સજાતીય રેખાના સમૂહના કેન્દ્રના કોઓર્ડિનેટ્સ. ડબલ ઇન્ટિગ્રલનો ઉપયોગ કરીને પ્લેન બાઉન્ડેડ આકૃતિના ગુરુત્વાકર્ષણ કેન્દ્રની ગણતરી કેવી રીતે કરવી? લાક્ષણિક ગણતરી કરવાનાં ઉદાહરણો

ચાલો આપણે શરીરના દળના કેન્દ્રને નિર્ધારિત કરવાનું ઉદાહરણ આપીએ અને તેને અલગ-અલગ શરીરમાં વિભાજીત કરીએ કે જેના દળના કેન્દ્રો જાણીતા છે.

ઉદાહરણ 1. સજાતીય પ્લેટ (ફિગ. 9) ના સમૂહના કેન્દ્રના કોઓર્ડિનેટ્સ નક્કી કરો. આકૃતિ 9 માં પરિમાણો મિલીમીટરમાં આપવામાં આવ્યા છે.

ઉકેલ:અમે સંકલન અક્ષો અને બતાવીએ છીએ. અમે પ્લેટને ભાગોમાં વિભાજીત કરીએ છીએ, જે ત્રણ લંબચોરસ દ્વારા રચાય છે. દરેક લંબચોરસ માટે આપણે કર્ણ દોરીએ છીએ, જેના આંતરછેદ બિંદુઓ દરેક લંબચોરસના સમૂહના કેન્દ્રોની સ્થિતિ નક્કી કરે છે. અપનાવેલ સંકલન પ્રણાલીમાં આ બિંદુઓના સંકલન મૂલ્યો શોધવાનું સરળ છે. જેમ કે:

(-1; 1), (1;5), (5;9). દરેક શરીરના વિસ્તારો અનુક્રમે સમાન છે:

; ; .

સમગ્ર પ્લેટનો વિસ્તાર છે:

આપેલ પ્લેટના સમૂહના કેન્દ્રના કોઓર્ડિનેટ્સ નક્કી કરવા માટે, અમે અભિવ્યક્તિઓ (21) નો ઉપયોગ કરીએ છીએ. આ સમીકરણમાં તમામ જાણીતા જથ્થાના મૂલ્યોને બદલીને, આપણને મળે છે

પ્લેટના સમૂહના કેન્દ્રના કોઓર્ડિનેટ્સના પ્રાપ્ત મૂલ્યો અનુસાર, અમે આકૃતિમાં બિંદુ C સૂચવીએ છીએ. જેમ તમે જોઈ શકો છો, પ્લેટના સમૂહનું કેન્દ્ર (ભૌમિતિક બિંદુ) તેની બહાર સ્થિત છે.

ઉમેરણ પદ્ધતિ. આ પદ્ધતિ અલગ કરવાની પદ્ધતિનો આંશિક કેસ છે. તે શરીર પર લાગુ કરી શકાય છે જેમાં કટઆઉટ્સ (વોઇડ્સ) હોય છે. તદુપરાંત, કટ આઉટ ભાગ વિના, શરીરના સમૂહના કેન્દ્રની સ્થિતિ જાણીતી છે. ઉદાહરણ તરીકે, આવી પદ્ધતિની અરજીનો વિચાર કરો.

ઉદાહરણ 2.ત્રિજ્યા R ની ગોળાકાર પ્લેટના સમૂહના કેન્દ્રની સ્થિતિ નક્કી કરો, જેમાં ત્રિજ્યા r (ફિગ. 10) નું કટઆઉટ છે. અંતર.

ઉકેલ: જેમ આપણે જોઈએ છીએ, ફિગ. 10 માંથી પ્લેટના દળનું કેન્દ્ર પ્લેટની સમપ્રમાણતાની ધરી પર છે, એટલે કે સીધી રેખા પર, કારણ કે આ સીધી રેખા સપ્રમાણતાની ધરી છે. આમ, આ પ્લેટના સમૂહના કેન્દ્રની સ્થિતિ નક્કી કરવા માટે, ફક્ત એક સંકલન નક્કી કરવું જરૂરી છે, કારણ કે બીજો સંકલન સમપ્રમાણતાના અક્ષ પર સ્થિત હશે અને શૂન્યને સંતુલિત કરશે. ચાલો સંકલન અક્ષો બતાવીએ . ચાલો ધારીએ કે પ્લેટ બે શરીરથી બનેલી છે - એક સંપૂર્ણ વર્તુળ (જેમ કે કટઆઉટ વિના) અને એક શરીર જે કટઆઉટ સાથે બનેલું હોય તેવું લાગે છે. અપનાવેલ સંકલન પ્રણાલીમાં, દર્શાવેલ સંસ્થાઓ માટેના સંકલન સમાન હશે: .શરીરના વિસ્તારો આના સમાન છે: ; . કુલ વિસ્તારસમગ્ર શરીરના પ્રથમ અને બીજા શરીરના વિસ્તારો વચ્ચેના તફાવત સમાન હશે, એટલે કે

જથ્થાની ગણતરી કરવા માટે મી,અને તમારે સૂત્રો (4), (5) અને (7) નો ઉપયોગ કરવાની જરૂર છે. પરિણામે આપણને મળે છે પાતળી પ્લેટના સમૂહના કેન્દ્રના કોઓર્ડિનેટ્સ માટેના સૂત્રો :

ઉદાહરણ 4 (એક સજાતીય પ્લેટના સમૂહના કેન્દ્રના કોઓર્ડિનેટ્સની ગણતરી)

રેખાઓ દ્વારા બંધાયેલ સજાતીય આકૃતિના દળના કેન્દ્રના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધો.

આકૃતિ બનાવ્યા પછી, અમે નોંધ્યું છે કે ભૌમિતિક રીતે તે સીધી રેખાની તુલનામાં સપ્રમાણ છે, કારણ કે આકૃતિ એક સમાન સામગ્રીથી બનેલી છે, તે માત્ર ભૌમિતિક જ નહીં, પણ ભૌતિક સમપ્રમાણતા પણ ધરાવે છે, એટલે કે તેના ભાગનો સમૂહ, જે સ્થિત છે. સમપ્રમાણતાની અક્ષની ડાબી બાજુએ, જમણી બાજુએ સ્થિત ભાગના સમૂહની બરાબર છે. પછી જાણવા મળ્યા મુજબ ભૌતિક ગુણધર્મોસમૂહનું કેન્દ્ર આપણે તારણ કાઢીએ છીએ કે તે સમપ્રમાણતાની ધરી પર છે, એટલે કે

ગણતરી કરવા માટે, અમે સ્થિર ક્ષણ કંપોઝ કરીએ છીએ અને સૂત્રો (4) અને (5) નો ઉપયોગ કરીએ છીએ:

;

જવાબ: સી.

ટ્રિપલ ઇન્ટિગ્રલ્સનો ઉપયોગ

ટ્રિપલ ઇન્ટિગ્રલ્સનો ઉપયોગ ડબલ ઇન્ટિગ્રલ્સ જેવો જ હોય ​​છે, પરંતુ માત્ર ત્રિ-પરિમાણીય ઘન પદાર્થો માટે.

જો આપણે ટ્રિપલ ઇન્ટિગ્રલના ગુણધર્મોમાંથી એકનો ઉપયોગ કરીએ છીએ (તેના મૂલ્ય વિશે એકતા સમાન સમાન કાર્યમાંથી), તો આપણને મળે છે કોઈપણ અવકાશી શરીરના વોલ્યુમની ગણતરી માટેનું સૂત્ર :

અમે વોલ્યુમ માટે સૂત્ર લખીએ છીએ ત્રિવિધ અભિન્નઅને નળાકાર કોઓર્ડિનેટ્સમાં ટ્રિપલ ઇન્ટિગ્રલની ગણતરી કરો:

જવાબ: (વોલ્યુમ એકમો).

વોલ્યુમ V પર કબજો કરતા ત્રિ-પરિમાણીય ઑબ્જેક્ટના સમૂહની ગણતરી માટેનું સૂત્ર, ફોર્મ ધરાવે છે:

(13)

અહીં તે છે જથ્થાબંધ ઘનતાસામૂહિક વિતરણ.

ઉદાહરણ 6 (ત્રિ-પરિમાણીય શરીરના સમૂહની ગણતરી)

ત્રિજ્યાના બોલનું દળ શોધો આર, જો ઘનતા કેન્દ્રથી અંતરના ક્યુબના પ્રમાણસર હોય અને પ્રતિ એકમ અંતર બરાબર હોય k.

વી: પ્રાથમિક વોલ્યુમ અને .

નોંધ કરો કે અહીં, ટ્રિપલ ઇન્ટિગ્રલની ગણતરી કરતી વખતે, પરિણામ ઇન્ટિગ્રલ્સનું ઉત્પાદન હતું, કારણ કે આંતરિક અવિભાજ્ય બાહ્ય પૂર્ણાંકોના ચલોથી સ્વતંત્ર હોવાનું બહાર આવ્યું છે.

જવાબ: (દળના એકમો).

વોલ્યુમ માટે યાંત્રિક લાક્ષણિકતાઓ વી(સ્થિર ક્ષણો, જડતાની ક્ષણો, સમૂહના કેન્દ્રના કોઓર્ડિનેટ્સ) ની ગણતરી સૂત્રો દ્વારા કરવામાં આવે છે જે

દ્વિ-પરિમાણીય સંસ્થાઓ માટેના સૂત્રો સાથે સામ્યતા દ્વારા સંકલિત કરવામાં આવે છે.

પ્રાથમિક સ્થિર ક્ષણો અને સંકલન અક્ષોને સંબંધિત જડતાની ક્ષણો:

સંકલન વિમાનો અને કોઓર્ડિનેટ્સની ઉત્પત્તિ સંબંધિત જડતાની પ્રાથમિક ક્ષણો:

આગળ, સમગ્ર વોલ્યુમની યાંત્રિક લાક્ષણિકતાઓની ગણતરી કરવા માટે વી, તમારે પાર્ટીશનના તમામ ભાગો પર આ લાક્ષણિકતાની પ્રાથમિક શરતોનો સરવાળો કરવાની જરૂર છે (કારણ કે ગણતરી કરેલ લાક્ષણિકતામાં ઉમેરણની મિલકત છે), અને પછી પરિણામી રકમની મર્યાદા પર જાઓ, જો કે પાર્ટીશનના તમામ પ્રાથમિક ભાગો અનિશ્ચિત રૂપે ઘટાડો (પોઇન્ટ્સમાં કરાર). આ ક્રિયાઓને ગણતરી કરેલ યાંત્રિક લાક્ષણિકતાના પ્રારંભિક શબ્દના એકીકરણ તરીકે વર્ણવવામાં આવે છે. વી.

પરિણામ નીચે મુજબ છે ગણતરી માટેના સૂત્રો સ્થિર ક્ષણોએમ અને ત્રિ-પરિમાણીય શરીરના જડતા Iની ક્ષણો :

વ્યવહારમાં, આ ફોર્મ્યુલાનો માત્ર તૈયાર ફોર્મ્યુલા તરીકે ઉપયોગ કરવો જ નહીં, પણ સમસ્યાનું નિરાકરણ લાવવા માટે પણ ઉપયોગી છે.

ઉદાહરણો 7 (ત્રિ-પરિમાણીય સંસ્થાઓની યાંત્રિક લાક્ષણિકતાઓની ગણતરી)

સજાતીય સિલિન્ડરની જડતાની ક્ષણ શોધો જેની ઊંચાઈ છે hઅને આધાર ત્રિજ્યા આર, પાયાના વ્યાસ સાથે સુસંગત અક્ષની તુલનામાં.

ચાલો અંતર શોધીએ ડીસિલિન્ડર પરના મનસ્વી બિંદુ માટે:

બિંદુથી અક્ષ સુધીના કોઓર્ડિનેટ્સ સાથેનું અંતર – આ બિંદુથી ધરી તરફ દોરેલા લંબની લંબાઈ છે . ચાલો ધરીને કાટખૂણે એક સમતલ બનાવીએ જેથી બિંદુ આ સમતલનું હોય. પછી ધરીને છેદતી કોઈપણ સીધી રેખા અને આ સમતલ સાથે સંબંધિત હશે તે લંબરૂપ હશે . ખાસ કરીને, સીધી રેખાને જોડતા બિંદુ અને બિંદુ અક્ષને લંબરૂપ હશે, અને આ બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર જરૂરી અંતર હશે. ડી. અમે બે બિંદુઓ વચ્ચેના અંતર માટે જાણીતા સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને તેની ગણતરી કરીએ છીએ.

– સપાટ બાઉન્ડેડ આકૃતિના ગુરુત્વાકર્ષણ કેન્દ્રની ગણતરી. ઘણા વાચકો સાહજિક રીતે સમજે છે કે ગુરુત્વાકર્ષણનું કેન્દ્ર શું છે, પરંતુ, તેમ છતાં, હું એક પાઠમાંથી સામગ્રીનું પુનરાવર્તન કરવાની ભલામણ કરું છું. વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિ, જ્યાં મેં બહાર કાઢ્યું ત્રિકોણના ગુરુત્વાકર્ષણ કેન્દ્ર વિશે સમસ્યાઅને તેને સુલભ સ્વરૂપમાં સમજાવ્યું ભૌતિક અર્થઆ શબ્દ.

સ્વતંત્ર અને નિયંત્રણ કાર્યોમાં, ઉકેલો સામાન્ય રીતે ઓફર કરવામાં આવે છે સૌથી સરળ કેસ- ફ્લેટ મર્યાદિત સજાતીયઆકૃતિ, એટલે કે, સતત ભૌતિક ઘનતાની આકૃતિ - કાચ, લાકડું, ટીન, કાસ્ટ-આયર્ન રમકડાં, મુશ્કેલ બાળપણ, વગેરે. આગળ, મૂળભૂત રીતે, અમે ફક્ત આવા આંકડાઓ વિશે વાત કરીશું =)

પ્રથમ નિયમ અને સૌથી સરળ ઉદાહરણ : જો સપાટ આકૃતિ હોય સમપ્રમાણતાનું કેન્દ્ર, તો તે આ આકૃતિનું ગુરુત્વાકર્ષણ કેન્દ્ર છે. ઉદાહરણ તરીકે, ગોળાકાર સજાતીય પ્લેટનું કેન્દ્ર. તે રોજિંદા જીવનમાં તાર્કિક અને સમજી શકાય તેવું છે - આવી આકૃતિનો સમૂહ કેન્દ્રની તુલનામાં "બધી દિશામાં યોગ્ય રીતે વિતરિત" છે. હું તેને ફેરવવા માંગતો નથી.

જો કે, કઠોર વાસ્તવિકતાઓમાં, તેઓ તમને મીઠી ફેંકવાની શક્યતા નથી લંબગોળ ચોકલેટ બાર, તેથી તમારે તમારી જાતને કેટલાક ગંભીર રસોડાના સાધનોથી સજ્જ કરવું પડશે:

સપાટ સજાતીય મર્યાદિત આકૃતિના ગુરુત્વાકર્ષણ કેન્દ્રના કોઓર્ડિનેટ્સની ગણતરી નીચેના સૂત્રો દ્વારા કરવામાં આવે છે:

, અથવા:

, પ્રદેશનો વિસ્તાર ક્યાં છે (આકૃતિ); અથવા ખૂબ જ ટૂંકમાં:

, ક્યાં

આપણે પરંપરાગત રીતે ઈન્ટિગ્રલને “X” ઈન્ટિગ્રલ અને ઈન્ટિગ્રલને “Y” ઈન્ટિગ્રલ કહીશું.

મદદ નોંધ : ફ્લેટ લિમિટેડ માટે વિજાતીયઆકૃતિઓ, જેની ઘનતા કાર્ય દ્વારા નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવે છે, સૂત્રો વધુ જટિલ છે:
, ક્યાં - આકૃતિનો સમૂહ;એકસમાન ઘનતાના કિસ્સામાં, તેઓ ઉપરોક્ત સૂત્રોમાં સરળ છે.

હકીકતમાં, બધી નવીનતા સૂત્રો સાથે સમાપ્ત થાય છે, બાકીની તમારી કુશળતા છે ડબલ ઇન્ટિગ્રલ ઉકેલોમાર્ગ દ્વારા, હવે તમારી ટેકનિકનો અભ્યાસ કરવા અને તેને સુધારવાની એક શ્રેષ્ઠ તક છે. અને, જેમ તમે જાણો છો, પૂર્ણતાની કોઈ મર્યાદા નથી =)

ચાલો પેરાબોલાસનો એક પ્રેરણાદાયક ભાગ ફેંકીએ:

ઉદાહરણ 1

રેખાઓ દ્વારા બંધાયેલ સજાતીય સપાટ આકૃતિના ગુરુત્વાકર્ષણ કેન્દ્રના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધો.

ઉકેલ: અહીં લીટીઓ પ્રાથમિક છે: તે x-અક્ષને વ્યાખ્યાયિત કરે છે, અને સમીકરણ - એક પેરાબોલા, જે સરળતાથી અને ઝડપથી બનાવી શકાય છે આલેખનું ભૌમિતિક પરિવર્તન:

– પેરાબોલા, 2 યુનિટ ડાબી તરફ અને 1 યુનિટ નીચે શિફ્ટ કર્યા.

હું આકૃતિના ગુરુત્વાકર્ષણના કેન્દ્રના સમાપ્ત બિંદુ સાથે એક જ સમયે આખું ચિત્ર પૂર્ણ કરીશ:

નિયમ બે: જો આકૃતિ છે સમપ્રમાણતાની અક્ષ, તો આ આકૃતિનું ગુરુત્વાકર્ષણનું કેન્દ્ર આવશ્યકપણે આ ધરી પર આવેલું છે.

અમારા કિસ્સામાં, આકૃતિ આદર સાથે સપ્રમાણ છે પ્રત્યક્ષ, એટલે કે, હકીકતમાં, આપણે પહેલાથી જ બિંદુ "em" ના "x" સંકલનને જાણીએ છીએ.

એ પણ નોંધો કે વર્ટિકલી ગુરુત્વાકર્ષણનું કેન્દ્ર x-અક્ષની નજીક સ્થાનાંતરિત થાય છે, કારણ કે ત્યાં આકૃતિ વધુ વિશાળ છે.

હા, કદાચ દરેક જણ હજુ સુધી સંપૂર્ણ રીતે સમજી શક્યું નથી કે ગુરુત્વાકર્ષણનું કેન્દ્ર શું છે: મહેરબાની કરીને તમારી તર્જની ઉપર ઉંચી કરો અને માનસિક રીતે તેના પર એક બિંદુ સાથે શેડ કરેલ "સોલ" મૂકો. સૈદ્ધાંતિક રીતે, આકૃતિ પડવી જોઈએ નહીં.

આપણે સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને આકૃતિના ગુરુત્વાકર્ષણ કેન્દ્રના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધીએ છીએ , ક્યાં .

વિસ્તાર (આકૃતિ) ને પાર કરવાનો ક્રમ અહીં સ્પષ્ટ છે:

ધ્યાન આપો!સૌથી ફાયદાકારક ટ્રાવર્સલ ઓર્ડર પર નિર્ણય લેવો એકવાર- અને તેનો ઉપયોગ કરો દરેક માટેઅભિન્ન

1) પ્રથમ, આકૃતિના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરો. ઇન્ટિગ્રલની સાપેક્ષ સરળતાને લીધે, ઉકેલને સઘન રીતે લખી શકાય છે, મુખ્ય વસ્તુ ગણતરીમાં મૂંઝવણમાં ન આવવાની છે:

અમે ડ્રોઇંગ જોઈએ છીએ અને કોષો દ્વારા વિસ્તારનો અંદાજ લગાવીએ છીએ. તે કેસ અંગે હોવાનું બહાર આવ્યું છે.

2) ગુરુત્વાકર્ષણ કેન્દ્રનું X સંકલન પહેલેથી જ મળી આવ્યું છે “ ગ્રાફિકલ પદ્ધતિ", જેથી તમે સમપ્રમાણતાનો સંદર્ભ લઈ શકો અને આગલા મુદ્દા પર આગળ વધી શકો. જો કે, હું હજી પણ આ કરવાની ભલામણ કરતો નથી - "સૂત્રનો ઉપયોગ કરો" શબ્દ સાથે ઉકેલને નકારવામાં આવશે તેવી ઉચ્ચ સંભાવના છે.

મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે અહીં તમે ફક્ત માનસિક ગણતરીઓ દ્વારા મેળવી શકો છો - કેટલીકવાર અપૂર્ણાંકને સામાન્ય છેદમાં ઘટાડવા અથવા કેલ્ક્યુલેટરને ત્રાસ આપવો જરૂરી નથી.

આમ:
, જે મેળવવાની જરૂર હતી.

3) ગુરુત્વાકર્ષણ કેન્દ્રનું ઓર્ડિનેટ શોધો. ચાલો આપણે "ગેમ" અભિન્ન ની ગણતરી કરીએ:

પરંતુ અહીં તે કેલ્ક્યુલેટર વિના મુશ્કેલ હશે. માત્ર કિસ્સામાં, હું ટિપ્પણી કરીશ કે બહુપદીના ગુણાકારના પરિણામે, આપણને 9 પદ મળે છે, અને તેમાંથી કેટલાક સમાન છે. મેં મૌખિક રીતે સમાન શરતો આપી (જેમ કે સામાન્ય રીતે સમાન કિસ્સાઓમાં કરવામાં આવે છે)અને તરત જ કુલ રકમ લખી.

પરિણામે:
, જે સત્ય સાથે ખૂબ જ સમાન છે.

અંતિમ તબક્કે, ચિત્ર પર એક બિંદુ ચિહ્નિત કરો. શરત મુજબ, કંઈપણ દોરવાની કોઈ આવશ્યકતા નહોતી, પરંતુ મોટાભાગના કાર્યોમાં આપણને આકૃતિ દોરવાની ફરજ પાડવામાં આવે છે. પરંતુ ત્યાં એક સંપૂર્ણ વત્તા છે - પરિણામની દ્રશ્ય અને તદ્દન અસરકારક ચકાસણી.

જવાબ આપો:

નીચેના બે ઉદાહરણો માટે છે સ્વતંત્ર નિર્ણય.

ઉદાહરણ 2

રેખાઓ દ્વારા બંધાયેલ સજાતીય સપાટ આકૃતિના ગુરુત્વાકર્ષણ કેન્દ્રના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધો

માર્ગ દ્વારા, જો તમે કલ્પના કરો કે પેરાબોલા કેવી રીતે સ્થિત છે અને તે બિંદુઓને જોયા છે કે જેના પર તે અક્ષને છેદે છે, તો અહીં તમે ખરેખર ડ્રોઇંગ વિના કરી શકો છો.

અને વધુ જટિલ:

ઉદાહરણ 3

રેખાઓ દ્વારા બંધાયેલ સજાતીય સપાટ આકૃતિનું ગુરુત્વાકર્ષણ કેન્દ્ર શોધો

જો તમને આલેખ બનાવવામાં કોઈ મુશ્કેલી હોય, તો અભ્યાસ (પુનરાવર્તિત કરો) પેરાબોલાસ વિશે પાઠઅને/અથવા લેખના ઉદાહરણ નંબર 11 ડમી માટે ડબલ ઇન્ટિગ્રલ્સ.

પાઠના અંતે નમૂના ઉકેલો.

વધુમાં, એક ડઝન કે બે સમાન ઉદાહરણો પૃષ્ઠ પરના અનુરૂપ આર્કાઇવમાં મળી શકે છે ઉચ્ચ ગણિત માટે તૈયાર ઉકેલો.

ઠીક છે, હું મદદ કરી શકતો નથી પરંતુ ઉચ્ચ ગણિતના ચાહકોને કૃપા કરીને, જેઓ ઘણીવાર મને મુશ્કેલ સમસ્યાઓનું વિશ્લેષણ કરવાનું કહે છે:

ઉદાહરણ 4

રેખાઓ દ્વારા બંધાયેલ સજાતીય સપાટ આકૃતિનું ગુરુત્વાકર્ષણ કેન્દ્ર શોધો. ચિત્ર પર આકૃતિ અને તેનું ગુરુત્વાકર્ષણ કેન્દ્ર દોરો.

ઉકેલ: આ કાર્યની સ્થિતિ માટે પહેલેથી જ સ્પષ્ટપણે ડ્રોઇંગ પૂર્ણ કરવાની જરૂર છે. પરંતુ જરૂરિયાત એટલી ઔપચારિક નથી! - સરેરાશ સ્તરની તાલીમ ધરાવનાર વ્યક્તિ પણ તેના મનમાં આ આંકડાની કલ્પના કરી શકે છે:

એક સીધી રેખા વર્તુળને 2 ભાગોમાં કાપે છે, અને વધારાની કલમ (સે.મી. રેખીય અસમાનતાઓ) સૂચવે છે કે અમે નાના છાંયેલા ભાગ વિશે વાત કરી રહ્યા છીએ.

આકૃતિ સીધી રેખા (ડોટેડ લાઇન દ્વારા દર્શાવવામાં આવી છે) ની તુલનામાં સપ્રમાણ છે, તેથી ગુરુત્વાકર્ષણનું કેન્દ્ર આ રેખા પર હોવું જોઈએ. અને, દેખીતી રીતે, તેના કોઓર્ડિનેટ્સ સમાન છે મોડ્યુલો. એક ઉત્તમ માર્ગદર્શિકા જે ભૂલભરેલા જવાબની શક્યતાને વર્ચ્યુઅલ રીતે દૂર કરે છે!

હવે ખરાબ સમાચાર =) મૂળનું એક અપ્રિય અભિન્ન અંગ ક્ષિતિજ પર ઉભરી રહ્યું છે, જે અમે પાઠના ઉદાહરણ નંબર 4 માં વિગતવાર તપાસ્યું છે. ઇન્ટિગ્રલ્સ ઉકેલવા માટેની કાર્યક્ષમ પદ્ધતિઓ. અને કોણ જાણે ત્યાં બીજું શું દોરવામાં આવશે. એવું લાગશે કે હાજરીને કારણે વર્તુળનફાકારક, પરંતુ બધું એટલું સરળ નથી. સીધી રેખાનું સમીકરણ સ્વરૂપમાં રૂપાંતરિત થાય છે અને ઇન્ટિગ્રલ્સ પણ ખાંડ બનશે નહીં (જોકે ચાહકો ત્રિકોણમિતિ અવિભાજ્યપ્રશંસા કરશે). આ સંદર્ભે, કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ્સ પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરવું વધુ સમજદાર છે.

આકૃતિને પાર કરવાનો ક્રમ:

1) આકૃતિના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરો:

પ્રથમ ઇન્ટિગ્રલ લેવું વધુ તર્કસંગત છે વિભેદક સાઇન સબમિંગ:

અને બીજા અભિન્નમાં અમે પ્રમાણભૂત રિપ્લેસમેન્ટ કરીએ છીએ:

ચાલો એકીકરણની નવી મર્યાદાઓની ગણતરી કરીએ:

2) ચાલો શોધીએ.

અહીં 2જી ઇન્ટિગ્રલમાં તેનો ફરીથી ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો હતો વિભેદક ચિન્હ હેઠળ કાર્યને સબમ કરવાની પદ્ધતિ. પ્રેક્ટિસ કરો અને આ શ્રેષ્ઠ અપનાવો (મારા મતે)પ્રમાણભૂત ઇન્ટિગ્રલ્સ ઉકેલવા માટેની તકનીકો.

મુશ્કેલ અને સમય માંગી લેતી ગણતરીઓ પછી, અમે ફરીથી અમારું ધ્યાન ચિત્ર તરફ ફેરવીએ છીએ (તે મુદ્દાઓ યાદ રાખો અમને હજુ સુધી ખબર નથી! ) અને અમને મળેલ મૂલ્યથી ઊંડો નૈતિક સંતોષ મળે છે.

3) અગાઉ કરવામાં આવેલા વિશ્લેષણના આધારે, તે ખાતરી કરવા માટે રહે છે કે .

મહાન:

ચાલો એક બિંદુ દોરીએ ચિત્ર પર. શરતના શબ્દો અનુસાર, અમે તેને અંતિમ તરીકે લખીએ છીએ જવાબ:

તમારા પોતાના પર હલ કરવા માટે તમારા માટે સમાન કાર્ય:

ઉદાહરણ 5

રેખાઓ દ્વારા બંધાયેલ સજાતીય સપાટ આકૃતિનું ગુરુત્વાકર્ષણ કેન્દ્ર શોધો. ડ્રોઇંગ ચલાવો.

આ સમસ્યા રુચિની છે કારણ કે તેમાં એકદમ નાના કદની આકૃતિ છે, અને જો તમે ક્યાંક ભૂલ કરો છો, તો તે વિસ્તારમાં "પ્રવેશ ન થવા" ની ઉચ્ચ સંભાવના છે. જે નિર્ણય નિયંત્રણના દૃષ્ટિકોણથી ચોક્કસપણે સારું છે.

પાઠના અંતે નમૂનાની ડિઝાઇન.

ક્યારેક તે અર્થમાં બનાવે છે ડબલ ઇન્ટિગ્રલ્સમાં ધ્રુવીય કોઓર્ડિનેટ્સનું સંક્રમણ. તે આકૃતિ પર આધાર રાખે છે. મેં એક સફળ ઉદાહરણ શોધ્યું અને શોધ્યું, પરંતુ તે શોધી શક્યું નહીં, તેથી હું ઉપરોક્ત પાઠની 1લી ડેમો સમસ્યામાં ઉકેલ દર્શાવીશ:


ચાલો હું તમને યાદ કરાવું કે તે ઉદાહરણમાં આપણે ગયા હતા ધ્રુવીય કોઓર્ડિનેટ્સ, વિસ્તાર પસાર કરવાનો ક્રમ શોધી કાઢ્યો અને તેના વિસ્તારની ગણતરી કરી

ચાલો આ આકૃતિનું ગુરુત્વાકર્ષણ કેન્દ્ર શોધીએ. યોજના સમાન છે: . મૂલ્ય સીધા ડ્રોઇંગમાંથી જોવામાં આવે છે, અને "x" કોઓર્ડિનેટને ઓર્ડિનેટ અક્ષની થોડી નજીક ખસેડવું જોઈએ, કારણ કે અર્ધવર્તુળનો વધુ વિશાળ ભાગ ત્યાં સ્થિત છે.

ઇન્ટિગ્રલ્સમાં અમે માનક સંક્રમણ સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:

સંભવતઃ, મોટે ભાગે, તેઓ ભૂલથી ન હતા.

3 ડબલ ઇન્ટિગ્રલ્સનો ઉપયોગ

3.1 સૈદ્ધાંતિક પરિચય

ચાલો એપ્લિકેશનો પર વિચાર કરીએ ડબલ અભિન્નસંખ્યાબંધ ભૌમિતિક અને યાંત્રિક સમસ્યાઓના ઉકેલ માટે.

3.1.1 સપાટ પ્લેટના વિસ્તાર અને સમૂહની ગણતરી

પાતળી સામગ્રીની પ્લેટનો વિચાર કરો ડી, પ્લેનમાં સ્થિત છે ઓહુ. ચોરસ એસઆ પ્લેટની ફોર્મ્યુલા અનુસાર ડબલ ઇન્ટિગ્રલનો ઉપયોગ કરીને શોધી શકાય છે:

3.1.2 સ્થિર ક્ષણો. સપાટ પ્લેટના સમૂહનું કેન્દ્ર

સ્થિર ક્ષણ એમ xધરીને સંબંધિત બળદસામગ્રી બિંદુ પી(x;y), પ્લેનમાં પડેલો ઓક્સીઅને માસ ધરાવે છે m, એ બિંદુના સમૂહ અને તેના ઓર્ડિનેટનું ઉત્પાદન કહેવાય છે, એટલે કે. એમ x = મારું. સ્થિર ક્ષણ એ જ રીતે નક્કી કરવામાં આવે છે એમ yધરીને સંબંધિત ઓય: ­ ­ ­ એમ y = mx. સ્થિર ક્ષણોસપાટીની ઘનતા સાથે સપાટ પ્લેટ γ = γ (x, y) ની ગણતરી સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે:

જેમ કે મિકેનિક્સથી જાણીતું છે, કોઓર્ડિનેટ્સ x c , વાય cસપાટ સામગ્રી સિસ્ટમના સમૂહનું કેન્દ્ર સમાનતાઓ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે:

જ્યાં mસિસ્ટમનો સમૂહ છે, અને એમ xઅને એમ y- સિસ્ટમની સ્થિર ક્ષણો. ફ્લેટ પ્લેટ માસ mસૂત્ર (1) દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે, સપાટ પ્લેટની સ્થિર ક્ષણોની ગણતરી સૂત્રો (3) અને (4) નો ઉપયોગ કરીને કરી શકાય છે. પછી, સૂત્રો (5) અનુસાર, અમે સપાટ પ્લેટના સમૂહના કેન્દ્રના કોઓર્ડિનેટ્સ માટે અભિવ્યક્તિ મેળવીએ છીએ:

સામાન્ય ગણતરીમાં બે કાર્યો હોય છે. દરેક સમસ્યાને સપાટ પ્લેટ આપવામાં આવે છે ડી, સમસ્યા નિવેદનમાં ઉલ્લેખિત રેખાઓ દ્વારા બંધાયેલ છે. જી(x,y) - પ્લેટની સપાટીની ઘનતા ડી. આ પ્લેટ માટે શોધો: 1. એસ- ચોરસ; 2. m- સમૂહ; 3. એમ y , એમ x- અક્ષો વિશે સ્થિર ક્ષણો ઓહઅને ઓહઅનુક્રમે; 4. , – સમૂહના કેન્દ્રના કોઓર્ડિનેટ્સ.

3.3 લાક્ષણિક ગણતરી કરવા માટેની પ્રક્રિયા

દરેક સમસ્યા હલ કરતી વખતે, તે જરૂરી છે: 1 આપેલ વિસ્તારનું ચિત્ર દોરો. કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ પસંદ કરો જેમાં ડબલ ઇન્ટિગ્રલ્સની ગણતરી કરવામાં આવશે. 2. પસંદ કરેલ સંકલન પ્રણાલીમાં અસમાનતાઓની સિસ્ટમના સ્વરૂપમાં વિસ્તાર લખો. 3. વિસ્તારની ગણતરી કરો એસઅને માસ mસૂત્રો (1) અને (2) અનુસાર પ્લેટો. 4. સ્થિર ક્ષણોની ગણતરી કરો એમ y , એમ xસૂત્રો (3) અને (4) અનુસાર. 5. સૂત્રો (6) નો ઉપયોગ કરીને સમૂહના કેન્દ્રના કોઓર્ડિનેટ્સની ગણતરી કરો. ડ્રોઇંગ પર સમૂહનું કેન્દ્ર દોરો. આ કિસ્સામાં, પ્રાપ્ત પરિણામોનું દ્રશ્ય (ગુણાત્મક) નિયંત્રણ થાય છે. સંખ્યાત્મક જવાબો ત્રણ નોંધપાત્ર આંકડાઓને આપવા આવશ્યક છે.

3.4 લાક્ષણિક ગણતરી કરવાનાં ઉદાહરણો

કાર્ય 1.પ્લેટ ડીરેખાઓ દ્વારા મર્યાદિત: y = 4 – x 2 ; એક્સ = 0; y = 0 (x ≥ 0; y ≥ 0) સપાટીની ઘનતા γ 0 = 3. ઉકેલ.સમસ્યામાં ઉલ્લેખિત વિસ્તાર પેરાબોલા દ્વારા મર્યાદિત છે y = 4 – x 2, સંકલન અક્ષો અને પ્રથમ ક્વાર્ટરમાં આવેલા છે (ફિગ. 1). અમે કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં સમસ્યા હલ કરીશું. આ પ્રદેશને અસમાનતાની સિસ્ટમ દ્વારા વર્ણવી શકાય છે:

ચોખા. 1

ચોરસ એસપ્લેટ સમાન છે (1): પ્લેટ સજાતીય હોવાથી, તેનું દળ m = γ 0 એસ= 3· = 16. સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને (3), (4) આપણે પ્લેટની સ્થિર ક્ષણો શોધીએ છીએ: સમૂહના કેન્દ્રના કોઓર્ડિનેટ્સ સૂત્ર (6) અનુસાર જોવા મળે છે: જવાબ: એસ ≈ 5,33; m = 16; એમ x = 25,6; એમ y = 12; = 0,75; = 1,6.

કાર્ય 2.પ્લેટ ડીરેખાઓ દ્વારા મર્યાદિત: એક્સ 2 + ખાતે 2 = 4; એક્સ = 0, ખાતે = એક્સ (એક્સ ≥ 0, ખાતે≥ 0). સપાટીની ઘનતા γ (x,y) = ખાતે. ઉકેલ.પ્લેટ કોઓર્ડિનેટ્સ (ફિગ. 2) ના મૂળમાંથી પસાર થતી વર્તુળ અને સીધી રેખાઓ દ્વારા મર્યાદિત છે. તેથી, સમસ્યાને ઉકેલવા માટે ધ્રુવીય સંકલન પ્રણાલીનો ઉપયોગ કરવો અનુકૂળ છે. ધ્રુવીય કોણ φ π/4 થી π/2 માં બદલાય છે. પ્લેટ દ્વારા ધ્રુવમાંથી લેવામાં આવેલ કિરણ ρ = 0 પર "પ્રવેશ કરે છે" અને વર્તુળ પર "બહાર જાય છે" જેનું સમીકરણ છે: એક્સ 2 + ખાતે 2 = 4 <=>ρ = 2.

ચોખા. 2

પરિણામે, આપેલ વિસ્તાર અસમાનતાઓની સિસ્ટમ દ્વારા લખી શકાય છે: અમે સૂત્ર (1) નો ઉપયોગ કરીને પ્લેટનો વિસ્તાર શોધીએ છીએ: અમે ફોર્મ્યુલા (2) નો ઉપયોગ કરીને પ્લેટનો સમૂહ શોધીએ છીએ, અવેજીમાં γ (x,y) = y = ρપાપ φ :
પ્લેટની સ્થિર ક્ષણોની ગણતરી કરવા માટે, અમે સૂત્રો (3) અને (4) નો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
અમે સૂત્રો (6) નો ઉપયોગ કરીને સમૂહના કેન્દ્રના કોઓર્ડિનેટ્સ મેળવીએ છીએ: જવાબ: એસ ≈ 1,57; m ≈ 1,886; એમ x = 2,57; એમ y = 1; = 0,53; = 1,36.

3.5 અહેવાલની તૈયારી

રિપોર્ટમાં કરવામાં આવેલી તમામ ગણતરીઓ અને કાળજીપૂર્વક ચલાવવામાં આવેલ રેખાંકનો હોવા જોઈએ. સંખ્યાત્મક જવાબો ત્રણ નોંધપાત્ર આંકડાઓને આપવા આવશ્યક છે.