ફંક્શન કેવી રીતે સેટ કરવું. કાર્ય સ્પષ્ટ કરવા માટેની પદ્ધતિઓ. ઉદાહરણો. કાર્યનો ઉલ્લેખ કરવાની વિશ્લેષણાત્મક પદ્ધતિ

શબ્દોનો અર્થ શું છે? "ફંક્શન સેટ કરો"?તેઓનો અર્થ છે: જે જાણવા માંગે છે તે દરેકને સમજાવો ચોક્કસ કાર્યઅમે વાત કરી રહ્યા છીએ. વધુમાં, સ્પષ્ટ અને અસ્પષ્ટ રીતે સમજાવો!

આ કેવી રીતે કરી શકાય? કેવી રીતે કાર્ય સેટ કરો?

તમે ફોર્મ્યુલા લખી શકો છો. તમે ગ્રાફ દોરી શકો છો. તમે ટેબલ બનાવી શકો છો. કોઈપણ રીતે છે અમુક નિયમ કે જેના દ્વારા આપણે પસંદ કરેલ x મૂલ્ય માટે i ની કિંમત શોધી શકીએ છીએ.તે. "સેટ ફંક્શન", આનો અર્થ કાયદો બતાવવાનો છે, નિયમ કે જેના દ્વારા x y માં ફેરવાય છે.

સામાન્ય રીતે, વિવિધ કાર્યોમાં હોય છે પહેલેથી જ તૈયાર છેકાર્યો તેઓ અમને આપે છે પહેલેથી જ સેટ કરવામાં આવ્યા છે.તમારા માટે નક્કી કરો, હા, નક્કી કરો.) પરંતુ... મોટાભાગે, શાળાના બાળકો (અને વિદ્યાર્થીઓ પણ) સૂત્રો સાથે કામ કરે છે. તેઓને તેની આદત પડી જાય છે, તમે જાણો છો... તેઓને તેની એટલી આદત પડી ગઈ છે કે ફંક્શનને સ્પષ્ટ કરવાની અલગ રીતથી સંબંધિત કોઈપણ પ્રાથમિક પ્રશ્ન તરત જ વ્યક્તિને પરેશાન કરે છે...)

આવા કિસ્સાઓને ટાળવા માટે, તેનો સામનો કરવો અર્થપૂર્ણ છે અલગ અલગ રીતેકાર્ય સોંપણીઓ. અને, અલબત્ત, આ જ્ઞાનને "મુશ્કેલ" પ્રશ્નોમાં લાગુ કરો. તે એકદમ સરળ છે. જો તમે જાણો છો કે કાર્ય શું છે...)

ચાલો જઈએ?)

કાર્યનો ઉલ્લેખ કરવાની વિશ્લેષણાત્મક પદ્ધતિ.

સૌથી સાર્વત્રિક અને શક્તિશાળી રીત. વિશ્લેષણાત્મક રીતે વ્યાખ્યાયિત કાર્યઆ તે કાર્ય છે જે આપવામાં આવે છે સૂત્રોવાસ્તવમાં, આ સંપૂર્ણ સમજૂતી છે.) કાર્યો કે જે દરેકને પરિચિત છે (હું માનવા માંગુ છું!), ઉદાહરણ તરીકે: y = 2x,અથવા y = x 2વગેરે વગેરે વિશ્લેષણાત્મક રીતે ઉલ્લેખિત છે.

માર્ગ દ્વારા, દરેક સૂત્ર કાર્યને વ્યાખ્યાયિત કરી શકતું નથી. દરેક સૂત્ર ફંક્શનની વ્યાખ્યામાંથી કડક શરતને પૂર્ણ કરતું નથી. જેમ કે - દરેક X માટે ત્યાં માત્ર હોઈ શકે છે એક igrekઉદાહરણ તરીકે, સૂત્રમાં y = ±x, માટે એકમૂલ્યો x=2, તે બહાર આવ્યું છે બે y મૂલ્યો: +2 અને -2. આ સૂત્રનો ઉપયોગ અનન્ય કાર્યને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે કરી શકાતો નથી. એક નિયમ તરીકે, તેઓ ગણિતમાં ગણિતની આ શાખામાં બહુ-મૂલ્યવાન કાર્યો સાથે કામ કરતા નથી.

કાર્યને સ્પષ્ટ કરવાની વિશ્લેષણાત્મક રીત વિશે શું સારું છે? કારણ કે જો તમારી પાસે ફોર્મ્યુલા છે, તો તમે કાર્ય વિશે જાણો છો બધા!તમે નિશાની બનાવી શકો છો. એક ગ્રાફ બનાવો. દ્વારા આ સુવિધાનું અન્વેષણ કરો સંપૂર્ણ કાર્યક્રમ. આ કાર્ય ક્યાં અને કેવી રીતે વર્તે છે તેની બરાબર આગાહી કરો. તમામ ગાણિતિક પૃથ્થકરણ વિધેયોને સ્પષ્ટ કરવાની આ પદ્ધતિ પર આધારિત છે. ચાલો કહીએ કે, કોષ્ટકનું વ્યુત્પન્ન લેવું અત્યંત મુશ્કેલ છે...)

વિશ્લેષણાત્મક પદ્ધતિ તદ્દન પરિચિત છે અને સમસ્યાઓ ઊભી કરતી નથી. કદાચ આ પદ્ધતિની કેટલીક ભિન્નતાઓ છે જેનો વિદ્યાર્થીઓને સામનો કરવો પડે છે. હું પેરામેટ્રિક અને ગર્ભિત કાર્યો વિશે વાત કરી રહ્યો છું.) પરંતુ આવા કાર્યો ખાસ પાઠમાં છે.

ચાલો ઓછા તરફ આગળ વધીએ સામાન્ય રીતેકાર્ય સોંપણીઓ.

કાર્યનો ઉલ્લેખ કરવાની ટેબ્યુલર પદ્ધતિ.

નામ સૂચવે છે તેમ, આ પદ્ધતિ એક સરળ સંકેત છે. આ કોષ્ટકમાં, દરેક x અનુલક્ષે છે ( અનુસાર મૂકવામાં આવે છે) રમતના કેટલાક અર્થ. પ્રથમ લીટીમાં દલીલના મૂલ્યો છે. બીજી લાઇનમાં અનુરૂપ કાર્ય મૂલ્યો છે, ઉદાહરણ તરીકે:

કોષ્ટક 1.

કૃપા કરીને ધ્યાન આપો! આ ઉદાહરણમાં, રમત X પર આધાર રાખે છે કોઈપણ રીતે.હું હેતુપૂર્વક આ સાથે આવ્યો છું.) કોઈ પેટર્ન નથી. તે ઠીક છે, તે થાય છે. અર્થ, બરાબર તે જેમમેં આ વિશિષ્ટ કાર્યનો ઉલ્લેખ કર્યો છે. તે સાચું છેમેં એક નિયમ સ્થાપિત કર્યો જે મુજબ X એ Y માં ફેરવાય છે.

તમે મેક અપ કરી શકો છો અન્યપેટર્ન ધરાવતી પ્લેટ. આ ચિહ્ન સૂચવે છે અન્યકાર્ય, ઉદાહરણ તરીકે:

કોષ્ટક 2.

તમે પેટર્ન પકડી હતી? અહીં રમતના તમામ મૂલ્યો x ને બે વડે ગુણાકાર કરીને મેળવવામાં આવે છે. અહીં પહેલો “મુશ્કેલ” પ્રશ્ન છે: શું કોષ્ટક 2 નો ઉપયોગ કરીને વ્યાખ્યાયિત કરેલ ફંક્શનને ફંક્શન ગણી શકાય y = 2x? હમણાં માટે વિચારો, જવાબ ગ્રાફિકલ રીતે નીચે હશે. ત્યાં બધું ખૂબ જ સ્પષ્ટ છે.)

શું સારું છે ફંક્શન સ્પષ્ટ કરવાની ટેબ્યુલર પદ્ધતિ?હા, કારણ કે તમારે કંઈપણ ગણવાની જરૂર નથી. બધું પહેલેથી જ ગણતરી કરવામાં આવ્યું છે અને કોષ્ટકમાં લખવામાં આવ્યું છે.) પરંતુ તેનાથી વધુ સારું કંઈ નથી. અમે X ના ફંક્શનની કિંમત જાણતા નથી, જે ટેબલમાં નથી.આ પદ્ધતિમાં, આવા x મૂલ્યો સરળ છે અસ્તિત્વમાં નથી.માર્ગ દ્વારા, આ એક મુશ્કેલ પ્રશ્નનો સંકેત છે.) અમે શોધી શકતા નથી કે કાર્ય કોષ્ટકની બહાર કેવી રીતે વર્તે છે. અમે કંઈ કરી શકતા નથી. અને આ પદ્ધતિની સ્પષ્ટતા ઇચ્છિત થવા માટે ઘણું બધું છોડી દે છે... ગ્રાફિકલ પદ્ધતિ સ્પષ્ટતા માટે સારી છે.

ફંક્શનનો ઉલ્લેખ કરવાની ગ્રાફિકલ રીત.

આ પદ્ધતિમાં, કાર્ય ગ્રાફ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે. દલીલ (x) એબ્સીસા અક્ષ સાથે પ્લોટ કરવામાં આવે છે, અને ફંક્શન વેલ્યુ (y) ઓર્ડિનેટ અક્ષ સાથે પ્લોટ કરવામાં આવે છે. શેડ્યૂલ અનુસાર, તમે કોઈપણ પસંદ પણ કરી શકો છો એક્સઅને અનુરૂપ મૂલ્ય શોધો ખાતે. આલેખ કોઈપણ હોઈ શકે છે, પરંતુ... માત્ર એક જ નહીં.) અમે ફક્ત અસ્પષ્ટ કાર્યો સાથે જ કામ કરીએ છીએ. આવા કાર્યની વ્યાખ્યા સ્પષ્ટપણે જણાવે છે: દરેક એક્સઅનુસાર મૂકવામાં આવે છે એકમાત્ર ખાતે. એકએક રમત, બે કે ત્રણ નહીં... ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો વર્તુળ ગ્રાફ જોઈએ:

વર્તુળ એક વર્તુળ જેવું છે... તે ફંક્શનનો ગ્રાફ કેમ ન હોવો જોઈએ? ચાલો શોધીએ કે કઈ રમત X ના મૂલ્યને અનુરૂપ હશે, ઉદાહરણ તરીકે, 6? અમે કર્સરને ગ્રાફ પર ખસેડીએ છીએ (અથવા ટેબ્લેટ પરના ચિત્રને સ્પર્શ કરીએ છીએ), અને... આપણે જોઈએ છીએ કે આ x અનુરૂપ છે બેરમતનો અર્થ: y=2 અને y=6.

બે અને છ! તેથી, આવા ગ્રાફ ફંક્શનની ગ્રાફિકલ સોંપણી હશે નહીં. ચાલુ એક x માટે એકાઉન્ટ્સ બેરમત આ ગ્રાફ ફંક્શનની વ્યાખ્યાને અનુરૂપ નથી.

પરંતુ જો અસ્પષ્ટતાની સ્થિતિ પૂરી થાય છે, તો ગ્રાફ સંપૂર્ણપણે કંઈપણ હોઈ શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે:

આ જ કુટિલતા એ કાયદો છે જેના દ્વારા X ને Y માં રૂપાંતરિત કરી શકાય છે. અસંદિગ્ધ. અમે ફંક્શનનો અર્થ જાણવા માગતા હતા x = 4,ઉદાહરણ તરીકે. આપણે x-અક્ષ પર ચાર શોધવાની જરૂર છે અને જુઓ કે કઈ રમત આ xને અનુરૂપ છે. આપણે માઉસને આકૃતિ પર ખસેડીએ છીએ અને જોઈએ છીએ કે ફંક્શન વેલ્યુ ખાતેમાટે x=4પાંચ બરાબર. X નું Y માં આ રૂપાંતર શું સૂત્ર નક્કી કરે છે તે આપણે જાણતા નથી. અને નથી. બધું શેડ્યૂલ દ્વારા સેટ કરવામાં આવે છે.

હવે આપણે "મુશ્કેલ" પ્રશ્ન પર પાછા આવી શકીએ છીએ y=2x.ચાલો આ ફંક્શનને પ્લોટ કરીએ. તે અહીં છે:

અલબત્ત, આ ગ્રાફ દોરતી વખતે આપણે અસંખ્ય મૂલ્યો લીધા નથી એક્સ.અમે ઘણા મૂલ્યો લીધા અને ગણતરી કરી y,એક નિશાની બનાવી - અને બધું તૈયાર છે! સૌથી વધુ સાક્ષર લોકોએ X ના ફક્ત બે મૂલ્યો લીધા! અને યોગ્ય રીતે. સીધી રેખા માટે તમારે વધુની જરૂર નથી. શા માટે વધારાનું કામ?

પરંતુ અમે ખાતરી માટે જાણતા હતા x શું હોઈ શકે કોઈપણપૂર્ણાંક, અપૂર્ણાંક, નકારાત્મક... કોઈપણ. આ સૂત્ર મુજબ છે y=2xદૃશ્યમાન તેથી, અમે હિંમતભેર ગ્રાફ પરના બિંદુઓને નક્કર રેખા સાથે જોડ્યા.

જો કોષ્ટક 2 દ્વારા આપણને ફંક્શન આપવામાં આવે છે, તો આપણે x ની કિંમતો લેવી પડશે માત્ર ટેબલ પરથી.કારણ કે અન્ય X (અને Y's) અમને આપવામાં આવ્યા નથી, અને તેમને મેળવવા માટે ક્યાંય નથી. આ મૂલ્યો આ કાર્યમાં હાજર નથી. સમયપત્રક કામ કરશે બિંદુઓથી.અમે માઉસને આકૃતિ પર ખસેડીએ છીએ અને કોષ્ટક 2 માં ઉલ્લેખિત કાર્યનો ગ્રાફ જોઈએ છીએ. મેં અક્ષો પર x-y મૂલ્યો લખ્યા નથી, તમે તેને આકૃતિ કરી શકશો, સેલ બાય સેલ?)

અહીં "મુશ્કેલ" પ્રશ્નનો જવાબ છે. કોષ્ટક 2 અને કાર્ય દ્વારા ઉલ્લેખિત કાર્ય y=2x - અલગ

ગ્રાફિક પદ્ધતિતેની સ્પષ્ટતા માટે સારું. તમે તરત જ જોઈ શકો છો કે કાર્ય કેવી રીતે વર્તે છે, તે ક્યાં વધે છે. જ્યાં તે ઘટે છે. ગ્રાફ પરથી તમે તરત જ કેટલાકને ઓળખી શકો છો મહત્વપૂર્ણ લાક્ષણિકતાઓકાર્યો અને ડેરિવેટિવ્ઝ સાથેના વિષયમાં, આલેખ સાથેના કાર્યો બધી જગ્યાએ છે!

સામાન્ય રીતે, ફંક્શનને વ્યાખ્યાયિત કરવાની વિશ્લેષણાત્મક અને ગ્રાફિકલ પદ્ધતિઓ એકસાથે જાય છે. સૂત્ર સાથે કામ કરવાથી ગ્રાફ બનાવવામાં મદદ મળે છે. અને આલેખ ઘણીવાર એવા ઉકેલો સૂચવે છે જે તમને સૂત્રમાં ધ્યાનમાં પણ નહીં આવે... અમે ગ્રાફના મિત્ર બનીશું.)

લગભગ કોઈપણ વિદ્યાર્થી ફંક્શનને વ્યાખ્યાયિત કરવાની ત્રણ રીતો જાણે છે જે આપણે હમણાં જ જોયું છે. પરંતુ પ્રશ્ન માટે: "અને ચોથો!?" - સારી રીતે થીજી જાય છે.)

આવી રીત છે.

કાર્યનું મૌખિક વર્ણન.

હા, હા! કાર્યને શબ્દોમાં તદ્દન અસ્પષ્ટપણે સ્પષ્ટ કરી શકાય છે. મહાન અને શક્તિશાળી રશિયન ભાષા ઘણું સક્ષમ છે!) ચાલો કાર્ય કહીએ y=2xનીચેના મૌખિક વર્ણન સાથે સ્પષ્ટ કરી શકાય છે: દલીલ xનું દરેક વાસ્તવિક મૂલ્ય તેના ડબલ મૂલ્ય સાથે સંકળાયેલું છે.આની જેમ! નિયમ સ્થાપિત થયેલ છે, કાર્ય સ્પષ્ટ થયેલ છે.

તદુપરાંત, તમે મૌખિક રીતે એક ફંક્શનનો ઉલ્લેખ કરી શકો છો જે અત્યંત મુશ્કેલ છે, જો અશક્ય ન હોય તો, ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરીને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે. ઉદાહરણ તરીકે: કુદરતી દલીલ x નું દરેક મૂલ્ય એ અંકોના સરવાળા સાથે સંકળાયેલું છે જે x નું મૂલ્ય બનાવે છે.ઉદાહરણ તરીકે, જો x=3,તે y=3.જો x=257,તે y=2+5+7=14.અને તેથી વધુ. આને ફોર્મ્યુલામાં લખવું સમસ્યારૂપ છે. પરંતુ નિશાની બનાવવી સરળ છે. અને શેડ્યૂલ બનાવો. માર્ગ દ્વારા, ગ્રાફ રમુજી લાગે છે...) તેને અજમાવી જુઓ.

મૌખિક વર્ણનની પદ્ધતિ તદ્દન વિચિત્ર છે. પરંતુ ક્યારેક તે કરે છે. હું તમને અણધાર્યામાં વિશ્વાસ આપવા માટે તેને અહીં લાવ્યો છું અને બિન-માનક પરિસ્થિતિઓ. તમારે ફક્ત શબ્દોનો અર્થ સમજવાની જરૂર છે "કાર્ય ઉલ્લેખિત..."તે અહીં છે, આનો અર્થ:

જો વચ્ચે એક-થી-એક પત્રવ્યવહારનો કાયદો છે એક્સઅને ખાતે- તેનો અર્થ એ કે ત્યાં એક કાર્ય છે. કયો કાયદો, કયા સ્વરૂપમાં તે વ્યક્ત થાય છે - એક સૂત્ર, એક ટેબ્લેટ, એક આલેખ, શબ્દો, ગીતો, નૃત્યો - બાબતનો સાર બદલાતો નથી. આ કાયદો તમને X ના મૂલ્યમાંથી Y નું અનુરૂપ મૂલ્ય નક્કી કરવાની મંજૂરી આપે છે. બધા.

હવે અમે આ ઊંડા જ્ઞાનને કેટલાક બિન-માનક કાર્યોમાં લાગુ કરીશું.) પાઠની શરૂઆતમાં વચન આપ્યા મુજબ.

કાર્ય 1:

કાર્ય y = f(x) કોષ્ટક 1 દ્વારા આપવામાં આવે છે:

કોષ્ટક 1.

ફંક્શન p(4) ની કિંમત શોધો, જો p(x)= f(x) - g(x)

જો તમે બિલકુલ શું છે તે સમજી શકતા નથી, તો પહેલાનો પાઠ વાંચો "કાર્ય શું છે?" તે આવા અક્ષરો અને કૌંસ વિશે ખૂબ જ સ્પષ્ટ રીતે લખાયેલું છે.) અને જો ફક્ત ટેબ્યુલર સ્વરૂપ તમને મૂંઝવણમાં મૂકે છે, તો અમે તેને અહીં સૉર્ટ કરીશું.

અગાઉના પાઠ પરથી તે સ્પષ્ટ છે કે જો, p(x) = f(x) - g(x), તે p(4) = f(4) - g(4). પત્રો fઅને gએટલે કે નિયમો કે જેના અનુસાર દરેક Xને તેની પોતાની રમત સોંપવામાં આવે છે. દરેક અક્ષર માટે ( fઅને g) - તમારુંનિયમ જે અનુરૂપ ટેબલ દ્વારા આપવામાં આવેલ છે.

કાર્ય મૂલ્ય f(4)કોષ્ટક 1 થી નિર્ધારિત. આ 5. કાર્ય મૂલ્ય હશે g(4)કોષ્ટક 2 મુજબ નિર્ધારિત. આ 8 હશે. સૌથી મુશ્કેલ અવશેષો.)

p(4) = 5 - 8 = -3

આ સાચો જવાબ છે.

અસમાનતા f(x) > 2 ઉકેલો

બસ! અસમાનતાને હલ કરવી જરૂરી છે, જે (સામાન્ય સ્વરૂપમાં) તેજસ્વી રીતે ગેરહાજર છે! માત્ર એક જ વસ્તુ બાકી છે કે કાં તો કાર્ય છોડી દો અથવા તમારા માથાનો ઉપયોગ કરો. અમે બીજું પસંદ કરીએ છીએ અને ચર્ચા કરીએ છીએ.)

અસમાનતાનો ઉકેલ લાવવાનો અર્થ શું છે? આનો અર્થ એ છે કે x ના તમામ મૂલ્યો શોધવા કે જેના પર અમને આપવામાં આવેલી સ્થિતિ સંતુષ્ટ છે f(x) > 2. તે. તમામ કાર્ય મૂલ્યો ( ખાતે) બે કરતા વધારે હોવા જોઈએ. અને અમારા ચાર્ટ પર અમારી પાસે દરેક રમત છે... અને ત્યાં વધુ બે અને ઓછા છે... અને ચાલો, સ્પષ્ટતા માટે, આ બે સાથે સરહદ દોરીએ! અમે ડ્રોઇંગ પર કર્સર ખસેડીએ છીએ અને આ બોર્ડર જોઈએ છીએ.

કડક શબ્દોમાં કહીએ તો, આ સીમા એ ફંક્શનનો ગ્રાફ છે y=2,પરંતુ તે મુદ્દો નથી. મહત્વની વાત એ છે કે હવે ગ્રાફ ખૂબ જ સ્પષ્ટ રીતે બતાવે છે કે ક્યાં, X શું છે,કાર્ય મૂલ્યો, એટલે કે y, બે કરતાં વધુ.તેઓ વધુ છે એક્સ > 3. મુ એક્સ > 3 આપણું આખું કાર્ય પસાર થાય છે ઉચ્ચસરહદો y=2.તે ઉકેલ છે. પરંતુ તમારું માથું બંધ કરવું ખૂબ જ વહેલું છે!) મારે હજી જવાબ લખવાની જરૂર છે...

આલેખ બતાવે છે કે આપણું કાર્ય ડાબે અને જમણે અનંત સુધી વિસ્તરતું નથી. ગ્રાફના છેડા પરના બિંદુઓ આ સૂચવે છે. કાર્ય ત્યાં સમાપ્ત થાય છે. તેથી, આપણી અસમાનતામાં, તમામ Xનો જે કાર્યની મર્યાદાઓથી આગળ વધે છે તેનો કોઈ અર્થ નથી. આ X ના કાર્ય માટે અસ્તિત્વમાં નથી.અને અમે, હકીકતમાં, કાર્ય માટે અસમાનતાને હલ કરીએ છીએ...

સાચો જવાબ હશે:

3 < એક્સ ≤ 6

અથવા, અન્ય સ્વરૂપમાં:

એક્સ ∈ (3; 6]

હવે બધું જેવું હોવું જોઈએ તેવું છે. ત્રણનો જવાબમાં સમાવેશ થતો નથી, કારણ કે મૂળ અસમાનતા કડક છે. અને છ ચાલુ થાય છે, કારણ કે અને છ પર કાર્ય અસ્તિત્વમાં છે, અને અસમાનતાની સ્થિતિ સંતુષ્ટ છે. અમે એક અસમાનતાને સફળતાપૂર્વક હલ કરી છે જે (સામાન્ય સ્વરૂપમાં) અસ્તિત્વમાં નથી...

આ રીતે અમુક જ્ઞાન અને પ્રાથમિક તર્ક તમને બિન-માનક કેસોમાં બચાવે છે.)

આપવામાં આવે છે, બીજા શબ્દોમાં, જાણીતું છે, જો દલીલોની સંભવિત સંખ્યાના દરેક મૂલ્ય માટે કોઈ ફંક્શનનું અનુરૂપ મૂલ્ય શોધી શકે છે. સૌથી સામાન્ય ત્રણ કાર્ય સ્પષ્ટ કરવાની રીત: ટેબ્યુલર, ગ્રાફિકલ, વિશ્લેષણાત્મક, મૌખિક અને પુનરાવર્તિત પદ્ધતિઓ પણ છે.

1. ટેબ્યુલર પદ્ધતિ સૌથી વધુ ઉપયોગમાં લેવાતા (લોગરીધમના કોષ્ટકો, વર્ગમૂળ), તેનો મુખ્ય ફાયદો એ ફંક્શનનું સંખ્યાત્મક મૂલ્ય મેળવવાની ક્ષમતા છે, ગેરફાયદા એ છે કે કોષ્ટક વાંચવું મુશ્કેલ હોઈ શકે છે અને કેટલીકવાર તેમાં મધ્યવર્તી મૂલ્યો શામેલ હોતા નથી. દલીલ

ઉદાહરણ તરીકે:

દલીલ એક્સકોષ્ટકમાં ઉલ્લેખિત મૂલ્યો લે છે, અને ખાતેઆ દલીલ અનુસાર નક્કી કરવામાં આવે છે એક્સ.

2. ગ્રાફિક પદ્ધતિ તેમાં એક રેખા (ગ્રાફ) દોરવાનો સમાવેશ થાય છે જેમાં એબ્સીસાસ દલીલના મૂલ્યોનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે અને ઓર્ડિનેટ્સ ફંક્શનના અનુરૂપ મૂલ્યોનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. ઘણીવાર, સ્પષ્ટતા માટે, અક્ષો પરના ભીંગડાને અલગ અલગ ગણવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ તરીકે:શેડ્યૂલ પર શોધવા માટે ખાતે, જે અનુલક્ષે છે x = 2.5અક્ષ પર લંબ દોરવું જરૂરી છે એક્સનિશાન પર 2,5 . શાસકનો ઉપયોગ કરીને ચિહ્ન એકદમ સચોટ રીતે બનાવી શકાય છે. પછી આપણે તે શોધીશું એક્સ = 2,5 ખાતેબરાબર 7,5 જો કે, જો આપણે મૂલ્ય શોધવાની જરૂર હોય ખાતેખાતે એક્સસમાન 2,76 , તો પછી ફંક્શનને સ્પષ્ટ કરવાની ગ્રાફિકલ પદ્ધતિ પૂરતી સચોટ રહેશે નહીં, કારણ કે શાસક આવા ચોક્કસ માપની મંજૂરી આપતા નથી.

ફંક્શન્સને સ્પષ્ટ કરવાની આ પદ્ધતિના ફાયદા એ છે કે સમજની સરળતા અને અખંડિતતા, દલીલમાં ફેરફારોની સાતત્યતા; ગેરલાભ એ ચોકસાઈની ઘટાડેલી ડિગ્રી અને સચોટ મૂલ્યો મેળવવામાં મુશ્કેલી છે.

3. વિશ્લેષણાત્મક પદ્ધતિ એક અથવા વધુ સૂત્રો દ્વારા ફંક્શનનો ઉલ્લેખ કરવાનો સમાવેશ થાય છે. આ પદ્ધતિનો મુખ્ય ફાયદો રુચિની દલીલના કાર્યને નિર્ધારિત કરવાની ઉચ્ચ સચોટતા છે, પરંતુ ગેરલાભ એ વધારાની ગાણિતિક ક્રિયાઓ હાથ ધરવા માટે જરૂરી સમય છે.

ઉદાહરણ તરીકે:

કાર્યને ગાણિતિક સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને સ્પષ્ટ કરી શકાય છે y=x2,પછી જો એક્સબરાબર 2 , તે ખાતેબરાબર 4, અમે બનાવી રહ્યા છીએ એક્સએક ચોરસ માં.

4. મૌખિક પદ્ધતિ સામાન્ય ભાષામાં ફંક્શનનો ઉલ્લેખ કરવાનો સમાવેશ થાય છે, એટલે કે. શબ્દો આ કિસ્સામાં, ઇનપુટ, આઉટપુટ મૂલ્યો અને તેમની વચ્ચેનો પત્રવ્યવહાર આપવો જરૂરી છે.

ઉદાહરણ તરીકે:

તમે મૌખિક રીતે એક કાર્ય (કાર્ય) નો ઉલ્લેખ કરી શકો છો જે કુદરતી દલીલ તરીકે સ્વીકારવામાં આવે છે એક્સમૂલ્ય બનાવે છે તેવા અંકોના સરવાળાના અનુરૂપ મૂલ્ય સાથે ખાતે. ચાલો સ્પષ્ટ કરીએ: જો એક્સબરાબર 4 , તે ખાતેબરાબર 4 , અને જો એક્સબરાબર 358 , તે ખાતેસરવાળો સમાન 3 + 5 + 8 , એટલે કે 16 . વધુ સમાન.

5. પુનરાવર્તિત માર્ગ પોતાના દ્વારા ફંક્શનને સ્પષ્ટ કરવામાં સમાવે છે, જ્યારે કાર્ય મૂલ્યોતેના અન્ય મૂલ્યો દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. ફંક્શનને સ્પષ્ટ કરવાની આ પદ્ધતિનો ઉપયોગ સેટ અને શ્રેણીને સ્પષ્ટ કરવા માટે થાય છે.

ઉદાહરણ તરીકે:

વિઘટન દરમિયાન યુલર નંબરોકાર્ય દ્વારા આપવામાં આવે છે:

તેનું સંક્ષિપ્ત રૂપ નીચે આપેલ છે.

મુ સીધી ગણતરીઅનંત પુનરાવર્તન થાય છે, પરંતુ તે સાબિત કરી શકાય છે કે મૂલ્ય f(n)વધારો સાથે nએકતા તરફ વલણ ધરાવે છે (તેથી, શ્રેણીની અનંતતા હોવા છતાં, મૂલ્ય યુલર નંબરોચોક્કસપણે). મૂલ્યની અંદાજિત ગણતરી માટે ઇતે કૃત્રિમ રીતે પુનરાવર્તિત ઊંડાઈને અમુક પૂર્વનિર્ધારિત સંખ્યા સુધી મર્યાદિત કરવા માટે પૂરતું છે અને, તેના પર પહોંચ્યા પછી, તેનો ઉપયોગ કરો f(n)એકમ

વ્યાખ્યાન: કાર્યનો ખ્યાલ. કાર્યના મૂળભૂત ગુણધર્મો.

શિક્ષક: ગોર્યાચેવા એ.ઓ.

વિશે. : સમૂહ X અને Y વચ્ચેના પત્રવ્યવહારનો નિયમ (કાયદો), જે મુજબ સમૂહ X એકમાંથી દરેક તત્વ માટે અને Y સમૂહમાંથી માત્ર એક જ તત્વ શોધી શકાય છે, તેને કહેવાય છે.કાર્ય .

કાર્યને વ્યાખ્યાયિત ગણવામાં આવે છે જો:

કાર્ય X ની વ્યાખ્યાનું ડોમેન આપવામાં આવ્યું છે;

કાર્ય Y ના મૂલ્યોની શ્રેણી ઉલ્લેખિત છે;

પત્રવ્યવહારનો નિયમ (કાયદો) જાણીતો છે, અને એવી રીતે કે દલીલના દરેક મૂલ્ય માટે ફંક્શનનું માત્ર એક મૂલ્ય શોધી શકાય છે. કાર્યની વિશિષ્ટતાની આ જરૂરિયાત ફરજિયાત છે.

વિશે. : દલીલ x ના તમામ માન્ય વાસ્તવિક મૂલ્યોનો સમૂહ X કે જેના માટે ફંક્શન y = f (x) વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે તેને કહેવામાં આવે છે.કાર્યનું ડોમેન .

ફંક્શન લે છે તે તમામ વાસ્તવિક મૂલ્યો y નો સમૂહ Y કહેવાય છેકાર્ય શ્રેણી .

ચાલો ફંક્શન્સને સ્પષ્ટ કરવાની કેટલીક રીતો જોઈએ.

ટેબ્યુલર પદ્ધતિ . એકદમ સામાન્ય છે વ્યક્તિગત દલીલ મૂલ્યો અને તેમના અનુરૂપ કાર્ય મૂલ્યોના કોષ્ટકનો ઉલ્લેખ કરવો. ફંક્શનને વ્યાખ્યાયિત કરવાની આ પદ્ધતિનો ઉપયોગ ત્યારે થાય છે જ્યારે ફંક્શનની વ્યાખ્યાનું ડોમેન એક અલગ મર્યાદિત સેટ હોય.

ગ્રાફિક પદ્ધતિ . ફંક્શન y = f(x) નો ગ્રાફ એ પ્લેન પરના તમામ બિંદુઓનો સમૂહ છે જેના કોઓર્ડિનેટ્સ આપેલ સમીકરણને સંતોષે છે.

ફંક્શનને સ્પષ્ટ કરવાની ગ્રાફિકલ પદ્ધતિ હંમેશા દલીલના આંકડાકીય મૂલ્યોને ચોક્કસ રીતે નિર્ધારિત કરવાનું શક્ય બનાવતી નથી. જો કે, અન્ય પદ્ધતિઓ - દૃશ્યતા પર તેનો મોટો ફાયદો છે. ઇજનેરી અને ભૌતિકશાસ્ત્રમાં, ફંક્શનને સ્પષ્ટ કરવા માટેની ગ્રાફિકલ પદ્ધતિનો વારંવાર ઉપયોગ થાય છે, અને આ માટે આલેખ એ એકમાત્ર રસ્તો છે.

વિશ્લેષણાત્મક પદ્ધતિ . મોટેભાગે, કાયદો કે જે દલીલ અને કાર્ય વચ્ચે જોડાણ સ્થાપિત કરે છે તે સૂત્રો દ્વારા નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવે છે. કાર્યને સ્પષ્ટ કરવાની આ પદ્ધતિને વિશ્લેષણાત્મક કહેવામાં આવે છે.

આ પદ્ધતિ દલીલ x ના દરેક સંખ્યાત્મક મૂલ્ય માટે કાર્ય y ના અનુરૂપ સંખ્યાત્મક મૂલ્યને બરાબર અથવા અમુક ચોકસાઈ સાથે શોધવાનું શક્ય બનાવે છે.

મૌખિક પદ્ધતિ . આ પદ્ધતિ એ છે કે કાર્યાત્મક અવલંબનશબ્દોમાં વ્યક્ત.

ઉદાહરણ 1: ફંક્શન E(x) એ x નો પૂર્ણાંક ભાગ છે. સામાન્ય રીતે, E(x) = [x] એ સૌથી મોટો પૂર્ણાંક સૂચવે છે જે x કરતા વધારે નથી. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, જો x = r + q, જ્યાં r એ પૂર્ણાંક છે (ઋણ હોઈ શકે છે) અને q એ અંતરાલ = r સાથે સંબંધિત છે. કાર્ય E(x) = [x] અંતરાલ = r પર સ્થિર છે.

ઉદાહરણ 2: ફંક્શન y = (x) એ સંખ્યાનો અપૂર્ણાંક ભાગ છે. વધુ સ્પષ્ટ રીતે, y =(x) = x - [x], જ્યાં [x] એ x સંખ્યાનો પૂર્ણાંક ભાગ છે. આ કાર્ય બધા x માટે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે. જો x એ મનસ્વી સંખ્યા છે, તો તેને x = r + q (r = [x]) સ્વરૂપમાં રજૂ કરો, જ્યાં r પૂર્ણાંક છે અને q અંતરાલમાં આવેલું છે; 2) (-;-2] ; 4) [-2;0]

5. x ના તમામ મૂલ્યો શોધો કે જેના પર કાર્ય નકારાત્મક મૂલ્યો લે છે (ફિગ. e):

1) (-2;0); 2) [-6;6]; 3) (- ;0); 4) (- ;0) (0;+ )

f) જી)

6. x ના તમામ મૂલ્યો શોધો જેના માટે ફંક્શન બિન-નકારાત્મક મૂલ્યો લે છે (ફિગ. e):

1) (ફિગ. i).

1)-1

2) 3

3) 5

4) 6

h) i)

9. દલીલ y ના કયા મૂલ્યો પર<0 (рис. к)?

1) [-4;0); 2) (-3;0); 3) (-3;1); 4) (0;1)

જ) લ)

10. x ના કયા મૂલ્યો પર ફંક્શન ધન (ફિગ. l)નું મૂલ્ય છે?

ફંક્શન એ એક કાયદો છે જે મુજબ આપેલ સમૂહ Xમાંથી સંખ્યા x એ માત્ર એક સંખ્યા y સાથે સંકળાયેલ છે, લખાયેલ છે, જ્યારે x એ ફંક્શનની દલીલ કહેવાય છે, y એ ફંક્શનની કિંમત કહેવાય છે.
કાર્યોને વ્યાખ્યાયિત કરવાની વિવિધ રીતો છે.

1. વિશ્લેષણાત્મક પદ્ધતિ.
વિશ્લેષણાત્મક પદ્ધતિ - ફંક્શનને સ્પષ્ટ કરવાની આ સૌથી સામાન્ય રીત છે.
તે એ હકીકતમાં સમાવિષ્ટ છે કે ફંક્શન એક સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે જે સ્થાપિત કરે છે કે y શોધવા માટે x પર કયા ઑપરેશન કરવાની જરૂર છે. ઉદાહરણ તરીકે.
ચાલો પ્રથમ ઉદાહરણ જોઈએ -. અહીં મૂલ્ય x = 1 અનુલક્ષે છે, મૂલ્ય x = 3 અનુલક્ષે છે, વગેરે.
સમૂહ X ના જુદા જુદા ભાગો પર વિવિધ કાર્યો દ્વારા કાર્યને વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે.
ઉદાહરણ તરીકે:

સેટિંગની વિશ્લેષણાત્મક પદ્ધતિના અગાઉ આપેલા તમામ ઉદાહરણોમાં, ફંક્શનનો સ્પષ્ટ ઉલ્લેખ કરવામાં આવ્યો હતો. એટલે કે, જમણી બાજુએ ચલ y હતું અને જમણી બાજુએ ચલ x માટેનું સૂત્ર હતું. જો કે, સેટિંગની વિશ્લેષણાત્મક પદ્ધતિ સાથે, ફંક્શન પણ સ્પષ્ટ રીતે સ્પષ્ટ કરી શકાય છે.
ઉદાહરણ તરીકે. અહીં, જો આપણે ચલ x ને મૂલ્ય આપીએ, તો ચલ y (ફંક્શનની કિંમત) ની કિંમત શોધવા માટે, આપણે સમીકરણ ઉકેલવું પડશે. ઉદાહરણ તરીકે, x = 3 પર પ્રથમ આપેલ કાર્ય માટે, આપણે સમીકરણ હલ કરીશું:
. એટલે કે, x = 3 પર ફંક્શનની કિંમત -4/3 છે.
સેટિંગની વિશ્લેષણાત્મક પદ્ધતિ સાથે, ફંક્શનને પેરામેટ્રિક રીતે સ્પષ્ટ કરી શકાય છે - આ તે છે જ્યારે x અને y અમુક પરિમાણ t દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે,

અહીં t = 2, x = 2, y = 4. એટલે કે, x = 2 પર ફંક્શનની કિંમત 4 છે.
2. ગ્રાફિક પદ્ધતિ.
ગ્રાફિકલ પદ્ધતિ સાથે, લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ રજૂ કરવામાં આવે છે અને કોઓર્ડિનેટ્સ (x,y) સાથેના બિંદુઓનો સમૂહ આ સંકલન સિસ્ટમમાં દર્શાવવામાં આવે છે. તે જ સમયે. ઉદાહરણ:
3. મૌખિક પદ્ધતિ.
ફંક્શન મૌખિક ફોર્મ્યુલેશનનો ઉપયોગ કરીને સ્પષ્ટ થયેલ છે. એક ઉત્તમ ઉદાહરણ ડિરિચલેટ ફંક્શન છે.
જો x એ તર્કસંગત સંખ્યા હોય તો કાર્ય 1 ની બરાબર છે; જો x અતાર્કિક સંખ્યા હોય તો કાર્ય 0 ની બરાબર થાય છે.”
4. ટેબ્યુલર પદ્ધતિ.
જ્યારે સમૂહ X મર્યાદિત હોય ત્યારે ટેબ્યુલર પદ્ધતિ સૌથી અનુકૂળ હોય છે. આ પદ્ધતિ સાથે, એક કોષ્ટક સંકલિત કરવામાં આવે છે જેમાં X સમૂહમાંથી દરેક ઘટકને Y નંબર આપવામાં આવે છે.
ઉદાહરણ.

ફંક્શનનો ખ્યાલ ફંક્શનનો ઉલ્લેખ કરવાની પદ્ધતિઓ ફંક્શનના ઉદાહરણો ફંક્શનની વિશ્લેષણાત્મક વ્યાખ્યા બિંદુ પર ફંક્શનની મર્યાદાનો ઉલ્લેખ કરવાની ગ્રાફિકલ પદ્ધતિ મર્યાદા ધરાવતા ફંક્શનની મર્યાદાની મર્યાદાની મર્યાદા પર ફંક્શન પ્રમેયનો ઉલ્લેખ કરવાની ટેબ્યુલર પદ્ધતિ અસમાનતામાં મર્યાદામાં સંક્રમણ અનંત પર કાર્યની મર્યાદા અનંત કાર્ય

ફંક્શનનો ખ્યાલ મૂળભૂત અને પ્રારંભિક છે, જેમ કે સમૂહનો ખ્યાલ છે. ચાલો X એ વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો અમુક સમૂહ x છે. જો દરેક x € X, અમુક કાયદા અનુસાર, ચોક્કસ વાસ્તવિક સંખ્યા y સાથે સંકળાયેલ હોય, તો તેઓ કહે છે કે સેટ X પર ફંક્શન આપવામાં આવ્યું છે અને આ રીતે રજૂ કરાયેલ ફંક્શનને સંખ્યાત્મક કહેવામાં આવે છે. આ કિસ્સામાં, સેટ Xને ફંક્શનની વ્યાખ્યાનું ડોમેન કહેવામાં આવે છે, અને સ્વતંત્ર ચલ xને દલીલ કહેવામાં આવે છે. ફંક્શન સૂચવવા માટે, કેટલીકવાર તેઓ માત્ર એવા પ્રતીકનો ઉપયોગ કરે છે જે પત્રવ્યવહાર કાયદાને સૂચવે છે, એટલે કે, f(x) n અને jester ને બદલે ફક્ત /. આમ, ફંક્શનનો ઉલ્લેખ કરવામાં આવે છે જો 1) વ્યાખ્યાનું ડોમેન 2) નિયમ / ઉલ્લેખિત હોય, જે દરેક મૂલ્યને સોંપે છે a: € X ચોક્કસ સંખ્યા y = /(x) - આ મૂલ્યને અનુરૂપ કાર્યનું મૂલ્ય દલીલ x. વિધેયો / અને g ને સમાન કહેવામાં આવે છે જો તેમના ડોમેન્સ એકરુપ હોય અને સમાનતા f(x) = g(x) તેમની વ્યાખ્યાના સામાન્ય ડોમેનમાંથી દલીલ xના કોઈપણ મૂલ્ય માટે સાચું હોય. આમ, કાર્યો y, સમાન નથી; તેઓ માત્ર અંતરાલ [O, I] પર સમાન છે. કાર્યોના ઉદાહરણો. 1. ક્રમ (o„) એ પૂર્ણાંક દલીલનું કાર્ય છે, જે કુદરતી સંખ્યાઓના સમૂહ પર વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે, જેમ કે /(n) = an (n = 1,2,...). 2. કાર્ય y = n? ("એન-ફેક્ટોરિયલ" વાંચો). પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના સમૂહ પર આપેલ છે: દરેક કુદરતી સંખ્યા n એ 1 થી n સહિતની તમામ કુદરતી સંખ્યાઓના ઉત્પાદન સાથે સંકળાયેલ છે: અને સંમેલન દ્વારા આપણે 0 ધારીએ છીએ! = 1. હોદ્દો ચિહ્ન લેટિન શબ્દ સિગ્નમ - ચિહ્ન પરથી આવે છે. આ ફંક્શન સમગ્ર સંખ્યા રેખા પર વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે; તેના મૂલ્યોના સમૂહમાં ત્રણ સંખ્યાઓ છે -1,0, I (ફિગ. 1). ફંક્શન માટે, ડેફિનેશનનું ડોમેન એ સેગમેન્ટ છે y - sin x માટે, ડેફિનેશનનું ડોમેન સંપૂર્ણ સંખ્યાત્મક અક્ષ છે. નોંધ કરો કે દરેક સૂત્ર કાર્યને વ્યાખ્યાયિત કરતું નથી. ઉદાહરણ તરીકે, સૂત્ર કોઈપણ કાર્યને વ્યાખ્યાયિત કરતું નથી, કારણ કે ત્યાં x નું એક પણ વાસ્તવિક મૂલ્ય નથી કે જેના માટે ઉપર લખેલા બંને મૂળના વાસ્તવિક મૂલ્યો હશે. ફંક્શનનું વિશ્લેષણાત્મક કાર્ય તદ્દન જટિલ લાગે છે. ખાસ કરીને, ફંક્શનને તેની વ્યાખ્યાના ક્ષેત્રના વિવિધ ભાગો પર વિવિધ સૂત્રો દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, ફંક્શનને આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે: 1.2. ફંક્શનને સ્પષ્ટ કરવાની ગ્રાફિકલ પદ્ધતિ ફંક્શન y = f(x) જો તેનો ગ્રાફ આપવામાં આવે તો તેને ગ્રાફિકલી રીતે ઉલ્લેખિત કહેવાય છે, એટલે કે. xOy પ્લેન પર પોઈન્ટ્સ (xy/(x)) નો સમૂહ, જેમાંથી એબ્સીસીસ ફંક્શનની વ્યાખ્યાના ડોમેન સાથે સંબંધિત છે અને ઓર્ડિનેટ્સ ફંક્શનના અનુરૂપ મૂલ્યો (ફિગ. 4) સમાન છે. દરેક કાર્ય માટે તેનો ગ્રાફ આકૃતિમાં દર્શાવી શકાતો નથી. ઉદાહરણ તરીકે, ડિરિચલેટ ફંક્શન જો x તર્કસંગત હોય, જો x અતાર્કિક હોય, તો ZX \o, આવી છબીને મંજૂરી આપતું નથી. ફંક્શન R(x) સમગ્ર સંખ્યા રેખા પર નિર્દિષ્ટ થયેલ છે, અને તેના મૂલ્યોના સમૂહમાં બે સંખ્યાઓ 0 અને 1. 1.3 છે. ફંક્શનનો ઉલ્લેખ કરવાની ટેબ્યુલર પદ્ધતિ ફંક્શનને ટેબ્યુલર કહેવામાં આવે છે જો કોષ્ટક પ્રદાન કરવામાં આવે જેમાં ફંક્શનના સંખ્યાત્મક મૂલ્યો કેટલાક દલીલ મૂલ્યો માટે સૂચવવામાં આવે છે. કોષ્ટકમાં ફંક્શનનો ઉલ્લેખ કરતી વખતે, તેની વ્યાખ્યાના ડોમેનમાં ફક્ત કોષ્ટકમાં સૂચિબદ્ધ x\t x2i..., xn મૂલ્યોનો સમાવેશ થાય છે. §2. એક બિંદુ પર ફંક્શનની મર્યાદા ગાણિતિક વિશ્લેષણ માટે ફંક્શનની મર્યાદાનો ખ્યાલ કેન્દ્રિય છે. ફંક્શન f(x) ને xq બિંદુના અમુક પડોશી Q માં વ્યાખ્યાયિત કરવા દો, સિવાય કે, કદાચ, પુનઃવ્યાખ્યાના બિંદુ (કોચી). નંબર A ને xo બિંદુ પર ફંક્શન f(x) ની મર્યાદા કહેવામાં આવે છે જો કોઈપણ સંખ્યા e > 0 માટે, જે મનસ્વી રીતે નાની હોઈ શકે, ત્યાં એક સંખ્યા છે.<5 > 0. મર્યાદાની વિશિષ્ટતા પર ફંક્શન પ્રમેયનો ઉલ્લેખ કરવો, અસમાનતાની મર્યાદામાં સંક્રમણ મર્યાદા ધરાવતા ફંક્શનની મર્યાદા અનંત પર ફંક્શનની મર્યાદા અનંત અનંત ફંક્શન્સના ગુણધર્મો નોટેશન: લોજિકલ સિમ્બોલનો ઉપયોગ કરીને, આ વ્યાખ્યા નીચે મુજબ વ્યક્ત કરવામાં આવી છે. . 1. બિંદુ પર ફંક્શનની મર્યાદાની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીને, બતાવો કે ફંક્શન દરેક જગ્યાએ વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે, બિંદુ zo = 1: /(1) = 5. કોઈપણ લો. અસમાનતા માટે ક્રમમાં |(2x + 3) - 5| થઈ, નીચેની અસમાનતાઓ સંતુષ્ટ થવી જોઈએ તેથી, જો આપણે લઈએ, તો આપણી પાસે છે. આનો અર્થ એ છે કે સંખ્યા 5 એ ફંક્શનની મર્યાદા છે: બિંદુ 2 પર. ફંક્શનની મર્યાદાની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીને, બતાવો કે ફંક્શન બિંદુ xo = 2 પર વ્યાખ્યાયિત નથી. કેટલાક પડોશમાં /(x) ને ધ્યાનમાં લો બિંદુ Xq = 2, ઉદાહરણ તરીકે, અંતરાલ પર ( 1, 5), બિંદુ x = 0 ધરાવતો નથી, જેના પર કાર્ય /(x) પણ અવ્યાખ્યાયિત છે. ચાલો > 0 સાથે મનસ્વી સંખ્યા લઈએ અને અભિવ્યક્તિનું રૂપાંતર કરીએ |/(x) - 2| x φ 2 માટે નીચે પ્રમાણે x b (1, 5) માટે આપણે અસમાનતા મેળવીએ છીએ તે સ્પષ્ટ છે કે જો આપણે 6 = c લઈએ, તો તમામ x € (1.5) માટે અસમાનતા સાચી હશે નંબર A - 2 એ બિંદુ પર આપેલ ફંક્શનની મર્યાદા છે, ચાલો આપણે તેના ગ્રાફ (ફિગ. 5) નો સંદર્ભ આપીને એક બિંદુ પર કાર્યની મર્યાદાના ખ્યાલની ભૌમિતિક સમજૂતી આપીએ. x માટે, ફંક્શન /(x) ના મૂલ્યો M\M વળાંકના બિંદુઓના ઑર્ડિનેટ દ્વારા અને x > xo માટે - વળાંક MM2 ના બિંદુઓના ઑર્ડિનેટ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. મૂલ્ય /(x0) બિંદુ N ના ઓર્ડિનેટ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. જો આપણે "સારા" વળાંક M\MMg લઈએ અને વળાંક પર બિંદુ M(x0, A) ને બિંદુ jV વડે બદલીએ તો આ કાર્યનો ગ્રાફ પ્રાપ્ત થાય છે. ચાલો બતાવીએ કે પોઈન્ટ xo પર ફંક્શન f(x) ની મર્યાદા A નંબરની બરાબર છે (બિંદુ M નો ઓર્ડિનેટ). કોઈપણ (ઈચ્છિત તરીકે નાની) સંખ્યા e > 0 લો. Oy અક્ષ પરના બિંદુઓને A, A - e, A + e દ્વારા ચિહ્નિત કરીએ = /(x) સીધી રેખાઓ સાથે y = A- epy = A + e આ બિંદુઓના એબ્સિસાસને અનુક્રમે x0 - Al x0 + hi (ht > 0, /12 > 0) રહેવા દો. આકૃતિ પરથી તે સ્પષ્ટ છે કે અંતરાલમાંથી કોઈપણ x Ф x0 માટે (x0 - h\, x0 + hi) ફંક્શનની કિંમત /(x) વચ્ચે સમાયેલ છે. તમામ x ^ xo શરત સંતોષવા માટે, અસમાનતા અમે મૂકીએ છીએ પછી અંતરાલમાં સમાવિષ્ટ થશે અને તેથી, અસમાનતા અથવા, જે સમાન છે, તે તમામ x માટે સંતુષ્ટ થશે કે આમ, ફંક્શન y = /(x) બિંદુ x0 પર એક મર્યાદા A ધરાવે છે, જો સીધી રેખાઓ y = A - eny = A + e વચ્ચેની ઇ-સ્ટ્રીપ ગમે તેટલી સાંકડી હોય, તો ત્યાં 5 > 0 છે બિંદુ x0 ના પંચર પડોશમાંથી બધા x માટે ફંક્શન y = /(x) ના ગ્રાફના બિંદુઓ પોતાને સ્પષ્ટ કરેલ ઇ-સ્ટ્રીપની અંદર શોધે છે. ટિપ્પણી 1. b નું મૂલ્ય e: 6 = 6(e) પર આધારિત છે. ટિપ્પણી 2. બિંદુ Xq પર કાર્યની મર્યાદા નક્કી કરવામાં, બિંદુ xo પોતે જ વિચારણામાંથી બાકાત છે. આમ, Hons બિંદુ પર ફંક્શનનું મૂલ્ય આ બિંદુએ ફંક્શનની મર્યાદાને અસર કરે છે. તદુપરાંત, કાર્યને બિંદુ Xq પર પણ વ્યાખ્યાયિત કરી શકાતું નથી. તેથી, બિંદુ Xq ના પડોશમાં સમાન હોય તેવા બે કાર્યો, કદાચ, પોઈન્ટ xo ને બાદ કરતાં (જેમાં તેઓ હોઈ શકે છે વિવિધ અર્થો , તેમાંથી એક અથવા બંને એકસાથે અવ્યાખ્યાયિત હોઈ શકે છે), x - Xq માટે સમાન મર્યાદા છે અથવા બંનેની કોઈ મર્યાદા નથી. અહીંથી, ખાસ કરીને, તે અનુસરે છે કે xo બિંદુ પર અપૂર્ણાંકની મર્યાદા શોધવા માટે, આ અપૂર્ણાંકને x = Xq પર અદૃશ્ય થઈ જતા સમાન અભિવ્યક્તિઓમાં ઘટાડવું કાયદેસર છે. ઉદાહરણ 1. ફંક્શન શોધો /(x) = j બધા માટે x Ф 0 એક સમાન છે, પરંતુ બિંદુ x = 0 પર તે વ્યાખ્યાયિત નથી. /(x) ને x 0 પર તેની બરાબર d(x) = 1 સાથે બદલીને, આપણે ફંક્શનનો ખ્યાલ મેળવીએ છીએ ફંક્શનનો ઉલ્લેખ કરવાની પદ્ધતિઓ ફંક્શનના ઉદાહરણો ફંક્શનની વિશ્લેષણાત્મક સેટિંગ ફંક્શનને સ્પષ્ટ કરવાની ગ્રાફિકલ પદ્ધતિની મર્યાદા. એક બિંદુ પર ફંક્શન ટેબ્યુલર પદ્ધતિ પર ફંક્શન પ્રમેયને નિર્દિષ્ટ કરવાની મર્યાદાની વિશિષ્ટતાને મર્યાદિત કરે છે ફંક્શનની સીમા, મર્યાદા હોવી, અસમાનતામાં મર્યાદામાં સંક્રમણ અનંત પર ફંક્શનની અસમાનતા મર્યાદા અનંત વિધેયોના ગુણધર્મ ઉદાહરણ 2 lim /(x) શોધો, જ્યાં ફંક્શન દરેક જગ્યાએ ફંક્શન /(x) સાથે મેળ ખાય છે, બિંદુ x = 0 સિવાય, અને બિંદુ x = 0 પર શૂન્યની બરાબર છે: lim d(x) = 0 (તે બતાવો! ). તેથી લિમ /(x) = 0. સમસ્યા. અસમાનતાઓ (ભાષા e -6 માં) નો ઉપયોગ કરીને ફોર્મ્યુલેટ કરો, જેનો અર્થ થાય છે કાર્ય /(i) ને બિંદુ x0 ના અમુક પડોશી Π માં વ્યાખ્યાયિત કરવા દો, કદાચ, બિંદુ x0 પોતે જ. વ્યાખ્યા (હેઈન). સંખ્યા A ને બિંદુ x0 પર ફંક્શન /(x) ની મર્યાદા કહેવામાં આવે છે જો દલીલ x 6 P, z„/x0) બિંદુ x0, અનુરૂપ ક્રમમાં રૂપાંતરિત થતા મૂલ્યોના કોઈપણ ક્રમ (xn) માટે ફંક્શનના મૂલ્યો (f(x„)) નંબર Aમાં કન્વર્જ થાય છે. ઉપરની વ્યાખ્યા વાપરવા માટે અનુકૂળ છે જ્યારે તે સ્થાપિત કરવું જરૂરી હોય કે ફંક્શન /(x) ની x0 બિંદુ પર કોઈ મર્યાદા નથી. આ કરવા માટે, તે અમુક ક્રમ (f(xn)) શોધવા માટે પૂરતું છે જેની કોઈ મર્યાદા નથી, અથવા બે ક્રમ (f(xn)) અને (f(xn)) અલગ અલગ મર્યાદાઓ દર્શાવવા માટે, ઉદાહરણ તરીકે, બતાવીએ , કે ફંક્શન ii /(x) = sin j (ફિગ. 7), દરેક જગ્યાએ વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે, પોઈન્ટ X = O સિવાય, ફિગ. 7 માં બિંદુ x = 0 પર કોઈ મર્યાદા નથી. બે સિક્વન્સનો વિચાર કરો (બિંદુમાં કન્વર્ઝિંગ x = 0. ફંક્શનના અનુરૂપ સિક્વન્સ મૂલ્યો /(x) વિવિધ મર્યાદામાં કન્વર્જ થાય છે: સિક્વન્સ (sinnTr) શૂન્યમાં કન્વર્જ થાય છે, અને ક્રમ (sin(5 + - to one. આનો અર્થ એ થાય છે કે ફંક્શન /( x) = sin j at the point x = 0 ની કોઈ મર્યાદા નથી નોંધ: એક બિંદુ પર કાર્યની મર્યાદાની બંને વ્યાખ્યાઓ (Cauchy ની વ્યાખ્યા અને Heine ની વ્યાખ્યા) પ્રમેય 1 (મર્યાદાની વિશિષ્ટતા) પર સમાન છે ફંક્શન f(x) ની xo બિંદુ પર મર્યાદા છે, તો પછી આ મર્યાદા અનન્ય છે ચાલો lim /(x) = A. ચાલો બતાવીએ કે કોઈ સંખ્યા B φ A ફંક્શનની મર્યાદા x-x0 હોઈ શકે નહીં. x) બિંદુ x0 પર. હકીકત એ છે કે lim /(x) φ લોજિકલ પ્રતીકો XO નો ઉપયોગ કરીને નીચે પ્રમાણે ઘડવામાં આવે છે: આપણે જે અસમાનતા મેળવીએ છીએ તેનો ઉપયોગ કરીને, e = > 0 લો. કારણ કે lim /(x) = A, પસંદ કરેલ e > 0 માટે 6 છે > 0 જેમ કે x ના દર્શાવેલ મૂલ્યો માટે સંબંધથી (1) આમ, એવું જાણવા મળ્યું છે કે x Φ xQ ગમે તેટલા નાના હોય અને તે જ સમયે ^ e તેથી B વ્યાખ્યા. ફંક્શન /(x) એ બિંદુ x0>ના પડોશમાં બંધાયેલ હોવાનું કહેવાય છે જો ત્યાં સંખ્યાઓ M > 0 અને 6 > 0 હોય જેમ કે પ્રમેય 2 (મર્યાદા ધરાવતા કાર્યની સીમા). જો ફંક્શન f(x) બિંદુ x0 ની પડોશમાં વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે અને બિંદુ x0 પર મર્યાદિત મર્યાદા ધરાવે છે, તો તે આ બિંદુના ચોક્કસ પડોશમાં બંધાયેલ છે. m ચાલો પછી કોઈપણ ઉદાહરણ માટે, e = 1 માટે, 6 > O છે કે જે તમામ x Φ x0 શરતને સંતોષે તે માટે અસમાનતા સાચી હશે તે નોંધવું કે આપણે હંમેશા પુટ મેળવીએ છીએ. પછી અંતરાલના પ્રત્યેક બિંદુ x પર આપણી પાસે હશે, આનો અર્થ છે કે, વ્યાખ્યા અનુસાર, ફંક્શન /(x) એ પડોશમાં બંધાયેલું છે બિંદુ x0, બિંદુ x0 પર ફંક્શન /(x) ની મર્યાદાનું અસ્તિત્વ અનુસરતું નથી. ઉદાહરણ તરીકે, ફંક્શન /(x) = sin બિંદુના પડોશમાં મર્યાદિત છે પરંતુ બિંદુ x = 0 પર તેની કોઈ મર્યાદા નથી. ચાલો આપણે વધુ બે પ્રમેય ઘડીએ, ભૌમિતિક અર્થજે પર્યાપ્ત સ્પષ્ટ છે. પ્રમેય 3 (અસમાનતાની મર્યાદામાં પસાર થવું). જો /(x) ^ ip(x) બિંદુ x0 ના અમુક પડોશમાંથી બધા x માટે, કદાચ, બિંદુ x0 પોતે સિવાય, અને દરેક કાર્ય /(x) અને ip(x) બિંદુ x0 પર એક હોય છે. મર્યાદા, પછી નોંધ કરો કે કાર્યો માટે કડક અસમાનતા તેમની મર્યાદાઓ માટે સખત અસમાનતા સૂચવતી નથી. જો આ મર્યાદાઓ અસ્તિત્વમાં છે, તો આપણે ફક્ત એટલું જ કહી શકીએ કે તેથી, ઉદાહરણ તરીકે, પ્રમેય 4 (એક મધ્યવર્તી કાર્યની મર્યાદા) માટે જ્યારે અસમાનતા સંતુષ્ટ છે. જો બિંદુ Xq ના અમુક પડોશમાં બધા x માટે, કદાચ, બિંદુ x0 પોતે (ફિગ. 9) સિવાય, અને xo બિંદુ પર f(x) અને ip(x) ફંક્શન્સ સમાન મર્યાદા A ધરાવે છે, તો પછી બિંદુ x0 પર ફંક્શન f(x) ની સમાન મૂલ્ય A. § ​​4 અનંત પર ફંક્શનની મર્યાદા હોય છે. તમામ x શરતને સંતોષે છે jx| > અમુક K માટે K > 0. વ્યાખ્યા. સંખ્યા A એ ફંકશનની મર્યાદા f(x) કહેવાય છે કારણ કે x અનંત તરફ વલણ ધરાવે છે, અને તે લખવામાં આવે છે જો કોઈપણ e > 0 માટે jV > 0 એવી સંખ્યા હોય કે જે તમામ x માટે શરત સંતોષે |x| > lg, અસમાનતા આ વ્યાખ્યામાં તે મુજબની સ્થિતિને બદલીને, અમે આ વ્યાખ્યાઓ મેળવીએ છીએ કે જો અને માત્ર એક સાથે તે હકીકતનો અર્થ નીચે મુજબ છે: સીધી વચ્ચેની ઇ-સ્ટ્રીપ ગમે તેટલી સાંકડી હોય. રેખાઓ y = A-eyu = A + e, ત્યાં એક સીધી રેખા x = N >0 એવી છે કે જમણી બાજુએ ફંક્શન y = /(x) નો ગ્રાફ સંપૂર્ણપણે દર્શાવેલ ઇ-સ્ટ્રીપમાં સમાયેલ છે (ફિગ. 10 ). આ કિસ્સામાં, તેઓ કહે છે કે x +oo પર ફંક્શનનો ગ્રાફ y = /(x) એસિમ્પટોટિકલી સીધી રેખા y = A સુધી પહોંચે છે. ઉદાહરણ, કાર્ય /(x) = jtjj- સમગ્ર સંખ્યા રેખા પર વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે અને એક અપૂર્ણાંક છે જેમાં અંશ સ્થિર છે અને છેદ અમર્યાદિત રીતે |x| તરીકે વધે છે. +oo લિમ /(x)=0 ની અપેક્ષા રાખવી સ્વાભાવિક છે. ચાલો તે બતાવીએ. M ચાલો કોઈ પણ e > 0 લઈએ, શરતને આધીન, સંબંધ લેવા માટે, સાથે અસમાનતા અથવા, જે સમાન છે, જ્યાંથી આમ, સંતુષ્ટ થવું જોઈએ. જો આપણે લઈએ તો આપણી પાસે હશે. આનો અર્થ એ છે કે સંખ્યા એ આપેલ કાર્યની મર્યાદા છે. નોંધ કરો કે આમૂલ અભિવ્યક્તિ માત્ર t^1 માટે છે. એવા કિસ્સામાં જ્યારે અસમાનતા c બધા માટે આપોઆપ સંતુષ્ટ થઈ જાય છે. એક સમાન કાર્ય y = - નો ગ્રાફ અસમપ્રમાણ રીતે સીધી તરફ આવે છે. રેખા સમસ્યા. §5 નો અર્થ શું છે તેનો ઉપયોગ કરીને અસમાનતા બનાવો. અનંત વિધેયો a(x) ને બિંદુ xo ના અમુક પડોશમાં વ્યાખ્યાયિત કરવા દો, કદાચ, બિંદુ x0 પોતે જ. વ્યાખ્યા. ફંક્શન a(x) ને અનંત કહેવાય છે નાનું કાર્ય (b.m.f. તરીકે સંક્ષિપ્ત) x સાથે xo તરફ વલણ, જો ફંક્શનનો ખ્યાલ ફંક્શનનો ઉલ્લેખ કરવાની પદ્ધતિઓ ફંક્શનના ઉદાહરણો ફંક્શનની વિશ્લેષણાત્મક સેટિંગ ફંક્શનની ગ્રાફિકલ પદ્ધતિ બિંદુ પર ફંક્શનની મર્યાદા સ્પષ્ટ કરવાની ટેબ્યુલર પદ્ધતિ મર્યાદાની વિશિષ્ટતાને મર્યાદિત કરે છે અસમાનતાની મર્યાદામાં મર્યાદામાં સંક્રમણ ધરાવતા ફંક્શનની મર્યાદા અનંત પર ફંક્શનની મર્યાદા અનંત ફંક્શનના ગુણધર્મો ઉદાહરણ તરીકે, ફંક્શન a(x) = x - 1 b છે. m.f x 1 પર, કારણ કે lim(x-l) = 0. ફંક્શન y = x-1 1-1 નો ગ્રાફ ફિગમાં બતાવવામાં આવ્યો છે. II. સામાન્ય રીતે, ફંક્શન a(x) = x-x0 એ b નું સૌથી સરળ ઉદાહરણ છે. m.f x-»ho પર. એક બિંદુ પર કાર્યની મર્યાદાની વ્યાખ્યાને ધ્યાનમાં લેતા, વ્યાખ્યા b. m.f આ રીતે ઘડી શકાય છે. m.f x -» x0 માટે.