વ્યાખ્યાન 4.

કાર્યોની સાતત્ય

1. એક બિંદુ પર કાર્યની સાતત્ય

વ્યાખ્યા 1.કાર્ય કરવા દો y=f(x) બિંદુ પર વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે એક્સ 0 અને આ બિંદુના કેટલાક પડોશમાં. કાર્ય y=f(x) કહેવાય છે બિંદુ x પર સતત 0 , જો આ બિંદુએ ફંક્શનની મર્યાદા હોય અને તે આ બિંદુએ ફંક્શનની કિંમત જેટલી હોય, એટલે કે.

આમ, કાર્યની સાતત્ય માટેની સ્થિતિ y=f(x) બિંદુ પર એક્સ 0 તે છે:

કારણ કે
, પછી સમાનતા (32) ફોર્મમાં લખી શકાય છે

(33)

આનો અર્થ એ છે કે જ્યારે સતત કાર્યની મર્યાદા શોધવીf(x) ફંક્શન સાઇન હેઠળ મર્યાદા પર જઈ શકે છે, એટલે કે. કાર્યમાં f(x) દલીલને બદલે એક્સતેના મર્યાદા મૂલ્યને બદલો એક્સ 0 .

લિમ પાપ x= પાપ(લિમ x);

lim arctg x=arctg(lim x); (34)

લિમ લોગ x=લોગ(લિમ x).

વ્યાયામ.મર્યાદા શોધો: 1)
; 2)
.

ચાલો દલીલ અને કાર્યના વધારાના ખ્યાલોના આધારે ફંક્શનની સાતત્યતા વ્યાખ્યાયિત કરીએ.

કારણ કે શરતો
અને
સમાન છે (ફિગ. 4), પછી સમાનતા (32) સ્વરૂપ લે છે:

અથવા
.

વ્યાખ્યા 2.કાર્ય y=f(x) કહેવાય છે બિંદુ x પર સતત 0 , જો તે એક બિંદુ પર વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે એક્સ 0 અને તેની પડોશ, અને દલીલમાં એક અમર્યાદિત વધારો ફંક્શનમાં અનંત વધારાને અનુરૂપ છે.

વ્યાયામ.કાર્યની સાતત્ય તપાસો y=2એક્સ 2 1.

એક બિંદુ પર સતત કાર્યોના ગુણધર્મો

1. જો કાર્યો f(x) અને φ (x) બિંદુ પર સતત હોય છે એક્સ 0, પછી તેમનો સરવાળો
, કામ
અને ખાનગી
(તે જોતાં
) બિંદુ પર સતત કાર્યો છે એક્સ 0 .

2. જો કાર્ય ખાતે=f(x) બિંદુ પર સતત છે એક્સ 0 અને f(x 0)>0, પછી બિંદુની આવી પડોશી છે એક્સ 0, જેમાં f(x)>0.

3. જો કાર્ય ખાતે=f(u) બિંદુ u 0 પર સતત છે અને કાર્ય u= φ (x) બિંદુ પર સતત છે u 0 = φ (x 0 ), પછી એક જટિલ કાર્ય y=f[φ (x)] બિંદુ પર સતત છે એક્સ 0 .

2. અંતરાલમાં અને સેગમેન્ટમાં ફંક્શનની સાતત્ય

કાર્ય y=f(x) કહેવાય છે અંતરાલમાં સતત (a; b), જો તે આ અંતરાલના દરેક બિંદુએ સતત હોય તો.

કાર્ય y=f(x) કહેવાય છે સેગમેન્ટ પર સતત [a; b] જો તે અંતરાલમાં સતત હોય તો ( a; b), અને બિંદુ પર એક્સ=એયોગ્ય સતત છે (એટલે ​​કે
), અને બિંદુ પર x=bસતત બાકી છે (એટલે ​​કે
).

3. કાર્ય વિરામ બિંદુઓ અને તેમનું વર્ગીકરણ

 જે બિંદુઓ પર કાર્યની સાતત્ય તૂટી જાય છે તેને કહેવામાં આવે છે બ્રેક પોઈન્ટઆ કાર્ય.

જો એક્સ=એક્સ 0 - કાર્ય વિરામ બિંદુ y=f(x), તો ફંક્શનની સાતત્યની પ્રથમ વ્યાખ્યાની ઓછામાં ઓછી એક શરતો સંતુષ્ટ નથી.

ઉદાહરણ.

1.
. 2.

3)
4)
.

▼ બ્રેક પોઈન્ટ એક્સ 0 ને વિરામ બિંદુ કહેવામાં આવે છે પ્રથમ પ્રકારકાર્યો y=f(x), જો આ બિંદુએ ડાબી અને જમણી બાજુએ કાર્યની મર્યાદિત મર્યાદાઓ હોય (એક બાજુની મર્યાદા), એટલે કે.
અને
. આ કિસ્સામાં:

તીવ્રતા | એ 1 -એ 2 | કહેવાય છે કાર્ય જમ્પપ્રથમ પ્રકારના બંધ થવાના તબક્કે. ▲

▼ બ્રેક પોઈન્ટ એક્સ 0 ને વિરામ બિંદુ કહેવામાં આવે છે બીજા પ્રકારકાર્યો y=f(x), જો એકતરફી મર્યાદાઓમાંથી ઓછામાં ઓછી એક (ડાબે અથવા જમણે) અસ્તિત્વમાં ન હોય અથવા અનંતની સમાન હોય. ▲

વ્યાયામ.વિરામ બિંદુઓ શોધો અને કાર્યો માટે તેમના પ્રકાર શોધો:

1)
; 2)
.

4. સતત કાર્યો પર મૂળભૂત પ્રમેય

વિધેયોની સાતત્યતા પરના પ્રમેય સીધા જ મર્યાદા પરના અનુરૂપ પ્રમેયથી અનુસરે છે.

પ્રમેય 1.બે સતત કાર્યોનો સરવાળો, ઉત્પાદન અને ભાગાંક એ સતત કાર્ય છે (ભાગ માટે, દલીલના તે મૂલ્યો સિવાય કે જેમાં વિભાજક શૂન્ય સમાન નથી).

પ્રમેય 2.કાર્યો કરવા દો u=φ (x) બિંદુ પર સતત છે એક્સ 0 અને કાર્ય y=f(u) બિંદુ પર સતત છે u=φ (x 0 ). પછી જટિલ કાર્ય f(φ (x)), સતત કાર્યોનો સમાવેશ, બિંદુ પર સતત છે એક્સ 0 .

પ્રમેય 3.જો કાર્ય y=f(x) સતત અને સખત રીતે એકવિધ છે [ a; b] અક્ષો ઓહ, પછી વ્યસ્ત કાર્ય ખાતે=φ (x) અનુરૂપ સેગમેન્ટ પર પણ સતત અને એકવિધ છે [ c;ડી] અક્ષો ઓહ.

કોઈપણ પ્રાથમિક કાર્યતે દરેક બિંદુ કે જ્યાં તે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે સતત.

5. અંતરાલ પર સતત કાર્યોના ગુણધર્મો

વેયરસ્ટ્રાસનું પ્રમેય.જો કોઈ ફંક્શન સેગમેન્ટ પર સતત હોય, તો તે આ સેગમેન્ટ પર તેના મહત્તમ અને ન્યૂનતમ મૂલ્યો સુધી પહોંચે છે.

પરિણામ.જો કોઈ કાર્ય અંતરાલ પર સતત હોય, તો તે અંતરાલ પર બંધાયેલું છે.

બોલઝાનો-કોચી પ્રમેય.જો કાર્ય y=f(x) અંતરાલ પર સતત છે [ a; b] અને તેના છેડે અસમાન મૂલ્યો લે છે f(a)=એઅને f(b)=બી,
, પછી નંબર ગમે તે હોય સાથે, વચ્ચે તારણ કાઢ્યું એઅને માં,એક બિંદુ છે
જેમ કે f(c)=સી.

ભૌમિતિક રીતેપ્રમેય સ્પષ્ટ છે. કોઈપણ નંબર માટે સાથે, વચ્ચે તારણ કાઢ્યું એઅને IN, આ સેગમેન્ટની અંદર એક બિંદુ c છે જેમ કે f(સાથે)=સી. સીધું ખાતે=સાથેફંક્શનના ગ્રાફને ઓછામાં ઓછા એક બિંદુથી છેદે છે.

પરિણામ.જો કાર્ય y=f(x) અંતરાલ પર સતત છે [ a; b] અને તેના છેડે વિવિધ ચિહ્નોના મૂલ્યો લે છે, પછી સેગમેન્ટની અંદર [ a; b] ઓછામાં ઓછું એક બિંદુ છે સાથે, જેમાં કાર્ય y=f(x) શૂન્ય પર જાય છે: f(c)=0.

ભૌમિતિકપ્રમેયનો અર્થ: જો સતત કાર્યનો ગ્રાફ અક્ષની એક બાજુથી પસાર થાય છે ઓહબીજી તરફ, પછી તે ધરીને છેદે છે ઓહ.

એક બિંદુ પર કાર્યની સાતત્ય

ફંકશન f(x) ને બિંદુ x0 ના અમુક પડોશ O(x0) માં વ્યાખ્યાયિત કરવા દો (પોઈન્ટ x0 પોતે સહિત).

ફંક્શન f(x) ને x0 બિંદુ પર સતત કહેવામાં આવે છે જો ત્યાં limx → x0 f(x) આ બિંદુ પર ફંક્શન f(x) ના મૂલ્યની બરાબર હોય તો: lim

f(x) = f(x0), (1)

તે " O(f(x0)) $ O(x0) : x O O(x0) Yu f(x) O O(f(x0)) .

ટિપ્પણી. સમાનતા (1) આ રીતે લખી શકાય છે: લિમ

તે સતત કાર્યની નિશાની હેઠળ વ્યક્તિ મર્યાદા સુધી જઈ શકે છે.

Δx = x − x0 એ દલીલનો વધારો થવા દો, Δy = f(x) − f(x0) એ ફંક્શનનો અનુરૂપ વધારો છે.

જરૂરી અને પૂરતી સ્થિતિએક બિંદુ પર કાર્યની સાતત્ય

ફંક્શન y = f(x) x0 પર સતત છે જો અને માત્ર જો

ટિપ્પણી. સ્થિતિ (2) એ બિંદુ પર કાર્યની સાતત્યની બીજી વ્યાખ્યા તરીકે અર્થઘટન કરી શકાય છે. બંને વ્યાખ્યાઓ સમાન છે.

ફંક્શન f(x) ને અર્ધ-અંતરાલમાં વ્યાખ્યાયિત કરવા દો.

ફંકશન f(x)ને x0 પર સતત છોડી દેવાનું કહેવાય છે જો ત્યાં એકતરફી મર્યાદા લિમ હોય

બે સતત કાર્યોનો સરવાળો, ઉત્પાદન અને ભાગાંકની સાતત્ય

પ્રમેય 1. જો વિધેયો f(x) અને g(x) બિંદુ x0 પર સતત હોય, તો f(x) ± g(x), f(x) g(x), f(x) આ પર સતત રહે છે. બિંદુ

જટિલ કાર્યની સાતત્ય

પ્રમેય 2. જો x0 બિંદુ પર ફંક્શન u(x) સતત હોય, અને ફંક્શન f(u) અનુરૂપ બિંદુ u0 = f(x0) પર સતત હોય, તો જટિલ ફંકશન f(u(x)) સતત હોય છે. બિંદુ x0 પર.

તમામ પ્રાથમિક કાર્યો તેમની વ્યાખ્યાના ડોમેનના દરેક બિંદુએ સતત હોય છે.

સતત કાર્યોના સ્થાનિક ગુણધર્મો

પ્રમેય 3 (સતત કાર્યની સીમા).

જો ફંક્શન f(x) x0 પર સતત હોય, તો ત્યાં એક પડોશી O(x0) છે જેમાં f(x) બંધાયેલ છે.

સાબિતી મર્યાદા ધરાવતા ફંક્શનની સીમા વિશેના નિવેદનમાંથી અનુસરે છે.

પ્રમેય 4 (સતત કાર્યના ચિહ્નની સ્થિરતા).

જો ફંક્શન f(x) બિંદુ x0 અને f(x0) ≠ 0 પર સતત હોય, તો બિંદુ x0 ની પડોશી છે જેમાં f(x) ≠ 0, અને આ પડોશમાં f(x) નું ચિહ્ન છે f(x0) ના ચિહ્ન સાથે એકરુપ છે.

વિરામ બિંદુઓનું વર્ગીકરણ

x0 બિંદુ પર ફંક્શન f(x) ની સાતત્ય માટે શરત (1) એ સ્થિતિ f(x0 − 0) = f(x0 + 0) = f(x0), (3) ની સમકક્ષ છે.

જ્યાં f(x 0 − 0) = lim

f(x) અને f(x0 + 0) = લિમ

f(x) - બિંદુ x0 પર f(x) ફંક્શનની એકતરફી મર્યાદા.

જો શરત (3) નું ઉલ્લંઘન કરવામાં આવે છે, તો બિંદુ x0 ને ફંક્શન f(x) નો વિરામ બિંદુ કહેવામાં આવે છે. શરત (3) ના ઉલ્લંઘનના પ્રકાર પર આધાર રાખીને, વિરામ બિંદુઓ અલગ પ્રકૃતિ ધરાવે છે અને નીચે પ્રમાણે વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે:

1. જો બિંદુ x0 પર એકતરફી મર્યાદા f(x0 − 0), f (x0 + 0) અને

f(x0 − 0) = f(x0 + 0) ≠ f(x0), પછી બિંદુ x0 એ ફંક્શન f(x) (ફિગ. 1) ના દૂર કરી શકાય તેવા વિરામ બિંદુ કહેવાય છે.

ટિપ્પણી. બિંદુ x0 પર કાર્ય વ્યાખ્યાયિત કરી શકાતું નથી.

2. જો બિંદુ x0 પર એકતરફી મર્યાદાઓ f(x0 − 0), f (x0 + 0) અને

f(x0 − 0) ≠ f(x0 + 0), પછી બિંદુ x0 એ ફંક્શન f(x) (ફિગ. 2) ના મર્યાદિત જમ્પ સાથે વિરામ બિંદુ કહેવાય છે. ટિપ્પણી. સીમિત કૂદકા સાથે વિરામ બિંદુ પર, કાર્યનું મૂલ્ય કોઈપણ હોઈ શકે છે, અથવા તે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાતું નથી.દૂર કરી શકાય તેવા અસંતુલિતતા અને મર્યાદિત જમ્પના બિંદુઓને 1લા પ્રકારના વિરામ બિંદુઓ કહેવામાં આવે છે. તેમના

3. જો બિંદુ x0 પર ઓછામાં ઓછી એક એકતરફી મર્યાદા f(x0 − 0), f (x0 + 0) અનંતની બરાબર છે અથવા અસ્તિત્વમાં નથી, તો પછી
x0 ને 2જા પ્રકારનો વિરામ બિંદુ કહેવામાં આવે છે (ફિગ. 3).

જો એકતરફી મર્યાદાઓમાંથી ઓછામાં ઓછી એક f(x0 − 0), f (x0 + 0) અનંતની બરાબર હોય, તો સીધી રેખા x = x 0 એ ફંક્શન y = f ના ગ્રાફના વર્ટિકલ એસિમ્પ્ટોટ કહેવાય છે. (x).

વ્યાખ્યા. ફંકશન f(x), અમુક બિંદુ x0 ની પડોશમાં વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે, તેને બિંદુ x0 પર સતત કહેવામાં આવે છે જો કાર્યની મર્યાદા અને આ બિંદુએ તેનું મૂલ્ય સમાન હોય, એટલે કે.

સમાન હકીકત અલગ રીતે લખી શકાય છે:

વ્યાખ્યા. જો ફંક્શન f(x) બિંદુ x0 ના અમુક પડોશમાં વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે, પરંતુ તે પોઈન્ટ x0 પર જ સતત નથી, તો તેને અખંડ ફંક્શન કહેવામાં આવે છે, અને બિંદુ x0 ને વિરામ બિંદુ કહેવામાં આવે છે.

વ્યાખ્યા. ફંકશન f(x) એ બિંદુ x0 પર જો કોઈ હોય તો સતત હોવાનું કહેવાય છે હકારાત્મક સંખ્યા e>0 ત્યાં એક નંબર D>0 છે જે કોઈપણ x માટે શરતને સંતોષે છે

અસમાનતા સાચી છે.

વ્યાખ્યા.

ફંક્શન f(x) બિંદુ x = x0 પર સતત કહેવાય છે જો x0 બિંદુ પર ફંક્શનનો વધારો અનંત મૂલ્ય હોય.

f(x) = f(x0) + a(x)

જ્યાં a(x) x®x0 પર અનંત છે.

સતત કાર્યોના ગુણધર્મો.

1) બિંદુ x0 પર સતત કાર્યોનો સરવાળો, તફાવત અને ઉત્પાદન એ બિંદુ x0 પર સતત કાર્ય છે. 2) બે સતત કાર્યોનો ભાગાંક છેસતત કાર્ય

જો કે g(x) બિંદુ x0 પર શૂન્યની બરાબર નથી.

3) સતત કાર્યોની સુપરપોઝિશન એ સતત કાર્ય છે.

આ મિલકત નીચે પ્રમાણે લખી શકાય છે:

જો u = f(x), v = g(x) એ બિંદુ x = x0 પર સતત વિધેયો હોય, તો v = g(f(x)) પણ આ બિંદુએ સતત કાર્ય છે.

ઉપરોક્ત ગુણધર્મોની માન્યતા મર્યાદા પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને સરળતાથી સાબિત કરી શકાય છે

એક અંતરાલ પર સતત કાર્યોના ગુણધર્મો.

મિલકત 1: (વેઅરસ્ટ્રાસનું પ્રથમ પ્રમેય (વેઅરસ્ટ્રાસ કાર્લ (1815-1897) - જર્મન ગણિતશાસ્ત્રી)). એક ફંક્શન કે જે અંતરાલ પર સતત હોય છે તે આ અંતરાલ પર બંધાયેલ છે, એટલે કે. શરત –M £ f(x) £ M સેગમેન્ટ પર સંતુષ્ટ છે.

આ ગુણધર્મનો પુરાવો એ હકીકત પર આધારિત છે કે એક કાર્ય જે બિંદુ x0 પર સતત રહે છે તે તેની ચોક્કસ પડોશમાં બંધાયેલ છે, અને જો તમે સેગમેન્ટને અનંત સંખ્યામાં વિભાગોમાં વિભાજીત કરો છો જે બિંદુ x0 સાથે "સંબંધિત" છે. , પછી બિંદુ x0 નો ચોક્કસ પડોશ રચાય છે.

પ્રોપર્ટી 2: સેગમેન્ટ પર સતત ચાલતું ફંક્શન તેના પર સૌથી મોટા અને નાના મૂલ્યો લે છે.

તે. x1 અને x2 મૂલ્યો અસ્તિત્વમાં છે જેમ કે f(x1) = m, f(x2) = M, અને

અંતરાલ પરના કાર્યના સૌથી મોટા અને નાના મૂલ્ય વચ્ચેના તફાવતને અંતરાલ પરના કાર્યનું ઓસિલેશન કહેવામાં આવે છે.

મિલકત 3: (બીજો બોલઝાનો-કોચી પ્રમેય). એક કાર્ય જે અંતરાલ પર સતત હોય છે તે આ અંતરાલ પર બે મનસ્વી મૂલ્યો વચ્ચેના તમામ મૂલ્યો લે છે.

ગુણધર્મ 4: જો ફંક્શન f(x) બિંદુ x = x0 પર સતત હોય, તો બિંદુ x0 ની અમુક પડોશ હોય છે જેમાં ફંક્શન તેની નિશાની જાળવી રાખે છે.

મિલકત 5: (બોલઝાનોનું પ્રથમ પ્રમેય (1781-1848) - કોચી). જો ફંક્શન f(x) સેગમેન્ટ પર સતત હોય અને સેગમેન્ટના છેડે વિપરીત ચિહ્નોની કિંમતો હોય, તો આ સેગમેન્ટની અંદર એક બિંદુ છે જ્યાં f(x) = 0.

તે. જો ચિહ્ન(f(a)) ¹ ચિહ્ન(f(b)), તો $x0: f(x0) = 0.

વ્યાખ્યા. ફંક્શન f(x) એ અંતરાલ પર એકસરખી રીતે ચાલુ હોવાનું કહેવાય છે જો કોઈપણ e>0 માટે D>0 અસ્તિત્વમાં હોય જેમ કે x1Î અને x2Î જેવા કોઈપણ બિંદુઓ માટે

ïx2 – x1ï< D

અસમાનતા ïf(x2) – f(x1)ï સાચી છે< e

સમાન સાતત્ય અને "સામાન્ય" સાતત્ય વચ્ચેનો તફાવત એ છે કે કોઈપણ e માટે તેનો પોતાનો D છે, જે xથી સ્વતંત્ર છે, અને "સામાન્ય" સાતત્ય સાથે D e અને x પર આધાર રાખે છે.

પ્રોપર્ટી 6: કેન્ટર્સ પ્રમેય (જ્યોર્જ કેન્ટર (1845-1918) - જર્મન ગણિતશાસ્ત્રી). સેગમેન્ટ પર સતત ચાલતું ફંક્શન તેના પર સમાનરૂપે સતત હોય છે.

(આ ગુણધર્મ માત્ર સેગમેન્ટ્સ માટે જ સાચું છે, અને અંતરાલ અને અર્ધ-અંતરો માટે નહીં.)

સાતત્યની વ્યાખ્યા

ફંક્શન f (x) એ બિંદુ પર સતત કહેવાય છે a if: f () pp

1) ફંક્શન f(x) બિંદુ a પર વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે,

2) x→ a તરીકે મર્યાદિત મર્યાદા ધરાવે છે 2) x→ a તરીકે મર્યાદિત મર્યાદા ધરાવે છે,

3) આ મર્યાદા આ બિંદુએ ફંક્શનના મૂલ્યની બરાબર છે:

અંતરાલમાં સાતત્ય

એક ફંક્શન f(x) એ અંતરાલ X પર સતત હોવાનું કહેવાય છે જો f() pp ru

આ અંતરાલમાં દરેક બિંદુએ તે સતત છે.

નિવેદન. તમામ પ્રાથમિક કાર્યો સતત ચાલુ છે

તેમની વ્યાખ્યાના ક્ષેત્રો.

બાઉન્ડેડ ફંક્શન

ફંક્શનને અંતરાલ પર બંધાયેલ હોવાનું કહેવાય છે જો

ત્યાં એક સંખ્યા M છે જે તમામ x ∈ માટે છે

અસમાનતા:| f(x)| ≤ એમ.

વેયરસ્ટ્રાસના બે પ્રમેય

વેયરસ્ટ્રાસનું પ્રથમ પ્રમેય. જો ફંક્શન f (x r r r r f f (

સેગમેન્ટ પર સતત છે, પછી તે આ સેગમેન્ટ પર બંધાયેલ છે

વેયરસ્ટ્રાસનું બીજું પ્રમેય.જો ફંક્શન f(x

સેગમેન્ટ પર સતત છે, પછી તે આ સેગમેન્ટ સુધી પહોંચે છે

m નું સૌથી નાનું મૂલ્ય અને M નું સૌથી મોટું મૂલ્ય.

બોલઝાનો-કોચી પ્રમેય

જો ફંક્શન f (x) f f () pp p પર મૂલ્ય સેગમેન્ટ પર સતત હોય

આ સેગમેન્ટના છેડે f(a) અને f(b) વિરુદ્ધ ચિહ્નો છે,

સેગમેન્ટની અંદર એક બિંદુ c∈ (a,b) છે જેમ કે f (c) = 0. ur p () f ()

કાર્યની સાતત્ય. બ્રેકિંગ પોઈન્ટ.

આખલો ચાલે છે, ડૂબી જાય છે, નિસાસો નાખે છે:
- ઓહ, બોર્ડ સમાપ્ત થઈ રહ્યું છે, હવે હું પડીશ!

આ પાઠમાં આપણે કાર્યની સાતત્યની વિભાવના, વિરામ બિંદુઓનું વર્ગીકરણ અને સામાન્ય વ્યવહારુ સમસ્યા કાર્યોનો સાતત્ય અભ્યાસ. વિષયના ખૂબ જ નામથી, ઘણા લોકો સાહજિક રીતે અનુમાન કરે છે કે શું ચર્ચા કરવામાં આવશે અને માને છે કે સામગ્રી એકદમ સરળ છે. આ વાત સાચી છે. પરંતુ તે સરળ કાર્યો છે જે મોટેભાગે ઉપેક્ષા અને તેમને હલ કરવા માટેના સુપરફિસિયલ અભિગમ માટે સજા કરવામાં આવે છે. તેથી, હું ભલામણ કરું છું કે તમે લેખનો ખૂબ જ કાળજીપૂર્વક અભ્યાસ કરો અને બધી સૂક્ષ્મતા અને તકનીકોને પકડો.

તમારે શું જાણવાની અને કરવા સક્ષમ બનવાની જરૂર છે?બહુ નહીં. પાઠ સારી રીતે શીખવા માટે, તમારે તે શું છે તે સમજવાની જરૂર છે કાર્યની મર્યાદા . નીચા સ્તરની તૈયારી ધરાવતા વાચકો માટે, લેખને સમજવા માટે તે પૂરતું છે કાર્ય મર્યાદા. ઉકેલોના ઉદાહરણો અને જુઓ ભૌમિતિક અર્થમેન્યુઅલમાં મર્યાદા પ્રાથમિક કાર્યોના આલેખ અને ગુણધર્મો . તમારી જાતને પરિચિત કરવા માટે પણ સલાહ આપવામાં આવે છે આલેખનું ભૌમિતિક પરિવર્તન , કારણ કે મોટાભાગના કિસ્સાઓમાં પ્રેક્ટિસમાં ડ્રોઇંગ બનાવવાનો સમાવેશ થાય છે. સંભાવનાઓ દરેક માટે આશાવાદી છે, અને એક સંપૂર્ણ કેટલ પણ આગામી એક કે બે કલાકમાં તેના પોતાના પર કાર્યનો સામનો કરી શકશે!

કાર્યની સાતત્ય. બ્રેકપોઇન્ટ્સ અને તેમનું વર્ગીકરણ

કાર્યની સાતત્યતાનો ખ્યાલ

ચાલો અમુક કાર્યને ધ્યાનમાં લઈએ જે સમગ્ર સંખ્યા રેખા પર સતત હોય છે:

અથવા, વધુ સંક્ષિપ્તમાં કહીએ તો, આપણું કાર્ય સતત ચાલુ છે (વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો સમૂહ).

સાતત્યનો "ફિલિસ્ટાઇન" માપદંડ શું છે? દેખીતી રીતે, કાગળમાંથી પેન્સિલ ઉપાડ્યા વિના સતત કાર્યનો ગ્રાફ દોરી શકાય છે.

આ કિસ્સામાં, બે સરળ વિભાવનાઓને સ્પષ્ટપણે અલગ પાડવી જોઈએ: ફંક્શનનું ડોમેન અને કાર્યની સાતત્ય. સામાન્ય રીતે તે સમાન વસ્તુ નથી. ઉદાહરણ તરીકે:

આ કાર્યસમગ્ર સંખ્યા રેખા પર વ્યાખ્યાયિત, એટલે કે, માટે દરેક વ્યક્તિ“x” નો અર્થ “y” નો પોતાનો અર્થ છે. ખાસ કરીને, જો, તો પછી. નોંધ કરો કે અન્ય બિંદુ વિરામચિહ્નિત છે, કારણ કે કાર્યની વ્યાખ્યા દ્વારા, દલીલનું મૂલ્ય અનુરૂપ હોવું જોઈએ એકમાત્ર વસ્તુકાર્ય મૂલ્ય. આમ, વ્યાખ્યાનું ક્ષેત્ર અમારું કાર્ય: .

જોકે આ કાર્ય સતત ચાલુ નથી!તે એકદમ સ્પષ્ટ છે કે તે સમયે તે પીડાઈ રહી છે અંતર. આ શબ્દ પણ એકદમ બુદ્ધિગમ્ય અને દ્રશ્ય છે, ખરેખર, અહીં પેન્સિલને કોઈપણ રીતે ફાડી નાખવી પડશે. થોડી વાર પછી આપણે બ્રેકપોઇન્ટનું વર્ગીકરણ જોઈશું.

એક બિંદુ પર અને અંતરાલ પર કાર્યની સાતત્ય

એક યા બીજી રીતે ગણિતની સમસ્યાઆપણે એક બિંદુ પર ફંક્શનની સાતત્ય, અંતરાલ પરના ફંક્શનની સાતત્ય, અડધા-અંતરે અથવા સેગમેન્ટ પર ફંક્શનની સાતત્ય વિશે વાત કરી શકીએ છીએ. એટલે કે, ત્યાં કોઈ "માત્ર સાતત્ય" નથી- કાર્ય ક્યાંક સતત હોઈ શકે છે. અને બાકીની દરેક વસ્તુનો મૂળભૂત "બિલ્ડીંગ બ્લોક" છે કાર્યની સાતત્ય બિંદુ પર .

થિયરી ગાણિતિક વિશ્લેષણ"ડેલ્ટા" અને "એપ્સીલોન" પડોશીઓનો ઉપયોગ કરીને એક બિંદુ પર કાર્યની સાતત્યની વ્યાખ્યા આપે છે, પરંતુ વ્યવહારમાં બીજી વ્યાખ્યા ઉપયોગમાં છે, જેના પર આપણે ધ્યાન આપીશું.

પહેલા યાદ કરીએ એકતરફી મર્યાદાજે પ્રથમ પાઠમાં આપણા જીવનમાં પ્રવેશ્યા કાર્ય ગ્રાફ વિશે . રોજિંદા પરિસ્થિતિનો વિચાર કરો:

જો આપણે ધરીને બિંદુ સુધી પહોંચીએ બાકી(લાલ તીર), પછી "રમતો" ના અનુરૂપ મૂલ્યો ધરી સાથે બિંદુ સુધી જશે (ક્રિમસન એરો). ગાણિતિક રીતે, આ હકીકતનો ઉપયોગ કરીને નિશ્ચિત છે ડાબી બાજુની મર્યાદા:

એન્ટ્રી પર ધ્યાન આપો (વાંચે છે કે "x ડાબી તરફ ka તરફ વલણ ધરાવે છે"). "એડિટિવ" "માઈનસ ઝીરો" પ્રતીક કરે છે , અનિવાર્યપણે આનો અર્થ એ થાય છે કે આપણે ડાબી બાજુથી નંબરની નજીક આવી રહ્યા છીએ.

તેવી જ રીતે, જો તમે બિંદુ "કા" નો સંપર્ક કરો છો અધિકાર(વાદળી તીર), પછી "રમતો" સમાન મૂલ્ય પર આવશે, પરંતુ લીલા તીર સાથે, અને જમણી બાજુની મર્યાદાનીચે પ્રમાણે ફોર્મેટ કરવામાં આવશે:

"એડિટિવ" પ્રતીક કરે છે , અને એન્ટ્રી વાંચે છે: "x જમણી તરફ ka તરફ વલણ ધરાવે છે."

જો એકતરફી મર્યાદા મર્યાદિત અને સમાન હોય(જેમ કે અમારા કિસ્સામાં): , તો અમે કહીશું કે એક સામાન્ય મર્યાદા છે. તે સરળ છે, સામાન્ય મર્યાદા આપણી "સામાન્ય" છે કાર્યની મર્યાદા , મર્યાદિત સંખ્યાની બરાબર.

નોંધ કરો કે જો ફંક્શન (ગ્રાફ શાખા પર કાળા બિંદુને બહાર કાઢો) પર વ્યાખ્યાયિત નથી, તો ઉપરની ગણતરીઓ માન્ય રહેશે. પહેલેથી જ ઘણી વખત નોંધ્યું છે, ખાસ કરીને લેખમાં અનંત કાર્યો પર , અભિવ્યક્તિઓનો અર્થ છે કે "x" અનંત નજીકબિંદુ સુધી પહોંચે છે, જ્યારે વાંધો નથી, શું ફંક્શન પોતે આપેલ બિંદુ પર વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે કે નહીં. સારું ઉદાહરણજ્યારે ફંક્શનનું વિશ્લેષણ કરવામાં આવશે ત્યારે આગલા ફકરામાં દેખાશે.

વ્યાખ્યા: જો આપેલ બિંદુ પર ફંક્શનની મર્યાદા તે બિંદુ પરના ફંક્શનની કિંમત જેટલી હોય તો એક બિંદુ પર ફંક્શન સતત હોય છે:

વ્યાખ્યા નીચેની શરતોમાં વિગતવાર છે:

1) કાર્ય બિંદુ પર વ્યાખ્યાયિત હોવું જોઈએ, એટલે કે, મૂલ્ય અસ્તિત્વમાં હોવું જોઈએ.

2) કાર્યની સામાન્ય મર્યાદા હોવી આવશ્યક છે. ઉપર નોંધ્યું છે તેમ, આ એકતરફી મર્યાદાના અસ્તિત્વ અને સમાનતાને સૂચિત કરે છે: .

3) આપેલ બિંદુ પર ફંક્શનની મર્યાદા આ બિંદુએ ફંક્શનની કિંમત જેટલી હોવી જોઈએ: .

જો ઉલ્લંઘન થાય છે ઓછામાં ઓછું એકત્રણ શરતોમાંથી, પછી કાર્ય બિંદુ પર સાતત્યની મિલકત ગુમાવે છે.

અંતરાલ પર કાર્યની સાતત્યચતુરાઈથી અને ખૂબ જ સરળ રીતે ઘડવામાં આવે છે: ફંક્શન અંતરાલ પર સતત હોય છે જો તે આપેલ અંતરાલના દરેક બિંદુએ સતત હોય.

ખાસ કરીને, ઘણા કાર્યો અનંત અંતરાલ પર, એટલે કે વાસ્તવિક સંખ્યાઓના સમૂહ પર સતત હોય છે. આ એક રેખીય કાર્ય છે, બહુપદી, ઘાતાંકીય, સાઈન, કોસાઈન, વગેરે. અને સામાન્ય રીતે, કોઈપણ પ્રાથમિક કાર્ય તેના પર સતત વ્યાખ્યાનું ક્ષેત્ર , ઉદાહરણ તરીકે, લઘુગણક કાર્ય અંતરાલ પર સતત હોય છે. હું આશા રાખું છું આ ક્ષણેમુખ્ય કાર્યોના ગ્રાફ કેવા દેખાય છે તેનો તમને ખૂબ સારો ખ્યાલ છે. વધુ વિગતવાર માહિતીતેમની સાતત્યતામાંથી મેળવી શકાય છે દયાળુ વ્યક્તિઅટક Fichtengolts દ્વારા.

સેગમેન્ટ અને અર્ધ-અંતરો પર કાર્યની સાતત્ય સાથે, બધું પણ મુશ્કેલ નથી, પરંતુ વર્ગમાં આ વિશે વાત કરવી વધુ યોગ્ય છે. સેગમેન્ટ પર ફંક્શનના ન્યૂનતમ અને મહત્તમ મૂલ્યો શોધવા વિશે , પરંતુ હમણાં માટે ચાલો તેના વિશે ચિંતા ન કરીએ.

વિરામ બિંદુઓનું વર્ગીકરણ

કાર્યોનું રસપ્રદ જીવન તમામ પ્રકારના વિશિષ્ટ મુદ્દાઓથી સમૃદ્ધ છે, અને વિરામ બિંદુઓ તેમના જીવનચરિત્રના ફક્ત એક પૃષ્ઠ છે.

નોંધ : માત્ર કિસ્સામાં, હું પ્રાથમિક બિંદુ પર રહીશ: બ્રેકિંગ પોઇન્ટ હંમેશા છે એક બિંદુ- ત્યાં કોઈ "સળંગ કેટલાક વિરામ બિંદુઓ" નથી, એટલે કે, "વિરામ અંતરાલ" જેવી કોઈ વસ્તુ નથી.

આ બિંદુઓ, બદલામાં, બે મોટા જૂથોમાં વહેંચાયેલા છે: પ્રથમ પ્રકારના ભંગાણઅને બીજા પ્રકારના ભંગાણ. દરેક પ્રકારના ગેપનું પોતાનું છે લાક્ષણિક લક્ષણોજે આપણે હમણાં જોઈશું:

પ્રથમ પ્રકારનું વિરામ બિંદુ

જો કોઈ બિંદુએ સાતત્યની સ્થિતિનું ઉલ્લંઘન થાય છે અને એકતરફી મર્યાદા મર્યાદિત , પછી તેને કહેવામાં આવે છે પ્રથમ પ્રકારનો વિરામ બિંદુ.

ચાલો સૌથી આશાવાદી કેસ સાથે પ્રારંભ કરીએ. પાઠના મૂળ વિચાર મુજબ, હું સિદ્ધાંતને "માં" કહેવા માંગતો હતો સામાન્ય દૃશ્ય”, પરંતુ સામગ્રીની વાસ્તવિકતા દર્શાવવા માટે, મેં ચોક્કસ પાત્રો સાથે વિકલ્પ પર સ્થાયી થયા.

તે ઉદાસી છે, શાશ્વત જ્યોતની પૃષ્ઠભૂમિ સામે નવદંપતીઓના ફોટાની જેમ, પરંતુ નીચેનો શોટ સામાન્ય રીતે સ્વીકારવામાં આવે છે. ચાલો ડ્રોઇંગમાં ફંક્શનના ગ્રાફનું નિરૂપણ કરીએ:


આ કાર્ય બિંદુ સિવાય, સમગ્ર સંખ્યા રેખા પર સતત છે. અને હકીકતમાં, છેદ શૂન્ય સમાન ન હોઈ શકે. જો કે, મર્યાદાના અર્થ અનુસાર, આપણે કરી શકીએ છીએ અનંત નજીકડાબી અને જમણી બાજુથી "શૂન્ય" નો સંપર્ક કરો, એટલે કે, એકતરફી મર્યાદા અસ્તિત્વમાં છે અને, દેખીતી રીતે, એકરુપ છે:
(સતતતાની શરત નંબર 2 સંતુષ્ટ છે).

પરંતુ કાર્યને બિંદુ પર વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવતું નથી, તેથી, સાતત્યની શરત નંબર 1 નું ઉલ્લંઘન થાય છે, અને કાર્ય આ બિંદુએ વિરામનો ભોગ બને છે.

આ પ્રકારનો વિરામ (હાલની સાથે સામાન્ય મર્યાદા) કહેવાય છે સમારકામ કરી શકાય તેવું અંતર. શા માટે દૂર કરી શકાય તેવું? કારણ કે કાર્ય કરી શકે છે ફરીથી વ્યાખ્યાયિત કરોબ્રેકિંગ પોઈન્ટ પર:

શું તે વિચિત્ર લાગે છે? કદાચ. પરંતુ આવા ફંક્શન નોટેશન કંઈપણ વિરોધાભાસી નથી! હવે અંતર બંધ છે અને દરેક ખુશ છે:


ચાલો ઔપચારિક તપાસ કરીએ:

2) - ત્યાં એક સામાન્ય મર્યાદા છે;
3)

આમ, ત્રણેય શરતો સંતુષ્ટ છે, અને કાર્ય એક બિંદુ પર કાર્યની સાતત્યની વ્યાખ્યા દ્વારા એક બિંદુ પર સતત છે.

જો કે, matan દ્વેષીઓ કાર્યને ખરાબ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરી શકે છે, ઉદાહરણ તરીકે :


તે રસપ્રદ છે કે પ્રથમ બે સાતત્ય શરતો અહીં સંતુષ્ટ છે:
1) - કાર્ય આપેલ બિંદુ પર વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે;
2) - એક સામાન્ય મર્યાદા છે.

પરંતુ ત્રીજી સીમા પસાર થઈ નથી: , એટલે કે, બિંદુ પર કાર્યની મર્યાદા સમાન નથીઆપેલ બિંદુ પર આપેલ કાર્યનું મૂલ્ય.

આમ, એક તબક્કે ફંક્શનમાં વિરામ આવે છે.

બીજો, ઉદાસી કેસ કહેવાય છે પ્રથમ પ્રકારનું ભંગાણ જમ્પ સાથે. અને ઉદાસી એકતરફી મર્યાદાઓ દ્વારા ઉદભવે છે મર્યાદિત અને અલગ. પાઠના બીજા ચિત્રમાં એક ઉદાહરણ બતાવવામાં આવ્યું છે. આવા ગેપ સામાન્ય રીતે થાય છે જ્યારે ભાગ પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત કાર્યો, જેનો લેખમાં ઉલ્લેખ કરવામાં આવ્યો છે ગ્રાફ પરિવર્તન વિશે .

પીસવાઇઝ ફંક્શનને ધ્યાનમાં લો અને અમે તેનું ચિત્ર પૂર્ણ કરીશું. ગ્રાફ કેવી રીતે બનાવવો? ખૂબ જ સરળ. અડધા અંતરાલ પર આપણે પેરાબોલાનો ટુકડો દોરીએ છીએ ( લીલો), અંતરાલ પર - એક સીધી રેખા સેગમેન્ટ (લાલ) અને અડધા અંતરાલ પર - એક સીધી રેખા (વાદળી).

તદુપરાંત, અસમાનતાને લીધે, મૂલ્ય ચતુર્ભુજ કાર્ય (લીલા બિંદુ) માટે નક્કી કરવામાં આવે છે, અને અસમાનતાને કારણે, મૂલ્ય રેખીય કાર્ય (વાદળી બિંદુ) માટે નક્કી કરવામાં આવે છે:

સૌથી મુશ્કેલ કિસ્સામાં, તમારે ગ્રાફના દરેક ભાગના પોઈન્ટ-બાય-પોઈન્ટ બાંધકામનો આશરો લેવો જોઈએ (પ્રથમ જુઓ કાર્યોના ગ્રાફ વિશે પાઠ ).

હવે આપણે ફક્ત મુદ્દામાં જ રસ લઈશું. ચાલો તેને સાતત્ય માટે તપાસીએ:

2) ચાલો એકતરફી મર્યાદાની ગણતરી કરીએ.

ડાબી બાજુએ આપણી પાસે લાલ લાઇન સેગમેન્ટ છે, તેથી ડાબી બાજુની મર્યાદા છે:

જમણી બાજુએ વાદળી સીધી રેખા છે, અને જમણી બાજુની મર્યાદા:

પરિણામે, અમને પ્રાપ્ત થયું મર્યાદિત સંખ્યાઓ, અને તેઓ સમાન નથી. એકતરફી મર્યાદા થી મર્યાદિત અને અલગ: , પછી આપણું કાર્ય સહન કરે છે કૂદકા સાથે પ્રથમ પ્રકારની અવ્યવસ્થા.

તે તાર્કિક છે કે ગેપને દૂર કરી શકાતો નથી - કાર્યને ખરેખર વધુ વ્યાખ્યાયિત કરી શકાતું નથી અને "એકસાથે ગુંદર" કરી શકાતું નથી, જેમ કે અગાઉના ઉદાહરણમાં.

બીજા પ્રકારના ડિસકોન્ટિન્યુટી પોઈન્ટ

સામાન્ય રીતે, ભંગાણના અન્ય તમામ કેસોને આ કેટેગરીમાં ચતુરાઈપૂર્વક વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે. હું દરેક વસ્તુની સૂચિ બનાવીશ નહીં, કારણ કે વ્યવહારમાં, 99% સમસ્યાઓમાં તમે સામનો કરશો અનંત અંતર- જ્યારે ડાબા હાથે અથવા જમણા હાથે, અને વધુ વખત, બંને મર્યાદા અનંત છે.

અને, અલબત્ત, સૌથી વધુ સ્પષ્ટ ચિત્ર બિંદુ શૂન્ય પરનું હાઇપરબોલા છે. અહીં બંને એકતરફી મર્યાદા અનંત છે: , તેથી, કાર્ય બિંદુ પર બીજા પ્રકારનું વિરામ ભોગવે છે.

હું મારા લેખોને શક્ય તેટલી વૈવિધ્યસભર સામગ્રી સાથે ભરવાનો પ્રયાસ કરું છું, તેથી ચાલો એવા ફંક્શનના ગ્રાફ પર નજર કરીએ જે હજી સુધી આવી નથી:

પ્રમાણભૂત યોજના અનુસાર:

1) કાર્ય આ બિંદુએ વ્યાખ્યાયિત નથી કારણ કે છેદ શૂન્ય પર જાય છે.

અલબત્ત, અમે તરત જ નિષ્કર્ષ પર આવી શકીએ છીએ કે કાર્ય બિંદુ પર એક અવ્યવસ્થિતતાનો ભોગ બને છે, પરંતુ વિરામની પ્રકૃતિનું વર્ગીકરણ કરવું સારું રહેશે, જે ઘણી વખત સ્થિતિ દ્વારા જરૂરી છે. આ કરવા માટે:

ચાલો હું તમને યાદ કરાવું કે રેકોર્ડિંગ દ્વારા અમારો અર્થ છે અનંત નકારાત્મક સંખ્યા, અને પ્રવેશ હેઠળ - અનંત હકારાત્મક સંખ્યા.

એકતરફી મર્યાદા અનંત છે, જેનો અર્થ છે કે કાર્ય બિંદુ પર 2જી પ્રકારનું વિરામ ભોગવે છે. y-અક્ષ છે વર્ટિકલ એસિમ્પ્ટોટ ગ્રાફ માટે.

બંને એકતરફી મર્યાદાઓનું અસ્તિત્વ હોવું અસામાન્ય નથી, પરંતુ તેમાંથી માત્ર એક જ અનંત છે, ઉદાહરણ તરીકે:

આ ફંક્શનનો ગ્રાફ છે.

અમે સાતત્ય માટેના મુદ્દાની તપાસ કરીએ છીએ:

1) કાર્ય આ બિંદુએ વ્યાખ્યાયિત થયેલ નથી.

2) ચાલો એકતરફી મર્યાદાઓની ગણતરી કરીએ:

અમે વ્યાખ્યાનના છેલ્લા બે ઉદાહરણોમાં આવી એકતરફી મર્યાદાની ગણતરી કરવાની પદ્ધતિ વિશે વાત કરીશું, જો કે ઘણા વાચકોએ પહેલેથી જ બધું જોયું છે અને અનુમાન લગાવ્યું છે.

ડાબા હાથની મર્યાદા મર્યાદિત છે અને શૂન્યની બરાબર છે (આપણે બિંદુ પર "જતા" નથી), પરંતુ જમણી બાજુની મર્યાદા અનંત છે અને આલેખની નારંગી શાખા તેની નજીક આવે છે. વર્ટિકલ એસિમ્પ્ટોટ , સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે (કાળા ડોટેડ રેખા).

તેથી કાર્ય પીડાય છે બીજા પ્રકારની અવ્યવસ્થાબિંદુ પર

1લી પ્રકારની વિરામ માટે, કાર્યને વિરામ બિંદુ પર જ વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, piecewise કાર્ય માટે કોઓર્ડિનેટ્સના મૂળ પર કાળા બોલ્ડ ડોટ મૂકવા માટે નિઃસંકોચ. જમણી બાજુએ હાઇપરબોલાની શાખા છે, અને જમણી બાજુની મર્યાદા અનંત છે. મને લાગે છે કે લગભગ દરેકને આ ગ્રાફ કેવો દેખાય છે તેનો ખ્યાલ છે.

દરેક જણ જેની રાહ જોઈ રહ્યા હતા:

સાતત્ય માટે કાર્યની તપાસ કેવી રીતે કરવી?

એક બિંદુ પર સાતત્ય માટે કાર્યનો અભ્યાસ પહેલેથી જ સ્થાપિત નિયમિત યોજના અનુસાર હાથ ધરવામાં આવે છે, જેમાં સાતત્યની ત્રણ શરતો તપાસવામાં આવે છે:

ઉદાહરણ 1

અન્વેષણ કાર્ય

ઉકેલ:

1) કાર્યક્ષેત્રમાં એકમાત્ર બિંદુ એ છે જ્યાં કાર્ય વ્યાખ્યાયિત નથી.

2) ચાલો એકતરફી મર્યાદાઓની ગણતરી કરીએ:

એકતરફી મર્યાદાઓ મર્યાદિત અને સમાન છે.

આમ, બિંદુ પર કાર્ય દૂર કરી શકાય તેવી વિરામનો ભોગ બને છે.

આ ફંક્શનનો ગ્રાફ કેવો દેખાય છે?

હું સરળ બનાવવા માંગુ છું , અને એવું લાગે છે કે એક સામાન્ય પેરાબોલા પ્રાપ્ત થાય છે. પરંતુમૂળ કાર્ય બિંદુ પર વ્યાખ્યાયિત નથી, તેથી નીચેની કલમ જરૂરી છે:

ચાલો ડ્રોઇંગ બનાવીએ:

જવાબ આપો: ફંક્શન સમગ્ર સંખ્યા રેખા પર સતત રહે છે તે બિંદુ સિવાય કે જ્યાં તે દૂર કરી શકાય તેવી વિરામનો ભોગ બને છે.

કાર્યને વધુ સારી રીતે અથવા એટલી સારી રીતે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે, પરંતુ સ્થિતિ અનુસાર આ જરૂરી નથી.

તમે કહો છો કે આ એક દૂરનું ઉદાહરણ છે? બિલકુલ નહિ. વ્યવહારમાં આવું ડઝનેક વખત બન્યું છે. સાઇટના લગભગ તમામ કાર્યો વાસ્તવિક સ્વતંત્ર કાર્ય અને પરીક્ષણોમાંથી આવે છે.

ચાલો અમારા મનપસંદ મોડ્યુલોથી છૂટકારો મેળવીએ:

ઉદાહરણ 2

અન્વેષણ કાર્ય સાતત્ય માટે. જો તેઓ અસ્તિત્વમાં હોય તો ફંક્શન ડિસઓન્ટિન્યુટીઝની પ્રકૃતિ નક્કી કરો. ડ્રોઇંગ ચલાવો.

ઉકેલ: કેટલાક કારણોસર, વિદ્યાર્થીઓ ડરતા હોય છે અને મોડ્યુલ સાથેના કાર્યોને પસંદ કરતા નથી, જો કે તેમાં કંઈ જટિલ નથી. અમે પાઠમાં આવી વસ્તુઓ પર થોડો સ્પર્શ કર્યો છે. આલેખનું ભૌમિતિક પરિવર્તન . મોડ્યુલ બિન-નકારાત્મક હોવાથી, તે નીચે પ્રમાણે વિસ્તૃત થયેલ છે: , જ્યાં "આલ્ફા" અમુક અભિવ્યક્તિ છે. IN આ કિસ્સામાં, અને અમારું કાર્ય ભાગરૂપે લખવું જોઈએ:

પરંતુ બંને ટુકડાઓના અપૂર્ણાંકો દ્વારા ઘટાડવું આવશ્યક છે. ઘટાડો, અગાઉના ઉદાહરણની જેમ, પરિણામો વિના થશે નહીં. મૂળ કાર્ય બિંદુ પર વ્યાખ્યાયિત નથી કારણ કે છેદ શૂન્ય પર જાય છે. તેથી, સિસ્ટમે વધુમાં શરતનો ઉલ્લેખ કરવો જોઈએ અને પ્રથમ અસમાનતાને કડક બનાવવી જોઈએ:

હવે એક ખૂબ જ ઉપયોગી નિર્ણય તકનીક વિશે: ડ્રાફ્ટ પર કાર્યને અંતિમ સ્વરૂપ આપતા પહેલા, ચિત્ર બનાવવું ફાયદાકારક છે (પછી ભલે તે શરતો દ્વારા જરૂરી હોય કે નહીં). આનાથી, પ્રથમ, સાતત્યના બિંદુઓ અને વિરામના બિંદુઓ તરત જ જોવામાં મદદ મળશે, અને, બીજું, તે એકતરફી મર્યાદા શોધતી વખતે તમને ભૂલોથી 100% સુરક્ષિત કરશે.

ચાલો ડ્રોઈંગ કરીએ. અમારી ગણતરીઓ અનુસાર, બિંદુની ડાબી બાજુએ પેરાબોલા (વાદળી રંગ) નો ટુકડો દોરવો જરૂરી છે, અને જમણી તરફ - પેરાબોલાનો ટુકડો (લાલ રંગ), જ્યારે કાર્ય વ્યાખ્યાયિત નથી. પોતે નિર્દેશ:

જો શંકા હોય તો, થોડા x મૂલ્યો લો અને તેમને ફંક્શનમાં પ્લગ કરો (યાદ રાખીને કે મોડ્યુલ સંભવિત માઈનસ ચિહ્નનો નાશ કરે છે) અને ગ્રાફ તપાસો.

ચાલો વિશ્લેષણાત્મક રીતે સાતત્ય માટે કાર્યની તપાસ કરીએ:

1) કાર્ય બિંદુ પર વ્યાખ્યાયિત નથી, તેથી આપણે તરત જ કહી શકીએ કે તે તેના પર સતત નથી.

2) ચાલો વિરામની પ્રકૃતિ સ્થાપિત કરીએ, આ કરવા માટે, અમે એકતરફી મર્યાદાની ગણતરી કરીએ છીએ:

એકતરફી મર્યાદાઓ મર્યાદિત અને ભિન્ન છે, જેનો અર્થ એ થાય છે કે બિંદુ પર કૂદકા સાથે ફંક્શન 1લી પ્રકારનું વિરામ ભોગવે છે. ફરીથી નોંધ કરો કે જ્યારે મર્યાદાઓ શોધી રહ્યા હોય, ત્યારે વિરામ બિંદુ પરનું કાર્ય વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે કે નહીં તેનાથી કોઈ ફરક પડતો નથી.

હવે જે બાકી છે તે ડ્રાફ્ટમાંથી ડ્રોઇંગને સ્થાનાંતરિત કરવાનું છે (તે સંશોધનની મદદથી બનાવવામાં આવ્યું હતું ;-)) અને કાર્ય પૂર્ણ કરો:

જવાબ આપો: ફંક્શન સમગ્ર સંખ્યા રેખા પર સતત રહે છે તે બિંદુ સિવાય કે જ્યાં તે કૂદકા સાથે પ્રથમ પ્રકારની વિરામનો ભોગ બને છે.

કેટલીકવાર તેમને અસંતુલિત કૂદકાના વધારાના સંકેતની જરૂર હોય છે. તે સરળ રીતે ગણવામાં આવે છે - જમણી મર્યાદામાંથી તમારે ડાબી મર્યાદાને બાદ કરવાની જરૂર છે: , એટલે કે, વિરામ બિંદુ પર અમારું કાર્ય 2 એકમ નીચે ગયું (જેમ કે માઈનસ ચિહ્ન અમને કહે છે).

ઉદાહરણ 3

અન્વેષણ કાર્ય સાતત્ય માટે. જો તેઓ અસ્તિત્વમાં હોય તો ફંક્શન ડિસઓન્ટિન્યુટીઝની પ્રકૃતિ નક્કી કરો. એક ચિત્ર બનાવો.

માટે આ એક ઉદાહરણ છે સ્વતંત્ર નિર્ણય, પાઠના અંતે નમૂનાનો ઉકેલ.

ચાલો કાર્યના સૌથી લોકપ્રિય અને વ્યાપક સંસ્કરણ પર આગળ વધીએ, જ્યારે કાર્યમાં ત્રણ ભાગો હોય છે:

ઉદાહરણ 4

સાતત્ય માટે ફંક્શનની તપાસ કરો અને ફંક્શનનો આલેખ બનાવો .

ઉકેલ: તે સ્પષ્ટ છે કે ફંક્શનના ત્રણેય ભાગો અનુરૂપ અંતરાલો પર સતત છે, તેથી તે ટુકડાઓ વચ્ચે "જંકશન" ના ફક્ત બે બિંદુઓને તપાસવાનું બાકી છે. પ્રથમ, ચાલો એક ડ્રાફ્ટ ડ્રોઇંગ બનાવીએ; મેં લેખના પહેલા ભાગમાં પૂરતી વિગતમાં બાંધકામ તકનીક પર ટિપ્પણી કરી. એકમાત્ર વસ્તુ એ છે કે આપણે કાળજીપૂર્વક અમારા એકવચન બિંદુઓને અનુસરવાની જરૂર છે: અસમાનતાને લીધે, મૂલ્ય સીધી રેખા (લીલા બિંદુ) નું છે, અને અસમાનતાને કારણે, મૂલ્ય પેરાબોલા (લાલ બિંદુ) નું છે:


સારું, સૈદ્ધાંતિક રીતે, બધું સ્પષ્ટ છે =) જે બાકી છે તે નિર્ણયને ઔપચારિક બનાવવાનું છે. દરેક બે "જોડાવાના" બિંદુઓ માટે, અમે પ્રમાણભૂત રીતે 3 સાતત્યની શરતો તપાસીએ છીએ:

હું)અમે સાતત્ય માટે બિંદુની તપાસ કરીએ છીએ

1)

એકતરફી મર્યાદાઓ મર્યાદિત અને ભિન્ન છે, જેનો અર્થ એ થાય છે કે બિંદુ પર કૂદકા સાથે ફંક્શન 1લી પ્રકારનું વિરામ ભોગવે છે.

ચાલો જમણી અને ડાબી મર્યાદા વચ્ચેના તફાવત તરીકે અસંતુલિત કૂદકાની ગણતરી કરીએ:
, એટલે કે, ગ્રાફ એક એકમ ઉપર ધક્કો માર્યો.

II)અમે સાતત્ય માટે બિંદુની તપાસ કરીએ છીએ

1) - કાર્ય આપેલ બિંદુ પર વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.

2) એકતરફી મર્યાદા શોધો:

- એકતરફી મર્યાદાઓ મર્યાદિત અને સમાન છે, જેનો અર્થ છે કે એક સામાન્ય મર્યાદા છે.

3) - એક બિંદુ પર ફંક્શનની મર્યાદા આપેલ બિંદુ પર આ ફંક્શનની કિંમત જેટલી છે.

અંતિમ તબક્કે, અમે ડ્રોઇંગને અંતિમ સંસ્કરણમાં સ્થાનાંતરિત કરીએ છીએ, ત્યારબાદ અમે અંતિમ તાર મૂકીએ છીએ:

જવાબ આપો: ફંક્શન સમગ્ર સંખ્યા રેખા સાથે સતત રહે છે, તે બિંદુ સિવાય કે જ્યાં તે કૂદકા સાથે પ્રથમ પ્રકારની વિરામનો ભોગ બને છે.

ઉદાહરણ 5

સાતત્ય માટે કાર્યની તપાસ કરો અને તેનો ગ્રાફ બનાવો .

આ સ્વતંત્ર ઉકેલ માટેનું ઉદાહરણ છે, ટૂંકા ઉકેલ અને પાઠના અંતે સમસ્યાનો અંદાજિત નમૂનો.

તમે એવી છાપ મેળવી શકો છો કે એક તબક્કે ફંક્શન સતત હોવું જોઈએ, અને બીજા સમયે વિરામ હોવું જોઈએ. વ્યવહારમાં, આ હંમેશા કેસ નથી. બાકીના ઉદાહરણોની અવગણના ન કરવાનો પ્રયાસ કરો - ત્યાં ઘણી રસપ્રદ અને મહત્વપૂર્ણ સુવિધાઓ હશે:

ઉદાહરણ 6

એક ફંકશન આપ્યું . પોઈન્ટ પર સાતત્ય માટે કાર્યની તપાસ કરો. એક ગ્રાફ બનાવો.

ઉકેલ: અને ફરીથી તરત જ ડ્રાફ્ટ પર ડ્રોઇંગ ચલાવો:

આ આલેખની ખાસિયત એ છે કે પીસવાઈઝ ફંક્શન એબ્સીસા અક્ષના સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આ વિસ્તાર અહીં દોરવામાં આવ્યો છે લીલો, અને નોટબુકમાં તે સામાન્ય રીતે બોલ્ડમાં પ્રકાશિત થાય છે એક સરળ પેન્સિલ સાથે. અને, અલબત્ત, અમારા રેમ્સ વિશે ભૂલશો નહીં: મૂલ્ય સ્પર્શક શાખા (લાલ બિંદુ) નું છે, અને મૂલ્ય સીધી રેખા સાથે સંબંધિત છે.

ડ્રોઇંગમાંથી બધું સ્પષ્ટ છે - ફંક્શન આખી નંબર લાઇન સાથે સતત છે, જે બાકી છે તે ઉકેલને ઔપચારિક બનાવવાનું છે, જે 3-4 સમાન ઉદાહરણો પછી શાબ્દિક રીતે સંપૂર્ણ ઓટોમેશનમાં લાવવામાં આવે છે:

હું)અમે સાતત્ય માટે બિંદુની તપાસ કરીએ છીએ

1) - કાર્ય આપેલ બિંદુ પર વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.

2) ચાલો એકતરફી મર્યાદાઓની ગણતરી કરીએ:

, જેનો અર્થ છે કે સામાન્ય મર્યાદા છે.

માત્ર કિસ્સામાં, ચાલો હું તમને એક તુચ્છ હકીકતની યાદ અપાવી દઉં: અચળની મર્યાદા અચલની જ છે. આ કિસ્સામાં, શૂન્યની મર્યાદા શૂન્યની બરાબર છે (ડાબા હાથની મર્યાદા).

3) - એક બિંદુ પર ફંક્શનની મર્યાદા આપેલ બિંદુ પર આ ફંક્શનની કિંમત જેટલી છે.

આમ, એક બિંદુ પર કાર્યની સાતત્યની વ્યાખ્યા દ્વારા એક બિંદુ પર કાર્ય સતત છે.

II)અમે સાતત્ય માટે બિંદુની તપાસ કરીએ છીએ

1) - કાર્ય આપેલ બિંદુ પર વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.

2) એકતરફી મર્યાદા શોધો:

અને અહીં - એકની મર્યાદા એકમ જેટલી જ છે.

- એક સામાન્ય મર્યાદા છે.

3) - એક બિંદુ પર ફંક્શનની મર્યાદા આપેલ બિંદુ પર આ ફંક્શનની કિંમત જેટલી છે.

આમ, એક બિંદુ પર કાર્યની સાતત્યની વ્યાખ્યા દ્વારા એક બિંદુ પર કાર્ય સતત છે.

હંમેશની જેમ, સંશોધન પછી અમે અમારા ડ્રોઇંગને અંતિમ સંસ્કરણમાં સ્થાનાંતરિત કરીએ છીએ.

જવાબ આપો: કાર્ય બિંદુઓ પર સતત છે.

મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે શરતમાં અમને સાતત્ય માટે સમગ્ર કાર્યનો અભ્યાસ કરવા વિશે કંઈપણ પૂછવામાં આવ્યું ન હતું, અને તે ઘડવાનું સારું ગાણિતિક સ્વરૂપ માનવામાં આવે છે. ચોક્કસ અને સ્પષ્ટપૂછાયેલા પ્રશ્નનો જવાબ. માર્ગ દ્વારા, જો પરિસ્થિતિઓમાં તમારે ગ્રાફ બનાવવાની જરૂર નથી, તો તમને તે ન બનાવવાનો સંપૂર્ણ અધિકાર છે (જોકે પછીથી શિક્ષક તમને આ કરવા દબાણ કરી શકે છે).

તેને જાતે હલ કરવા માટે એક નાનું ગાણિતિક "જીભ ટ્વિસ્ટર":

ઉદાહરણ 7

એક ફંકશન આપ્યું . પોઈન્ટ પર સાતત્ય માટે કાર્યની તપાસ કરો. બ્રેકપોઈન્ટનું વર્ગીકરણ કરો, જો કોઈ હોય તો. ડ્રોઇંગ ચલાવો.

બધા "શબ્દો" ને યોગ્ય રીતે "ઉચ્ચારણ" કરવાનો પ્રયાસ કરો =) અને ગ્રાફને વધુ ચોક્કસ, ચોકસાઈથી દોરો, તે દરેક જગ્યાએ અનાવશ્યક રહેશે નહીં;-)

જેમ તમને યાદ છે, મેં તરત જ ડ્રાફ્ટ તરીકે ડ્રોઇંગ પૂર્ણ કરવાની ભલામણ કરી હતી, પરંતુ સમયાંતરે તમે એવા ઉદાહરણો જુઓ છો જ્યાં તમે તરત જ આકૃતિ કેવો દેખાય છે તે સમજી શકતા નથી. તેથી, સંખ્યાબંધ કેસોમાં, પ્રથમ એકતરફી મર્યાદા શોધવાનું ફાયદાકારક છે અને તે પછી જ, અભ્યાસના આધારે, શાખાઓનું નિરૂપણ કરવું. અંતિમ બે ઉદાહરણોમાં આપણે કેટલીક એકતરફી મર્યાદાની ગણતરી કરવાની તકનીક પણ શીખીશું:

ઉદાહરણ 8

સાતત્ય માટે કાર્યની તપાસ કરો અને તેનો યોજનાકીય ગ્રાફ બનાવો.

ઉકેલ: ખરાબ બિંદુઓ સ્પષ્ટ છે: (ઘાતના છેદને શૂન્ય સુધી ઘટાડે છે) અને (સંપૂર્ણ અપૂર્ણાંકના છેદને શૂન્ય સુધી ઘટાડે છે). આ ફંક્શનનો ગ્રાફ કેવો દેખાય છે તે સ્પષ્ટ નથી, જેનો અર્થ છે કે પહેલા કેટલાક સંશોધન કરવું વધુ સારું છે.

વ્યાખ્યા. ફંકશન f(x), અમુક બિંદુ x 0 ની પડોશમાં વ્યાખ્યાયિત, કહેવાય છે એક બિંદુ પર સતત x 0 જો કાર્યની મર્યાદા અને આ બિંદુએ તેનું મૂલ્ય સમાન હોય, એટલે કે.

સમાન હકીકત અલગ રીતે લખી શકાય છે:

વ્યાખ્યા. જો ફંક્શન f(x) બિંદુ x 0 ના અમુક પડોશમાં વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે, પરંતુ તે બિંદુ x 0 પર સતત નથી, તો તેને કહેવામાં આવે છે વિસ્ફોટકકાર્ય, અને બિંદુ x 0 એ વિરામ બિંદુ છે.

સતત કાર્યનું ઉદાહરણ:

y

0 x 0 - x 0 x 0 + x

પી અવ્યવસ્થિત કાર્યનું ઉદાહરણ:

વ્યાખ્યા. વિધેય f(x) ને x 0 બિંદુ પર સતત કહેવામાં આવે છે જો કોઈપણ હકારાત્મક સંખ્યા >0 માટે કોઈ સંખ્યા >0 હોય કે જે કોઈપણ x માટે સ્થિતિ સંતોષતી હોય.

અસમાનતા સાચી
.

વ્યાખ્યા. ફંક્શન f(x) કહેવાય છે સતતબિંદુ x = x 0 પર, જો બિંદુ x 0 પર કાર્યનો વધારો એ અનંત મૂલ્ય છે.

f(x) = f(x 0) + (x)

જ્યાં (x) xx 0 પર અનંત છે.

જ્યાં a(x) x®x0 પર અનંત છે.

1) બિંદુ x 0 પર સતત કાર્યનો સરવાળો, તફાવત અને ઉત્પાદન એ બિંદુ x 0 પર સતત કાર્ય છે.

2) બે સતત કાર્યોનો ભાગ - એ સતત કાર્ય છે જો કે g(x) બિંદુ x 0 પર શૂન્યની બરાબર ન હોય.

3) સતત કાર્યોની સુપરપોઝિશન એ સતત કાર્ય છે.

આ મિલકત નીચે પ્રમાણે લખી શકાય છે:

જો u = f(x), v = g(x) એ બિંદુ x = x 0 પર સતત વિધેયો હોય, તો v = g(f(x)) પણ આ બિંદુએ સતત કાર્ય છે.

ઉપરોક્ત ગુણધર્મોની માન્યતા મર્યાદા પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને સરળતાથી સાબિત કરી શકાય છે.

કેટલાક પ્રાથમિક કાર્યોનું સાતત્ય.

1) ફંક્શન f(x) = C, C = const એ વ્યાખ્યાના સમગ્ર ડોમેન પર સતત કાર્ય છે.

2) તર્કસંગત કાર્ય
x ના તમામ મૂલ્યો માટે સતત છે સિવાય કે જેના પર છેદ શૂન્ય બને છે. આમ, આ પ્રકારનું કાર્ય વ્યાખ્યાના સમગ્ર ક્ષેત્રમાં સતત રહે છે.

3) ત્રિકોણમિતિ કાર્યો sin અને cos તેમની વ્યાખ્યાના ક્ષેત્રમાં સતત છે.

ચાલો ફંક્શન y = sinx માટે ગુણધર્મ 3 સાબિત કરીએ.

ચાલો ફંક્શન y = sin(x + x) – sinx, અથવા રૂપાંતરણ પછીનો વધારો લખીએ:

ખરેખર, બે કાર્યોના ઉત્પાદન માટે મર્યાદા છે
અને
. આ કિસ્સામાં, કોસાઇન ફંક્શન х0 પર મર્યાદિત ફંક્શન છે
, અને કારણ કે

સાઈન ફંક્શનની મર્યાદા
, તો તે х0 પર અનંત છે.

આમ, બાઉન્ડેડ ફંક્શનનું ઉત્પાદન અને અનંત એક છે, તેથી આ ઉત્પાદન, એટલે કે. કાર્ય у અનંત છે. ઉપર ચર્ચા કરેલ વ્યાખ્યાઓ અનુસાર, ફંક્શન y = sinx એ વ્યાખ્યાના ડોમેનમાંથી કોઈપણ મૂલ્ય x = x 0 માટે સતત કાર્ય છે, કારણ કે આ બિંદુએ તેની વૃદ્ધિ એક અનંત મૂલ્ય છે.

બ્રેક પોઈન્ટ અને તેમનું વર્ગીકરણ.

ચાલો આ બિંદુના સંભવિત અપવાદ સાથે, બિંદુ x 0 ની પડોશમાં સતત, અમુક ફંક્શન f(x) ને ધ્યાનમાં લઈએ. ફંક્શનના વિરામ બિંદુની વ્યાખ્યા પરથી તે અનુસરે છે કે x = x 0 એ વિરામ બિંદુ છે જો ફંક્શન આ બિંદુએ વ્યાખ્યાયિત ન હોય અથવા તેના પર સતત ન હોય.

એ પણ નોંધવું જોઈએ કે કાર્યની સાતત્ય એકતરફી હોઈ શકે છે. ચાલો આને નીચે પ્રમાણે સમજાવીએ.

, પછી ફંક્શનને જમણું સતત કહેવામાં આવે છે.

જો એકતરફી મર્યાદા (ઉપર જુઓ)
, પછી ફંક્શનને સતત છોડી દેવાનું કહેવાય છે.

વ્યાખ્યા. બિંદુ x 0 કહેવાય છે વિરામ બિંદુફંક્શન f(x), જો f(x) બિંદુ x 0 પર વ્યાખ્યાયિત નથી અથવા આ બિંદુએ સતત નથી.

વ્યાખ્યા. બિંદુ x 0 કહેવાય છે 1 લી પ્રકારનો વિરામ બિંદુ, જો આ બિંદુએ ફંક્શન f(x) પાસે મર્યાદિત છે, પરંતુ સમાન નથી, ડાબી અને જમણી મર્યાદાઓ છે.

આ વ્યાખ્યાની શરતોને સંતોષવા માટે, તે જરૂરી નથી કે કાર્યને x = x 0 બિંદુ પર વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે, તે પર્યાપ્ત છે કે તે તેની ડાબી અને જમણી બાજુએ વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.

વ્યાખ્યા પરથી આપણે નિષ્કર્ષ પર આવી શકીએ છીએ કે 1લી પ્રકારના વિરામ બિંદુ પર ફંક્શનમાં ફક્ત મર્યાદિત જમ્પ હોઈ શકે છે. કેટલાક વિશિષ્ટ કેસોમાં, 1 લી પ્રકારનો વિરામ બિંદુ પણ ક્યારેક કહેવામાં આવે છે દૂર કરી શકાય તેવુંબ્રેકિંગ પોઈન્ટ, પરંતુ અમે નીચે આ વિશે વધુ વાત કરીશું.

વ્યાખ્યા. બિંદુ x 0 કહેવાય છે 2જી પ્રકારનું વિરામ બિંદુ, જો આ બિંદુએ ફંકશન f(x) પાસે ઓછામાં ઓછી એક બાજુની મર્યાદાઓમાંથી એક નથી અથવા તેમાંથી ઓછામાં ઓછી એક અનંત છે.

અંતરાલ અને સેગમેન્ટ પર ફંક્શનની સાતત્ય.

વ્યાખ્યા. ફંક્શન f(x) કહેવાય છે અંતરાલ (સેગમેન્ટ) પર સતત, જો તે અંતરાલ (સેગમેન્ટ) ના કોઈપણ બિંદુએ સતત હોય.

આ કિસ્સામાં, સેગમેન્ટ અથવા અંતરાલના અંતે ફંક્શનની સાતત્ય જરૂરી નથી;

અંતરાલ પર સતત કાર્યોના ગુણધર્મો.

મિલકત 1: (વેઅરસ્ટ્રાસનું પ્રથમ પ્રમેય (કાર્લ વેઇરસ્ટ્રાસ (1815-1897) - જર્મન ગણિતશાસ્ત્રી)). એક કાર્ય જે અંતરાલ પર સતત હોય છે તે આ અંતરાલ પર બંધાયેલું છે, એટલે કે. સ્થિતિ –M  f(x)  M સેગમેન્ટ પર સંતુષ્ટ છે.

આ ગુણધર્મનો પુરાવો એ હકીકત પર આધારિત છે કે એક કાર્ય જે બિંદુ x 0 પર સતત રહે છે તે તેની ચોક્કસ પડોશમાં બંધાયેલ છે, અને જો તમે સેગમેન્ટને અનંત સંખ્યામાં વિભાગોમાં વિભાજિત કરો છો જે બિંદુ સાથે "સંબંધિત" છે. x 0, પછી બિંદુ x 0 નો ચોક્કસ પડોશ રચાય છે.

મિલકત 2: એક ફંક્શન જે સેગમેન્ટ પર સતત હોય છે તે તેના પર સૌથી મોટા અને નાના મૂલ્યો લે છે.

તે. x 1 અને x 2 મૂલ્યો છે જેમ કે f(x 1) = m, f(x 2) = M, અને

m  f(x)  M

તે. x1 અને x2 મૂલ્યો અસ્તિત્વમાં છે જેમ કે f(x1) = m, f(x2) = M, અને

સેગમેન્ટ પરના ફંક્શનની સૌથી મોટી અને સૌથી નાની કિંમત વચ્ચેનો તફાવત કહેવાય છે ખચકાટસેગમેન્ટ પરના કાર્યો.

મિલકત 3: (બીજો બોલઝાનો-કોચી પ્રમેય). એક કાર્ય જે અંતરાલ પર સતત હોય છે તે આ અંતરાલ પર બે મનસ્વી મૂલ્યો વચ્ચેના તમામ મૂલ્યો લે છે.

મિલકત 4: જો ફંક્શન f(x) બિંદુ x = x 0 પર સતત હોય, તો બિંદુ x 0 ની અમુક પડોશ છે જેમાં ફંક્શન તેની નિશાની જાળવી રાખે છે.

મિલકત 5: (બોલઝાનોનું પ્રથમ પ્રમેય (1781-1848) - કોચી). જો ફંક્શન f(x) સેગમેન્ટ પર સતત હોય અને સેગમેન્ટના છેડે વિપરીત ચિહ્નોની કિંમતો હોય, તો આ સેગમેન્ટની અંદર એક બિંદુ છે જ્યાં f(x) = 0.

તે. જો ચિહ્ન(f(a))  ચિહ્ન(f(b)), તો  x 0: f(x 0) = 0.

ઉદાહરણ.

પોઈન્ટ x = -1 પર ફંક્શન એ 1 લી પ્રકારના બિંદુ x = 1 વિરામ બિંદુ પર સતત છે

ખાતે

ઉદાહરણ.સાતત્ય માટે કાર્યની તપાસ કરો અને જો કોઈ હોય તો, વિરામ બિંદુઓનો પ્રકાર નક્કી કરો.

બિંદુ x = 0 પર ફંક્શન એ બિંદુ x = 1 લી પ્રકારના 1 વિરામ બિંદુ પર સતત છે