અનિશ્ચિત અભિન્ન વ્યાખ્યા અને સરળ ગુણધર્મો. એન્ટિડેરિવેટિવ અને અનિશ્ચિત અભિન્ન, તેમના ગુણધર્મો. મૂળભૂત એકીકરણ પદ્ધતિઓ

એક અનિશ્ચિત અભિન્ન ખ્યાલ.ભિન્નતા એ ક્રિયા છે જેના દ્વારા આપેલ કાર્ય માટે તેનું વ્યુત્પન્ન અથવા વિભેદક જોવા મળે છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો F(x) = x 10, તો F" (x) = 10x 9, dF (x) = 10x 9 dx.

એકીકરણ -આ ભિન્નતાની વિરુદ્ધ છે. આપેલ વ્યુત્પન્ન અથવા ફંક્શનના વિભેદક પર એકીકરણનો ઉપયોગ કરીને, ફંક્શન પોતે જ જોવા મળે છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો F" (x) = 7x 6, તો F (x) == x 7, ત્યારથી (x 7)" = 7x 6.

વિભેદક કાર્ય F(x), xЄ]a; b[ કહેવાય છે એન્ટિડેરિવેટિવઅંતરાલ પર ફંક્શન f(x) માટે ]а; b[, જો F" (x) = f (x) દરેક xЄ]a માટે; b[.

આમ, ફંક્શન f(x) = 1/cos 3 x માટે એન્ટિડેરિવેટિવ ફંક્શન F(x)= tan x છે, ત્યારથી (tg x)"= 1/cos 2 x.

અંતરાલ પર તમામ એન્ટિડેરિવેટિવ ફંક્શન્સ f(x) નો સમૂહ ]а; b[ કહેવાય છે અનિશ્ચિત અભિન્નઆ અંતરાલ પર ફંક્શન f(x) માંથી અને f(x)dx = F(x) + C લખો. અહીં f(x)dx એ ઇન્ટિગ્રેંડ છે;

F(x)-અભિન્ન કાર્ય; સંકલનનું x-ચલ: C એ મનસ્વી સ્થિરાંક છે.

ઉદાહરણ તરીકે, 5x 4 dx = x 5 + C, ત્યારથી (x 3 + C)" = 5x 4.

ચાલો આપીએ અનિશ્ચિત અભિન્નના મૂળભૂત ગુણધર્મો. 1. અનિશ્ચિત પૂર્ણાંકનો વિભેદક પૂર્ણાંક સમાન છે:

ડી f(x)dx=f(x)dx.

2. ફંક્શનના ડિફરન્સલનું અનિશ્ચિત ઇન્ટિગ્રલ આ ફંક્શનને આર્બિટરી કોન્સ્ટન્ટમાં ઉમેરવામાં આવે છે, એટલે કે.

3. અચળ અવયવને અનિશ્ચિત પૂર્ણાંકના ચિહ્નમાંથી બહાર લઈ શકાય છે:

af(x)dx = a f(x)dx

4. વિધેયોના બીજગણિતીય સરવાળાનું અનિશ્ચિત અવિભાજ્ય દરેક કાર્યના અનિશ્ચિત પૂર્ણાંકોના બીજગણિતીય સરવાળા જેટલું છે:

(f 1 (x) ±f 2 (x))dx = f 1 (x)dx ± f 2 (x)dx.

મૂળભૂત એકીકરણ સૂત્રો

(ટેબ્યુલર ઇન્ટિગ્રલ).

6.

ઉદાહરણ 1.શોધો

ઉકેલ. ચાલો બદલીએ 2 - 3x 2 = t પછી -6xdx =dt, xdx = -(1/6)dt. આગળ, અમે મેળવીએ છીએ

ઉદાહરણ 3.શોધો

ઉકેલ. ચાલો 10x = t મૂકીએ; પછી 10dx = dt, જ્યાંથી dx=(1/10)dt.

3.

તેથી, sinl0xdx શોધતી વખતે, તમે sinkxdx = - (1/k) cos kx+C સૂત્રનો ઉપયોગ કરી શકો છો, જ્યાં k=10.

પછી sinl0xdx = -(1/10) сos10х+С.

સ્વ-પરીક્ષણ પ્રશ્નો અને કસરતો

1. કઈ ક્રિયાને એકીકરણ કહેવામાં આવે છે?

2. ફંક્શન f(x) માટે કયા ફંક્શનને એન્ટિડેરિવેટિવ કહેવામાં આવે છે?

3. એક અનિશ્ચિત અભિન્ન વ્યાખ્યાયિત કરો.

4. અનિશ્ચિત ઇન્ટિગ્રલના મુખ્ય ગુણધર્મોની સૂચિ બનાવો.

5. તમે એકીકરણ કેવી રીતે ચકાસી શકો છો?

6. મૂળભૂત સંકલન સૂત્રો (ટેબ્યુલર ઇન્ટિગ્રલ્સ) લખો.

7. પૂર્ણાંકો શોધો: a) b) c)

જ્યાં a એ નીચલી મર્યાદા છે, b એ ઉપલી મર્યાદા છે, F (x) ફંક્શન f (x) ની કેટલીક એન્ટિડેરિવેટિવ છે.

આ સૂત્રમાંથી કોઈ ચોક્કસ અવિભાજ્યની ગણતરી કરવાની પ્રક્રિયા જોઈ શકે છે: 1) આપેલ કાર્યના એન્ટિડેરિવેટિવ્સ F (x)માંથી એક શોધો; 2) x = a અને x = b માટે F (x) ની કિંમત શોધો; 3) F (b) - F (a) તફાવતની ગણતરી કરો.

ઉદાહરણ 1.ઇન્ટિગ્રલની ગણતરી કરો

ઉકેલ. ચાલો અપૂર્ણાંક અને નકારાત્મક ઘાતાંક સાથે ઘાતની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીએ અને ચોક્કસ પૂર્ણાંકની ગણતરી કરીએ:

2. એકીકરણ સેગમેન્ટને ભાગોમાં વિભાજિત કરી શકાય છે:

3. અવિભાજ્ય ચિહ્નમાંથી સ્થિર પરિબળ લઈ શકાય છે:

4. વિધેયોના સરવાળાનો અવિભાજ્ય એ તમામ પદોના પૂર્ણાંકોના સરવાળા સમાન છે:

2) ચાલો ચલ t માટે એકીકરણની મર્યાદા નક્કી કરીએ. x=1 માટે આપણને tn =1 3 +2=3 મળે છે, x=2 માટે આપણને tb =2 3 +2=10 મળે છે.

ઉદાહરણ 3.ઇન્ટિગ્રલની ગણતરી કરો

ઉકેલ. 1) કોસ x=t મૂકો; પછી – sinxdx = dt અને

sinxdx = -તા. 2) ચાલો ચલ t: t n =cos0=1:t માં =cos (π/2)=0 માટે એકીકરણની મર્યાદા નક્કી કરીએ.

3) t અને dt ના સંદર્ભમાં સંકલન વ્યક્ત કરીને અને નવી મર્યાદાઓ તરફ આગળ વધવું, અમે પ્રાપ્ત કરીએ છીએ

ચાલો દરેક અવિભાજ્યની અલગથી ગણતરી કરીએ:

ઉદાહરણ 5.પેરાબોલા y = x 2, સીધી રેખાઓ x = - 1, x = 2 અને એબ્સીસા અક્ષ (ફિગ. 47) દ્વારા બંધાયેલ આકૃતિના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરો.

ઉકેલ. ફોર્મ્યુલા (1) લાગુ કરીને, આપણે મેળવીએ છીએ

તે S=3 ચો. એકમો

આકૃતિનું ક્ષેત્રફળ ABCD (આકૃતિ 48), આલેખ દ્વારા મર્યાદિત સતત કાર્યો y =f 1 (x) અને y f 2 = (x), જ્યાં x Є[a, b], રેખાખંડ x = a અને x = b, સૂત્ર દ્વારા ગણવામાં આવે છે

		વક્રીય ટ્રેપેઝોઇડ aAB ના ઓય અક્ષની આસપાસ પરિભ્રમણ દ્વારા રચાયેલ શરીરનું પ્રમાણ, સતત વળાંક x=f(y), જ્યાં Є [a, b], ઓય અક્ષનો સેગમેન્ટ [a, b], રેખા સેગમેન્ટ્સ y = a અને y = b ( ફિગ. 53), સૂત્ર દ્વારા ગણતરી એક બિંદુ દ્વારા લેવાયેલ માર્ગ. જો કોઈ બિંદુ સીધીરેખીય રીતે આગળ વધે છે અને તેની ઝડપ v=f(t) એ સમય t નું જાણીતું કાર્ય છે, તો સમયના સમયગાળામાં બિંદુ દ્વારા પ્રવાસ કરેલ પાથની ગણતરી સૂત્ર દ્વારા કરવામાં આવે છે. સ્વ-પરીક્ષણ પ્રશ્નો 1. ચોક્કસ અવિભાજ્યની વ્યાખ્યા આપો. 2. ચોક્કસ ઇન્ટિગ્રલના મુખ્ય ગુણધર્મોની યાદી બનાવો. 3. ચોક્કસ અવિભાજ્યનો ભૌમિતિક અર્થ શું છે? 4. ચોક્કસ ઇન્ટિગ્રલનો ઉપયોગ કરીને પ્લેન ફિગરનું ક્ષેત્રફળ નક્કી કરવા માટે સૂત્રો લખો. 5. પરિભ્રમણના શરીરનું પ્રમાણ શોધવા માટે કયા સૂત્રોનો ઉપયોગ થાય છે? 6. શરીર દ્વારા મુસાફરી કરેલ અંતરની ગણતરી કરવા માટે એક સૂત્ર લખો. 7. ચલ બળ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્યની ગણતરી કરવા માટે એક સૂત્ર લખો. 8. પ્લેટ પર પ્રવાહી દબાણના બળની ગણતરી કરવા માટે કયા સૂત્રનો ઉપયોગ થાય છે?

ઇન્ટિગ્રલ એ વિભેદક કલનનો એક મહત્વપૂર્ણ ભાગ છે. ઇન્ટિગ્રલ્સ ડબલ, ટ્રિપલ, વગેરે હોઈ શકે છે. સપાટી વિસ્તાર અને વોલ્યુમ શોધવા માટે ભૌમિતિક સંસ્થાઓઉપયોગ કરવામાં આવે છે વિવિધ પ્રકારોઅભિન્ન

અનિશ્ચિત પૂર્ણાંકનું સ્વરૂપ છે: \(∫f (x)\, dx\) અને ચોક્કસ પૂર્ણાંકનું સ્વરૂપ છે: \(\int_a^b \! f (x)\, dx\)

ચોક્કસ ઇન્ટિગ્રલના ગ્રાફ દ્વારા મર્યાદિત પ્લેનનો પ્રદેશ:

સંકલન કામગીરી એ ભિન્નતાની વ્યસ્તતા છે. આ કારણોસર, આપણે એન્ટિડેરિવેટિવ, કાર્ય, ડેરિવેટિવ્ઝનું કોષ્ટક યાદ રાખવાની જરૂર છે.

ફંક્શન \(F (x) = x^2\) ફંક્શન \(f (x) = 2x\) નું એન્ટિડેરિવેટિવ છે. ફંક્શન્સ \(f (x) = x^2+2\) અને \(f (x) = x^2+7\) પણ કાર્ય \(f (x) = 2x\) માટે એન્ટિડેરિવેટિવ્સ છે. \(2\) અને \(7-\) એવા સ્થિરાંકો છે જેમના ડેરિવેટિવ્ઝ શૂન્યના બરાબર છે, તેથી અમે તેમને ગમે તેટલું બદલી શકીએ છીએ, એન્ટિડેરિવેટિવની કિંમત બદલાશે નહીં. અનિશ્ચિત અભિન્ન લખવા માટે, \(∫\) ચિહ્નનો ઉપયોગ કરો. અનિશ્ચિત અભિન્નકાર્ય \(f (x) = 2x\) ના તમામ એન્ટિડેરિવેટિવ્સનો સમૂહ છે. એકીકરણ કામગીરી એ ભિન્નતાની વ્યસ્તતા છે. \(∫2x = x^2+C\) , જ્યાં \(C\) એ એકીકરણનો સ્થિરાંક છે, એટલે કે, જો આપણે વ્યુત્પન્ન \(x^2\) ની ગણતરી કરીએ, તો આપણને \(2x\) મળે છે, અને આ \ (∫2x\) છે. સરળ, તે નથી? જો તમે સમજી શકતા નથી, તો તમારે ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન પુનરાવર્તન કરવાની જરૂર છે. હવે આપણે સૂત્ર મેળવી શકીએ છીએ જેના દ્વારા આપણે અવિભાજ્યની ગણતરી કરીશું: \(∫u^ndu=\frac(u^n+1) (n+1), n ​​≠ -1\). આપણે 1 બાદ કર્યો, હવે આપણે 1 ઉમેરીએ છીએ, n 0 ની બરાબર હોઈ શકતું નથી. અન્ય મૂળભૂત કાર્યો માટે અન્ય એકીકરણ નિયમો પણ છે જે શીખવાની જરૂર છે:

અનિશ્ચિત ઇન્ટિગ્રલને ઉકેલવું એ એન્ટિડેરિવેટિવ્ઝ શોધવાની વ્યસ્ત પ્રક્રિયા છે વિભેદક સમીકરણ. અમે એક કાર્ય શોધીએ છીએ જેનું વ્યુત્પન્ન એક અભિન્ન છે, અને અંતે "+ C" ઉમેરવાનું ભૂલશો નહીં.

17મી સદીના અંતમાં આઇઝેક ન્યૂટન અને ગોટફ્રાઇડ લીબનીઝ દ્વારા ઇન્ટિગ્રલ કેલ્ક્યુલસના સિદ્ધાંતો સ્વતંત્ર રીતે ઘડવામાં આવ્યા હતા. બર્નાર્ડ રીમેને પૂર્ણાંકોની કડક ગાણિતિક વ્યાખ્યા આપી હતી. પૂર્ણાંકો નક્કી કરવામાં સક્ષમ સૌપ્રથમ દસ્તાવેજીકૃત પદ્ધતિસરની પદ્ધતિ એ પ્રાચીન ગ્રીક ખગોળશાસ્ત્રી યુડોક્સસની કેલ્ક્યુલસ પદ્ધતિ છે, જેમણે વિસ્તારો અને વોલ્યુમોને અસંખ્ય જાણીતા વિસ્તારો અને વોલ્યુમોમાં વિભાજીત કરીને શોધવાનો પ્રયાસ કર્યો હતો. આ પદ્ધતિનો વધુ વિકાસ અને ઉપયોગ આર્કિમિડીઝ દ્વારા 3જી સદી બીસીમાં કરવામાં આવ્યો હતો. ઇ. અને તેનો ઉપયોગ પેરાબોલાસના વિસ્તારોની ગણતરી કરવા અને વર્તુળના વિસ્તારની અંદાજિત કરવા માટે થતો હતો.

લિયુ હુઇ દ્વારા 3જી સદીની આસપાસ ચીનમાં સ્વતંત્ર રીતે સમાન પદ્ધતિ વિકસાવવામાં આવી હતી, જેમણે તેનો ઉપયોગ વર્તુળનો વિસ્તાર શોધવા માટે કર્યો હતો. આ પદ્ધતિનો ઉપયોગ પાછળથી 5મી સદીમાં ચાઈનીઝ પિતા-પુત્ર ગણિતશાસ્ત્રીઓ ZU Chongzhi અને ZU Geng દ્વારા ગોળાની માત્રા શોધવા માટે કરવામાં આવ્યો હતો.

ઇન્ટિગ્રલ કેલ્ક્યુલસમાં આગળની નોંધપાત્ર પ્રગતિ 17મી સદી સુધી દેખાઈ ન હતી. આ સમય દરમિયાન, કેવેલેરી અને ફર્મેટનું કાર્ય આધુનિક કલનનો પાયો નાખવાનું શરૂ થયું.

ખાસ કરીને, ઇન્ટિગ્રલ કેલ્ક્યુલસનું મૂળભૂત પ્રમેય આપણને વધુ વ્યાપક વર્ગની સમસ્યાઓ હલ કરવા દે છે. ન્યૂટન અને લીબનીઝે વિકસાવેલ જટિલ ગાણિતિક માળખું પણ એટલું જ મહત્વનું છે. અવિભાજ્યનું આ માળખું લીબનીઝના કાર્યમાંથી સીધું લેવામાં આવ્યું છે અને તે આધુનિક અવિભાજ્ય કેલ્ક્યુલસ બની ગયું છે. ત્યારબાદ, વધુ સામાન્ય કાર્યોને ધ્યાનમાં લેવામાં આવ્યા, ખાસ કરીને ફ્યુરિયર વિશ્લેષણના સંદર્ભમાં, જેના પર રીમેનની વ્યાખ્યા લાગુ પડતી નથી. લેબેસ્ગ્યુએ માપ સિદ્ધાંત (વાસ્તવિક વિશ્લેષણનું પેટાક્ષેત્ર) પર આધારિત અભિન્નતાની બીજી વ્યાખ્યા ઘડી.

1675માં ગોટફ્રાઈડ લીબનિઝ દ્વારા અનિશ્ચિત અવિભાજ્ય માટેનું આધુનિક સંકેત રજૂ કરવામાં આવ્યું હતું.

ગણિતના ઘણા ક્ષેત્રોમાં ઇન્ટિગ્રલ્સનો વ્યાપકપણે ઉપયોગ થાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, સંભાવના સિદ્ધાંતમાં, ચોક્કસ શ્રેણીમાં આવતા કેટલાક રેન્ડમ ચલની સંભાવના નક્કી કરવા માટે ઇન્ટિગ્રલ્સનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે.

ઇન્ટિગ્રલ્સનો ઉપયોગ વક્ર સીમા ધરાવતા દ્વિ-પરિમાણીય પ્રદેશના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરવા તેમજ વક્ર સીમા ધરાવતા ત્રિ-પરિમાણીય પદાર્થના જથ્થાની ગણતરી કરવા માટે કરી શકાય છે.

ઇન્ટિગ્રલ્સનો ઉપયોગ ભૌતિકશાસ્ત્રમાં, ગતિશાસ્ત્ર જેવા ક્ષેત્રોમાં, વિસ્થાપન, સમય અને વેગ શોધવા માટે થાય છે.

એન્ટિડેરિવેટિવ ફંક્શન અને અનિશ્ચિત અભિન્ન

હકીકત 1. એકીકરણ એ ભિન્નતાની વ્યસ્ત ક્રિયા છે, એટલે કે, આ ફંક્શનના જાણીતા ડેરિવેટિવમાંથી ફંક્શનને પુનઃસ્થાપિત કરવું. કાર્ય આમ પુનઃસ્થાપિત એફ(x) કહેવાય છે એન્ટિડેરિવેટિવકાર્ય માટે f(x).

વ્યાખ્યા 1. કાર્ય એફ(x f(x) અમુક અંતરાલ પર એક્સ, જો તમામ મૂલ્યો માટે xઆ અંતરાલથી સમાનતા જળવાઈ રહે છે એફ "(x)=f(x), એટલે કે આ કાર્ય f(x) એ એન્ટિડેરિવેટિવ ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન છે એફ(x). .

ઉદાહરણ તરીકે, કાર્ય એફ(x) = પાપ x ફંક્શનનું એન્ટિડેરિવેટિવ છે f(x) = cos x x ની કોઈપણ કિંમત માટે (પાપ x)" = (cos x) .

વ્યાખ્યા 2. કાર્યનું અનિશ્ચિત અભિન્ન અંગ f(x) એ તેના તમામ એન્ટિડેરિવેટિવ્ઝનો સમૂહ છે. આ કિસ્સામાં, નોટેશનનો ઉપયોગ થાય છે

∫

f(x)ડીએક્સ

નિશાની ક્યાં છે ∫ અભિન્ન ચિહ્ન કહેવાય છે, કાર્ય f(x) - એકીકૃત કાર્ય, અને f(x)ડીએક્સ - એકીકૃત અભિવ્યક્તિ.

આમ, જો એફ(x) - માટે કેટલાક એન્ટિડેરિવેટિવ f(x), તે

∫

f(x)ડીએક્સ = એફ(x) +સી

જ્યાં સી - મનસ્વી સતત (સતત).

અનિશ્ચિત અભિન્ન તરીકે કાર્યના એન્ટિડેરિવેટિવ્સના સમૂહનો અર્થ સમજવા માટે, નીચેની સામ્યતા યોગ્ય છે. ત્યાં એક દરવાજો રહેવા દો (પરંપરાગત લાકડાનો દરવાજો). તેનું કાર્ય "દરવાજા બનવાનું" છે. દરવાજો શેનો બનેલો છે? લાકડાની બનેલી. આનો અર્થ એ છે કે ફંક્શનના ઇન્ટિગ્રેન્ડના એન્ટિડેરિવેટિવ્સનો સમૂહ “દરવાજો છે”, એટલે કે, તેનો અનિશ્ચિત અભિન્ન, ફંક્શન “ટુ બી એ ટ્રી + સી” છે, જ્યાં સી એ સ્થિર છે, જે આ સંદર્ભમાં કરી શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે, વૃક્ષનો પ્રકાર સૂચવો. જેમ અમુક સાધનોનો ઉપયોગ કરીને દરવાજા લાકડામાંથી બનાવવામાં આવે છે, તેમ ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન એન્ટિડેરિવેટિવ ફંક્શનનો ઉપયોગ કરીને "બનાવ્યું" છે. ડેરિવેટિવનો અભ્યાસ કરતી વખતે આપણે જે સૂત્રો શીખ્યા .

પછી સામાન્ય વસ્તુઓ અને તેના અનુરૂપ એન્ટિડેરિવેટિવ્ઝના કાર્યોનું કોષ્ટક ("દરવાજા હોવું" - "વૃક્ષ હોવું", "ચમચી હોવું" - "ધાતુ હોવું", વગેરે) મૂળભૂત કોષ્ટક જેવું જ છે. અનિશ્ચિત પૂર્ણાંકો, જે નીચે આપવામાં આવશે. અનિશ્ચિત ઇન્ટિગ્રલ્સનું કોષ્ટક એન્ટિડેરિવેટિવ્ઝના સંકેત સાથે સામાન્ય કાર્યોની સૂચિ આપે છે જેમાંથી આ કાર્યો "બનાવેલા" છે. અનિશ્ચિત અવિભાજ્ય શોધવાની સમસ્યાઓના ભાગરૂપે, પૂર્ણાંકો આપવામાં આવે છે જે ખૂબ પ્રયત્નો વિના સીધા જ સંકલિત કરી શકાય છે, એટલે કે, અનિશ્ચિત પૂર્ણાંકોના કોષ્ટકનો ઉપયોગ કરીને. વધુ જટિલ સમસ્યાઓમાં, ઇન્ટિગ્રેંડને પહેલા રૂપાંતરિત કરવું આવશ્યક છે જેથી કરીને ટેબલ ઇન્ટિગ્રલનો ઉપયોગ કરી શકાય.

હકીકત 2. એન્ટિડેરિવેટિવ તરીકે કાર્યને પુનઃસ્થાપિત કરતી વખતે, આપણે મનસ્વી સ્થિરાંક (સતત) ધ્યાનમાં લેવું જોઈએ. સી, અને 1 થી અનંત સુધીના વિવિધ સ્થિરાંકો સાથે એન્ટિડેરિવેટિવ્સની સૂચિ ન લખવા માટે, તમારે મનસ્વી સ્થિરાંક સાથે એન્ટિડેરિવેટિવ્સનો સમૂહ લખવાની જરૂર છે સી, ઉદાહરણ તરીકે, આની જેમ: 5 x³+C. તેથી, એન્ટિડેરિવેટિવની અભિવ્યક્તિમાં મનસ્વી સ્થિરાંક (સતત) શામેલ છે, કારણ કે એન્ટિડેરિવેટિવ એક કાર્ય હોઈ શકે છે, ઉદાહરણ તરીકે, 5 x³+4 અથવા 5 x³+3 અને જ્યારે તફાવત કરવામાં આવે છે, 4 અથવા 3, અથવા અન્ય કોઈપણ સ્થિરાંક શૂન્ય પર જાય છે.

ચાલો એકીકરણ સમસ્યા રજૂ કરીએ: આ કાર્ય માટે f(x) આવા કાર્ય શોધો એફ(x), જેનું વ્યુત્પન્નની સમાન f(x).

ઉદાહરણ 1.ફંક્શનના એન્ટિડેરિવેટિવ્સનો સમૂહ શોધો

ઉકેલ. આ કાર્ય માટે, એન્ટિડેરિવેટિવ એ કાર્ય છે

કાર્ય એફ(x) ને કાર્ય માટે એન્ટિડેરિવેટિવ કહેવામાં આવે છે f(x), જો વ્યુત્પન્ન એફ(x) બરાબર છે f(x), અથવા, જે સમાન વસ્તુ છે, વિભેદક એફ(x) સમાન છે f(x) ડીએક્સ, એટલે કે

(2)

તેથી, ફંક્શન એ ફંક્શનનું એન્ટિડેરિવેટિવ છે. જો કે, તે માટે એકમાત્ર એન્ટિડેરિવેટિવ નથી. તેઓ કાર્યો તરીકે પણ સેવા આપે છે

જ્યાં સાથે- મનસ્વી સ્થિરાંક. આ તફાવત દ્વારા ચકાસી શકાય છે.

આમ, જો કોઈ ફંક્શન માટે એક એન્ટિડેરિવેટિવ હોય, તો તેના માટે અસંખ્ય એન્ટિડેરિવેટિવ્સ હોય છે જે સતત શબ્દ દ્વારા અલગ પડે છે. ફંક્શન માટેના તમામ એન્ટિડેરિવેટિવ્સ ઉપરના સ્વરૂપમાં લખેલા છે. આ નીચેના પ્રમેયમાંથી અનુસરે છે.

પ્રમેય (હકીકત 2 નું ઔપચારિક નિવેદન).જો એફ(x) - કાર્ય માટે એન્ટિડેરિવેટિવ f(x) અમુક અંતરાલ પર એક્સ, પછી માટે અન્ય કોઈપણ એન્ટિડેરિવેટિવ f(x) સમાન અંતરાલ પર ફોર્મમાં રજૂ કરી શકાય છે એફ(x) + સી, ક્યાં સાથે- મનસ્વી સ્થિરાંક.

આગલા ઉદાહરણમાં, અમે ઇન્ટિગ્રલના કોષ્ટક તરફ વળીએ છીએ, જે અનિશ્ચિત પૂર્ણાંકના ગુણધર્મો પછી ફકરા 3 માં આપવામાં આવશે. અમે આ સમગ્ર કોષ્ટક વાંચતા પહેલા કરીએ છીએ જેથી ઉપરનો સાર સ્પષ્ટ થાય. અને કોષ્ટક અને ગુણધર્મો પછી, અમે એકીકરણ દરમિયાન તેનો સંપૂર્ણ ઉપયોગ કરીશું.

ઉદાહરણ 2.એન્ટિડેરિવેટિવ કાર્યોના સેટ શોધો:

ઉકેલ. અમને એન્ટિડેરિવેટિવ ફંક્શન્સના સેટ મળે છે જેમાંથી આ ફંક્શન્સ "બનાવેલા" છે. પૂર્ણાંકોના કોષ્ટકમાંથી સૂત્રોનો ઉલ્લેખ કરતી વખતે, હમણાં માટે ફક્ત સ્વીકારો કે ત્યાં આવા સૂત્રો છે, અને આપણે અનિશ્ચિત પૂર્ણાંકોના કોષ્ટકનો થોડો આગળ અભ્યાસ કરીશું.

1) માટેના પૂર્ણાંકોના કોષ્ટકમાંથી સૂત્ર (7) લાગુ કરવું n= 3, આપણને મળે છે

2) માટેના પૂર્ણાંકોના કોષ્ટકમાંથી સૂત્ર (10) નો ઉપયોગ કરીને n= 1/3, અમારી પાસે છે

3) ત્યારથી

પછી સૂત્ર (7) સાથે n= -1/4 આપણે શોધીએ છીએ

તે પોતે જ કાર્ય નથી જે અભિન્ન ચિહ્ન હેઠળ લખાયેલું છે. f, અને વિભેદક દ્વારા તેનું ઉત્પાદન ડીએક્સ. આ મુખ્યત્વે એ દર્શાવવા માટે કરવામાં આવે છે કે એન્ટિડેરિવેટિવ કયા ચલ દ્વારા માંગવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે,

, ;

અહીં બંને કિસ્સાઓમાં ઇન્ટિગ્રેંડ બરાબર છે, પરંતુ માનવામાં આવતા કેસોમાં તેના અનિશ્ચિત પૂર્ણાંકો અલગ અલગ હોવાનું બહાર આવ્યું છે. પ્રથમ કિસ્સામાં, આ કાર્યને ચલના કાર્ય તરીકે ગણવામાં આવે છે x, અને બીજામાં - ના કાર્ય તરીકે z .

ફંક્શનના અનિશ્ચિત ઇન્ટિગ્રલ શોધવાની પ્રક્રિયાને તે ફંક્શનનું એકીકરણ કહેવામાં આવે છે.

અનિશ્ચિત અભિન્નનો ભૌમિતિક અર્થ

ધારો કે આપણે વળાંક શોધવાની જરૂર છે y=F(x)અને આપણે પહેલાથી જ જાણીએ છીએ કે દરેક બિંદુ પર સ્પર્શકના ઝોકના કોણની સ્પર્શક છે આપેલ કાર્ય f(x)આ બિંદુની અવગણના.

અનુસાર ભૌમિતિક અર્થમાંવ્યુત્પન્ન, વળાંક પર આપેલ બિંદુ પર સ્પર્શકોણની સ્પર્શક y=F(x)વ્યુત્પન્નના મૂલ્યની સમાન F"(x). તેથી આપણે આવા કાર્ય શોધવાની જરૂર છે F(x), જેના માટે F"(x)=f(x). કાર્યમાં જરૂરી કાર્ય F(x)નું એન્ટિડેરિવેટિવ છે f(x). સમસ્યાની પરિસ્થિતિઓ એક વળાંક દ્વારા નહીં, પરંતુ વળાંકોના કુટુંબ દ્વારા સંતુષ્ટ થાય છે. y=F(x)- આમાંથી એક વળાંક, અને અન્ય કોઈપણ વળાંક તેમાંથી મેળવી શકાય છે સમાંતર ટ્રાન્સફરધરી સાથે ઓય.

ના એન્ટિડેરિવેટિવ ફંક્શનના ગ્રાફને કૉલ કરીએ f(x)અભિન્ન વળાંક. જો F"(x)=f(x), પછી ફંક્શનનો ગ્રાફ y=F(x)એક અભિન્ન વળાંક છે.

હકીકત 3. અનિશ્ચિત પૂર્ણાંક ભૌમિતિક રીતે તમામ અભિન્ન વણાંકોના પરિવાર દ્વારા રજૂ થાય છે , નીચે ચિત્રમાં તરીકે. કોઓર્ડિનેટ્સની ઉત્પત્તિથી દરેક વળાંકનું અંતર મનસ્વી એકીકરણ સ્થિરાંક દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે સી.

અનિશ્ચિત અભિન્નના ગુણધર્મો

હકીકત 4. પ્રમેય 1. અનિશ્ચિત અવિભાજ્યનું વ્યુત્પન્ન એ પૂર્ણાંક સમાન છે, અને તેનો વિભેદક પૂર્ણાંક સમાન છે.

હકીકત 5. પ્રમેય 2. ફંક્શનના વિભેદકનું અનિશ્ચિત અભિન્ન અંગ f(x) ફંક્શન સમાન છે f(x) સતત મુદત સુધી , એટલે કે

(3)

પ્રમેય 1 અને 2 દર્શાવે છે કે ભિન્નતા અને એકીકરણ પરસ્પર વિપરિત કામગીરી છે.

હકીકત 6. પ્રમેય 3. ઇન્ટિગ્રેન્ડમાં સ્થિર અવયવને અનિશ્ચિત પૂર્ણાંકના ચિહ્નમાંથી બહાર લઈ શકાય છે , એટલે કે

એક કાર્ય કે જે તેના વ્યુત્પન્ન અથવા વિભેદકમાંથી પુનઃસ્થાપિત કરી શકાય છે તેને કહેવામાં આવે છે એન્ટિડેરિવેટિવ.

વ્યાખ્યા.કાર્ય F(x)કહેવાય છે એન્ટિડેરિવેટિવકાર્ય માટે

f(x)અમુક અંતરાલ પર, જો આ અંતરાલના દરેક બિંદુએ

F"(x) = f(x)

અથવા, જે પણ છે,

dF(x) = f(x)dx

ઉદાહરણ તરીકે, F(x) = sin xમાટે એન્ટીડેરિવેટિવ છે f(x) = cos xસમગ્ર નંબર લાઇન પર ઓએક્સ, કારણ કે

(sin x)" = cos x

જો કાર્ય એફ(x) કાર્ય માટે એન્ટિડેરિવેટિવ છે f(x) પર [ a; b], પછી કાર્ય એફ(x) + સી, ક્યાં સીકોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા માટે પણ એન્ટિડેરિવેટિવ છે f(x) કોઈપણ કિંમતે સી. ખરેખર ( એફ(x) + સી)" = એફ"(x) + સી" = f(x).

ઉદાહરણ.

વ્યાખ્યા.જો F(x)કાર્ય માટે એન્ટિડેરિવેટિવ્સમાંનું એક f(x)પર [ a; b], પછી અભિવ્યક્તિ F(x) + C, ક્યાં સીમનસ્વી સતત કહેવાય છે અનિશ્ચિત અભિન્નકાર્યમાંથી f(x)અને ʃ ચિહ્ન દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે f(x)ડીએક્સ(વાંચો: ના અનિશ્ચિત અભિન્ન f(x)ચાલુ ડીએક્સ). તેથી,

ʃ f (x ) dx = F (x ) +C ,

જ્યાં f(x)ઇન્ટિગ્રેન્ડ ફંક્શન કહેવાય છે, f(x)dx- એકીકૃત અભિવ્યક્તિ, xસંકલનનું ચલ છે, અને પ્રતીક ʃ એ અનિશ્ચિત પૂર્ણાંકનું ચિહ્ન છે.

અનિશ્ચિત અવિભાજ્યના ગુણધર્મો અને તેના ભૌમિતિક ગુણધર્મો.

અનિશ્ચિત અભિન્નતાની વ્યાખ્યામાંથી તે નીચે મુજબ છે:

1. અનિશ્ચિત અવિભાજ્યનું વ્યુત્પન્ન એ પૂર્ણાંક સમાન છે:

ખરેખર, F"(x) = f(x) અને ʃ f(x)dx = F(x)+C. પછી

2. અનિશ્ચિત પૂર્ણાંકનો વિભેદક પૂર્ણાંક સમાન છે

ખરેખર,

3. વ્યુત્પન્નનું અનિશ્ચિત અવિભાજ્ય એ ફંક્શન પોતે વત્તા એક મનસ્વી સ્થિરાંક સમાન છે:

ખરેખર, F"(x) = f(x). પછી,

4. વિભેદકનું અનિશ્ચિત સંકલન એ વિભેદક કાર્ય વત્તા એક મનસ્વી સ્થિરાંક સમાન છે:

ખરેખર, . પછી,

5. સતત ગુણક k(k≠ 0) અનિશ્ચિત અભિન્ન ચિહ્ન તરીકે બહાર લઈ શકાય છે:

6. ફંક્શનની મર્યાદિત સંખ્યાના બીજગણિતીય સરવાળાનો અનિશ્ચિત પૂર્ણાંક આ વિધેયોના પૂર્ણાંકોના બીજગણિતીય સરવાળો સમાન છે:

ચાલો ગ્રાફને એન્ટિડેરિવેટિવ કહીએ અભિન્ન વળાંકનો F(x). કોઈપણ અન્ય એન્ટિડેરિવેટિવનો ગ્રાફ F(x) + Cઅભિન્ન વળાંકના સમાંતર સ્થાનાંતરણ દ્વારા પ્રાપ્ત F(x)ધરી સાથે ઓ.વાય.

ઉદાહરણ.

મૂળભૂત પૂર્ણાંકોનું કોષ્ટક

મૂળભૂત એકીકરણ તકનીકો

1. ડાયરેક્ટ (ટેબ્યુલર) એકીકરણ.

ડાયરેક્ટ (ટેબ્યુલર) એકીકરણ એ પ્રાથમિક ગણિતના મૂળભૂત ગુણધર્મો અને સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને ટેબ્યુલર સ્વરૂપના અવિભાજ્યમાં ઘટાડો છે.

ઉદાહરણ 1.

ઉકેલ:

ઉદાહરણ2 .

ઉકેલ:

ઉદાહરણ3 .

ઉકેલ:

2. વિભેદક હેઠળ લાવવાની પદ્ધતિ.

ઉદાહરણ 1.

ઉકેલ:

ઉદાહરણ2 .

ઉકેલ:

ઉદાહરણ3 .

ઉકેલ:

ઉદાહરણ4 .

ઉકેલ:

ઉદાહરણ5 .

ઉકેલ:

ઉદાહરણ6 .

ઉકેલ:

ઉદાહરણ7 .

ઉકેલ:

ઉદાહરણ8 .

ઉકેલ:

ઉદાહરણ9 .

ઉકેલ:

ઉદાહરણ10 .

ઉકેલ:

3. વિભેદકને કનેક્ટ કરવાની બીજી પદ્ધતિ.

ઉદાહરણ 1.

ઉકેલ:

ઉદાહરણ2 .

ઉકેલ:

4. વેરિયેબલ રિપ્લેસમેન્ટ (અવેજી) પદ્ધતિ.

ઉદાહરણ.

ઉકેલ:

5. ભાગો દ્વારા એકીકરણની પદ્ધતિ.

આ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને, નીચેના પ્રકારના ઇન્ટિગ્રલ લેવામાં આવે છે:

1 પ્રકાર

, ફોર્મ્યુલા લાગુ પડે છે n- એકવાર, બાકીનું ડીવી.

2 પ્રકાર

, સૂત્ર એકવાર લાગુ કરવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ1 .

ઉકેલ:

ઉદાહરણ 2.

ઉકેલ:

ઉદાહરણ3 .

ઉકેલ:

ઉદાહરણ4 .

ઉકેલ:

તર્કસંગત અપૂર્ણાંકોનું એકીકરણ.

તર્કસંગત અપૂર્ણાંક એ બે બહુપદીનો ગુણોત્તર છે - ડિગ્રી m અને - ડિગ્રી n,

નીચેના કિસ્સાઓ શક્ય છે:

1. જો, તો સમગ્ર ભાગને દૂર કરવા માટે કોણ વિભાજન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરો.

2. જો છેદમાં પણ ચોરસ ત્રિનોમી હોય, તો સંપૂર્ણ ચોરસ ઉમેરવાની પદ્ધતિનો ઉપયોગ થાય છે.

ઉદાહરણ 1.

ઉકેલ:

ઉદાહરણ2 .

ઉકેલ:

3. યોગ્ય તર્કસંગત અપૂર્ણાંકને સરળ અપૂર્ણાંકના સરવાળામાં વિઘટન કરતી વખતે અનિશ્ચિત ગુણાંકની પદ્ધતિ.

કોઈપણ યોગ્ય તર્કસંગત અપૂર્ણાંક, જ્યાં, સરળ અપૂર્ણાંકોના સરવાળા તરીકે રજૂ કરી શકાય છે:

જ્યાં A, B, C, D, E, F, M, N,…‒ અનિશ્ચિત ગુણાંક.

અનિશ્ચિત ગુણાંક શોધવા માટે, જમણી બાજુ એક સામાન્ય છેદ સુધી ઘટાડવી આવશ્યક છે. છેદ જમણી બાજુના અપૂર્ણાંકના છેદ સાથે એકરુપ હોવાથી, તે કાઢી શકાય છે અને અંશ સમાન કરી શકાય છે. પછી, સમાન ડિગ્રી પર ગુણાંકને સમકક્ષ x ડાબી અને જમણી બાજુએ, આપણે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ મેળવીએ છીએ n- અજ્ઞાત. આ સિસ્ટમને હલ કર્યા પછી, અમને જરૂરી ગુણાંક મળે છે એ, બી, સી, ડીઅને તેથી વધુ. અને તેથી, અમે યોગ્ય તર્કસંગત અપૂર્ણાંકને સરળ અપૂર્ણાંકમાં વિઘટિત કરીશું.

ચાલો ઉદાહરણોનો ઉપયોગ કરીને સંભવિત વિકલ્પો જોઈએ:

1. જો છેદ પરિબળો રેખીય અને અલગ હોય તો:

2. જો છેદ પરિબળોમાં ટૂંકા પરિબળો હોય તો:

3. જો છેદના અવયવોમાં એક ચોરસ ત્રિપદી હોય જે અવયવિત કરી શકાતી નથી:

ઉદાહરણો:તર્કસંગત અપૂર્ણાંકને સૌથી સરળના સરવાળામાં વિઘટિત કરો. એકીકૃત.

ઉદાહરણ 1.

અપૂર્ણાંકના છેદ સમાન હોવાથી, અંશ પણ સમાન હોવા જોઈએ, એટલે કે.

ઉદાહરણ 2.

ઉદાહરણ3 .