ઑબ્જેક્ટના વિકાસની ગતિશીલતા, તેના તત્વોના ગુણોત્તરનો આંતરિક સાર અને ડિઝાઇન પ્રક્રિયામાં વિવિધ રાજ્યોને ફક્ત ગતિશીલ સામ્યતાના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરતા મોડલની મદદથી, એટલે કે ગાણિતિકની મદદથી શોધી શકાય છે. મોડેલો

ગાણિતિક મોડેલગાણિતિક સંબંધોની એક સિસ્ટમ છે જે અભ્યાસ હેઠળની પ્રક્રિયા અથવા ઘટનાનું વર્ણન કરે છે. ગાણિતિક મોડેલનું સંકલન કરવા માટે, તમે કોઈપણ ગાણિતિક માધ્યમોનો ઉપયોગ કરી શકો છો - સેટ થિયરી, ગાણિતિક તર્ક, વિભેદક અથવા અભિન્ન સમીકરણોની ભાષા. ગાણિતિક મોડલ દોરવાની પ્રક્રિયા કહેવામાં આવે છે ગાણિતિક મોડેલિંગ. અન્ય પ્રકારના મૉડલની જેમ, ગાણિતિક મૉડલ એક કાર્યને સરળ સ્વરૂપમાં રજૂ કરે છે અને આપેલ ઑબ્જેક્ટ અથવા પ્રક્રિયા માટે સૌથી મહત્વપૂર્ણ એવા ગુણધર્મો અને દાખલાઓનું જ વર્ણન કરે છે. ગાણિતિક મોડલ બહુપક્ષીય જથ્થાત્મક વિશ્લેષણ માટે પરવાનગી આપે છે. પ્રારંભિક ડેટા, માપદંડો, પ્રતિબંધોને બદલીને, દરેક વખતે આપેલ શરતો માટે શ્રેષ્ઠ ઉકેલ મેળવવાનું અને શોધની આગળની દિશા નક્કી કરવાનું શક્ય છે.

ગાણિતિક મોડલની રચના માટે તેમના વિકાસકર્તાઓ પાસેથી, ઔપચારિક તાર્કિક પદ્ધતિઓના જ્ઞાન ઉપરાંત, મુખ્ય વિચારો અને નિયમોને સખત રીતે ઘડવા માટે અભ્યાસ હેઠળના ઑબ્જેક્ટનું સંપૂર્ણ વિશ્લેષણ, તેમજ પર્યાપ્ત માત્રામાં વિશ્વસનીય તથ્યોને ઓળખવા માટે જરૂરી છે. આંકડાકીય અને માનક માહિતી.

એ નોંધવું જોઇએ કે હાલમાં ઉપયોગમાં લેવાતા તમામ ગાણિતિક મોડલનો સંદર્ભ છે પ્રિસ્ક્રિપ્ટિવ. પ્રિસ્ક્રિપ્ટિવ મોડલ વિકસાવવાનું લક્ષ્ય ઉકેલની શોધની દિશા સૂચવવાનું છે, જ્યારે વિકાસનું લક્ષ્ય વર્ણન કરે છેમોડેલો - માનવ વિચારસરણીની વાસ્તવિક પ્રક્રિયાઓનું પ્રતિબિંબ.

ત્યાં એકદમ વ્યાપક દૃષ્ટિકોણ છે કે ગણિતની મદદથી જે વસ્તુ અથવા પ્રક્રિયાનો અભ્યાસ કરવામાં આવે છે તેના પર માત્ર અમુક આંકડાકીય માહિતી મેળવવાનું શક્ય છે. “અલબત્ત, ઘણી ગાણિતિક શાખાઓનો હેતુ અંતિમ સંખ્યાત્મક પરિણામ મેળવવાનો છે. પરંતુ ગાણિતિક પદ્ધતિઓને માત્ર સંખ્યા મેળવવાની સમસ્યા સુધી ઘટાડવાનો અર્થ એ છે કે ગણિતને અનંતપણે ગરીબ કરવું, તે શક્તિશાળી શસ્ત્રની સંભાવનાને નબળી કરવી જે આજે સંશોધકોના હાથમાં છે ...

ચોક્કસ ભાષામાં લખાયેલ ગાણિતિક મોડેલ (ઉદાહરણ તરીકે, વિભેદક સમીકરણો) વાસ્તવિક ભૌતિક પ્રક્રિયાઓના ચોક્કસ ગુણધર્મોને પ્રતિબિંબિત કરે છે. ગાણિતિક મોડલના પૃથ્થકરણના પરિણામે, આપણે સૌ પ્રથમ, અભ્યાસ હેઠળની પ્રક્રિયાઓની વિશેષતાઓ વિશે ગુણાત્મક વિચારો મેળવીએ છીએ, અનુગામી અવસ્થાઓની ગતિશીલ શ્રેણીને નિર્ધારિત કરતી પેટર્ન સ્થાપિત કરીએ છીએ, પ્રક્રિયાના અભ્યાસક્રમની આગાહી કરવાની તક મેળવીએ છીએ અને તેની માત્રાત્મક લાક્ષણિકતાઓ નક્કી કરો.

ઘણી જાણીતી મોડેલિંગ પદ્ધતિઓમાં ગાણિતિક મોડલનો ઉપયોગ થાય છે. તેમાંના મોડેલોનો વિકાસ છે જે ઑબ્જેક્ટની સ્થિર અને ગતિશીલ સ્થિતિનું વર્ણન કરે છે, ઑપ્ટિમાઇઝેશન મોડલ્સ.

ઑબ્જેક્ટની સ્થિર અને ગતિશીલ સ્થિતિનું વર્ણન કરતા ગાણિતિક મોડલનું ઉદાહરણ પરંપરાગત માળખાકીય ગણતરીઓની વિવિધ પદ્ધતિઓ હોઈ શકે છે. ગાણિતિક ક્રિયાઓ (એલ્ગોરિધમ) ના ક્રમ તરીકે રજૂ કરાયેલ ગણતરી પ્રક્રિયા, અમને કહેવાની મંજૂરી આપે છે કે ચોક્કસ ડિઝાઇનની ગણતરી કરવા માટે ગાણિતિક મોડેલનું સંકલન કરવામાં આવ્યું છે.

IN ઑપ્ટિમાઇઝેશનમોડેલોમાં ત્રણ ઘટકો છે:

સ્વીકૃત ગુણવત્તા માપદંડને પ્રતિબિંબિત કરતું લક્ષ્ય કાર્ય;

એડજસ્ટેબલ પરિમાણો;

પ્રતિબંધો લાદ્યા.

આ તમામ તત્વોનું સમીકરણો, તાર્કિક પરિસ્થિતિઓ વગેરેના સ્વરૂપમાં ગાણિતિક રીતે વર્ણન કરવું આવશ્યક છે. ઑપ્ટિમાઇઝેશન સમસ્યાનો ઉકેલ એ ઉદ્દેશ્ય કાર્યનું લઘુત્તમ (મહત્તમ) મૂલ્ય શોધવાની પ્રક્રિયા છે, જે નિર્દિષ્ટ અવરોધોને આધીન છે. જો ધ્યેય કાર્ય તેના આત્યંતિક મૂલ્ય સુધી પહોંચે તો ઉકેલ પરિણામ શ્રેષ્ઠ માનવામાં આવે છે.

ઑપ્ટિમાઇઝેશન મૉડલનું ઉદાહરણ ઔદ્યોગિક ઇમારતોની વેરિઅન્ટ ડિઝાઇનની પદ્ધતિમાં "બોન્ડ લંબાઈ" માપદંડનું ગાણિતિક વર્ણન છે.

ઉદ્દેશ્ય કાર્ય બધાની કુલ ભારિત લંબાઈને પ્રતિબિંબિત કરે છે કાર્યાત્મક જોડાણો, જે ન્યૂનતમ તરફ વળવું જોઈએ:

સાથે તત્વ જોડાણનું વજન મૂલ્ય ક્યાં છે;

- તત્વો અને વચ્ચેના જોડાણની લંબાઈ;

– કુલ સંખ્યામૂકવામાં તત્વો.

ડિઝાઇન સોલ્યુશનના તમામ પ્રકારોમાં જગ્યાના મૂકેલા તત્વોના ક્ષેત્રો સમાન હોવાથી, તત્વો અને એકબીજાને સંબંધિત તેમના સ્થાન વચ્ચેના જુદા જુદા અંતરમાં જ ભિન્નતા એક બીજાથી અલગ પડે છે. તેથી, એડજસ્ટેબલ પરિમાણો સેવા આપે છે આ કેસફ્લોર પ્લાન પર મૂકવામાં આવેલા તત્વોના કોઓર્ડિનેટ્સ.

તત્વોના સ્થાન પર (યોજનાની પૂર્વ-નિશ્ચિત જગ્યાએ, બાહ્ય પરિમિતિ પર, એક બીજાની ઉપર, વગેરે) અને લિંક્સની લંબાઈ (અને થી વચ્ચેની લિંક્સની લંબાઈના મૂલ્યો) પર પ્રતિબંધો લાદવામાં આવ્યા છે. તત્વો સખત રીતે સેટ કરવામાં આવે છે, મૂલ્યોની ન્યૂનતમ અથવા મહત્તમ મર્યાદા સેટ કરવામાં આવે છે, ફેરફારની મર્યાદા મૂલ્યો સેટ કરવામાં આવે છે) ઔપચારિક રીતે લખવામાં આવે છે.

જો આ વેરિઅન્ટ માટે ગણતરી કરેલ ધ્યેય કાર્યનું મૂલ્ય ન્યૂનતમ હોય તો વેરિઅન્ટને શ્રેષ્ઠ ગણવામાં આવે છે (આ માપદંડ મુજબ).

વિવિધ ગાણિતિક મોડલ - આર્થિક અને ગાણિતિક મોડલ- આર્થિક લાક્ષણિકતાઓ અને સિસ્ટમ પરિમાણો વચ્ચેના સંબંધનું એક મોડેલ છે.

આર્થિક-ગાણિતિક મોડલ્સનું ઉદાહરણ ઔદ્યોગિક ઇમારતોની વિવિધ ડિઝાઇનની ઉપરોક્ત પદ્ધતિમાં ખર્ચ માપદંડનું ગાણિતિક વર્ણન છે. ગાણિતિક આંકડાઓની પદ્ધતિઓના ઉપયોગના આધારે મેળવેલા ગાણિતિક મોડેલો ફ્રેમ, ફાઉન્ડેશનની કિંમતની અવલંબનને પ્રતિબિંબિત કરે છે. માટીકામસિંગલ-સ્ટોરી અને બહુમાળી ઔદ્યોગિક ઇમારતો અને લોડ-બેરિંગ સ્ટ્રક્ચર્સની તેમની ઊંચાઈ, ગાળો અને પિચ.

નિર્ણય લેવા પર રેન્ડમ પરિબળોના પ્રભાવને ધ્યાનમાં લેવાની પદ્ધતિ અનુસાર, ગાણિતિક મોડેલોને નિર્ણાયક અને સંભવિતમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે. નિર્ધારિતમોડેલ સિસ્ટમની કામગીરીની પ્રક્રિયામાં અવ્યવસ્થિત પરિબળોના પ્રભાવને ધ્યાનમાં લેતું નથી અને તે કાર્યકારી પેટર્નના વિશ્લેષણાત્મક રજૂઆત પર આધારિત છે. સંભવિત (સ્ટોકેસ્ટિક)મોડેલ સિસ્ટમ ઓપરેશનની પ્રક્રિયામાં રેન્ડમ પરિબળોના પ્રભાવને ધ્યાનમાં લે છે અને આંકડાકીય પર આધારિત છે, એટલે કે. સામૂહિક ઘટનાઓનું માત્રાત્મક મૂલ્યાંકન, વિવિધ વિતરણ કાયદા દ્વારા વર્ણવેલ તેમની બિનરેખીયતા, ગતિશીલતા, રેન્ડમ વિક્ષેપને ધ્યાનમાં લેવાની મંજૂરી આપે છે.

ઉપરોક્ત ઉદાહરણોનો ઉપયોગ કરીને, અમે કહી શકીએ કે "કનેક્શનની લંબાઈ" માપદંડનું વર્ણન કરતું ગાણિતિક મોડેલ નિર્ણાયક છે, અને "ખર્ચ" માપદંડ જૂથનું વર્ણન કરતા ગાણિતિક મોડેલો સંભવિત મોડેલો છે.

ભાષાકીય, સિમેન્ટીક અને માહિતી મોડલ

ગાણિતિક મોડલ્સના સ્પષ્ટ ફાયદા છે, કારણ કે કાર્યના પાસાઓનું માત્રાત્મક મૂલ્યાંકન લક્ષ્યોની પ્રાથમિકતાઓનો સ્પષ્ટ ખ્યાલ આપે છે. તે મહત્વનું છે કે નિષ્ણાત હંમેશા સંબંધિત આંકડાકીય માહિતી રજૂ કરીને નિર્ણયને અપનાવવાને યોગ્ય ઠેરવી શકે છે. જો કે, સંપૂર્ણ ગાણિતિક વર્ણન પ્રોજેક્ટ પ્રવૃત્તિઓઅશક્ય છે, તેથી, સ્થાપત્ય અને બાંધકામ ડિઝાઇનના પ્રારંભિક તબક્કે હલ કરવામાં આવેલા મોટાભાગના કાર્યો અર્ધ-સંરચિત.

અર્ધ-સંરચિત કાર્યોની એક વિશેષતા એ છે કે તેમાં વપરાતા માપદંડોનું મૌખિક વર્ણન. કુદરતી ભાષામાં વર્ણવેલ માપદંડોનો પરિચય (આવા માપદંડ કહેવામાં આવે છે ભાષાકીય), શ્રેષ્ઠ ડિઝાઇન ઉકેલો શોધવા માટે તમને ઓછી જટિલ પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરવાની મંજૂરી આપે છે. આવા માપદંડોની હાજરીમાં, ડિઝાઇનર ધ્યેયોના પરિચિત, નિર્વિવાદ અભિવ્યક્તિઓના આધારે નિર્ણય લે છે.

સમસ્યાના તમામ પાસાઓનું અર્થપૂર્ણ વર્ણન એક તરફ, તેને હલ કરવાની પ્રક્રિયામાં વ્યવસ્થિતકરણનો પરિચય આપે છે, અને બીજી તરફ, નિષ્ણાતોના કાર્યને મોટા પ્રમાણમાં સુવિધા આપે છે, જેઓ ગણિતના સંબંધિત વિભાગોનો અભ્યાસ કર્યા વિના, વધુ તર્કસંગત રીતે ઉકેલી શકે છે. તેમની વ્યાવસાયિક સમસ્યાઓ. અંજીર પર. 5.2 આપવામાં આવે છે ભાષાકીય મોડેલ, જે બેકરી માટેના ઉકેલોના આયોજન માટેના વિવિધ વિકલ્પોમાં કુદરતી વેન્ટિલેશન માટેની પરિસ્થિતિઓ બનાવવાની શક્યતાઓનું વર્ણન કરે છે.

અર્થપૂર્ણ સમસ્યા વર્ણનના અન્ય ફાયદાઓમાં શામેલ છે:

ડિઝાઇન સોલ્યુશનની અસરકારકતા નક્કી કરતા તમામ માપદંડોનું વર્ણન કરવાની ક્ષમતા. તે જ સમયે, તે મહત્વનું છે કે જટિલ ખ્યાલો વર્ણનમાં રજૂ કરી શકાય, અને માત્રાત્મક, માપી શકાય તેવા પરિબળો, ગુણાત્મક, બિન-માપી શકાય તેવા મુદ્દાઓ માત્રાત્મક, માપી શકાય તેવા પરિબળો સાથે નિષ્ણાતના દૃષ્ટિકોણના ક્ષેત્રમાં આવશે. આમ, નિર્ણય સમયે, તમામ વ્યક્તિલક્ષી અને ઉદ્દેશ્ય માહિતીનો ઉપયોગ કરવામાં આવશે;

ચોખા. 5.2 ભાષાકીય મોડેલના સ્વરૂપમાં "વેન્ટિલેશન" માપદંડની સામગ્રીનું વર્ણન

નિષ્ણાતો દ્વારા અપનાવવામાં આવેલા શબ્દોના આધારે આ સુવિધા માટેના વિકલ્પોમાં ધ્યેયની સિદ્ધિની ડિગ્રીના અસ્પષ્ટ આકારણીની શક્યતા, જે પ્રાપ્ત માહિતીની વિશ્વસનીયતાને સુનિશ્ચિત કરે છે;

લીધેલા નિર્ણયોના તમામ પરિણામોના અધૂરા જ્ઞાન સાથે સંકળાયેલી અનિશ્ચિતતાને ધ્યાનમાં લેવાની ક્ષમતા, તેમજ આગાહીયુક્ત પ્રકૃતિની માહિતી.

સિમેન્ટીક મૉડલ્સ એવા મૉડલ્સના પણ છે જે અભ્યાસના ઑબ્જેક્ટનું વર્ણન કરવા માટે કુદરતી ભાષાનો ઉપયોગ કરે છે.

સિમેન્ટીક મોડલ- ઑબ્જેક્ટનું આવું પ્રતિનિધિત્વ છે, જે ઑબ્જેક્ટના વિવિધ ઘટકો, પાસાઓ, ગુણધર્મો વચ્ચેના ઇન્ટરકનેક્શન (નિકટતા) ની ડિગ્રીને પ્રતિબિંબિત કરે છે. આંતરજોડાણનો અર્થ સંબંધિત અવકાશી સ્થાન નથી, પરંતુ અર્થમાં જોડાણ છે.

તેથી, સિમેન્ટીક અર્થમાં, કુદરતી પ્રકાશના ગુણાંક અને પારદર્શક વાડના પ્રકાશ વિસ્તાર વચ્ચેના સંબંધને વિન્ડો ઓપનિંગ્સ અને તેમની બાજુમાં આવેલી દિવાલના અંધ વિભાગો વચ્ચેના સંબંધ કરતાં નજીક તરીકે રજૂ કરવામાં આવશે.

જોડાણ સંબંધોનો સમૂહ દર્શાવે છે કે દરેક તત્વ ઑબ્જેક્ટમાં શું અલગ છે અને ઑબ્જેક્ટ સમગ્ર રીતે રજૂ કરે છે. તે જ સમયે, સિમેન્ટીક મોડેલ ઑબ્જેક્ટમાં વિવિધ પાસાઓના જોડાણની ડિગ્રી ઉપરાંત, ખ્યાલોની સામગ્રીને પણ પ્રતિબિંબિત કરે છે. પ્રાકૃતિક ભાષામાં અભિવ્યક્ત વિભાવનાઓ પ્રાથમિક મોડેલ તરીકે સેવા આપે છે.

સિમેન્ટીક મોડલ્સનું નિર્માણ સિદ્ધાંતો પર આધારિત છે, જે મુજબ મોડેલનો ઉપયોગ કરવામાં આવે તે સમગ્ર સમય દરમિયાન ખ્યાલો અને સંબંધો બદલાતા નથી; એક ખ્યાલની સામગ્રી બીજામાં પસાર થતી નથી; બે વિભાવનાઓ વચ્ચેના જોડાણો તેમના સંબંધમાં સમાન અને બિન-લક્ષી ક્રિયાપ્રતિક્રિયા ધરાવે છે.

મૉડલના દરેક પૃથ્થકરણનો ઉદ્દેશ્ય એવા મૉડલના ઘટકોને પસંદ કરવાનો છે કે જેમાં સામાન્ય ચોક્કસ ગુણવત્તા હોય. આ એક અલ્ગોરિધમના નિર્માણ માટે આધાર આપે છે જે ફક્ત સીધા જોડાણોને ધ્યાનમાં લે છે. એક મોડલને અનડાયરેક્ટેડ ગ્રાફમાં રૂપાંતરિત કરવું એ બે ઘટકો વચ્ચેનો માર્ગ શોધે છે જે એક તત્વથી બીજામાં ચળવળને ટ્રેસ કરે છે, દરેક તત્વનો માત્ર એક જ વાર ઉપયોગ કરે છે. તત્વોના ક્રમને આ બે તત્વોનો ક્રમ કહેવામાં આવે છે. સિક્વન્સ હોઈ શકે છે વિવિધ લંબાઈ. આમાંના સૌથી ટૂંકાને તત્વ ગુણોત્તર કહેવામાં આવે છે. જો તેમની વચ્ચે સીધો સંબંધ હોય તો બે તત્વોનો ક્રમ પણ અસ્તિત્વમાં છે, પરંતુ આ કિસ્સામાં કોઈ સંબંધ નથી.

સિમેન્ટીક મોડેલના ઉદાહરણ તરીકે, અમે સંચાર લિંક્સ સાથે એપાર્ટમેન્ટના લેઆઉટનું વર્ણન કરીશું. ખ્યાલ એ એપાર્ટમેન્ટનું પરિસર છે. ડાયરેક્ટ કનેક્શન એટલે બે રૂમનું કાર્યાત્મક જોડાણ, ઉદાહરણ તરીકે, દરવાજા સાથે (કોષ્ટક 5.1 જુઓ).

મોડલને અનડાયરેક્ટેડ ગ્રાફના સ્વરૂપમાં રૂપાંતરિત કરવાથી તમે તત્વોનો ક્રમ મેળવી શકો છો (ફિગ. 5.3).

તત્વ 2 (બાથરૂમ) અને તત્વ 6 (પેન્ટ્રી) વચ્ચે રચાયેલા ક્રમના ઉદાહરણો કોષ્ટકમાં દર્શાવવામાં આવ્યા છે. 5.2. કોષ્ટકમાંથી જોઈ શકાય છે તેમ, ક્રમ 3 આ બે તત્વોના ગુણોત્તરને રજૂ કરે છે.

કોષ્ટક 5.1

એપાર્ટમેન્ટના લેઆઉટનું વર્ણન

ચોખા. 5.3 અનિર્દેશિત ગ્રાફના સ્વરૂપમાં આયોજન નિર્ણયનું વર્ણન

ગાણિતિક મોડેલ b એ વાસ્તવિકતાની ગાણિતિક રજૂઆત છે.

ગણિત મોડેલિંગ- ગાણિતિક મોડેલો બનાવવા અને અભ્યાસ કરવાની પ્રક્રિયા.

તમામ પ્રાકૃતિક અને સામાજિક વિજ્ઞાન કે જે ગાણિતિક ઉપકરણનો ઉપયોગ કરે છે, હકીકતમાં, ગાણિતિક મોડેલિંગમાં રોકાયેલા છે: તેઓ વાસ્તવિક ઑબ્જેક્ટને તેના ગાણિતિક મોડેલ સાથે બદલે છે અને પછીનો અભ્યાસ કરે છે.

વ્યાખ્યાઓ.

કોઈ પણ વ્યાખ્યા ગાણિતિક મોડેલિંગની વાસ્તવિક જીવનની પ્રવૃત્તિને સંપૂર્ણપણે આવરી શકતી નથી. આ હોવા છતાં, વ્યાખ્યાઓ ઉપયોગી છે જેમાં તેઓ સૌથી નોંધપાત્ર લક્ષણોને પ્રકાશિત કરવાનો પ્રયાસ કરે છે.

એ. એ. લાયપુનોવ અનુસાર મોડેલની વ્યાખ્યા: મોડેલિંગ એ પદાર્થનો પરોક્ષ વ્યવહારિક અથવા સૈદ્ધાંતિક અભ્યાસ છે, જેમાં આપણને રુચિના વિષયનો સીધો અભ્યાસ કરવામાં આવતો નથી, પરંતુ કેટલીક સહાયક કૃત્રિમ અથવા કુદરતી સિસ્ટમ:

કોગ્નિઝેબલ ઑબ્જેક્ટ સાથે કેટલાક ઉદ્દેશ્ય પત્રવ્યવહારમાં સ્થિત છે;

ચોક્કસ બાબતોમાં તેને બદલવા માટે સક્ષમ;

જે, તેના અભ્યાસ દરમિયાન, આખરે મોડલ કરવામાં આવેલ ઑબ્જેક્ટ વિશે માહિતી પ્રદાન કરે છે.

સોવેટોવ અને યાકોવલેવના પાઠ્યપુસ્તક અનુસાર: "મોડલ એ મૂળ પદાર્થનો એક પદાર્થ-અવેજી છે, જે મૂળના કેટલાક ગુણધર્મોનો અભ્યાસ પૂરો પાડે છે." "મૉડલ ઑબ્જેક્ટનો ઉપયોગ કરીને મૂળ ઑબ્જેક્ટના સૌથી મહત્વપૂર્ણ ગુણધર્મો વિશે માહિતી મેળવવા માટે એક ઑબ્જેક્ટને બીજા ઑબ્જેક્ટ સાથે બદલવાને મોડેલિંગ કહેવામાં આવે છે." “ગાણિતિક મોડેલિંગ હેઠળ આપણે ગાણિતિક મોડેલ તરીકે ઓળખાતા કેટલાક ગાણિતિક પદાર્થના આપેલ વાસ્તવિક પદાર્થ સાથે પત્રવ્યવહાર સ્થાપિત કરવાની પ્રક્રિયા અને આ મોડેલના અભ્યાસને સમજીશું, જે વિચારણા હેઠળના વાસ્તવિક પદાર્થની લાક્ષણિકતાઓ મેળવવાનું શક્ય બનાવે છે. ગાણિતિક મૉડલનો પ્રકાર વાસ્તવિક ઑબ્જેક્ટની પ્રકૃતિ અને ઑબ્જેક્ટનો અભ્યાસ કરવાના કાર્યો અને આ સમસ્યાને ઉકેલવા માટે જરૂરી વિશ્વસનીયતા અને ચોકસાઈ બંને પર આધાર રાખે છે.”

સમર્સ્કી અને મિખાઇલોવના જણાવ્યા મુજબ, ગાણિતિક મોડેલ એ પદાર્થનું "સમાન" છે, જે ગાણિતિક સ્વરૂપમાં તેના સૌથી મહત્વપૂર્ણ ગુણધર્મોને પ્રતિબિંબિત કરે છે: તે જે કાયદાઓનું પાલન કરે છે, તેના ઘટક ભાગોમાં રહેલા જોડાણો વગેરે. તે ત્રિપુટીઓમાં અસ્તિત્વમાં છે. મોડેલ-એલ્ગોરિધમ-પ્રોગ્રામ" . "મોડલ-એલ્ગોરિધમ-પ્રોગ્રામ" ટ્રાયડ બનાવ્યા પછી, સંશોધકને એક સાર્વત્રિક, લવચીક અને સસ્તું સાધન મળે છે, જે સૌપ્રથમ ડિબગ કરવામાં આવે છે અને ટ્રાયલ કોમ્પ્યુટેશનલ પ્રયોગોમાં પરીક્ષણ કરવામાં આવે છે. મૂળ ઑબ્જેક્ટ માટે ટ્રાયડની પર્યાપ્તતા સ્થાપિત થયા પછી, મોડેલ સાથે વિવિધ અને વિગતવાર "પ્રયોગો" હાથ ધરવામાં આવે છે, જે ઑબ્જેક્ટના તમામ જરૂરી ગુણાત્મક અને માત્રાત્મક ગુણધર્મો અને લાક્ષણિકતાઓ આપે છે.

મિશ્કીસના મોનોગ્રાફ મુજબ: “ચાલો સામાન્ય વ્યાખ્યા તરફ આગળ વધીએ. ચાલો આપણે વાસ્તવિક ઑબ્જેક્ટ a ના પ્રોપર્ટીઝના અમુક સેટ S ને અન્વેષણ કરવા જઈ રહ્યા છીએ

ગણિતની મદદ. આ કરવા માટે, અમે "ગાણિતિક પદાર્થ" a" પસંદ કરીએ છીએ - સમીકરણોની સિસ્ટમ, અથવા અંકગણિત સંબંધો, અથવા ભૌમિતિક આકારો, અથવા બંનેનું મિશ્રણ, વગેરે, જેનો અભ્યાસ ગણિતના માધ્યમથી S ના ગુણધર્મો વિશે પૂછાતા પ્રશ્નોના જવાબ આપવો જોઈએ. આ શરતો હેઠળ, a "ને સમગ્રતા S ના સંદર્ભમાં ઑબ્જેક્ટનું ગાણિતિક મોડેલ કહેવામાં આવે છે. તેના ગુણધર્મો."

એ.જી. સેવોસ્ટ્યાનોવના મતે: "ગાણિતિક મોડેલ એ ગાણિતિક સંબંધો, સમીકરણો, અસમાનતાઓ વગેરેનો સમૂહ છે, જે અભ્યાસ હેઠળની પ્રક્રિયા, ઑબ્જેક્ટ અથવા સિસ્ટમમાં અંતર્ગત મુખ્ય દાખલાઓનું વર્ણન કરે છે."

અંશે ઓછું સામાન્ય વ્યાખ્યા"ઇનપુટ - આઉટપુટ - સ્ટેટ" ના આદર્શીકરણ પર આધારિત ગાણિતિક મોડેલ, ઓટોમેટા થિયરીમાંથી ઉછીના લીધેલ, વિક્શનરી આપે છે: "પ્રક્રિયા, ઉપકરણ અથવા સૈદ્ધાંતિક વિચારની અમૂર્ત ગાણિતિક રજૂઆત; તે ઇનપુટ્સ, આઉટપુટ અને રજૂ કરવા માટે ચલોના સમૂહનો ઉપયોગ કરે છે આંતરિક સ્થિતિઓ, તેમજ તેમની ક્રિયાપ્રતિક્રિયાનું વર્ણન કરવા માટે સમીકરણો અને અસમાનતાઓનો સમૂહ."

છેલ્લે, ગાણિતિક મોડેલની સૌથી સંક્ષિપ્ત વ્યાખ્યા: "એક સમીકરણ જે એક વિચારને વ્યક્ત કરે છે."

મોડલનું ઔપચારિક વર્ગીકરણ.

મોડેલોનું ઔપચારિક વર્ગીકરણ ઉપયોગમાં લેવાતા ગાણિતિક સાધનોના વર્ગીકરણ પર આધારિત છે. ઘણીવાર દ્વિભાષી સ્વરૂપમાં બાંધવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, ડિકોટોમીઝના લોકપ્રિય સમૂહોમાંથી એક છે:

રેખીય અથવા બિન-રેખીય મોડેલો; કેન્દ્રિત અથવા વિતરિત સિસ્ટમો; નિર્ધારિત અથવા સ્ટોકેસ્ટિક; સ્થિર અથવા ગતિશીલ; સ્વતંત્ર અથવા સતત.

અને તેથી વધુ. દરેક બાંધવામાં આવેલ મોડેલ રેખીય અથવા બિન-રેખીય, નિર્ધારિત અથવા સ્ટોકેસ્ટિક છે, ... કુદરતી રીતે, મિશ્ર પ્રકારો પણ શક્ય છે: એક સંદર્ભમાં કેન્દ્રિત, બીજામાં વિતરિત મોડલ, વગેરે.

ઑબ્જેક્ટને જે રીતે રજૂ કરવામાં આવે છે તેના આધારે વર્ગીકરણ.

ઔપચારિક વર્ગીકરણની સાથે, મોડેલો જે રીતે ઓબ્જેક્ટનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે તે રીતે અલગ પડે છે:

સ્ટ્રક્ચરલ મૉડલ્સ ઑબ્જેક્ટને તેના પોતાના ઉપકરણ અને કાર્યકારી મિકેનિઝમ સાથે સિસ્ટમ તરીકે રજૂ કરે છે. કાર્યાત્મક મોડેલો આવી રજૂઆતોનો ઉપયોગ કરતા નથી અને ઑબ્જેક્ટના માત્ર બાહ્ય રીતે દેખાતા વર્તનને પ્રતિબિંબિત કરે છે. તેમની આત્યંતિક અભિવ્યક્તિમાં, તેઓને "બ્લેક બોક્સ" મોડલ પણ કહેવામાં આવે છે. સંયુક્ત પ્રકારના મોડલ પણ શક્ય છે, જેને ક્યારેક "ગ્રે બોક્સ" મોડલ કહેવામાં આવે છે.

ગાણિતિક મોડેલિંગની પ્રક્રિયાનું વર્ણન કરતા લગભગ તમામ લેખકો સૂચવે છે કે સૌપ્રથમ એક વિશેષ આદર્શ બાંધકામ, અર્થપૂર્ણ મોડેલ બનાવવામાં આવ્યું છે. અહીં કોઈ પ્રસ્થાપિત પરિભાષા નથી, અને અન્ય લેખકો આ આદર્શ પદાર્થને વૈચારિક મોડેલ, સટ્ટાકીય મોડેલ અથવા પ્રી-મોડેલ કહે છે. આ કિસ્સામાં, અંતિમ ગાણિતિક બાંધકામને ઔપચારિક મોડેલ કહેવામાં આવે છે અથવા આ સામગ્રી મોડેલના ઔપચારિકરણના પરિણામે મેળવેલ ગાણિતિક મોડલ. અર્થપૂર્ણ મોડેલનું નિર્માણ તૈયાર આદર્શોના સમૂહનો ઉપયોગ કરીને હાથ ધરવામાં આવી શકે છે, જેમ કે મિકેનિક્સમાં, જ્યાં આદર્શ સ્પ્રિંગ્સ, કઠોર શરીર, આદર્શ લોલક, સ્થિતિસ્થાપક માધ્યમો, વગેરે તૈયાર-બનાવટ આપે છે. માળખાકીય તત્વોઅર્થપૂર્ણ મોડેલિંગ માટે. જો કે, જ્ઞાનના ક્ષેત્રોમાં જ્યાં કોઈ સંપૂર્ણ પૂર્ણ ઔપચારિક સિદ્ધાંતો નથી, અર્થપૂર્ણ મોડેલોની રચના વધુ જટિલ બની જાય છે.

આર. પીઅરલ્સના કાર્યમાં, ભૌતિકશાસ્ત્રમાં ઉપયોગમાં લેવાતા ગાણિતિક મોડેલોનું વર્ગીકરણ અને વધુ વ્યાપક રીતે, કુદરતી વિજ્ઞાન. A. N. Gorban અને R. G. Khlebopros દ્વારા પુસ્તકમાં, આ વર્ગીકરણનું વિશ્લેષણ અને વિસ્તરણ કરવામાં આવ્યું છે. આ વર્ગીકરણ મુખ્યત્વે અર્થપૂર્ણ મોડેલ બનાવવાના તબક્કા પર કેન્દ્રિત છે.

આ મોડેલો "ઘટનાના અજમાયશ વર્ણનનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે, અને લેખક કાં તો તેની શક્યતામાં માને છે, અથવા તો તેને સાચું માને છે." આર. પીયર્લ્સ અનુસાર, આ, ઉદાહરણ તરીકે, એક મોડેલ છે સૂર્ય સિસ્ટમટોલેમી અને કોપરનિકન મોડેલ અનુસાર, અણુનું રધરફોર્ડ મોડેલ અને બિગ બેંગ મોડેલ.

વિજ્ઞાનમાં કોઈપણ પૂર્વધારણા એકવાર અને બધા માટે સાબિત થઈ શકતી નથી. રિચાર્ડ ફેનમેને તે ખૂબ જ સ્પષ્ટ રીતે કહ્યું:

"અમારી પાસે હંમેશા સિદ્ધાંતને ખોટી સાબિત કરવાની ક્ષમતા હોય છે, પરંતુ નોંધ લો કે અમે ક્યારેય સાબિત કરી શકતા નથી કે તે સાચું છે. ચાલો ધારો કે તમે એક સફળ પૂર્વધારણા આગળ મૂકી છે, તે ક્યાં લઈ જાય છે તેની ગણતરી કરો અને શોધો કે તેના તમામ પરિણામો પ્રાયોગિક રીતે પુષ્ટિ થયેલ છે. શું આનો અર્થ એ છે કે તમારો સિદ્ધાંત સાચો છે? ના, તેનો સીધો અર્થ એ છે કે તમે તેનું ખંડન કરવામાં નિષ્ફળ ગયા છો.

જો પ્રથમ પ્રકારનું મોડેલ બનાવવામાં આવ્યું હોય, તો તેનો અર્થ એ છે કે તે અસ્થાયી રૂપે સાચા તરીકે ઓળખાય છે અને વ્યક્તિ અન્ય સમસ્યાઓ પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરી શકે છે. જો કે, આ સંશોધનનો મુદ્દો હોઈ શકતો નથી, પરંતુ માત્ર એક અસ્થાયી વિરામ છે: પ્રથમ પ્રકારનાં મોડેલની સ્થિતિ ફક્ત અસ્થાયી હોઈ શકે છે.

અસાધારણ મોડેલમાં ઘટનાનું વર્ણન કરવા માટેની એક પદ્ધતિ છે. જો કે, આ મિકેનિઝમ પૂરતું વિશ્વાસપાત્ર નથી, ઉપલબ્ધ ડેટા દ્વારા પૂરતા પ્રમાણમાં પુષ્ટિ કરી શકાતી નથી, અથવા ઑબ્જેક્ટ વિશે ઉપલબ્ધ સિદ્ધાંતો અને સંચિત જ્ઞાન સાથે સારી રીતે સંમત નથી. તેથી, અસાધારણ મોડેલો અસ્થાયી ઉકેલોની સ્થિતિ ધરાવે છે. એવું માનવામાં આવે છે કે જવાબ હજુ અજ્ઞાત છે અને "સાચી મિકેનિઝમ્સ" ની શોધ ચાલુ રાખવી જરૂરી છે. પીયર્લ્સ, ઉદાહરણ તરીકે, કેલરી મોડેલ અને પ્રાથમિક કણોના ક્વાર્ક મોડલને બીજા પ્રકારનો સંદર્ભ આપે છે.

સંશોધનમાં મોડેલની ભૂમિકા સમય જતાં બદલાઈ શકે છે, એવું બની શકે છે કે નવા ડેટા અને સિદ્ધાંતો અસાધારણ મોડેલોની પુષ્ટિ કરે છે અને તેઓને અપગ્રેડ કરવામાં આવશે

પૂર્વધારણા સ્થિતિ. તેવી જ રીતે, નવું જ્ઞાન ધીમે ધીમે પ્રથમ પ્રકારનાં મોડેલો-પૂર્વકલ્પનાઓ સાથે સંઘર્ષમાં આવી શકે છે, અને તે બીજામાં સ્થાનાંતરિત થઈ શકે છે. આમ, કવાર્ક મોડલ ધીમે ધીમે પૂર્વધારણાઓની શ્રેણીમાં આગળ વધી રહ્યું છે; ભૌતિકશાસ્ત્રમાં અણુવાદ અસ્થાયી ઉકેલ તરીકે ઉભો થયો, પરંતુ ઇતિહાસના અભ્યાસક્રમ સાથે તે પ્રથમ પ્રકારમાં પસાર થયો. પરંતુ ઈથર મૉડલ ટાઈપ 1 થી ટાઈપ 2 પર ગયા છે અને હવે તે વિજ્ઞાનની બહાર છે.

મોડેલો બનાવતી વખતે સરળીકરણનો વિચાર ખૂબ જ લોકપ્રિય છે. પરંતુ સરળીકરણ અલગ છે. પિયરલ્સ મોડેલિંગમાં ત્રણ પ્રકારની સરળીકરણોને અલગ પાડે છે.

જો અભ્યાસ હેઠળની સિસ્ટમનું વર્ણન કરતા સમીકરણો બાંધવાનું શક્ય હોય, તો તેનો અર્થ એ નથી કે તે કમ્પ્યુટરની મદદથી પણ ઉકેલી શકાય છે. આ કિસ્સામાં એક સામાન્ય તકનીક એ અંદાજનો ઉપયોગ છે. તેમાંથી રેખીય પ્રતિભાવ મોડલ છે. સમીકરણો રેખીય રાશિઓ દ્વારા બદલવામાં આવે છે. પ્રમાણભૂત ઉદાહરણ ઓહ્મનો કાયદો છે.

જો આપણે પૂરતા પ્રમાણમાં દુર્લભ વાયુઓનું વર્ણન કરવા માટે આદર્શ ગેસ મોડેલનો ઉપયોગ કરીએ, તો આ પ્રકાર 3 મોડેલ છે. ઉચ્ચ ગેસની ઘનતા પર, ગુણાત્મક સમજણ અને મૂલ્યાંકન માટે સરળ આદર્શ ગેસ પરિસ્થિતિની કલ્પના કરવી પણ ઉપયોગી છે, પરંતુ તે પહેલાથી જ પ્રકાર 4 છે. .

પ્રકાર 4 મોડેલમાં, વિગતો કાઢી નાખવામાં આવે છે જે પરિણામને નોંધપાત્ર રીતે અસર કરી શકે છે અને હંમેશા નિયંત્રિત કરી શકતી નથી. સમાન સમીકરણો પ્રકાર 3 અથવા પ્રકાર 4 મોડેલ તરીકે સેવા આપી શકે છે, જે મોડેલનો અભ્યાસ કરવા માટે ઉપયોગ કરવામાં આવે છે તેના આધારે. તેથી, જો વધુ જટિલ મોડેલોની ગેરહાજરીમાં રેખીય પ્રતિભાવ મોડલ્સનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે, તો આ પહેલેથી જ અસાધારણ રેખીય મોડેલો છે, અને તે નીચેના પ્રકાર 4 થી સંબંધિત છે.

ઉદાહરણો: એક આદર્શ ગેસ મોડેલને બિન-આદર્શમાં લાગુ કરવું, રાજ્યનું વેન ડેર વાલ્સ સમીકરણ, ઘન રાજ્યના મોટાભાગનાં મોડલ, પ્રવાહી અને પરમાણુ ભૌતિકશાસ્ત્ર. માઇક્રોડસ્ક્રિપ્શનથી લઈને શરીરના ગુણધર્મો સુધીનો માર્ગ મોટી સંખ્યામાંકણો, ખૂબ લાંબા. ઘણી વિગતો છોડવી પડશે. આ 4 થી પ્રકારનાં મોડેલો તરફ દોરી જાય છે.

હ્યુરિસ્ટિક મોડલ વાસ્તવિકતા સાથે માત્ર ગુણાત્મક સમાનતા જાળવી રાખે છે અને આગાહીઓ માત્ર "તીવ્રતાના ક્રમમાં" કરે છે. એક લાક્ષણિક ઉદાહરણ ગતિ સિદ્ધાંતમાં સરેરાશ મુક્ત માર્ગ અંદાજ છે. તે સ્નિગ્ધતા, પ્રસરણ, થર્મલ વાહકતાના ગુણાંક માટે સરળ સૂત્રો આપે છે, તીવ્રતાના ક્રમમાં વાસ્તવિકતા સાથે સુસંગત છે.

પરંતુ જ્યારે મકાન નવું ભૌતિકશાસ્ત્રતરત જ એક મોડેલ મેળવ્યું જે ઑબ્જેક્ટનું ઓછામાં ઓછું ગુણાત્મક વર્ણન આપે છે - પાંચમા પ્રકારનું મોડેલ. આ કિસ્સામાં, મોડેલનો ઉપયોગ ઘણીવાર સાદ્રશ્ય દ્વારા કરવામાં આવે છે, જે ઓછામાં ઓછી અમુક રીતે વાસ્તવિકતાને પ્રતિબિંબિત કરે છે.

આર. પીયર્લ્સ પરમાણુ દળોની પ્રકૃતિ પરના ડબલ્યુ. હેઇઝનબર્ગના પ્રથમ લેખમાં સામ્યતાના ઉપયોગનો ઇતિહાસ ટાંકે છે. "આ ન્યુટ્રોનની શોધ પછી થયું, અને જો કે ડબલ્યુ. હેઈઝનબર્ગ પોતે સમજતા હતા કે ન્યુક્લીને ન્યુટ્રોન અને પ્રોટોનના બનેલા તરીકે વર્ણવી શકાય છે, તેમ છતાં તે આ વિચારથી છૂટકારો મેળવી શક્યા નથી કે ન્યુટ્રોનમાં આખરે પ્રોટોન અને ઈલેક્ટ્રોનનો સમાવેશ થવો જોઈએ. . આ કિસ્સામાં, ન્યુટ્રોન-પ્રોટોન સિસ્ટમમાં ક્રિયાપ્રતિક્રિયા અને હાઇડ્રોજન અણુ અને પ્રોટોનની ક્રિયાપ્રતિક્રિયા વચ્ચે સામ્યતા ઊભી થઈ. આ સાદ્રશ્ય જ તેને આ નિષ્કર્ષ પર લઈ ગયો કે ન્યુટ્રોન અને પ્રોટોન વચ્ચે ક્રિયાપ્રતિક્રિયાના વિનિમય દળો હોવા જોઈએ, જે બે પ્રોટોન વચ્ચેના ઈલેક્ટ્રોનના સંક્રમણને કારણે H - H સિસ્ટમમાં વિનિમય દળોના સમાન છે. ... બાદમાં, ન્યુટ્રોન અને પ્રોટોન વચ્ચે ક્રિયાપ્રતિક્રિયાના વિનિમય દળોનું અસ્તિત્વ તેમ છતાં સાબિત થયું હતું, જો કે તેઓ સંપૂર્ણપણે ખલાસ થયા ન હતા.

બે કણો વચ્ચેની ક્રિયાપ્રતિક્રિયા... પરંતુ, એ જ સામ્યતાને અનુસરીને, ડબલ્યુ. હેઈઝનબર્ગ એવા નિષ્કર્ષ પર આવ્યા કે બે પ્રોટોન વચ્ચેની ક્રિયાપ્રતિક્રિયાના અને બે ન્યુટ્રોન વચ્ચેના વિસર્જનના પોસ્ટ્યુલેશનના પરમાણુ બળો નથી. આ બંને પછીના તારણો પછીના અભ્યાસોના તારણો સાથે વિરોધાભાસી છે.

A. આઈન્સ્ટાઈન વિચાર પ્રયોગના મહાન માસ્ટર્સમાંના એક હતા. અહીં તેમનો એક પ્રયોગ છે. તેની શોધ યુવાનીમાં થઈ હતી અને આખરે સાપેક્ષતાના વિશેષ સિદ્ધાંતના નિર્માણ તરફ દોરી ગઈ. ધારો કે શાસ્ત્રીય ભૌતિકશાસ્ત્રમાં આપણે પ્રકાશની ઝડપે પ્રકાશ તરંગને અનુસરીએ છીએ. અમે અવકાશમાં સમયાંતરે બદલાતા ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક ફિલ્ડનું અવલોકન કરીશું અને સમયાંતરે સતત. મેક્સવેલના સમીકરણો અનુસાર, આ ન હોઈ શકે. આમાંથી, યુવાન આઈન્સ્ટાઈને નિષ્કર્ષ કાઢ્યો: સંદર્ભની ફ્રેમ બદલાય ત્યારે પ્રકૃતિના નિયમો બદલાય છે, અથવા પ્રકાશની ગતિ સંદર્ભની ફ્રેમ પર આધારિત નથી. તેણે બીજું પસંદ કર્યું - વધુ સુંદર વિકલ્પ. આઈન્સ્ટાઈનનો બીજો પ્રખ્યાત વિચાર પ્રયોગ આઈન્સ્ટાઈન-પોડોલ્સ્કી-રોઝન પેરાડોક્સ છે.

અને અહીં પ્રકાર 8 છે, જેનો ઉપયોગ જૈવિક પ્રણાલીઓના ગાણિતિક મોડેલોમાં વ્યાપકપણે થાય છે.

આ કાલ્પનિક એકમો સાથેના વિચાર પ્રયોગો પણ છે, જે દર્શાવે છે કે કથિત ઘટના સાથે સુસંગત છે. મૂળભૂત સિદ્ધાંતોઅને આંતરિક રીતે સુસંગત. પ્રકાર 7 ના મોડેલોમાંથી આ મુખ્ય તફાવત છે, જે છુપાયેલા વિરોધાભાસને જાહેર કરે છે.

લોબાચેવ્સ્કીની ભૂમિતિ સૌથી પ્રખ્યાત આવા પ્રયોગોમાંનો એક છે. બીજું ઉદાહરણ રાસાયણિક અને જૈવિક ઓસિલેશન, ઓટોવેવ્સ વગેરેના ઔપચારિક ગતિશીલ મોડલ્સનું મોટા પાયે ઉત્પાદન છે. આઈન્સ્ટાઈન-પોડોલ્સ્કી-રોઝન વિરોધાભાસને ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સની અસંગતતા દર્શાવવા માટે પ્રકાર 7 મોડેલ તરીકે કલ્પના કરવામાં આવી હતી. સંપૂર્ણપણે બિનઆયોજિત રીતે, તે આખરે એક પ્રકાર 8 મોડેલમાં ફેરવાઈ ગયું - માહિતીના ક્વોન્ટમ ટેલિપોર્ટેશનની શક્યતાનું પ્રદર્શન.

એક યાંત્રિક પ્રણાલીનો વિચાર કરો જેમાં એક છેડે નિશ્ચિત સ્પ્રિંગ હોય છે અને સ્પ્રિંગના ફ્રી એન્ડ સાથે જોડાયેલ m માસનો ભાર હોય છે. અમે ધારીશું કે ભાર ફક્ત વસંત અક્ષની દિશામાં જ આગળ વધી શકે છે. ચાલો આ સિસ્ટમનું ગાણિતિક મોડેલ બનાવીએ. અમે ભારના કેન્દ્રથી તેની સંતુલન સ્થિતિ સુધીના અંતર x દ્વારા સિસ્ટમની સ્થિતિનું વર્ણન કરીશું. અમે હૂકના નિયમનો ઉપયોગ કરીને સ્પ્રિંગ અને લોડની ક્રિયાપ્રતિક્રિયાનું વર્ણન કરીએ છીએ, જે પછી અમે તેને વિભેદક સમીકરણના રૂપમાં વ્યક્ત કરવા માટે ન્યૂટનના બીજા નિયમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:

જ્યાં સમયના સંદર્ભમાં x નું બીજું વ્યુત્પન્ન થાય છે..

પરિણામી સમીકરણ માનવામાં આવતી ભૌતિક સિસ્ટમના ગાણિતિક મોડેલનું વર્ણન કરે છે. આ પેટર્નને "હાર્મોનિક ઓસિલેટર" કહેવામાં આવે છે.

ઔપચારિક વર્ગીકરણ મુજબ, આ મોડેલ રેખીય, નિર્ધારિત, ગતિશીલ, કેન્દ્રિત, સતત છે. તેને બનાવવાની પ્રક્રિયામાં, અમે ઘણી ધારણાઓ કરી હતી જે વાસ્તવિકતામાં સાચી ન પણ હોય.

વાસ્તવિકતાના સંબંધમાં, આ, મોટેભાગે, પ્રકાર 4 મોડેલ, એક સરળીકરણ છે, કારણ કે કેટલીક આવશ્યક સાર્વત્રિક સુવિધાઓ અવગણવામાં આવી છે. કેટલાક અંદાજમાં, આવા મોડેલ વાસ્તવિક યાંત્રિક સિસ્ટમને ખૂબ સારી રીતે વર્ણવે છે, ત્યારથી

કાઢી નાખવામાં આવેલા પરિબળો તેની વર્તણૂક પર નહિવત પ્રભાવ ધરાવે છે. જો કે, આમાંના કેટલાક પરિબળોને ધ્યાનમાં લઈને મોડેલને શુદ્ધ કરી શકાય છે. આનાથી વ્યાપક અવકાશ સાથે નવા મોડલ તરફ દોરી જશે.

જો કે, જ્યારે મોડેલને શુદ્ધ કરવામાં આવે છે, ત્યારે તેના ગાણિતિક અભ્યાસની જટિલતા નોંધપાત્ર રીતે વધી શકે છે અને મોડેલને વર્ચ્યુઅલ રીતે નકામું બનાવી શકે છે. મોટે ભાગે, એક સરળ મોડલ તમને વધુ જટિલ કરતાં વાસ્તવિક સિસ્ટમનું વધુ સારી રીતે અને ઊંડાણપૂર્વક અન્વેષણ કરવાની મંજૂરી આપે છે.

જો આપણે હાર્મોનિક ઓસિલેટર મોડેલને ભૌતિકશાસ્ત્રથી દૂર રહેલા પદાર્થો પર લાગુ કરીએ, તો તેની અર્થપૂર્ણ સ્થિતિ અલગ હોઈ શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે, જ્યારે આ મોડેલને જૈવિક વસ્તીમાં લાગુ કરો, ત્યારે તે મોટે ભાગે પ્રકાર 6 સાદ્રશ્યને આભારી હોવું જોઈએ.

હાર્ડ અને સોફ્ટ મોડલ.

હાર્મોનિક ઓસિલેટર એ કહેવાતા "હાર્ડ" મોડેલનું ઉદાહરણ છે. તે વાસ્તવિક ભૌતિક સિસ્ટમના મજબૂત આદર્શીકરણના પરિણામે પ્રાપ્ત થાય છે. તેની લાગુ પડવાની સમસ્યાને ઉકેલવા માટે, તે સમજવું જરૂરી છે કે આપણે અવગણના કરેલા પરિબળો કેટલા મહત્વપૂર્ણ છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, "સોફ્ટ" મોડેલની તપાસ કરવી જરૂરી છે, જે "હાર્ડ" એકના નાના વિક્ષેપ દ્વારા પ્રાપ્ત થાય છે. તે, ઉદાહરણ તરીકે, નીચેના સમીકરણ દ્વારા આપી શકાય છે:

અહીં - કેટલાક કાર્ય, જે ઘર્ષણ બળ અથવા તેના સ્ટ્રેચિંગની ડિગ્રી પર સ્પ્રિંગની જડતાના ગુણાંકની અવલંબનને ધ્યાનમાં લઈ શકે છે, ε - કેટલાક નાના પરિમાણ. ફંક્શનનું સ્પષ્ટ સ્વરૂપ f us in આ ક્ષણરસ નથી. જો આપણે સાબિત કરીએ કે સોફ્ટ મોડેલની વર્તણૂક હાર્ડ મોડેલની વર્તણૂકથી મૂળભૂત રીતે અલગ નથી, તો સમસ્યા હાર્ડ મોડેલના અભ્યાસમાં ઘટશે. નહિંતર, સખત મોડેલના અભ્યાસમાં પ્રાપ્ત પરિણામોની અરજીની જરૂર પડશે વધારાના સંશોધન. ઉદાહરણ તરીકે, હાર્મોનિક ઓસિલેટરના સમીકરણનું સોલ્યુશન ફોર્મના કાર્યો છે

એટલે કે, સતત કંપનવિસ્તાર સાથે ઓસિલેશન. શું તે આનાથી અનુસરે છે કે વાસ્તવિક ઓસિલેટર સતત કંપનવિસ્તાર સાથે અનિશ્ચિત સમય માટે ઓસીલેટ કરશે? ના, કારણ કે મનસ્વી રીતે નાના ઘર્ષણવાળી સિસ્ટમને ધ્યાનમાં લેતા, અમને ભીના ઓસિલેશન મળે છે. સિસ્ટમની વર્તણૂક ગુણાત્મક રીતે બદલાઈ ગઈ છે.

જો કોઈ સિસ્ટમ તેના ગુણાત્મક વર્તનને નાના વિક્ષેપ હેઠળ જાળવી રાખે છે, તો તે માળખાકીય રીતે સ્થિર હોવાનું કહેવાય છે. હાર્મોનિક ઓસિલેટર એ માળખાકીય રીતે અસ્થિર સિસ્ટમનું ઉદાહરણ છે. જો કે, આ મોડેલનો ઉપયોગ મર્યાદિત સમય અંતરાલોમાં પ્રક્રિયાઓનો અભ્યાસ કરવા માટે થઈ શકે છે.

મોડેલ વર્સેટિલિટી.

સૌથી મહત્વપૂર્ણ ગાણિતિક મોડેલોમાં સામાન્ય રીતે સાર્વત્રિકતાની મહત્વપૂર્ણ મિલકત હોય છે: સમાન ગાણિતિક મોડેલ દ્વારા મૂળભૂત રીતે અલગ વાસ્તવિક ઘટનાઓનું વર્ણન કરી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, હાર્મોનિક ઓસિલેટર માત્ર સ્પ્રિંગ પરના ભારની વર્તણૂક જ નહીં, પરંતુ અન્ય ઓસીલેટરી પ્રક્રિયાઓનું પણ વર્ણન કરે છે, જે ઘણી વખત સંપૂર્ણપણે અલગ પ્રકૃતિની હોય છે: લોલકના નાના ઓસિલેશન, યુ-આકારના જહાજમાં પ્રવાહી સ્તરમાં વધઘટ અથવા ઓસીલેટરી સર્કિટમાં વર્તમાન તાકાતમાં ફેરફાર. આમ, એક ગાણિતિક મોડલનો અભ્યાસ કરીને, અમે તેના દ્વારા વર્ણવેલ ઘટનાના સંપૂર્ણ વર્ગનો એક સાથે અભ્યાસ કરીએ છીએ. વિવિધ સેગમેન્ટમાં ગાણિતિક મોડેલો દ્વારા વ્યક્ત કરાયેલ કાયદાઓની આ સમરૂપતા છે વૈજ્ઞાનિક જ્ઞાન, "જનરલ સિસ્ટમ્સ થિયરી" બનાવવા માટે લુડવિગ વોન બર્ટાલેન્ફીનું પરાક્રમ.

ગાણિતિક મોડેલિંગની સીધી અને વ્યસ્ત સમસ્યાઓ

ગાણિતિક મોડેલિંગ સાથે સંકળાયેલી ઘણી સમસ્યાઓ છે. સૌપ્રથમ, આ વિજ્ઞાનના આદર્શીકરણના માળખામાં તેને પુનઃઉત્પાદિત કરવા માટે, મોડેલ કરવામાં આવી રહેલી ઑબ્જેક્ટની મૂળભૂત યોજના સાથે આવવું જરૂરી છે. તેથી, ટ્રેન કાર પ્લેટોની સિસ્ટમ અને વધુ જટિલમાં ફેરવાય છે

વિવિધ સામગ્રીઓમાંથી, દરેક સામગ્રીને તેના પ્રમાણભૂત યાંત્રિક આદર્શીકરણ તરીકે નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવે છે, જે પછી સમીકરણોનું સંકલન કરવામાં આવે છે, જે રીતે કેટલીક વિગતોને નજીવી તરીકે કાઢી નાખવામાં આવે છે, ગણતરીઓ કરવામાં આવે છે, માપની તુલનામાં, મોડેલને શુદ્ધ કરવામાં આવે છે, વગેરે. જો કે, ગાણિતિક મોડેલિંગ તકનીકોના વિકાસ માટે, આ પ્રક્રિયાને તેના મુખ્ય ઘટક તત્વોમાં ડિસએસેમ્બલ કરવું ઉપયોગી છે.

પરંપરાગત રીતે, ગાણિતિક મોડેલો સાથે સંકળાયેલ સમસ્યાઓના બે મુખ્ય વર્ગો છે: પ્રત્યક્ષ અને વ્યસ્ત.

સીધું કાર્ય: મોડેલનું માળખું અને તેના તમામ પરિમાણો જાણીતા ગણવામાં આવે છે, મુખ્ય કાર્ય ઑબ્જેક્ટ વિશે ઉપયોગી જ્ઞાન મેળવવા માટે મોડેલનો અભ્યાસ કરવાનું છે. પુલ કયા સ્થિર ભારનો સામનો કરી શકે છે? ગતિશીલ લોડ પર તે કેવી રીતે પ્રતિક્રિયા આપશે, પ્લેન ધ્વનિ અવરોધને કેવી રીતે દૂર કરશે, શું તે ફફડાટથી અલગ પડી જશે - આ સીધી સમસ્યાના લાક્ષણિક ઉદાહરણો છે. સાચી સીધી સમસ્યાની રચના માટે વિશેષ કૌશલ્યની જરૂર છે. જો સેટ નથી યોગ્ય પ્રશ્નો, પછી પુલ તૂટી શકે છે, ભલે તે બાંધવામાં આવ્યો હોય સારું મોડેલતેના વર્તન માટે. તેથી, 1879 માં, યુકેમાં, ટે નદી પરનો એક ધાતુનો પુલ તૂટી પડ્યો, જેના ડિઝાઇનરોએ પુલનું એક મોડેલ બનાવ્યું, તેને પેલોડ માટે 20-ગણા સલામતી માર્જિન માટે ગણતરી કરી, પરંતુ તેમાં સતત ફૂંકાતા પવન વિશે ભૂલી ગયા. સ્થાનો અને દોઢ વર્ષ પછી તે પડી ભાંગી.

IN સૌથી સરળ કિસ્સામાં, સીધી સમસ્યા ખૂબ જ સરળ છે અને આ સમીકરણના સ્પષ્ટ ઉકેલ સુધી ઘટાડે છે.

વ્યસ્ત સમસ્યા: સંભવિત મોડેલોનો સમૂહ જાણીતો છે, ઑબ્જેક્ટ વિશેના વધારાના ડેટાના આધારે ચોક્કસ મોડેલ પસંદ કરવું જરૂરી છે. મોટેભાગે, મોડેલનું માળખું જાણીતું છે અને કેટલાક અજાણ્યા પરિમાણો નક્કી કરવાની જરૂર છે. વધારાની માહિતીવધારાના પ્રયોગમૂલક ડેટા અથવા ઑબ્જેક્ટ માટેની આવશ્યકતાઓમાં સમાવી શકે છે. વધારાની માહિતી વિપરીત સમસ્યાને ઉકેલવાની પ્રક્રિયાથી સ્વતંત્ર રીતે આવી શકે છે અથવા ઉકેલ દરમિયાન ખાસ આયોજિત પ્રયોગનું પરિણામ હોઈ શકે છે.

ઉપલબ્ધ ડેટાના સંપૂર્ણ સંભવિત ઉપયોગ સાથે વિપરિત સમસ્યાના વર્ચ્યુસો સોલ્યુશનના પ્રથમ ઉદાહરણોમાંનું એક આઇ. ન્યૂટન દ્વારા અવલોકન કરાયેલ ભીના ઓસિલેશન્સમાંથી ઘર્ષણ બળનું પુનર્નિર્માણ કરવા માટેની પદ્ધતિ હતી.

IN બીજું ઉદાહરણ ગાણિતિક આંકડા છે. આ વિજ્ઞાનનું કાર્ય સામૂહિક રેન્ડમ અસાધારણ ઘટનાના સંભવિત મોડેલો બનાવવા માટે નિરીક્ષણ અને પ્રાયોગિક ડેટાને રેકોર્ડ કરવા, તેનું વર્ણન અને વિશ્લેષણ કરવાની પદ્ધતિઓનો વિકાસ છે. તે. સંભવિત મોડેલોનો સમૂહ સંભવિત મોડેલો દ્વારા મર્યાદિત છે. ચોક્કસ સમસ્યાઓમાં, મોડેલોનો સમૂહ વધુ મર્યાદિત છે.

મોડેલિંગની કમ્પ્યુટર સિસ્ટમ્સ.

ગાણિતિક મોડેલિંગને ટેકો આપવા માટે, કોમ્પ્યુટર મેથેમેટિક્સ સિસ્ટમ્સ વિકસાવવામાં આવી છે, ઉદાહરણ તરીકે, મેપલ, મેથેમેટિકા, મેથકેડ, MATLAB, વિઝસિમ, વગેરે. તે તમને સરળ અને જટિલ પ્રક્રિયાઓ અને ઉપકરણો બંનેના ઔપચારિક અને બ્લોક મોડલ બનાવવા અને મોડલ પરિમાણોને સરળતાથી બદલવાની મંજૂરી આપે છે. સિમ્યુલેશન. બ્લોક મોડલ્સ બ્લોક્સ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે, જેનો સેટ અને કનેક્શન મોડેલ ડાયાગ્રામ દ્વારા ઉલ્લેખિત છે.

વધારાના ઉદાહરણો.

વિકાસ દર વર્તમાન વસ્તીના કદના પ્રમાણસર છે. તેણીનું વર્ણન કરવામાં આવ્યું છે વિભેદક સમીકરણ

જ્યાં α એ ફળદ્રુપતા અને મૃત્યુદર વચ્ચેના તફાવત દ્વારા નક્કી કરાયેલ અમુક પરિમાણ છે. આ સમીકરણનો ઉકેલ એ ઘાતાંકીય કાર્ય x = x0 e છે. જો જન્મ દર મૃત્યુ દર કરતાં વધી જાય, તો વસ્તીનું કદ અનિશ્ચિત રૂપે અને ખૂબ જ ઝડપથી વધે છે. તે સ્પષ્ટ છે કે વાસ્તવિકતામાં આ મર્યાદિત હોવાને કારણે થઈ શકતું નથી

સંસાધનો જ્યારે ચોક્કસ નિર્ણાયક વસ્તી કદ સુધી પહોંચી જાય છે, ત્યારે મોડેલ પર્યાપ્ત થવાનું બંધ કરે છે, કારણ કે તે મર્યાદિત સંસાધનોને ધ્યાનમાં લેતું નથી. માલ્થસ મોડેલનું શુદ્ધિકરણ એ લોજિસ્ટિક મોડેલ હોઈ શકે છે, જે વર્હુલ્સ્ટ વિભેદક સમીકરણ દ્વારા વર્ણવવામાં આવ્યું છે.

જ્યાં xs એ "સંતુલન" વસ્તીનું કદ છે, જેના પર જન્મ દર મૃત્યુ દર દ્વારા બરાબર સરભર થાય છે. આવા મોડેલમાં વસ્તીનું કદ સંતુલન મૂલ્ય xs તરફ વલણ ધરાવે છે, અને આ વર્તન માળખાકીય રીતે સ્થિર છે.

ચાલો ધારીએ કે બે પ્રકારના પ્રાણીઓ ચોક્કસ પ્રદેશમાં રહે છે: સસલા અને શિયાળ. ચાલો સસલાની સંખ્યા x, શિયાળની સંખ્યા y. જરૂરી સુધારા સાથે માલ્થસ મોડલનો ઉપયોગ કરીને, શિયાળ દ્વારા સસલા ખાવાને ધ્યાનમાં લઈને, અમે નીચેની સિસ્ટમ પર પહોંચીએ છીએ, જે લોટકા-વોલ્ટેરા મોડેલનું નામ ધરાવે છે:

જ્યારે સસલા અને શિયાળની સંખ્યા સતત હોય ત્યારે આ સિસ્ટમમાં સંતુલન સ્થિતિ હોય છે. આ સ્થિતિમાંથી વિચલન સસલા અને શિયાળની સંખ્યામાં વધઘટ તરફ દોરી જાય છે, જે હાર્મોનિક ઓસિલેટરમાં વધઘટ સમાન છે. હાર્મોનિક ઓસિલેટરના કિસ્સામાં, આ વર્તન માળખાકીય રીતે સ્થિર નથી: મોડેલમાં એક નાનો ફેરફાર વર્તનમાં ગુણાત્મક ફેરફાર તરફ દોરી શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે, સંતુલન સ્થિતિ સ્થિર બની શકે છે, અને વસ્તીની વધઘટ ઓછી થઈ જશે. વિપરીત પરિસ્થિતિ પણ શક્ય છે, જ્યારે સંતુલન સ્થિતિમાંથી કોઈપણ નાનું વિચલન વિનાશક પરિણામો તરફ દોરી જશે, એક જાતિના સંપૂર્ણ લુપ્ત થવા સુધી. આમાંથી કયા દૃશ્યો સાકાર થાય છે તે પ્રશ્નનો, વોલ્ટેરા-લોટકા મોડેલ જવાબ આપતું નથી: અહીં વધારાના સંશોધનની જરૂર છે.

કુદરતી વિજ્ઞાનના ક્ષેત્રમાં સંશોધન પર આધારિત સૈદ્ધાંતિક ખ્યાલોની રચના, જે જળચર ઇકોસિસ્ટમ્સમાં કુદરતી પ્રક્રિયાઓના અભ્યાસ અને સ્વતંત્ર વૈજ્ઞાનિક દિશા તરીકે ગાણિતિક મોડેલિંગના વિકાસ માટે માહિતી માટેના આધાર તરીકે સેવા આપે છે.

મૂળભૂત ખ્યાલો અને વ્યાખ્યાઓ

1.2.1. મોડલ(fr. માપ, નમૂના):

- ઑબ્જેક્ટ્સનો ચોક્કસ સમૂહ (સ્પેટિયો-ટેમ્પોરલ કોષો - સ્ટેશનો, વિભાગો, મેટ્રિસિસ, વગેરે) જે અભ્યાસ હેઠળની ઘટનાના કેટલાક પરિમાણોનું વર્ણન કરે છે;

પદાર્થોના કેટલાક સમૂહ કે જેના ગુણધર્મો અને તેમની વચ્ચેના સંબંધો આપેલ સ્વયંસિદ્ધ પ્રણાલીને સંતોષે છે;

માપન, નમૂના, ધોરણ - કુદરતી (અથવા સામાજિક) વાસ્તવિકતાના ચોક્કસ ટુકડાનું એનાલોગ (યોજના, માળખું, સાઇન સિસ્ટમ).

(શબ્દકોષમાંથી તેમને શોધવા દો: પદ્ધતિ, તકનીક, પદ્ધતિ).

1.2.2. વર્ગ દ્વારામોડેલો પોતે છે:

- ભૌતિક;

- ગાણિતિક;

- સામાજિક.

તેના વળાંકમાં અમલીકરણના સિદ્ધાંત અનુસાર ગાણિતિક મોડલહોઈ શકે છે:

- નિર્ધારિત - જે ગાણિતિક રીતે વ્યક્ત નિયમિતતાના આધારે બનાવવામાં આવે છે જે મોડેલિંગ ઑબ્જેક્ટમાં ભૌતિક અને રાસાયણિક પ્રક્રિયાઓનું વર્ણન કરે છે. તેઓ પરવાનગી આપે છે ચોક્કસપણેચલોનું મૂલ્ય નક્કી કરો;

- આંકડાકીય - પ્રાયોગિક ડેટાના આધારે બનાવવામાં આવે છે અને ઇનપુટ અને આઉટપુટ પરિમાણોના મૂલ્યોને લિંક કરતી સંબંધોની સિસ્ટમનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે;

- સ્ટોકેસ્ટિક (અથવા સિમ્યુલેશન) - અભ્યાસના ઑબ્જેક્ટમાં પ્રક્રિયાઓ વિશેના સંભવિત વિચારોના આધારે બનાવવામાં આવે છે અને અભ્યાસ હેઠળના ગુણધર્મોને લાક્ષણિકતા આપતા ચલોના સંભવિત વિતરણ કાર્યોની ગણતરી કરીને તેના વર્તનનું મોડેલિંગ કરવાની મંજૂરી આપે છે.

અનુકરણ- અનુકરણ.

સ્ટોકેસ્ટિક- રેન્ડમ, સંભવિત.

સિદ્ધાંત- માર્ગદર્શક વિચાર, પ્રવૃત્તિનો મૂળભૂત નિયમ.

આધુનિક કુદરતી વિજ્ઞાનના ક્લાસિક્સના પ્રયત્નોને આભારી, તેના વિકાસના ઇતિહાસ દરમિયાન, આસપાસના વિશ્વનું ગુણાત્મક મોડેલ રચાયું. તેથી, V.I. વર્નાડસ્કીએ જીવંત પદાર્થ અને દરિયાઈ ભૂ-રસાયણશાસ્ત્રના સિદ્ધાંતનો પાયો નાખ્યો, એ.પી. વિનોગ્રાડોવે અભ્યાસ કરવાનું શરૂ કર્યું રાસાયણિક રચનાસુક્ષ્મસજીવો, N.M. નિપોવિચ દરિયા અને ખારા પાણીમાં મત્સ્ય સંશોધનમાં અગ્રણી હતા, એસ.વી. બ્રુવિચે દરિયાઇ હાઇડ્રોકેમિકલ કાર્ય માટે વિશ્લેષણાત્મક પદ્ધતિઓ વિકસાવી, હાઇડ્રોકેમિસ્ટ્રી, બાયોહાઇડ્રોકેમિસ્ટ્રી અને રાસાયણિક ગતિશાસ્ત્રના પાયા ઘડ્યા, એલ.એ. ઝેનકેવિચે દરિયાઈ પાણીની પ્રાણીસૃષ્ટિ અને ઉત્પાદકતાનો અભ્યાસ કર્યો, એ.બી. સ્કોપિન્ટસેવે જળાશયો અને જળપ્રવાહમાં બાયોજેનિક અને કાર્બનિક પદાર્થો (ઓએમ) પર સંશોધન શરૂ કર્યું, જી.જી. વિનબર્ગે સમુદ્રની જૈવિક ઉત્પાદકતાના નિર્માણના મુદ્દાઓ પર ધ્યાન આપ્યું.

આ કામોએ 20મી સદીના ઉત્તરાર્ધમાં શરૂ થયેલા વિશ્વવ્યાપી સંશોધન પ્રોજેક્ટના પદ્ધતિસરના અને સૈદ્ધાંતિક પાયા તરીકે સેવા આપી હતી. દરિયાઈ જીવસૃષ્ટિની ઇકોલોજીકલ સ્થિતિનો નિયમિત અભ્યાસ, કાચા માલના આધારની રચનાની હાઇડ્રોકેમિકલ લાક્ષણિકતાઓ અને કુદરતી પાણીની જૈવઉત્પાદકતા; કાર્બનિક પદાર્થોના પરિવર્તન અને સડોની રાસાયણિક અને જૈવિક પ્રક્રિયાઓના વિકાસના દાખલાઓ; બાયોસ્ફિયરમાં પદાર્થોના ટર્નઓવર અને પરિભ્રમણની પરિસ્થિતિઓના અભ્યાસના સંબંધમાં બાયોજેનિક સબસ્ટ્રેટના પુનર્જીવનની પદ્ધતિઓ [લિયોનોવ, 1999], તેમજ પ્રાપ્ત માહિતીને વ્યવસ્થિત કરવા અને તેનું વિશ્લેષણ કરવાની પદ્ધતિઓ [Fashchuk, 1997; ફાશચુક એટ અલ., 1997].

વિખ્યાત ગણિતશાસ્ત્રી મુજબ, શિક્ષણવિદ્ આઈ.એમ. યગ્લોમા : "કોઈ ચોક્કસ શિસ્તની પરિપક્વતાનું સ્તર મોટે ભાગે તેમાં ગાણિતિક ઉપકરણના ઉપયોગની ડિગ્રી, શિસ્તમાં અંતર્ગત "ગાણિતિક મોડેલો" ની સામગ્રી અને તેમની સાથે નજીકથી સંબંધિત અનુમાણિક તારણો દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે ...". વીસમી સદીના ઉત્તરાર્ધ સુધીમાં. દરિયાઈ ઇકોલોજી એ વિજ્ઞાન તરીકે એટલી હદે "પરિપક્વ" થઈ ગઈ છે કે દરિયાઈ જીવસૃષ્ટિની સ્થિતિનું ગાણિતિક મોડેલિંગ કુદરતી વિજ્ઞાનમાં એક સ્વતંત્ર વૈજ્ઞાનિક દિશા બની ગયું છે. તેના માળખામાં, વિશ્વ મહાસાગરને ભૌતિક, રાસાયણિક, જૈવિક, ભૂસ્તરશાસ્ત્રીય અને અન્ય પ્રક્રિયાઓની જટિલ ગતિશીલ સિસ્ટમ તરીકે ગણવામાં આવે છે.

કોમ્પ્યુટર ટેક્નોલૉજીના વિકાસ અને લાગુ ગણિતના ઉપકરણને કારણે દરિયાઈ જીવસૃષ્ટિના ગાણિતિક મોડલના સઘન વિકાસમાં પરિણમ્યું, જેણે દરિયાઈ વિજ્ઞાનના વિવિધ ક્ષેત્રોમાં મેળવેલા જ્ઞાનને વ્યવસ્થિત બનાવવાનું શક્ય બનાવ્યું જેથી દરિયાઈ જળાશયોની સ્થિતિની આગાહી અને નિયંત્રણ કરી શકાય. . આ સંદર્ભમાં, દરિયામાં ક્ષેત્રીય અવલોકનો સાથે દરિયાઈ જીવસૃષ્ટિના ગાણિતિક મોડલને સમુદ્રની પ્રકૃતિની વૈજ્ઞાનિક સમજણ માટેના પાયા તરીકે ગણી શકાય. ગાણિતિક મોડલ્સનું નિર્માણ અને ઉપયોગ દરિયાઈ જીવસૃષ્ટિની કામગીરી માટેની પરિસ્થિતિઓના સિસ્ટમ વિશ્લેષણના સાધન તરીકે સેવા આપે છે.

1.4.1. કુદરતી પ્રક્રિયાઓ અને અસાધારણ ઘટનાના મોડેલિંગ માટેના પદ્ધતિસરના અભિગમના આધારે, નીચેનાને અલગ પાડવામાં આવે છે: મોડેલ પ્રકારો: પ્રયોગમૂલક, અર્ધ-પ્રાયોગિક અને સૈદ્ધાંતિક.

પ્રયોગમૂલક નમૂનાઓગાણિતિક અવલંબન દ્વારા પર્યાવરણની સ્થિતિના વ્યક્તિગત પરિમાણો અને તેમના પર કાર્ય કરતા બાહ્ય પરિબળો વચ્ચેના સંબંધનું વર્ણન કરો.

સૈદ્ધાંતિક મોડેલોઇકોસિસ્ટમના વ્યક્તિગત તત્વો, દ્રવ્ય અને ઊર્જાના રૂપાંતરણની પ્રક્રિયાઓ, રાસાયણિક અને જૈવિક પરિમાણોમાં ફેરફારની પેટર્ન વગેરેના મૂળભૂત સંશોધનના પરિણામે મેળવેલી વિશાળ હકીકતલક્ષી સામગ્રી પર આધારિત છે.

અર્ધ-અનુભવિક મોડેલોપ્રથમ બેના સંશ્લેષણનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે, અને મોટાભાગના વિકસિત મોડેલો આ શ્રેણીને આભારી હોઈ શકે છે.

1.4.2. અમલીકરણની પદ્ધતિ અનુસાર, મોડેલોને વિભાજિત કરવામાં આવે છે:

- નિર્ધારિત(તેઓ વાપરે છે કાર્યાત્મક નિર્ભરતાચલો વચ્ચે સંચાર માટે);

- સ્ટોકેસ્ટિક (આંકડાકીય સંબંધોના આધારે બનેલ). તેમાંના પ્રથમનો વધુ વખત ઉપયોગ થાય છે, કારણ કે તેઓ અસંખ્ય ઘટકોને મંજૂરી આપે છે અને જળચર વાતાવરણના પરિમાણોમાં રેન્ડમ વધઘટને ધ્યાનમાં લેતા નથી. તેઓ પરિણામોના અર્થઘટનના દૃષ્ટિકોણથી અનુકૂળ છે [Aizatullin, Lebedev, 1977].

- સ્ટોકેસ્ટિક-નિર્ધારિત, જેમાં પ્રથમ તબક્કે નિશ્ચયાત્મક રીતે ઉકેલની માંગ કરવામાં આવે છે, અને પછી, આંકડાકીય પરીક્ષણોની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને, વિવિધ પરિમાણોની પરિવર્તનશીલતાનું મોડેલ બનાવવામાં આવે છે અને આ પરિવર્તનશીલતાના ઉકેલના પ્રતિભાવનો અભ્યાસ કરવામાં આવે છે.

1.4.3. આધાર રાખીને ઑબ્જેક્ટના વર્ણનની ચોકસાઈ પરમોડેલો વિભાજિત કરી શકાય છે અનુકરણ (વિશિષ્ટ બેસિન અથવા વિસ્તારોને સમર્પિત અને ચોક્કસ સંશોધન કાર્યો માટે વિકસિત) અને ગુણવત્તા (પ્રક્રિયાઓના વિકાસ અને વિશ્લેષણના સામાન્ય દાખલાઓને સ્પષ્ટ કરવા માટે વપરાય છે, તેઓને ક્યારેક પણ કહેવામાં આવે છે સૈદ્ધાંતિક). IN અનુકરણ મોડેલો મહત્તમ વિગતોને ધ્યાનમાં લેવાનો પ્રયત્ન કરે છે, અને માં ગુણવત્તા - ન્યૂનતમ (પરંતુ સૌથી મહત્વપૂર્ણ), તેથી, બાદમાં માટે, મુખ્ય સમસ્યા એ પ્રાથમિકતા ચલોની પસંદગી છે [સ્મિથ, 1976].

અન્ય વર્ગીકરણ અનુસાર અનુકરણ (તેઓ સ્ટોકેસ્ટિક પણ છે) મોડેલો સંશોધનના હેતુમાં પ્રક્રિયાઓ વિશે સંભવિત વિચારોના આધારે બનેલા મોડેલો છે અને તેના વર્તનને મોડેલિંગની મંજૂરી આપે છે.

1.4.4. મોડેલની અવકાશી રચનાની રજૂઆત (વર્ણન) ની રીત અનુસાર વિભાજિત કરવામાં આવે છે:

- બિંદુ(અથવા શૂન્ય-પરિમાણીય) લમ્પ્ડ પરિમાણો સાથે, જેમાં રાજ્યની લાક્ષણિકતાઓના મૂલ્યો પાણીના સમગ્ર જથ્થા માટે સરેરાશ તરીકે લેવામાં આવે છે, એટલે કે. પાણીના શરીરને એક બિંદુ તરીકે ગણવામાં આવે છે (દા.ત. સરેરાશ સમુદ્રશાસ્ત્રીય સ્ટેશન તરીકે).

મોડેલ અને સિમ્યુલેશનનો ખ્યાલ.

વ્યાપક અર્થમાં મોડેલ- આ કોઈ પણ ઈમેજ છે, માનસિક અથવા સ્થાપિત ઈમેજનું એનાલોગ, વર્ણન, ડાયાગ્રામ, ડ્રોઈંગ, નકશો વગેરે કોઈપણ વોલ્યુમ, પ્રક્રિયા અથવા ઘટના, તેના વિકલ્પ અથવા પ્રતિનિધિ તરીકે ઉપયોગમાં લેવાય છે. ઑબ્જેક્ટ, પ્રક્રિયા અથવા ઘટના પોતે આ મોડેલની મૂળ કહેવાય છે.

મોડેલિંગ - આ કોઈપણ પદાર્થ અથવા ઑબ્જેક્ટની સિસ્ટમના નમૂનાઓનું નિર્માણ અને અભ્યાસ કરીને તેનો અભ્યાસ છે. લાક્ષણિકતાઓને નિર્ધારિત કરવા અથવા તેને સુધારવા માટે અને નવા બાંધવામાં આવેલા પદાર્થોના નિર્માણની રીતોને તર્કસંગત બનાવવા માટે આ મોડેલોનો ઉપયોગ છે.

વૈજ્ઞાનિક સંશોધનની કોઈપણ પદ્ધતિ મોડેલિંગના વિચાર પર આધારિત છે, તે જ સમયે, સૈદ્ધાંતિક પદ્ધતિઓમાં વિવિધ પ્રકારના ચિહ્નો, અમૂર્ત મોડેલોનો ઉપયોગ થાય છે, અને પ્રાયોગિક પદ્ધતિઓમાં વિષય મોડેલોનો ઉપયોગ થાય છે.

અભ્યાસમાં, એક જટિલ વાસ્તવિક ઘટનાને કેટલીક સરળ નકલ અથવા યોજના દ્વારા બદલવામાં આવે છે, કેટલીકવાર આવી નકલ આગામી મીટિંગમાં ઇચ્છિત ઘટનાને યાદ રાખવા અને ઓળખવા માટે જ કામ કરે છે. કેટલીકવાર બાંધવામાં આવેલી યોજના કેટલીક આવશ્યક સુવિધાઓને પ્રતિબિંબિત કરે છે, તમને ઘટનાની પદ્ધતિને સમજવાની મંજૂરી આપે છે, તેના પરિવર્તનની આગાહી કરવાનું શક્ય બનાવે છે. વિવિધ મોડેલો સમાન ઘટનાને અનુરૂપ હોઈ શકે છે.

સંશોધકનું કાર્ય ઘટનાની પ્રકૃતિ અને પ્રક્રિયાના કોર્સની આગાહી કરવાનું છે.

કેટલીકવાર, એવું બને છે કે ઑબ્જેક્ટ ઉપલબ્ધ છે, પરંતુ તેની સાથે પ્રયોગો ખર્ચાળ છે અથવા ગંભીર પર્યાવરણીય પરિણામો તરફ દોરી જાય છે. મોડેલોની મદદથી આવી પ્રક્રિયાઓ વિશે જ્ઞાન મેળવવામાં આવે છે.

એક મહત્વનો મુદ્દો એ છે કે વિજ્ઞાનની પ્રકૃતિમાં એક ચોક્કસ ઘટનાનો અભ્યાસ નથી, પરંતુ સંબંધિત ઘટનાના વિશાળ વર્ગનો સમાવેશ થાય છે. તે કેટલાક સામાન્ય સ્પષ્ટ નિવેદનો ઘડવાની જરૂરિયાત સૂચવે છે, જેને કાયદા કહેવામાં આવે છે. સ્વાભાવિક રીતે, આવી રચના સાથે, ઘણી વિગતો અવગણવામાં આવે છે. પેટર્નને વધુ સ્પષ્ટ રીતે ઓળખવા માટે, તેઓ ઇરાદાપૂર્વક બરછટ, આદર્શીકરણ, યોજનાકીયતા માટે જાય છે, એટલે કે, તેઓ ઘટનાનો જ અભ્યાસ કરતા નથી, પરંતુ તેની વધુ કે ઓછા ચોક્કસ નકલ અથવા મોડેલનો અભ્યાસ કરે છે. બધા કાયદા મોડેલો વિશેના કાયદા છે, અને તેથી તે આશ્ચર્યજનક નથી કે, સમય જતાં, કેટલાક વૈજ્ઞાનિક સિદ્ધાંતો બિનઉપયોગી હોવાનું જણાયું છે. આ વિજ્ઞાનના પતન તરફ દોરી જતું નથી, કારણ કે એક મોડેલ બીજા દ્વારા બદલવામાં આવ્યું છે. વધુ આધુનિક.

વિજ્ઞાનમાં ગાણિતિક મોડલ વિશેષ ભૂમિકા ભજવે છે. બાંધકામ સામગ્રીઅને આ મોડેલોના સાધનો ગાણિતિક ખ્યાલો છે. તેઓ હજારો વર્ષોમાં સંચિત અને સુધાર્યા છે. આધુનિક ગણિત સંશોધનના અપવાદરૂપે શક્તિશાળી અને સાર્વત્રિક માધ્યમો પૂરા પાડે છે. ગણિતમાં લગભગ દરેક ખ્યાલ, દરેક ગાણિતિક પદાર્થ, સંખ્યાની વિભાવનાથી શરૂ કરીને, એક ગાણિતિક મોડેલ છે. અભ્યાસ હેઠળની કોઈ વસ્તુ અથવા ઘટનાનું ગાણિતિક મોડેલ બનાવતી વખતે, તેના લક્ષણો, વિશેષતાઓ અને વિગતોને અલગ પાડવામાં આવે છે, જે એક તરફ, ઑબ્જેક્ટ વિશે વધુ કે ઓછી સંપૂર્ણ માહિતી ધરાવે છે, અને બીજી બાજુ, ગાણિતિકને મંજૂરી આપે છે. ઔપચારિકરણ ગાણિતિક ઔપચારિકતાનો અર્થ એ છે કે ઑબ્જેક્ટની વિશેષતાઓ અને વિગતો યોગ્ય પર્યાપ્ત ગાણિતિક ખ્યાલો સાથે સંકળાયેલ હોઈ શકે છે: સંખ્યાઓ, કાર્યો, મેટ્રિસિસ અને તેથી વધુ. પછી તેની વ્યક્તિગત વિગતો અને વચ્ચે અભ્યાસ હેઠળના ઑબ્જેક્ટમાં જોડાણો અને સંબંધો મળ્યા અને ધારવામાં આવ્યા ઘટક ભાગોગાણિતિક સંબંધોનો ઉપયોગ કરીને લખી શકાય છે: સમાનતા, અસમાનતા, સમીકરણો. પરિણામ એ અભ્યાસ હેઠળની પ્રક્રિયા અથવા ઘટનાનું ગાણિતિક વર્ણન છે, એટલે કે, તેનું ગાણિતિક મોડેલ.

ગાણિતિક મૉડલનો અભ્યાસ હંમેશા અભ્યાસ હેઠળના ઑબ્જેક્ટ્સ પર ક્રિયાના કેટલાક નિયમો સાથે સંકળાયેલો હોય છે. આ નિયમો કારણો અને અસરો વચ્ચેના સંબંધોને પ્રતિબિંબિત કરે છે.

ગાણિતિક મોડેલ બનાવવું એ કોઈપણ સિસ્ટમના અભ્યાસ અથવા ડિઝાઇનમાં કેન્દ્રિય તબક્કો છે. ઑબ્જેક્ટનું સમગ્ર અનુગામી વિશ્લેષણ મોડેલની ગુણવત્તા પર આધારિત છે. મોડેલ બનાવવું એ ઔપચારિક પ્રક્રિયા નથી. તે સંશોધક, તેના અનુભવ અને સ્વાદ પર ભારપૂર્વક આધાર રાખે છે, હંમેશા ચોક્કસ પ્રાયોગિક સામગ્રી પર આધાર રાખે છે. મોડેલ પર્યાપ્ત સચોટ, પર્યાપ્ત અને ઉપયોગ માટે અનુકૂળ હોવું જોઈએ.

ગણિત મોડેલિંગ.

ગાણિતિક મોડેલોનું વર્ગીકરણ.

ગાણિતિક મોડેલો હોઈ શકે છેનિર્ધારિત અને સ્ટોકેસ્ટિક .

નિર્ણાયક મોડેલ અને - આ એવા મોડેલો છે જેમાં કોઈ વસ્તુ અથવા ઘટનાનું વર્ણન કરતા ચલો વચ્ચે એક-થી-એક પત્રવ્યવહાર સ્થાપિત થાય છે.

આ અભિગમ ઑબ્જેક્ટ્સના કાર્યની પદ્ધતિના જ્ઞાન પર આધારિત છે. જે ઑબ્જેક્ટનું મોડેલિંગ કરવામાં આવે છે તે ઘણીવાર જટિલ હોય છે અને તેની મિકેનિઝમને સમજાવવી ખૂબ જ કપરું અને સમય માંગી શકે છે. આ કિસ્સામાં, તેઓ નીચે પ્રમાણે આગળ વધે છે: પ્રયોગો મૂળ પર હાથ ધરવામાં આવે છે, પરિણામો પર પ્રક્રિયા કરવામાં આવે છે, અને, ગાણિતિક આંકડા અને સંભાવના સિદ્ધાંતની પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને, મોડલ કરેલ ઑબ્જેક્ટની પદ્ધતિ અને સિદ્ધાંતને ધ્યાનમાં લીધા વિના, તેઓ વચ્ચે સંબંધો સ્થાપિત કરે છે. ઑબ્જેક્ટનું વર્ણન કરતા ચલો. આ કિસ્સામાં, મેળવોસ્ટોકેસ્ટિક મોડેલ . IN સ્ટોકેસ્ટિક મોડેલ, ચલો વચ્ચેનો સંબંધ રેન્ડમ છે, કેટલીકવાર તે મૂળભૂત રીતે થાય છે. મોટી સંખ્યામાં પરિબળોની અસર, તેમનું સંયોજન કોઈ વસ્તુ અથવા ઘટનાનું વર્ણન કરતા ચલોના રેન્ડમ સમૂહ તરફ દોરી જાય છે. મોડ્સની પ્રકૃતિ દ્વારા, મોડેલ છેઆંકડાકીય અને ગતિશીલ.

આંકડાકીયમોડેલસમય જતાં પરિમાણોમાં ફેરફારને ધ્યાનમાં લીધા વિના સ્થિર સ્થિતિમાં સિમ્યુલેટેડ ઑબ્જેક્ટના મુખ્ય ચલો વચ્ચેના સંબંધોનું વર્ણન શામેલ છે.

IN ગતિશીલમોડેલોએક મોડમાંથી બીજા મોડમાં સંક્રમણમાં સિમ્યુલેટેડ ઑબ્જેક્ટના મુખ્ય ચલો વચ્ચેના સંબંધનું વર્ણન કરે છે.

મોડેલો છે અલગઅને સતત, અને મિશ્ર પ્રકાર IN સતત ચલો ચોક્કસ અંતરાલમાંથી મૂલ્યો લે છે, માંઅલગચલો અલગ મૂલ્યો લે છે.

લીનિયર મોડલ્સ- મોડેલનું વર્ણન કરતા તમામ કાર્યો અને સંબંધો રેખીય રીતે ચલો પર આધારિત છે અનેરેખીય નથીઅન્યથા.

ગણિત મોડેલિંગ.

જરૂરીયાતો , પ્રસ્તુત મોડેલો માટે.

1. વર્સેટિલિટી- વાસ્તવિક ઑબ્જેક્ટના અભ્યાસ કરેલા ગુણધર્મોના મોડેલ દ્વારા ડિસ્પ્લેની સંપૂર્ણતાને લાક્ષણિકતા આપે છે.

1. પર્યાપ્તતા - ઑબ્જેક્ટના ઇચ્છિત ગુણધર્મોને સ્પષ્ટ કરેલ કરતાં વધુ ન હોય તેવી ભૂલ સાથે પ્રતિબિંબિત કરવાની ક્ષમતા.
2. ચોકસાઈ - વાસ્તવિક ઑબ્જેક્ટની લાક્ષણિકતાઓના મૂલ્યોના સંયોગની ડિગ્રી અને મોડેલોનો ઉપયોગ કરીને મેળવેલ આ લાક્ષણિકતાઓના મૂલ્યો દ્વારા અંદાજવામાં આવે છે.
3. અર્થતંત્ર - કમ્પ્યુટર મેમરી સંસાધનોની કિંમત અને તેના અમલીકરણ અને સંચાલન માટેના સમય દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.

ગણિત મોડેલિંગ.

મોડેલિંગના મુખ્ય તબક્કાઓ.

1. સમસ્યાનું નિવેદન.

વિશ્લેષણનો હેતુ અને તેને હાંસલ કરવાની રીતો નક્કી કરવી અને અભ્યાસ હેઠળની સમસ્યા માટે સામાન્ય અભિગમ વિકસાવવો. આ તબક્કે, કાર્યના સારને ઊંડી સમજણ જરૂરી છે. કેટલીકવાર, તેને હલ કરવા કરતાં કાર્યને યોગ્ય રીતે સેટ કરવું ઓછું મુશ્કેલ નથી. સ્ટેજીંગ એ ઔપચારિક પ્રક્રિયા નથી, સામાન્ય નિયમોના.

2. સૈદ્ધાંતિક પાયાનો અભ્યાસ અને મૂળ વસ્તુ વિશેની માહિતીનો સંગ્રહ.

આ તબક્કે, એક યોગ્ય સિદ્ધાંત પસંદ કરવામાં આવે છે અથવા વિકસિત થાય છે. જો તે હાજર ન હોય, તો ઑબ્જેક્ટનું વર્ણન કરતા ચલો વચ્ચે કારણભૂત સંબંધો સ્થાપિત થાય છે. ઇનપુટ અને આઉટપુટ ડેટા નિર્ધારિત કરવામાં આવે છે, ધારણાઓને સરળ બનાવે છે.

3. ઔપચારિકરણ.

તેમાં પ્રતીકોની સિસ્ટમ પસંદ કરવામાં અને તેનો ઉપયોગ કરીને ગાણિતિક અભિવ્યક્તિઓના સ્વરૂપમાં પદાર્થના ઘટકો વચ્ચેનો સંબંધ લખવાનો સમાવેશ થાય છે. કાર્યોનો એક વર્ગ સ્થાપિત થયેલ છે, જેના માટે ઑબ્જેક્ટના પરિણામી ગાણિતિક મોડેલને આભારી કરી શકાય છે. આ તબક્કે કેટલાક પરિમાણોના મૂલ્યો હજી સ્પષ્ટ થઈ શકશે નહીં.

4. ઉકેલ પદ્ધતિની પસંદગી.

આ તબક્કે, ઑબ્જેક્ટના ઑપરેશન માટેની શરતોને ધ્યાનમાં લેતા, મોડેલોના અંતિમ પરિમાણો સેટ કરવામાં આવે છે. મેળવેલ ગાણિતિક સમસ્યા માટે, ઉકેલ પદ્ધતિ પસંદ કરવામાં આવે છે અથવા વિશિષ્ટ પદ્ધતિ વિકસાવવામાં આવે છે. કોઈ પદ્ધતિ પસંદ કરતી વખતે, વપરાશકર્તાનું જ્ઞાન, તેની પસંદગીઓ તેમજ વિકાસકર્તાની પસંદગીઓને ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે.

5. મોડેલનું અમલીકરણ.

અલ્ગોરિધમનો વિકાસ કર્યા પછી, એક પ્રોગ્રામ લખવામાં આવે છે જે ડીબગ કરવામાં આવે છે, પરીક્ષણ કરવામાં આવે છે અને ઇચ્છિત સમસ્યાનો ઉકેલ મેળવવામાં આવે છે.

6. પ્રાપ્ત માહિતીનું વિશ્લેષણ.

પ્રાપ્ત અને અપેક્ષિત ઉકેલની તુલના કરવામાં આવે છે, મોડેલિંગ ભૂલ નિયંત્રિત થાય છે.

7. વાસ્તવિક પદાર્થની પર્યાપ્તતા તપાસવી.

મોડેલ દ્વારા મેળવેલા પરિણામોની તુલના કરવામાં આવે છેકાં તો ઑબ્જેક્ટ વિશે ઉપલબ્ધ માહિતી સાથે, અથવા એક પ્રયોગ હાથ ધરવામાં આવે છે અને તેના પરિણામોની ગણતરી કરેલ સાથે સરખામણી કરવામાં આવે છે.

મોડેલિંગ પ્રક્રિયા પુનરાવર્તિત છે. તબક્કાના અસંતોષકારક પરિણામોના કિસ્સામાં 6. અથવા 7. પ્રારંભિક તબક્કામાંના એકમાં પાછા ફરવું, જે અસફળ મોડેલના વિકાસ તરફ દોરી શકે છે, હાથ ધરવામાં આવે છે. આ તબક્કો અને ત્યારપછીના તમામ તબક્કાઓને શુદ્ધ કરવામાં આવે છે, અને જ્યાં સુધી સ્વીકાર્ય પરિણામો પ્રાપ્ત ન થાય ત્યાં સુધી મોડેલની આવી શુદ્ધિકરણ થાય છે.

ગાણિતિક મોડલ એ ગણિતની ભાષામાં વાસ્તવિક દુનિયાના કોઈપણ વર્ગની ઘટના અથવા વસ્તુઓનું અંદાજિત વર્ણન છે. મોડેલિંગનો મુખ્ય હેતુ આ પદાર્થોનું અન્વેષણ કરવાનો અને ભાવિ અવલોકનોના પરિણામોની આગાહી કરવાનો છે. જો કે, મોડેલિંગ એ આસપાસના વિશ્વની સમજણની એક પદ્ધતિ પણ છે, જે તેને નિયંત્રિત કરવાનું શક્ય બનાવે છે.

ગાણિતિક મોડેલિંગ અને સંલગ્ન કોમ્પ્યુટર પ્રયોગ એવા કિસ્સાઓમાં અનિવાર્ય છે કે જ્યાં એક યા બીજા કારણસર પૂર્ણ-સ્કેલ પ્રયોગ અશક્ય અથવા મુશ્કેલ હોય. ઉદાહરણ તરીકે, "જો શું થશે તો..." ચકાસવા માટે ઇતિહાસમાં સંપૂર્ણ પાયે પ્રયોગ સેટ કરવો અશક્ય છે, આ અથવા તે બ્રહ્માંડ સંબંધી સિદ્ધાંતની શુદ્ધતા તપાસવી અશક્ય છે. સૈદ્ધાંતિક રીતે, પ્લેગ જેવા કેટલાક રોગના ફેલાવા સાથે પ્રયોગ કરવો અથવા તેના પરિણામોનો અભ્યાસ કરવા માટે પરમાણુ વિસ્ફોટ કરવો શક્ય છે, પરંતુ ભાગ્યે જ વાજબી છે. જો કે, આ બધું કમ્પ્યુટર પર કરી શકાય છે, અગાઉ અભ્યાસ હેઠળની ઘટનાના ગાણિતિક મોડેલો બનાવ્યા હતા.

1.1.2 2. ગાણિતિક મોડેલિંગના મુખ્ય તબક્કાઓ

1) મોડેલ બિલ્ડિંગ. આ તબક્કે, કેટલાક "બિન-ગાણિતિક" ઑબ્જેક્ટનો ઉલ્લેખ કરવામાં આવે છે - એક કુદરતી ઘટના, બાંધકામ, આર્થિક યોજના, ઉત્પાદન પ્રક્રિયા, વગેરે. આ કિસ્સામાં, એક નિયમ તરીકે, પરિસ્થિતિનું સ્પષ્ટ વર્ણન મુશ્કેલ છે.પ્રથમ, ઘટનાની મુખ્ય લાક્ષણિકતાઓ અને ગુણાત્મક સ્તરે તેમની વચ્ચેના સંબંધને ઓળખવામાં આવે છે. પછી મળી આવેલ ગુણાત્મક અવલંબન ગણિતની ભાષામાં ઘડવામાં આવે છે, એટલે કે, એક ગાણિતિક મોડેલ બનાવવામાં આવે છે. આ મોડેલિંગનો સૌથી મુશ્કેલ ભાગ છે.

2) ગાણિતિક સમસ્યાનું નિરાકરણ જે મોડેલ તરફ દોરી જાય છે. આ તબક્કે, કમ્પ્યુટર પર સમસ્યા હલ કરવા માટે અલ્ગોરિધમ્સ અને સંખ્યાત્મક પદ્ધતિઓના વિકાસ પર ખૂબ ધ્યાન આપવામાં આવે છે, જેની મદદથી પરિણામ જરૂરી ચોકસાઈ સાથે અને સ્વીકાર્ય સમયની અંદર શોધી શકાય છે.

3) ગાણિતિક મોડેલમાંથી પ્રાપ્ત પરિણામોનું અર્થઘટન.ગણિતની ભાષામાં મોડેલમાંથી મેળવેલા પરિણામોનું આ ક્ષેત્રમાં સ્વીકૃત ભાષામાં અર્થઘટન કરવામાં આવે છે.

4) મોડેલની પર્યાપ્તતા તપાસવી.આ તબક્કે, તે જાણવા મળે છે કે પ્રયોગના પરિણામો ચોક્કસ ચોકસાઈની અંદર મોડેલના સૈદ્ધાંતિક પરિણામો સાથે સંમત છે કે કેમ.

5) મોડલ ફેરફાર.આ તબક્કે, કાં તો મોડેલ વધુ જટિલ બને છે જેથી તે વાસ્તવિકતા માટે વધુ પર્યાપ્ત હોય, અથવા વ્યવહારિક રીતે સ્વીકાર્ય ઉકેલ પ્રાપ્ત કરવા માટે તેને સરળ બનાવવામાં આવે.

1.1.3 3. મોડલ વર્ગીકરણ

મોડેલોને વિવિધ માપદંડો અનુસાર વર્ગીકૃત કરી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, હલ કરવામાં આવતી સમસ્યાઓની પ્રકૃતિ અનુસાર, મોડેલોને કાર્યાત્મક અને માળખાકીયમાં વિભાજિત કરી શકાય છે. પ્રથમ કિસ્સામાં, ઘટના અથવા ઑબ્જેક્ટને દર્શાવતી તમામ માત્રા માત્રાત્મક રીતે વ્યક્ત કરવામાં આવે છે. તે જ સમયે, તેમાંના કેટલાકને સ્વતંત્ર ચલો તરીકે ગણવામાં આવે છે, જ્યારે અન્યને આ જથ્થાના કાર્યો તરીકે ગણવામાં આવે છે. ગાણિતિક મોડેલ સામાન્ય રીતે સમીકરણોની સિસ્ટમ છે વિવિધ પ્રકાર(વિભેદક, બીજગણિત, વગેરે), વિચારણા હેઠળના જથ્થાઓ વચ્ચે માત્રાત્મક સંબંધો સ્થાપિત કરવા. બીજા કિસ્સામાં, મોડેલ એક જટિલ ઑબ્જેક્ટની રચનાને લાક્ષણિકતા આપે છે, જેમાં અલગ ભાગોનો સમાવેશ થાય છે, જેની વચ્ચે ચોક્કસ જોડાણો હોય છે. સામાન્ય રીતે, આ સંબંધો પરિમાણપાત્ર નથી. આવા મોડેલો બનાવવા માટે, ગ્રાફ થિયરીનો ઉપયોગ કરવો અનુકૂળ છે. ગ્રાફ એ ગાણિતિક પદાર્થ છે, જે પ્લેન અથવા અવકાશમાં બિંદુઓ (શિરોબિંદુઓ) નો સમૂહ છે, જેમાંથી કેટલાક રેખાઓ (ધાર) દ્વારા જોડાયેલા છે.

પ્રારંભિક ડેટા અને આગાહીના પરિણામોની પ્રકૃતિ અનુસાર, મોડેલોને નિર્ણાયક અને સંભવિત-આંકડાકીયમાં વિભાજિત કરી શકાય છે. પ્રથમ પ્રકારનાં મોડેલો ચોક્કસ, અસ્પષ્ટ આગાહીઓ આપે છે. બીજા પ્રકારનાં મોડલ આંકડાકીય માહિતી પર આધારિત હોય છે, અને તેમની મદદથી મેળવેલી આગાહીઓ સંભવિત પ્રકૃતિની હોય છે.

ગાણિતિક મોડલિંગ અને સામાન્ય કોમ્પ્યુટરાઇઝેશન અથવા સિમ્યુલેશન મોડલ્સ

હવે, જ્યારે દેશમાં લગભગ સાર્વત્રિક કોમ્પ્યુટરાઇઝેશન થઈ રહ્યું છે, ત્યારે કોઈ પણ વ્યક્તિ વિવિધ વ્યવસાયોના નિષ્ણાતોના નિવેદનો સાંભળી શકે છે: "ચાલો આપણા દેશમાં કમ્પ્યુટર દાખલ કરીએ, પછી બધા કાર્યો તરત જ હલ થઈ જશે." આ દૃષ્ટિકોણ સંપૂર્ણપણે ખોટો છે, કમ્પ્યુટર્સ પોતે અમુક પ્રક્રિયાઓના ગાણિતિક મોડેલો વિના કંઈ કરી શકતા નથી, અને વ્યક્તિ ફક્ત સાર્વત્રિક કોમ્પ્યુટરાઇઝેશનનું સ્વપ્ન જોઈ શકે છે.

ઉપરોક્તના સમર્થનમાં, અમે ગાણિતિક મોડેલિંગ સહિત મોડેલિંગની જરૂરિયાતને ન્યાયી ઠેરવવાનો પ્રયત્ન કરીશું અને માનવ સમજશક્તિ અને પરિવર્તનમાં તેના ફાયદાઓને જાહેર કરીશું. બહારની દુનિયા, અમે હાલની ખામીઓને ઓળખીશું અને... સિમ્યુલેશન મોડેલિંગ તરફ જઈશું, એટલે કે. કમ્પ્યુટરનો ઉપયોગ કરીને મોડેલિંગ. પરંતુ બધું ક્રમમાં છે.

સૌ પ્રથમ, ચાલો પ્રશ્નનો જવાબ આપીએ: મોડેલ શું છે?

મૉડલ એ સામગ્રી અથવા માનસિક રીતે રજૂ કરાયેલ ઑબ્જેક્ટ છે જે, સમજશક્તિ (અભ્યાસ) ની પ્રક્રિયામાં, મૂળને બદલે છે, કેટલાક વિશિષ્ટ ગુણધર્મો જાળવી રાખે છે જે આ અભ્યાસ માટે મહત્વપૂર્ણ છે.

વાસ્તવિક ઑબ્જેક્ટ કરતાં સારી રીતે બનાવેલ મોડેલ સંશોધન માટે વધુ સુલભ છે. ઉદાહરણ તરીકે, શૈક્ષણિક હેતુઓ માટે દેશની અર્થવ્યવસ્થા સાથેના પ્રયોગો અસ્વીકાર્ય છે; અહીં કોઈ મોડેલ વિના કરી શકતું નથી.

શું કહેવામાં આવ્યું છે તેનો સારાંશ આપતા, અમે આ પ્રશ્નનો જવાબ આપી શકીએ છીએ: મોડેલ્સ શું છે? ના અનુસાર

• ઑબ્જેક્ટ કેવી રીતે કાર્ય કરે છે તે સમજો (તેની રચના, ગુણધર્મો, વિકાસના નિયમો, બાહ્ય વિશ્વ સાથે ક્રિયાપ્રતિક્રિયા).
• ઑબ્જેક્ટ (પ્રક્રિયા) નું સંચાલન કરવાનું શીખો અને શ્રેષ્ઠ વ્યૂહરચના નક્કી કરો
• ઑબ્જેક્ટ પર અસરના પરિણામોની આગાહી કરો.

કોઈપણ મોડેલમાં હકારાત્મક શું છે? તે તમને ઑબ્જેક્ટ વિશે નવું જ્ઞાન મેળવવાની મંજૂરી આપે છે, પરંતુ, કમનસીબે, તે એક અથવા બીજી ડિગ્રી સુધી પૂર્ણ નથી.

મોડલગાણિતિક પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને ગણિતની ભાષામાં ઘડવામાં આવે છે તેને ગાણિતિક મોડેલ કહેવામાં આવે છે.

તેના બાંધકામ માટે પ્રારંભિક બિંદુ સામાન્ય રીતે કેટલાક કાર્ય છે, ઉદાહરણ તરીકે, એક આર્થિક. વ્યાપક, બંને વર્ણનાત્મક અને ઓપ્ટિમાઇઝેશન ગાણિતિક, વિવિધ લાક્ષણિકતા આર્થિક પ્રક્રિયાઓઅને ઘટનાઓ જેમ કે:

• સાધનો ની ફાળવણી
• તર્કસંગત કટીંગ
• પરિવહન
• સાહસોનું એકીકરણ
• નેટવર્ક આયોજન.

ગાણિતિક મોડેલ કેવી રીતે બનાવવામાં આવે છે?

• પ્રથમ, અભ્યાસનો હેતુ અને વિષય ઘડવામાં આવે છે.
• બીજું, સૌથી વધુ મહત્વપૂર્ણ લાક્ષણિકતાઓઆ હેતુ માટે યોગ્ય.
• ત્રીજે સ્થાને, મોડેલના ઘટકો વચ્ચેના સંબંધો મૌખિક રીતે વર્ણવવામાં આવ્યા છે.
• આગળ, સંબંધ ઔપચારિક છે.
• અને ગણતરી ગાણિતિક મોડેલ અને પ્રાપ્ત ઉકેલના વિશ્લેષણ અનુસાર હાથ ધરવામાં આવે છે.

આ અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કરીને, તમે કોઈપણ ઑપ્ટિમાઇઝેશન સમસ્યાને હલ કરી શકો છો, જેમાં મલ્ટિક્રાઇટેરિયા એક, એટલે કે. એક જેમાં એક નહીં, પરંતુ વિરોધાભાસી લક્ષ્યો સહિત અનેક લક્ષ્યોને અનુસરવામાં આવે છે.

ચાલો એક ઉદાહરણ લઈએ. કતાર સિદ્ધાંત - કતારની સમસ્યા. તમારે બે પરિબળોને સંતુલિત કરવાની જરૂર છે - સેવા ઉપકરણોને જાળવવાની કિંમત અને લાઇનમાં રહેવાની કિંમત. મોડેલનું ઔપચારિક વર્ણન બનાવ્યા પછી, ગણતરીઓ વિશ્લેષણાત્મક અને કોમ્પ્યુટેશનલ પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે. જો મોડેલ સારું છે, તો તેની મદદથી મળેલા જવાબો મોડેલિંગ સિસ્ટમ માટે પર્યાપ્ત છે; જો તે ખરાબ છે, તો તેને સુધારવું અને બદલવું આવશ્યક છે. પર્યાપ્તતાનો માપદંડ પ્રેક્ટિસ છે.

ઑપ્ટિમાઇઝેશન મૉડલ્સ, મલ્ટિક્રાઇટેરિયા સહિત, સામાન્ય ગુણધર્મ ધરાવે છે - એક ધ્યેય (અથવા અનેક ધ્યેયો) એ હાંસલ કરવા માટે જાણીતું છે કે જેને ઘણીવાર જટિલ પ્રણાલીઓનો સામનો કરવો પડે છે, જ્યાં તે ઑપ્ટિમાઇઝેશન સમસ્યાઓ ઉકેલવા વિશે એટલું બધું નથી, પરંતુ સંશોધન અને આગાહી કરવા વિશે છે. પસંદ કરેલ નિયંત્રણ વ્યૂહરચના પર આધાર રાખીને. અને અહીં અમે અગાઉની યોજનાના અમલીકરણમાં મુશ્કેલીઓનો સામનો કરી રહ્યા છીએ. તેઓ નીચે મુજબ છે.

• જટિલ સિસ્ટમ તત્વો વચ્ચે ઘણા જોડાણો ધરાવે છે
• વાસ્તવિક સિસ્ટમ રેન્ડમ પરિબળોથી પ્રભાવિત છે, તેમને વિશ્લેષણાત્મક રીતે ધ્યાનમાં લેવાનું અશક્ય છે
• મોડલ સાથે મૂળની સરખામણી કરવાની શક્યતા માત્ર શરૂઆતમાં અને ગાણિતિક ઉપકરણના ઉપયોગ પછી અસ્તિત્વમાં છે, કારણ કે મધ્યવર્તી પરિણામોમાં વાસ્તવિક સિસ્ટમમાં એનાલોગ ન હોઈ શકે.

જટિલ સિસ્ટમોનો અભ્યાસ કરતી વખતે ઊભી થતી સૂચિબદ્ધ મુશ્કેલીઓના સંબંધમાં, પ્રેક્ટિસને વધુ લવચીક પદ્ધતિની જરૂર હતી, અને તે દેખાય છે - સિમ્યુલેશન મોડેલિંગ " સિમ્યુજેશન મોડેલિંગ".

સામાન્ય રીતે, સિમ્યુલેશન મોડેલને કમ્પ્યુટર પ્રોગ્રામ્સના સમૂહ તરીકે સમજવામાં આવે છે જે સિસ્ટમના વ્યક્તિગત બ્લોક્સની કામગીરી અને તેમની વચ્ચેની ક્રિયાપ્રતિક્રિયાના નિયમોનું વર્ણન કરે છે. રેન્ડમ ચલોનો ઉપયોગ સિમ્યુલેશન સિસ્ટમ (કોમ્પ્યુટર પર) અને પ્રાપ્ત પરિણામોના અનુગામી આંકડાકીય વિશ્લેષણ સાથે વારંવાર પ્રયોગો કરવા જરૂરી બનાવે છે. સિમ્યુલેશન મોડલ્સના ઉપયોગનું એક ખૂબ જ સામાન્ય ઉદાહરણ મોન્ટે કાર્લો પદ્ધતિ દ્વારા કતારની સમસ્યાનું સમાધાન છે.

આમ, સિમ્યુલેશન સિસ્ટમ સાથે કામ એ કમ્પ્યુટર પર કરવામાં આવેલ પ્રયોગ છે. ફાયદા શું છે?

- ગાણિતિક મોડેલો કરતાં વાસ્તવિક સિસ્ટમની વધુ નિકટતા;

- બ્લોક સિદ્ધાંત દરેક બ્લોકને એકંદર સિસ્ટમમાં સમાવિષ્ટ કરતા પહેલા તેને ચકાસવાનું શક્ય બનાવે છે;

- અવલંબનનો વધુ ઉપયોગ કરવો જટિલ પ્રકૃતિ, સરળ ગાણિતિક સંબંધો દ્વારા વર્ણવેલ નથી.

સૂચિબદ્ધ ફાયદા ગેરફાયદા નક્કી કરે છે

- સિમ્યુલેશન મોડલ બનાવવું લાંબુ, વધુ મુશ્કેલ અને વધુ ખર્ચાળ છે;

- સિમ્યુલેશન સિસ્ટમ સાથે કામ કરવા માટે, તમારી પાસે એક કમ્પ્યુટર હોવું આવશ્યક છે જે વર્ગ માટે યોગ્ય હોય;

- વપરાશકર્તા અને સિમ્યુલેશન મોડેલ (ઇન્ટરફેસ) વચ્ચેની ક્રિયાપ્રતિક્રિયા ખૂબ જટિલ, અનુકૂળ અને જાણીતી હોવી જોઈએ નહીં;

- સિમ્યુલેશન મોડેલના નિર્માણ માટે ગાણિતિક મોડેલિંગ કરતાં વાસ્તવિક પ્રક્રિયાના ઊંડા અભ્યાસની જરૂર છે.

પ્રશ્ન ઊભો થાય છે: શું સિમ્યુલેશન મોડેલિંગ ઑપ્ટિમાઇઝેશન પદ્ધતિઓને બદલી શકે છે? ના, પરંતુ અનુકૂળ રીતે તેમને પૂરક બનાવે છે. સિમ્યુલેશન મૉડલ એ એક પ્રોગ્રામ છે જે અમુક અલ્ગોરિધમનો અમલ કરે છે, જેના નિયંત્રણને ઑપ્ટિમાઇઝ કરવા માટે કે જેમાં ઑપ્ટિમાઇઝેશનની સમસ્યા સૌપ્રથમ હલ થાય છે.

તેથી, ન તો કમ્પ્યુટર, ન તો ગાણિતિક મોડેલ, ન તો તેનો અલગથી અભ્યાસ કરવા માટેનું અલ્ગોરિધમ એક જટિલ સમસ્યાને હલ કરી શકે છે. પરંતુ તેઓ એકસાથે તે બળનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે જે તમને તમારી આસપાસની દુનિયાને જાણવાની, તેને માણસના હિતમાં સંચાલિત કરવાની મંજૂરી આપે છે.

1.2 મોડલ વર્ગીકરણ

1.2.1 સમય પરિબળ અને ઉપયોગના ક્ષેત્રને ધ્યાનમાં લેતા વર્ગીકરણ (માકારોવા એન.એ.) સ્ટેટિક મોડલ -તે ઑબ્જેક્ટ પરની માહિતીના એક વખતના ટુકડા જેવું છે (એક સર્વેક્ષણનું પરિણામ) ગતિશીલ મોડેલ-મંજૂરી આપે છે સમય જતાં ઑબ્જેક્ટમાં ફેરફારો જુઓ (ક્લિનિકમાં કાર્ડ) મોડેલો અનુસાર વર્ગીકૃત કરી શકાય છે તેઓ જ્ઞાનના કયા ક્ષેત્રના છે(જૈવિક, ઐતિહાસિક, ઇકોલોજીકલ, વગેરે.) પ્રારંભ પર પાછા ફરો

1.2.2 ઉપયોગના ક્ષેત્ર દ્વારા વર્ગીકરણ (માકારોવા N.A.) તાલીમ-દ્રશ્યસહાયકો, ટ્રેનર્સ , ઓહ થ્રેશિંગકાર્યક્રમો અનુભવી મોડલ-ઘટાડો નકલો (વિન્ડ ટનલમાં કાર) વૈજ્ઞાનિક અને તકનીકીસિંક્રોફાસોટ્રોન, ઇલેક્ટ્રોનિક સાધનોના પરીક્ષણ માટે સ્ટેન્ડ રમત-આર્થિક, સ્પોર્ટ્સ, બિઝનેસ ગેમ્સ સિમ્યુલેશન-નથીતેઓ ફક્ત વાસ્તવિકતાને પ્રતિબિંબિત કરે છે, પરંતુ તેનું અનુકરણ કરે છે (દવાઓનું પરીક્ષણ ઉંદર પર કરવામાં આવે છે, પ્રયોગો શાળાઓમાં કરવામાં આવે છે, વગેરે. આ મોડેલિંગ પદ્ધતિ કહેવામાં આવે છે. અજમાયશ અને ભૂલ પ્રારંભ પર પાછા ફરો

1.2.3 પ્રસ્તુતિની પદ્ધતિ અનુસાર વર્ગીકરણ મકારોવા એન.એ.) સામગ્રી મોડેલો- અન્યથા વિષય કહી શકાય. તેઓ ભૌમિતિક અને સમજે છે ભૌતિક ગુણધર્મોમૂળ અને હંમેશા વાસ્તવિક મૂર્ત સ્વરૂપ હોય છે માહિતીપ્રદ મોડેલો - મંજૂરી નથી સ્પર્શ કરો અથવા જુઓ. તેઓ માહિતી પર આધારિત છે. .માહિતીમોડેલ એ માહિતીનો સમૂહ છે જે ઑબ્જેક્ટ, પ્રક્રિયા, ઘટના, તેમજ બાહ્ય વિશ્વ સાથેના સંબંધના ગુણધર્મો અને સ્થિતિઓને દર્શાવે છે. મૌખિક મોડેલ -માનસિક અથવા વાતચીત સ્વરૂપમાં માહિતી મોડેલ. આઇકોનિક મોડલ-માહિતીપ્રદ ચિહ્નો દ્વારા દર્શાવવામાં આવેલ મોડેલ , એટલે કે. કોઈપણ ઔપચારિક ભાષા દ્વારા. કમ્પ્યુટર મોડેલ - m સોફ્ટવેર પર્યાવરણના માધ્યમથી અમલમાં મુકાયેલું મોડેલ.

1.2.4 "લેન્ડ ઓફ ઇન્ફોર્મેટિક્સ" (Gein A.G.)) પુસ્તકમાં આપેલ મોડેલોનું વર્ગીકરણ "...અહીં એક મોટે ભાગે સરળ કાર્ય છે: કારાકુમ રણને પાર કરવામાં કેટલો સમય લાગશે? જવાબ, અલબત્તમુસાફરીની રીત પર આધાર રાખે છે. જો મુસાફરી કરોઊંટ, તો એક ટર્મની જરૂર પડશે, બીજી જો તમે કારમાં જાઓ છો, ત્રીજું જો તમે પ્લેન દ્વારા ઉડાન કરો છો. અને સૌથી અગત્યનું, ટ્રિપ પ્લાન કરવા માટે અલગ-અલગ મોડલ્સની જરૂર પડે છે. પ્રથમ કેસ માટે, જરૂરી મોડેલ પ્રખ્યાત રણ સંશોધકોના સંસ્મરણોમાં મળી શકે છે: છેવટે, કોઈ પણ ઓએઝ અને ઊંટના રસ્તાઓ વિશેની માહિતી વિના કરી શકતું નથી. બીજા કિસ્સામાં, રસ્તાઓના એટલાસમાં સમાવિષ્ટ બદલી ન શકાય તેવી માહિતી. ત્રીજામાં - તમે ફ્લાઇટ શેડ્યૂલનો ઉપયોગ કરી શકો છો. આ ત્રણ મોડલ અલગ-અલગ છે - સંસ્મરણો, એટલાસ અને સમયપત્રક અને માહિતીની રજૂઆતની પ્રકૃતિ. પ્રથમ કિસ્સામાં, મોડેલ માહિતીના મૌખિક વર્ણન દ્વારા રજૂ થાય છે (વર્ણનાત્મક મોડેલ), બીજામાં - પ્રકૃતિના ફોટોગ્રાફની જેમ (કુદરતી મોડેલ), ત્રીજામાં - પ્રતીકો ધરાવતું કોષ્ટક: પ્રસ્થાન અને આગમનનો સમય, અઠવાડિયાનો દિવસ, ટિકિટની કિંમત (કહેવાતા સાઇન મોડેલ)જો કે, આ વિભાગ ખૂબ જ શરતી છે - નકશા અને આકૃતિઓ (સંપૂર્ણ-સ્કેલ મોડેલના ઘટકો) સંસ્મરણોમાં મળી શકે છે, નકશા પર પ્રતીકો છે (સાઇન મોડેલના ઘટકો), પ્રતીકોનું ડીકોડિંગ (વર્ણનાત્મક મોડેલના ઘટકો) ) શેડ્યૂલમાં આપવામાં આવે છે. તેથી મોડેલોનું આ વર્ગીકરણ ... અમારા મતે અનુત્પાદક છે" મારા મતે, આ ટુકડો જિનના તમામ પુસ્તકોમાં સામાન્ય વર્ણનાત્મક (અદ્ભુત ભાષા અને પ્રસ્તુતિની શૈલી) દર્શાવે છે અને, જેમ કે, શિક્ષણની સોક્રેટિક શૈલી (દરેકને લાગે છે કે આ આવું છે. હું તમારી સાથે સંપૂર્ણપણે સંમત છું, પરંતુ જો તમે નજીકથી જોશો, તો પછી ...).આવા પુસ્તકોમાં વ્યાખ્યાઓની સ્પષ્ટ પ્રણાલી શોધવાનું ખૂબ મુશ્કેલ છે (તે લેખકનો હેતુ નથી). દ્વારા સંપાદિત પાઠ્યપુસ્તકમાં એન.એ. મકારોવા એક અલગ અભિગમ દર્શાવે છે - વિભાવનાઓની વ્યાખ્યાઓ સ્પષ્ટ રીતે અલગ અને કંઈક અંશે સ્થિર છે.

1.2.5 A.I. Bochkin ના માર્ગદર્શિકામાં આપેલ મોડેલોનું વર્ગીકરણ વર્ગીકરણ કરવાની ઘણી રીતો છે .અમે રજૂ કરીએ છીએમાત્ર થોડા વધુ જાણીતા ફાઉન્ડેશનો અને ચિહ્નો: વિવેકબુદ્ધિઅને સાતત્ય, મેટ્રિક્સઅને સ્કેલર મોડલ, સ્ટેટિક અને ડાયનેમિક મોડલ, વિશ્લેષણાત્મક અને માહિતી મોડલ, વિષય અને અલંકારિક ચિહ્ન મોડલ, મોટા પાયે અને નોન-સ્કેલ... દરેક નિશાની ચોક્કસ આપે છેમોડેલ અને મોડેલ કરેલ વાસ્તવિકતા બંનેના ગુણધર્મો વિશે જ્ઞાન. સિમ્યુલેશન જે રીતે કરવામાં આવ્યું છે અથવા કરવાનું છે તેના વિશે સંકેત સંકેત તરીકે સેવા આપી શકે છે. સમજદારી અને સાતત્ય વિવેકબુદ્ધિ - લક્ષણકમ્પ્યુટર મોડેલો .અંતમાંકમ્પ્યુટર ફાઇનલમાં હોઈ શકે છે, જોકે ખૂબ જ મોટી સંખ્યામાંરાજ્યો તેથી, જો ઑબ્જેક્ટ સતત (સમય) હોય, તો પણ મોડેલમાં તે કૂદકામાં બદલાશે. તે ગણી શકાય સાતત્યબિન-કમ્પ્યુટર પ્રકારનાં મોડલની નિશાની. રેન્ડમનેસ અને નિશ્ચયવાદ . અનિશ્ચિતતા, અકસ્માતશરૂઆતમાં કોમ્પ્યુટરની દુનિયાનો વિરોધ: ફરીથી શરૂ કરાયેલ અલ્ગોરિધમને પુનરાવર્તિત થવું જોઈએ અને સમાન પરિણામો આપવા જોઈએ. પરંતુ રેન્ડમ પ્રક્રિયાઓનું અનુકરણ કરવા માટે, સ્યુડો-રેન્ડમ નંબર સેન્સર્સનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. નિર્ધારિત સમસ્યાઓમાં અવ્યવસ્થિતતાનો પરિચય શક્તિશાળી અને રસપ્રદ મોડલ તરફ દોરી જાય છે (રેન્ડમ ટોસિંગ એરિયા ગણતરી). મેટ્રિક્સ - સ્કેલર. પરિમાણોની ઉપલબ્ધતા મેટ્રિક્સમોડેલ તેની વધુ જટિલતા અને, સંભવતઃ, તેની સરખામણીમાં ચોકસાઈ દર્શાવે છે સ્કેલર. ઉદાહરણ તરીકે, જો આપણે દેશની વસ્તીમાં તમામ વય જૂથોને એકીકૃત ન કરીએ, તો તેના સમગ્ર પરિવર્તનને ધ્યાનમાં લેતા, અમને એક સ્કેલર મોડલ (ઉદાહરણ તરીકે, માલ્થસ મોડેલ) મળે છે, જો આપણે સિંગલ આઉટ કરીએ, તો મેટ્રિક્સ (લિંગ અને વય) મોડેલ તે મેટ્રિક્સ મોડેલ હતું જેણે યુદ્ધ પછી જન્મ દરમાં થતી વધઘટને સમજાવવાનું શક્ય બનાવ્યું. સ્થિર ગતિશીલતા. મોડેલના આ ગુણધર્મો સામાન્ય રીતે વાસ્તવિક ઑબ્જેક્ટના ગુણધર્મો દ્વારા પૂર્વનિર્ધારિત હોય છે. અહીં પસંદગીની સ્વતંત્રતા નથી. માત્ર સ્થિરમોડેલ તરફ એક પગલું હોઈ શકે છે ગતિશીલ, અથવા અમુક મોડલ વેરીએબલ્સને હાલ માટે અપરિવર્તિત ગણી શકાય. ઉદાહરણ તરીકે, ઉપગ્રહ પૃથ્વીની આસપાસ ફરે છે, તેની હિલચાલ ચંદ્રથી પ્રભાવિત છે. જો આપણે ઉપગ્રહની ક્રાંતિ દરમિયાન ચંદ્રને સ્થિર માનીએ, તો આપણે એક સરળ મોડેલ મેળવીએ છીએ. વિશ્લેષણાત્મક મોડલ્સ. પ્રક્રિયાઓનું વર્ણન વિશ્લેષણાત્મક રીતે, સૂત્રો અને સમીકરણો. પરંતુ ગ્રાફ બનાવવાનો પ્રયાસ કરતી વખતે, કાર્ય મૂલ્યો અને દલીલોના કોષ્ટકો રાખવા વધુ અનુકૂળ છે. સિમ્યુલેશન મોડલ. સિમ્યુલેશનમોડેલો લાંબા સમય પહેલા જહાજો, પુલો, વગેરેની મોટા પાયે નકલોના રૂપમાં દેખાયા હતા, લાંબા સમય પહેલા દેખાયા હતા, પરંતુ કમ્પ્યુટર્સના જોડાણમાં તેઓ તાજેતરમાં માનવામાં આવે છે. કેવી રીતે જોડાયેલ છે તે જાણીનેમોડેલ તત્વો વિશ્લેષણાત્મક અને તાર્કિક રીતે, ચોક્કસ સંબંધો અને સમીકરણોની સિસ્ટમને હલ કરવી સરળ નથી, પરંતુ મેમરી તત્વો વચ્ચેની લિંક્સને ધ્યાનમાં લેતા, કમ્પ્યુટર મેમરીમાં વાસ્તવિક સિસ્ટમનો નકશો બનાવવો સરળ છે. માહિતી મોડેલો. માહિતીપ્રદગાણિતિક રાશિઓના મોડેલોનો વિરોધ કરવાનો રિવાજ છે, વધુ ચોક્કસ રીતે એલ્ગોરિધમિક. ડેટા/એલ્ગોરિધમ રેશિયો અહીં મહત્વપૂર્ણ છે. જો ત્યાં વધુ ડેટા છે અથવા તે વધુ મહત્વપૂર્ણ છે, તો અમારી પાસે માહિતી મોડેલ છે, અન્યથા - ગાણિતિક. વિષય મોડેલો. આ મુખ્યત્વે બાળકોનું મોડેલ છે - એક રમકડું. અલંકારિક-ચિહ્ન મોડેલો. તે મુખ્યત્વે માનવ મનમાં એક મોડેલ છે: અલંકારિક, જો ગ્રાફિક છબીઓનું વર્ચસ્વ હોય, અને પ્રતિકાત્મક, જો ત્યાં શબ્દો અને/અથવા સંખ્યાઓ કરતાં વધુ હોય. અલંકારિક ચિહ્ન મોડેલ કમ્પ્યુટર પર બાંધવામાં આવે છે. સ્કેલ મોડેલો. પ્રતિ મોટા પાયેમૉડલ એ વિષય અથવા અલંકારિક મૉડલ છે જે ઑબ્જેક્ટ (નકશા) ના આકારનું પુનરાવર્તન કરે છે.

ગાણિતિક મોડેલની વ્યાખ્યા

વિવિધ કાર્યક્રમોમાં ગણિતની ભૂમિકા નક્કી કરતું એક મહત્ત્વનું પરિબળ એ ગણિતના પ્રતીકો અને સંબંધોની ભાષામાં અભ્યાસ હેઠળના પદાર્થના અત્યંત આવશ્યક લક્ષણો અને ગુણધર્મોનું વર્ણન કરવાની ક્ષમતા છે. આવા વર્ણનને ગાણિતિક મોડેલિંગ અથવા ઔપચારિકતા કહેવામાં આવે છે.

વ્યાખ્યા 1.ગાણિતિક મોડેલવાસ્તવિક પદાર્થ (ઘટના) એ તેની સરળ, આદર્શ યોજના છે, જે ગાણિતિક પ્રતીકો અને ક્રિયાઓ (ગુણોત્તરો) ની મદદથી સંકલિત છે.

ચોક્કસ આર્થિક કાર્ય (સમસ્યા) નું ગાણિતિક મોડલ બનાવવા માટે, નીચેના કામનો ક્રમ કરવાની ભલામણ કરવામાં આવે છે:

1. જાણીતા અને અજાણ્યા મૂલ્યોની વ્યાખ્યા, તેમજ હાલની શરતો અને પૂર્વજરૂરીયાતો (શું આપવામાં આવ્યું છે અને શું શોધવાની જરૂર છે?);

2. સમસ્યાના સૌથી મહત્વપૂર્ણ પરિબળોની ઓળખ;

3. સંચાલિત અને અવ્યવસ્થિત પરિમાણોની ઓળખ;

4. ગાણિતિક વર્ણનસમીકરણો, અસમાનતાઓ, કાર્યો અને મોડેલ તત્વો (પરિમાણો, ચલ) વચ્ચેના સંબંધોના અન્ય સંબંધો દ્વારા, વિચારણા હેઠળની સમસ્યાની સામગ્રીના આધારે.

તેના ગાણિતિક મોડેલને સંબંધિત સમસ્યાના જાણીતા પરિમાણો ગણવામાં આવે છે બાહ્ય(પ્રાયોરી આપેલ છે, એટલે કે મોડેલ બનાવતા પહેલા). આર્થિક સાહિત્યમાં તેમને કહેવામાં આવે છે બાહ્ય ચલો. પ્રારંભિક રીતે અજાણ્યા ચલોનું મૂલ્ય મોડેલના અભ્યાસના પરિણામે ગણવામાં આવે છે, તેથી, મોડેલના સંબંધમાં, તેઓ ગણવામાં આવે છે આંતરિક. આર્થિક સાહિત્યમાં તેમને કહેવામાં આવે છે અંતર્જાત ચલો.

હેતુના દૃષ્ટિકોણથી, વ્યક્તિ અલગ કરી શકે છે વર્ણનાત્મક મોડેલોઅને નિર્ણય લેવાના મોડલ. વર્ણનાત્મક મોડેલોજેમ કે આર્થિક વસ્તુઓની સામગ્રી અને મૂળભૂત ગુણધર્મોને પ્રતિબિંબિત કરે છે. તેમની સહાયથી, આર્થિક પરિબળો અને સૂચકાંકોના આંકડાકીય મૂલ્યોની ગણતરી કરવામાં આવે છે.

આયોજિત સૂચકાંકો અથવા મેનેજમેન્ટ નિર્ણયો માટેના શ્રેષ્ઠ વિકલ્પો શોધવામાં નિર્ણય મોડલ મદદ કરે છે. તેમાંથી, સૌથી ઓછા જટિલ ઓપ્ટિમાઇઝેશન મોડેલો છે, જે આયોજન-પ્રકારનાં કાર્યોનું વર્ણન કરે છે (સિમ્યુલેટ કરે છે) અને સૌથી વધુ જટિલ રમત મોડલ છે જે વિવિધ રુચિઓના આંતરછેદને ધ્યાનમાં લેતા, સંઘર્ષ પ્રકૃતિની સમસ્યાઓનું વર્ણન કરે છે. આ મોડેલો વર્ણનાત્મક મોડેલોથી અલગ છે કારણ કે તેમની પાસે નિયંત્રણ પરિમાણોના મૂલ્યો પસંદ કરવાની ક્ષમતા છે (જે વર્ણનાત્મક મોડેલોમાં નથી).

સામાન્ય નિર્ણય વૃક્ષ

ગાણિતિક અર્થશાસ્ત્રમાં, નિર્ણય મોડલની ભૂમિકાને વધારે પડતો અંદાજ કાઢવો મુશ્કેલ છે. સૌથી વધુ ઉપયોગમાં લેવાતા તે છે જે શ્રેષ્ઠ ઉત્પાદન આયોજન, મર્યાદિત સંસાધનોના તર્કસંગત વિતરણ અને આર્થિક સંસ્થાઓની કાર્યક્ષમ પ્રવૃત્તિને આત્યંતિક સમસ્યાઓ, શ્રેષ્ઠ નિયંત્રણ સમસ્યાઓ અને રમત સમસ્યાઓમાં પ્રારંભિક સમસ્યાઓ ઘટાડે છે. શું છે સામાન્ય માળખુંઆવા મોડેલો?

કોઈપણ નિર્ણય લેવાનું કાર્ય એ વ્યક્તિ અથવા વ્યક્તિઓની હાજરી દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે જે ચોક્કસ લક્ષ્યોને અનુસરે છે અને આ માટે ચોક્કસ તકો ધરાવે છે. તેથી, નિર્ણય લેવાના મોડેલના મુખ્ય ઘટકોને ઓળખવા માટે, નીચેના પ્રશ્નોના જવાબ આપવા જરૂરી છે:

નિર્ણય કોણ લે છે?

નિર્ણય લેવાના ધ્યેયો શું છે?

નિર્ણય લેવાનું શું છે?

સેટ શું છે વિકલ્પોધ્યેય સિદ્ધિ?

કઈ શરતો હેઠળ નિર્ણય લેવામાં આવે છે?

તેથી અમારી પાસે કેટલાક છે સામાન્ય કાર્યનિર્ણય લેવો. તેની ઔપચારિક યોજના (મોડેલ) બનાવવા માટે, અમે સામાન્ય સંકેત રજૂ કરીએ છીએ.

પત્ર એનતમામ નિર્ણય લેતા પક્ષોના સમૂહને દર્શાવો. દો N=(1,2,...,n),તે કુલ n સહભાગીઓ માત્ર સંખ્યાઓ દ્વારા ઓળખાય છે. દરેક તત્વને નિર્ણય નિર્માતા (DM) કહેવામાં આવે છે. (ઉદાહરણ તરીકે, એક વ્યક્તિ, એક પેઢી, મોટી ચિંતાનું આયોજન સંસ્થા, સરકારો, વગેરે).

ધારો કે દરેક નિર્ણય નિર્માતાના તમામ શક્ય ઉકેલો (વિકલ્પો, વ્યૂહરચના) ના સમૂહનો અગાઉ અભ્યાસ કરવામાં આવ્યો છે અને તેનું ગાણિતિક રીતે વર્ણન કરવામાં આવ્યું છે (ઉદાહરણ તરીકે, અસમાનતાઓની સિસ્ટમના સ્વરૂપમાં). ચાલો તેમને દ્વારા સૂચિત કરીએ એક્સ 1 , એક્સ 2 ,..., એક્સ n . તે પછી, તમામ નિર્ણય લેનારાઓ દ્વારા નિર્ણય લેવાની પ્રક્રિયા નીચેના ઔપચારિક અધિનિયમમાં ઘટાડવામાં આવે છે: દરેક નિર્ણય લેનાર તેના સ્વીકાર્ય નિર્ણય સમૂહમાંથી ચોક્કસ તત્વ પસંદ કરે છે,..., . પરિણામ એ પસંદ કરેલ ઉકેલોનો સમૂહ x = (x1,...,xn) છે, જેને આપણે પરિસ્થિતિ કહીએ છીએ.

નિર્ણય નિર્માતા દ્વારા અનુસરવામાં આવેલા ધ્યેયોના દૃષ્ટિકોણથી પરિસ્થિતિ xનું મૂલ્યાંકન કરવા માટે, કાર્યોનું નિર્માણ કરવામાં આવે છે. f 1 ,..., એફ n (જેને ઉદ્દેશ્ય કાર્યો અથવા ગુણવત્તા માપદંડ કહેવાય છે) જે દરેક પરિસ્થિતિને x સંખ્યાત્મક સ્કોર્સ અસાઇન કરે છે f 1 (x),..., f n (x)(ઉદાહરણ તરીકે, પરિસ્થિતિ xમાં કંપનીઓની આવક, અથવા તેમના ખર્ચ વગેરે). પછી ધ્યેય iનિર્ણય નિર્માતા નીચે પ્રમાણે ઔપચારિક છે: તમારા પોતાના ઉકેલ પસંદ કરો જેથી પરિસ્થિતિમાં x = (x 1 ,...,X n ) સંખ્યા f i (X)શક્ય તેટલા મોટા (અથવા નાના) બનો. જો કે, તેમના પોતાના ધ્યેયો હાંસલ કરવા માટે એકંદર પરિસ્થિતિને પ્રભાવિત કરતા અન્ય પક્ષોની હાજરીને કારણે આ ધ્યેયની સિદ્ધિ તેના પર નિર્ભર છે. હિતોના આંતરછેદની આ હકીકત (સંઘર્ષ) એ હકીકતમાં પ્રતિબિંબિત થાય છે કે કાર્ય f iઉપરાંત x iઅન્ય ચલો પર આધાર રાખે છે x j (જી).તેથી, ઘણા સહભાગીઓ સાથે નિર્ણય લેવાના મોડેલોમાં, તેમના લક્ષ્યોને કાર્યના મૂલ્યોને મહત્તમ અથવા ઘટાડવા કરતાં અલગ રીતે ઔપચારિક બનાવવા જોઈએ f i (X).છેલ્લે, ચાલો આપણે ગાણિતિક રીતે તમામ શરતોનું વર્ણન કરી શકીએ કે જેના હેઠળ નિર્ણય લેવામાં આવે છે. (નિયંત્રિત અને અનિયંત્રિત ચલો વચ્ચેના સંબંધોનું વર્ણન, રેન્ડમ પરિબળોના પ્રભાવનું વર્ણન, ગતિશીલ લાક્ષણિકતાઓની વિચારણા વગેરે). સરળતા માટે, આ બધી શરતોની સંપૂર્ણતા એક પ્રતીક દ્વારા સૂચવવામાં આવશે.

આમ, નિર્ણય સમસ્યાની સામાન્ય યોજના આના જેવી દેખાઈ શકે છે:

મોડેલના ઘટકોનો ઉલ્લેખ કરીને (1.6.1.), તેમની લાક્ષણિકતાઓ અને ગુણધર્મોને સ્પષ્ટ કરીને, કોઈ એક અથવા અન્ય ચોક્કસ વર્ગના નિર્ણય મોડેલ મેળવી શકે છે. તેથી જો (1.6.1.) માં એનમાત્ર એક તત્વ સમાવે છે (n=1),અને મૂળ વાસ્તવિક સમસ્યાની તમામ શરતો અને પૂર્વજરૂરીયાતોને આ એકલ નિર્ણય નિર્માતા માટે શક્ય ઉકેલોના સમૂહ તરીકે વર્ણવી શકાય છે, પછી (1.6.1.) થી આપણે ઑપ્ટિમાઇઝેશન (અતિશય) સમસ્યાનું માળખું મેળવીએ છીએ:< Х, f >. આ યોજનામાં, નિર્ણય લેનારને આયોજન સંસ્થા તરીકે ગણી શકાય. આ યોજનાનો ઉપયોગ કરીને, તમે બે પ્રકારની આત્યંતિક સમસ્યાઓ લખી શકો છો:

જો આત્યંતિક સમસ્યામાં સમય પરિબળને સ્પષ્ટપણે ધ્યાનમાં લેવામાં આવે, તો તેને શ્રેષ્ઠ નિયંત્રણ સમસ્યા કહેવામાં આવે છે. જો n 2 , તો (1.6.1.) છે સામાન્ય યોજનાસંઘર્ષમાં નિર્ણય લેવાની ક્રિયાઓ, એટલે કે, તે પરિસ્થિતિઓમાં જ્યાં બે અથવા વધુ પક્ષોના હિતોનું આંતરછેદ હોય.

ઘણીવાર નિર્ણય લેનાર પાસે એક નહીં, પરંતુ ઘણા લક્ષ્યો હોય છે. આ કિસ્સામાં, (1) માંથી અમે એક યોજના મેળવીએ છીએ જ્યાં તમામ કાર્યો થાય છે f 1 (x),..., f n (x)સમાન સમૂહ X પર વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. આવી સમસ્યાઓને મલ્ટિ-ઓબ્જેક્ટિવ ઑપ્ટિમાઇઝેશન સમસ્યાઓ કહેવામાં આવે છે.

નિર્ણય લેવાની સમસ્યાઓના વર્ગો છે જેમણે તેમના હેતુના આધારે તેમના નામ પ્રાપ્ત કર્યા છે: કતારબદ્ધ સિસ્ટમ્સ, ઇન્વેન્ટરી મેનેજમેન્ટ સમસ્યાઓ, નેટવર્ક અને શેડ્યુલિંગ સમસ્યાઓ, વિશ્વસનીયતા સિદ્ધાંત વગેરે.

જો મોડેલ (1) ના તત્વો સ્પષ્ટપણે સમય પર આધાર રાખતા નથી, એટલે કે, નિર્ણય લેવાની પ્રક્રિયાને આપેલ સમૂહમાંથી બિંદુ પસંદ કરવાના ત્વરિત કાર્યમાં ઘટાડવામાં આવે છે, તો સમસ્યા કહેવામાં આવે છે. સ્થિરનહિંતર, એટલે કે જ્યારે નિર્ણય લેવો એ બહુ-તબક્કાની સ્વતંત્ર અથવા સમય-સતત પ્રક્રિયા હોય, ત્યારે કાર્ય કહેવામાં આવે છે. ગતિશીલ. જો મોડેલ (1) ના ઘટકોમાં રેન્ડમ ચલ અને સંભવિત ઘટનાઓ શામેલ નથી, તો સમસ્યાને નિર્ણાયક કહેવામાં આવે છે, અન્યથા - સ્ટોકેસ્ટિક.