લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ્સના ડબલ ઇન્ટિગ્રલનું પરિવર્તન, ધ્રુવીય કોઓર્ડિનેટ્સ માટે
, સંબંધો દ્વારા લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ્સ સંબંધિત
,
, સૂત્ર અનુસાર હાથ ધરવામાં આવે છે

જો એકીકરણનું ડોમેન
બે બીમ સુધી મર્યાદિત
,
(
), ધ્રુવમાંથી બહાર આવવું અને બે વળાંક
અને
, પછી સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ડબલ ઇન્ટિગ્રલની ગણતરી કરવામાં આવે છે

.

ઉદાહરણ 1.3.આ રેખાઓ દ્વારા બંધાયેલ આકૃતિના વિસ્તારની ગણતરી કરો:
,
,
,
.

ઉકેલ.વિસ્તારના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરવા માટે
ચાલો સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ:
.

ચાલો વિસ્તારનું નિરૂપણ કરીએ (ફિગ. 1.5). આ કરવા માટે, અમે વણાંકોને રૂપાંતરિત કરીએ છીએ: , , , . ચાલો ધ્રુવીય કોઓર્ડિનેટ્સ તરફ આગળ વધીએ: , . . ધ્રુવીય સંકલન પ્રણાલીમાં, વિસ્તાર સમીકરણો દ્વારા વર્ણવેલ:

.

1.2. ટ્રિપલ ઇન્ટિગ્રલ્સ

મૂળભૂત ગુણધર્મો ટ્રિપલ ઇન્ટિગ્રલડબલ ઇન્ટિગ્રલ્સના ગુણધર્મો સમાન.

કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ્સમાં, ટ્રિપલ ઇન્ટિગ્રલ સામાન્ય રીતે નીચે પ્રમાણે લખવામાં આવે છે:

.

જો
, પછી વિસ્તાર પર ટ્રિપલ ઇન્ટિગ્રલ સંખ્યાત્મક રીતે શરીરના જથ્થાની બરાબર :

.

ત્રિવિધ અભિન્ન ગણતરી

એકીકરણનું ડોમેન દો એકલ-મૂલ્યવાળી સતત સપાટીઓ દ્વારા અનુક્રમે નીચે અને ઉપર બંધાયેલ છે
,
, અને પ્રદેશના પ્રક્ષેપણ કોઓર્ડિનેટ પ્લેન સુધી
એક સપાટ વિસ્તાર છે
(ફિગ. 1.6).

પછી નિશ્ચિત મૂલ્યો માટે અનુરૂપ અરજીઓ વિસ્તારના બિંદુઓ અંદર બદલાય છે. પછી આપણને મળે છે: . જો, વધુમાં, પ્રક્ષેપણ અસમાનતાઓ દ્વારા નિર્ધારિત , , જ્યાં - અસ્પષ્ટ સતત પર કાર્યો , તે

.

ઉદાહરણ 1.4.ગણતરી કરો
, ક્યાં - વિમાનો દ્વારા મર્યાદિત શરીર:

	, , , ( , , ). ઉકેલ.એકીકરણનો વિસ્તાર પિરામિડ છે (ફિગ. 1.7). પ્રોજેક્શન વિસ્તાર એક ત્રિકોણ છે , સીધી રેખાઓ દ્વારા બંધાયેલ , , (ફિગ. 1.8). મુ ડોટ લાગુ પડે છે અસમાનતાને સંતોષો , એટલે જ .
	ત્રિકોણ માટે એકીકરણની મર્યાદા સુયોજિત કરવી , અમને મળે છે

નળાકાર કોઓર્ડિનેટ્સમાં ટ્રિપલ ઇન્ટિગ્રલ

જ્યારે કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ્સમાંથી ખસેડવું
નળાકાર કોઓર્ડિનેટ્સ માટે
(ફિગ. 1.9) સાથે સંકળાયેલ છે
સંબંધો
,
,
, અને

	, ,, ટ્રિપલ ઇન્ટિગ્રલ રૂપાંતરિત થાય છે: ઉદાહરણ 1.5.સપાટીઓ દ્વારા બંધાયેલા શરીરના જથ્થાની ગણતરી કરો: , , . ઉકેલ.જરૂરી શરીર વોલ્યુમ બરાબર .
	એકીકરણ ડોમેન એ પ્લેન દ્વારા નીચે બંધાયેલ સિલિન્ડરનો એક ભાગ છે , અને પ્લેન ઉપર (ફિગ. 1.10). પ્રોજેક્શન વિસ્તાર એક વર્તુળ છે મૂળ અને એકમ ત્રિજ્યા પર કેન્દ્ર સાથે. ચાલો નળાકાર કોઓર્ડિનેટ્સ તરફ આગળ વધીએ. , , . ડોટ લાગુ પડે છે મુ , અસમાનતાને સંતોષે છે અથવા માં:

નળાકાર કોઓર્ડિનેટ્સ
પ્રદેશ
, વળાંક દ્વારા બંધાયેલ
, ફોર્મ લેશે, અથવા
, જ્યારે ધ્રુવીય કોણ

.

. પરિણામે અમારી પાસે છે

2. ક્ષેત્ર સિદ્ધાંતના તત્વો

ચાલો સૌપ્રથમ વક્રીય અને સપાટીના અભિન્ન ભાગોની ગણતરી માટેની પદ્ધતિઓ યાદ કરીએ. વળાંક પર વ્યાખ્યાયિત કાર્યોના કોઓર્ડિનેટ્સ પર વક્રીય અભિન્નતાની ગણતરી

, ફોર્મના ચોક્કસ ઇન્ટિગ્રલની ગણતરી કરવા માટે ઘટાડે છે જો વળાંક
પેરામેટ્રિક રીતે ઉલ્લેખિત વળાંકના પ્રારંભિક બિંદુને અનુલક્ષે છે
, એ

- તેનો અંતિમ બિંદુ.
ફંક્શનના ઇન્ટિગ્રલ સપાટીની ગણતરી , બે બાજુની સપાટી પર વ્યાખ્યાયિત

,

, ડબલ ઇન્ટિગ્રલની ગણતરી કરવા માટે નીચે આવે છે, ઉદાહરણ તરીકે, ફોર્મનું જો સપાટી
, સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે
, વિશિષ્ટ રીતે પ્લેન પર પ્રક્ષેપિત થાય છે
પ્રદેશ માટે . અહીં - એકમ સામાન્ય વેક્ટર વચ્ચેનો ખૂણો સપાટી પર
:

.

અને ધરી સમસ્યાની પરિસ્થિતિઓ દ્વારા જરૂરી સપાટીની બાજુ

યોગ્ય સાઇન ઇન ફોર્મ્યુલાની પસંદગી દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે (2.3).
વ્યાખ્યા 2.1. વેક્ટર ક્ષેત્ર
બિંદુનું વેક્ટર કાર્ય કહેવાય છે

તેના અવકાશ સાથે:
વેક્ટર ક્ષેત્ર સ્કેલર જથ્થા દ્વારા લાક્ષણિકતા -

વિચલન: વ્યાખ્યા 2.2. પ્રવાહ
વેક્ટર ક્ષેત્ર સપાટી દ્વારા

,

સપાટી અભિન્ન કહેવાય છે: જ્યાં વળાંકના પ્રારંભિક બિંદુને અનુલક્ષે છે
- સપાટીની પસંદ કરેલી બાજુએ સામાન્ય વેક્ટરને એકમ કરો અને .

- વેક્ટર્સનું સ્કેલર ઉત્પાદન વ્યાખ્યા 2.2. પ્રવાહ

વ્યાખ્યા 2.3. પરિભ્રમણ દ્વારા બંધ વળાંક

,

સપાટી અભિન્ન કહેવાય છે:
.

વક્રીય અભિન્ન કહેવાય છે ઓસ્ટ્રોગ્રેડસ્કી-ગૌસ સૂત્ર વેક્ટર ક્ષેત્ર પ્રવાહ વચ્ચે જોડાણ સ્થાપિત કરે છે બંધ સપાટી દ્વારા

સપાટી અભિન્ન કહેવાય છે: અને ક્ષેત્ર વિચલન: - બંધ સમોચ્ચ દ્વારા બંધાયેલ સપાટી , એ .

આ સપાટીનું એકમ સામાન્ય વેક્ટર છે. સામાન્યની દિશા કોન્ટૂર ટ્રાવર્સલની દિશા સાથે સુસંગત હોવી જોઈએઉદાહરણ 2.1.

,

સપાટી અભિન્ન કહેવાય છે: સરફેસ ઇન્ટિગ્રલની ગણતરી કરો
(
- શંકુનો બાહ્ય ભાગ
), પ્લેન દ્વારા કાપવામાં આવે છે

ઉકેલ.(આકૃતિ 2.1). સપાટી
વિસ્તારમાં વિશિષ્ટ રીતે પ્રક્ષેપિત
વિમાન

, અને ઇન્ટિગ્રલની ગણતરી સૂત્ર (2.2) નો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે. એકમ સપાટી સામાન્ય વેક્ટર . આપણે સૂત્ર (2.3) નો ઉપયોગ કરીને શોધીએ છીએ: અહીં, સામાન્ય માટેના અભિવ્યક્તિમાં, વત્તા ચિહ્ન પસંદ કરવામાં આવે છે, કારણ કે કોણ ધરી વચ્ચે અને સામાન્ય - મૂર્ખ અને તેથી નકારાત્મક હોવું જોઈએ. તે ધ્યાનમાં લેતા , સપાટી પર

નળાકાર કોઓર્ડિનેટ્સ
એક વર્તુળ છે
અમે મેળવીએ છીએ
,
:

. તેથી, છેલ્લા અભિન્નમાં આપણે ધ્રુવીય કોઓર્ડિનેટ્સ તરફ જઈએ છીએ, જ્યારેઉદાહરણ 2.2.
.

ઉકેલ.વેક્ટર ક્ષેત્રનું વિચલન અને કર્લ શોધો

ફોર્મ્યુલા (2.4) નો ઉપયોગ કરીને આપણે મેળવીએ છીએ

આપેલ વેક્ટર ક્ષેત્રનું રોટર સૂત્ર (2.5) નો ઉપયોગ કરીને જોવા મળે છે.ઉદાહરણ 2.3.
પ્લેનના ભાગ દ્વારા :
, પ્રથમ ઓક્ટન્ટમાં સ્થિત છે (સામાન્ય ધરી સાથે તીવ્ર કોણ બનાવે છે
).

	ઉકેલ.સૂત્રના આધારે (2.6) . ચાલો પ્લેનના ભાગનું નિરૂપણ કરીએ : , પ્રથમ ઓક્ટન્ટમાં સ્થિત છે. સેગમેન્ટ્સમાં આ પ્લેનનું સમીકરણ ફોર્મ ધરાવે છે (ફિગ. 2.3). વિમાનના સામાન્ય વેક્ટરમાં કોઓર્ડિનેટ્સ હોય છે:
	. . , , એકમ સામાન્ય વેક્ટર , ક્યાં

સપાટી અભિન્ન કહેવાય છે:
, તેથી, - પ્લેન પ્રક્ષેપણ
ચાલુ

(ફિગ. 2.4).ઉદાહરણ 2.4. બંધ સપાટી દ્વારા વેક્ટર ક્ષેત્રના પ્રવાહની ગણતરી કરો
, પ્લેન દ્વારા રચાયેલ છે
(
અને શંકુનો ભાગ

ઉકેલ.) (ફિગ. 2.2).

.

ચાલો ઓસ્ટ્રોગ્રેડસ્કી-ગૌસ ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરીએ (2.8) ચાલો વેક્ટર ક્ષેત્રનું વિચલન શોધીએ

સપાટી અભિન્ન કહેવાય છે:
સૂત્ર અનુસાર (2.4):
(શંકુનું પ્રમાણ છે જેના પર એકીકરણ હાથ ધરવામાં આવે છે. ચાલો શંકુના જથ્થાની ગણતરી કરવા માટે જાણીતા સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ - શંકુના પાયાની ત્રિજ્યા,
- તેની ઊંચાઈ). અમારા કિસ્સામાં અમે મેળવીએ છીએ

.

. આખરે આપણને મળે છેઉદાહરણ 2.5.
વેક્ટર ક્ષેત્રના પરિભ્રમણની ગણતરી કરો સમોચ્ચ સાથે
અને
(
, સપાટીઓના આંતરછેદ દ્વારા રચાય છે

ઉકેલ.). સ્ટોક્સ ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરીને પરિણામ તપાસો.
,
આ સપાટીઓનું આંતરછેદ એક વર્તુળ છે :

(ફિગ. 2.1). ટ્રાવર્સલ દિશા સામાન્ય રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે જેથી તેના દ્વારા મર્યાદિત વિસ્તાર ડાબી બાજુએ રહે. ચાલો કોન્ટૂરના પેરામેટ્રિક સમીકરણો લખીએ

જ્યાં અને પરિમાણ થી બદલાય છે
થી

.

. ફોર્મ્યુલા (2.7) નો ઉપયોગ કરીને, (2.1) અને (2.10) ને ધ્યાનમાં રાખીને, અમે મેળવીએ છીએ ચાલો હવે સ્ટોક્સ ફોર્મ્યુલા લાગુ કરીએ (2.9). સપાટી તરીકે , સમોચ્ચ પર ખેંચાઈ
, તમે પ્લેનનો ભાગ લઈ શકો છો
. સામાન્ય દિશા આ સપાટી પર સમોચ્ચ ટ્રાવર્સલની દિશા સાથે સુસંગત છે
. આપેલ વેક્ટર ક્ષેત્રના કર્લની ગણતરી ઉદાહરણ 2.2 માં કરવામાં આવે છે:

સપાટી અભિન્ન કહેવાય છે:
. તેથી, ઇચ્છિત પરિભ્રમણ
.
- પ્રદેશનો વિસ્તાર
- વર્તુળ ત્રિજ્યા

, ક્યાં
ચાલો આપણે અવકાશમાં બે લંબચોરસ સંકલન પ્રણાલીઓ અને

(1)

, અને કાર્યોની સિસ્ટમ
અને
જે અમુક વિસ્તારોમાં પોઈન્ટ વચ્ચે એક-થી-એક પત્રવ્યવહાર સ્થાપિત કરે છે
આ સંકલન પ્રણાલીઓમાં. ચાલો ધારીએ કે સિસ્ટમ (1) ના કાર્યો ધરાવે છે

,

સતત આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ. નિર્ણાયક આ આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝનો બનેલો છે
વિધેયોની સિસ્ટમ (1) ના જેકોબીયન (અથવા જેકોબી નિર્ણાયક) કહેવાય છે. અમે તે ધારીશું
.

વી

ઉપરોક્ત ધારણાઓ હેઠળ, ટ્રિપલ ઇન્ટિગ્રલ હોલ્ડમાં ચલોને બદલવા માટે નીચેનું સામાન્ય સૂત્ર ધરાવે છે:
ડબલ ઇન્ટિગ્રલના કિસ્સામાં જેમ, સિસ્ટમની પરસ્પર વિશિષ્ટતા (1) અને સ્થિતિ

વ્યક્તિગત બિંદુઓ પર, વ્યક્તિગત રેખાઓ પર અને વ્યક્તિગત સપાટીઓ પર ઉલ્લંઘન થઈ શકે છે.
દરેક બિંદુ માટે કાર્યોની સિસ્ટમ (1)
એક બિંદુ સાથે મેળ ખાય છે
. આ ત્રણ નંબરો બિંદુના વક્રીય કોઓર્ડિનેટ્સ કહેવાય છે
, જેના માટે આ કોઓર્ડિનેટ્સમાંથી એક સતત મૂલ્ય જાળવી રાખે છે, કહેવાતા બનાવે છે. સંકલન સપાટી.

II નળાકાર કોઓર્ડિનેટમાં ટ્રિપલ ઇન્ટિગ્રલ

સિલિન્ડ્રિકલ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ (CSS) પ્લેન દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે
, જેમાં ધ્રુવીય સંકલન પ્રણાલી અને અક્ષ ઉલ્લેખિત છે
, આ પ્લેન પર લંબ છે. બિંદુના નળાકાર કોઓર્ડિનેટ્સ
, ક્યાં
- બિંદુના ધ્રુવીય કોઓર્ડિનેટ્સ - અંદાજો ટી ચશ્મા પ્લેન માટે
વળાંકના પ્રારંભિક બિંદુને અનુલક્ષે છે - આ બિંદુના પ્રક્ષેપણના કોઓર્ડિનેટ્સ છે ધરી દીઠ
અથવા
.

વિમાનમાં
અમે સામાન્ય રીતે કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ્સ દાખલ કરીએ છીએ, અક્ષ સાથે લાગુ અક્ષને દિશામાન કરીએ છીએ
CSK. હવે કાર્ટેશિયન સાથે નળાકાર કોઓર્ડિનેટ્સને જોડતા સૂત્રો મેળવવાનું મુશ્કેલ નથી:

(3)

આ સૂત્રો વિસ્તારને સમગ્ર જગ્યા સાથે મેપ કરે છે
.

વિચારણા હેઠળના કેસમાં સંકલન સપાટીઓ હશે:

1)
– ધરીની સમાંતર જનરેટિસ સાથે નળાકાર સપાટીઓ
, જેના માર્ગદર્શિકાઓ પ્લેનમાં વર્તુળો છે
, બિંદુ પર કેન્દ્રિત ;

2)

;

3)
- પ્લેનની સમાંતર પ્લેન
.

સિસ્ટમના જેકોબિયન (3):

.

CSK ના કિસ્સામાં સામાન્ય સૂત્ર આ સ્વરૂપ લે છે:

નોંધ 1 . નળાકાર કોઓર્ડિનેટ્સમાં સંક્રમણની ભલામણ કરવામાં આવે છે જ્યારે એકીકરણનો વિસ્તાર ગોળાકાર સિલિન્ડર અથવા શંકુ અથવા ક્રાંતિનો પેરાબોલોઇડ (અથવા તેના ભાગો) હોય અને આ શરીરની અક્ષ એપ્લીકેટની ધરી સાથે એકરુપ હોય.
.

નોંધ 2. નળાકાર કોઓર્ડિનેટ્સ પ્લેનમાં ધ્રુવીય કોઓર્ડિનેટ્સની જેમ જ સામાન્યીકરણ કરી શકાય છે.

ઉદાહરણ 1. ફંક્શનના ટ્રિપલ ઇન્ટિગ્રલની ગણતરી કરો

પ્રદેશ દ્વારા
, સિલિન્ડરના આંતરિક ભાગનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે
, શંકુ દ્વારા બંધાયેલ
અને પેરાબોલોઇડ
.

ઉકેલ. અમે આ વિસ્તારને §2, ઉદાહરણ 6 માં પહેલેથી જ ધ્યાનમાં લીધો છે, અને DPSC માં પ્રમાણભૂત પ્રવેશ મેળવ્યો છે. જો કે, આ પ્રદેશમાં અવિભાજ્યની ગણતરી કરવી મુશ્કેલ છે. ચાલો CSK પર જઈએ:

.

પ્રોજેક્શન
શરીર
પ્લેન માટે
- તે એક વર્તુળ છે
. તેથી, સંકલન 0 થી બદલાય છે
વળાંકના પ્રારંભિક બિંદુને અનુલક્ષે છે - 0 થી આર. મનસ્વી બિંદુ દ્વારા
ધરીની સમાંતર સીધી રેખા દોરો
. સીધી રેખા અંદર જશે
શંકુ પર, પરંતુ પેરાબોલોઇડ પર બહાર આવશે. પરંતુ શંકુ
CSC માં સમીકરણ છે
, અને પેરાબોલોઇડ
- સમીકરણ
.

તેથી અમારી પાસે છે

III ગોળાકાર કોઓર્ડિનેટમાં ટ્રિપલ ઇન્ટિગ્રલ
ગોળાકાર કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ (એસસીએસ) પ્લેન દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે
, જેમાં UCS ઉલ્લેખિત છે, અને ધરી
.

, પ્લેન પર લંબ છે બિંદુના ગોળાકાર કોઓર્ડિનેટ્સ
, ક્યાં અવકાશને સંખ્યાઓનો ટ્રિપલ કહેવામાં આવે છે
,- પ્લેન પર બિંદુના પ્રક્ષેપણનો ધ્રુવીય કોણ
- ધરી વચ્ચેનો ખૂણો
અને
.

વિમાનમાં
અને વેક્ટર
અને
ચાલો કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ અક્ષનો પરિચય કરીએ
સામાન્ય રીતે, અને એપ્લીકેટ અક્ષ અક્ષ સાથે સુસંગત છે

(4)

. કાર્ટેશિયન સાથે ગોળાકાર કોઓર્ડિનેટ્સને જોડતા સૂત્રો નીચે મુજબ છે:
.

આ સૂત્રો વિસ્તારને સમગ્ર જગ્યા સાથે મેપ કરે છે

.

જેકોબિયન ઓફ સિસ્ટમ ઓફ ફંક્શન્સ (4):

1)
- મૂળમાં કેન્દ્ર સાથે કેન્દ્રિત ગોળા;

2)
- અક્ષમાંથી પસાર થતા અડધા વિમાનો
;

3)
- કોઓર્ડિનેટ્સના મૂળમાં શિરોબિંદુ સાથે ગોળાકાર શંકુ, જેનો અક્ષ અક્ષ છે
.

ટ્રિપલ ઇન્ટિગ્રલમાં SSC માં સંક્રમણ માટે ફોર્મ્યુલા:

નોંધ 3. જ્યારે એકીકરણનું ડોમેન બોલ અથવા તેનો ભાગ હોય ત્યારે SCS માં સંક્રમણની ભલામણ કરવામાં આવે છે. આ કિસ્સામાં, ગોળાના સમીકરણ
માં જાય છે. અગાઉ ચર્ચા કરેલ CSKની જેમ, CSK અક્ષ સાથે "બંધાયેલ" છે
. જો ગોળાના કેન્દ્રને ત્રિજ્યા દ્વારા સંકલન અક્ષ સાથે સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે છે, તો જ્યારે અક્ષ સાથે વિસ્થાપિત થાય છે ત્યારે આપણે સૌથી સરળ ગોળાકાર સમીકરણ મેળવીએ છીએ.
:

નોંધ 4. SSC ને સામાન્ય બનાવવું શક્ય છે:

જેકોબિયન સાથે
. કાર્યોની આ સિસ્ટમ એલિપ્સોઇડનું ભાષાંતર કરશે

"સમાંતર" માટે

ઉદાહરણ 2. ત્રિજ્યાના બોલ પર પોઈન્ટનું સરેરાશ અંતર શોધો તેના કેન્દ્રમાંથી.

ઉકેલ. યાદ કરો કે કાર્યનું સરેરાશ મૂલ્ય
વિસ્તારમાં
પ્રદેશના જથ્થા દ્વારા વિભાજિત પ્રદેશ પર કાર્યનું ત્રિવિધ અભિન્ન અંગ છે. અમારા કિસ્સામાં

તેથી અમારી પાસે છે

ટ્રિપલ ઇન્ટિગ્રલની ગણતરી કરવાની પ્રક્રિયા ડબલ ઇન્ટિગ્રલ માટે અનુરૂપ કામગીરી જેવી જ છે. તેનું વર્ણન કરવા માટે, અમે નિયમિત ત્રિ-પરિમાણીય પ્રદેશનો ખ્યાલ રજૂ કરીએ છીએ:

વ્યાખ્યા 9.1. બંધ સપાટી S દ્વારા બંધાયેલ ત્રિ-પરિમાણીય પ્રદેશ V ને નિયમિત કહેવામાં આવે છે જો:

1. કોઈપણ સીધી રેખા ધરીની સમાંતરઓઝ અને પ્રદેશના આંતરિક બિંદુ દ્વારા દોરવામાં આવેલ S બે બિંદુઓ પર છેદે છે;
2. સમગ્ર પ્રદેશ V ને ઓક્સી પ્લેન પર નિયમિત દ્વિ-પરિમાણીય પ્રદેશ D ​​માં પ્રક્ષેપિત કરવામાં આવે છે;
3. પ્રદેશ V નો કોઈપણ ભાગ, કોઈપણ સંકલન વિમાનોની સમાંતર સમતલ દ્વારા તેમાંથી કાપી નાખવામાં આવે છે, તેમાં 1) અને 2) ગુણધર્મો છે.

ચાલો આપણે નિયમિત પ્રદેશ V ને ધ્યાનમાં લઈએ, જે નીચે અને ઉપર સપાટીઓ z=χ(x,y) અને z=ψ(x,y) દ્વારા બંધાયેલ છે અને ઓક્સી પ્લેન પર નિયમિત પ્રદેશ D ​​માં પ્રક્ષેપિત છે, જેની અંદર x એ a થી બદલાય છે. b થી, વક્ર y=φ1(x) અને y=φ2(x) (ફિગ. 1) દ્વારા મર્યાદિત. ચાલો ડોમેન V માં સતત ફંક્શન f(x, y, z) ને વ્યાખ્યાયિત કરીએ.

વ્યાખ્યા 9.2. ચાલો પ્રદેશ V પર ફંક્શન f(x, y, z) ના ટ્રિપલ ઇન્ટિગ્રલને ફોર્મની અભિવ્યક્તિ કહીએ:

ટ્રિપલ ઇન્ટિગ્રલ ડબલ ઇન્ટિગ્રલ જેવા જ ગુણધર્મો ધરાવે છે. અમે તેમને પુરાવા વિના સૂચિબદ્ધ કરીએ છીએ, કારણ કે તે ડબલ ઇન્ટિગ્રલના કિસ્સામાં સમાન રીતે સાબિત થાય છે.

ટ્રિપલ ઇન્ટિગ્રલની ગણતરી.

પ્રમેય 9.1. નિયમિત ડોમેન V પર ફંક્શન f(x,y,z)નું ટ્રિપલ ઇન્ટિગ્રલ સમાન ડોમેન પરના ટ્રિપલ ઇન્ટિગ્રલ જેટલું છે:

. (9.3)

પુરાવો.

ચાલો પ્રદેશ V ને n નિયમિત પ્રદેશોમાં સમન્વય સમતલોની સમાંતર સમતલ દ્વારા વિભાજીત કરીએ. પછી મિલકત 1 થી તે તેને અનુસરે છે

પ્રદેશ પર f(x,y,z) ફંક્શનનું ટ્રિપલ ઇન્ટિગ્રલ ક્યાં છે.

ફોર્મ્યુલા (9.2) નો ઉપયોગ કરીને, અગાઉની સમાનતાને આ રીતે ફરીથી લખી શકાય છે:

ફંક્શન f(x,y,z) ના સાતત્યની સ્થિતિ પરથી તે અનુસરે છે કે આ સમાનતાની જમણી બાજુએ અવિભાજ્ય રકમની મર્યાદા અસ્તિત્વમાં છે અને તે ત્રિવિધ પૂર્ણાંક સમાન છે. પછી, પર મર્યાદા પસાર કરીને, અમે મેળવીએ છીએ:

Q.E.D.

ટિપ્પણી.

ડબલ ઇન્ટિગ્રલના કેસની જેમ, તે સાબિત કરી શકાય છે કે એકીકરણનો ક્રમ બદલવાથી ટ્રિપલ ઇન્ટિગ્રલનું મૂલ્ય બદલાતું નથી.

ઉદાહરણ. ચાલો ઇન્ટિગ્રલની ગણતરી કરીએ જ્યાં V - ત્રિકોણાકાર પિરામિડબિંદુઓ (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0) અને (0, 0, 1) પર શિરોબિંદુઓ સાથે. ઓક્સી પ્લેન પર તેનું પ્રક્ષેપણ શિરોબિંદુઓ (0, 0), (1, 0) અને (0, 1) સાથેનો ત્રિકોણ છે. આ પ્રદેશ નીચેથી પ્લેન z = 0 દ્વારા અને ઉપરથી પ્લેન x + y + z = 1 દ્વારા મર્યાદિત છે. ચાલો ત્રણ ગણા અભિન્ન તરફ આગળ વધીએ:

સંકલન ચલ પર નિર્ભર ન હોય તેવા પરિબળોને અનુરૂપ અવિભાજ્યની નિશાનીમાંથી બહાર લઈ શકાય છે:

ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશમાં વક્ર સંકલન પ્રણાલીઓ.

1. નળાકાર સંકલન સિસ્ટમ.

બિંદુ P(ρ,φ,z) ના નળાકાર કોઓર્ડિનેટ્સ એ ઓક્સી પ્લેન પર આ બિંદુના પ્રક્ષેપણના ધ્રુવીય કોઓર્ડિનેટ્સ ρ, φ અને આ બિંદુ z (ફિગ. 2) ને લાગુ પડે છે.

નળાકારથી કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ્સમાં સંક્રમણ માટેના સૂત્રો નીચે પ્રમાણે સ્પષ્ટ કરી શકાય છે:

x = ρ cosφ, y = ρ sinφ, z = z. (9.4)

1. ગોળાકાર સંકલન સિસ્ટમ.

ગોળાકાર કોઓર્ડિનેટ્સમાં, અવકાશમાં બિંદુની સ્થિતિ રેખીય સંકલન ρ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે - બિંદુથી મૂળ સુધીનું અંતર કાર્ટેશિયન સિસ્ટમકોઓર્ડિનેટ્સ (અથવા ગોળાકાર પ્રણાલીનો ધ્રુવ), φ એ હકારાત્મક અર્ધ-અક્ષ Ox અને Oxy સમતલ પર બિંદુના પ્રક્ષેપણ વચ્ચેનો ધ્રુવીય કોણ છે, અને θ એ Oz અક્ષના હકારાત્મક અર્ધ-અક્ષ વચ્ચેનો ખૂણો છે અને સેગમેન્ટ OP (ફિગ. 3). તે જ સમયે

ચાલો ગોળાકારથી કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ્સમાં સંક્રમણ માટેના સૂત્રો સેટ કરીએ:

x = ρ sinθ cosφ, y = ρ sinθ sinφ, z = ρ cosθ. (9.5)

જેકોબિયન અને તેનો ભૌમિતિક અર્થ.

માં ચલોને બદલવાના સામાન્ય કેસને ધ્યાનમાં લો ડબલ અભિન્ન. ઓક્સી સમતલમાં એક પ્રદેશ D ​​આપવામાં આવે છે, જે L રેખા L દ્વારા બંધાયેલ છે. ચાલો ધારીએ કે x અને y એ નવા ચલ u અને vના એકલ-મૂલ્યવાળા અને સતત વિભેદક કાર્યો છે:

x = φ(u, v), y = ψ(u, v). (9.6)

ચાલો વિચાર કરીએ લંબચોરસ સિસ્ટમ Ouv કોઓર્ડિનેટ કરે છે, બિંદુ P΄(u, v) જેમાંથી D પ્રદેશમાંથી P(x, y) બિંદુને અનુલક્ષે છે. આવા તમામ બિંદુઓ Ouv સમતલમાં D΄ રેખા L΄ દ્વારા બંધાયેલ છે. આપણે કહી શકીએ કે સૂત્રો (9.6) D અને D΄ પ્રદેશોના બિંદુઓ વચ્ચે એક-થી-એક પત્રવ્યવહાર સ્થાપિત કરે છે. આ કિસ્સામાં, રેખાઓ u = const અને

v = Ouv પ્લેનમાં const ઓક્સી પ્લેનમાં કેટલીક રેખાઓને અનુરૂપ હશે.

ચાલો Ouv સમતલમાં એક લંબચોરસ વિસ્તાર ΔS΄ ધ્યાનમાં લઈએ, જે સીધી રેખાઓ u = const, u+Δu = const, v = const અને v+Δv = const દ્વારા બંધાયેલ છે. તે ઓક્સી પ્લેન (ફિગ. 4) માં વક્ર વિસ્તાર ΔS ને અનુરૂપ હશે. વિચારણા હેઠળના વિસ્તારોના વિસ્તારો પણ ΔS΄ અને ΔS દ્વારા સૂચવવામાં આવશે. આ કિસ્સામાં, ΔS΄ = Δu Δv. ચાલો વિસ્તાર ΔS શોધીએ. ચાલો આ વક્રીય ચતુષ્કોણ P1, P2, P3, P4 ના શિરોબિંદુઓ સૂચવીએ, જ્યાં

P1(x1, y1), x1 = φ(u, v), y1 = ψ(u, v);

P2(x2, y2), x2 = φ(u+Δu, v), y2 = ψ(u+Δu, v);

P3(x3, y3), x3 = φ(u+Δu, v+Δv), y3 = ψ(u+Δu, v+Δv);

P4(x4, y4), x4 = φ(u, v+Δv), y4 = ψ(u, v+Δv).

ચાલો નાના ઇન્ક્રીમેન્ટ Δu અને Δv ને અનુરૂપ તફાવતો સાથે બદલીએ. પછી

આ કિસ્સામાં, ચતુષ્કોણ P1 P2 P3 P4 એ સમાંતરગ્રામ ગણી શકાય અને વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિમાંથી સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને તેનો વિસ્તાર નક્કી કરી શકાય છે:

(9.7)

વ્યાખ્યા 9.3. નિર્ણાયકને φ(x, y) અને ψ(x, y) કાર્યોના કાર્યાત્મક નિર્ણાયક અથવા જેકોબિયન કહેવામાં આવે છે.

સમાનતા (9.7) માં મર્યાદા સુધી પસાર થતાં, અમે જેકોબિયનનો ભૌમિતિક અર્થ મેળવીએ છીએ:

એટલે કે, જેકોબિયનનું મોડ્યુલ એ અનંત વિસ્તારો ΔS અને ΔS΄ ના વિસ્તારોના ગુણોત્તરની મર્યાદા છે.

ટિપ્પણી. એવી જ રીતે, આપણે જેકોબિયનની વિભાવના અને n-પરિમાણીય જગ્યા માટે તેનો ભૌમિતિક અર્થ વ્યાખ્યાયિત કરી શકીએ છીએ: જો x1 = φ1(u1, u2,…,un), x2 = φ2(u1, u2,…,un) ,…, xn = φ(u1 , u2,…, un), પછી

(9.8)

આ કિસ્સામાં, જેકોબિયનનું મોડ્યુલ x1, x2,..., xn અને u1, u2,..., un ના નાના વિસ્તારોના "વોલ્યુમ્સ" ના ગુણોત્તરની મર્યાદા આપે છે.

બહુવિધ પૂર્ણાંકોમાં ચલોનો ફેરફાર.

ચાલો ડબલ ઇન્ટિગ્રલના ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને ચલોના પરિવર્તનના સામાન્ય કેસનો અભ્યાસ કરીએ.

ડોમેન ડી આપવામાં આવે સતત કાર્ય z = f(x,y), જેનું દરેક મૂલ્ય D΄ ડોમેનમાં ફંક્શન z = F(u, v) ના સમાન મૂલ્યને અનુરૂપ છે, જ્યાં

F(u, v) = f(φ(u, v), ψ(u, v)). (9.9)

અવિભાજ્ય રકમનો વિચાર કરો

જ્યાં જમણી બાજુનો અભિન્ન સરવાળો ડોમેન D΄ પર લેવામાં આવે છે. ની મર્યાદામાં પસાર થતાં, અમે ડબલ ઇન્ટિગ્રલમાં કોઓર્ડિનેટ્સનું પરિવર્તન કરવા માટેનું સૂત્ર મેળવીએ છીએ.

ટ્રિપલ ઇન્ટિગ્રલ્સ. શરીરના જથ્થાની ગણતરી.
નળાકાર કોઓર્ડિનેટ્સમાં ટ્રિપલ ઇન્ટિગ્રલ

ત્રણ દિવસ સુધી મૃત વ્યક્તિ પાયથાગોરસના ટ્રાઉઝરમાં સજ્જ ડીનની ઓફિસમાં સૂતો રહ્યો.
ફિચટેનહોલ્ટ્ઝના હાથમાં તેણે એક વોલ્યુમ રાખ્યો હતો જે તેને આ દુનિયામાંથી લાવ્યો હતો,
પગ સાથે ટ્રિપલ ઇન્ટિગ્રલ બાંધવામાં આવ્યું હતું, અને શબને મેટ્રિક્સમાં લપેટવામાં આવ્યું હતું,
અને પ્રાર્થના કરવાને બદલે, કેટલાક અવિવેકી વ્યક્તિએ બર્નૌલીનું પ્રમેય વાંચ્યું.

ટ્રિપલ ઇન્ટિગ્રલ્સ એવી વસ્તુ છે જેનાથી તમારે ડરવાની જરૂર નથી =) કારણ કે જો તમે આ ટેક્સ્ટ વાંચી રહ્યાં છો, તો સંભવતઃ, તમને તેની સારી સમજ છે "સામાન્ય" ઇન્ટિગ્રલ્સનો સિદ્ધાંત અને પ્રેક્ટિસ, અને એ પણ ડબલ ઇન્ટિગ્રલ. અને જ્યાં ડબલ છે, ત્યાં નજીકમાં ટ્રિપલ છે:

અને ખરેખર, ડરવાનું શું છે? અવિભાજ્ય ઓછું છે, અવિભાજ્ય વધુ છે....

ચાલો રેકોર્ડિંગ પર એક નજર કરીએ:

- ટ્રિપલ અભિન્ન ચિહ્ન;
- એકીકરણ ત્રણ ચલોનું કાર્ય;
- ભિન્નતાનું ઉત્પાદન.
- એકીકરણનો વિસ્તાર.

ચાલો આપણે ખાસ કરીને ધ્યાન કેન્દ્રિત કરીએ એકીકરણના ક્ષેત્રો. જો માં ડબલ અભિન્નતે રજૂ કરે છે સપાટ આકૃતિ, પછી અહીં - અવકાશી શરીર, જે જાણીતું છે, તે સમૂહ દ્વારા મર્યાદિત છે સપાટીઓ. આમ, ઉપરોક્ત ઉપરાંત, તમારે નેવિગેટ કરવું આવશ્યક છે અવકાશની મૂળભૂત સપાટીઓઅને સરળ ત્રિ-પરિમાણીય રેખાંકનો બનાવવા માટે સક્ષમ બનો.

કેટલાક હતાશ છે, હું સમજું છું ... અરે, લેખનું શીર્ષક "ડમીઝ માટે ટ્રિપલ ઇન્ટિગ્રલ્સ" હોઈ શકતું નથી અને એવી કેટલીક બાબતો છે જે તમારે જાણવાની જરૂર છે/કરવામાં સમર્થ હોવા જોઈએ. પરંતુ તે ઠીક છે - બધી સામગ્રી અત્યંત સુલભ સ્વરૂપમાં રજૂ કરવામાં આવી છે અને શક્ય તેટલા ઓછા સમયમાં નિપુણતા મેળવી શકાય છે!

ટ્રિપલ ઇન્ટિગ્રલની ગણતરી કરવાનો અર્થ શું છે અને તે સમ શું છે?

ટ્રિપલ ઇન્ટિગ્રલ અર્થની ગણતરી કરવા માટે NUMBER શોધો:

સરળ કિસ્સામાં, જ્યારે ટ્રિપલ ઇન્ટિગ્રલ સંખ્યાત્મક રીતે શરીરના જથ્થાની બરાબર છે. અને ખરેખર, અનુસાર એકીકરણનો સામાન્ય અર્થ, ઉત્પાદન સમાન છે અનંતશરીરની પ્રાથમિક "ઈંટ" નું પ્રમાણ. અને ત્રિવિધ અભિન્ન માત્ર છે એક કરે છે આ બધા અનંત કણોવિસ્તાર પર, શરીરના જથ્થાના અભિન્ન (કુલ) મૂલ્યમાં પરિણમે છે: .

વધુમાં, ટ્રિપલ ઇન્ટિગ્રલ મહત્વપૂર્ણ છે ભૌતિક કાર્યક્રમો. પરંતુ આ વિશે પછીથી વધુ - પાઠના 2 જી ભાગમાં, સમર્પિત મનસ્વી ટ્રિપલ ઇન્ટિગ્રલ્સની ગણતરીઓ, જેના માટે સામાન્ય કિસ્સામાં કાર્ય સ્થિર કરતાં અલગ છે અને પ્રદેશમાં સતત છે. આ લેખમાં આપણે વોલ્યુમ શોધવાની સમસ્યાને વિગતવાર ધ્યાનમાં લઈશું, જે મારા મતે વ્યક્તિલક્ષી મૂલ્યાંકન 6-7 વખત વધુ વખત થાય છે.

ટ્રિપલ ઇન્ટિગ્રલ કેવી રીતે હલ કરવું?

જવાબ તાર્કિક રીતે પાછલા ફકરામાંથી અનુસરે છે. નક્કી કરવાની જરૂર છે બોડી ટ્રાવર્સલ ઓર્ડરઅને પર જાઓ પુનરાવર્તિત અભિન્ન. પછી ત્રણ સિંગલ ઇન્ટિગ્રલ્સ સાથે ક્રમિક રીતે વ્યવહાર કરો.

જેમ તમે જોઈ શકો છો, આખું રસોડું ખૂબ, ખૂબ યાદ અપાવે છે ડબલ ઇન્ટિગ્રલ, એ તફાવત સાથે કે હવે આપણે એક વધારાનું પરિમાણ ઉમેર્યું છે (આશરે કહીએ તો, ઊંચાઈ). અને, સંભવતઃ, તમારામાંથી ઘણાએ પહેલેથી જ અનુમાન લગાવ્યું છે કે ટ્રિપલ ઇન્ટિગ્રલ કેવી રીતે હલ થાય છે.

ચાલો બાકી રહેલી શંકાઓને દૂર કરીએ:

ઉદાહરણ 1

કૃપા કરીને કાગળ પરની કૉલમમાં લખો:

અને નીચેના પ્રશ્નોના જવાબ આપો. શું તમે જાણો છો કે કઈ સપાટીઓ આ સમીકરણોને વ્યાખ્યાયિત કરે છે? શું તમે આ સમીકરણોનો અનૌપચારિક અર્થ સમજો છો? શું તમે કલ્પના કરી શકો છો કે આ સપાટીઓ અવકાશમાં કેવી રીતે સ્થિત છે?

જો તમે સામાન્ય જવાબ "હા કરતાં ના" તરફ વલણ ધરાવતા હો, તો પછી પાઠ દ્વારા કામ કરવાનું ભૂલશો નહીં, નહીં તો તમે આગળ વધશો નહીં!

ઉકેલ: અમે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.

શોધવા માટે ક્રમમાં બોડી ટ્રાવર્સલ ઓર્ડરઅને પર જાઓ પુનરાવર્તિત અભિન્નઆ કેવા પ્રકારનું શરીર છે તે સમજવા માટે તમારે જરૂર છે (બધું બુદ્ધિશાળી સરળ છે). અને ઘણા કિસ્સાઓમાં, રેખાંકનો આવી સમજણમાં મોટા પ્રમાણમાં ફાળો આપે છે.

સ્થિતિ દ્વારા, શરીર અનેક સપાટીઓ દ્વારા મર્યાદિત છે. મકાન ક્યાંથી શરૂ કરવું? હું નીચેની પ્રક્રિયા સૂચવે છે:

પ્રથમ ચાલો નિરૂપણ કરીએ સમાંતર ઓર્થોગોનલકોઓર્ડિનેટ પ્લેન પર શરીરનું પ્રક્ષેપણ. પ્રથમ વખત મેં કહ્યું કે આ પ્રક્ષેપણ શું કહેવાય છે, lol =)

કારણ કે પ્રક્ષેપણ ધરી સાથે હાથ ધરવામાં આવે છે, પછી સૌ પ્રથમ તેની સાથે વ્યવહાર કરવાની સલાહ આપવામાં આવે છે સપાટીઓ, જે આ ધરીની સમાંતર છે. ચાલો હું તમને યાદ કરાવું કે આવી સપાટીઓના સમીકરણો અક્ષર "z" ધરાવતો નથી. વિચારણા હેઠળની સમસ્યામાં તેમાંથી ત્રણ છે:

- સમીકરણ એક સંકલન પ્લેનનો ઉલ્લેખ કરે છે જે અક્ષમાંથી પસાર થાય છે;
- સમીકરણ એક સંકલન પ્લેનનો ઉલ્લેખ કરે છે જે અક્ષમાંથી પસાર થાય છે;
- સમીકરણ સુયોજિત કરે છે વિમાન "સપાટ" સીધી રેખાધરીની સમાંતર.

મોટે ભાગે, ઇચ્છિત પ્રક્ષેપણ નીચેનો ત્રિકોણ છે:

કદાચ આપણે જે વાત કરી રહ્યા છીએ તે દરેક જણ સંપૂર્ણપણે સમજી શક્યા નથી. કલ્પના કરો કે એક ધરી મોનિટર સ્ક્રીનમાંથી બહાર આવે છે અને સીધા તમારા નાકના પુલ પર ચોંટી જાય છે ( તે તે તારણ આપે છે કે તમે ઉપરથી 3-પરિમાણીય ચિત્ર જોઈ રહ્યા છો). અભ્યાસ હેઠળનું અવકાશી શરીર એક અનંત ત્રિકોણાકાર "કોરિડોર" માં સ્થિત છે અને પ્લેન પર તેનું પ્રક્ષેપણ મોટે ભાગે છાંયેલા ત્રિકોણનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે.

હું એ હકીકત પર વિશેષ ધ્યાન દોરવા માંગુ છું કે જ્યારે અમે વ્યક્ત કર્યું છે માત્ર પ્રક્ષેપણની ધારણાઅને કલમો "મોટા ભાગે" અને "મોટા ભાગે" આકસ્મિક ન હતા. હકીકત એ છે કે બધી સપાટીઓનું હજી સુધી વિશ્લેષણ કરવામાં આવ્યું નથી અને એવું બની શકે છે કે તેમાંથી એક ત્રિકોણના ભાગને "કાપી નાખે" છે. સ્પષ્ટ ઉદાહરણ તરીકે, આ સૂચવે છે ગોળાએક કરતાં ઓછી ત્રિજ્યાના મૂળમાં કેન્દ્ર સાથે, ઉદાહરણ તરીકે, એક ગોળા - તેનું પ્લેન પર પ્રક્ષેપણ (વર્તુળ ) છાંયેલા વિસ્તારને સંપૂર્ણપણે "કવર" કરશે નહીં, અને શરીરનું અંતિમ પ્રક્ષેપણ બિલકુલ ત્રિકોણ નહીં હોય. (વર્તુળ તેના તીક્ષ્ણ ખૂણાઓને "કાપી નાખશે").

બીજા તબક્કે, આપણે શોધીએ છીએ કે શરીર ઉપરથી અને નીચેથી કેવી રીતે મર્યાદિત છે અને અવકાશી રેખાંકન હાથ ધરે છે. ચાલો સમસ્યા નિવેદન પર પાછા જઈએ અને જોઈએ કે કઈ સપાટીઓ રહે છે. સમીકરણ પોતે કોઓર્ડિનેટ પ્લેનનો ઉલ્લેખ કરે છે, અને સમીકરણ - પેરાબોલિક સિલિન્ડર, સ્થિત થયેલ છે ઉપરપ્લેન અને અક્ષમાંથી પસાર થવું. આમ, શરીરનું પ્રક્ષેપણ ખરેખર એક ત્રિકોણ છે.

માર્ગ દ્વારા, મને તે અહીં મળ્યું નિરર્થકતાશરતો - પ્લેનનું સમીકરણ શામેલ કરવું જરૂરી ન હતું, કારણ કે સપાટી, એબ્સીસા અક્ષને સ્પર્શતા, શરીરને પહેલેથી જ બંધ કરે છે. એ નોંધવું રસપ્રદ છે કે આ કિસ્સામાં આપણે તરત જ પ્રક્ષેપણ દોરવામાં સમર્થ નહીં હોઈએ - સમીકરણનું વિશ્લેષણ કર્યા પછી જ ત્રિકોણ "ડ્રો" કરશે.

ચાલો પેરાબોલિક સિલિન્ડરના ટુકડાને કાળજીપૂર્વક ચિત્રિત કરીએ:

સાથે રેખાંકનો પૂર્ણ કર્યા પછી શરીરની આસપાસ ચાલવાનો ક્રમકોઈ સમસ્યા નથી!

પ્રથમ, અમે પ્રક્ષેપણના ટ્રાવર્સલનો ક્રમ નક્કી કરીએ છીએ (તે જ સમયે, દ્વિ-પરિમાણીય ચિત્રનો ઉપયોગ કરીને નેવિગેટ કરવું વધુ અનુકૂળ છે).થઈ ગયું બરાબર એ જ, જેમ કે માં ડબલ ઇન્ટિગ્રલ! લેસર પોઇન્ટર વિશે વિચારો અને સપાટ વિસ્તારને સ્કેન કરો. ચાલો "પરંપરાગત" 1લી બાયપાસ પદ્ધતિ પસંદ કરીએ:

આગળ, અમે એક જાદુઈ ફાનસ પસંદ કરીએ છીએ, ત્રિ-પરિમાણીય ચિત્રને જોઈએ છીએ અને કડક રીતે નીચેથી ઉપર સુધીઅમે દર્દીને પ્રકાશિત કરીએ છીએ. કિરણો વિમાન દ્વારા શરીરમાં પ્રવેશ કરે છે અને સપાટી દ્વારા બહાર નીકળી જાય છે. આમ, શરીરને પસાર કરવાનો ક્રમ છે:

ચાલો પુનરાવર્તિત પૂર્ણાંકો પર આગળ વધીએ:

1) તમારે "ઝેટા" અભિન્ન સાથે શરૂ કરવું જોઈએ. અમે ઉપયોગ કરીએ છીએ ન્યુટન-લીબનીઝ સૂત્ર:

ચાલો પરિણામને "ગેમ" અભિન્નમાં બદલીએ:

શું થયું? અનિવાર્યપણે, સોલ્યુશનને ડબલ ઇન્ટિગ્રલ અને ચોક્કસપણે સૂત્રમાં ઘટાડવામાં આવ્યું હતું નળાકાર બીમનું પ્રમાણ! નીચે આપેલ શું પરિચિત છે:

2)

3 જી અભિન્ન ઉકેલ માટે તર્કસંગત તકનીક પર ધ્યાન આપો.

જવાબ આપો:

ગણતરીઓ હંમેશા "એક લીટી" માં લખી શકાય છે:


પરંતુ આ પદ્ધતિથી સાવચેત રહો - ઝડપમાં વધારો ગુણવત્તાના નુકસાનથી ભરપૂર છે, અને ઉદાહરણ જેટલું જટિલ છે, ભૂલ કરવાની તક વધારે છે.

ચાલો એક મહત્વપૂર્ણ પ્રશ્નનો જવાબ આપીએ:

જો કાર્યની શરતોને તેમના અમલીકરણની જરૂર ન હોય તો શું ડ્રોઇંગ બનાવવી જરૂરી છે?

તમે ચાર રીતે જઈ શકો છો:

1) પ્રક્ષેપણ અને શરીર પોતે દોરો. આ સૌથી ફાયદાકારક વિકલ્પ છે - જો તમારી પાસે બે યોગ્ય રેખાંકનો પૂર્ણ કરવાની તક હોય, તો આળસુ ન બનો, બંને રેખાંકનો કરો. હું તેને પ્રથમ ભલામણ કરું છું.

2) ફક્ત શરીર દોરો. જ્યારે શરીરમાં સરળ અને સ્પષ્ટ પ્રક્ષેપણ હોય ત્યારે યોગ્ય. તેથી, ઉદાહરણ તરીકે, ડિસએસેમ્બલ ઉદાહરણમાં, ત્રિ-પરિમાણીય ચિત્ર પૂરતું હશે. જો કે, ત્યાં એક બાદબાકી પણ છે - 3D ચિત્રમાંથી પ્રોજેક્શનને પાર કરવાનો ક્રમ નક્કી કરવો અસુવિધાજનક છે, અને હું આ પદ્ધતિની ભલામણ ફક્ત સારા સ્તરની તાલીમ ધરાવતા લોકોને જ કરીશ.

3) માત્ર પ્રક્ષેપણ દોરો. આ પણ ખરાબ નથી, પરંતુ પછી વધારાની લેખિત ટિપ્પણીઓ જરૂરી છે, જે વિવિધ બાજુઓથી વિસ્તારને મર્યાદિત કરે છે. કમનસીબે, ત્રીજા વિકલ્પને ઘણીવાર ફરજ પાડવામાં આવે છે - જ્યારે શરીર ખૂબ મોટું હોય અથવા તેનું બાંધકામ અન્ય મુશ્કેલીઓથી ભરપૂર હોય. અને અમે આવા ઉદાહરણો પણ ધ્યાનમાં લઈશું.

4) બિલકુલ રેખાંકનો વિના કરો. આ કિસ્સામાં, તમારે શરીરની માનસિક રીતે કલ્પના કરવાની અને તેના આકાર/સ્થાન પર લેખિતમાં ટિપ્પણી કરવાની જરૂર છે. ખૂબ જ સરળ સંસ્થાઓ અથવા કાર્યો માટે યોગ્ય જ્યાં બંને ડ્રોઇંગ કરવાનું મુશ્કેલ છે. પરંતુ ઓછામાં ઓછું યોજનાકીય ચિત્ર બનાવવાનું હજી વધુ સારું છે, કારણ કે "નગ્ન" સોલ્યુશનને નકારી શકાય છે.

નીચેનું શરીર સ્વતંત્ર કાર્ય માટે છે:

ઉદાહરણ 2

ટ્રિપલ ઇન્ટિગ્રલનો ઉપયોગ કરીને, સપાટીઓ દ્વારા બંધાયેલા શરીરના વોલ્યુમની ગણતરી કરો

IN આ કિસ્સામાંએકીકરણનું ક્ષેત્ર મુખ્યત્વે અસમાનતાઓ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, અને આ વધુ સારું છે - ઘણી બધી અસમાનતાઓ કોઓર્ડિનેટ પ્લેન્સ અને અસમાનતા સહિત 1 લી ઓક્ટન્ટને વ્યાખ્યાયિત કરે છે - અડધી જગ્યા, મૂળ ધરાવે છે (ચેક)+ પ્લેન પોતે. "વર્ટિકલ" પ્લેન પેરાબોલાની સાથે પેરાબોલોઇડને કાપી નાખે છે, અને આ વિભાગને ડ્રોઇંગમાં બાંધવાની સલાહ આપવામાં આવે છે. આ કરવા માટે, તમારે વધારાના સંદર્ભ બિંદુ શોધવાની જરૂર છે, સૌથી સહેલો રસ્તો એ પેરાબોલાના શિરોબિંદુ છે. (અમે મૂલ્યોને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ અને અનુરૂપ "ઝેટ" ની ગણતરી કરો).

ચાલો ગરમ કરવાનું ચાલુ રાખીએ:

ઉદાહરણ 3

ટ્રિપલ ઇન્ટિગ્રલનો ઉપયોગ કરીને, સૂચવેલ સપાટીઓ દ્વારા બંધાયેલા શરીરના વોલ્યુમની ગણતરી કરો. ડ્રોઇંગ ચલાવો.

ઉકેલ: "એકિક્યુટ અ ડ્રોઇંગ" શબ્દ આપણને થોડી સ્વતંત્રતા આપે છે, પરંતુ મોટે ભાગે અવકાશી ડ્રોઇંગનો અમલ સૂચવે છે. જો કે, પ્રક્ષેપણ ક્યાં તો નુકસાન પહોંચાડશે નહીં, ખાસ કરીને કારણ કે તે અહીં સૌથી સરળ નથી.

અમે અગાઉ સાબિત કરેલી યુક્તિઓને વળગી રહીએ છીએ - પહેલા અમે તેની સાથે વ્યવહાર કરીશું સપાટીઓ, જે એપ્લીકેટ અક્ષની સમાંતર હોય છે. આવી સપાટીઓના સમીકરણોમાં સ્પષ્ટપણે ચલ “z” હોતું નથી:

- સમીકરણ ધરીમાંથી પસાર થતા સંકલન વિમાનને સ્પષ્ટ કરે છે ( જે પ્લેન પર "એપનામી" સમીકરણ દ્વારા નક્કી થાય છે);
- સમીકરણ સુયોજિત કરે છે વિમાન, "નામનાત્મક" માંથી પસાર થવું "સપાટ" સીધી રેખાધરીની સમાંતર.

ઇચ્છિત શરીર નીચે અને પ્લેન દ્વારા મર્યાદિત છે પેરાબોલિક સિલિન્ડરઉપર:

ચાલો શરીરના ટ્રાવર્સલનો ક્રમ બનાવીએ, જ્યારે "X" અને "Y" એકીકરણની મર્યાદાઓ, હું તમને યાદ કરાવું છું, દ્વિ-પરિમાણીય ચિત્રનો ઉપયોગ કરીને શોધવાનું વધુ અનુકૂળ છે:

આમ:

1)

જ્યારે “y” પર એકીકૃત કરવામાં આવે છે, ત્યારે “x” ને સ્થિર ગણવામાં આવે છે, તેથી અવિભાજ્ય ચિન્હમાંથી સ્થિરાંકને તરત જ બહાર લેવાની સલાહ આપવામાં આવે છે.

3)

જવાબ આપો:

હા, હું લગભગ ભૂલી ગયો છું, મોટા ભાગના કિસ્સાઓમાં ત્રિ-પરિમાણીય ડ્રોઇંગ સાથે મેળવેલા પરિણામને તપાસવા માટે તે બહુ ઉપયોગી નથી (અને હાનિકારક પણ) છે, કારણ કે ઉચ્ચ સંભાવના સાથે વોલ્યુમ ભ્રમણા, જેના વિશે મેં વર્ગમાં વાત કરી હતી પરિભ્રમણના શરીરનું વોલ્યુમ. તેથી, ધ્યાનમાં લેવામાં આવેલી સમસ્યાના મુખ્ય ભાગનું મૂલ્યાંકન કરતા, મને વ્યક્તિગત રૂપે એવું લાગતું હતું કે તેમાં 4 "ક્યુબ્સ" કરતાં વધુ છે.

નીચેના ઉદાહરણ માટે છે સ્વતંત્ર નિર્ણય:

ઉદાહરણ 4

ટ્રિપલ ઇન્ટિગ્રલનો ઉપયોગ કરીને, સૂચવેલ સપાટીઓ દ્વારા બંધાયેલા શરીરના વોલ્યુમની ગણતરી કરો. આ શરીરના રેખાંકનો અને તેના પ્રક્ષેપણને પ્લેન પર બનાવો.

પાઠના અંતે કાર્યનું અંદાજિત ઉદાહરણ.

જ્યારે ત્રિ-પરિમાણીય ડ્રોઇંગનું અમલીકરણ મુશ્કેલ હોય ત્યારે તે અસામાન્ય નથી:

ઉદાહરણ 5

ટ્રિપલ ઇન્ટિગ્રલનો ઉપયોગ કરીને, તેની બાઉન્ડિંગ સપાટીઓ દ્વારા આપવામાં આવેલ બોડીનું વોલ્યુમ શોધો

ઉકેલ: અહીં પ્રક્ષેપણ જટિલ નથી, પરંતુ તમારે તેને પસાર કરવાના ક્રમ વિશે વિચારવાની જરૂર છે. જો તમે 1લી પદ્ધતિ પસંદ કરો છો, તો આકૃતિને 2 ભાગોમાં વિભાજિત કરવી પડશે, જે રકમની ગણતરી માટે ગંભીરતાથી ધમકી આપે છે. બેટ્રિપલ ઇન્ટિગ્રલ. આ સંદર્ભે, 2 જી પાથ વધુ આશાસ્પદ લાગે છે. ચાલો ચિત્રમાં આ શરીરના પ્રક્ષેપણને વ્યક્ત અને નિરૂપણ કરીએ:

હું કેટલાક ચિત્રોની ગુણવત્તા માટે માફી માંગુ છું, મેં તેમને મારી પોતાની હસ્તપ્રતોમાંથી સીધા જ કાપી નાખ્યા છે.

અમે આકૃતિને પાર કરવાનો વધુ ફાયદાકારક ક્રમ પસંદ કરીએ છીએ:

હવે તે શરીર પર છે. નીચેથી તે પ્લેન દ્વારા મર્યાદિત છે, ઉપરથી - પ્લેન દ્વારા જે ઓર્ડિનેટ અક્ષમાંથી પસાર થાય છે. અને બધું સારું રહેશે, પરંતુ છેલ્લું વિમાન ખૂબ ઊભું છે અને વિસ્તાર બાંધવો એટલો સરળ નથી. અહીં પસંદગી અનિવાર્ય છે: કાં તો ઘરેણાં નાના પાયે કામ કરે છે (કારણ કે શરીર એકદમ પાતળું છે), અથવા લગભગ 20 સેન્ટિમીટર ઊંચુ ચિત્ર (અને પછી પણ, જો તે બંધબેસે છે).

પરંતુ સમસ્યા હલ કરવાની ત્રીજી, મૂળ રશિયન પદ્ધતિ છે - સ્કોર =) અને ત્રિ-પરિમાણીય ચિત્રને બદલે, મૌખિક વર્ણન સાથે કરો: “આ શરીર સિલિન્ડરો દ્વારા મર્યાદિત છે અને બાજુથી પ્લેન, નીચેથી પ્લેન અને ઉપરથી પ્લેન.”

એકીકરણની "ઊભી" મર્યાદા દેખીતી રીતે છે:

ચાલો શરીરના વોલ્યુમની ગણતરી કરીએ, ભૂલશો નહીં કે અમે પ્રક્ષેપણને ઓછી સામાન્ય રીતે બાયપાસ કર્યું છે:

1)

જવાબ આપો:

જેમ તમે નોંધ્યું છે તેમ, સમસ્યાઓમાં સૂચિત સંસ્થાઓ કે જે સો રૂપિયા કરતાં વધુ ખર્ચાળ નથી તે ઘણીવાર નીચે પ્લેન દ્વારા મર્યાદિત હોય છે. પરંતુ આ કોઈ નિયમ નથી, તેથી તમારે હંમેશા સાવચેત રહેવાની જરૂર છે - તમે એવા કાર્ય પર આવી શકો છો જ્યાં શરીર સ્થિત છે અને હેઠળફ્લેટ તેથી, ઉદાહરણ તરીકે, જો વિશ્લેષિત સમસ્યામાં આપણે તેના બદલે પ્લેનને ધ્યાનમાં લઈએ, તો પછી તપાસાયેલ શરીરને સમપ્રમાણરીતે નીચલા અર્ધ-જગ્યામાં મેપ કરવામાં આવશે અને નીચેથી પ્લેન દ્વારા અને ઉપરથી પ્લેન દ્વારા મર્યાદિત હશે!

તે જોવાનું સરળ છે કે તમને સમાન પરિણામ મળે છે:

(યાદ રાખો કે શરીરને બાયપાસ કરવાની જરૂર છે કડક નીચેથી ઉપર સુધી!)

આ ઉપરાંત, "મનપસંદ" પ્લેનનો ઉપયોગ બિલકુલ થઈ શકશે નહીં; સૌથી સરળ ઉદાહરણ: પ્લેનની ઉપર સ્થિત બોલ - જ્યારે તેના વોલ્યુમની ગણતરી કરવામાં આવે છે, ત્યારે સમીકરણની જરૂર રહેશે નહીં.

અમે આ બધા કેસોને ધ્યાનમાં લઈશું, પરંતુ હમણાં માટે તમારા માટે તમારા પોતાના પર ઉકેલવા માટે સમાન કાર્ય છે:

ઉદાહરણ 6

ટ્રિપલ ઇન્ટિગ્રલનો ઉપયોગ કરીને, સપાટીઓ દ્વારા બંધાયેલા શરીરનું પ્રમાણ શોધો

પાઠના અંતે ટૂંકો ઉકેલ અને જવાબ.

ચાલો સમાન લોકપ્રિય સામગ્રી સાથે બીજા ફકરા પર આગળ વધીએ:

નળાકાર કોઓર્ડિનેટ્સમાં ટ્રિપલ ઇન્ટિગ્રલ

નળાકાર કોઓર્ડિનેટ્સ, સારમાં, ધ્રુવીય કોઓર્ડિનેટ્સઅવકાશમાં
નળાકાર સંકલન પ્રણાલીમાં, અવકાશમાં બિંદુની સ્થિતિ બિંદુના ધ્રુવીય કોઓર્ડિનેટ્સ દ્વારા નિર્ધારિત કરવામાં આવે છે - બિંદુનું પ્લેન પર પ્રક્ષેપણ અને બિંદુ પોતે જ લાગુ પડે છે.

ત્રિ-પરિમાણીય કાર્ટેશિયન સિસ્ટમમાંથી નળાકાર કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં સંક્રમણ નીચેના સૂત્રો અનુસાર હાથ ધરવામાં આવે છે:

અમારા વિષયના સંબંધમાં, પરિવર્તન આના જેવું દેખાય છે:

અને, તે મુજબ, અમે આ લેખમાં વિચારી રહ્યા છીએ તે સરળ કિસ્સામાં:

મુખ્ય વસ્તુ એ છે કે વધારાના "er" ગુણક વિશે ભૂલી જવું અને તેને યોગ્ય રીતે મૂકવું નહીં એકીકરણની ધ્રુવીય મર્યાદાપ્રક્ષેપણ પસાર કરતી વખતે:

ઉદાહરણ 7

ઉકેલ: અમે સમાન પ્રક્રિયાનું પાલન કરીએ છીએ: સૌ પ્રથમ, અમે એવા સમીકરણોને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ જેમાં "z" ચલ નથી. અહીં એક જ છે. પ્રોજેક્શન નળાકાર સપાટીપ્લેન પર "નામનાત્મક" નું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે વર્તુળ .

વિમાનો તેઓ ઇચ્છિત શરીરને નીચે અને ઉપરથી મર્યાદિત કરે છે (તેને સિલિન્ડરમાંથી "કાપી") અને તેને વર્તુળમાં પ્રોજેક્ટ કરો:

આગળ એક ત્રિ-પરિમાણીય ચિત્ર છે. મુખ્ય મુશ્કેલી એ પ્લેન બનાવવાની છે જે સિલિન્ડરને "ત્રાંસી" કોણ પર છેદે છે, પરિણામે લંબગોળ. ચાલો આ વિભાગને વિશ્લેષણાત્મક રીતે સ્પષ્ટ કરીએ: આ કરવા માટે, અમે પ્લેનનું સમીકરણ ફરીથી લખીએ છીએ કાર્યાત્મક સ્વરૂપ અને પ્રક્ષેપણની સીમા પર આવેલા સ્પષ્ટ બિંદુઓ પર ફંક્શન ("ઊંચાઈ") ના મૂલ્યોની ગણતરી કરો:

અમે ડ્રોઇંગ પર અને કાળજીપૂર્વક મળી આવેલા બિંદુઓને ચિહ્નિત કરીએ છીએ (મારા જેવું નથી =))તેમને એક લાઇન સાથે જોડો:

પ્લેન પર શરીરનું પ્રક્ષેપણ એ એક વર્તુળ છે, અને આ નળાકાર સંકલન પ્રણાલીમાં જવાની તરફેણમાં એક મજબૂત દલીલ છે:

ચાલો નળાકાર કોઓર્ડિનેટ્સમાં સપાટીઓના સમીકરણો શોધીએ:

હવે તમારે શરીરને પાર કરવાનો ક્રમ શોધવાની જરૂર છે.

પ્રથમ, ચાલો પ્રક્ષેપણ સાથે વ્યવહાર કરીએ. તેનો ટ્રાવર્સલ ઓર્ડર કેવી રીતે નક્કી કરવો? સાથે બરાબર એ જ ધ્રુવીય કોઓર્ડિનેટ્સમાં ડબલ ઇન્ટિગ્રલ્સની ગણતરી. અહીં તે પ્રાથમિક છે:

એકીકરણની "ઊભી" મર્યાદાઓ પણ સ્પષ્ટ છે - અમે પ્લેન દ્વારા શરીરમાં પ્રવેશીએ છીએ અને પ્લેન દ્વારા બહાર નીકળીએ છીએ:

ચાલો પુનરાવર્તિત પૂર્ણાંકો પર આગળ વધીએ:

આ કિસ્સામાં, અમે તરત જ પરિબળ "er" ને "અમારા" અભિન્નમાં મૂકીએ છીએ.

હંમેશની જેમ, ઝાડુને ટ્વિગ્સ સાથે તોડવું સરળ છે:

1)

અમે પરિણામને નીચેના અભિન્નમાં મૂકીએ છીએ:

અને અહીં આપણે ભૂલતા નથી કે "ફી" ને સ્થિર માનવામાં આવે છે. પરંતુ આ સમય માટે છે:

જવાબ આપો:

તમારા પોતાના પર હલ કરવા માટે તમારા માટે સમાન કાર્ય:

ઉદાહરણ 8

ટ્રિપલ ઇન્ટિગ્રલનો ઉપયોગ કરીને સપાટીઓથી બંધાયેલા શરીરના જથ્થાની ગણતરી કરો. આ શરીરના રેખાંકનો અને તેના પ્રક્ષેપણને પ્લેન પર દોરો.

પાઠના અંતે અંતિમ ડિઝાઇનનો અંદાજિત નમૂનો.

મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે સમસ્યાની પરિસ્થિતિઓમાં નળાકાર કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં સંક્રમણ વિશે એક પણ શબ્દ કહેવામાં આવતો નથી, અને એક અજ્ઞાન વ્યક્તિ કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ્સમાં મુશ્કેલ અભિન્નતા સાથે સંઘર્ષ કરશે. ...અથવા કદાચ તે નહીં થાય - છેવટે, સમસ્યાઓ હલ કરવાની ત્રીજી, મૂળ રશિયન રીત છે =)

બધું જ શરૂઆત છે! ...સારી રીતે : =)

ઉદાહરણ 9

ટ્રિપલ ઇન્ટિગ્રલનો ઉપયોગ કરીને, સપાટીઓ દ્વારા બંધાયેલા શરીરનું પ્રમાણ શોધો

વિનમ્ર અને સ્વાદિષ્ટ.

ઉકેલ: આ શરીર મર્યાદિત છે શંકુ આકારની સપાટીઅને લંબગોળ પેરાબોલોઇડ. જે વાચકોએ લેખની સામગ્રી ધ્યાનથી વાંચી છે અવકાશની મૂળભૂત સપાટીઓ, પહેલેથી જ કલ્પના કરી છે કે શરીર કેવું દેખાય છે, પરંતુ વ્યવહારમાં ઘણીવાર વધુ જટિલ કિસ્સાઓ હોય છે, તેથી હું વિગતવાર વિશ્લેષણાત્મક તર્ક હાથ ધરીશ.

પ્રથમ, આપણે તે રેખાઓ શોધીએ છીએ જેની સાથે સપાટીઓ છેદે છે. ચાલો નીચેની સિસ્ટમ કંપોઝ અને હલ કરીએ:

1લા સમીકરણમાંથી આપણે બીજા પદને પદ દ્વારા બાદ કરીએ છીએ:

પરિણામ બે મૂળ છે:

ચાલો મળેલ મૂલ્યને સિસ્ટમના કોઈપણ સમીકરણમાં બદલીએ:
, જેમાંથી તે તેને અનુસરે છે
આમ, મૂળ એક જ બિંદુને અનુલક્ષે છે - મૂળ. સ્વાભાવિક રીતે, કારણ કે વિચારણા હેઠળની સપાટીઓના શિરોબિંદુઓ એકરૂપ થાય છે.

હવે બીજા રુટને બદલીએ - સિસ્ટમના કોઈપણ સમીકરણમાં પણ:

પ્રાપ્ત પરિણામનો ભૌમિતિક અર્થ શું છે? "ઊંચાઈ પર" (વિમાનમાં) પેરાબોલોઇડ અને શંકુ એકબીજા સાથે છેદે છે વર્તુળ- બિંદુ પર કેન્દ્ર સાથે એકમ ત્રિજ્યા.

આ કિસ્સામાં, પેરાબોલોઇડના "બાઉલ" માં શંકુનું "ફનલ" હોય છે, તેથી રચનાશંકુ આકારની સપાટી ડોટેડ લાઇનથી દોરેલી હોવી જોઈએ (આપણાથી સૌથી દૂરના જનરેટિક્સના સેગમેન્ટ સિવાય, જે આ ખૂણાથી દેખાય છે):

પ્લેન પર શરીરનું પ્રક્ષેપણ છે વર્તુળત્રિજ્યા 1 ની ઉત્પત્તિ પર એક કેન્દ્ર સાથે, જે આ હકીકતની સ્પષ્ટતાને કારણે મેં ચિત્રણ કરવાની તસ્દી લીધી નથી (જો કે, અમે લેખિત ટિપ્પણી આપીએ છીએ!). માર્ગ દ્વારા, અગાઉની બે સમસ્યાઓમાં, પ્રોજેક્શન ડ્રોઇંગ પણ સ્કોર કરી શકાય છે, જો શરત માટે નહીં.

પ્રમાણભૂત સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને નળાકાર કોઓર્ડિનેટ્સ તરફ જતી વખતે, અસમાનતા તેના સૌથી સરળ સ્વરૂપમાં લખવામાં આવે છે અને પ્રક્ષેપણને પસાર કરવાના ક્રમમાં કોઈ સમસ્યા નથી:

ચાલો નળાકાર કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં સપાટીઓના સમીકરણો શોધીએ:

કારણ કે સમસ્યા શંકુના ઉપરના ભાગને ધ્યાનમાં લે છે, અમે સમીકરણમાંથી વ્યક્ત કરીએ છીએ:

નીચેથી ઉપર સુધી "અમે શરીરને સ્કેન કરીએ છીએ". પ્રકાશના કિરણો તેમાંથી પ્રવેશ કરે છે લંબગોળ પેરાબોલોઇડઅને શંક્વાકાર સપાટી દ્વારા બહાર નીકળો. આમ, શરીરને પાર કરવાનો "ઊભી" ક્રમ છે:

બાકીની તકનીકની બાબત છે:

જવાબ આપો:

શરીરને તેની મર્યાદિત સપાટીઓ દ્વારા નહીં, પરંતુ ઘણી અસમાનતાઓ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે તે અસામાન્ય નથી:

ઉદાહરણ 10

ભૌમિતિક અર્થમેં તે જ સંદર્ભ લેખમાં અવકાશી અસમાનતાઓને પૂરતી વિગતમાં સમજાવી છે - જગ્યાની મૂળભૂત સપાટીઓ અને તેમનું બાંધકામ.

જો કે આ કાર્યમાં એક પરિમાણ છે, તે ચોક્કસ ડ્રોઇંગના અમલ માટે પરવાનગી આપે છે જે શરીરના મૂળભૂત દેખાવને પ્રતિબિંબિત કરે છે. કેવી રીતે બાંધવું તે વિશે વિચારો. ટૂંકા ઉકેલ અને જવાબ પાઠના અંતે છે.

...સારું, થોડા વધુ કાર્યો? હું પાઠ પૂરો કરવા વિશે વિચારી રહ્યો હતો, પરંતુ મને લાગે છે કે તમને વધુ જોઈએ છે =)

ઉદાહરણ 11

ટ્રિપલ ઇન્ટિગ્રલનો ઉપયોગ કરીને, આપેલ બોડીના વોલ્યુમની ગણતરી કરો:
, જ્યાં એક મનસ્વી હકારાત્મક સંખ્યા છે.

ઉકેલ: અસમાનતા ત્રિજ્યાના મૂળમાં કેન્દ્ર સાથે બોલને વ્યાખ્યાયિત કરે છે અને અસમાનતા – ત્રિજ્યાની સમપ્રમાણતાની અક્ષ સાથે ગોળાકાર સિલિન્ડરની "અંદર" આમ, ઇચ્છિત શરીર બાજુ પરના ગોળાકાર સિલિન્ડર દ્વારા અને ઉપર અને તળિયે પ્લેનની તુલનામાં સપ્રમાણતાવાળા ગોળાકાર ભાગો દ્વારા મર્યાદિત છે.

આને માપના આધાર એકમ તરીકે લઈને, ચાલો દોરીએ:

વધુ સ્પષ્ટ રીતે, તેને ડ્રોઇંગ કહેવું જોઈએ, કારણ કે મેં અક્ષ સાથેના પ્રમાણને ખૂબ સારી રીતે જાળવી રાખ્યું નથી. જો કે, વાજબી બનવા માટે, શરતને કંઈપણ દોરવાની જરૂર નહોતી, અને આવા ચિત્ર તદ્દન પર્યાપ્ત હોવાનું બહાર આવ્યું.

મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે અહીં તે ઊંચાઈ શોધવાની જરૂર નથી કે જેના પર સિલિન્ડર બોલમાંથી "કેપ્સ" કાપી નાખે છે - જો તમે તમારા હાથમાં હોકાયંત્ર લો અને તેનો ઉપયોગ ત્રિજ્યાના મૂળ પરના કેન્દ્ર સાથે વર્તુળને ચિહ્નિત કરવા માટે કરો છો. 2 સે.મી., પછી સિલિન્ડર સાથે આંતરછેદના બિંદુઓ પોતાને દ્વારા દેખાશે.

મનસ્વી ટ્રિપલ ઇન્ટિગ્રલ્સના ઉકેલોના ઉદાહરણો.
ટ્રિપલ ઇન્ટિગ્રલની ભૌતિક એપ્લિકેશનો

પાઠના 2જા ભાગમાં આપણે મનસ્વી ટ્રિપલ ઇન્ટિગ્રલ હલ કરવાની તકનીક પર કામ કરીશું. , જેનું એકીકરણ ત્રણ ચલોનું કાર્યસામાન્ય કિસ્સામાં તે પ્રદેશમાં સતત અને સતત કરતાં અલગ છે; અને ટ્રિપલ ઇન્ટિગ્રલના ભૌતિક ઉપયોગથી પણ પરિચિત થાઓ

હું ભલામણ કરું છું કે નવા મુલાકાતીઓ ભાગ 1 થી પ્રારંભ કરે, જ્યાં અમે મૂળભૂત ખ્યાલો અને ટ્રિપલ ઇન્ટિગ્રલનો ઉપયોગ કરીને શરીરનું પ્રમાણ શોધવાની સમસ્યા. હું તમને બાકીનાને થોડું પુનરાવર્તન કરવાની સલાહ આપું છું. ત્રણ ચલોના કાર્યોના ડેરિવેટિવ્ઝ, કારણ કે આ લેખના ઉદાહરણોમાં આપણે વ્યસ્ત કામગીરીનો ઉપયોગ કરીશું - આંશિક એકીકરણકાર્યો

આ ઉપરાંત, એક વધુ મહત્વપૂર્ણ મુદ્દો છે: જો તમને સારું ન લાગે, તો જો શક્ય હોય તો આ પૃષ્ઠ વાંચવાનું મુલતવી રાખવું વધુ સારું છે. અને મુદ્દો એટલો જ નથી કે ગણતરીઓની જટિલતા હવે વધશે - મોટાભાગના ટ્રિપલ ઇન્ટિગ્રલ્સ પાસે નથી વિશ્વસનીય માર્ગોમેન્યુઅલ તપાસો, તેથી થાકેલી સ્થિતિમાં તેમને હલ કરવાનું શરૂ કરવું અત્યંત અનિચ્છનીય છે. નીચા ટોન માટે તે સલાહભર્યું છે કંઈક સરળ ઉકેલોઅથવા ફક્ત આરામ કરો (હું ધીરજ રાખું છું, હું રાહ જોઈશ =)), જેથી બીજી વખત નવા માથા સાથે હું ટ્રિપલ ઇન્ટિગ્રલ પર ક્રેક કરવાનું ચાલુ રાખી શકું:

ઉદાહરણ 13

ટ્રિપલ ઇન્ટિગ્રલની ગણતરી કરો

વ્યવહારમાં, શરીરને અક્ષર દ્વારા પણ સૂચવવામાં આવે છે, પરંતુ આ ખૂબ નથી સારો વિકલ્પ, આને ધ્યાનમાં રાખીને, "ve" એ વોલ્યુમના હોદ્દા માટે "આરક્ષિત" છે.

હું તમને તરત જ કહીશ કે શું ન કરવું. ઉપયોગ કરવાની જરૂર નથી રેખીયતા ગુણધર્મોઅને ફોર્મમાં અભિન્નનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. તેમ છતાં જો તમે ખરેખર કરવા માંગો છો, તો પછી તમે કરી શકો છો. અંતે, એક નાનો વત્તા છે - જો કે રેકોર્ડિંગ લાંબી હશે, તે ઓછી અવ્યવસ્થિત હશે. પરંતુ આ અભિગમ હજુ પણ પ્રમાણભૂત નથી.

અલ્ગોરિધમમાં ઉકેલોથોડી નવીનતા હશે. પ્રથમ તમારે એકીકરણના ડોમેનને સમજવાની જરૂર છે. પ્લેન પર શરીરનું પ્રક્ષેપણ એ પીડાદાયક રીતે પરિચિત ત્રિકોણ છે:

શરીર ઉપરથી મર્યાદિત છે વિમાન, જે મૂળમાંથી પસાર થાય છે. માર્ગ દ્વારા, તમારે પ્રથમ કરવાની જરૂર છે તપાસવાની ખાતરી કરો(માનસિક રીતે અથવા ડ્રાફ્ટમાં), શું આ પ્લેન ત્રિકોણનો ભાગ "કાપી નાખે છે". આ કરવા માટે, અમે કોઓર્ડિનેટ પ્લેન સાથે તેની આંતરછેદની રેખા શોધીએ છીએ, એટલે કે. અમે સૌથી સરળ સિસ્ટમ હલ કરીએ છીએ: - ના, આ સીધા (ડ્રોઇંગ પર નહીં)"પાસે છે", અને પ્લેન પર શરીરનું પ્રક્ષેપણ ખરેખર ત્રિકોણનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે.

અહીં અવકાશી રેખાંકન પણ જટિલ નથી:

હકીકતમાં, પોતાને ફક્ત આ સુધી મર્યાદિત કરવું શક્ય હતું, કારણ કે પ્રક્ષેપણ ખૂબ જ સરળ છે. ...સારું, અથવા માત્ર એક પ્રોજેક્શન ડ્રોઈંગ, કારણ કે શરીર પણ સરળ છે =) જો કે, કંઈપણ દોરવું નહીં, હું તમને યાદ કરાવું છું, એ ખરાબ પસંદગી છે.

ઠીક છે, અલબત્ત, હું મદદ કરી શકતો નથી પરંતુ અંતિમ કાર્ય સાથે તમને ખુશ કરી શકું છું:

ઉદાહરણ 19

સપાટીઓથી બંધાયેલ સજાતીય શરીરના ગુરુત્વાકર્ષણનું કેન્દ્ર શોધો, . આ શરીરના રેખાંકનો અને તેના પ્રક્ષેપણને પ્લેન પર દોરો.

ઉકેલ: ઇચ્છિત શરીર સંકલન વિમાનો અને પ્લેન દ્વારા મર્યાદિત છે, જે અનુગામી બાંધકામ માટે અનુકૂળ છે વિભાગોમાં હાજર છે: . ચાલો સ્કેલ યુનિટ તરીકે "a" પસંદ કરીએ અને ત્રિ-પરિમાણીય ચિત્ર બનાવીએ:

ડ્રોઇંગમાં પહેલેથી જ ગુરુત્વાકર્ષણ બિંદુનું તૈયાર કેન્દ્ર છે, જો કે, અમને તે હજુ સુધી ખબર નથી.

પ્લેન પર શરીરનું પ્રક્ષેપણ સ્પષ્ટ છે, પરંતુ, તેમ છતાં, હું તમને યાદ અપાવીશ કે તેને વિશ્લેષણાત્મક રીતે કેવી રીતે શોધવું - છેવટે, આવા સરળ કેસોહંમેશા જોવા મળતા નથી. વિમાનો છેદે છે તે રેખા શોધવા માટે, તમારે સિસ્ટમ હલ કરવાની જરૂર છે:

મૂલ્યને 1લા સમીકરણમાં બદલો: અને આપણને સમીકરણ મળે છે "સપાટ" સીધા:

અમે સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને શરીરના ગુરુત્વાકર્ષણ કેન્દ્રના કોઓર્ડિનેટ્સની ગણતરી કરીએ છીએ
, શરીરનું પ્રમાણ ક્યાં છે.