બહુપદીના તમામ તર્કસંગત મૂળ શોધો. બહુપદીના તર્કસંગત મૂળ પર પ્રમેય. પૂર્ણાંક ગુણાંક સાથે બહુપદીના તર્કસંગત મૂળ. હોર્નર યોજના
દો
- ડિગ્રી n ≥ નો બહુપદી 1
વાસ્તવિક અથવા જટિલ ચલ z ના વાસ્તવિક અથવા જટિલ ગુણાંક સાથે a i.
ચાલો પુરાવા વિના નીચેના પ્રમેયને સ્વીકારીએ.
પ્રમેય 1 સમીકરણ Pn(z) = 0
ઓછામાં ઓછું એક મૂળ ધરાવે છે.
ચાલો નીચેના લેમ્માને સાબિત કરીએ.
લેમ્મા 1 ચાલો P n(z) 1
- ડિગ્રી n, z નો બહુપદી
- સમીકરણનું મૂળ: પી એન.
(z 1) = 0 ચાલો P nપછી પી એન
- સમીકરણનું મૂળ: ફોર્મમાં માત્ર એક જ રીતે રજૂ કરી શકાય છે:,
(z) = (z - z 1) P n-1 (z) જ્યાં Pn- 1(z) 1
.
- ડિગ્રી n નો બહુપદી -
પુરાવો ચાલો P nતેને સાબિત કરવા માટે, અમે પ્રમેય લાગુ કરીએ છીએ (જુઓ બહુપદીનો એક ખૂણા અને કૉલમ દ્વારા ભાગાકાર અને ગુણાકાર), જે મુજબ કોઈપણ બે બહુપદી માટે P n ચાલો P nઅને Q k
- સમીકરણનું મૂળ: , ડિગ્રી n અને k, n ≥ k સાથે, ફોર્મમાં એક અનન્ય રજૂઆત છે:,
(z) = P n-k (z) Q k (z) + U k-1 (z) ચાલો P nજ્યાં P n-k જ્યાં Pn-- ડિગ્રી n-k, U k- નો બહુપદી 1
.
- ડિગ્રીનું બહુપદી k કરતાં વધારે નહીં- 1
ચાલો k = મૂકીએ , Q k(z) = z - z 1
- સમીકરણનું મૂળ: , પછી,
(z) = (z - z 1 ) P n-1 (z) + c 1
જ્યાં c એક અચલ છે. ચાલો અહીં z = z ને બદલીએ પી એન:
- સમીકરણનું મૂળ: અને ધ્યાનમાં લો કે P n;
(z 1 ) = (z 1 - z 1 ) P n-1 (z 1 ) + c.
0 = 0 + c 0
તેથી c =
.
પછી
Pn,
Q.E.D. ચાલો P nબહુપદીનું પરિબળ બનાવવું 1
તેથી, પ્રમેય 1 પર આધારિત, બહુપદી P n પી એનઓછામાં ઓછું એક મૂળ ધરાવે છે. ચાલો તેને z તરીકે દર્શાવીએ
- સમીકરણનું મૂળ: ,Pn.
. 1
પછી, લેમ્મા 1 પર આધારિત: જ્યાં Pn-(z) = (z - z 1 ) P n-1 (z) 2
આગળ, જો n > , પછી બહુપદી P n-તેથી c =
ઓછામાં ઓછું એક મૂળ પણ છે, જેને આપણે z તરીકે દર્શાવીએ છીએ ,Pn-;
- સમીકરણનું મૂળ: 1 (z 2) = 0.
Pn- 1 (z) = (z - z 2 ) P n-2 (z)(z) = (z - z 1 )(z - z 2 ) P n-2 (z)
- સમીકરણનું મૂળ: આ પ્રક્રિયા ચાલુ રાખીને, અમે નિષ્કર્ષ પર આવીએ છીએ કે ત્યાં n સંખ્યાઓ z છે.
1 , z 2 , ... , z n જેમ કે(z) = (z - z 1 )(z - z 2 ) ... (z - z n ) P 0 (z)
(1)
પરંતુ પી 0(z).
- આ એક સતત છે. z n માટે ગુણાંકની સમાનતા કરતા, આપણે શોધીએ છીએ કે તે n ની બરાબર છે. ચાલો P n.
પરિણામે, અમે બહુપદીના પરિબળ માટે સૂત્ર મેળવીએ છીએ: (1)
પી એન (1)
આ રીતે લખી શકાય છે:
(2)
પરંતુ પી (z) = a n (z - z 1 ) n 1 (z - z 2 ) n 2 ... (z - z k ) n k;
.
અહીં z i ≠ z j માટે i ≠ j. 1
જો n i = , તેમૂળ z iસરળ કહેવાય છે . તે ફોર્મમાં ફેક્ટરાઇઝેશનમાં પ્રવેશ કરે છે(z-z i) 1
જો n i = , તેમૂળ .જો n i > ગુણાકારનું બહુવિધ મૂળ કહેવાય છે.
n i.
તે n i મુખ્ય પરિબળોના ઉત્પાદન તરીકે ફેક્ટરાઇઝેશનમાં પ્રવેશ કરે છે:
(z-z i )(z-z i ) ... (z-z i ) = (z-z i ) n i
- ડિગ્રી n નો બહુપદી -
વાસ્તવિક ગુણાંક સાથે બહુપદી
લેમ્મા 2
,
જો વાસ્તવિક ગુણાંક સાથે બહુપદીનું જટિલ રુટ છે, તો જટિલ સંયોજક સંખ્યા પણ બહુપદીનું મૂળ છે, .
ખરેખર, જો , અને બહુપદીના ગુણાંક વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે, તો . (2)
આમ, જટિલ મૂળ તેમના જટિલ સંયુક્ત મૂલ્યો સાથે જોડીમાં પરિબળ દાખલ કરે છે:
(3)
;
.
જ્યાં, વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે.
પછી વિઘટન 0 પરિબળોમાં વાસ્તવિક ગુણાંક સાથે બહુપદીને એવા સ્વરૂપમાં રજૂ કરી શકાય છે જેમાં ફક્ત વાસ્તવિક સ્થિરાંકો હાજર હોય: બહુપદીના પરિબળ માટે પદ્ધતિઓઉપરોક્ત બાબતોને ધ્યાનમાં લેતા, બહુપદીને અવયવિત કરવા માટે, તમારે P n (z) = સમીકરણના તમામ મૂળ શોધવાની જરૂર છે. (3) .
અને તેમની બહુવિધતા નક્કી કરો. સાથે મલ્ટિપ્લાયર્સ
1.
જટિલ મૂળ 1
જટિલ સંયોજકો સાથે જૂથ થયેલ હોવું જ જોઈએ. પછી વિસ્તરણ સૂત્ર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે આમ, બહુપદીના પરિબળની પદ્ધતિ નીચે મુજબ છે:.
2.1.
મૂળ z શોધવી 1
સમીકરણો P n (z 1) = 0 (z 1) = 0 1
:
.
જો મૂળ zવાસ્તવિક, પછી આપણે વિસ્તરણમાં પરિબળ ઉમેરીએ છીએ (1)
(z - z 1)
2.2.
1(z)
,
, બિંદુથી શરૂ થાય છે જ્યાં સુધી આપણે બધા મૂળ ન શોધીએ.જો મૂળ જટિલ હોય, તો જટિલ સંયોજક સંખ્યા પણ બહુપદીનું મૂળ છે. પછી વિસ્તરણમાં પરિબળનો સમાવેશ થાય છે જ્યાં બી.
1 = - 2 x 1 , સી 1 = x 1 2 + y 1 2 , સીઆ કિસ્સામાં, અમે વિસ્તરણમાં પરિબળ ઉમેરીએ છીએ 2
:
.
(z 2 + b 1 z + c 1) અને બહુપદી P n (z) ને વડે વિભાજિત કરોવાસ્તવિક, પછી આપણે વિસ્તરણમાં પરિબળ ઉમેરીએ છીએ (1)
(z - z 1)
.
પરિણામે, આપણે ડિગ્રી n નો બહુપદી મેળવીએ છીએ -
આગળ આપણે બહુપદી P n- માટેની પ્રક્રિયાનું પુનરાવર્તન કરીએ છીએ.
2(z)
.
બહુપદીનું મૂળ શોધવું
બહુપદીનું પરિબળ બનાવતી વખતે મુખ્ય કાર્ય તેના મૂળ શોધવાનું છે. કમનસીબે, આ હંમેશા વિશ્લેષણાત્મક રીતે કરી શકાતું નથી. અહીં આપણે ઘણા કિસ્સાઓ જોઈશું જ્યારે તમે વિશ્લેષણાત્મક રીતે બહુપદીના મૂળ શોધી શકો છો.
પ્રથમ ડિગ્રીના બહુપદીના મૂળ પ્રથમ ડિગ્રી બહુપદી એ રેખીય કાર્ય છે. તેનું એક મૂળ છે. વિસ્તરણમાં માત્ર એક પરિબળ છે જેમાં ચલ z છે:.
જો ભેદભાવ કરનાર છે, તો સમીકરણના બે વાસ્તવિક મૂળ છે:
, .
પછી ફેક્ટરાઇઝેશનનું સ્વરૂપ છે:
.
જો ભેદભાવ D = 0
, પછી સમીકરણમાં એક ડબલ મૂળ છે:
;
.
જો ભેદભાવ કરનાર ડી< 0
, તો સમીકરણના મૂળ જટિલ છે,
.
બે કરતા વધારે ડિગ્રીના બહુપદી
3 જી અને 4 થી ડિગ્રીના બહુપદીના મૂળ શોધવા માટેના સૂત્રો છે. જો કે, તેઓ ભાગ્યે જ ઉપયોગમાં લેવાય છે કારણ કે તે વિશાળ છે. 4 થી વધુ ડિગ્રીના બહુપદીના મૂળ શોધવા માટે કોઈ સૂત્રો નથી. આ હોવા છતાં, કેટલાક કિસ્સાઓમાં બહુપદીનું પરિબળ શક્ય છે.
સંપૂર્ણ મૂળ શોધવી
જો તે જાણીતું છે કે બહુપદી જેના ગુણાંક પૂર્ણાંકો છે તેમાં પૂર્ણાંક મૂળ છે, તો તે તમામ સંભવિત મૂલ્યો દ્વારા શોધીને શોધી શકાય છે.
લેમ્મા 3
બહુપદી દો
,
ગુણાંક a i જેમાંથી પૂર્ણાંકો છે, તેમાં પૂર્ણાંક મૂળ z છે 1
. 0
.
- ડિગ્રી n નો બહુપદી -
પછી આ મૂળ એ સંખ્યાનો વિભાજક છે પી એનચાલો P n સમીકરણ ફરીથી લખીએ
.
ફોર્મમાં:
પછી સમગ્ર Mz.
1 = - a 0 1
:
.
z વડે ભાગાકાર કરો
M એ પૂર્ણાંક હોવાથી, M એ પૂર્ણાંક છે. Q.E.D. 0
તેથી, જો બહુપદીના ગુણાંક પૂર્ણાંકો છે, તો પછી તમે પૂર્ણાંક મૂળ શોધવાનો પ્રયાસ કરી શકો છો. આ કરવા માટે, તમારે મફત શબ્દ a ના તમામ વિભાજકો શોધવાની જરૂર છે સમીકરણ Pnઅને, સમીકરણ P n માં બદલીને
, તેઓ આ સમીકરણના મૂળ છે કે કેમ તે તપાસો.નોંધ સમીકરણ Pn. જો બહુપદીના ગુણાંકો તર્કસંગત સંખ્યાઓ હોય, તો પછી સમીકરણ P n નો ગુણાકાર
સંખ્યાઓના સામાન્ય છેદ a i દ્વારા, આપણે પૂર્ણાંક ગુણાંક સાથે બહુપદી માટે સમીકરણ મેળવીએ છીએ. શોધવું
તર્કસંગત મૂળ 1
જો બહુપદીના ગુણાંક પૂર્ણાંકો હોય અને કોઈ પૂર્ણાંક મૂળ ન હોય, તો n ≠ માટે
, તમે તર્કસંગત મૂળ શોધવાનો પ્રયાસ કરી શકો છો. આ કરવા માટે તમારે અવેજી બનાવવાની જરૂર છે
z = y/a n 1
અને સમીકરણને n n- વડે ગુણાકાર કરો
.
પરિણામે, અમે પૂર્ણાંક ગુણાંક સાથે ચલ y માં બહુપદી માટે સમીકરણ મેળવીએ છીએ, આગળ, અમે મુક્ત પદના વિભાજકોમાં આ બહુપદીના પૂર્ણાંક મૂળ શોધીએ છીએ. જો આપણને આવા મૂળ y i મળ્યા હોય, તો પછી x ચલ તરફ જવાથી, આપણે તર્કસંગત મૂળ મેળવીએ છીએ.
z i = y i /a n .
ઉપયોગી સૂત્રો
- સમીકરણનું મૂળ: અમે એવા સૂત્રો રજૂ કરીએ છીએ જેનો ઉપયોગ બહુપદીના પરિબળ માટે થઈ શકે છે.,
વધુ સામાન્ય રીતે, બહુપદીને વિસ્તૃત કરવા માટે 0
(z) = z n - a 0
જ્યાં એ 0
.
- જટિલ, તમારે તેના બધા મૂળ શોધવાની જરૂર છે, એટલે કે, સમીકરણ હલ કરો: 0
z n = a
.
આ સમીકરણ સરળતાથી a વ્યક્ત કરીને ઉકેલી શકાય છે 0
મોડ્યુલસ આર અને દલીલ દ્વારા φ: ત્યારથી એજો આપણે દલીલ ઉમેરીશું તો બદલાશે નહીં 0
ચાલો P n સમીકરણ ફરીથી લખીએ
,
2π
;
.
, પછી કલ્પના કરો a જ્યાં k પૂર્ણાંક છે. પછી k ની કિંમતો k = સોંપવી
.
0, 1, 2, ... n-1
, આપણને બહુપદીના n મૂળ મળે છે. પછી તેના ફેક્ટરાઇઝેશનનું સ્વરૂપ છે:
.
દ્વિપક્ષીય બહુપદીને મૂળ શોધ્યા વિના પરિબળ બનાવી શકાય છે.
જ્યારે, અમારી પાસે છે:
,
ક્યાં.
બાયક્યુબિક અને ચતુર્ભુજ બહુપદી
બહુપદીને ધ્યાનમાં લો:
.
તેના મૂળ સમીકરણ પરથી નક્કી કરવામાં આવે છે:
.
તે t = z n ને બદલીને એક ચતુર્ભુજ સમીકરણમાં ઘટાડો થાય છે:
a 2 n t 2 + a n t + a 0 = 0.
આ સમીકરણને હલ કર્યા પછી, આપણે તેના મૂળ શોધીએ છીએ, ટી 1
, ટી 2
.
.
પછી આપણે ફોર્મમાં વિસ્તરણ શોધીએ છીએ: 1
આગળ, ઉપર દર્શાવેલ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને, અમે z n - t ને ફેક્ટરાઇઝ કરીએ છીએ 2
અને z n - t
.
અંતે, અમે જટિલ સંયોજક મૂળ ધરાવતા પરિબળોને જૂથબદ્ધ કરીએ છીએ. આવર્તક બહુપદીબહુપદી કહેવાય છે
પરત કરી શકાય તેવું
.
, જો તેના ગુણાંક સપ્રમાણ હોય તો: -1 રીફ્લેક્સિવ બહુપદીનું ઉદાહરણ: + 1 જો આવર્તક બહુપદી n ની ડિગ્રી વિષમ હોય, તો આવા બહુપદીમાં મૂળ z = હોય છે.
. આવા બહુપદીને z વડે ભાગવું, અમે ડિગ્રીની આવર્તક બહુપદી મેળવીએ છીએ
આ લેખમાં આપણે અન્વેષણ કરવાનું શરૂ કરીશું
તર્કસંગત સંખ્યાઓ
. અહીં આપણે તર્કસંગત સંખ્યાઓની વ્યાખ્યા આપીશું, જરૂરી સમજૂતી આપીશું અને તર્કસંગત સંખ્યાઓના ઉદાહરણો આપીશું. આ પછી, આપણે આપેલ સંખ્યા તર્કસંગત છે કે નહીં તે કેવી રીતે નક્કી કરવું તેના પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરીશું.
પૃષ્ઠ નેવિગેશન. તર્કસંગત સંખ્યાઓની વ્યાખ્યા અને ઉદાહરણોઆ વિભાગમાં આપણે તર્કસંગત સંખ્યાઓની ઘણી વ્યાખ્યાઓ આપીશું. શબ્દોમાં ભિન્નતા હોવા છતાં, આ બધી વ્યાખ્યાઓનો એક જ અર્થ છે: પરિમાણીય સંખ્યાઓ પૂર્ણાંકો અને અપૂર્ણાંકોને એક કરે છે, જેમ કે પૂર્ણાંકો કુદરતી સંખ્યાઓ, તેમના વિરોધીઓ અને શૂન્યને એક કરે છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, તર્કસંગત સંખ્યાઓ સંપૂર્ણ અને અપૂર્ણાંક સંખ્યાઓને સામાન્ય બનાવે છે.
સાથે શરૂઆત કરીએ
- તર્કસંગત સંખ્યાઓની વ્યાખ્યા
- , જે સૌથી વધુ કુદરતી રીતે જોવામાં આવે છે.
- ઉલ્લેખિત વ્યાખ્યા પરથી તે અનુસરે છે કે તર્કસંગત સંખ્યા છે:
- કોઈપણ કુદરતી સંખ્યા n. ખરેખર, તમે કોઈપણ કુદરતી સંખ્યાને સામાન્ય અપૂર્ણાંક તરીકે રજૂ કરી શકો છો, ઉદાહરણ તરીકે, 3=3/1.
- કોઈપણ પૂર્ણાંક, ખાસ કરીને શૂન્ય સંખ્યા. હકીકતમાં, કોઈપણ પૂર્ણાંકને ધન અપૂર્ણાંક, નકારાત્મક અપૂર્ણાંક અથવા શૂન્ય તરીકે લખી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, 26=26/1, .
તે પણ સ્પષ્ટ છે કે કોઈપણ અનંત બિન-સામયિક દશાંશ અપૂર્ણાંક એ તર્કસંગત સંખ્યા નથી, કારણ કે તે સામાન્ય અપૂર્ણાંક તરીકે રજૂ કરી શકાતી નથી.
હવે આપણે સરળતાથી આપી શકીએ છીએ તર્કસંગત સંખ્યાઓના ઉદાહરણો. સંખ્યાઓ 4, 903, 100,321 એ તર્કસંગત સંખ્યાઓ છે કારણ કે તે કુદરતી સંખ્યાઓ છે. પૂર્ણાંકો 58, −72, 0, −833,333,333 પણ તર્કસંગત સંખ્યાઓના ઉદાહરણો છે. સામાન્ય અપૂર્ણાંક 4/9, 99/3 પણ તર્કસંગત સંખ્યાઓના ઉદાહરણો છે. તર્કસંગત સંખ્યાઓ પણ સંખ્યાઓ છે.
ઉપરોક્ત ઉદાહરણો પરથી તે સ્પષ્ટ છે કે ત્યાં સકારાત્મક અને નકારાત્મક બંને તર્કસંગત સંખ્યાઓ છે, અને તર્કસંગત સંખ્યા શૂન્ય હકારાત્મક કે નકારાત્મક નથી.
તર્કસંગત સંખ્યાઓની ઉપરની વ્યાખ્યા વધુ સંક્ષિપ્ત સ્વરૂપમાં ઘડી શકાય છે.
વ્યાખ્યા.
તર્કસંગત સંખ્યાઓએવી સંખ્યાઓ છે જે અપૂર્ણાંક z/n તરીકે લખી શકાય છે, જ્યાં z એ પૂર્ણાંક છે અને n એ કુદરતી સંખ્યા છે.
ચાલો સાબિત કરીએ કે તર્કસંગત સંખ્યાઓની આ વ્યાખ્યા અગાઉની વ્યાખ્યાની સમકક્ષ છે. આપણે જાણીએ છીએ કે આપણે અપૂર્ણાંકની રેખાને વિભાજનની નિશાની તરીકે ગણી શકીએ છીએ, પછી પૂર્ણાંકોના વિભાજનના ગુણધર્મો અને પૂર્ણાંકોને વિભાજિત કરવાના નિયમોમાંથી, નીચેની સમાનતાઓની માન્યતા અનુસરે છે અને. આમ, તે સાબિતી છે.
ચાલો આ વ્યાખ્યાના આધારે તર્કસંગત સંખ્યાઓના ઉદાહરણો આપીએ. સંખ્યાઓ −5, 0, 3, અને છે તર્કસંગત સંખ્યાઓ, કારણ કે તેઓ અનુક્રમે પૂર્ણાંક અંશ અને સ્વરૂપના કુદરતી છેદ સાથે અપૂર્ણાંક તરીકે લખી શકાય છે.
તર્કસંગત સંખ્યાઓની વ્યાખ્યા નીચેના સૂત્રમાં આપી શકાય છે.
વ્યાખ્યા.
તર્કસંગત સંખ્યાઓએવી સંખ્યાઓ છે જે મર્યાદિત અથવા અનંત સામયિક દશાંશ અપૂર્ણાંક તરીકે લખી શકાય છે.
આ વ્યાખ્યા પણ પ્રથમ વ્યાખ્યાની સમકક્ષ છે, કારણ કે દરેક સામાન્ય અપૂર્ણાંક મર્યાદિત અથવા સામયિક દશાંશ અપૂર્ણાંકને અનુલક્ષે છે અને તેનાથી ઊલટું, અને કોઈપણ પૂર્ણાંક દશાંશ બિંદુ પછી શૂન્ય સાથે દશાંશ અપૂર્ણાંક સાથે સંકળાયેલ હોઈ શકે છે.
ઉદાહરણ તરીકે, સંખ્યાઓ 5, 0, −13, તર્કસંગત સંખ્યાઓના ઉદાહરણો છે કારણ કે તે નીચેના દશાંશ અપૂર્ણાંક 5.0, 0.0, −13.0, 0.8 અને −7, (18) તરીકે લખી શકાય છે.
ચાલો આ મુદ્દાના સિદ્ધાંતને નીચેના નિવેદનો સાથે સમાપ્ત કરીએ:
- પૂર્ણાંકો અને અપૂર્ણાંકો (ધન અને નકારાત્મક) તર્કસંગત સંખ્યાઓનો સમૂહ બનાવે છે;
- દરેક તર્કસંગત સંખ્યાને પૂર્ણાંક અંશ અને કુદરતી છેદ સાથે અપૂર્ણાંક તરીકે રજૂ કરી શકાય છે, અને આવા દરેક અપૂર્ણાંક ચોક્કસ તર્કસંગત સંખ્યાને રજૂ કરે છે;
- દરેક તર્કસંગત સંખ્યાને મર્યાદિત અથવા અનંત સામયિક દશાંશ અપૂર્ણાંક તરીકે રજૂ કરી શકાય છે, અને આવા દરેક અપૂર્ણાંક તર્કસંગત સંખ્યાને રજૂ કરે છે.
શું આ સંખ્યા તર્કસંગત છે?
પાછલા ફકરામાં, આપણે શોધી કાઢ્યું કે કોઈપણ કુદરતી સંખ્યા, કોઈપણ પૂર્ણાંક, કોઈપણ સામાન્ય અપૂર્ણાંક, કોઈપણ મિશ્ર સંખ્યા, કોઈપણ મર્યાદિત દશાંશ અપૂર્ણાંક, તેમજ કોઈપણ સામયિક દશાંશ અપૂર્ણાંક એક તર્કસંગત સંખ્યા છે. આ જ્ઞાન અમને લેખિત સંખ્યાઓના સમૂહમાંથી તર્કસંગત સંખ્યાઓને "ઓળખવા" માટે પરવાનગી આપે છે.
પરંતુ જો સંખ્યા અમુક , અથવા તરીકે , વગેરેના રૂપમાં આપવામાં આવી હોય, તો આ સંખ્યા તર્કસંગત છે કે કેમ તે પ્રશ્નનો જવાબ કેવી રીતે આપવો? ઘણા કિસ્સાઓમાં તેનો જવાબ આપવો ખૂબ મુશ્કેલ છે. ચાલો વિચારની કેટલીક દિશાઓ સૂચવીએ.
જો સંખ્યાને આંકડાકીય અભિવ્યક્તિ તરીકે આપવામાં આવે છે જેમાં માત્ર તર્કસંગત સંખ્યાઓ અને અંકગણિત ચિહ્નો (+, −, · અને:) હોય છે, તો આ અભિવ્યક્તિનું મૂલ્ય એક તર્કસંગત સંખ્યા છે. તર્કસંગત સંખ્યાઓ સાથેની ક્રિયાઓ કેવી રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે તેના પરથી આ અનુસરે છે. ઉદાહરણ તરીકે, અભિવ્યક્તિમાં તમામ ક્રિયાઓ કર્યા પછી, આપણને તર્કસંગત નંબર 18 મળે છે.
કેટલીકવાર, અભિવ્યક્તિઓ અને વધુને સરળ બનાવ્યા પછી જટિલ પ્રકાર, આપેલ સંખ્યા તર્કસંગત છે કે કેમ તે નક્કી કરવું શક્ય બને છે.
ચાલો આગળ વધીએ. નંબર 2 એ એક તર્કસંગત સંખ્યા છે, કારણ કે કોઈપણ કુદરતી સંખ્યા તર્કસંગત છે. નંબર વિશે શું? શું તે તર્કસંગત છે? તે તારણ આપે છે કે ના, તે તર્કસંગત સંખ્યા નથી, તે અતાર્કિક સંખ્યા છે (વિરોધાભાસ દ્વારા આ હકીકતનો પુરાવો ગ્રેડ 8 માટે બીજગણિત પાઠયપુસ્તકમાં આપવામાં આવ્યો છે, સંદર્ભોની સૂચિમાં નીચે સૂચિબદ્ધ છે). નું વર્ગમૂળ પણ સાબિત થયું છે કુદરતી સંખ્યામાત્ર એવા કિસ્સાઓમાં જ એક તર્કસંગત સંખ્યા છે જ્યારે મૂળમાં એવી સંખ્યા હોય છે જે અમુક કુદરતી સંખ્યાનો સંપૂર્ણ વર્ગ હોય છે. ઉદાહરણ તરીકે, અને 81 = 9 2 અને 1 024 = 32 2 થી, અને સંખ્યાઓ અને પરિમેયીય નથી, કારણ કે સંખ્યાઓ 7 અને 199 નથી સંપૂર્ણ ચોરસકુદરતી સંખ્યાઓ.
સંખ્યા તર્કસંગત છે કે નહીં? IN આ કિસ્સામાંતે જોવાનું સરળ છે કે, તેથી, આ સંખ્યા તર્કસંગત છે. શું સંખ્યા તર્કસંગત છે? તે સાબિત થયું છે કે પૂર્ણાંકનું kth મૂળ એ તર્કસંગત સંખ્યા છે જો મૂળ ચિન્હ હેઠળની સંખ્યા અમુક પૂર્ણાંકની kth ઘાત હોય. તેથી, તે તર્કસંગત સંખ્યા નથી, કારણ કે ત્યાં કોઈ પૂર્ણાંક નથી જેની પાંચમી ઘાત 121 છે.
વિરોધાભાસ દ્વારા પદ્ધતિ તમને સાબિત કરવાની મંજૂરી આપે છે કે કેટલીક સંખ્યાઓના લઘુગણક કેટલાક કારણોસર તર્કસંગત સંખ્યાઓ નથી. ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો સાબિત કરીએ કે - એક તર્કસંગત સંખ્યા નથી.
ચાલો વિરુદ્ધ ધારીએ, એટલે કે, ચાલો કહીએ કે તે એક તર્કસંગત સંખ્યા છે અને તેને સામાન્ય અપૂર્ણાંક m/n તરીકે લખી શકાય છે. પછી અમે નીચેની સમાનતા આપીએ છીએ: . છેલ્લી સમાનતા અશક્ય છે, કારણ કે ડાબી બાજુએ છે વિષમ સંખ્યા 5 n, અને જમણી બાજુએ સમ સંખ્યા 2 m છે. તેથી, અમારી ધારણા ખોટી છે, તેથી તે તર્કસંગત સંખ્યા નથી.
નિષ્કર્ષમાં, તે ખાસ કરીને નોંધવું યોગ્ય છે કે સંખ્યાઓની તર્કસંગતતા અથવા અતાર્કિકતા નક્કી કરતી વખતે, વ્યક્તિએ અચાનક તારણો કાઢવાથી દૂર રહેવું જોઈએ.
ઉદાહરણ તરીકે, તમારે તરત જ ભારપૂર્વક કહેવું જોઈએ નહીં કે અતાર્કિક સંખ્યાઓ π અને e એક અતાર્કિક સંખ્યા છે, પરંતુ તે સાબિત નથી. આ પ્રશ્ન ઉભો કરે છે: "ઉત્પાદન એક તર્કસંગત સંખ્યા કેમ હશે?" અને શા માટે નહીં, કારણ કે તમે અતાર્કિક સંખ્યાઓનું ઉદાહરણ આપી શકો છો, જેનું ઉત્પાદન તર્કસંગત સંખ્યા આપે છે: .
સંખ્યાઓ અને અન્ય ઘણી સંખ્યાઓ તર્કસંગત છે કે નહીં તે પણ અજ્ઞાત છે. ઉદાહરણ તરીકે, અતાર્કિક સંખ્યાઓ છે જેની અતાર્કિક શક્તિ એક તર્કસંગત સંખ્યા છે. ઉદાહરણ માટે, અમે ફોર્મની ડિગ્રી રજૂ કરીએ છીએ, આ ડિગ્રીનો આધાર અને ઘાતાંક પરિમેય સંખ્યાઓ નથી, પરંતુ , અને 3 એક પરિમેય સંખ્યા છે.
સંદર્ભો.
- ગણિત. 6ઠ્ઠો ધોરણ: શૈક્ષણિક. સામાન્ય શિક્ષણ માટે સંસ્થાઓ / [એન. યા વિલેન્કીન અને અન્ય]. - 22મી આવૃત્તિ, રેવ. - એમ.: નેમોસીન, 2008. - 288 પૃષ્ઠ: બીમાર. ISBN 978-5-346-00897-2.
- બીજગણિત:પાઠ્યપુસ્તક 8મા ધોરણ માટે. સામાન્ય શિક્ષણ સંસ્થાઓ / [યુ. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; દ્વારા સંપાદિત એસ. એ. ટેલિયાકોવ્સ્કી. - 16મી આવૃત્તિ. - એમ.: શિક્ષણ, 2008. - 271 પૃષ્ઠ. : બીમાર. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- ગુસેવ વી.એ., મોર્ડકોવિચ એ.જી.ગણિત (તકનીકી શાળાઓમાં પ્રવેશ કરનારાઓ માટે માર્ગદર્શિકા): પ્રોક. ભથ્થું.- એમ.; ઉચ્ચ શાળા, 1984.-351 પૃ., બીમાર.
આ બહુપદીમાં પૂર્ણાંક ગુણાંક છે. જો પૂર્ણાંક આ બહુપદીનું મૂળ છે, તો તે સંખ્યા 16નો વિભાજક છે. આમ, જો આપેલ બહુપદીમાં પૂર્ણાંક મૂળ હોય, તો તે માત્ર ±1 સંખ્યાઓ જ હોઈ શકે છે; ±2; ±4; ±8; ±16. પ્રત્યક્ષ ચકાસણી દ્વારા, અમને ખાતરી છે કે સંખ્યા 2 એ આ બહુપદીનું મૂળ છે, એટલે કે, x 3 – 5x 2 – 2x + 16 = (x – 2)Q (x), જ્યાં Q (x) એ બહુપદીનું મૂળ છે. બીજી ડિગ્રી. પરિણામે, બહુપદી પરિબળોમાં વિઘટિત થાય છે, જેમાંથી એક છે (x – 2). બહુપદી Q (x) નો પ્રકાર શોધવા માટે અમે કહેવાતી હોર્નર યોજનાનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. આ પદ્ધતિનો મુખ્ય ફાયદો એ નોટેશનની કોમ્પેક્ટનેસ અને બહુપદીને દ્વિપદીમાં ઝડપથી વિભાજીત કરવાની ક્ષમતા છે. વાસ્તવમાં, હોર્નરની સ્કીમ એ ગ્રૂપિંગ પદ્ધતિને રેકોર્ડ કરવાનું બીજું સ્વરૂપ છે, જોકે, બાદમાંની જેમ, તે સંપૂર્ણપણે બિન-દૃશ્ય છે. જવાબ (ફેક્ટરાઇઝેશન) અહીં જાતે જ પ્રાપ્ત થાય છે, અને આપણે તેને મેળવવાની પ્રક્રિયા જોતા નથી. અમે હોર્નરની યોજનાના સખત પુરાવામાં જોડાઈશું નહીં, પરંતુ તે કેવી રીતે કાર્ય કરે છે તે જ બતાવીશું.
| 1 | −5 | −2 | 16 | |
| 2 | 1 | −3 | −8 | 0 |
તેની ઉપરના કોષમાંથી નંબર નીચેની લાઇનના બીજા કોષમાં "ખસેડવામાં" આવે છે, એટલે કે, 1. પછી તેઓ આ કરે છે. સમીકરણનું મૂળ (નંબર 2) છેલ્લી લેખિત સંખ્યા (1) દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે છે અને પરિણામ તે સંખ્યા સાથે ઉમેરવામાં આવે છે જે આગામી ફ્રી સેલની ઉપરની પંક્તિમાં છે, અમારા ઉદાહરણમાં અમારી પાસે છે:
વિભાજનથી પરિણમેલી બહુપદીની ડિગ્રી મૂળની ડિગ્રી કરતાં હંમેશા 1 ઓછી હોય છે. તેથી:
બહુપદીના તર્કસંગત મૂળ શોધવાનો પ્રશ્ન f(x)પ્ર[x] (તર્કસંગત ગુણાંક સાથે) બહુપદીના તર્કસંગત મૂળ શોધવાના પ્રશ્નમાં ઘટાડો કરે છે k
∙
f(x)
ઝેડ[x] (પૂર્ણાંક ગુણાંક સાથે). આ રહ્યો નંબર kઆપેલ બહુપદીના ગુણાંકના છેદનો લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંક છે.
જરૂરી છે, પરંતુ નહીં પૂરતી શરતોપૂર્ણાંક ગુણાંક સાથે બહુપદીના તર્કસંગત મૂળનું અસ્તિત્વ નીચેના પ્રમેય દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રમેય 6.1 (પૂર્ણાંક ગુણાંક સાથે બહુપદીના તર્કસંગત મૂળ પર).
જો
–
બહુપદીનું તર્કસંગત મૂળf(x)
=
a n
x n +
+
…+
a 1
x
+
a 0
સાથે
સમગ્ર
ગુણાંક, અને(પી,
q)
= 1, પછી અપૂર્ણાંકનો અંશપીમુક્ત શબ્દનો વિભાજક છે a 0
, અને છેદqઅગ્રણી ગુણાંક a નો વિભાજક છે 0
.
પ્રમેય 6.2.જો
પ્ર
(
જ્યાં
(પી,
q)
=
1)
બહુપદીનું તર્કસંગત મૂળ છે
f(x)
પૂર્ણાંક ગુણાંક સાથે, પછી
–સંપૂર્ણ સંખ્યાઓ.
ઉદાહરણ.બહુપદીના તમામ તર્કસંગત મૂળ શોધો
f(x) = 6 x 4 + x 3 + 2 x 2 – 4 x+ 1.
1. પ્રમેય 6.1 દ્વારા: જો
–
બહુપદીનું તર્કસંગત મૂળ f(x),
(ક્યાં( પી,
q)
= 1),
તે a 0
= 1
પી,
a n
= 6
q. તેથી જ પી 
{
1}, q 
(1, 2, 3, 6), જેનો અર્થ થાય છે
.
2. તે જાણીતું છે કે (કોરોલરી 5.3) નંબર એબહુપદીનું મૂળ છે f(x) જો અને માત્ર જો f(x) દ્વારા વિભાજિત થાય છે ( x - એ).
તેથી, સંખ્યાઓ 1 અને –1 એ બહુપદીના મૂળ છે કે કેમ તે તપાસવા માટે f(x) તમે હોર્નરની યોજનાનો ઉપયોગ કરી શકો છો:
f(1)
= 6
0,f(–1)
= 12
0, તેથી 1 અને –1 એ બહુપદીના મૂળ નથી f(x).
3. બાકીની કેટલીક સંખ્યાઓને નિંદણ કરવા માટે 
, ચાલો પ્રમેય 6.2 નો ઉપયોગ કરીએ. જો અભિવ્યક્તિઓ 
અથવા 
અનુરૂપ અંશ મૂલ્યો માટે પૂર્ણાંક મૂલ્યો સ્વીકારે છે પીઅને છેદ q, પછી કોષ્ટકના અનુરૂપ કોષોમાં (નીચે જુઓ) આપણે અક્ષર "ts" લખીશું, અન્યથા - "dr".
|
|
|
|
|
|||
|
| ||||||
|
|
=
=
4. હોર્નરની સ્કીમનો ઉપયોગ કરીને, અમે તપાસીએ છીએ કે બહાર કાઢ્યા પછી બાકી રહેલા નંબરો હશે કે કેમ 
મૂળ f(x). પ્રથમ ચાલો વિભાજન કરીએ f(x) થી ( એક્સ
–
).
પરિણામે અમારી પાસે છે: f(x) = (એક્સ – )(6 x 3 + 4 x 2 + 4 X - 2) અને – રુટ f(x). ખાનગી q(x) = 6 x 3 + 4 x 2 + 4 X - 2 ને ભાગાકાર કરો ( એક્સ + ).
કારણ કે q
(–)
= 3
0, પછી (–) એ બહુપદીનું મૂળ નથી q(x), અને તેથી બહુપદી f(x).
છેલ્લે, આપણે બહુપદીને વિભાજીત કરીએ છીએ q(x) = 6 x 3 + 4 x 2 + + 4 X - 2 પર ( એક્સ – ).
પ્રાપ્ત: q () = 0, એટલે કે – રૂટ q(x), અને તેથી મૂળ છે f (x). તેથી બહુપદી f (x) બે તર્કસંગત મૂળ ધરાવે છે: અને.
અપૂર્ણાંકના છેદમાં બીજગણિત અતાર્કિકતામાંથી મુક્તિ
શાળાના અભ્યાસક્રમમાં, અપૂર્ણાંકના છેદમાં અતાર્કિકતાથી છુટકારો મેળવવા માટે અમુક પ્રકારની સમસ્યાઓનું નિરાકરણ કરતી વખતે, અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદને છેદ સાથે જોડીને સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર કરવા માટે તે પૂરતું છે.
ઉદાહરણો. 1.t
=
.
અહીં સંક્ષિપ્ત ગુણાકાર સૂત્ર (ચોરસનો તફાવત) છેદમાં કામ કરે છે, જે તમને છેદમાં અતાર્કિકતાથી મુક્ત થવા દે છે.
2. અપૂર્ણાંકના છેદમાં અતાર્કિકતાથી તમારી જાતને મુક્ત કરો
t
=
. અભિવ્યક્તિ - સંખ્યાઓના તફાવતનો અપૂર્ણ વર્ગ એ=
અને b= 1. સંક્ષિપ્ત ગુણાકાર સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને એ 3
–
b 3
=
(a +b)
· ( a 2
–
ab
+
b 2
), અમે ગુણક નક્કી કરી શકીએ છીએ m
= (a +b)
=
+ 1, જેના દ્વારા અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદનો ગુણાકાર કરવો જોઈએ tઅપૂર્ણાંકના છેદમાં અતાર્કિકતાથી છુટકારો મેળવવા માટે t. આમ,
એવી પરિસ્થિતિઓમાં જ્યાં સંક્ષિપ્ત ગુણાકારના સૂત્રો કામ કરતા નથી, અન્ય તકનીકોનો ઉપયોગ કરી શકાય છે. નીચે આપણે એક પ્રમેય ઘડીશું, જેનો પુરાવો, ખાસ કરીને, અમને વધુ જટિલ પરિસ્થિતિઓમાં અપૂર્ણાંકના છેદમાં અતાર્કિકતાથી છુટકારો મેળવવા માટે અલ્ગોરિધમ શોધવાની મંજૂરી આપે છે.
વ્યાખ્યા 6.1.નંબર zકહેવાય છે ક્ષેત્ર પર બીજગણિત
એફ, જો બહુપદી હોય તો f(x)
એફ[x], જેનું મૂળ છે z, અન્યથા નંબર zકહેવાય છે ક્ષેત્ર પર ગુણાતીતએફ.
વ્યાખ્યા 6.2.ક્ષેત્ર પર બીજગણિતની ડિગ્રી
એફ
સંખ્યાઓ
zએક ક્ષેત્ર પર અફર ન થઈ શકે તેવી ડિગ્રી કહેવાય છે એફબહુપદી પી(x)
એફ[x], જેનું મૂળ સંખ્યા છે z.
ઉદાહરણ.ચાલો બતાવીએ કે સંખ્યા z = 
ક્ષેત્ર પર બીજગણિત છે પ્રઅને તેની ડિગ્રી શોધો.
ચાલો ફિલ્ડ પર એક અવિભાજ્ય શોધીએ પ્રબહુપદી પી(એક્સ), જેનું મૂળ છે x
=
. ચાલો સમાનતાની બંને બાજુઓ ઉભા કરીએ x
=
ચોથી શક્તિ સુધી, આપણને મળે છે એક્સ 4
= 2 અથવા એક્સ 4
–
2
= 0. તેથી, પી(એક્સ)
= એક્સ 4
–
2, અને સંખ્યાની શક્તિ zની સમાન ડિગ્રી
પી(એક્સ)
= 4.
પ્રમેય 6.3
(અપૂર્ણાંકના છેદમાં બીજગણિત અતાર્કિકતામાંથી મુક્તિ પર).દોz- એક ક્ષેત્ર પર બીજગણિત સંખ્યાએફડિગ્રીn. સ્વરૂપની અભિવ્યક્તિt
=
,જ્યાં
f(x),
(x)
એફ[x],
(z) 
0
ફક્ત ફોર્મમાં રજૂ કરી શકાય છે:
t
= સાથે n -1
z n -1
+
c n -2
z n -2
+ … +
c 1
z
+
c 0
,
c i
એફ.
અમે ચોક્કસ ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને અપૂર્ણાંકના છેદમાં અતાર્કિકતાથી છુટકારો મેળવવા માટેનું અલ્ગોરિધમ દર્શાવીશું.
ઉદાહરણ.અપૂર્ણાંકના છેદમાં અતાર્કિકતાથી તમારી જાતને મુક્ત કરો:
t
=
1. અપૂર્ણાંકનો છેદ એ બહુપદીનું મૂલ્ય છે 
(એક્સ)
= એક્સ 2
– એક્સ+1 જ્યારે એક્સ
=
. અગાઉનું ઉદાહરણ બતાવે છે કે 
- એક ક્ષેત્ર પર બીજગણિત નંબર પ્રડિગ્રી 4, કારણ કે તે એક અફર ન થઈ શકે તેવા ઓવરનું મૂળ છે પ્રબહુપદી પી(એક્સ)
= એક્સ 4
–
2.
2. ચાલો GCD નું રેખીય વિસ્તરણ શોધીએ ( 
(એક્સ),
પી(x)) યુક્લિડિયન અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કરીને.
_x 4 – 2 | x 2 -x + 1
x 4 -x 3 + x 2 x 2 + x = q 1 (x)
_ x 3 -x 2 – 2
x 3 -x 2 + x
x 2 -x + 1 | – x –2 = આર 1 (x )
x 2 + 2 x - x + 3 = q 2 (x)
_–3x+ 1
–3 x – 6
_ – x –2 |7 = આર 2
– x –2 -x - =q 3 (x)
તેથી, GCD ( 
(એક્સ),
પી(x))
= આર 2
=
7. ચાલો તેનું રેખીય વિસ્તરણ શોધીએ.
ચાલો બહુપદી સંકેતનો ઉપયોગ કરીને યુક્લિડિયન ક્રમ લખીએ.
પી(x)
=
(x)
· q 1
(x)
+ આર 1
(x)
આર 1
(x)
=પી(x)
–
(x)
· q 1
(x)
(x)
= આર 1
(x)
· q 2
(x)
+ આર 2
(x)
આર 2
(x)
=
(x)
– આર 1
(x)
· q 2
(x)
આર 1 (x) = આર 2 (x) · q 2 (x).
ચાલો 7= ને સમાનતામાં બદલીએ આર 2
(x)
=
(x)
– આર 1
(x)
· q 2
(x) બાકી મૂલ્ય આર 1
(x)
=
પી(x)
–
(x)
· q 1
(x), રૂપાંતરણો પછી આપણે GCD નું રેખીય વિસ્તરણ મેળવીએ છીએ( 
(એક્સ),
પી(x)):
7 = પી(x)
· (– q 2
(x))
+
(x) · . જો આપણે નોટેશનને બદલે છેલ્લી સમાનતામાં અનુરૂપ બહુપદીને બદલીએ અને ધ્યાનમાં લઈએ કે પી(
) = 0, તો આપણી પાસે છે:
(1 –
+
)
· (– 
+ 2
+ 3
+ 1)] = 7 (1)
3. સમાનતા (1) થી તે અનુસરે છે કે જો અપૂર્ણાંકનો છેદ tસંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર કરો m= , તો આપણને 7 મળે છે. આમ,
t
=
=.
પદ્ધતિ 16.પાઠ વિષય: બહુપદીનું પ્રમાણભૂત સ્વરૂપ
પાઠનો પ્રકાર: પાઠનું પરીક્ષણ અને નિરીક્ષણ જ્ઞાન અને કુશળતા
પાઠ હેતુઓ:
બહુપદીને પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં ઘટાડવાની તમારી ક્ષમતાનું પરીક્ષણ કરો
વિદ્યાર્થીઓના તાર્કિક વિચાર અને ધ્યાનનો વિકાસ કરો
સ્વતંત્રતા પાળવી
પાઠ માળખું:
સંસ્થાકીય ક્ષણ
બ્રીફિંગ
સ્વતંત્ર કાર્ય.
1. વાક્યો પૂર્ણ કરો:
a) મોનોમિઅલ્સનો સરવાળો ધરાવતી અભિવ્યક્તિ... (બહુપદી) કહેવાય છે.
b) એક બહુપદી જેમાં પ્રમાણભૂત મોનોમિયલ હોય અને તેમાં સમાન શબ્દો ન હોય તેને... (પ્રમાણભૂત બહુપદી) કહેવાય છે.
c) પ્રમાણભૂત સ્વરૂપના બહુપદીમાં સમાવિષ્ટ મોનોમિયલ્સની સૌથી મોટી શક્તિઓને... (બહુપદીની ડિગ્રી) કહેવામાં આવે છે.
d) બહુપદીની ડિગ્રી નક્કી કરતા પહેલા, તમારે... (તેને પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં લાવવાની) જરૂર છે.
e) બહુપદીનું મૂલ્ય શોધવા માટે, તમારે પ્રથમ... (બહુપદીને પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં રજૂ કરો), બીજું... (આ અભિવ્યક્તિમાં ચલની કિંમત બદલો) કરવાની જરૂર છે.
2. બહુપદીનું મૂલ્ય શોધો:
અ) 2 a 4 - ab+2 b 2 ખાતે a=-1, b=-0,5
b) x 2 +2 xy+ y 2 ખાતે x=1,2, y=-1,2
3. બહુપદીને પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં ઘટાડો:
અ) -5ah 2 + 7a 2 x + 2a 2 x + 9ax 2 - 4 એહ 2 - 8 એ 2 એક્સ;
b) (5x 2 – 7x – 13) – (3x 2 - 8x + 17);
વી) 2a - (1.4av + 2a 2 – 1) + (3a + 6.4av);
જી) (2 સે 2 – 1.6 સે + 4) – ((10.6 સે 2 + 4.4s – 0.3) – (3.6s 2 - 7 સે - 0.7));
4. બહુપદીને પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં લાવો અને કયા મૂલ્યો પર શોધો એક્સતેનું મૂલ્ય 1 છે:
અ) 2 x 2 -3 x- x 2 -5+2 x- x 2 +10;
b) 0,3 x 3 - x 2 + x- x 3 +3 x 2 +0,7 x 3 -2 x 2 +0,07
ટિકિટ નંબર 17.પૂર્ણાંકોની વિભાજ્યતા