વિભેદક સમીકરણની સીમા અને પ્રારંભિક શરતો. I. પ્રથમ પ્રકારની સીમાની શરતો. સીમાની શરતો સેટ કરવાની ચોકસાઈ

પરિચયમાં નોંધ્યું છે તેમ, બીજા ક્રમના આંશિક વિભેદક સમીકરણોમાં બે મનસ્વી કાર્યોના આધારે અનંત સંખ્યામાં ઉકેલો હોય છે. આ મનસ્વી કાર્યોને નિર્ધારિત કરવા માટે, અથવા, બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, અમને જે ચોક્કસ ઉકેલની જરૂર છે તે ઓળખવા માટે, આપણે ઇચ્છિત કાર્ય પર વધારાની શરતો લાદવાની જરૂર છે. સામાન્ય વિભેદક સમીકરણો ઉકેલતી વખતે વાચકને પહેલાથી જ સમાન ઘટનાનો સામનો કરવો પડ્યો છે, જ્યારે આપેલ પ્રારંભિક પરિસ્થિતિઓના આધારે મનસ્વી સ્થિરાંકો શોધવાની પ્રક્રિયાને સમાવિષ્ટ સામાન્યમાંથી સામાન્ય ઉકેલને અલગ પાડતી વખતે.

સ્ટ્રિંગ ઓસિલેશનની સમસ્યાને ધ્યાનમાં લેતા, વધારાની શરતો બે પ્રકારની હોઈ શકે છે: પ્રારંભિક અને સીમા (અથવા સીમા).

પ્રારંભિક સ્થિતિ દર્શાવે છે કે સ્પંદન શરૂ થયું તે ક્ષણે સ્ટ્રિંગ કઈ સ્થિતિમાં હતી. તે ધારવું સૌથી અનુકૂળ છે કે શબ્દમાળા સમયની ક્ષણે વાઇબ્રેટ થવા લાગી હતી. સ્ટ્રીંગ પોઈન્ટની પ્રારંભિક સ્થિતિ શરત દ્વારા આપવામાં આવે છે

અને પ્રારંભિક ઝડપ

આપેલ કાર્યો ક્યાં છે.

નોટેશન અને તેનો અર્થ એ છે કે ફંક્શન મનસ્વી મૂલ્ય માટે લેવામાં આવે છે અને માટે, એટલે કે, સમાન રીતે. રેકોર્ડિંગનું આ સ્વરૂપ ભવિષ્યમાં સતત ઉપયોગમાં લેવાય છે; તેથી, ઉદાહરણ તરીકે, વગેરે.

શરતો (1.13) અને (1.14) સૌથી સરળ ગતિશીલતા સમસ્યામાં પ્રારંભિક પરિસ્થિતિઓ જેવી જ છે સામગ્રી બિંદુ. એક બિંદુની ગતિનો નિયમ નક્કી કરવા માટે, વધુમાં વિભેદક સમીકરણ, તમારે બિંદુની પ્રારંભિક સ્થિતિ અને તેની પ્રારંભિક ગતિ જાણવાની જરૂર છે.

સીમાની સ્થિતિઓ અલગ પાત્ર ધરાવે છે. તેઓ દર્શાવે છે કે સમગ્ર કંપન દરમિયાન સ્ટ્રિંગના છેડે શું થાય છે. સૌથી સરળ કિસ્સામાં, જ્યારે સ્ટ્રિંગના છેડા નિશ્ચિત હોય છે (સ્ટ્રિંગની શરૂઆત કોઓર્ડિનેટ્સના મૂળ પર હોય છે, અને અંત બિંદુ પર હોય છે, ફંક્શન શરતોનું પાલન કરશે.

સ્થિર લોડની ક્રિયા હેઠળ બે આધારો પર પડેલા બીમના બેન્ડિંગનો અભ્યાસ કરતી વખતે વાચકને સામગ્રીની મજબૂતાઈ પર કોર્સમાં બરાબર સમાન પરિસ્થિતિઓનો સામનો કરવો પડ્યો.

હકીકત એ છે કે પ્રારંભિક અને સીમાની સ્થિતિનું સ્પષ્ટીકરણ પ્રક્રિયાને સંપૂર્ણપણે નિર્ધારિત કરે છે તેનો ભૌતિક અર્થ સ્ટ્રિંગના મુક્ત ઓસિલેશનના કિસ્સામાં સૌથી સરળતાથી શોધી શકાય છે.

ઉદાહરણ તરીકે, છેડા પર નિશ્ચિત સ્ટ્રિંગને કોઈક રીતે પાછું ખેંચી લેવા દો, એટલે કે, ફંક્શન - સ્ટ્રિંગના પ્રારંભિક આકારનું સમીકરણ - સેટ કરવામાં આવ્યું હતું, અને પ્રારંભિક ગતિ વિના છોડવામાં આવ્યું હતું (આનો અર્થ એ છે કે) તે સ્પષ્ટ છે કે આ ઓસિલેશનની આગળની પ્રકૃતિ સંપૂર્ણપણે નિર્ધારિત થઈ જશે અને આપણે હલ કરીને એક અનન્ય કાર્ય શોધીશું સજાતીય સમીકરણયોગ્ય શરતો હેઠળ. તમે સ્ટ્રિંગને બીજી રીતે વાઇબ્રેટ કરી શકો છો, એટલે કે સ્ટ્રિંગના બિંદુઓને ચોક્કસ પ્રારંભિક ગતિ આપીને. તે ભૌતિક રીતે સ્પષ્ટ છે કે આ કિસ્સામાં ઓસિલેશનની આગળની પ્રક્રિયા સંપૂર્ણપણે નક્કી કરવામાં આવશે. સ્ટ્રિંગને સ્ટ્રાઇક કરીને પ્રારંભિક ગતિ સ્ટ્રિંગના બિંદુઓને આપી શકાય છે (જેમ કે જ્યારે પિયાનો વગાડવામાં આવે છે); સ્ટ્રિંગને ઉત્તેજક બનાવવાની પ્રથમ પદ્ધતિનો ઉપયોગ જ્યારે પ્લક્ડ ઇન્સ્ટ્રુમેન્ટ્સ વગાડવામાં આવે છે (ઉદાહરણ તરીકે, ગિટાર).

ચાલો હવે આખરે ગાણિતિક સમસ્યા ઘડીએ કે જેના પર બંને છેડે જોડાયેલ તારના મુક્ત સ્પંદનોનો અભ્યાસ દોરી જાય છે.

સતત ગુણાંક સાથે બીજા ક્રમના સજાતીય રેખીય આંશિક વિભેદક સમીકરણને ઉકેલવા માટે તે જરૂરી છે

શરીરની સપાટી પર કોઈપણ સમયે તાપમાન નક્કી કરે છે, એટલે કે

T s = T s (x, y, z, t) (2.15)

ચોખા. 2.4 - ઇસોથર્મલ સીમાની સ્થિતિ.

શરીરની અંદરનું તાપમાન કેવી રીતે બદલાય તે મહત્વનું નથી, સપાટી પરના બિંદુઓનું તાપમાન સમીકરણનું પાલન કરે છે (2.15).

શરીરની સીમા પર શરીરમાં તાપમાન વિતરણ વળાંક (ફિગ. 2.4) આપેલ ઓર્ડિનેટ ધરાવે છે ટી એસ , જે સમયાંતરે બદલાઈ શકે છે. પ્રથમ પ્રકારની સીમાની સ્થિતિનો વિશેષ કેસ છે ઇસોથર્મલસીમાની સ્થિતિ કે જેના હેઠળ સમગ્ર હીટ ટ્રાન્સફર પ્રક્રિયા દરમિયાન શરીરની સપાટીનું તાપમાન સ્થિર રહે છે:

T s = const.

ચોખા. 2.5 - પ્રથમ પ્રકારની સ્થિતિ

શરીરની આવી સ્થિતિની કલ્પના કરવા માટે, એવું માનવું જરૂરી છે કે શરીરમાં કામ કરતા ગરમીના સ્ત્રોતની સમપ્રમાણરીતે, તેની બહાર નકારાત્મક સંકેત (કહેવાતા હીટ સિંક) સાથે અન્ય, કાલ્પનિક ઉષ્મા સ્ત્રોત છે. તદુપરાંત, આ હીટ સિંકના ગુણધર્મો વાસ્તવિક ગરમીના સ્ત્રોતના ગુણધર્મો સાથે બરાબર મેળ ખાય છે, અને તાપમાન વિતરણ સમાન ગાણિતિક અભિવ્યક્તિ દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે. આ સ્ત્રોતોની કુલ અસર ચોક્કસ કિસ્સામાં, શરીરની સપાટી પર સતત તાપમાનની સ્થાપના તરફ દોરી જશે T = 0 8C , જ્યારે શરીરની અંદર બિંદુઓનું તાપમાન સતત બદલાતું રહે છે.

બીજા પ્રકારની સીમાની સ્થિતિ

ઘનતા વ્યાખ્યાયિત કરે છે ગરમીનો પ્રવાહશરીરની સપાટી પર કોઈપણ સમયે કોઈપણ સમયે, એટલે કે.

ફ્યુરિયરના કાયદા અનુસાર, ગરમીના પ્રવાહની ઘનતા તાપમાનના ઢાળના સીધા પ્રમાણસર છે. તેથી, સીમા પર તાપમાન ક્ષેત્ર આપેલ ઢાળ (ફિગ. b) ધરાવે છે, ચોક્કસ કિસ્સામાં સ્થિરાંકો, જ્યારે

બીજા પ્રકારની બાઉન્ડ્રી કંડીશનનો એક ખાસ કિસ્સો એડીઆબેટિક બાઉન્ડ્રી કન્ડિશન છે, જ્યારે શરીરની સપાટી પરથી ગરમીનો પ્રવાહ શૂન્ય હોય છે (ફિગ. 2.6), એટલે કે.

ચોખા. 2.6 - બીજા પ્રકારની સીમાની સ્થિતિ

તકનીકી ગણતરીઓમાં, ઘણી વખત એવા કિસ્સાઓ હોય છે જ્યારે શરીરની સપાટી પરથી ગરમીનો પ્રવાહ શરીરની અંદરના પ્રવાહની તુલનામાં નાનો હોય છે. પછી આપણે આ સીમાને એડિબેટિક તરીકે સ્વીકારી શકીએ છીએ. વેલ્ડીંગ કરતી વખતે, આવા કેસને નીચેના રેખાકૃતિ (ફિગ. 2.7) દ્વારા રજૂ કરી શકાય છે.

ચોખા. 2.7 - બીજા પ્રકારની સ્થિતિ

બિંદુએ વિશે ગરમીનો સ્ત્રોત સક્રિય છે. સીમા ગરમીને પસાર થવા દેતી નથી તે શરતને પરિપૂર્ણ કરવા માટે, તે જ સ્ત્રોતને શરીરની બહાર, આ સ્ત્રોત સાથે સમપ્રમાણરીતે, બિંદુ પર મૂકવો જરૂરી છે. ઓ 1 , અને તેમાંથી ગરમીનો પ્રવાહ મુખ્ય સ્ત્રોતના પ્રવાહ સામે નિર્દેશિત થાય છે. તેઓ એકબીજાને રદ કરે છે, એટલે કે, સીમા ગરમીને પસાર થવા દેતી નથી. જો કે, જો આ શરીર અનંત હોત તો શરીરની ધારનું તાપમાન બમણું વધારે હશે. ગરમીના પ્રવાહના વળતરની આ પદ્ધતિને પ્રતિબિંબ પદ્ધતિ કહેવામાં આવે છે, કારણ કે આ કિસ્સામાં ગરમી-અભેદ્ય સીમાને ધાતુમાંથી આવતા ગરમીના પ્રવાહને પ્રતિબિંબિત કરતી સીમા તરીકે ગણી શકાય.

ત્રીજા પ્રકારની સીમાની સ્થિતિ.

આસપાસના તાપમાન અને શરીરની સપાટી અને પર્યાવરણ વચ્ચે ગરમીના વિનિમયનો નિયમ નક્કી કરે છે. ત્રીજા પ્રકારની સીમાની સ્થિતિનું સૌથી સરળ સ્વરૂપ પ્રાપ્ત થાય છે જો સીમા પર ગરમીનું સ્થાનાંતરણ ન્યુટનના સમીકરણ દ્વારા નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવ્યું હોય, જે દર્શાવે છે કે સીમાની સપાટી દ્વારા ગરમીના સ્થાનાંતરણના ઉષ્મા પ્રવાહની ઘનતા તાપમાનના તફાવતના સીધા પ્રમાણસર છે. સીમા સપાટી અને પર્યાવરણ

શરીરની બાજુથી સીમાની સપાટી પર વહેતી ગરમીના પ્રવાહની ઘનતા, ફ્યુરિયરના નિયમ અનુસાર, સીમાની સપાટી પરના તાપમાનના ઢાળના સીધા પ્રમાણસર છે:

શરીરમાંથી આવતા ગરમીના પ્રવાહને હીટ ટ્રાન્સફર ફ્લો સાથે સરખાવીને, આપણે 3જી પ્રકારની સીમાની સ્થિતિ મેળવીએ છીએ:

,

સીમાની સપાટી પરનું તાપમાન ઢાળ શરીરની સપાટી અને પર્યાવરણ વચ્ચેના તાપમાનના તફાવતના સીધા પ્રમાણસર છે. આ સ્થિતિ માટે જરૂરી છે કે સીમા બિંદુ પર તાપમાન વિતરણ વળાંકની સ્પર્શક માર્ગદર્શિકા બિંદુમાંથી પસાર થાય. વિશેસીમાની સપાટીથી અંતરે શરીરની બહાર સ્થિત તાપમાન સાથે (ફિગ. 2.8).

આકૃતિ 2.8 – 3જી પ્રકારની સીમાની સ્થિતિ

3જી પ્રકારની સીમાની સ્થિતિમાંથી કોઈ મેળવી શકે છે ખાસ કેસઇસોથર્મલ સીમાની સ્થિતિ. જો, જે ખૂબ મોટા હીટ ટ્રાન્સફર ગુણાંક સાથે અથવા ખૂબ ઓછી થર્મલ વાહકતા ગુણાંક સાથે થાય છે, તો પછી:

અને, એટલે કે સમગ્ર હીટ ટ્રાન્સફર પ્રક્રિયા દરમિયાન શરીરની સપાટીનું તાપમાન સ્થિર રહે છે અને આસપાસના તાપમાનની બરાબર હોય છે.

ગતિનું એક સમીકરણ (1.116) ભૌતિક પ્રક્રિયાના ગાણિતિક વર્ણન માટે પૂરતું નથી. પ્રક્રિયાની અસ્પષ્ટ વ્યાખ્યા માટે પૂરતી શરતો ઘડવી જરૂરી છે. સ્ટ્રિંગ વાઇબ્રેશનની સમસ્યાને ધ્યાનમાં લેતા, વધારાની શરતો બે પ્રકારની હોઈ શકે છે: પ્રારંભિક અને સીમા (ધાર).

ચાલો નિશ્ચિત છેડા સાથે સ્ટ્રિંગ માટે વધારાની શરતો બનાવીએ. લંબાઈના શબ્દમાળાના છેડા નિશ્ચિત હોવાથી, બિંદુઓ પર તેમના વિચલનો અને કોઈપણ માટે શૂન્ય સમાન હોવા જોઈએ:

શરતો (1.119) કહેવામાં આવે છે સરહદશરતો; તેઓ બતાવે છે કે સ્પંદન પ્રક્રિયા દરમિયાન સ્ટ્રિંગના છેડે શું થાય છે.

દેખીતી રીતે, ઓસિલેશનની પ્રક્રિયા તારને સંતુલનમાંથી કેવી રીતે બહાર લાવવામાં આવે છે તેના પર નિર્ભર રહેશે. તે ધારવું વધુ અનુકૂળ છે કે શબ્દમાળા સમયે વાઇબ્રેટ થવાનું શરૂ થયું. સમયની પ્રારંભિક ક્ષણે, શબ્દમાળાના તમામ બિંદુઓને કેટલાક વિસ્થાપન અને વેગ આપવામાં આવે છે:

,

, ,

(1.120)

જ્યાં અને કાર્યો આપવામાં આવે છે.

શરતો (1.120) કહેવામાં આવે છે પ્રારંભિકશરતો

તેથી, સ્ટ્રિંગ ઓસિલેશનની ભૌતિક સમસ્યા નીચેની ગાણિતિક સમસ્યામાં ઘટાડી દેવામાં આવી છે: સમીકરણ (1.116) (અથવા (1.117) અથવા (1.118))નો ઉકેલ શોધવા માટે જે સીમાની સ્થિતિ (1.119) અને પ્રારંભિક શરતો (1.119) ને સંતોષે. 1.120). આ સમસ્યાને મિશ્રિત સીમા મૂલ્યની સમસ્યા કહેવામાં આવે છે, કારણ કે તેમાં બાઉન્ડ્રી અને પ્રારંભિક સ્થિતિ બંનેનો સમાવેશ થાય છે. તે સાબિત થયું છે કે કાર્યો પર લાદવામાં આવેલા અમુક નિયંત્રણો હેઠળ અને મિશ્ર સમસ્યાનો અનન્ય ઉકેલ છે.

તે તારણ આપે છે કે સ્ટ્રિંગ ઓસિલેશનની સમસ્યા ઉપરાંત, અન્ય ઘણી શારીરિક સમસ્યાઓ (1.116), (1.119), (1.120) માં ઘટાડી શકાય છે: રેખાંશ સ્પંદનોસ્થિતિસ્થાપક સળિયા, શાફ્ટના ટોર્સનલ સ્પંદનો, પાઇપમાં પ્રવાહી અને વાયુઓના સ્પંદનો, વગેરે.

ઉપરાંત સીમા શરતો(1.119) અન્ય પ્રકારની સીમાની સ્થિતિ શક્ય છે. સૌથી સામાન્ય નીચેના છે:

આઈ. , ;

II. , ;

III. , ,

જ્યાં , જાણીતા વિધેયો છે, અને , જાણીતા સ્થિરાંકો છે.

આપેલ સીમા શરતોને અનુક્રમે પ્રથમ, બીજા, ત્રીજા પ્રકારની સીમાની સ્થિતિ કહેવામાં આવે છે. જો ઑબ્જેક્ટના છેડા (સ્ટ્રિંગ, સળિયા, વગેરે) આપેલ કાયદા અનુસાર ખસે છે તો શરતો I થાય છે; શરતો II - જો છેડા પર નિર્દિષ્ટ દળો લાગુ કરવામાં આવે તો; શરતો III - છેડાને સ્થિતિસ્થાપક બાંધવાના કિસ્સામાં.

જો સમાનતાઓની જમણી બાજુએ ઉલ્લેખિત કાર્યો શૂન્ય સમાન હોય, તો સીમાની સ્થિતિ કહેવામાં આવે છે. સજાતીયઆમ, સીમાની સ્થિતિ (1.119) એકરૂપ છે.

વિવિધ સૂચિબદ્ધ પ્રકારની બાઉન્ડ્રી શરતોને જોડીને, અમે છ પ્રકારની સરળ સીમા મૂલ્ય સમસ્યાઓ મેળવીએ છીએ.

સમીકરણ (1.116) માટે બીજી સમસ્યા ઊભી થઈ શકે છે. શબ્દમાળાને પૂરતી લાંબી થવા દો અને અમને છેડાથી પૂરતા પ્રમાણમાં દૂર અને ટૂંકા ગાળામાં તેના બિંદુઓના સ્પંદનોમાં રસ છે. આ કિસ્સામાં, છેડા પરના મોડની નોંધપાત્ર અસર થશે નહીં અને તેથી તેને ધ્યાનમાં લેવામાં આવતું નથી; શબ્દમાળા અનંત ગણવામાં આવે છે. ની જગ્યાએ સંપૂર્ણ સમસ્યાઅમર્યાદિત ડોમેન માટે પ્રારંભિક શરતો સાથે મર્યાદા સમસ્યા ઊભી કરો: માટે સમીકરણ (1.116) નો ઉકેલ શોધો, પ્રારંભિક શરતોને સંતોષતા:

, .

અનુક્રમે વિચારણા હેઠળનો વિસ્તાર.

સામાન્ય રીતે વિભેદક સમીકરણમાં એક ઉકેલ નથી હોતો, પરંતુ તેનો સંપૂર્ણ પરિવાર હોય છે. પ્રારંભિક અને સીમાની સ્થિતિઓ તમને તેમાંથી એક પસંદ કરવાની મંજૂરી આપે છે જે વાસ્તવિક શારીરિક પ્રક્રિયા અથવા ઘટનાને અનુરૂપ હોય. સામાન્ય વિભેદક સમીકરણોના સિદ્ધાંતમાં, પ્રારંભિક સ્થિતિ (કહેવાતી કોચી સમસ્યા) ની સમસ્યાના ઉકેલના અસ્તિત્વ અને વિશિષ્ટતા પર એક પ્રમેય સાબિત થયો છે. આંશિક વિભેદક સમીકરણો માટે, પ્રારંભિક અને સીમા મૂલ્ય સમસ્યાઓના ચોક્કસ વર્ગો માટેના ઉકેલોના અસ્તિત્વ અને વિશિષ્ટતા પરના કેટલાક પ્રમેય મેળવવામાં આવે છે.

પરિભાષા

કેટલીકવાર બિન-સ્થિર સમસ્યાઓમાં પ્રારંભિક સ્થિતિઓ, જેમ કે હાયપરબોલિક અથવા પેરાબોલિક સમીકરણો ઉકેલવા, પણ સીમાની સ્થિતિ માનવામાં આવે છે.

સ્થિર સમસ્યાઓ માટે, ત્યાં સીમાની સ્થિતિનું વિભાજન છે મુખ્યઅને કુદરતી.

મુખ્ય પરિસ્થિતિઓમાં સામાન્ય રીતે તે સ્વરૂપ હોય છે જ્યાં પ્રદેશની સીમા હોય છે.

કુદરતી પરિસ્થિતિઓમાં સામાન્યથી સરહદ સુધીના ઉકેલની વ્યુત્પન્નતા પણ હોય છે.

ઉદાહરણ

સમીકરણ ગુરુત્વાકર્ષણના ક્ષેત્રમાં શરીરની ગતિનું વર્ણન કરે છે. તે ફોર્મના કોઈપણ ચતુર્ભુજ કાર્ય દ્વારા સંતુષ્ટ થાય છે, જ્યાં મનસ્વી સંખ્યાઓ હોય છે. ગતિના ચોક્કસ કાયદાને ઓળખવા માટે, શરીરના પ્રારંભિક સંકલન અને તેની ગતિ, એટલે કે, પ્રારંભિક પરિસ્થિતિઓ સૂચવવી જરૂરી છે.

સીમાની શરતો સેટ કરવાની ચોકસાઈ

કાર્યો ગાણિતિક ભૌતિકશાસ્ત્રવાસ્તવિક વર્ણન કરો શારીરિક પ્રક્રિયાઓ, અને તેથી તેમની રચનાએ નીચેની કુદરતી જરૂરિયાતોને સંતોષવી આવશ્યક છે:

1. ઉકેલ જ જોઈએ અસ્તિત્વમાં છેકાર્યોના અમુક વર્ગમાં;
2. ઉકેલ હોવો જોઈએ એકમાત્રકાર્યોના અમુક વર્ગમાં;
3. ઉકેલ જ જોઈએ ડેટા પર સતત નિર્ભર(પ્રારંભિક અને સીમા શરતો, મુક્ત મુદત, ગુણાંક, વગેરે).

સોલ્યુશનની સતત અવલંબન માટેની આવશ્યકતા એ હકીકત દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે કે ભૌતિક ડેટા, એક નિયમ તરીકે, લગભગ પ્રયોગ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે, અને તેથી વ્યક્તિએ ખાતરી કરવી જોઈએ કે સમસ્યાનું સમાધાન પસંદ કરેલા માળખામાં છે. ગાણિતિક મોડેલમાપન ભૂલ પર નોંધપાત્ર રીતે આધાર રાખશે નહીં. ગાણિતિક રીતે, આ જરૂરિયાત લખી શકાય છે, ઉદાહરણ તરીકે, આની જેમ (મુક્ત શબ્દથી સ્વતંત્રતા માટે):

બે વિભેદક સમીકરણો આપવા દો: સમાન વિભેદક ઓપરેટરો અને સમાન સીમાની સ્થિતિઓ સાથે, પછી તેમના ઉકેલો મુક્ત શબ્દ પર સતત નિર્ભર રહેશે જો:

કાર્યોનો સમૂહ કે જેના માટે સૂચિબદ્ધ આવશ્યકતાઓ પૂરી થાય છે તેને કહેવામાં આવે છે શુદ્ધતા વર્ગ. હદમાર્ડના ઉદાહરણ દ્વારા સીમાની સ્થિતિની ખોટી ગોઠવણી સારી રીતે દર્શાવવામાં આવી છે.

પણ જુઓ

• 1લી પ્રકારની સીમાની સ્થિતિ (ડિરિચલેટ સમસ્યા), en:Dirichlet બાઉન્ડ્રી કન્ડીશન
• 2જી પ્રકારની સીમાની સ્થિતિ (ન્યુમન સમસ્યા), en:Neumann બાઉન્ડ્રી કન્ડીશન
• 3જી પ્રકારની સીમાની સ્થિતિ (રોબિન સમસ્યા), en:રોબિન સીમાની સ્થિતિ
• આદર્શ થર્મલ સંપર્ક માટેની શરતો, en:પરફેક્ટ થર્મલ સંપર્ક

સાહિત્ય

વિકિમીડિયા ફાઉન્ડેશન.

2010.

અન્ય શબ્દકોશોમાં "પ્રારંભિક અને સીમાની શરતો" શું છે તે જુઓ:

વિભેદક સમીકરણોના સિદ્ધાંતમાં, પ્રારંભિક અને સીમાની સ્થિતિ એ મુખ્ય વિભેદક સમીકરણ (સામાન્ય અથવા આંશિક વિભેદક) માં ઉમેરા છે, જે પ્રારંભિક સમયે અથવા ધ્યાનમાં લેવાયેલી સીમા પર તેની વર્તણૂકને સ્પષ્ટ કરે છે... ... વિકિપીડિયા વિભેદક સમીકરણોમાં ન્યુમેન સમસ્યાસીમા મૂલ્યની સમસ્યા

પ્રદેશની સીમા પર ઇચ્છિત કાર્યના વ્યુત્પન્ન માટે આપેલ સીમા શરતો સાથે, બીજા પ્રકારની કહેવાતી સીમા શરતો. ડોમેનના પ્રકારને આધારે, ન્યુમેન સમસ્યાઓને બે ભાગમાં વહેંચી શકાય છે... વિકિપીડિયાસીમા શરતો

અન્ય શબ્દકોશોમાં "પ્રારંભિક અને સીમાની શરતો" શું છે તે જુઓ:

- વિરૂપતા ક્ષેત્ર અથવા તેમના ગાણિતિક મોડેલની સીમા પર ઔપચારિક શારીરિક પરિસ્થિતિઓ, જે અન્ય લોકો સાથે, દબાણની સારવારની સમસ્યાઓ માટે અનન્ય ઉકેલ મેળવવાનું શક્ય બનાવે છે. સીમાની સ્થિતિને આમાં વિભાજિત કરવામાં આવી છે...પ્રારંભિક શરતો - વિકૃતિ પહેલાં શરીરની સ્થિતિનું વર્ણન. સામાન્ય રીતે, પ્રારંભિક ક્ષણે, શરીરની સપાટીના બિંદુઓ xi0 ના યુલર કોઓર્ડિનેટ્સ, શરીરના કોઈપણ બિંદુ M પર તણાવ, ગતિ, ઘનતા, તાપમાન આપવામાં આવે છે. અવકાશનો દિયા પ્રદેશ, ... ...જ્ઞાનકોશીય શબ્દકોશ

ધાતુશાસ્ત્રમાં- રોલિંગ દરમિયાન ચોક્કસ ગુણોત્તર, પકડ કોણ અને ગુણાંક અથવા ઘર્ષણના કોણને જોડે છે કે જેના પર રોલ દ્વારા ધાતુનું પ્રાથમિક કેપ્ચર અને વિરૂપતા ઝોન ભરવાની ખાતરી કરવામાં આવે છે; આ પણ જુઓ: કામ કરવાની પરિસ્થિતિઓ... ધાતુશાસ્ત્રનો જ્ઞાનકોશીય શબ્દકોશ

શરતો- : આ પણ જુઓ: કામ કરવાની પરિસ્થિતિઓ વિભેદક સંતુલનની સ્થિતિ તકનીકી વિશિષ્ટતાઓ(TU) પ્રારંભિક શરતો... ધાતુશાસ્ત્રનો જ્ઞાનકોશીય શબ્દકોશ

કામ કરવાની પરિસ્થિતિઓ- સેનિટરી અને આરોગ્યપ્રદ લાક્ષણિકતાઓનો સમૂહ બાહ્ય વાતાવરણ(તાપમાન અને ભેજ, ધૂળ, અવાજ, વગેરે) જેમાં તકનીકી પ્રક્રિયાઓ હાથ ધરવામાં આવે છે; રશિયામાં મજૂર દ્વારા નિયમન. ધાતુશાસ્ત્રનો જ્ઞાનકોશીય શબ્દકોશ

અન્ય શબ્દકોશોમાં "પ્રારંભિક અને સીમાની શરતો" શું છે તે જુઓ:

પુસ્તકો

• ગાણિતિક ભૌતિકશાસ્ત્રની વ્યસ્ત સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટેની સંખ્યાત્મક પદ્ધતિઓ, સમર્સ્કી એ. આ કિસ્સામાં, ઉકેલ આંશિક વિભેદક સમીકરણોથી નક્કી કરવામાં આવે છે, જે પૂરક છે...

પ્રારંભિક શરતો

સમયની અનુગામી ક્ષણો પર શરીરના એક દિશામાં અથવા બીજા બિંદુઓ પર તાપમાનમાં થતા ફેરફારોની ગણતરી કરવામાં સક્ષમ થવા માટે, શરીરના દરેક બિંદુ માટે પ્રારંભિક પ્રારંભિક થર્મલ સ્થિતિનો ઉલ્લેખ કરવો આવશ્યક છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, એક સતત અથવા અવ્યવસ્થિત સંકલન કાર્ય T0 (x, y, z) નો ઉલ્લેખ કરવો આવશ્યક છે, જે શરીરના તમામ બિંદુઓ પર પ્રારંભિક સમયે t = 0 અને ઇચ્છિત કાર્ય T (x, y) પર તાપમાનની સ્થિતિનું સંપૂર્ણ વર્ણન કરે છે. , z, t), જે વિભેદક સમીકરણ (1.8) નો ઉકેલ છે, તે પ્રારંભિક સ્થિતિને સંતોષે છે.

T (x, y, z, 0i=o = T0 (x, y, z). (1.11)

સીમાની શરતો

ગરમીનું સંચાલન કરતી સંસ્થા તેની સપાટી દ્વારા બાહ્ય થર્મલ પ્રભાવની વિવિધ પરિસ્થિતિઓને આધિન હોઈ શકે છે. તેથી, વિભેદક સમીકરણ (1.8) ના તમામ ઉકેલોમાંથી, તમારે સપાટી S પર આપેલ શરતોને સંતોષે છે તે પસંદ કરવાની જરૂર છે, એટલે કે, આ ચોક્કસ સીમા શરતો. સીમાની સ્થિતિના ગાણિતિક સ્પષ્ટીકરણના નીચેના સ્વરૂપોનો ઉપયોગ થાય છે.

1. શરીરની સપાટી પરના દરેક બિંદુ પરનું તાપમાન ચોક્કસ કાયદા અનુસાર સમય જતાં બદલાઈ શકે છે, એટલે કે શરીરની સપાટીનું તાપમાન કોઓર્ડિનેટ્સ અને સમય Ts (x, y, z, i). આ કિસ્સામાં, ઇચ્છિત કાર્ય T (x, y, z, t), જે સમીકરણ (1.8) નો ઉકેલ છે, એ સીમાની સ્થિતિને સંતોષવી આવશ્યક છે.

T (x, y, z, 0 Is = Ts (x, y, z, i). (1.12)

સૌથી સરળ કિસ્સાઓમાં, શરીરની સપાટી પરનું તાપમાન 7 (x, y, z, t) હોઈ શકે છે. સામયિક કાર્યસમય અથવા તે સતત હોઈ શકે છે.

2. શરીરની સપાટી પરના ઉષ્મા પ્રવાહને સપાટીના બિંદુઓ અને સમય qs (x, y, z, I) ના કોઓર્ડિનેટ્સના સતત (અથવા બંધ) કાર્ય તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. પછી કાર્ય T (x, y, z, I) એ સીમાની સ્થિતિને સંતોષવી આવશ્યક છે:

X ગ્રેડ T (x, y, z, 0U = Qs (*. Y> z> 0- (1 -13)

3. આજુબાજુનું તાપમાન Ta અને પર્યાવરણ અને શરીરની સપાટી વચ્ચે ગરમીના વિનિમયનો નિયમ આપવામાં આવ્યો છે, જેના માટે ન્યૂટનનો નિયમ સરળતા માટે વપરાય છે. આ કાયદા અનુસાર, ગરમી dQ ની માત્રા બંધ આપવામાં આવે છે

સમય દરમિયાન તાપમાન સાથે સપાટી તત્વ dS

વાતાવરણમાં Ts (x, y, z, t) સૂત્ર દ્વારા નક્કી થાય છે

dQ = k (Ts - Ta) dS તા., (1.14)

જ્યાં k એ cal/cm2 - sec-°C માં હીટ ટ્રાન્સફર ગુણાંક છે. બીજી બાજુ, સૂત્ર (1.6) અનુસાર, સપાટીના તત્વને અંદરથી સમાન માત્રામાં ગરમી પૂરી પાડવામાં આવે છે અને તે સમાનતા દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.

dQ = - x (grad„7")s dS તા. (1.15)

(1.14) અને (1.15) ને સમીકરણ કરીને, અમે પ્રાપ્ત કરીએ છીએ કે ઇચ્છિત કાર્ય T (x, y, z, t) એ સીમાની સ્થિતિને સંતોષવી આવશ્યક છે.

(gradnr)s = -±-(Ts-Ta). (1.16)

ઉપર નોંધ્યું છે તેમ, ઇન્સ્ટોલેશન દરમિયાન માળખાના બે વિભાગોને જોડતી વખતે, વેલ્ડીંગ માટેની શરતો સૌથી મુશ્કેલ હોય છે. એક જ સમયે સમગ્ર વિભાગને વેલ્ડિંગ કરવું સંપૂર્ણપણે અશક્ય છે, અને તેથી સીમનો ભાગ લાગુ કર્યા પછી ...

જો વેલ્ડેડ સ્ટ્રક્ચર્સની સામાન્ય વિકૃતિઓ વ્યક્તિગત સીમના ઉપયોગના ક્રમથી ખૂબ પ્રભાવિત થાય છે, તો પછી વેલ્ડિંગ કરવામાં આવતી શીટ્સના પ્લેનમાંથી સ્થાનિક વિકૃતિઓ અને વિકૃતિઓ દરેક સીમ બનાવવાની પદ્ધતિ દ્વારા નોંધપાત્ર રીતે પ્રભાવિત થાય છે. ...

ઉપર નોંધ્યું છે તેમ, જટિલ સંયુક્ત વિભાગો અને માળખાંને વેલ્ડિંગ કરતી વખતે, પરિણામી વિકૃતિઓની પ્રકૃતિ સીમ્સ કયા ક્રમમાં લાગુ કરવામાં આવે છે તેના પર આધાર રાખે છે. તેથી, વેલ્ડેડ સ્ટ્રક્ચર્સના ઉત્પાદનમાં વિરૂપતા સામે લડવાના મુખ્ય માધ્યમોમાંનું એક ...