એક ચરમસીમાની આવશ્યક અને પર્યાપ્ત નિશાની. કાર્યની ચરમસીમા. એક ચરમસીમાની આવશ્યક નિશાની. પ્રથમ અને બીજા ડેરિવેટિવ્ઝનો ઉપયોગ કરીને એક્સ્ટ્રીમમની પર્યાપ્ત નિશાની. કાર્યને વધારવા અને ઘટાડવા માટે પૂરતી શરતો

કાર્યની વર્તણૂક વિશે ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ માહિતી વધતા અને ઘટતા અંતરાલો દ્વારા પ્રદાન કરવામાં આવે છે. તેમને શોધવું એ કાર્યની તપાસ કરવાની અને આલેખ બનાવવાની પ્રક્રિયાનો એક ભાગ છે. વધુમાં, ચોક્કસ અંતરાલ પર ફંક્શનના સૌથી મોટા અને નાનામાં નાના મૂલ્યો શોધતી વખતે આત્યંતિક બિંદુઓ કે જેના પર વધતાથી ઘટતા અથવા ઘટતાથી વધતા ફેરફાર થાય છે તેના પર વિશેષ ધ્યાન આપવામાં આવે છે.

આ લેખમાં આપણે જરૂરી વ્યાખ્યાઓ આપીશું, ઘડીશું પૂરતા પુરાવાઅંતરાલ પર કાર્યમાં વધારો અને ઘટાડો અને એક્સ્ટ્રીમમના અસ્તિત્વ માટે પૂરતી શરતો, અમે ઉદાહરણો અને સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે આ સમગ્ર સિદ્ધાંતને લાગુ કરીશું.

પૃષ્ઠ નેવિગેશન.

અંતરાલ પર કાર્યમાં વધારો અને ઘટાડો.

વધતા કાર્યની વ્યાખ્યા.

કાર્ય y=f(x) અંતરાલ X પર વધે છે જો કોઈ હોય તો અને અસમાનતા ધરાવે છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, મોટી દલીલ મૂલ્ય મોટા કાર્ય મૂલ્યને અનુરૂપ છે.

ઘટતા કાર્યની વ્યાખ્યા.

કાર્ય y=f(x) અંતરાલ X પર ઘટે છે જો કોઈ હોય તો અને અસમાનતા ધરાવે છે . બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, દલીલનું મોટું મૂલ્ય ફંક્શનના નાના મૂલ્યને અનુરૂપ છે.

નોંધ: જો ફંક્શન વધતા અથવા ઘટતા અંતરાલ (a;b) ના અંતે વ્યાખ્યાયિત અને સતત હોય, એટલે કે, x=a અને x=b પર, તો આ બિંદુઓ વધતા અથવા ઘટતા અંતરાલમાં સમાવવામાં આવે છે. આ અંતરાલ X પર વધતા અને ઘટતા કાર્યની વ્યાખ્યાનો વિરોધાભાસ કરતું નથી.

ઉદાહરણ તરીકે, મુખ્ય ના ગુણધર્મોમાંથી પ્રાથમિક કાર્યોઆપણે જાણીએ છીએ કે y=sinx એ દલીલના તમામ વાસ્તવિક મૂલ્યો માટે વ્યાખ્યાયિત અને સતત છે. તેથી, અંતરાલ પર સાઈન ફંક્શનમાં વધારો થવાથી, અમે ભારપૂર્વક કહી શકીએ કે તે અંતરાલ પર વધે છે.

એક્સ્ટ્રીમ પોઈન્ટ્સ, ફંક્શનની સીમા.

બિંદુ કહેવાય છે મહત્તમ બિંદુફંક્શન y=f(x) જો અસમાનતા તેના પડોશના તમામ x માટે સાચી હોય. મહત્તમ બિંદુ પર કાર્યની કિંમત કહેવામાં આવે છે કાર્યની મહત્તમઅને સૂચિત કરો.

બિંદુ કહેવાય છે ન્યૂનતમ બિંદુફંક્શન y=f(x) જો અસમાનતા તેના પડોશના તમામ x માટે સાચી હોય. ન્યૂનતમ બિંદુ પર કાર્યની કિંમત કહેવામાં આવે છે ન્યૂનતમ કાર્યઅને સૂચિત કરો.

બિંદુની પડોશને અંતરાલ તરીકે સમજવામાં આવે છે , જ્યાં પૂરતી નાની સકારાત્મક સંખ્યા છે.

લઘુત્તમ અને મહત્તમ પોઈન્ટ કહેવામાં આવે છે આત્યંતિક બિંદુઓ, અને અંતિમ બિંદુઓને અનુરૂપ કાર્ય મૂલ્યો કહેવામાં આવે છે કાર્યની અંતિમ.

ફંક્શનના અંતિમ ભાગને સૌથી મોટા અને સાથે ગૂંચવશો નહીં સૌથી નીચું મૂલ્યકાર્યો

પ્રથમ ચિત્રમાં ઉચ્ચતમ મૂલ્યસેગમેન્ટ પરનું કાર્ય મહત્તમ બિંદુ પર પ્રાપ્ત થાય છે અને તે કાર્યની મહત્તમ બરાબર છે, અને બીજી આકૃતિમાં - કાર્યનું મહત્તમ મૂલ્ય બિંદુ x=b પર પ્રાપ્ત થાય છે, જે મહત્તમ બિંદુ નથી.

કાર્યોને વધારવા અને ઘટાડવા માટે પૂરતી શરતો.

કાર્યના વધારા અને ઘટાડા માટે પૂરતી શરતો (ચિહ્નો) ના આધારે, કાર્યના વધારા અને ઘટાડાના અંતરાલો જોવા મળે છે.

અંતરાલ પર વધતા અને ઘટતા કાર્યોના સંકેતોની ફોર્મ્યુલેશન અહીં છે:

• જો વિધેયનું વ્યુત્પન્ન y=f(x) અંતરાલ X માંથી કોઈપણ x માટે હકારાત્મક હોય, તો કાર્ય X દ્વારા વધે છે;
• જો ફંક્શન y=f(x) નું વ્યુત્પન્ન અંતર X માંથી કોઈપણ x માટે નકારાત્મક હોય, તો X પર કાર્ય ઘટે છે.

આમ, કાર્યના વધારા અને ઘટાડાના અંતરાલોને નિર્ધારિત કરવા માટે, તે જરૂરી છે:

ચાલો અલ્ગોરિધમને સમજાવવા માટે વધતા અને ઘટતા કાર્યોના અંતરાલો શોધવાનું ઉદાહરણ ધ્યાનમાં લઈએ.

ઉદાહરણ.

વધતા અને ઘટતા કાર્યના અંતરાલો શોધો.

ઉકેલ.

પ્રથમ પગલું એ કાર્યની વ્યાખ્યાનું ડોમેન શોધવાનું છે. અમારા ઉદાહરણમાં, છેદમાં અભિવ્યક્તિ શૂન્ય પર ન જવી જોઈએ, તેથી, .

ચાલો ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધવા તરફ આગળ વધીએ:

પર્યાપ્ત માપદંડના આધારે કાર્યના વધારા અને ઘટાડાના અંતરાલોને નિર્ધારિત કરવા માટે, અમે વ્યાખ્યાના ડોમેન પર અસમાનતાઓને હલ કરીએ છીએ. ચાલો અંતરાલ પદ્ધતિના સામાન્યીકરણનો ઉપયોગ કરીએ. અંશનું એકમાત્ર વાસ્તવિક મૂળ x = 2 છે, અને છેદ x=0 પર શૂન્ય પર જાય છે. આ બિંદુઓ વ્યાખ્યાના ડોમેનને અંતરાલોમાં વિભાજિત કરે છે જેમાં ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન તેની નિશાની જાળવી રાખે છે. ચાલો આ બિંદુઓને સંખ્યા રેખા પર ચિહ્નિત કરીએ. અમે પરંપરાગત રીતે વ્યુત્પન્ન કે ઋણાત્મક એવા અંતરાલોને પ્લીસસ અને ઓછા કરીને દર્શાવીએ છીએ. નીચેના તીરો યોજનાકીય રીતે અનુરૂપ અંતરાલ પર કાર્યમાં વધારો અથવા ઘટાડો દર્શાવે છે.

આમ, અને .

બિંદુએ x=2 ફંક્શન વ્યાખ્યાયિત અને સતત છે, તેથી તેને વધતા અને ઘટતા બંને અંતરાલોમાં ઉમેરવું જોઈએ. બિંદુ x=0 પર કાર્ય વ્યાખ્યાયિત નથી, તેથી અમે આ બિંદુને જરૂરી અંતરાલોમાં સામેલ કરતા નથી.

અમે તેની સાથે મેળવેલા પરિણામોની તુલના કરવા માટે ફંક્શનનો ગ્રાફ રજૂ કરીએ છીએ.

જવાબ:

કાર્ય સાથે વધે છે , અંતરાલ પર ઘટે છે (0;2] .

કાર્યના અંતિમ ભાગ માટે પૂરતી શરતો.

ફંક્શનના મેક્સિમા અને મિનિમા શોધવા માટે, તમે એક્સ્ટ્રીમમના ત્રણ ચિહ્નોમાંથી કોઈપણનો ઉપયોગ કરી શકો છો, અલબત્ત, જો ફંક્શન તેમની શરતોને સંતોષે છે. સૌથી સામાન્ય અને અનુકૂળ તેમાંથી પ્રથમ છે.

એક્સ્ટ્રીમ માટે પ્રથમ પર્યાપ્ત સ્થિતિ.

ફંક્શન y=f(x) ને બિંદુના -પડોશમાં ભિન્નતા અને બિંદુ પર જ સતત રહેવા દો.

બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો:

ફંક્શનના એક્સ્ટ્રીમમના પ્રથમ સંકેતના આધારે એક્સ્ટ્રીમમ પોઈન્ટ શોધવા માટેનું અલ્ગોરિધમ.

• આપણે ફંક્શનની વ્યાખ્યાનું ડોમેન શોધીએ છીએ.
• અમે વ્યાખ્યાના ડોમેન પર ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધીએ છીએ.
• અમે અંશના શૂન્ય, વ્યુત્પન્નના છેદના શૂન્ય અને વ્યાખ્યાના ડોમેનના બિંદુઓ કે જેમાં વ્યુત્પન્ન અસ્તિત્વમાં નથી (બધા સૂચિબદ્ધ બિંદુઓ કહેવામાં આવે છે) નિર્ધારિત કરીએ છીએ શક્ય છેડાના બિંદુઓ, આ બિંદુઓમાંથી પસાર થતાં, વ્યુત્પન્ન ફક્ત તેની નિશાની બદલી શકે છે).
• આ બિંદુઓ કાર્યની વ્યાખ્યાના ડોમેનને અંતરાલોમાં વિભાજિત કરે છે જેમાં વ્યુત્પન્ન તેની નિશાની જાળવી રાખે છે. અમે દરેક અંતરાલ પર વ્યુત્પન્નના સંકેતો નક્કી કરીએ છીએ (ઉદાહરણ તરીકે, ચોક્કસ અંતરાલમાં કોઈપણ બિંદુએ ફંક્શનના વ્યુત્પન્નના મૂલ્યની ગણતરી કરીને).
• અમે એવા બિંદુઓને પસંદ કરીએ છીએ કે જેના પર કાર્ય સતત હોય છે અને, જેમાંથી પસાર થતાં, વ્યુત્પન્ન ફેરફારોનું ચિહ્ન - આ એક્સ્ટ્રીમમ પોઈન્ટ છે.

ત્યાં ઘણા બધા શબ્દો છે, ચાલો ફંક્શનની સીમા માટે પ્રથમ પર્યાપ્ત શરતનો ઉપયોગ કરીને એક્સ્ટ્રીમ પોઈન્ટ અને ફંક્શનના એક્સ્ટ્રીમા શોધવાના થોડા ઉદાહરણોને વધુ સારી રીતે જોઈએ.

ઉદાહરણ.

ફંક્શનની સીમા શોધો.

ઉકેલ.

ફંક્શનનું ડોમેન એ x=2 સિવાયની વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો સંપૂર્ણ સમૂહ છે.

વ્યુત્પન્ન શોધવું:

અંશના શૂન્ય એ બિંદુઓ x=-1 અને x=5 છે, છેદ x=2 પર શૂન્ય પર જાય છે. સંખ્યા અક્ષ પર આ બિંદુઓને ચિહ્નિત કરો

અમે દરેક અંતરાલ પર વ્યુત્પન્નના સંકેતો નક્કી કરીએ છીએ, આ કરવા માટે, અમે દરેક અંતરાલના કોઈપણ બિંદુઓ પર વ્યુત્પન્નના મૂલ્યની ગણતરી કરીએ છીએ, ઉદાહરણ તરીકે, x=-2, x=0, x=3 અને x=6.

તેથી, અંતરાલ પર વ્યુત્પન્ન હકારાત્મક છે (આકૃતિમાં આપણે આ અંતરાલ પર વત્તા ચિહ્ન મૂકીએ છીએ). તેવી જ રીતે

તેથી, અમે બીજા અંતરાલની ઉપર માઈનસ, ત્રીજાની ઉપર માઈનસ અને ચોથાની ઉપર વત્તા મૂકીએ છીએ.

તે બિંદુઓને પસંદ કરવાનું બાકી છે કે જેના પર કાર્ય સતત છે અને તેના વ્યુત્પન્ન ફેરફારોનું ચિહ્ન છે. આ એક્સ્ટ્રીમ પોઈન્ટ છે.

બિંદુએ x=-1 ફંક્શન સતત છે અને વ્યુત્પન્ન ફેરફારો વત્તાથી માઈનસમાં ચિહ્ન કરે છે, તેથી, એક્સ્ટ્રીમમના પ્રથમ ચિન્હ મુજબ, x=-1 એ મહત્તમ બિંદુ છે, કાર્યની મહત્તમ તેને અનુરૂપ છે .

બિંદુએ x=5 ફંક્શન સતત છે અને વ્યુત્પન્ન ફેરફારો બાદબાકીથી વત્તા સુધીનું ચિહ્ન છે, તેથી, x=-1 એ લઘુત્તમ બિંદુ છે, કાર્યનું લઘુત્તમ તેને અનુરૂપ છે .

ગ્રાફિક ચિત્ર.

જવાબ:

મહેરબાની કરીને નોંધ કરો: એક્સ્ટ્રીમમ માટેના પ્રથમ પૂરતા માપદંડને બિંદુ પર જ કાર્યની ભિન્નતાની જરૂર નથી.

ઉદાહરણ.

ફંક્શનના એક્સ્ટ્રીમમ પોઈન્ટ અને એક્સ્ટ્રીમા શોધો .

ઉકેલ.

ફંક્શનનું ડોમેન એ વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો સંપૂર્ણ સમૂહ છે. કાર્ય પોતે આ રીતે લખી શકાય છે:

ચાલો ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધીએ:

બિંદુએ x=0 વ્યુત્પન્ન અસ્તિત્વમાં નથી, કારણ કે જ્યારે દલીલ શૂન્ય તરફ વળે છે ત્યારે એકતરફી મર્યાદાના મૂલ્યો એકરૂપ થતા નથી:

તે જ સમયે, મૂળ કાર્ય x=0 બિંદુ પર સતત છે (સાતત્ય માટે કાર્યનો અભ્યાસ કરવા પરનો વિભાગ જુઓ):

ચાલો દલીલનું મૂલ્ય શોધીએ કે જેના પર વ્યુત્પન્ન શૂન્ય પર જાય છે:

ચાલો સંખ્યા રેખા પરના તમામ પ્રાપ્ત બિંદુઓને ચિહ્નિત કરીએ અને દરેક અંતરાલ પર વ્યુત્પન્નનું ચિહ્ન નક્કી કરીએ. આ કરવા માટે, અમે દરેક અંતરાલના મનસ્વી બિંદુઓ પર વ્યુત્પન્નના મૂલ્યોની ગણતરી કરીએ છીએ, ઉદાહરણ તરીકે, x=-6, x=-4, x=-1, x=1, x=4, x=6.

એટલે કે,

આમ, એક્સ્ટ્રીમમના પ્રથમ સંકેત મુજબ, લઘુત્તમ પોઈન્ટ છે , મહત્તમ પોઈન્ટ છે .

અમે ફંક્શનના અનુરૂપ મિનિમાની ગણતરી કરીએ છીએ

અમે ફંક્શનના અનુરૂપ મેક્સિમાની ગણતરી કરીએ છીએ

ગ્રાફિક ચિત્ર.

જવાબ:

.

કાર્યના અંતિમ ભાગનું બીજું ચિહ્ન.

જેમ તમે જોઈ શકો છો, ફંક્શનના એક્સ્ટ્રીમમના આ સંકેત માટે બિંદુ પર ઓછામાં ઓછા બીજા ક્રમમાં વ્યુત્પન્નનું અસ્તિત્વ જરૂરી છે.

કાર્યની વર્તણૂકનું પરીક્ષણ કરવા માટે, તમારે આ કરવાની જરૂર છે:

2) આ વ્યુત્પન્નને શૂન્ય સાથે સમાન કરો અને પરિણામી સમીકરણ ઉકેલો
તેના મૂળ
સ્થિર બિંદુઓ છે.

3) વધારાના સંશોધન માટે સ્થિર બિંદુઓને આધિન કરો, જેના હેતુ માટે તેમને સંખ્યા અક્ષ પર ગોઠવો અને ચિહ્નો નક્કી કરો
પરિણામી વિસ્તારો પર. આ ચિહ્નોને જાણીને, તમે દરેક સ્થિર બિંદુની પ્રકૃતિ નક્કી કરી શકો છો .
જો, સ્થિર બિંદુમાંથી પસાર થતી વખતે, વ્યુત્પન્ન
વત્તાથી માઈનસમાં ચિહ્ન બદલો, પછી સ્થિર બિંદુ એ મહત્તમ બિંદુ છે. જો, સ્થિર બિંદુમાંથી પસાર થતી વખતે, વ્યુત્પન્નનું ચિહ્ન માઇનસથી વત્તામાં બદલાય છે, તો સ્થિર બિંદુ એ ન્યૂનતમ બિંદુ છે. જો, સ્થિર બિંદુમાંથી પસાર થતી વખતે, વ્યુત્પન્ન

ચિહ્ન બદલાતું નથી, તો સ્થિર બિંદુ એ એક્સ્ટ્રીમ પોઈન્ટ નથી.

કેટલીકવાર, જ્યારે એક્સ્ટ્રીમા શોધવામાં આવે છે, ત્યારે અન્ય પર્યાપ્ત પરિસ્થિતિઓનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે, જેમાં અંતિમ બિંદુની પ્રકૃતિ સ્થિર બિંદુ પર બીજા વ્યુત્પન્નના ચિહ્ન દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. પ્રમેય (એક ચરમસીમાના અસ્તિત્વ માટે બીજી પર્યાપ્ત સ્થિતિ). --- કાર્યનું સ્થિર બિંદુ
(એટલે ​​કે અને બીજું વ્યુત્પન્ન છે , બિંદુના પડોશમાં સતત

.પછી
1) જો , તે ;

--- કાર્યનો મહત્તમ બિંદુ
1) જો 2) જો

--- કાર્યનો લઘુત્તમ બિંદુ.

ઉદાહરણ 3. ફંક્શનની સીમા શોધો.
ઉકેલ. ત્યારથી
, તે માત્ર 0 થી અંતરાલને ધ્યાનમાં લેવા માટે પૂરતું છે
. અમે શોધીશું
(એટલે ​​કે
:

,
.

સમીકરણ
શૂન્ય સુધી, આપણે સ્થિર બિંદુઓ શોધીએ છીએ:

અથવા
. વચ્ચે
આ સમીકરણના બે મૂળ છે:
(એટલે ​​કે
. ચાલો ચિહ્ન વ્યાખ્યાયિત કરીએ
આ બિંદુઓ પર:
, તેથી
--- મહત્તમ બિંદુ:

, તેથી
--- ન્યૂનતમ બિંદુ.

બહિર્મુખતા અને અંતર્મુખતા માટેના કાર્યોનો અભ્યાસ. ઈન્ફ્લેક્શન પોઈન્ટ

ચાલો પ્લેન પરના વળાંક Гને ધ્યાનમાં લઈએ, જે વિભેદક કાર્યનો ગ્રાફ છે
.

વ્યાખ્યા 1. વક્રને (a,b) પર બહિર્મુખ (બહિર્મુખ) કહેવામાં આવે છે જો આ અંતરાલ પર વક્રના તમામ બિંદુઓ તેની કોઈપણ સ્પર્શક કરતાં ઉંચા ન હોય.

વ્યાખ્યા 2.વળાંકને બહિર્મુખ નીચે તરફ (અંતર્મુખ) કહેવાય છે
, જો આ અંતરાલ પર વળાંકના તમામ બિંદુઓ તેના કોઈપણ સ્પર્શક કરતાં નીચા ન હોય.

વળાંકની બહિર્મુખતાની દિશા તેના આકારની એક મહત્વપૂર્ણ લાક્ષણિકતા છે. ચાલો માપદંડ સ્થાપિત કરીએ જેની મદદથી આપણે અંતરાલ નક્કી કરીએ કે જેના પર ફંક્શનનો ગ્રાફ બહિર્મુખ (અંતર્મુખ) છે. આવી નિશાની, ઉદાહરણ તરીકે, કાર્યના બીજા વ્યુત્પન્નનું ચિહ્ન છે
(જો તે અસ્તિત્વમાં છે).

પ્રમેય 1.
કાર્યનું બીજું વ્યુત્પન્ન નકારાત્મક છે, પછી વળાંક
આ અંતરાલ પર બહિર્મુખ ઉપરની તરફ.

પ્રમેય 2.જો અંતરાલના તમામ બિંદુઓ પર
કાર્યનું બીજું વ્યુત્પન્ન
હકારાત્મક છે, પછી વળાંક
આ અંતરાલ પર તે અંતર્મુખ છે (નીચેની તરફ બહિર્મુખ).

ઉદાહરણ 1. ફંક્શનના બહિર્મુખ-અંતર્મુખ અંતરાલો શોધો

ઉકેલ. મુ

તેથી, આ માટે કાર્ય બહિર્મુખ ખાતે

તેથી, આ માટે કાર્ય અંતર્મુખ છે.

વ્યાખ્યા 3. વળાંકના બહિર્મુખ ભાગને અંતર્મુખ ભાગથી અલગ કરતા બિંદુને વળાંક બિંદુ કહેવામાં આવે છે.

તે સ્પષ્ટ છે કે વક્રતાના બિંદુએ સ્પર્શક, જો તે અસ્તિત્વમાં હોય, તો વળાંકને છેદે છે, કારણ કે આ બિંદુની એક બાજુએ વળાંક સ્પર્શકની નીચે આવેલું છે, અને બીજી બાજુ - તેની ઉપર.

પ્રમેય 3. (વિભાજન માટે જરૂરી સ્થિતિ). જો વળાંકના વળાંકનો એક બિંદુ છે
અને તેનું બીજું વ્યુત્પન્ન છે
તે
.

જ્યાંથી તે અનુસરે છે કે માત્ર તે જ બિંદુઓ કે જેના પર બીજું વ્યુત્પન્ન શૂન્ય બરાબર છે અથવા અસ્તિત્વમાં નથી તે જ વિચલન માટે તપાસ કરવી જરૂરી છે.

પ્રમેય 4.જો, જ્યારે કોઈ બિંદુમાંથી પસાર થાય છે બીજું વ્યુત્પન્ન
બદલાવ ચિહ્ન, પછી વળાંકનો બિંદુ
abscissa સાથે ત્યાં એક વળાંક બિંદુ છે.

ઉદાહરણ 2. વળાંકના વળાંક બિંદુઓ શોધો
.

ઉકેલ. સ્વીકાર્ય મૂલ્યોની શ્રેણી:
.

ડેરિવેટિવ્ઝ શોધવી:

;
.

બીજું વ્યુત્પન્ન ક્યાંય અદૃશ્ય થતું નથી, પરંતુ ક્યારે
અસ્તિત્વમાં નથી.

ચાલો ચિહ્નો વ્યાખ્યાયિત કરીએ
બિંદુની ડાબી અને જમણી બાજુએ
:

ખાતે
, તેથી અંતરાલ પર
કાર્ય અંતર્મુખ છે;

ખાતે
, તેથી અંતરાલ પર
કાર્ય બહિર્મુખ છે.

આમ, જ્યારે
ત્યાં એક વળાંક બિંદુ છે
.

પ્રમેય (એક અંતિમ માટે પ્રથમ પૂરતી સ્થિતિ). કાર્યને બિંદુ પર સતત રહેવા દો, અને બિંદુમાંથી પસાર થવા પર વ્યુત્પન્ન પરિવર્તન ચિહ્ન. પછી એક્સ્ટ્રીમમ બિંદુ છે: મહત્તમ જો ચિહ્ન “+” થી “–” માં બદલાય છે, અને લઘુત્તમ જો “–” થી “+” થાય છે.

પુરાવો.ખાતે અને ખાતે દો.

લેગ્રેન્જના પ્રમેય મુજબ , ક્યાં .પછી જો , પછી ; તેથી જ , તેથી, , અથવા જો, તો પછી; તેથી જ , તેથી, અથવા

આમ, તે સાબિત થાય છે કે નજીકના કોઈપણ બિંદુઓ પર, એટલે કે. - કાર્યનો મહત્તમ બિંદુ.

ન્યૂનતમ બિંદુ માટે પ્રમેયનો પુરાવો એ જ રીતે હાથ ધરવામાં આવે છે. પ્રમેય સાબિત થાય છે.

જો કોઈ બિંદુમાંથી પસાર થતી વખતે વ્યુત્પન્ન ચિહ્ન બદલાતું નથી, તો બિંદુ પર કોઈ અંતિમ નથી.

પ્રમેય (એક્સ્ટ્રીમમ માટે બીજી પર્યાપ્ત સ્થિતિ). એક બિંદુ પર બે વાર ડિફરન્સિબલ ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન 0 () ની બરાબર થવા દો, અને આ બિંદુએ તેનું બીજું વ્યુત્પન્ન શૂન્ય () થી અલગ અને બિંદુની અમુક પડોશમાં સતત રહેવા દો. પછી આત્યંતિક બિંદુ છે; આ લઘુત્તમ બિંદુ છે, અને આ મહત્તમ બિંદુ છે.

એક્સ્ટ્રીમમ માટે પ્રથમ પર્યાપ્ત સ્થિતિનો ઉપયોગ કરીને ફંક્શનની સીમા શોધવા માટેનું અલ્ગોરિધમ.

1. વ્યુત્પન્ન શોધો.

2. કાર્યના નિર્ણાયક મુદ્દાઓ શોધો.

3. દરેક નિર્ણાયક બિંદુની ડાબી અને જમણી બાજુએ વ્યુત્પન્નના ચિહ્નની તપાસ કરો અને એક્સ્ટ્રીમાની હાજરી વિશે નિષ્કર્ષ દોરો.

4. ફંક્શનના આત્યંતિક મૂલ્યો શોધો.

એક્સ્ટ્રીમમ માટે બીજી પર્યાપ્ત સ્થિતિનો ઉપયોગ કરીને ફંક્શનની સીમા શોધવા માટેનું અલ્ગોરિધમ.

1. વ્યુત્પન્ન શોધો.

2. બીજું વ્યુત્પન્ન શોધો.

3. તે બિંદુઓ શોધો કે જેના પર.

4. આ બિંદુઓ પર ચિહ્ન નક્કી કરો.

5. ચરમસીમાના અસ્તિત્વ અને પ્રકૃતિ વિશે નિષ્કર્ષ દોરો.

6. ફંક્શનના આત્યંતિક મૂલ્યો શોધો.

ઉદાહરણ.ચાલો વિચાર કરીએ . અમે શોધીશું . આગળ, પર અને પર. ચાલો આપણે એક્સ્ટ્રીમમ માટે પ્રથમ પર્યાપ્ત સ્થિતિનો ઉપયોગ કરીને નિર્ણાયક મુદ્દાઓનો અભ્યાસ કરીએ. અમારી પાસે તે છે અને માટે , અને માટે . પોઈન્ટ પર અને ડેરિવેટિવ તેના ચિહ્નને બદલે છે: "+" થી "–" પર અને "-" થી "+" પર. આનો અર્થ એ થાય કે એક બિંદુ પર કાર્ય મહત્તમ હોય છે, અને એક બિંદુ પર તે ન્યૂનતમ હોય છે; . સરખામણી માટે, અમે એક્સ્ટ્રીમમ માટે બીજી પર્યાપ્ત સ્થિતિનો ઉપયોગ કરીને નિર્ણાયક મુદ્દાઓનો અભ્યાસ કરીએ છીએ. ચાલો બીજું વ્યુત્પન્ન શોધીએ. અમારી પાસે છે: , અને આનો અર્થ એ છે કે એક બિંદુ પર કાર્ય મહત્તમ હોય છે, અને એક બિંદુ પર તે ન્યૂનતમ હોય છે.

ફંક્શન ગ્રાફના એસિમ્પ્ટોટનો ખ્યાલ. આડા, ત્રાંસી અને વર્ટિકલ એસિમ્પ્ટોટ્સ. ઉદાહરણો.

વ્યાખ્યા. ફંક્શનના ગ્રાફનું એસિમ્પ્ટોટ એ એક સીધી રેખા છે જેમાં ગુણધર્મ હોય છે કે બિંદુથી આ સીધી રેખા સુધીનું અંતર શૂન્ય થઈ જાય છે કારણ કે આલેખ બિંદુ મૂળથી અનિશ્ચિત સમય સુધી ખસે છે.

ત્યાં વર્ટિકલ (ફિગ. 6.6 એ), આડી (ફિગ. 6.6 બી) અને વળેલું (ફિગ. 6.6 સી) એસિમ્પ્ટોટ્સ છે.

ફિગ માં. 6.6a દર્શાવેલ છે વર્ટિકલ એસિમ્પ્ટોટ.

ફિગ. 6.6b માં - આડી એસિમ્પ્ટોટ.

ફિગ માં. 6.6v - ત્રાંસી એસિમ્પ્ટોટ.

પ્રમેય 1.વર્ટિકલ એસિમ્પ્ટોટ્સના બિંદુઓ પર (ઉદાહરણ તરીકે, ) ફંક્શન અખંડિતતાનો ભોગ બને છે, બિંદુની ડાબી અને જમણી બાજુની તેની મર્યાદા સમાન છે:

પ્રમેય 2.કાર્યને પૂરતા પ્રમાણમાં મોટા માટે વ્યાખ્યાયિત કરવા દો અને ત્યાં મર્યાદિત મર્યાદાઓ છે

અને .

પછી સીધી રેખા એ ફંક્શનના ગ્રાફનું ત્રાંસી એસિમ્પટોટ છે.

પ્રમેય 3.કાર્યને પૂરતા પ્રમાણમાં મોટા માટે વ્યાખ્યાયિત કરવા દો અને કાર્યની મર્યાદા છે. પછી સીધી રેખા એ ફંક્શનના ગ્રાફની આડી એસિમ્પ્ટોટ છે.

આડું એસિમ્પ્ટોટ એ ત્રાંસી એસિમ્પ્ટોટનો એક વિશિષ્ટ કેસ છે, જ્યારે. તેથી, જો કોઈપણ દિશામાં વળાંકમાં આડી એસિમ્પ્ટોટ હોય, તો આ દિશામાં કોઈ વળેલું નથી, અને ઊલટું.

ઉદાહરણ.ફંક્શનના ગ્રાફના એસિમ્પ્ટોટ્સ શોધો.

ઉકેલ. જે બિંદુએ ફંક્શન વ્યાખ્યાયિત નથી, ચાલો બિંદુની ડાબી અને જમણી બાજુએ ફંક્શનની મર્યાદા શોધીએ:

; .

તેથી, એક વર્ટિકલ એસિમ્પ્ટોટ છે.

સામાન્ય યોજનાકાર્યોનું સંશોધન અને તેમના આલેખનું નિર્માણ. ઉદાહરણ.

કાર્ય સંશોધનની સામાન્ય યોજના અને તેનું કાવતરું ઘડી રહ્યા છે.

1. વ્યાખ્યાનું ડોમેન શોધો.

2. સમાનતા - વિચિત્રતા માટે કાર્યની તપાસ કરો.

3. વર્ટિકલ એસિમ્પ્ટોટ્સ અને ડિસ્કન્ટિન્યુટી પોઈન્ટ્સ (જો કોઈ હોય તો) શોધો.

4. અનંત પર કાર્યના વર્તનની તપાસ કરો; આડા અને ત્રાંસા એસિમ્પ્ટોટ્સ (જો કોઈ હોય તો) શોધો.

5. ફંક્શનની એકવિધતાના અંતિમ અને અંતરાલો શોધો.

6. સંકલન અક્ષો સાથે ગ્રાફના આંતરછેદના બિંદુઓ શોધો અને, જો ગ્રાફના યોજનાકીય બાંધકામ માટે જરૂરી હોય, તો વધારાના બિંદુઓ શોધો.

7. યોજનાકીય રીતે ગ્રાફ દોરો.

વિગતવાર રેખાકૃતિકાર્ય અભ્યાસ અને કાવતરું .

1. વ્યાખ્યાનું ડોમેન શોધો .

a જો y પાસે છેદ હોય, તો તે 0 પર ન જવું જોઈએ.

b સમાન ડિગ્રીના મૂળની આમૂલ અભિવ્યક્તિ બિન-નકારાત્મક હોવી જોઈએ (શૂન્ય કરતાં વધુ અથવા તેની બરાબર).

c સબલોગ અભિવ્યક્તિ હકારાત્મક હોવી આવશ્યક છે.

2. સમાનતા - વિચિત્રતા માટે કાર્યની તપાસ કરો.

a જો , તો કાર્ય સમ છે.

b જો , તો ફંક્શન વિચિત્ર છે.

c જો ન તો, ન તો , પછી સામાન્ય સ્વરૂપનું કાર્ય છે.

3. વર્ટિકલ એસિમ્પ્ટોટ્સ અને ડિસકોન્ટિન્યુટી પોઈન્ટ્સ (જો કોઈ હોય તો) શોધો.

a વર્ટિકલ એસિમ્પ્ટોટ ફંક્શનની વ્યાખ્યાના ડોમેનની સીમા પર જ થઈ શકે છે.

b જો ( અથવા ), તો ગ્રાફનું વર્ટિકલ એસિમ્પ્ટોટ છે.

4. અનંત પર કાર્યની વર્તણૂકની તપાસ કરો; આડા અને ત્રાંસા એસિમ્પ્ટોટ્સ (જો કોઈ હોય તો) શોધો.

a જો , તો ગ્રાફનું આડું એસિમ્પ્ટોટ છે.

b જો અને , તો પછી સીધી રેખા એ આલેખનું વળેલું એસિમ્પ્ટોટ છે.

c જો ફકરા a, b માં દર્શાવેલ મર્યાદાઓ ત્યારે જ અસ્તિત્વમાં છે જ્યારે એકતરફી અનંતતા તરફ વલણ ધરાવે છે ( અથવા ), તો પરિણામી એસિમ્પ્ટોટ્સ એકતરફી હશે: જ્યારે ડાબા હાથે અને જ્યારે જમણે હાથે.

5. કાર્યની એકવિધતાના અંતિમ અને અંતરાલો શોધો.

a વ્યુત્પન્ન શોધો.

b નિર્ણાયક બિંદુઓ શોધો (તે બિંદુઓ જ્યાં અથવા જ્યાં અસ્તિત્વમાં નથી).

c સંખ્યા અક્ષ પર, વ્યાખ્યાના ડોમેન અને તેના નિર્ણાયક બિંદુઓને ચિહ્નિત કરો.

ડી. દરેક પરિણામી સંખ્યાત્મક અંતરાલો પર, વ્યુત્પન્નનું ચિહ્ન નક્કી કરો.

ઇ. વ્યુત્પન્નના સંકેતોના આધારે, y અને તેમના પ્રકારમાં એક્સ્ટ્રીમાની હાજરી વિશે નિષ્કર્ષ દોરો.

f આત્યંતિક મૂલ્યો શોધો.

g વ્યુત્પન્નના ચિહ્નોના આધારે, વધતા અને ઘટતા વિશે તારણો કાઢો.

6. સંકલન અક્ષો સાથે ગ્રાફના આંતરછેદના બિંદુઓ શોધો અને, જો ગ્રાફના યોજનાકીય પ્લોટિંગ માટે જરૂરી હોય, તો વધારાના બિંદુઓ શોધો.

a ધરી સાથે ગ્રાફના આંતરછેદના બિંદુઓ શોધવા માટે, સમીકરણને હલ કરવું જરૂરી છે. જે બિંદુઓ શૂન્ય છે તે અક્ષ સાથેના ગ્રાફના આંતરછેદના બિંદુઓ હશે.

b અક્ષ સાથેના ગ્રાફના આંતરછેદના બિંદુ જેવો દેખાય છે. જો બિંદુ ફંક્શનના ડોમેનની અંદર હોય તો જ તે અસ્તિત્વમાં છે.

8. યોજનાકીય રીતે ગ્રાફ દોરો.

a એક સંકલન સિસ્ટમ અને એસિમ્પ્ટોટ્સ બનાવો.

b આત્યંતિક બિંદુઓને ચિહ્નિત કરો.

c સંકલન અક્ષો સાથે ગ્રાફના આંતરછેદ બિંદુઓને ચિહ્નિત કરો.

ડી. યોજનાકીય રીતે એક ગ્રાફ બનાવો જેથી તે ચિહ્નિત બિંદુઓમાંથી પસાર થાય અને એસિમ્પ્ટોટ્સ સુધી પહોંચે.

ઉદાહરણ.કાર્યનું અન્વેષણ કરો અને તેના ગ્રાફને યોજનાકીય રીતે બનાવો.

2. - સામાન્ય સ્વરૂપનું કાર્ય.

3. ત્યારથી અને , પછી રેખાઓ અને વર્ટિકલ એસિમ્પ્ટોટ્સ છે; પોઈન્ટ બ્રેક પોઈન્ટ છે. , જ્યારે ફંક્શનની વ્યાખ્યાના ડોમેનમાં સમાવેલ નથી

ફંક્શનના મેક્સિમા અને મિનિમા શોધવા માટે, તમે એક્સ્ટ્રીમમના ત્રણ પર્યાપ્ત ચિહ્નોમાંથી કોઈપણનો ઉપયોગ કરી શકો છો. તેમ છતાં સૌથી સામાન્ય અને અનુકૂળ પ્રથમ છે.

એક્સ્ટ્રીમ માટે પ્રથમ પર્યાપ્ત સ્થિતિ.

કાર્ય કરવા દો y = f(x)બિંદુના પડોશમાં અલગ છે, અને બિંદુ પર જ સતત છે. પછી

બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો:

અલ્ગોરિધમ.

• આપણે ફંક્શનની વ્યાખ્યાનું ડોમેન શોધીએ છીએ.

અમે વ્યાખ્યાના ડોમેન પર ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધીએ છીએ.

અમે અંશના શૂન્ય, વ્યુત્પન્નના છેદના શૂન્ય અને વ્યાખ્યાના ડોમેનના બિંદુઓ કે જેના પર વ્યુત્પન્ન અસ્તિત્વમાં નથી (આ બિંદુઓને કહેવામાં આવે છે) નિર્ધારિત કરીએ છીએ શક્ય છેડાના બિંદુઓ, આ બિંદુઓમાંથી પસાર થતાં, વ્યુત્પન્ન ફક્ત તેની નિશાની બદલી શકે છે).

આ બિંદુઓ કાર્યની વ્યાખ્યાના ડોમેનને અંતરાલોમાં વિભાજિત કરે છે જેમાં વ્યુત્પન્ન તેની નિશાની જાળવી રાખે છે. અમે દરેક અંતરાલ પર વ્યુત્પન્નના સંકેતો નક્કી કરીએ છીએ (ઉદાહરણ તરીકે, ચોક્કસ અંતરાલમાં કોઈપણ બિંદુએ ફંક્શનના વ્યુત્પન્નના મૂલ્યની ગણતરી કરીને).

અમે એવા બિંદુઓને પસંદ કરીએ છીએ કે જેના પર કાર્ય સતત હોય છે અને, જેમાંથી પસાર થતાં, વ્યુત્પન્ન ફેરફારોનું ચિહ્ન.

ઉદાહરણ.ફંક્શનની સીમા શોધો.
ઉકેલ.
ફંક્શનનું ડોમેન એ સિવાયની વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો સંપૂર્ણ સમૂહ છે x = 2.
વ્યુત્પન્ન શોધવું:

અંશના શૂન્ય એ પોઈન્ટ છે x = -1અને x = 5, છેદ શૂન્ય પર જાય છે x = 2. સંખ્યા અક્ષ પર આ બિંદુઓને ચિહ્નિત કરો

અમે દરેક અંતરાલ પર વ્યુત્પન્નના સંકેતો નક્કી કરીએ છીએ આ કરવા માટે, અમે દરેક અંતરાલના કોઈપણ બિંદુઓ પર વ્યુત્પન્નના મૂલ્યની ગણતરી કરીએ છીએ, ઉદાહરણ તરીકે, બિંદુઓ પર x = -2, x = 0, x = 3અને x=6.

તેથી, અંતરાલ પર વ્યુત્પન્ન હકારાત્મક છે (આકૃતિમાં આપણે આ અંતરાલ પર વત્તા ચિહ્ન મૂકીએ છીએ). તેવી જ રીતે

તેથી, અમે બીજા અંતરાલની ઉપર માઈનસ, ત્રીજાની ઉપર માઈનસ અને ચોથાની ઉપર વત્તા મૂકીએ છીએ.

તે બિંદુઓને પસંદ કરવાનું બાકી છે કે જેના પર કાર્ય સતત છે અને તેના વ્યુત્પન્ન ફેરફારોનું ચિહ્ન છે. આ એક્સ્ટ્રીમ પોઈન્ટ છે.
બિંદુએ x = -1કાર્ય સતત છે અને વ્યુત્પન્ન ફેરફારો વત્તાથી માઈનસ સુધીના ચિહ્નો છે, તેથી, એક્સ્ટ્રીમમના પ્રથમ સંકેત અનુસાર, x = -1મહત્તમ બિંદુ છે જે તેને અનુલક્ષે છે.
બિંદુએ x = 5કાર્ય સતત છે અને વ્યુત્પન્ન ફેરફારો બાદબાકીથી વત્તા સુધીની નિશાની છે, તેથી, x = -1લઘુત્તમ બિંદુ છે;
ગ્રાફિક ચિત્ર.

જવાબ: .

ફંક્શનની સીમાની બીજી પર્યાપ્ત નિશાની.
દો

જો , તો લઘુત્તમ બિંદુ છે;

જો, તો મહત્તમ બિંદુ છે.

જેમ તમે જોઈ શકો છો, આ માપદંડ માટે બિંદુ પર ઓછામાં ઓછા બીજા ક્રમ સુધી વ્યુત્પન્નનું અસ્તિત્વ જરૂરી છે.
ઉદાહરણ.ફંક્શનની સીમા શોધો.
ઉકેલ.
ચાલો વ્યાખ્યાના ડોમેન સાથે પ્રારંભ કરીએ:

ચાલો મૂળ કાર્યને અલગ કરીએ:

ડેરિવેટિવ શૂન્ય પર જાય છે x = 1, એટલે કે, આ સંભવિત ચરમસીમાનો એક બિંદુ છે.
આપણે ફંક્શનનું બીજું ડેરિવેટિવ શોધીએ છીએ અને તેના મૂલ્યની ગણતરી કરીએ છીએ x = 1: વધુમાં,

ફંક્શન y = f(x) કહેવાય છે વધારો (ઘટતું) ચોક્કસ અંતરાલમાં, જો x 1 માટે< x 2 выполняется неравенство (f(x 1) < f (x 2) (f(x 1) >f(x 2)).

જો ડિફરન્સિબલ ફંક્શન y = f(x) અંતરાલ પર વધે (ઘટે), તો આ અંતરાલ f " (x) > 0 પર તેનું વ્યુત્પન્ન

(f" (x)< 0).

ડોટ x ઓકહેવાય છે સ્થાનિક મહત્તમ બિંદુ (ન્યૂનતમ) ફંક્શન f(x), જો બિંદુની પડોશી હોય x ઓ, જે તમામ બિંદુઓ માટે અસમાનતા f(x) ≤ f(x о) (f(x) ≥ f(x о)) સાચી છે.

મહત્તમ અને લઘુત્તમ પોઈન્ટ કહેવામાં આવે છે આત્યંતિક બિંદુઓ, અને આ બિંદુઓ પરના કાર્યના મૂલ્યો તેના છે ચરમસીમા

પૂર્વજરૂરીયાતોઆત્યંતિક. જો બિંદુ x ઓફંક્શન f(x) નું આત્યંતિક બિંદુ છે, પછી કાં તો f " (x o) = 0, અથવા f (x o) અસ્તિત્વમાં નથી. આવા બિંદુઓ કહેવામાં આવે છે જટિલ,અને કાર્ય પોતે નિર્ણાયક બિંદુ પર વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે. ફંક્શનનો અંતિમ ભાગ તેના નિર્ણાયક મુદ્દાઓ વચ્ચે શોધવો જોઈએ.

પ્રથમ પૂરતી સ્થિતિ.દો x ઓ- નિર્ણાયક બિંદુ. જો કોઈ બિંદુમાંથી પસાર થતી વખતે f "(x) x ઓવત્તા ચિહ્નને માઈનસમાં બદલે છે, પછી બિંદુ પર x ઓફંક્શનમાં મહત્તમ છે, અન્યથા તેની પાસે ન્યૂનતમ છે. જો, નિર્ણાયક બિંદુમાંથી પસાર થતી વખતે, વ્યુત્પન્ન ચિહ્ન બદલાતું નથી, તો બિંદુ પર x ઓત્યાં કોઈ આત્યંતિક નથી.

બીજી પર્યાપ્ત સ્થિતિ.ફંક્શન f(x) ને વ્યુત્પન્ન થવા દો
f "(x) બિંદુની નજીકમાં x ઓઅને પોઈન્ટ પર જ બીજું ડેરિવેટિવ x ઓ. જો f "(x o) = 0, >0 (<0), то точка x ઓફંક્શન f(x) નો સ્થાનિક લઘુત્તમ (મહત્તમ) બિંદુ છે. જો =0, તો તમારે કાં તો પ્રથમ પર્યાપ્ત શરતનો ઉપયોગ કરવાની અથવા ઉચ્ચ ડેરિવેટિવ્ઝનો ઉપયોગ કરવાની જરૂર છે.

સેગમેન્ટ પર, ફંક્શન y = f(x) તેના ન્યૂનતમ અથવા મહત્તમ મૂલ્ય સુધી નિર્ણાયક બિંદુઓ પર અથવા સેગમેન્ટના છેડે પહોંચી શકે છે.

પરિસ્થિતિઓનો અભ્યાસ કરવો અને આલેખ બનાવવું.

ફંક્શનનું ડોમેન શોધો

સંકલન અક્ષો સાથે ગ્રાફના આંતરછેદ બિંદુઓ શોધો

સ્થિરતાના ચિહ્નના અંતરાલો શોધો

સમાનતા, વિચિત્રતા માટે તપાસો

ફંક્શનના ગ્રાફના એસિમ્પ્ટોટ્સ શોધો

ફંક્શનની એકવિધતાના અંતરાલો શોધો

ફંક્શનની સીમા શોધો

બહિર્મુખ અંતરાલ અને વળાંક બિંદુઓ શોધો

ફંક્શન ગ્રાફના એસિમ્પ્ટોટ્સ. ફંક્શન આલેખનો અભ્યાસ અને પ્લોટિંગ માટેની સામાન્ય યોજના. ઉદાહરણો.

વર્ટિકલ

વર્ટિકલ એસિમ્પ્ટોટ - એક સીધી રેખા, મર્યાદાના અસ્તિત્વને આધિન .

એક નિયમ તરીકે, વર્ટિકલ એસિમ્પ્ટોટ નક્કી કરતી વખતે, તેઓ એક મર્યાદા નહીં, પરંતુ બે એકતરફી (ડાબે અને જમણે) શોધે છે. ફંક્શન કેવી રીતે વર્તે છે તે નિર્ધારિત કરવા માટે આ કરવામાં આવે છે કારણ કે તે જુદી જુદી દિશામાંથી વર્ટિકલ એસિમ્પ્ટોટ સુધી પહોંચે છે. ઉદાહરણ તરીકે:

નોંધ: આ સમાનતાઓમાં અનંત ચિન્હો પર ધ્યાન આપો.

[ફેરફાર કરો]આડું

આડું એસિમ્પ્ટોટ - એક સીધી રેખા, મર્યાદાના અસ્તિત્વને આધિન

.

ત્રાંસુ

ત્રાંસી એસિમ્પ્ટોટ - એક સીધી રેખા, મર્યાદાના અસ્તિત્વને આધિન

ત્રાંસી એસિમ્પ્ટોટનું ઉદાહરણ

1.

નોંધ: ફંક્શનમાં બે કરતાં વધુ ત્રાંસી (આડા) એસિમ્પ્ટોટ્સ હોઈ શકે નહીં!

નોંધ: જો ઉપર દર્શાવેલ બેમાંથી ઓછામાં ઓછી એક મર્યાદા અસ્તિત્વમાં નથી (અથવા તેની બરાબર છે), તો (અથવા ) પર ત્રાંસી એસિમ્પ્ટોટ અસ્તિત્વમાં નથી!

ત્રાંસી અને આડા એસિમ્પ્ટોટ્સ વચ્ચેનો સંબંધ

જો મર્યાદાની ગણતરી કરતી વખતે , પછી તે સ્પષ્ટ છે કે ત્રાંસી એસિમ્પટોટ આડી સાથે એકરુપ છે. આ બે પ્રકારના એસિમ્પ્ટોટ્સ વચ્ચે શું જોડાણ છે?

વાત એ છે કે, કે હોરીઝોન્ટલ એસિમ્પ્ટોટ એ ત્રાંસીનો એક વિશિષ્ટ કેસ છેખાતે , અને ઉપરોક્ત ટિપ્પણીઓ પરથી તે અનુસરે છે

1. ફંક્શનમાં કાં તો માત્ર એક ત્રાંસી એસિમ્પ્ટોટ છે, અથવા એક વર્ટિકલ એસિમ્પ્ટોટ, અથવા એક ત્રાંસી અને એક વર્ટિકલ, અથવા બે ત્રાંસી, અથવા બે વર્ટિકલ, અથવા તેમાં કોઈ એસિમ્પ્ટોટ નથી.

2. ફકરા 1 માં દર્શાવેલ એસિમ્પ્ટોટ્સનું અસ્તિત્વ.) અનુરૂપ મર્યાદાના અસ્તિત્વ સાથે સીધો સંબંધ ધરાવે છે.

બે આડા એસિમ્પ્ટોટ્સ સાથે ફંક્શનનો આલેખ

એસિમ્પ્ટોટ્સ શોધવી

એસિમ્પ્ટોટ્સ શોધવાનો ક્રમ

1. વર્ટિકલ એસિમ્પ્ટોટ્સ શોધવી.

2. બે મર્યાદાઓ શોધવી

3. બે મર્યાદાઓ શોધવી:

જો આઇટમ 2 માં હોય.), તો પછી, અને આડી એસિમ્પ્ટોટ ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરીને મર્યાદા માંગવામાં આવે છે, .