ. બેકરે 1966માં લિન્ડેમેન અને ગેલફોન્ડ-શ્નાઇડરના પ્રમેયનું સામાન્યીકરણ કર્યું, ખાસ કરીને, ફોર્મની સંખ્યાની મનસ્વી મર્યાદિત સંખ્યાના ઉત્પાદનની ઉત્કૃષ્ટતા અને કુદરતી પ્રતિબંધો હેઠળ બીજગણિતીય રાશિઓ સાથે.

1996 માં યુ.વી. નેસ્ટેરેન્કોએ આઇઝેનસ્ટાઇન શ્રેણીના મૂલ્યોની બીજગણિત સ્વતંત્રતા અને ખાસ કરીને, સંખ્યાઓ અને. આનો અર્થ એ છે કે ફોર્મની કોઈપણ સંખ્યાની ઉત્કૃષ્ટતા, જ્યાં બીજગણિત ગુણાંક સાથે બિન-શૂન્ય તર્કસંગત કાર્ય. ઉદાહરણ તરીકે, શ્રેણીનો સરવાળો ગુણાતીત હશે

1929-1930 માં કે. માહલેરે કૃતિઓની શ્રેણીમાં અર્થોની અધિકતા સાબિત કરવા માટે એક નવી પદ્ધતિનો પ્રસ્તાવ મૂક્યો વિશ્લેષણાત્મક કાર્યો, ચોક્કસ પ્રકારનાં કાર્યાત્મક સમીકરણોને સંતોષતા (બાદમાં આવા કાર્યોને માહલર ફંક્શન્સ કહેવામાં આવ્યાં).

ગુણાતીત સંખ્યાઓના સિદ્ધાંતની પદ્ધતિઓને ગણિતની અન્ય શાખાઓમાં, ખાસ કરીને ડાયોફેન્ટાઇન સમીકરણોના સિદ્ધાંતમાં લાગુ પાડવામાં આવી છે.

જે, જ્યારે a = 1, અમને ભૌમિતિક પ્રગતિનો સરવાળો નક્કી કરવા માટે સેવા આપે છે. ધારીએ કે ગૌસનું પ્રમેય સાબિત થયું છે, ચાલો ધારીએ કે a = a 1 એ સમીકરણ (17) નું મૂળ છે, જેથી

આ અભિવ્યક્તિને f(x) માંથી બાદ કરીને અને શરતોને ફરીથી ગોઠવવાથી, અમે ઓળખ મેળવીએ છીએ

f(x) = f(x) − f(a1 ) = (xn − a n 1 ) + an−1 (xn−1 − a n 1 −1 ) + . . . + a1 (x − a1 ).

(21) હવે સૂત્ર (20) નો ઉપયોગ કરીને, આપણે દરેક પદમાંથી અવયવ x − a 1 ને અલગ કરી શકીએ છીએ અને પછી તેને કૌંસમાંથી બહાર કાઢી શકીએ છીએ, અને કૌંસમાં બાકી રહેલા બહુપદીની ડિગ્રી એક ઓછી થઈ જશે. ફરીથી શરતોને ફરીથી ગોઠવવાથી, અમને ઓળખ મળે છે

f(x) = (x − a1 )g(x),

જ્યાં g(x) એ ડિગ્રી n − 1 નો બહુપદી છે:

g(x) = xn−1 + bn−2 xn−2 + . . . + b1 x + b0 .

(અહીં b દ્વારા સૂચિત ગુણાંકની ગણતરી કરવામાં અમને રસ નથી.) ચાલો આપણે તે જ તર્કને બહુપદી g(x) પર લાગુ કરીએ. ગૌસના પ્રમેય દ્વારા, સમીકરણ g(x) = 0 નું મૂળ a2 છે, તેથી

g(x) = (x − a2 )h(x),

જ્યાં h(x) એ પહેલાથી જ n − 2 ડિગ્રીની નવી બહુપદી છે. આ દલીલોને n − 1 વખત પુનરાવર્તિત કરવાથી (અલબત્ત, ગાણિતિક ઇન્ડક્શનના સિદ્ધાંતનો અર્થ થાય છે), આપણે આખરે વિસ્તરણ પર પહોંચીએ છીએ

ઓળખ (22) થી તે માત્ર એટલું જ નહીં જટિલ સંખ્યાઓ a1, a2,

A એ સમીકરણ (17) ના મૂળ છે, પણ તે સમીકરણ (17) માં અન્ય કોઈ મૂળ નથી. ખરેખર, જો સંખ્યા y સમીકરણ (17) નું મૂળ હોત, તો તે (22) થી અનુસરશે

f(y) = (y − a1 )(y − a2 ) . . . (y − an ) = 0.

પરંતુ આપણે જોયું છે (પૃ. 115) જટિલ સંખ્યાઓનો ગુણાંક શૂન્ય બરાબર છે જો અને માત્ર જો એક પરિબળ શૂન્યની બરાબર હોય. તેથી, એક પરિબળ y − ar 0 ની બરાબર છે, એટલે કે y = ar, જે સ્થાપિત કરવાની જરૂર છે.

§ 6.

1. વ્યાખ્યા અને અસ્તિત્વના પ્રશ્નો. બીજગણિત સંખ્યા એ કોઈપણ સંખ્યા x છે, વાસ્તવિક અથવા કાલ્પનિક, અમુકને સંતોષતી બીજગણિતીય સમીકરણપ્રકારની

130 મેથેમેટિકલ ન્યુમેરિકલ સિસ્ટમ ચ. II

જ્યાં ai સંખ્યાઓ પૂર્ણાંક છે. તેથી, ઉદાહરણ તરીકે, નંબર 2 બીજગણિત છે, કારણ કે તે સમીકરણને સંતોષે છે

x2 − 2 = 0.

એ જ રીતે, બીજગણિત સંખ્યા એ ત્રીજા, ચોથા, પાંચમા, ગમે તે ડિગ્રીના પૂર્ણાંક ગુણાંક સાથેના કોઈપણ સમીકરણનું કોઈપણ મૂળ છે, અને પછી ભલે તે રેડિકલમાં વ્યક્ત કરવામાં આવે કે ન હોય. બીજગણિત સંખ્યાની વિભાવના એ તર્કસંગત સંખ્યાની વિભાવનાનું કુદરતી સામાન્યીકરણ છે, જે વિશિષ્ટ કેસ n = 1 ને અનુરૂપ છે.

દરેક વાસ્તવિક સંખ્યા બીજગણિત નથી. કેન્ટર દ્વારા જણાવવામાં આવેલ નીચેના પ્રમેયમાંથી આ અનુસરે છે: તમામ બીજગણિત સંખ્યાઓનો સમૂહ ગણવાપાત્ર છે. બધી વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો સમૂહ અગણિત હોવાથી, ત્યાં જરૂરી વાસ્તવિક સંખ્યાઓ હોવી જોઈએ જે બીજગણિત ન હોય.

ચાલો બીજગણિત સંખ્યાઓના સમૂહની પુનઃગણતરી માટેની એક પદ્ધતિ સૂચવીએ. ફોર્મનું દરેક સમીકરણ (1) સકારાત્મક પૂર્ણાંક સાથે સંકળાયેલું છે

h = |an | + |an−1 | + . . + |a1 | + |a0 | + n,

જેને આપણે સંક્ષિપ્તતા માટે સમીકરણની "ઊંચાઈ" કહીશું. n ના દરેક નિશ્ચિત મૂલ્ય માટે, h ની ઊંચાઈ સાથે ફોર્મ (1) ના સમીકરણોની માત્ર મર્યાદિત સંખ્યા છે. આ દરેક સમીકરણો વધુમાં વધુ n મૂળ ધરાવે છે. તેથી, ઊંચાઈ h ના સમીકરણો દ્વારા પેદા થતી બીજગણિતીય સંખ્યાઓની માત્ર મર્યાદિત સંખ્યા હોઈ શકે છે; પરિણામે, તમામ બીજગણિત સંખ્યાઓને અનુક્રમના રૂપમાં ગોઠવી શકાય છે, જે પહેલા ઊંચાઈ 1 ના સમીકરણો દ્વારા ઉત્પન્ન થાય છે, પછી ઊંચાઈ 2, વગેરેની યાદી બનાવી શકે છે.

આ પુરાવો કે બીજગણિતીય સંખ્યાઓનો સમૂહ ગણવાયોગ્ય છે તે વાસ્તવિક સંખ્યાઓનું અસ્તિત્વ સ્થાપિત કરે છે જે બીજગણિત નથી. આવી સંખ્યાઓને ટ્રાન્સસેન્ડેન્ટલ કહેવામાં આવે છે (લેટિન ટ્રાન્સસેંડરમાંથી - પસાર થવું, વટાવી જવું); યુલરે તેમને આ નામ આપ્યું કારણ કે તેઓ "બીજગણિત પદ્ધતિઓની શક્તિ કરતાં વધી જાય છે."

ગુણાતીત સંખ્યાઓના અસ્તિત્વનો કેન્ટરનો પુરાવો રચનાત્મક નથી. સૈદ્ધાંતિક રીતે કહીએ તો, તમામ બીજગણિત સંખ્યાઓના દશાંશ વિસ્તરણની કાલ્પનિક સૂચિ પર કરવામાં આવતી વિકર્ણ પ્રક્રિયાનો ઉપયોગ કરીને ગુણાતીત સંખ્યાનું નિર્માણ કરવું શક્ય બનશે; પરંતુ આવી પ્રક્રિયા કોઈપણથી વંચિત છે વ્યવહારુ મહત્વઅને તે એવી સંખ્યા તરફ દોરી જશે નહીં જેનું દશાંશ (અથવા અન્ય કેટલાક) અપૂર્ણાંકમાં વિસ્તરણ ખરેખર લખી શકાય. અતીન્દ્રિય સંખ્યાઓ સાથે સંકળાયેલી સૌથી રસપ્રદ સમસ્યાઓ એ સાબિત કરે છે કે ચોક્કસ, ચોક્કસ સંખ્યાઓ (આમાં p અને e સંખ્યાઓ શામેલ છે, જેના વિશે pp. 319–322 જુઓ) ગુણાતીત છે.

**2. લિઓવિલેનું પ્રમેય અને ગુણાતીત સંખ્યાઓનું નિર્માણ. કેન્ટોર પહેલા પણ, ગુણાતીત સંખ્યાઓના અસ્તિત્વનો પુરાવો જે. લિઓવિલે (1809–1862) દ્વારા આપવામાં આવ્યો હતો. તે ખરેખર આવી સંખ્યાઓના ઉદાહરણો બનાવવાનું શક્ય બનાવે છે. લ્યુવિલેની સાબિતી કેન્ટોર કરતાં વધુ મુશ્કેલ છે, અને આ આશ્ચર્યજનક નથી, કારણ કે ઉદાહરણનું નિર્માણ કરવું, સામાન્ય રીતે કહીએ તો, અસ્તિત્વ સાબિત કરવા કરતાં વધુ મુશ્કેલ છે. નીચે લિઓવિલેનો પુરાવો રજૂ કરતી વખતે, અમે ફક્ત તૈયાર વાચકને ધ્યાનમાં રાખીએ છીએ, જોકે પ્રાથમિક ગણિતનું જ્ઞાન પુરાવાને સમજવા માટે પૂરતું છે.

લિઓવિલે શોધ્યું તેમ, અતાર્કિક બીજગણિત સંખ્યાઓ પાસે એવી મિલકત હોય છે કે તેઓ ખૂબ જ ઊંચી ચોકસાઈ સાથે તર્કસંગત સંખ્યાઓ દ્વારા અંદાજિત કરી શકાતા નથી સિવાય કે અંદાજિત અપૂર્ણાંકોના છેદને અત્યંત મોટા માનવામાં ન આવે.

ધારો કે સંખ્યા z પૂર્ણાંક ગુણાંક સાથે બીજગણિતીય સમીકરણને સંતોષે છે

પરંતુ ઓછી ડિગ્રીના સમાન સમીકરણને સંતોષતું નથી. પછી

તેઓ કહે છે કે x પોતે ડિગ્રી n ની બીજગણિત સંખ્યા છે. તેથી, ઉદાહરણ તરીકે,

સંખ્યા z = 2 એ ડિગ્રી 2 ની બીજગણિત સંખ્યા છે, કારણ કે તે ડિગ્રી 2 ના સમીકરણ x2 − 2 = 0√ ને સંતોષે છે, પરંતુ પ્રથમ ડિગ્રીના સમીકરણને સંતોષતું નથી; સંખ્યા z = 3 2 એ ડિગ્રી 3 ની છે, કારણ કે તે સમીકરણ x3 − 2 = 0 ને સંતોષે છે, પરંતુ (જેમ કે આપણે પ્રકરણ III માં બતાવીશું) નીચી ડિગ્રીનું સમીકરણ સંતોષતું નથી. ડિગ્રી n > 1 ની બીજગણિત સંખ્યા

તર્કસંગત હોઈ શકતું નથી, કારણ કે તર્કસંગત સંખ્યા z = p q સંતોષે છે

ડિગ્રી 1 ના સમીકરણ qx − p = 0 ને સંતોષે છે. દરેક અતાર્કિક સંખ્યા z ને તર્કસંગત સંખ્યાનો ઉપયોગ કરીને કોઈપણ ડિગ્રીની ચોકસાઈ સાથે અંદાજિત કરી શકાય છે; આનો અર્થ એ છે કે તમે હંમેશા તર્કસંગત સંખ્યાઓનો ક્રમ સ્પષ્ટ કરી શકો છો

પૃષ્ઠ 1 , પૃષ્ઠ 2 , . . .

q 1 q 2

અમર્યાદિત રીતે વિકસતા સંપ્રદાયો સાથે, જેનું પોતાનું છે

કે

p r → z. qr

લિઓવિલેનું પ્રમેય જણાવે છે: ડિગ્રી n > 1 ની બીજગણિત સંખ્યા z ગમે તે હોય, તે તર્કસંગતીકરણ દ્વારા અંદાજિત કરી શકાતી નથી.

પૂરતા પ્રમાણમાં મોટા સંપ્રદાયો માટે, અસમાનતા આવશ્યકપણે ધરાવે છે

અમે આ પ્રમેયનો પુરાવો આપવા જઈ રહ્યા છીએ, પરંતુ પહેલા આપણે બતાવીશું કે તેનો ઉપયોગ અતીન્દ્રિય સંખ્યાઓ બનાવવા માટે કેવી રીતે થઈ શકે છે. સંખ્યા ધ્યાનમાં લો

z = a1 10−1! + a2 · 10−2! + a3 · 10−3! + . . + am · 10−m! + . . = = 0.a1 a2 000a3 0000000000000000000a4 000 . . . ,

જ્યાં ai 1 થી 9 સુધીની મનસ્વી સંખ્યાઓ દર્શાવે છે (સૌથી સહેલો રસ્તો એ છે કે તમામ ai ને 1 ની બરાબર સેટ કરવી), અને પ્રતીક n!, હંમેશની જેમ (પાનું 36 જુઓ), 1 · 2 · . . . · એન. આવી સંખ્યાના દશાંશ વિસ્તરણની લાક્ષણિકતા એ છે કે શૂન્યના જૂથો શૂન્ય સિવાયના વ્યક્તિગત અંકો સાથે વૈકલ્પિક રીતે લંબાઈમાં ઝડપથી વધી રહ્યા છે. ચાલો જ્યારે વિસ્તરણમાં આપણે am · 10−m સુધીના તમામ પદોને લઈએ ત્યારે પ્રાપ્ત થયેલ અંતિમ દશાંશ અપૂર્ણાંકને zm દ્વારા દર્શાવીએ! સમાવિષ્ટ પછી આપણને અસમાનતા મળે છે

ધારો કે z એ ડિગ્રી n ની બીજગણિત સંખ્યા છે. પછી, લિઓવિલે અસમાનતામાં ધારી રહ્યા છીએ (3) p q = zm = 10 p m! , અમારી પાસે હોવું જોઈએ

|z − zm | > 10 (n+1)m!

m ના પૂરતા પ્રમાણમાં મોટા મૂલ્યો માટે. છેલ્લી અસમાનતાની અસમાનતા સાથે સરખામણી કરવાથી (4) મળે છે

જેનો અર્થ થાય છે (n + 1)m! > (m + 1)! − 1 પૂરતા પ્રમાણમાં મોટા m માટે. પરંતુ n કરતાં વધુ m ના મૂલ્યો માટે આ સાચું નથી (વાચકને આ નિવેદનનો વિગતવાર પુરાવો આપવા માટે મુશ્કેલી લેવા દો). અમે એક વિરોધાભાસ પર પહોંચ્યા છીએ. તેથી, નંબર z ગુણાતીત છે.

તે Liouville ના પ્રમેય સાબિત કરવા માટે રહે છે. ચાલો ધારીએ કે z એ ડિગ્રી n > 1 સંતોષકારક સમીકરણ (1) ની બીજગણિત સંખ્યા છે, જેથી કરીને

f(zm) = f(zm) − f(z) = a1 (zm − z) + a2 (zm 2 − z2) + . . . + an (zm n − zn ).

બંને બાજુઓને zm − z વડે વિભાજીત કરીને અને બીજગણિત સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને

u n − v n = un−1 + un−2 v + un−3 v2 + . . . + uvn−2 + vn−1 , u − v

અમને મળે છે:

કારણ કે zm એ z તરફ વલણ ધરાવે છે, પછી પર્યાપ્ત મોટા m માટે તર્કસંગત સંખ્યા zm એક કરતા ઓછી z થી અલગ હશે. તેથી, પૂરતા પ્રમાણમાં મોટા મીટર માટે, નીચેનો રફ અંદાજ કરી શકાય છે:

N|an |(|z| + 1)n−1 = M, (7)

તદુપરાંત, જમણી બાજુની સંખ્યા M સ્થિર છે, કારણ કે સાબિતી દરમિયાન z બદલાતો નથી. ચાલો હવે m એટલો મોટો પસંદ કરીએ

અપૂર્ણાંક z m = p m માં છેદ q m છે M કરતાં મોટી હતી; પછી qm

ત્યારથી બહુપદી f(x) માંથી પરિબળ (x − zm) ને અલગ પાડવું શક્ય બનશે, અને તેથી, z એ n કરતાં ઓછી ડિગ્રીના સમીકરણને સંતોષશે. તેથી, f(zm) 6= 0. પરંતુ સમાનતા (9) ની જમણી બાજુનો અંશ પૂર્ણાંક છે અને તેથી, સંપૂર્ણ મૂલ્યમાં તે ઓછામાં ઓછા એક સમાન છે. આમ, સંબંધોની તુલના (8) અને (9) પરથી તે અનુસરે છે

દર્શાવેલ પ્રમેયની ચોક્કસ સામગ્રી.

પાછલા કેટલાક દાયકાઓમાં, તર્કસંગત સંખ્યાઓ દ્વારા અંદાજિત બીજગણિત સંખ્યાઓની શક્યતા અંગે સંશોધન ઘણું આગળ વધ્યું છે. ઉદાહરણ તરીકે, નોર્વેજીયન ગણિતશાસ્ત્રી એ. થ્યુ (1863–1922) એ શોધી કાઢ્યું કે લિઓવિલે અસમાનતામાં (3) ઘાતાંક n + 1 ને નાના ઘાતાંક n 2 + 1 દ્વારા બદલી શકાય છે.

કે.એલ. સીગેલે બતાવ્યું કે તેનાથી પણ નાનું (નાનું પણ) લેવું શક્ય છે

મોટા n માટે) સૂચક 2 n છે.

ગુણાતીત સંખ્યાઓ હંમેશા એક એવો વિષય રહ્યો છે જેણે ગણિતશાસ્ત્રીઓનું ધ્યાન આકર્ષિત કર્યું છે. પરંતુ પ્રમાણમાં તાજેતરમાં સુધી, પોતાની જાતમાં રસપ્રદ સંખ્યાઓ પૈકી, બહુ ઓછા જાણીતા હતા જેમના ગુણાતીત પાત્રની સ્થાપના થઈ હતી. (સંખ્યા p ના અધિકતા પરથી, જેની ચર્ચા પ્રકરણ III માં કરવામાં આવશે, તે અનુસરે છે કે શાસક અને હોકાયંત્રનો ઉપયોગ કરીને વર્તુળને ચતુષ્કોણ કરવું અશક્ય છે.) 1900 માં પેરિસ ઇન્ટરનેશનલ કોંગ્રેસ ઓફ મેથેમેટિક્સમાં તેમના ભાષણમાં, ડેવિડ હિલ્બર્ટે પ્રસ્તાવ મૂક્યો હતો. ત્રીસ ગાણિતિક

સમસ્યાઓ કે જેણે એક સરળ ફોર્મ્યુલેશનની મંજૂરી આપી, કેટલીક તો તદ્દન પ્રાથમિક અને લોકપ્રિય, જેમાંથી એક પણ ઉકેલાઈ ન હતી, પરંતુ તે યુગના ગણિતના માધ્યમો દ્વારા હલ કરવામાં સક્ષમ પણ લાગતું ન હતું. આ "હિલ્બર્ટ સમસ્યાઓ" નો ગણિતના વિકાસના અનુગામી સમયગાળા દરમિયાન મજબૂત ઉત્તેજક પ્રભાવ હતો. તેમાંથી લગભગ તમામ ધીમે ધીમે ઉકેલાઈ ગયા હતા, અને ઘણા કિસ્સાઓમાં તેમના ઉકેલો વધુ સામાન્ય અને ઊંડા પદ્ધતિઓ વિકસાવવાના અર્થમાં સ્પષ્ટ રીતે વ્યક્ત સફળતાઓ સાથે સંકળાયેલા હતા. એક સમસ્યા જે નિરાશાજનક લાગતી હતી તે હતી

પુરાવા છે કે નંબર

ગુણાતીત (અથવા ઓછામાં ઓછું અતાર્કિક) છે. ત્રણ દાયકાઓ સુધી કોઈની તરફથી આ મુદ્દા પર આવા અભિગમનો સંકેત પણ મળ્યો ન હતો જે સફળતાની કોઈ આશા ખોલે. છેવટે, સિગેલ અને, તેમનાથી સ્વતંત્ર રીતે, યુવાન રશિયન ગણિતશાસ્ત્રી એ. ગેલફોન્ડે ઘણા લોકોની ઉત્કૃષ્ટતાને સાબિત કરવા માટે નવી પદ્ધતિઓ શોધી કાઢી.

ગણિતમાં મહત્વની સંખ્યાઓ. ખાસ કરીને, તેની સ્થાપના કરવામાં આવી હતી

માત્ર હિલ્બર્ટ નંબર 2 2 નું જ નહીં, પણ ફોર્મ ab ની સંખ્યાઓનો સંપૂર્ણ વ્યાપક વર્ગ પણ છે, જ્યાં a એ 0 અને 1 થી અલગ બીજગણિતીય સંખ્યા છે, અને b એ અતાર્કિક બીજગણિતીય સંખ્યા છે.

પ્રકરણ II માં ઉમેરો

સમૂહોનું બીજગણિત

1. સામાન્ય સિદ્ધાંત. વર્ગ, અથવા સંગ્રહ, અથવા પદાર્થોના સમૂહની વિભાવના એ ગણિતમાં સૌથી મૂળભૂત છે. સમૂહને અમુક ગુણધર્મ ("એટ્રિબ્યુટ") A દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, જે પ્રશ્નમાંના દરેક ઑબ્જેક્ટ પાસે હોવું જોઈએ અથવા ન હોવું જોઈએ; જે ઑબ્જેક્ટ્સમાં A ગુણધર્મ હોય છે તે A સમૂહ બનાવે છે. આમ, જો આપણે પૂર્ણાંકોને ધ્યાનમાં લઈએ અને A ની ગુણધર્મ "અવિભાજ્ય" છે, તો અનુરૂપ સમૂહ Aમાં તમામ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ 2, 3, 5, 7, . . .

સેટનો ગાણિતિક સિદ્ધાંત એ હકીકત પરથી આગળ વધે છે કે ચોક્કસ ક્રિયાઓનો ઉપયોગ કરીને સેટમાંથી નવા સેટની રચના કરી શકાય છે (જેમ સરવાળો અને ગુણાકારની ક્રિયાઓ દ્વારા સંખ્યાઓમાંથી નવી સંખ્યાઓ મેળવવામાં આવે છે). સેટ પરની કામગીરીનો અભ્યાસ "સેટ બીજગણિત" નો વિષય બનાવે છે, જે સામાન્ય આંકડાકીય બીજગણિત સાથે ઘણું સામ્ય ધરાવે છે, જો કે કેટલીક રીતે તે તેનાથી અલગ છે. હકીકત એ છે કે બીજગણિત પદ્ધતિઓ બિન-સંખ્યાત્મક પદાર્થોના અભ્યાસ માટે લાગુ કરી શકાય છે, જેમ કે સમૂહ, દ્વારા સચિત્ર છે

આધુનિક ગણિતમાં વિચારોની વધુ સમાનતા બનાવે છે. તાજેતરમાં તે સ્પષ્ટ થયું છે કે સમૂહ બીજગણિત ગણિતના ઘણા ક્ષેત્રો પર નવો પ્રકાશ ફેંકે છે, ઉદાહરણ તરીકે, માપનો સિદ્ધાંત અને સંભાવના સિદ્ધાંત; તે ગાણિતિક ખ્યાલોને વ્યવસ્થિત કરવામાં અને તેમના તાર્કિક જોડાણોને સ્પષ્ટ કરવામાં પણ ઉપયોગી છે.

નીચેનામાં, હું વસ્તુઓના ચોક્કસ સ્થિર સમૂહને સૂચવીશ, જેની પ્રકૃતિ ઉદાસીન છે, અને જેને આપણે સાર્વત્રિક સમૂહ (અથવા તર્કનું બ્રહ્માંડ) કહી શકીએ છીએ, અને

A, B, C, . . . I ના કેટલાક ઉપગણો હશે. જો I બધી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સમૂહ હોય, તો A, કહો, બધી બેકી સંખ્યાઓનો સમૂહ, B બધી વિષમ સંખ્યાઓનો સમૂહ, C તમામ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓનો સમૂહ, વગેરે સૂચવી શકે છે. જો હું સમતલ પરના તમામ બિંદુઓના સમૂહને સૂચિત કરું, તો A એ અમુક વર્તુળની અંદરના બિંદુઓનો સમૂહ હોઈ શકે છે, B એ બીજા વર્તુળની અંદરના બિંદુઓનો સમૂહ હોઈ શકે છે, વગેરે. તે આપણા માટે અનુકૂળ છે કે હું પોતે પણ " ખાલી" સેટ કે જેમાં કોઈપણ ઘટકો શામેલ નથી. આવા કૃત્રિમ વિસ્તરણ દ્વારા અનુસરવામાં આવેલ ધ્યેય એ સ્થિતિને સાચવવાનું છે કે દરેક મિલકત A માટે આ ગુણધર્મ ધરાવતા I ના ઘટકોના ચોક્કસ સમૂહને અનુરૂપ છે. જો A એ સાર્વત્રિક રીતે માન્ય મિલકત છે, જેનું ઉદાહરણ (સંખ્યાના કિસ્સામાં) તુચ્છ સમાનતાને સંતોષવાની મિલકત છે x = x, તો પછી I નો અનુરૂપ સબસેટ I પોતે જ હશે, કારણ કે દરેક તત્વ પાસે આવી મિલકત છે; બીજી બાજુ, જો A એ અમુક પ્રકારની આંતરિક વિરોધાભાસી મિલકત છે (જેમ કે x 6 = x), તો અનુરૂપ સબસેટમાં કોઈ ઘટકો નથી, તે "ખાલી" છે અને પ્રતીક દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે.

તેઓ કહે છે કે સમૂહ A એ સમૂહ B નો સબસેટ છે, ટૂંકમાં, “A B માં છે,” અથવા “B એ A ધરાવે છે,” જો સમૂહ Aમાં એવું કોઈ તત્વ ન હોય જે B સેટમાં પણ ન હોય. સંબંધ નોટેશનને અનુરૂપ છે

A B, અથવા B A.

ઉદાહરણ તરીકે, 10 વડે વિભાજ્ય તમામ પૂર્ણાંકોનો સમૂહ A એ 5 વડે વિભાજ્ય તમામ પૂર્ણાંકોના સમૂહ Bનો સબસેટ છે, કારણ કે 10 વડે વિભાજ્ય દરેક સંખ્યા પણ 5 વડે વિભાજ્ય છે. સંબંધ A B એ સંબંધ B Aને બાકાત રાખતો નથી. જો આ અને તે, પછી

આનો અર્થ એ થયો કે A નું દરેક તત્વ પણ Bનું એક તત્વ છે, અને તેનાથી ઊલટું, જેથી સેટ A અને B બરાબર સમાન તત્વો ધરાવે છે.

સમૂહો વચ્ચેનો સંબંધ A B ઘણી બાબતોમાં સંખ્યાઓ વચ્ચેના 6 b ના સંબંધની યાદ અપાવે છે. ખાસ કરીને, અમે નીચેની નોંધ કરીએ છીએ

આ સંબંધના નીચેના ગુણધર્મો:

1) એ એ.

2) જો A B અને B A, તો A = B.

3) જો A B અને B C, તો A C.

આ કારણોસર, A B સંબંધને કેટલીકવાર "ઓર્ડર સંબંધ" કહેવામાં આવે છે. વિચારણા હેઠળના સંબંધ અને સંખ્યાઓ વચ્ચેના સંબંધ a 6 b વચ્ચેનો મુખ્ય તફાવત એ છે કે કોઈપણ બે આપેલ (વાસ્તવિક) સંખ્યાઓ a અને b વચ્ચે ઓછામાં ઓછા એક સંબંધોમાંથી એક 6 b અથવા b 6 a આવશ્યકપણે સંતુષ્ટ છે, જ્યારે સંબંધ માટે A B સેટ વચ્ચે સમાન વિધાન ખોટું છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો A એ 1, 2, 3 નંબરોનો સમૂહ છે,

અને B એ 2, 3, 4 નંબરોનો સમૂહ છે.

પછી ન તો સંબંધ A B કે સંબંધ B A ધરાવે છે આ કારણોસર, તેઓ કહે છે કે ઉપગણો A, B, C, . . . સેટ I "આંશિક રીતે ઓર્ડર કરેલ" છે, જ્યારે વાસ્તવિક સંખ્યાઓ a, b, c, . . .

"સંપૂર્ણપણે ઓર્ડર કરેલ" સમૂહ બનાવો.

નોંધ કરો, માર્ગ દ્વારા, સંબંધ A B ની વ્યાખ્યા પરથી તે અનુસરે છે કે, સમૂહ I નો સબસેટ A ગમે તે હોય,

મિલકત 4) કંઈક અંશે વિરોધાભાસી લાગે છે, પરંતુ જો તમે તેના વિશે વિચારો છો, તો તે તાર્કિક રીતે ચિહ્નની વ્યાખ્યાના ચોક્કસ અર્થને અનુરૂપ છે. હકીકતમાં, સંબંધ Aનું ઉલ્લંઘન જ થશે

વી જો ખાલી સેટમાં એક તત્વ હોય જે A માં સમાયેલ ન હોય; પરંતુ ખાલી સેટમાં કોઈ પણ તત્વો નથી હોતા, આ હોઈ શકતું નથી, પછી ભલે A ગમે તે હોય.

હવે અમે સેટ પર બે ઑપરેશનને વ્યાખ્યાયિત કરીશું જે ઔપચારિક રીતે સંખ્યાઓના ઉમેરા અને ગુણાકારના ઘણા બીજગણિત ગુણધર્મો ધરાવે છે, જો કે તેમની આંતરિક સામગ્રીમાં તેઓ આ અંકગણિત ઑપરેશન્સથી સંપૂર્ણપણે અલગ છે. A અને B ને કેટલાક બે સેટ થવા દો. યુનિયન દ્વારા, અથવા A અને B ના "તાર્કિક સરવાળો" નો અર્થ એ છે કે એમાં સમાવિષ્ટ ઘટકોનો સમૂહ છે અથવા

વી B (A અને B બંનેમાં સમાયેલ તે તત્વો સહિત). આ સમૂહ A + B સૂચવવામાં આવે છે. 1 A અને B ના "છેદન" અથવા "તાર્કિક ઉત્પાદન" નો અર્થ એ છે કે તે ઘટકોનો સમાવેશ કરે છે જે A અને B બંનેમાં સમાયેલ છે. આ સમૂહને AB.2 સૂચવવામાં આવે છે.

ઓપરેશન A + B અને AB ના મહત્વના બીજગણિત ગુણધર્મોમાં અમે નીચેની યાદી આપીએ છીએ. રીડર પોતાની કામગીરીની વ્યાખ્યાના આધારે તેમની માન્યતા તપાસી શકશે:

આ તમામ કાયદાઓની ચકાસણી એ સૌથી પ્રાથમિક તર્કની બાબત છે. ઉદાહરણ તરીકે, નિયમ 10) જણાવે છે કે A અથવા Aમાં સમાયેલ તત્વોનો સમૂહ ચોક્કસપણે A સેટ છે; નિયમ 12) જણાવે છે કે તે તત્વોનો સમૂહ જે A માં સમાયેલ છે અને તે જ સમયે B અથવા C માં સમાયેલ છે તે તત્વોના સમૂહ સાથે એકરુપ છે જે કાં તો A અને B માં એકસાથે સમાયેલ છે અથવા A અને C માં એક સાથે સમાયેલ છે. . તાર્કિક તર્ક, આ પ્રકારના નિયમોના પુરાવામાં ઉપયોગમાં લેવાતા, જો આપણે સેટ A, B, C, દર્શાવવા માટે સંમત હોઈએ તો સગવડતાપૂર્વક ચિત્રિત કરવામાં આવે છે. . . પ્લેન પરના કેટલાક આકૃતિઓના રૂપમાં અને અમે ખૂબ કાળજી રાખીશું કે જ્યારે બે સમૂહના સામાન્ય ઘટકોની હાજરીની વાત આવે ત્યારે ઉદ્ભવતી કોઈપણ તાર્કિક શક્યતાઓ ચૂકી ન જાય અથવા, તેનાથી વિપરીત, તત્વોના એક સમૂહમાં હાજરીની વાત આવે. અન્યમાં સમાયેલ નથી.

વાચકે નિઃશંકપણે એ હકીકત તરફ ધ્યાન દોર્યું કે કાયદા 6), 7), 8), 9) અને 12) સામાન્ય બીજગણિતના જાણીતા વિનિમયાત્મક, સહયોગી અને વિતરણ કાયદાઓ સાથે બાહ્ય રીતે સમાન છે. તે અનુસરે છે કે સામાન્ય બીજગણિતના તમામ નિયમો જે આ કાયદાઓમાંથી અનુસરે છે તે સમૂહ બીજગણિતમાં પણ માન્ય છે. તેનાથી વિપરીત, કાયદાઓ 10), 11) અને 13) સામાન્ય બીજગણિતમાં કોઈ અનુરૂપ નથી, અને તેઓ સમૂહ બીજગણિતને એક સરળ માળખું આપે છે. ઉદાહરણ તરીકે, સમૂહ બીજગણિતમાં દ્વિપદી સૂત્ર સૌથી સરળ સમાનતા સુધી ઘટાડે છે

(A + B)n = (A + B) · (A + B) . . . (A + B) = A + B,

જે કાયદા 11 થી અનુસરે છે). કાયદા 14), 15) અને 17) કહે છે કે સમૂહોના જોડાણ અને આંતરછેદની કામગીરીના સંબંધમાં સમૂહો અને I ના ગુણધર્મો ઉમેરાની સંખ્યાત્મક ક્રિયાઓની કામગીરીના સંબંધમાં સંખ્યા 0 અને 1 ના ગુણધર્મો સાથે ખૂબ સમાન છે. ગુણાકાર પરંતુ કાયદો 16) આંકડાકીય બીજગણિતમાં કોઈ એનાલોગ નથી.

સમૂહ બીજગણિતમાં વધુ એક ક્રિયાને વ્યાખ્યાયિત કરવાનું બાકી છે. A એ સાર્વત્રિક સમૂહ I નો અમુક ઉપગણ છે. પછી I માં A ના પૂરકને A માં સમાવિષ્ટ ન હોય તેવા I ના તમામ ઘટકોના સમૂહ તરીકે સમજવામાં આવે છે. આ સમૂહ માટે આપણે A0 સંકેત રજૂ કરીએ છીએ. તેથી, જો હું તમામ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સમૂહ છું, અને A એ તમામ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓનો સમૂહ છે, તો A0 એ તમામનો સમાવેશ કરેલો સમૂહ છે. સંયુક્ત સંખ્યાઓઅને નંબર 1. A થી A0 માં સંક્રમણની કામગીરી, જેના માટે સામાન્ય બીજગણિતમાં કોઈ એનાલોગ નથી, નીચેના ગુણધર્મો ધરાવે છે:

23) A 00 = A.

24) A B ગુણોત્તર B ગુણોત્તરની સમકક્ષ છે 0 A0 .

25) (A + B)0 = A0 B0 . 26) (AB)0 = A0 + B0.

અમે ફરીથી આ ગુણધર્મોની ચકાસણી રીડર પર છોડીએ છીએ.

નિયમો 1)–26) સમૂહ બીજગણિતનો આધાર છે. તેમની પાસે નીચેના અર્થમાં "દ્વૈત" ની નોંધપાત્ર મિલકત છે:

જો કોઈ એક કાયદામાં 1)–26) અમે અનુરૂપને બદલીએ છીએ

(તેમની દરેક ઘટનાઓમાં), પછી પરિણામ ફરીથી સમાન કાયદાઓમાંથી એક છે. ઉદાહરણ તરીકે, કાયદો 6) કાયદામાં જાય છે 7), 12) 13 માં), 17) 16 માં), વગેરે. તે અનુસરે છે કે દરેક પ્રમેય જે કાયદા 1)–26) માંથી મેળવી શકાય છે તે બીજાને અનુરૂપ છે, તેના "દ્વિ" પ્રમેય, પ્રતીકોના સૂચવેલ ક્રમચયોના માધ્યમથી પ્રથમથી મેળવેલ. હકીકતમાં, સાબિતી થી

ચિ. સમૂહ 139 નું II બીજગણિત

પ્રથમ પ્રમેય સમાવે છે સુસંગત એપ્લિકેશન(ચાલુ તર્કના વિવિધ તબક્કાઓ પર) કેટલાક કાયદા 1-26), પછી અનુરૂપ તબક્કામાં "દ્વિ" કાયદાનો ઉપયોગ "દ્વિ" પ્રમેયનો પુરાવો બનશે. (ભૂમિતિમાં સમાન "દ્વૈતતા" માટે, પ્રકરણ IV જુઓ.)

2. ગાણિતિક તર્ક માટે અરજી. સમૂહ બીજગણિતના નિયમોની ચકાસણી A B સંબંધના તાર્કિક અર્થ અને A + B, AB અને A0 કામગીરીના વિશ્લેષણ પર આધારિત હતી. અમે હવે આ પ્રક્રિયાને ઉલટાવી શકીએ છીએ અને કાયદાઓ 1)–26)ને "તર્કના બીજગણિત" માટેના આધાર તરીકે ધ્યાનમાં લઈ શકીએ છીએ. ચાલો વધુ ચોક્કસ બનીએ: તર્કનો તે ભાગ જે સેટને લગતો છે, અથવા, જે અનિવાર્યપણે સમાન છે, વિચારણા હેઠળની વસ્તુઓના ગુણધર્મોને, કાયદા 1)–26)ના આધારે ઔપચારિક બીજગણિત પ્રણાલીમાં ઘટાડી શકાય છે. તાર્કિક "પરંપરાગત બ્રહ્માંડ" સમૂહ I ને વ્યાખ્યાયિત કરે છે; દરેક ગુણધર્મ A સમૂહ A ને વ્યાખ્યાયિત કરે છે જેમાં I માં તે ઑબ્જેક્ટ હોય છે જેની પાસે આ ગુણધર્મ છે. સામાન્ય તાર્કિક પરિભાષાને સેટની ભાષામાં અનુવાદિત કરવાના નિયમો સ્પષ્ટ છે

સુયોજિત બીજગણિતની દ્રષ્ટિએ, "બાર્બરા" સિલોગિઝમ સૂચવે છે કે "જો દરેક A એ B છે અને દરેક B એ C છે, તો દરેક A એ C છે" સરળ સ્વરૂપ લે છે:

3) જો A B અને B C, તો A C.

તેવી જ રીતે, "વિરોધાભાસનો કાયદો", જે જણાવે છે કે "એક વસ્તુમાં એક સાથે અમુક મિલકત હોઈ શકતી નથી અને ન પણ હોઈ શકે," આ રીતે લખાયેલ છે:

20) AA 0 = ,

એ "બાકાત મધ્યમનો કાયદો," જે કહે છે કે "ઓબ્જેક્ટમાં કેટલીક મિલકત હોવી જોઈએ અથવા ન હોવી જોઈએ," લખાયેલ છે:

19) A + A 0 = I.

આમ, તર્કનો તે ભાગ જે પ્રતીકો +, · અને 0 ની દ્રષ્ટિએ અભિવ્યક્ત છે તેને ઔપચારિક બીજગણિત પદ્ધતિ તરીકે ગણી શકાય, કાયદા 1)–26). ગણિતના તાર્કિક વિશ્લેષણના ફ્યુઝન પર આધારિત છે અને ગાણિતિક વિશ્લેષણતર્કશાસ્ત્ર, એક નવી શિસ્ત બનાવવામાં આવી હતી - ગાણિતિક તર્ક, જે હાલમાં ઝડપી વિકાસની પ્રક્રિયામાં છે.

સ્વયંસિદ્ધ દૃષ્ટિકોણથી, નોંધપાત્ર હકીકત એ છે કે વિધાન 1)–26), સમૂહ બીજગણિતના અન્ય તમામ પ્રમેયો સાથે, નીચેની ત્રણ સમાનતાઓ પરથી તાર્કિક રીતે અનુમાન કરી શકાય છે તે ધ્યાનને પાત્ર છે:

27) A + B = B + A,

(A + B) + C = A + (B + C),

(A0 + B0 )0 + (A0 + B)0 = A.

તે અનુસરે છે કે સમૂહ બીજગણિતને યુક્લિડિયન ભૂમિતિની જેમ, આ ત્રણ જોગવાઈઓના આધારે, સ્વયંસિદ્ધ તરીકે સ્વીકૃત, સંપૂર્ણ અનુમાનિત સિદ્ધાંત તરીકે બાંધી શકાય છે. જો આ સિદ્ધાંતો સ્વીકારવામાં આવે, તો ઓપરેશન AB અને સંબંધ A B એ A + B અને A0 ની દ્રષ્ટિએ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે:

ગાણિતિક પ્રણાલીનું એક સંપૂર્ણપણે અલગ પ્રકારનું ઉદાહરણ જેમાં સમૂહ બીજગણિતના તમામ ઔપચારિક નિયમો સંતોષાય છે તે આઠ અંકોની સિસ્ટમ દ્વારા આપવામાં આવે છે 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30: અહીં a + b સૂચવે છે , અનુસાર

વ્યાખ્યા, a અને b નો સામાન્ય લઘુત્તમ ગુણાંક, ab એ a અને b નો સૌથી મોટો સામાન્ય વિભાજક છે, a b એ વિધાન છે “b ને a વડે ભાગવામાં આવે છે” અને a0 એ સંખ્યા 30 a છે. સુ-

આવા ઉદાહરણોનું અસ્તિત્વ સામાન્ય બીજગણિત પ્રણાલીઓના અભ્યાસ તરફ દોરી ગયું જે 27 ના નિયમોને સંતોષે છે). અંગ્રેજી ગણિતશાસ્ત્રી અને તર્કશાસ્ત્રી જ્યોર્જ બૂલે (1815-1864) પછી આવી પ્રણાલીઓને "બુલિયન બીજગણિત" કહેવામાં આવે છે, જેમનું પુસ્તક 1854માં એન ઇન્વેસ્ટિગેશન ઓફ ધ લોઝ ઓફ થોટ પ્રકાશિત થયું હતું.

3. સંભાવના સિદ્ધાંત માટેની એપ્લિકેશનોમાંથી એક. સેટ બીજગણિત ધરાવે છે સૌથી નજીકનો સંબંધસંભાવના સિદ્ધાંત અને અમને તેને નવા પ્રકાશમાં જોવાની મંજૂરી આપે છે. ચાલો સૌથી સરળ ઉદાહરણને ધ્યાનમાં લઈએ: સંભવિત પરિણામોની મર્યાદિત સંખ્યા સાથેના પ્રયોગની કલ્પના કરો, જે બધાને "સમાન રીતે શક્ય" માનવામાં આવે છે. એક પ્રયોગ, ઉદાહરણ તરીકે, સારી રીતે શફલ્ડ ફુલ ડેકમાંથી રેન્ડમ પર કાર્ડ દોરવાનો સમાવેશ કરી શકે છે. જો આપણે I દ્વારા પ્રયોગના તમામ પરિણામોના સમૂહને સૂચિત કરીએ, અને A એ I ના કેટલાક સબસેટને સૂચવે છે, તો સંભાવના એ છે કે પ્રયોગનું પરિણામ સબસેટ Aનું હશે તે ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.

p(A) = A ના ઘટકોની સંખ્યા. તત્વોની સંખ્યા I

જો આપણે અમુક સમૂહ Aમાં તત્વોની સંખ્યાને n(A) દ્વારા દર્શાવવા માટે સંમત થઈએ, તો છેલ્લી સમાનતાને સ્વરૂપ આપી શકાય.

સેટ બીજગણિતના વિચારો જ્યારે જરૂરી હોય ત્યારે સંભાવનાઓની ગણતરી કરતી વખતે, કેટલાક સેટની સંભાવનાઓને જાણીને, અન્યની સંભાવનાઓની ગણતરી કરતી વખતે પ્રગટ થાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, p(A), p(B) અને p(AB) સંભાવનાઓને જાણીને, તમે p(A + B) સંભાવનાની ગણતરી કરી શકો છો:

આ સાબિત કરવું મુશ્કેલ નહીં હોય. અમારી પાસે છે

n(A + B) = n(A) + n(B) − n(AB),

કારણ કે A અને B માં એકસાથે સમાયેલ તત્વો, એટલે કે તત્વો AB, સરવાળા n(A) + n(B) ની ગણતરી કરતી વખતે બે વાર ગણવામાં આવે છે, અને તેથી, ગણતરી કરવા માટે આ રકમમાંથી n(AB) બાદબાકી કરવી જરૂરી છે n(A + B) યોગ્ય રીતે બનાવવામાં આવ્યું હતું. પછી સમાનતાની બંને બાજુઓને n(I) વડે વિભાજીત કરવાથી, આપણને સંબંધ (2) મળે છે.

જો આપણે I માંથી ત્રણ સેટ A, B, C વિશે વાત કરીએ તો વધુ રસપ્રદ સૂત્ર પ્રાપ્ત થાય છે. સંબંધ (2) નો ઉપયોગ કરીને, આપણી પાસે

p(A + B + C) = p[(A + B) + C] = p(A + B) + p(C) − p[(A + B)C].

પાછલા ફકરામાંથી કાયદો (12) આપણને (A + B) C = AC + BC આપે છે. તે આમાંથી નીચે મુજબ છે:

p[(A + B)C)] = p(AC + BC) = p(AC) + p(BC) − p(ABC).

મૂલ્ય p[(A + B)C] અને મૂલ્ય p(A + B) ને (2) માંથી અગાઉ મેળવેલા સંબંધમાં બદલીને, આપણે જે ફોર્મ્યુલાની જરૂર છે તેના પર પહોંચીએ છીએ:

p(A + B + C) = p(A) + p(B) + p(C) − p(AB) − p(AC) − p(BC) + p(ABC). (3)

ઉદાહરણ તરીકે, નીચેના પ્રયોગને ધ્યાનમાં લો. ત્રણ નંબરો 1, 2, 3 કોઈપણ ક્રમમાં લખવામાં આવે છે. ઓછામાં ઓછો એક અંક સાચા (ક્રમાંકની દ્રષ્ટિએ) સ્થાને હોવાની સંભાવના કેટલી છે? A એ ક્રમચયોનો સમૂહ છે જેમાં નંબર 1 પ્રથમ સ્થાને છે, B ક્રમચયોનો સમૂહ છે જેમાં નંબર 2 બીજા સ્થાને છે, C ક્રમચયોનો સમૂહ છે જેમાં નંબર 3 ત્રીજા સ્થાને છે. આપણે p(A + B + C) ની ગણતરી કરવાની જરૂર છે. તે સ્પષ્ટ છે કે

p(A) = p(B) = p(C) = 2 6 = 1 3 ;

ખરેખર, જો કોઈપણ અંક યોગ્ય સ્થાને હોય, તો બાકીના બે અંકોને ફરીથી ગોઠવવાની બે શક્યતાઓ છે. કુલ સંખ્યા 3 · 2 · 1 = 6 ત્રણ અંકોના સંભવિત ક્રમચયો. આગળ,

વ્યાયામ. p(A + B + C + D) માટે યોગ્ય સૂત્ર મેળવો અને તેને 4 અંકો ધરાવતા પ્રયોગમાં લાગુ કરો. અનુરૂપ સંભાવના 5 8 = 0.6250 છે.

n સમૂહોને સંયોજિત કરવા માટેનું સામાન્ય સૂત્ર છે

સંયોજનો જેમાં એક, બે, ત્રણ, . . . , (n − 1) A1 , A2 , માંથી અક્ષરો. . .

એન. આ સૂત્ર ગાણિતિક ઇન્ડક્શન દ્વારા સ્થાપિત કરી શકાય છે - તે જ રીતે ફોર્મ્યુલા (3) ફોર્મ્યુલા (2)માંથી ઉતરી આવ્યું હતું.

સૂત્ર (4) પરથી આપણે તારણ કાઢી શકીએ કે જો n અંકો 1, 2, 3, . . . , n એ કોઈપણ ક્રમમાં લખવામાં આવે છે, તો સંભવ છે કે ઓછામાં ઓછા એક અંકો યોગ્ય સ્થાને હશે.

અને છેલ્લું પદ + અથવા − ચિહ્નથી આગળ આવે છે, જે n સમ કે વિષમ છે તેના પર આધાર રાખે છે. ખાસ કરીને, n = 5 માટે આ સંભાવના બરાબર છે

p5 = 1 − 2! +3! − 4! + 5! = 30 = 0.6333. . .

આપણે પ્રકરણ VIII માં જોઈશું કે જેમ n અનંતની નજીક આવે છે, અભિવ્યક્તિ

1 1 1 1 Sn = 2! − 3! + 4! - . . ±n!

મર્યાદા 1 e તરફ વલણ ધરાવે છે, જેનું મૂલ્ય, પાંચ દશાંશ સ્થાનો સુધી,

0.36788 બરાબર છે. કારણ કે તે સૂત્ર (5) થી સ્પષ્ટ છે કે pn = 1 − Sn, તે તેને n → ∞ તરીકે અનુસરે છે

pn → 1 − e ≈ 0.63212.

ગુણાતીત સંખ્યા

એવી સંખ્યા (વાસ્તવિક અથવા કાલ્પનિક) જે કોઈપણ બીજગણિત સમીકરણને સંતોષતી નથી (જુઓ. બીજગણિત સમીકરણ) પૂર્ણાંક ગુણાંક સાથે. આમ, સંખ્યાની સંખ્યાઓ બીજગણિત સંખ્યાઓ સાથે વિરોધાભાસી છે (જુઓ. બીજગણિત નંબર). T. h ના અસ્તિત્વની સ્થાપના જે. લિયુવિલે(1844). લિઓવિલે માટે પ્રારંભિક બિંદુ તેમનું પ્રમેય હતું, જે મુજબ આપેલ અતાર્કિક બીજગણિત સંખ્યાને આપેલ છેદ સાથેના તર્કસંગત અપૂર્ણાંકના અંદાજનો ક્રમ મનસ્વી રીતે વધારે હોઈ શકતો નથી. જેમ કે, જો બીજગણિત નંબર એડિગ્રીના અફર બીજગણિતીય સમીકરણને સંતોષે છે nપૂર્ણાંક ગુણાંક સાથે, તો પછી કોઈપણ તર્કસંગત સંખ્યા માટે c માત્ર પર આધાર રાખે છે α ). તેથી, જો આપેલ અતાર્કિક સંખ્યા α માટે કોઈ તર્કસંગત અંદાજના અનંત સમૂહનો ઉલ્લેખ કરી શકે છે જે કોઈપણ માટે આપેલ અસમાનતાને સંતોષતા નથી. સાથેઅને n(બધા અંદાજો માટે સમાન), પછી α T. h છે આવી સંખ્યાનું ઉદાહરણ આપે છે:

T. ch ના અસ્તિત્વનો બીજો પુરાવો જી. કેન્ટોર(1874), નોંધ્યું છે કે તમામ બીજગણિતીય સંખ્યાઓનો સમૂહ ગણતરીપાત્ર છે (એટલે ​​કે, તમામ બીજગણિતીય સંખ્યાઓ ફરીથી નંબર કરી શકાય છે; જુઓ સેટ થિયરી), જ્યારે તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો સમૂહ અગણિત છે.

આનાથી અનુસરવામાં આવ્યું કે સંખ્યા સંખ્યાઓનો સમૂહ અગણિત છે, અને આગળ તે સંખ્યા સંખ્યાઓ તમામ સંખ્યાઓના સમૂહનો મોટો ભાગ બનાવે છે. નિરપેક્ષ સંખ્યાઓના સિદ્ધાંતનું સૌથી મહત્વપૂર્ણ કાર્ય એ નક્કી કરવાનું છે કે શું દલીલના બીજગણિત મૂલ્યો માટે ચોક્કસ અંકગણિત અને વિશ્લેષણાત્મક ગુણધર્મો ધરાવતા વિશ્લેષણાત્મક કાર્યોના મૂલ્યો સાચી સંખ્યાઓ છે. આ પ્રકારની સમસ્યાઓ આધુનિક ગણિતની સૌથી મુશ્કેલ સમસ્યાઓમાંની એક છે. 1873માં શ.હર્માઇટ તે સાબિત કર્યું

નેપેરોવો નંબર 1882 માં, જર્મન ગણિતશાસ્ત્રી એફ. લિન્ડેમેને વધુ સામાન્ય પરિણામ મેળવ્યું: જો α એ બીજગણિત સંખ્યા છે, તો પછીα - ટી. એચ. લિપડેમેનનું પરિણામ જર્મન ગણિતશાસ્ત્રી કે. સિગેલ (1930) દ્વારા નોંધપાત્ર રીતે સામાન્યીકરણ કરવામાં આવ્યું હતું, જેમણે સાબિત કર્યું હતું કે, દલીલના બીજગણિત મૂલ્યો માટે નળાકાર કાર્યોના વિશાળ વર્ગના મૂલ્યની ઉત્કૃષ્ટતા. 1900 માં, પેરિસમાં એક ગાણિતિક કોંગ્રેસમાં, ડી. હિલ્બર્ટ, ગણિતની 23 વણઉકેલાયેલી સમસ્યાઓ પૈકી, નીચે દર્શાવેલ: એક ગુણાતીત સંખ્યા છે α β , ક્યાં α અને β - બીજગણિત સંખ્યાઓ, અને β - એક અતાર્કિક સંખ્યા, અને, ખાસ કરીને, સંખ્યા e π ગુણાતીત છે (સ્વરૂપની સંખ્યાના ગુણોત્તરતાની સમસ્યા α β એલ દ્વારા સૌપ્રથમ ખાનગી સ્વરૂપમાં મંચન કરવામાં આવ્યું હતું. યુલરઓમ, 1744). આ સમસ્યાનો સંપૂર્ણ ઉકેલ (હકારાત્મક અર્થમાં) ફક્ત 1934 માં A.O. ગેલફોન્ડ u ગેલફોન્ડની શોધમાંથી, ખાસ કરીને, તે અનુસરે છે કે કુદરતી સંખ્યાઓના તમામ દશાંશ લઘુગણક (એટલે ​​​​કે, "ટેબ્યુલર લોગરીધમ્સ") પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ છે.

લિટ.:ગેલફોન્ડ એ. ઓ., ટ્રાન્સસેન્ડેન્ટલ અને બીજગણિત સંખ્યાઓ, એમ., 1952.

મોટા સોવિયેત જ્ઞાનકોશ. - એમ.: સોવિયેત જ્ઞાનકોશ. 1969-1978 .

અન્ય શબ્દકોશોમાં "ટ્રાન્સેન્ડેન્ટલ નંબર" શું છે તે જુઓ:

એવી સંખ્યા જે પૂર્ણાંક ગુણાંક સાથે કોઈપણ બીજગણિતીય સમીકરણને સંતોષતી નથી. ગુણાતીત સંખ્યાઓ છે: સંખ્યા??3.14159...; કોઈપણ પૂર્ણાંકનો દશાંશ લઘુગણક જે શૂન્ય દ્વારા અનુસરવામાં આવતો નથી; નંબર e=2.71828... અને અન્ય... મોટા જ્ઞાનકોશીય શબ્દકોશ

- (લેટિન ટ્રાન્સસેન્ડરથી પાસ, ઓળંગી) એ વાસ્તવિક અથવા જટિલ સંખ્યા છે જે બીજગણિત નથી, બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, એવી સંખ્યા જે પૂર્ણાંક ગુણાંક સાથે બહુપદીનું મૂળ ન હોઈ શકે. વિષયવસ્તુ 1 ગુણધર્મો 2 ... ... વિકિપીડિયા

એવી સંખ્યા જે પૂર્ણાંક ગુણાંક સાથે કોઈપણ બીજગણિતીય સમીકરણને સંતોષતી નથી. અતીન્દ્રિય સંખ્યાઓ છે: સંખ્યા π = 3.14159...; કોઈપણ પૂર્ણાંકનો દશાંશ લઘુગણક જે શૂન્ય દ્વારા અનુસરવામાં આવતો નથી; નંબર e = 2.71828... વગેરે... જ્ઞાનકોશીય શબ્દકોશ

એવી સંખ્યા જે કોઈપણ બીજગણિતને સંતોષતી નથી. પૂર્ણાંક ગુણાંક સાથે સમીકરણ. સહિત: નંબર PI = 3.14159...; કોઈપણ પૂર્ણાંકનો દશાંશ લઘુગણક જે શૂન્ય દ્વારા અનુસરવામાં આવતો નથી; નંબર e = 2.71828... વગેરે... કુદરતી વિજ્ઞાન. જ્ઞાનકોશીય શબ્દકોશ

એવી સંખ્યા કે જે પૂર્ણાંક ગુણાંક સાથે કોઈપણ બહુપદીનું મૂળ નથી. આવી સંખ્યાઓની વ્યાખ્યાનું ક્ષેત્ર વાસ્તવિક, જટિલ અને રેડિટિક સંખ્યાઓના શૂન્ય છે. વાસ્તવિક T. ભાગોના અસ્તિત્વ અને સ્પષ્ટ બાંધકામોને જે. લિઓવિલે દ્વારા સમર્થન આપવામાં આવ્યું હતું... ... ગાણિતિક જ્ઞાનકોશ

એક સમીકરણ કે જે બીજગણિત નથી. સામાન્ય રીતે આ ઘાતાંકીય, લઘુગણક, ત્રિકોણમિતિ, વ્યસ્ત ત્રિકોણમિતિ વિધેયો ધરાવતા સમીકરણો છે, ઉદાહરણ તરીકે: વધુ કડક વ્યાખ્યા છે: અતીન્દ્રિય સમીકરણ એ એક સમીકરણ છે... વિકિપીડિયા

લગભગ 2.718 ની સમાન સંખ્યા, જે ઘણીવાર ગણિતમાં જોવા મળે છે અને કુદરતી વિજ્ઞાન. ઉદાહરણ તરીકે, જ્યારે કિરણોત્સર્ગી પદાર્થ સમય t પછી ક્ષીણ થાય છે, ત્યારે ekt જેટલો અપૂર્ણાંક પદાર્થની પ્રારંભિક રકમનો રહે છે, જ્યાં k એ સંખ્યા છે,... ... કોલિયર્સ એનસાયક્લોપીડિયા

E એ ગાણિતિક સ્થિરાંક છે, કુદરતી લઘુગણકનો આધાર, એક અતાર્કિક અને અતીન્દ્રિય સંખ્યા. કેટલીકવાર e ને યુલર નંબર કહેવામાં આવે છે (પ્રથમ પ્રકારના કહેવાતા યુલર નંબરો સાથે ભેળસેળ ન કરવી) અથવા નેપિયર નંબર. લોઅરકેસ લેટિન અક્ષર "e" દ્વારા સૂચિત.... ... વિકિપીડિયા

E એ ગાણિતિક સ્થિરાંક છે, કુદરતી લઘુગણકનો આધાર, એક અતાર્કિક અને અતીન્દ્રિય સંખ્યા. કેટલીકવાર e ને યુલર નંબર કહેવામાં આવે છે (પ્રથમ પ્રકારના કહેવાતા યુલર નંબરો સાથે ભેળસેળ ન કરવી) અથવા નેપિયર નંબર. લોઅરકેસ લેટિન અક્ષર "e" દ્વારા સૂચિત.... ... વિકિપીડિયા

4.2. બીજગણિત અને ગુણાતીત સંખ્યાઓ

વાસ્તવિક સંખ્યાઓને કેટલીકવાર બીજગણિત અને અતીન્દ્રિયમાં પણ વિભાજિત કરવામાં આવે છે.

બીજગણિતીય સંખ્યાઓ એવી સંખ્યાઓ છે જે પૂર્ણાંક ગુણાંક સાથે બીજગણિતીય બહુપદીના મૂળ છે, ઉદાહરણ તરીકે, 4, . અન્ય તમામ (બિન-બીજગણિતીય) સંખ્યાઓને અતીન્દ્રિય ગણવામાં આવે છે. દરેક તર્કસંગત સંખ્યા p/q એ પૂર્ણાંક ગુણાંક qx -p સાથે પ્રથમ ડિગ્રીના અનુરૂપ બહુપદીનું મૂળ હોવાથી, પછી તમામ ગુણાતીત સંખ્યાઓ અતાર્કિક છે.

ચાલો પ્રકાશિત કરીએ લાક્ષણિક લક્ષણોગણવામાં આવેલ (કુદરતી, તર્કસંગત, વાસ્તવિક) સંખ્યાઓ: તેઓ માત્ર એક જ મિલકતનું મોડેલ કરે છે - જથ્થો; તેઓ એક-પરિમાણીય છે અને બધા એક સીધી રેખા પરના બિંદુઓ દ્વારા રજૂ થાય છે, જેને સંકલન અક્ષ કહેવાય છે.

5. જટિલ સંખ્યાઓ

5.1. કાલ્પનિક સંખ્યાઓ

અતાર્કિક લોકો કરતાં પણ અજાણ્યા એ નવા સ્વભાવની સંખ્યાઓ હતી, જે 1545 માં ઇટાલિયન વૈજ્ઞાનિક કાર્ડાનો દ્વારા શોધી કાઢવામાં આવી હતી. તેણે બતાવ્યું કે સમીકરણોની એક સિસ્ટમ કે જેમાં વાસ્તવિક સંખ્યાઓના સમૂહમાં કોઈ ઉકેલો નથી, તેના સ્વરૂપના ઉકેલો છે. તમારે ફક્ત સામાન્ય બીજગણિતના નિયમો અનુસાર આવા અભિવ્યક્તિઓ પર કાર્ય કરવા માટે સંમત થવાની જરૂર છે અને ધારો કે · = -.

કાર્ડનોએ આવા જથ્થાઓને "શુદ્ધપણે નકારાત્મક" અને "સંસ્કારી રીતે નકારાત્મક" પણ કહ્યા, તેમને નકામું માન્યું અને તેનો ઉપયોગ ન કરવાનો પ્રયાસ કર્યો.

લાંબા સમય સુધી, આ સંખ્યાઓ અશક્ય, અવિદ્યમાન, કાલ્પનિક માનવામાં આવતી હતી. ડેસકાર્ટેસ તેમને કાલ્પનિક કહ્યા, લીબનીઝ - "વિચારોની દુનિયામાંથી મુક્ત, અસ્તિત્વ અને બિન-અસ્તિત્વ વચ્ચે સ્થિત એક એન્ટિટી."

હકીકતમાં, આવી સંખ્યાઓની મદદથી કોઈપણ જથ્થાને માપવાના પરિણામ અથવા કોઈપણ જથ્થામાં ફેરફારને વ્યક્ત કરવું અશક્ય છે.

સંકલન અક્ષ પર કાલ્પનિક સંખ્યાઓ માટે કોઈ સ્થાન ન હતું. જો કે, વૈજ્ઞાનિકોએ નોંધ્યું છે કે જો આપણે સંકલન અક્ષના ધન ભાગ પર વાસ્તવિક સંખ્યા b લઈએ અને તેનો ગુણાકાર કરીએ, તો આપણને એક કાલ્પનિક સંખ્યા b મળે છે, જે અજ્ઞાત ક્યાં સ્થિત છે. પરંતુ જો આપણે આ સંખ્યાને ફરીથી વડે ગુણાકાર કરીએ, તો આપણને -b મળે છે, એટલે કે મૂળ સંખ્યા, પરંતુ સંકલન અક્ષના નકારાત્મક ભાગ પર. તેથી, બે ગુણાકાર દ્વારા આપણે સંખ્યા b ને હકારાત્મકમાંથી નકારાત્મક તરફ ફેંકી દીધી, અને બરાબર આ ફેંકવાની મધ્યમાં સંખ્યા કાલ્પનિક હતી. આ રીતે અમને કાલ્પનિક સંકલન અક્ષ પરના બિંદુઓ પર કાલ્પનિક સંખ્યાઓ માટે સ્થાન મળ્યું જે વાસ્તવિક સંકલન અક્ષની મધ્યમાં લંબ છે. કાલ્પનિક અને વાસ્તવિક અક્ષો વચ્ચેના વિમાનના બિંદુઓ કાર્ડનો દ્વારા મળેલી સંખ્યાઓનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે, જે સામાન્ય દૃશ્ય a + b·i વાસ્તવિક સંખ્યાઓ a અને કાલ્પનિક સંખ્યાઓ b·i એક જટિલ (રચના) માં ધરાવે છે, તેથી તેમને જટિલ સંખ્યાઓ કહેવામાં આવે છે.

આ સંખ્યાના સામાન્યીકરણનું 4થું સ્તર હતું.

કાલ્પનિક સંખ્યાઓ પર કામગીરી કરવાની તકનીક ધીમે ધીમે વિકસિત થઈ. 17મી અને 17મી સદીના વળાંક પર, અંગ્રેજ ગણિતશાસ્ત્રી એ. મોઇવરના નીચેના સૂત્રના આધારે, પ્રથમ નકારાત્મક અને પછી કોઈપણ જટિલ સંખ્યાઓમાંથી, nમી શક્તિના મૂળનો સામાન્ય સિદ્ધાંત બનાવવામાં આવ્યો હતો:

આ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને, બહુવિધ ચાપના કોસાઇન્સ અને સાઇન્સ માટેના સૂત્રો મેળવવાનું પણ શક્ય હતું.

લિયોનહાર્ડ યુલરે 1748 માં એક નોંધપાત્ર સૂત્ર મેળવ્યું:

જે ઘાતાંકીય કાર્યને ત્રિકોણમિતિ સાથે જોડે છે. યુલરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને, e ને કોઈપણ સુધી વધારવું શક્ય હતું વ્યાપક ડિગ્રી. તે રસપ્રદ છે, ઉદાહરણ તરીકે, તે ... તમે જટિલ સંખ્યાઓના પાપ અને કોસ શોધી શકો છો, આવી સંખ્યાઓના લઘુગણકની ગણતરી કરી શકો છો, વગેરે.

લાંબા સમયથી, ગણિતશાસ્ત્રીઓ પણ જટિલ સંખ્યાઓને રહસ્યમય માનતા હતા અને તેનો ઉપયોગ ફક્ત ગાણિતિક મેનિપ્યુલેશન્સ માટે જ કરતા હતા. આમ, સ્વિસ ગણિતશાસ્ત્રી બર્નૌલીએ પૂર્ણાંકો ઉકેલવા જટિલ સંખ્યાઓનો ઉપયોગ કર્યો હતો. થોડા સમય પછી, કાલ્પનિક સંખ્યાઓની મદદથી, તેઓ રેખીય માટે ઉકેલો વ્યક્ત કરવાનું શીખ્યા વિભેદક સમીકરણોસતત ગુણાંક સાથે. આવા સમીકરણો જોવા મળે છે, ઉદાહરણ તરીકે, ઓસિલેશનના સિદ્ધાંતમાં સામગ્રી બિંદુપ્રતિરોધક વાતાવરણમાં.

બીજગણિત જૂથોમેટ્રિસિસ

બીજગણિત બંધ સિસ્ટમો

ચાલો બીજગણિત ક્રિયાના ખ્યાલથી શરૂઆત કરીએ. A એ બીજગણિતીય કામગીરી U ના સમૂહ સાથે સાર્વત્રિક બીજગણિત બનવા દો. U માંથી દરેક ક્રિયા U માં ચોક્કસ એરિટી n, nN(0) હોય છે. કોઈપણ કુદરતી સંખ્યા n માટે, n-ary ઑપરેશન u એ An થી A સુધીનું મેપિંગ છે...

અવિભાજ્ય સંખ્યાઓની શક્તિ

પરસ્પર અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ એ પ્રાકૃતિક અથવા પૂર્ણ સંખ્યાઓ છે કે જેમાં 1 કરતા વધુ એકમોની સમાન સંખ્યા હોતી નથી, અથવા અન્યથા 1 કરતા મોટી સંખ્યામાં એકમો હોય તેવું લાગે છે. આમ, 2 અને 3 -- ખૂબ જ સરળ રીતે, અને 2 અને 4 નથી (2 વડે ભાગ્યા)...

આલેખ અને તેમના કાર્યો

ચાલો ફંક્શન્સ અને તેમના આલેખ પર મૂળભૂત બીજગણિત ક્રિયાઓ ધ્યાનમાં લઈએ, જેમ કે સરવાળો અને બાદબાકી (y = f(x) ±g(x)), ગુણાકાર (y = f(x) g(x)), ભાગાકાર (y = f( x) / g(x)). આ પ્રકારનો ગ્રાફ બનાવતી વખતે, તમારે ધ્યાનમાં લેવું જોઈએ...

જટિલ સંખ્યાઓ: તેમના ભૂતકાળ અને વર્તમાન

મધ્ય યુગમાં ગણિત

આવશ્યક શરતસમીકરણોની પ્રણાલીઓમાં ફેંગ ચેંગ પદ્ધતિનો ઉપયોગ એ નકારાત્મક સંખ્યાઓનો પરિચય હતો. ઉદાહરણ તરીકે, સિસ્ટમ ઉકેલતી વખતે, અમને એક ટેબલ મળે છે. આગલું પગલું: ત્રીજા સ્તંભના ઘટકોને પ્રથમના ઘટકોમાંથી જમણી બાજુથી બાદ કરવું...

અંકશાસ્ત્ર

પાયથાગોરસ સંખ્યાઓને વાસ્તવિક વસ્તુઓ માટે માત્ર અમૂર્ત અવેજી જ નહીં, પરંતુ અવકાશ, ઉર્જા અથવા ધ્વનિ સ્પંદનના ગુણધર્મોને પ્રતિબિંબિત કરતી જીવંત સંસ્થાઓ માનતા હતા. સંખ્યાનું મુખ્ય વિજ્ઞાન, અંકગણિત...

અંકશાસ્ત્ર

દંતકથા એવી છે કે હાર્મોનિક સંખ્યાઓ, જેનું ગુણોત્તર ગોળાના સંગીતને જન્મ આપે છે, પાયથાગોરસ દ્વારા શોધવામાં આવી હતી. ફ્લેમેરિયન આ દંતકથાને નીચે પ્રમાણે કહે છે: "તેઓ કહે છે કે ફોર્જ પાસેથી પસાર થતી વખતે, તેણે હથોડાનો અવાજ સાંભળ્યો ...

પ્રાયોગિક એપ્લિકેશનચેબીશેવ-હર્માઇટ વજન સાથે ચતુર્થાંશ સૂત્રો

સમગ્ર ધરી પર એક સમાન વજનનું કાર્ય નિર્દિષ્ટ થવા દો.

(1.1) આ ફંક્શનને ક્રમિક રીતે અલગ કરતા, અમે શોધીએ છીએ (1.2) ઇન્ડક્શન દ્વારા સાબિત કરવું સરળ છે કે ફંક્શનનો ક્રમ n વ્યુત્પન્ન (1.1) ડિગ્રી n ના કેટલાક બહુપદી દ્વારા આ ફંક્શનનું ઉત્પાદન છે...

ચાલો એક નવો અમાન્ય નંબર રજૂ કરીએ જેનો વર્ગ -1 છે. અમે આ સંખ્યાને I ચિહ્ન દ્વારા દર્શાવીએ છીએ અને તેને કાલ્પનિક એકમ કહીએ છીએ. તેથી, (2.1) પછી. (2.2) 1. જટિલ સંખ્યાનું બીજગણિત સ્વરૂપ જો, તો સંખ્યા (2.3) ને જટિલ સંખ્યા કહેવામાં આવે છે...

વારંવાર વ્યાખ્યાયિત સંખ્યાત્મક સિક્વન્સ

ઘણી સમસ્યાઓનું નિરાકરણ કરતી વખતે, તમારે વારંવાર આપવામાં આવતી સિક્વન્સનો સામનો કરવો પડે છે, પરંતુ, ફિબોનાકી ક્રમથી વિપરીત, તેનું વિશ્લેષણાત્મક કાર્ય મેળવવું હંમેશા શક્ય નથી...

તેમના ઉકેલો માટે પરિમાણો અને પદ્ધતિઓ સાથેના ગુણાતીત સમીકરણો

અતીન્દ્રિય સમીકરણ એ અજ્ઞાત (ચલ) ના ગુણાતીત કાર્યો (અતાર્કિક, લઘુગણક, ઘાતાંકીય, ત્રિકોણમિતિ અને વ્યસ્ત ત્રિકોણમિતિ) ધરાવતું સમીકરણ છે, ઉદાહરણ તરીકે સમીકરણ...

લાંબા સમય પહેલા, જ્યારે પોતાને કાંકરા સાથે ગણતરી કરવામાં મદદ કરતા હતા, ત્યારે લોકોએ કાંકરામાંથી બનાવી શકાય તેવા સાચા આંકડાઓ પર ધ્યાન આપ્યું હતું. તમે સરળતાથી કાંકરાને એક પંક્તિમાં મૂકી શકો છો: એક, બે, ત્રણ. જો તમે તેને લંબચોરસ બનાવવા માટે બે હરોળમાં મૂકો છો...

અતીન્દ્રિય સમીકરણ એ અજ્ઞાત (ચલ) ના ગુણાતીત કાર્યો (અતાર્કિક, લઘુગણક, ઘાતાંકીય, ત્રિકોણમિતિ અને વ્યસ્ત ત્રિકોણમિતિ) ધરાવતું સમીકરણ છે, ઉદાહરણ તરીકે સમીકરણ...

કેટલીકવાર સંપૂર્ણ સંખ્યાઓ મૈત્રીપૂર્ણ સંખ્યાઓનો વિશેષ કેસ માનવામાં આવે છે: દરેક સંપૂર્ણ સંખ્યા તેના માટે અનુકૂળ હોય છે. ગેરાસના નિકોમાકસ, એક પ્રખ્યાત ફિલસૂફ અને ગણિતશાસ્ત્રીએ લખ્યું: "સંપૂર્ણ સંખ્યાઓ સુંદર છે પરંતુ તે જાણીતું છે ...

સામાજિક પ્રક્રિયાઓના ખંડિત ગુણધર્મો

ભૌમિતિક ખંડિતસ્થિર આંકડા છે. આ અભિગમ તદ્દન સ્વીકાર્ય છે જ્યાં સુધી આને ધ્યાનમાં લેવાની જરૂર નથી કુદરતી ઘટનાજેમ કે પાણીના વહેતા પ્રવાહો, ધુમાડાના તોફાની વમળો...