નિયમિત પિરામિડનો જથ્થો. નિયમિત ત્રિકોણાકાર પિરામિડનો પિરામિડ વોલ્યુમ V

પોલિહેડ્રોન જેનો આધાર નિયમિત ત્રિકોણ છે અને બાકીના ચહેરા સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે તેને કહેવામાં આવે છે. ત્રિકોણાકાર પિરામિડઆવા પિરામિડને ટેટ્રાહેડ્રોન પણ કહેવામાં આવે છે.

નિયમિત પિરામિડમાં ઘણી મિલકતો હોય છે જે તેના ઘટક આકૃતિઓમાંથી મેળવવામાં આવે છે:

• આધારની બધી બાજુઓ એકબીજાની સમાન છે કારણ કે તે નિયમિત ત્રિકોણ દ્વારા રજૂ થાય છે;
• પિરામિડની બધી કિનારીઓ પણ એકબીજાની સમાન છે;
• કારણ કે દરેક ચહેરો બનાવે છે સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ, જેમાં કિનારીઓ સમાન હોય છે અને પાયા સમાન હોય છે, તો પછી આપણે કહી શકીએ કે દરેક ચહેરાનો વિસ્તાર સમાન છે;
• આધાર પરના બધા ડિહેડ્રલ ખૂણા સમાન છે.

તે આધાર અને બાજુના સ્કેનના ક્ષેત્રોના સરવાળા તરીકે ગણવામાં આવે છે. તે એક બાજુના ચહેરા અને આધારના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરીને પણ શોધી શકાય છે. ત્રિકોણાકાર પિરામિડના જથ્થા માટેનું સૂત્ર પણ ત્રિકોણના ગુણધર્મો પરથી લેવામાં આવ્યું છે જેમાં તે સમાવે છે:

આધાર વિસ્તારની ગણતરી સૂત્રમાંથી કરવામાં આવે છે:

ચાલો ત્રિકોણાકાર પિરામિડના વોલ્યુમની ગણતરીના ઉદાહરણને ધ્યાનમાં લઈએ.

ચાલો આપણે ત્રિકોણાકાર પિરામિડ આપીએ. આધારની બાજુ a = 2 cm છે, અને ઊંચાઈ h = 2√3 છે. આપેલ પોલિહેડ્રોનનું વોલ્યુમ શોધો.
પ્રથમ, ચાલો આધારનો વિસ્તાર શોધીએ. આ કરવા માટે, ચાલો ઉપરોક્ત સૂત્રમાં જાણીતા ડેટાને બદલીએ:

હવે આપણે ત્રિકોણાકાર પિરામિડના વોલ્યુમની ગણતરી કરવા માટે મળેલ મૂલ્યનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:

ત્રિકોણાકાર પિરામિડના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરવા માટે તમે ટૂંકા સૂત્રનો પણ ઉપયોગ કરી શકો છો. તે પાયાના ક્ષેત્રફળ અને ઊંચાઈને જોડે છે, અને સૂત્રને પાયાના વિસ્તારના ઉત્પાદનના ત્રીજા ભાગ અને પિરામિડની ઊંચાઈ તરીકે વાંચવામાં આવે છે:

આ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતી વખતે, ગણતરીઓ અને ઘટાડાનું સખતપણે પાલન કરવું મહત્વપૂર્ણ છે. એક નાની ભૂલ ખોટા પરિણામ તરફ દોરી શકે છે. સામાન્ય રીતે, નિયમિત ત્રિકોણાકાર પિરામિડનું વોલ્યુમ શોધવું ખૂબ જ સરળ છે.

તમારી ગોપનીયતા જાળવવી અમારા માટે મહત્વપૂર્ણ છે. આ કારણોસર, અમે એક ગોપનીયતા નીતિ વિકસાવી છે જે વર્ણવે છે કે અમે તમારી માહિતીનો ઉપયોગ અને સંગ્રહ કેવી રીતે કરીએ છીએ. કૃપા કરીને અમારી ગોપનીયતા પ્રથાઓની સમીક્ષા કરો અને જો તમને કોઈ પ્રશ્નો હોય તો અમને જણાવો.

વ્યક્તિગત માહિતીનો સંગ્રહ અને ઉપયોગ

વ્યક્તિગત માહિતી એ ડેટાનો સંદર્ભ આપે છે જેનો ઉપયોગ ચોક્કસ વ્યક્તિને ઓળખવા અથવા સંપર્ક કરવા માટે થઈ શકે છે.

જ્યારે તમે અમારો સંપર્ક કરો ત્યારે તમને કોઈપણ સમયે તમારી વ્યક્તિગત માહિતી પ્રદાન કરવા માટે કહેવામાં આવશે.

અમે જે પ્રકારની વ્યક્તિગત માહિતી એકત્રિત કરી શકીએ છીએ અને અમે આવી માહિતીનો ઉપયોગ કેવી રીતે કરી શકીએ તેના કેટલાક ઉદાહરણો નીચે આપ્યા છે.

અમે કઈ વ્યક્તિગત માહિતી એકત્રિત કરીએ છીએ:

• જ્યારે તમે સાઇટ પર વિનંતી સબમિટ કરો છો, ત્યારે અમે તમારું નામ, ટેલિફોન નંબર, સરનામું સહિત વિવિધ માહિતી એકત્રિત કરી શકીએ છીએ ઇમેઇલવગેરે

અમે તમારી વ્યક્તિગત માહિતીનો ઉપયોગ કેવી રીતે કરીએ છીએ:

• અમારા દ્વારા એકત્રિત વ્યક્તિગત માહિતીઅમને તમારો સંપર્ક કરવા અને અનન્ય ઑફર્સ, પ્રમોશન અને અન્ય ઇવેન્ટ્સ અને આગામી ઇવેન્ટ્સ વિશે તમને જાણ કરવાની મંજૂરી આપે છે.
• સમય સમય પર, અમે મહત્વપૂર્ણ સૂચનાઓ અને સંદેશાવ્યવહાર મોકલવા માટે તમારી વ્યક્તિગત માહિતીનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
• અમે આંતરિક હેતુઓ માટે વ્યક્તિગત માહિતીનો ઉપયોગ પણ કરી શકીએ છીએ, જેમ કે અમે પ્રદાન કરીએ છીએ તે સેવાઓને સુધારવા માટે અને તમને અમારી સેવાઓ સંબંધિત ભલામણો પ્રદાન કરવા માટે ઑડિટ, ડેટા વિશ્લેષણ અને વિવિધ સંશોધન કરવા.
• જો તમે ઇનામ ડ્રો, હરીફાઈ અથવા સમાન પ્રમોશનમાં ભાગ લો છો, તો અમે આવા કાર્યક્રમોનું સંચાલન કરવા માટે તમે પ્રદાન કરેલી માહિતીનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.

તૃતીય પક્ષોને માહિતીની જાહેરાત

અમે તમારી પાસેથી મળેલી માહિતીને તૃતીય પક્ષોને જાહેર કરતા નથી.

અપવાદો:

• જો જરૂરી હોય તો, કાયદા અનુસાર, ન્યાયિક પ્રક્રિયા, કાનૂની કાર્યવાહીમાં, અને/અથવા સાર્વજનિક વિનંતીઓ અથવા રશિયન ફેડરેશનમાં સરકારી એજન્સીઓની વિનંતીઓના આધારે - તમારી વ્યક્તિગત માહિતી જાહેર કરવા માટે. અમે તમારા વિશેની માહિતી પણ જાહેર કરી શકીએ છીએ જો અમે નિર્ધારિત કરીએ કે આવી જાહેરાત સુરક્ષા, કાયદાના અમલીકરણ અથવા અન્ય જાહેર મહત્વના હેતુઓ માટે જરૂરી અથવા યોગ્ય છે.
• પુનર્ગઠન, વિલીનીકરણ અથવા વેચાણની ઘટનામાં, અમે જે વ્યક્તિગત માહિતી એકત્રિત કરીએ છીએ તે લાગુ અનુગામી તૃતીય પક્ષને સ્થાનાંતરિત કરી શકીએ છીએ.

વ્યક્તિગત માહિતીનું રક્ષણ

અમે તમારી અંગત માહિતીને નુકશાન, ચોરી અને દુરુપયોગ તેમજ અનધિકૃત ઍક્સેસ, જાહેરાત, ફેરફાર અને વિનાશથી બચાવવા માટે - વહીવટી, તકનીકી અને ભૌતિક સહિત - સાવચેતી રાખીએ છીએ.

કંપની સ્તરે તમારી ગોપનીયતાનો આદર કરવો

તમારી વ્યક્તિગત માહિતી સુરક્ષિત છે તે સુનિશ્ચિત કરવા માટે, અમે અમારા કર્મચારીઓને ગોપનીયતા અને સુરક્ષા ધોરણોનો સંચાર કરીએ છીએ અને ગોપનીયતા પ્રથાઓને સખત રીતે લાગુ કરીએ છીએ.

કોઈપણ ની મુખ્ય લાક્ષણિકતા ભૌમિતિક આકૃતિઅવકાશમાં તેનું પ્રમાણ છે. આ લેખમાં આપણે જોઈશું કે આધાર પર ત્રિકોણ સાથેનો પિરામિડ શું છે, અને અમે એ પણ બતાવીશું કે ત્રિકોણાકાર પિરામિડનું વોલ્યુમ કેવી રીતે શોધવું - નિયમિત પૂર્ણ અને કાપવામાં આવેલ.

આ શું છે - ત્રિકોણાકાર પિરામિડ?

દરેક વ્યક્તિએ પ્રાચીન લોકો વિશે સાંભળ્યું છે ઇજિપ્તીયન પિરામિડજો કે, તેઓ નિયમિત ચતુષ્કોણીય છે, ત્રિકોણાકાર નથી. ચાલો સમજાવીએ કે ત્રિકોણાકાર પિરામિડ કેવી રીતે મેળવવું.

ચાલો એક મનસ્વી ત્રિકોણ લઈએ અને તેના બધા શિરોબિંદુઓને આ ત્રિકોણના સમતલની બહાર સ્થિત કોઈ એક બિંદુ સાથે જોડીએ. પરિણામી આકૃતિ ત્રિકોણાકાર પિરામિડ કહેવાશે. તે નીચેની આકૃતિમાં બતાવવામાં આવ્યું છે.

જેમ તમે જોઈ શકો છો, પ્રશ્નમાંની આકૃતિ ચાર ત્રિકોણ દ્વારા રચાય છે, જે સામાન્ય રીતે અલગ હોય છે. દરેક ત્રિકોણ પિરામિડ અથવા તેના ચહેરાની બાજુઓ છે. આ પિરામિડને ઘણીવાર ટેટ્રાહેડ્રોન કહેવામાં આવે છે, એટલે કે, ટેટ્રાહેડ્રલ ત્રિ-પરિમાણીય આકૃતિ.

બાજુઓ ઉપરાંત, પિરામિડમાં કિનારીઓ પણ છે (તેમાંથી 6 છે) અને શિરોબિંદુઓ (4 માંથી).

ત્રિકોણાકાર આધાર સાથે

એક આકૃતિ કે જે મનસ્વી ત્રિકોણ અને અવકાશના બિંદુનો ઉપયોગ કરીને મેળવવામાં આવે છે તે સામાન્ય કિસ્સામાં અનિયમિત ત્રાંસી પિરામિડ હશે. હવે કલ્પના કરો કે મૂળ ત્રિકોણની સમાન બાજુઓ છે, અને અવકાશમાં એક બિંદુ તેના ભૌમિતિક કેન્દ્રની બરાબર ઉપર ત્રિકોણના પ્લેનથી h અંતરે સ્થિત છે. આ પ્રારંભિક ડેટાનો ઉપયોગ કરીને બાંધવામાં આવેલ પિરામિડ સાચો હશે.

દેખીતી રીતે, નિયમિત ત્રિકોણાકાર પિરામિડની કિનારીઓ, બાજુઓ અને શિરોબિંદુઓની સંખ્યા મનસ્વી ત્રિકોણમાંથી બનેલા પિરામિડ જેટલી જ હશે.

જો કે, સાચા આંકડામાં કેટલાક છે વિશિષ્ટ લક્ષણો:

• શિરોબિંદુથી દોરેલી તેની ઊંચાઈ ભૌમિતિક કેન્દ્ર (મધ્યના આંતરછેદના બિંદુ) પરના આધારને બરાબર છેદે છે;
• આવા પિરામિડની બાજુની સપાટી ત્રણ સમાન ત્રિકોણ દ્વારા રચાય છે, જે સમદ્વિબાજુ અથવા સમબાજુ છે.

નિયમિત ત્રિકોણાકાર પિરામિડ માત્ર એક સંપૂર્ણ સૈદ્ધાંતિક ભૌમિતિક પદાર્થ નથી. પ્રકૃતિમાં કેટલીક રચનાઓ તેનો આકાર ધરાવે છે, ઉદાહરણ તરીકે હીરાની સ્ફટિક જાળી, જ્યાં કાર્બન અણુ સહસંયોજક બોન્ડ દ્વારા સમાન ચાર અણુઓ સાથે જોડાયેલ હોય છે, અથવા મિથેન પરમાણુ, જ્યાં પિરામિડના શિરોબિંદુઓ હાઇડ્રોજન અણુઓ દ્વારા રચાય છે.

ત્રિકોણાકાર પિરામિડ

તમે નીચેની અભિવ્યક્તિનો ઉપયોગ કરીને આધાર પર મનસ્વી n-gon સાથે સંપૂર્ણપણે કોઈપણ પિરામિડનું પ્રમાણ નક્કી કરી શકો છો:

અહીં પ્રતીક S o આધારનો વિસ્તાર દર્શાવે છે, h એ પિરામિડની ટોચ પરથી ચિહ્નિત આધાર તરફ દોરેલી આકૃતિની ઊંચાઈ છે.

એક મનસ્વી ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ તેની બાજુ a ની લંબાઈના અડધા ગુણાંક જેટલું હોવાથી અને આ બાજુ પર મુકાયેલ એપોથેમ h a, ત્રિકોણાકાર પિરામિડના જથ્થા માટેનું સૂત્ર નીચેના સ્વરૂપમાં લખી શકાય છે:

V = 1/6 × a × h a × h

માટે સામાન્ય પ્રકારઊંચાઈ નક્કી કરવી એ સરળ કાર્ય નથી. તેને ઉકેલવા માટે, સમીકરણ દ્વારા રજૂ કરાયેલ બિંદુ (શિરોબિંદુ) અને પ્લેન (ત્રિકોણાકાર આધાર) વચ્ચેના અંતર માટે સૂત્રનો ઉપયોગ કરવાનો સૌથી સહેલો રસ્તો છે. સામાન્ય દૃશ્ય.

યોગ્ય એક માટે, તે ચોક્કસ દેખાવ ધરાવે છે. તેના માટેના પાયાનું ક્ષેત્રફળ (એક સમભુજ ત્રિકોણનું) બરાબર છે:

તેને V માટે સામાન્ય અભિવ્યક્તિમાં બદલીને, અમને મળે છે:

V = √3/12 × a 2 × h

એક વિશિષ્ટ કેસ એ પરિસ્થિતિ છે જ્યારે ટેટ્રાહેડ્રોનની બધી બાજુઓ સમાન સમભુજ ત્રિકોણ બની જાય છે. આ કિસ્સામાં, તેનું વોલ્યુમ ફક્ત તેની ધાર a ના પરિમાણના જ્ઞાનના આધારે નક્કી કરી શકાય છે. અનુરૂપ અભિવ્યક્તિ આના જેવો દેખાય છે:

કાપેલા પિરામિડ

જો શિરોબિંદુ ધરાવતો ઉપલા ભાગ નિયમિત ત્રિકોણાકાર પિરામિડમાંથી કાપી નાખવામાં આવે છે, તો તમને કાપેલી આકૃતિ મળે છે. મૂળથી વિપરીત, તેમાં બે સમબાજુ ત્રિકોણાકાર પાયા અને ત્રણ સમદ્વિબાજુ ટ્રેપેઝોઇડ્સ હશે.

નીચેનો ફોટો બતાવે છે કે કાગળમાંથી બનેલો નિયમિત કાપવામાં આવેલ ત્રિકોણાકાર પિરામિડ કેવો દેખાય છે.

કાપેલા ત્રિકોણાકાર પિરામિડનું પ્રમાણ નક્કી કરવા માટે, તમારે તેની ત્રણ રેખીય લાક્ષણિકતાઓ જાણવાની જરૂર છે: પાયાની દરેક બાજુઓ અને આકૃતિની ઊંચાઈ, ઉપલા અને નીચલા પાયા વચ્ચેના અંતર જેટલી. વોલ્યુમ માટે અનુરૂપ સૂત્ર નીચે પ્રમાણે લખાયેલ છે:

V = √3/12 × h × (A 2 + a 2 + A × a)

અહીં h એ આકૃતિની ઊંચાઈ છે, A અને a એ અનુક્રમે મોટા (નીચલા) અને નાના (ઉપલા) સમભુજ ત્રિકોણની બાજુઓની લંબાઈ છે.

સમસ્યાનું સમાધાન

લેખમાંની માહિતી વાચકને વધુ સ્પષ્ટ બનાવવા માટે, અમે કેટલાક લેખિત સૂત્રોનો ઉપયોગ કેવી રીતે કરવો તે સ્પષ્ટ ઉદાહરણ સાથે બતાવીશું.

ત્રિકોણાકાર પિરામિડનું કદ 15 સેમી 3 થવા દો. તે જાણીતું છે કે આકૃતિ સાચી છે. જો તે જાણીતું હોય કે પિરામિડની ઊંચાઈ 4 સે.મી.

આકૃતિનું વોલ્યુમ અને ઊંચાઈ જાણીતી હોવાથી, તમે તેના આધારની બાજુની લંબાઈની ગણતરી કરવા માટે યોગ્ય સૂત્રનો ઉપયોગ કરી શકો છો. અમારી પાસે છે:

V = √3/12 × a 2 × h =>

a = 12 × V / (√3 × h) = 12 × 15 / (√3 × 4) = 25.98 સે.મી.

a b = √(h 2 + a 2 / 12) = √(16 + 25.98 2 / 12) = 8.5 સે.મી.

આકૃતિના એપોથેમની ગણતરી કરેલ લંબાઈ તેની ઊંચાઈ કરતા વધારે હોવાનું બહાર આવ્યું છે, જે કોઈપણ પ્રકારના પિરામિડ માટે સાચું છે.

અહીં આપણે વોલ્યુમની વિભાવના સાથે સંબંધિત ઉદાહરણો જોઈશું. આવા કાર્યોને હલ કરવા માટે, તમારે પિરામિડના વોલ્યુમ માટેનું સૂત્ર જાણવું આવશ્યક છે:

એસ

h - પિરામિડની ઊંચાઈ

આધાર કોઈપણ બહુકોણ હોઈ શકે છે. પરંતુ યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષાની મોટાભાગની સમસ્યાઓમાં, સ્થિતિ સામાન્ય રીતે નિયમિત પિરામિડની ચિંતા કરે છે. ચાલો હું તમને તેના ગુણધર્મોમાંથી એક યાદ અપાવીશ:

શિરોબિંદુ નિયમિત પિરામિડતેના આધારના કેન્દ્રમાં અંદાજિત

નિયમિત ત્રિકોણાકાર, ચતુષ્કોણીય અને ષટ્કોણ પિરામિડના પ્રક્ષેપણને જુઓ (ટોપ વ્યૂ):

તમે બ્લોગ પર જોઈ શકો છો, જ્યાં પિરામિડની માત્રા શોધવા સંબંધિત સમસ્યાઓની ચર્ચા કરવામાં આવી હતી.ચાલો કાર્યોને ધ્યાનમાં લઈએ:

27087. નિયમિત ત્રિકોણાકાર પિરામિડનું કદ શોધો જેની પાયાની બાજુઓ 1 જેટલી હોય અને જેની ઊંચાઈ ત્રણના મૂળની બરાબર હોય.

એસ- પિરામિડના પાયાનો વિસ્તાર

h- પિરામિડની ઊંચાઈ

ચાલો પિરામિડના પાયાનો વિસ્તાર શોધીએ, આ એક નિયમિત ત્રિકોણ છે. ચાલો સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ - ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ અડીને બાજુઓ અને તેમની વચ્ચેના ખૂણાના સાઈનના અડધા ગુણાંક જેટલું છે, જેનો અર્થ થાય છે:

જવાબ: 0.25

27088. નિયમિત ત્રિકોણાકાર પિરામિડની ઊંચાઈ શોધો જેની પાયાની બાજુઓ 2 જેટલી હોય અને જેની વોલ્યુમ ત્રણના મૂળની બરાબર હોય.

પિરામિડની ઊંચાઈ અને તેના પાયાની લાક્ષણિકતાઓ જેવા ખ્યાલો વોલ્યુમ સૂત્ર દ્વારા સંબંધિત છે:

એસ- પિરામિડના પાયાનો વિસ્તાર

h- પિરામિડની ઊંચાઈ

આપણે વોલ્યુમ પોતે જાણીએ છીએ, આપણે આધારનું ક્ષેત્રફળ શોધી શકીએ છીએ, કારણ કે આપણે ત્રિકોણની બાજુઓ જાણીએ છીએ, જે આધાર છે. દર્શાવેલ મૂલ્યો જાણીને, આપણે સરળતાથી ઊંચાઈ શોધી શકીએ છીએ.

આધારનું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે, અમે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ - ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ અડીને બાજુઓ અને તેમની વચ્ચેના ખૂણાના સાઈનના અડધા ગુણ જેટલું છે, જેનો અર્થ થાય છે:

આમ, આ મૂલ્યોને વોલ્યુમ ફોર્મ્યુલામાં બદલીને, આપણે પિરામિડની ઊંચાઈની ગણતરી કરી શકીએ છીએ:

ઊંચાઈ ત્રણ છે.

જવાબ: 3

27109. નિયમિત ચતુષ્કોણીય પિરામિડમાં, ઊંચાઈ 6 છે અને બાજુની ધાર 10 છે. તેનું કદ શોધો.

પિરામિડની માત્રા સૂત્ર દ્વારા ગણવામાં આવે છે:

એસ- પિરામિડના પાયાનો વિસ્તાર

h- પિરામિડની ઊંચાઈ

આપણે ઊંચાઈ જાણીએ છીએ. તમારે આધારનો વિસ્તાર શોધવાની જરૂર છે. ચાલો હું તમને યાદ કરાવું કે નિયમિત પિરામિડની ટોચ તેના પાયાના મધ્યમાં પ્રક્ષેપિત છે. નિયમિત ચતુષ્કોણીય પિરામિડનો આધાર ચોરસ છે. આપણે તેનો કર્ણ શોધી શકીએ છીએ. જમણો ત્રિકોણ ધ્યાનમાં લો (વાદળીમાં પ્રકાશિત):

ચોરસના કેન્દ્રને બિંદુ B સાથે જોડતો ભાગ એ એક પગ છે જે ચોરસના અડધા કર્ણ જેટલો છે. અમે પાયથાગોરિયન પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને આ પગની ગણતરી કરી શકીએ છીએ:

આનો અર્થ છે BD = 16. ચાલો ચતુષ્કોણના ક્ષેત્રફળ માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ચોરસના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરીએ:

આથી:

આમ, પિરામિડનું પ્રમાણ છે:

જવાબ: 256

27178. નિયમિત ચતુષ્કોણીય પિરામિડમાં, ઊંચાઈ 12 છે અને વોલ્યુમ 200 છે. આ પિરામિડની બાજુની ધાર શોધો.

પિરામિડની ઊંચાઈ અને તેનું પ્રમાણ જાણીતું છે, જેનો અર્થ છે કે આપણે ચોરસનો વિસ્તાર શોધી શકીએ છીએ, જે આધાર છે. ચોરસનું ક્ષેત્રફળ જાણીને, આપણે તેનો કર્ણ શોધી શકીએ છીએ. આગળ, પાયથાગોરિયન પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને કાટકોણ ત્રિકોણને ધ્યાનમાં લેતા, અમે બાજુની ધારની ગણતરી કરીએ છીએ:

ચાલો ચોરસનો વિસ્તાર શોધીએ (પિરામિડનો આધાર):

ચાલો ચોરસના કર્ણની ગણતરી કરીએ. તેનું ક્ષેત્રફળ 50 હોવાથી, બાજુ પચાસના મૂળની બરાબર હશે અને પાયથાગોરિયન પ્રમેય મુજબ:

બિંદુ O કર્ણ BD ને અડધા ભાગમાં વિભાજિત કરે છે, જેનો અર્થ છે જમણા ત્રિકોણ OB = 5 નો પગ.

આમ, આપણે ગણતરી કરી શકીએ છીએ કે પિરામિડની બાજુની ધાર કેટલી બરાબર છે:

જવાબ: 13

245353. આકૃતિમાં દર્શાવેલ પિરામિડનું કદ શોધો. તેનો આધાર બહુકોણ છે, જેની અડીને બાજુઓ કાટખૂણે છે, અને બાજુની કિનારીઓમાંથી એક પાયાના સમતલને લંબરૂપ છે અને 3 ની બરાબર છે.

ઘણી વખત કહેવામાં આવ્યું છે તેમ, પિરામિડની માત્રા સૂત્ર દ્વારા ગણવામાં આવે છે:

એસ- પિરામિડના પાયાનો વિસ્તાર

h- પિરામિડની ઊંચાઈ

પાયાની લંબરૂપ બાજુની ધાર ત્રણ જેટલી છે, જેનો અર્થ છે કે પિરામિડની ઊંચાઈ ત્રણ છે. પિરામિડનો આધાર બહુકોણ છે જેનું ક્ષેત્રફળ બરાબર છે:

આમ:

જવાબ: 27

27086. પિરામિડનો આધાર 3 અને 4 બાજુઓ સાથેનો લંબચોરસ છે. તેનું કદ 16 છે. આ પિરામિડની ઊંચાઈ શોધો.

પિરામિડ એ તેના આધાર પર બહુકોણ ધરાવતું બહુકોણ છે. બધા ચહેરા, બદલામાં, ત્રિકોણ બનાવે છે જે એક શિરોબિંદુ પર ભેગા થાય છે. પિરામિડ ત્રિકોણાકાર, ચતુષ્કોણીય અને તેથી વધુ છે. તમારી સામે કયો પિરામિડ છે તે નિર્ધારિત કરવા માટે, તેના આધાર પર ખૂણાઓની સંખ્યા ગણવા માટે તે પૂરતું છે. "પિરામિડની ઊંચાઈ" ની વ્યાખ્યા ઘણી વાર શાળાના અભ્યાસક્રમમાં ભૂમિતિની સમસ્યાઓમાં જોવા મળે છે. આ લેખમાં આપણે ધ્યાનમાં લેવાનો પ્રયત્ન કરીશું અલગ અલગ રીતેતેણીનું સ્થાન.

પિરામિડના ભાગો

દરેક પિરામિડમાં નીચેના ઘટકોનો સમાવેશ થાય છે:

• બાજુના ચહેરાઓ, જેમાં ત્રણ ખૂણા હોય છે અને ટોચ પર એકરૂપ થાય છે;
• એપોથેમ તે ઊંચાઈને દર્શાવે છે જે તેની ટોચ પરથી નીચે આવે છે;
• પિરામિડની ટોચ એ એક બિંદુ છે જે બાજુની પાંસળીને જોડે છે, પરંતુ આધારના પ્લેનમાં રહેતું નથી;
• આધાર એ બહુકોણ છે જેના પર શિરોબિંદુ આવેલો નથી;
• પિરામિડની ઊંચાઈ એ એક સેગમેન્ટ છે જે પિરામિડની ટોચને છેદે છે અને તેના આધાર સાથે જમણો ખૂણો બનાવે છે.

પિરામિડની ઊંચાઈ કેવી રીતે શોધવી જો તેનું વોલ્યુમ જાણીતું હોય

V = (S*h)/3 સૂત્ર દ્વારા (સૂત્રમાં V એ વોલ્યુમ છે, S એ પાયાનો વિસ્તાર છે, h એ પિરામિડની ઊંચાઈ છે) આપણે શોધીએ છીએ કે h = (3*V)/ એસ. સામગ્રીને એકીકૃત કરવા માટે, ચાલો તરત જ સમસ્યા હલ કરીએ. ત્રિકોણાકાર આધાર 50 cm 2 છે, જ્યારે તેનું કદ 125 cm 3 છે. ત્રિકોણાકાર પિરામિડની ઊંચાઈ અજ્ઞાત છે, જે આપણે શોધવાની જરૂર છે. અહીં બધું સરળ છે: અમે અમારા ફોર્મ્યુલામાં ડેટા દાખલ કરીએ છીએ. આપણને h = (3*125)/50 = 7.5 સેમી મળે છે.

જો કર્ણની લંબાઈ અને તેની કિનારીઓ જાણીતી હોય તો પિરામિડની ઊંચાઈ કેવી રીતે શોધવી

જેમ આપણે યાદ રાખીએ છીએ, પિરામિડની ઊંચાઈ તેના પાયા સાથે જમણો ખૂણો બનાવે છે. આનો અર્થ એ છે કે કર્ણની ઊંચાઈ, ધાર અને અડધો ભાગ એકસાથે બનાવે છે, ઘણાને, અલબત્ત, પાયથાગોરિયન પ્રમેય યાદ છે. બે પરિમાણ જાણવાથી, ત્રીજો જથ્થો શોધવાનું મુશ્કેલ રહેશે નહીં. ચાલો આપણે જાણીતા પ્રમેય a² = b² + c²ને યાદ કરીએ, જ્યાં a એ કર્ણ છે, અને આપણા કિસ્સામાં પિરામિડની ધાર છે; b - પ્રથમ પગ અથવા કર્ણનો અડધો ભાગ અને c - અનુક્રમે, બીજો પગ, અથવા પિરામિડની ઊંચાઈ. આ સૂત્રમાંથી c² = a² - b².

હવે સમસ્યા છે: નિયમિત પિરામિડમાં કર્ણ 20 સેમી છે, જ્યારે ધારની લંબાઈ 30 સેમી છે તમારે ઊંચાઈ શોધવાની જરૂર છે. અમે હલ કરીએ છીએ: c² = 30² - 20² = 900-400 = 500. તેથી c = √ 500 = લગભગ 22.4.

કાપેલા પિરામિડની ઊંચાઈ કેવી રીતે શોધવી

તે તેના આધારની સમાંતર ક્રોસ સેક્શન સાથેનો બહુકોણ છે. કાપેલા પિરામિડની ઊંચાઈ એ સેગમેન્ટ છે જે તેના બે પાયાને જોડે છે. જો બંને પાયાના કર્ણની લંબાઈ તેમજ પિરામિડની ધાર જાણીતી હોય તો નિયમિત પિરામિડ માટે ઊંચાઈ શોધી શકાય છે. મોટા પાયાના કર્ણને d1 રહેવા દો, જ્યારે નાના આધારનો કર્ણ d2 છે અને ધારની લંબાઈ l છે. ઊંચાઈ શોધવા માટે, તમે રેખાકૃતિના બે ઉપલા વિરોધી બિંદુઓથી તેના આધાર સુધીની ઊંચાઈને ઘટાડી શકો છો. આપણે જોઈએ છીએ કે આપણી પાસે બે છે જમણો ત્રિકોણ, તે તેમના પગની લંબાઈ શોધવાનું બાકી છે. આ કરવા માટે, મોટા કર્ણમાંથી નાનાને બાદ કરો અને 2 વડે ભાગો. તેથી આપણને એક પગ મળશે: a = (d1-d2)/2. જે પછી, પાયથાગોરિયન પ્રમેય મુજબ, આપણે બીજું પગ શોધવાનું છે, જે પિરામિડની ઊંચાઈ છે.

હવે આ આખી વાતને વ્યવહારમાં જોઈએ. આપણી આગળ એક કાર્ય છે. કાપેલા પિરામિડના પાયા પર એક ચોરસ હોય છે, મોટા પાયાની ત્રાંસી લંબાઈ 10 સેમી હોય છે, જ્યારે નાનાની 6 સેમી હોય છે, અને કિનારી 4 સેમી હોય છે તમારે ઊંચાઈ શોધવાની જરૂર છે. પ્રથમ, આપણે એક પગ શોધીએ છીએ: a = (10-6)/2 = 2 cm એક પગ 2 cm છે, અને કર્ણ 4 cm છે તે તારણ આપે છે કે બીજો પગ અથવા ઊંચાઈ 16- ની બરાબર હશે. 4 = 12, એટલે કે, h = √12 = લગભગ 3.5 સે.મી.