મોડ્યુલસ સાથેના સમીકરણોનું ભૌમિતિક ઉકેલ. મોડ્યુલસ સાથેના સમીકરણો. વ્યક્તિગત માહિતીનું રક્ષણ

સંખ્યાનું મોડ્યુલસ શોધવાનું સરળ છે, અને સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે તેની પાછળનો સિદ્ધાંત મહત્વપૂર્ણ છે.

વ્યાયામ અને પરીક્ષાઓ ઉકેલવા માટે ઉપયોગમાં લેવાતા પ્રકટીકરણના ગુણધર્મો અને નિયમો શાળાના બાળકો અને વિદ્યાર્થીઓ માટે ઉપયોગી થશે. https://teachs.ru પર તમારા જ્ઞાનનો ઉપયોગ કરીને પૈસા કમાઓ!

ગણિતમાં મોડ્યુલ શું છે

સંખ્યાનું મોડ્યુલસ શૂન્યથી બિંદુ કઈ દિશામાં આવેલું છે તે ધ્યાનમાં લીધા વિના, સંખ્યા રેખા પર શૂન્યથી બિંદુ સુધીના અંતરનું વર્ણન કરે છે. ગાણિતિક સંકેત : |x|.

બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, તે સંખ્યાનું સંપૂર્ણ મૂલ્ય છે. વ્યાખ્યા સાબિત કરે છે કે મૂલ્ય ક્યારેય નકારાત્મક હોતું નથી.

મોડ્યુલ ગુણધર્મો

નીચેના ગુણધર્મોને યાદ રાખવું મહત્વપૂર્ણ છે:

જટિલ સંખ્યાનું મોડ્યુલસ

સંપૂર્ણ મૂલ્ય જટિલ સંખ્યાજટિલ પ્લેનની શરૂઆતથી બિંદુ (a, b) સુધી દોરેલા નિર્દેશિત સેગમેન્ટની લંબાઈ છે.

આ નિર્દેશિત સેગમેન્ટ એક જટિલ સંખ્યાનું પ્રતિનિધિત્વ કરતું વેક્ટર પણ છે a+bi, તેથી જટિલ સંખ્યાનું સંપૂર્ણ મૂલ્ય રજૂ કરતા વેક્ટરની તીવ્રતા (અથવા લંબાઈ) જેટલું જ છે a+ bi.

મોડ્યુલસ સાથે સમીકરણો કેવી રીતે ઉકેલવા

મોડ્યુલસ સાથેનું સમીકરણ એ સમાનતા છે જેમાં અભિવ્યક્તિ હોય છે સંપૂર્ણ મૂલ્ય. જો વાસ્તવિક સંખ્યા માટે તે સંખ્યા રેખા પરના મૂળથી તેનું અંતર દર્શાવે છે, તો મોડ્યુલસ સાથેની અસમાનતા એ અસમાનતાનો પ્રકાર છે જેમાં સંપૂર્ણ મૂલ્યોનો સમાવેશ થાય છે.

|x| જેવા સમીકરણો = એ

સમીકરણ |x| = a ધરાવે છે બે જવાબો x = a અને x = –a, કારણ કે બંને વિકલ્પો 0 થી અંતરે સંકલન રેખા પર છે.

જો મૂલ્ય નકારાત્મક હોય તો ચોક્કસ મૂલ્ય સાથેની સમાનતાનો કોઈ ઉકેલ નથી.

જો |x|< a представляет собой расстояние чисел от начала координат, это значит, что нужно искать все числа, чье расстояние от начала координат меньше a.

|x| જેવા સમીકરણો = |y|

જ્યારે સમીકરણોની બંને બાજુએ નિરપેક્ષ મૂલ્યો હોય, ત્યારે આપણે સ્વીકાર્ય વ્યાખ્યાઓ - હકારાત્મક અને નકારાત્મક અભિવ્યક્તિઓ માટે બંને શક્યતાઓને ધ્યાનમાં લેવાની જરૂર છે.

ઉદાહરણ તરીકે, સમાનતા માટે |x − a| = |x + b| ત્યાં બે વિકલ્પો છે: (x − a) = − (x + b) અથવા (x − a) = (x + b).

|x| જેવા સમીકરણો = y

આ પ્રકારના સમીકરણોમાં શૂન્યની ડાબી બાજુએ ચલ અને જમણી બાજુએ અન્ય અજાણ્યા ચલ સાથે અભિવ્યક્તિનું સંપૂર્ણ મૂલ્ય હોય છે. ચલ y કાં તો શૂન્ય કરતા વધારે અથવા ઓછું હોઈ શકે છે.

આ સમાનતાનો જવાબ મેળવવા માટે, તમારે કેટલાક સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલવાની જરૂર છે, જેમાં તમારે ખાતરી કરવાની જરૂર છે કે y એ બિન-નકારાત્મક જથ્થો છે:

મોડ્યુલસ સાથે અસમાનતાઓનું નિરાકરણ

માં મોડ્યુલને કેવી રીતે વિસ્તૃત કરવું તે વધુ સારી રીતે સમજવા માટે વિવિધ પ્રકારોસમાનતા અને અસમાનતા, તમારે ઉદાહરણોનું વિશ્લેષણ કરવાની જરૂર છે.

ફોર્મના સમીકરણો |x| = એ

ઉદાહરણ 1(બીજગણિત 6ઠ્ઠો ધોરણ). ઉકેલો: |x| + 2 = 4.

ઉકેલ.

આવા સમીકરણો નિરપેક્ષ મૂલ્યો વિના સમાનતાની જેમ જ ઉકેલાય છે. આનો અર્થ એ છે કે અજ્ઞાતને ડાબી તરફ અને સ્થિરાંકોને જમણી તરફ ખસેડવાથી, અભિવ્યક્તિ બદલાતી નથી.

સ્થિરાંકને જમણી તરફ ખસેડ્યા પછી, અમને મળે છે: |x| = 2.

અજાણ્યાઓ સંપૂર્ણ મૂલ્ય સાથે સંબંધિત હોવાથી, આ સમીકરણના બે જવાબો છે: 2 અને −2 .

જવાબ: 2 અને −2 .

ઉદાહરણ 2(7મા ગ્રેડ બીજગણિત). અસમાનતા |x + 2| ઉકેલો ≥ 1.

ઉકેલ.

કરવા માટે પ્રથમ વસ્તુ એ બિંદુઓ શોધવાનું છે જ્યાં સંપૂર્ણ મૂલ્ય બદલાશે. આ કરવા માટે, અભિવ્યક્તિ સમાન છે 0 . પ્રાપ્ત: x = –2.

આનો અર્થ એ છે કે –2 - વળાંક.

ચાલો અંતરાલને 2 ભાગોમાં વિભાજીત કરીએ:

1. x + 2 ≥ 0 માટે

[−1; + ∞).

1. x + 2 માટે< 0

આ બે અસમાનતાઓ માટેનો સામાન્ય જવાબ અંતરાલ છે (−∞; –3].

અંતિમ નિર્ણય – વ્યક્તિગત ભાગોના જવાબોનું સંયોજન:

x∈ (–∞; –3] ∪ [–1; + ∞).

જવાબ: x∈ (–∞; –3] ∪ [–1; + ∞) .

ફોર્મના સમીકરણો |x| = |y|

ઉદાહરણ 1(8મા ધોરણ બીજગણિત). બે મોડ્યુલ સાથે સમીકરણ ઉકેલો: 2 * |x – 1| + 3 = 9 – |x – 1|.

ઉકેલ:

જવાબ: x 1 = 3; x 2 = − 1.

ઉદાહરણ 2(8મા ધોરણ બીજગણિત). અસમાનતા ઉકેલો:

ઉકેલ:

ફોર્મના સમીકરણો |x| = y

ઉદાહરણ 1(બીજગણિત 10મા ધોરણ). x શોધો:

ઉકેલ:

જમણી બાજુ તપાસવું ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે, અન્યથા તમે તમારા જવાબમાં ભૂલભરેલા મૂળ લખી શકો છો. તે ગેપમાં પડતું નથી તે તંત્ર પરથી સ્પષ્ટ થાય છે.

જવાબ: x = 0.

સરવાળા મોડ્યુલ

તફાવતનું મોડ્યુલસ

બે સંખ્યાઓ વચ્ચેના તફાવતનું સંપૂર્ણ મૂલ્ય xઅને y કોઓર્ડિનેટ્સ સાથેના બિંદુઓ વચ્ચેના અંતર જેટલું છે એક્સઅને વાયસંકલન રેખા પર.

ઉદાહરણ 1.

ઉદાહરણ 2.

નકારાત્મક સંખ્યાનું મોડ્યુલસ

શૂન્ય કરતાં ઓછી સંખ્યાની સંપૂર્ણ કિંમત શોધવા માટે, તમારે તે શૂન્યથી કેટલું દૂર છે તે શોધવાની જરૂર છે. કારણ કે અંતર હંમેશા હકારાત્મક છે ("નકારાત્મક" પગલાં લેવાનું અશક્ય છે, તે માત્ર બીજી દિશામાં પગલાં છે), પરિણામ હંમેશા હકારાત્મક હોય છે. એટલે કે,

બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, સંપૂર્ણ મૂલ્ય નકારાત્મક સંખ્યાવિરુદ્ધ અર્થ છે.

શૂન્ય મોડ્યુલ

જાણીતી મિલકત:

આથી જ નિરપેક્ષ મૂલ્યને સકારાત્મક સંખ્યા કહી શકાતી નથી: શૂન્ય ન તો ઋણ છે કે ન તો સકારાત્મક.

ચોરસ મોડ્યુલ

સ્ક્વેર મોડ્યુલસ હંમેશા સ્ક્વેર્ડ એક્સપ્રેશન સમાન હોય છે:

મોડ્યુલ સાથેના ગ્રાફના ઉદાહરણો

ઘણીવાર પરીક્ષણો અને પરીક્ષાઓમાં એવા કાર્યો હોય છે જે ફક્ત આલેખનું વિશ્લેષણ કરીને ઉકેલી શકાય છે. ચાલો આવા કાર્યોને ધ્યાનમાં લઈએ.

ઉદાહરણ 1.

ફંક્શન f(x) = |x| આપેલ છે. 1 ના પગલા સાથે – 3 થી 3 સુધીનો ગ્રાફ બનાવવો જરૂરી છે.

ઉકેલ:

સમજૂતી: આકૃતિ બતાવે છે કે ગ્રાફ Y અક્ષ વિશે સપ્રમાણ છે.

ઉદાહરણ 2. ફંક્શન f(x) = |x–2| ના ગ્રાફ દોરવા અને તેની સરખામણી કરવી જરૂરી છે અને g(x) = |x|–2.

ઉકેલ:

સમજૂતી: નિરપેક્ષ મૂલ્યની અંદરનો સ્થિરાંક જો તેનું મૂલ્ય ઋણ હોય તો આખા ગ્રાફને જમણી તરફ અને જો તેનું મૂલ્ય ધન હોય તો ડાબી તરફ ખસે છે. પરંતુ બહારનું સ્થિરાંક ગ્રાફને ઉપર લઈ જશે જો મૂલ્ય હકારાત્મક હોય અને જો તે નકારાત્મક હોય તો નીચે જશે (જેમ કે - 2 કાર્યમાં g(x)).

શિરોબિંદુ સંકલન x(બિંદુ કે જેના પર બે રેખાઓ જોડાય છે, ગ્રાફનો શિરોબિંદુ) એ સંખ્યા છે જેના દ્વારા ગ્રાફને ડાબે અથવા જમણે ખસેડવામાં આવે છે. એક સંકલન y- આ તે મૂલ્ય છે જેના દ્વારા ગ્રાફ ઉપર અથવા નીચે ખસે છે.

તમે ઓનલાઈન પ્લોટીંગ એપ્લીકેશનનો ઉપયોગ કરીને આવા ગ્રાફ બનાવી શકો છો. તેમની સહાયથી, તમે સ્પષ્ટપણે જોઈ શકો છો કે સ્થિરતા કાર્યોને કેવી રીતે અસર કરે છે.

મોડ્યુલસ સાથે સમસ્યાઓમાં અંતરાલ પદ્ધતિ

અંતરાલ પદ્ધતિ તેમાંથી એક છે શ્રેષ્ઠ માર્ગોમોડ્યુલની સમસ્યાઓમાં જવાબ શોધો, ખાસ કરીને જો અભિવ્યક્તિમાં તેમાંના ઘણા હોય.

પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવા માટે તમારે નીચેના કરવાની જરૂર છે:

1. દરેક અભિવ્યક્તિને શૂન્ય સાથે સમાન કરો.
2. ચલોની કિંમતો શોધો.
3. નંબર લાઇન પર સ્ટેપ 2 માં મેળવેલા પોઈન્ટને પ્લોટ કરો.
4. અંતરાલો પર અભિવ્યક્તિઓનું ચિહ્ન (નકારાત્મક અથવા હકારાત્મક મૂલ્ય) નક્કી કરો અને અનુક્રમે a – અથવા + પ્રતીક દોરો. સાઇન નક્કી કરવાનો સૌથી સહેલો રસ્તો એ છે કે અવેજી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવો (અંતરાલમાંથી કોઈપણ મૂલ્યને બદલીને).
5. આપેલ ચિહ્નો સાથે અસમાનતાઓ ઉકેલો.

ઉદાહરણ 1. અંતરાલ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલો.

ઉકેલ:

અમે ગણિત પસંદ કરતા નથીતેણીનો વ્યવસાય, અને તેણી અમને પસંદ કરે છે.

રશિયન ગણિતશાસ્ત્રી યુ.આઈ. મનિન

મોડ્યુલસ સાથેના સમીકરણો

શાળાના ગણિતમાં ઉકેલવા માટેની સૌથી મુશ્કેલ સમસ્યાઓ એ મોડ્યુલસ ચિન્હ હેઠળના ચલો ધરાવતા સમીકરણો છે. આવા સમીકરણોને સફળતાપૂર્વક ઉકેલવા માટે, તમારે મોડ્યુલની વ્યાખ્યા અને મૂળભૂત ગુણધર્મો જાણવાની જરૂર છે. સ્વાભાવિક રીતે, વિદ્યાર્થીઓ પાસે આ પ્રકારના સમીકરણો ઉકેલવાની કુશળતા હોવી આવશ્યક છે.

મૂળભૂત ખ્યાલો અને ગુણધર્મો

વાસ્તવિક સંખ્યાનું મોડ્યુલસ (સંપૂર્ણ મૂલ્ય).દ્વારા સૂચિત અને નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે:

TO સરળ ગુણધર્મોમોડ્યુલમાં નીચેના સંબંધો શામેલ છે:

નોંધ, કે છેલ્લા બે ગુણધર્મ કોઈપણ સમ ડિગ્રી માટે માન્ય છે.

વધુમાં, જો, ક્યાં, પછી અને

વધુ જટિલ મોડ્યુલ ગુણધર્મો, જે મોડ્યુલી સાથે સમીકરણો ઉકેલતી વખતે અસરકારક રીતે વાપરી શકાય છે, નીચેના પ્રમેય દ્વારા ઘડવામાં આવે છે:

પ્રમેય 1.કોઈપણ માટે વિશ્લેષણાત્મક કાર્યો અને અસમાનતા સાચી છે

પ્રમેય 2.સમાનતા એ અસમાનતા સમાન છે.

પ્રમેય 3.સમાનતા અસમાનતા સમાન.

ચાલો વિચાર કરીએ લાક્ષણિક ઉદાહરણો"સમીકરણો" વિષય પર સમસ્યાઓનું નિરાકરણ, મોડ્યુલસ ચિહ્ન હેઠળ ચલો ધરાવે છે."

મોડ્યુલસ સાથે સમીકરણો ઉકેલવા

મોડ્યુલસ વડે સમીકરણો ઉકેલવા માટે શાળાના ગણિતમાં સૌથી સામાન્ય પદ્ધતિ છે, મોડ્યુલ વિસ્તરણ પર આધારિત. આ પદ્ધતિ સાર્વત્રિક છે, જો કે, સામાન્ય કિસ્સામાં, તેનો ઉપયોગ ખૂબ જ બોજારૂપ ગણતરીઓ તરફ દોરી શકે છે. આ સંદર્ભે વિદ્યાર્થીઓએ અન્ય જાણવું જોઈએ, વધુ અસરકારક પદ્ધતિઓઅને આવા સમીકરણોને ઉકેલવા માટેની તકનીકો. ખાસ કરીને, પ્રમેય લાગુ કરવામાં કુશળતા હોવી જરૂરી છે, આ લેખમાં આપેલ છે.

ઉદાહરણ 1.સમીકરણ ઉકેલો. (1)

ઉકેલ. અમે "શાસ્ત્રીય" પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણ (1) ઉકેલીશું - મોડ્યુલો જાહેર કરવાની પદ્ધતિ. આ કરવા માટે, ચાલો નંબર અક્ષને વિભાજિત કરીએબિંદુઓ અને અંતરાલોમાં અને ત્રણ કેસોને ધ્યાનમાં લો.

1. જો , તો , , , અને સમીકરણ (1) સ્વરૂપ લે છે. તે આના પરથી અનુસરે છે. જો કે, અહીં , તેથી મળેલ મૂલ્ય એ સમીકરણ (1) નું મૂળ નથી.

2. જો, પછી સમીકરણ (1) માંથી આપણે મેળવીએ છીએઅથવા

ત્યારથી સમીકરણનું મૂળ (1).

3. જો, પછી સમીકરણ (1) સ્વરૂપ લે છેઅથવા ચાલો તેની નોંધ લઈએ.

જવાબ: , .

મોડ્યુલ સાથે અનુગામી સમીકરણો ઉકેલતી વખતે, અમે આવા સમીકરણોને ઉકેલવાની કાર્યક્ષમતા વધારવા માટે મોડ્યુલના ગુણધર્મોનો સક્રિયપણે ઉપયોગ કરીશું.

ઉદાહરણ 2.સમીકરણ ઉકેલો.

ઉકેલ.ત્યારથી અને પછી સમીકરણ પરથી તે અનુસરે છે. આ સંદર્ભે,,, અને સમીકરણ સ્વરૂપ લે છે. અહીંથી આપણને મળે છે. જો કે, તેથી મૂળ સમીકરણનું કોઈ મૂળ નથી.

જવાબ: કોઈ મૂળ નથી.

ઉદાહરણ 3.સમીકરણ ઉકેલો.

ઉકેલ.ત્યારથી. જો, તો અને સમીકરણ સ્વરૂપ લે છે.

અહીંથી આપણે મેળવીએ છીએ.

ઉદાહરણ 4.સમીકરણ ઉકેલો.

ઉકેલ.ચાલો સમીકરણને સમકક્ષ સ્વરૂપમાં ફરીથી લખીએ. (2)

પરિણામી સમીકરણ પ્રકારના સમીકરણોનું છે.

પ્રમેય 2 ને ધ્યાનમાં લેતા, એવી દલીલ કરી શકાય છે કે સમીકરણ (2) અસમાનતાની સમકક્ષ છે. અહીંથી આપણે મેળવીએ છીએ.

જવાબ:.

ઉદાહરણ 5.સમીકરણ ઉકેલો.

ઉકેલ. આ સમીકરણનું સ્વરૂપ છે. તેથી જ, પ્રમેય 3 અનુસાર, અહીં આપણી અસમાનતા છેઅથવા

ઉદાહરણ 6.સમીકરણ ઉકેલો.

ઉકેલ.ચાલો માની લઈએ કે. કારણ કે, પછી આપેલ સમીકરણ ચતુર્ભુજ સમીકરણનું સ્વરૂપ લે છે, (3)

જ્યાં . કારણ કે સમીકરણ (3) એક જ હકારાત્મક મૂળ ધરાવે છેઅને, પછી . અહીંથી આપણે મૂળ સમીકરણના બે મૂળ મેળવીએ છીએ:અને .

ઉદાહરણ 7. સમીકરણ ઉકેલો. (4)

ઉકેલ. સમીકરણ થીબે સમીકરણોના સંયોજનની સમકક્ષ છે:અને, પછી સમીકરણ (4) ઉકેલતી વખતે બે કિસ્સાઓ ધ્યાનમાં લેવા જરૂરી છે.

1. જો , તો અથવા .

અહીંથી આપણે મેળવીએ છીએ, અને.

2. જો , તો અથવા .

ત્યારથી.

જવાબ: , , , .

ઉદાહરણ 8.સમીકરણ ઉકેલો . (5)

ઉકેલ.ત્યારથી અને પછી . અહીંથી અને સમીકરણ (5) થી તે અનુસરે છે અને , એટલે કે. અહીં આપણી પાસે સમીકરણોની સિસ્ટમ છે

જો કે, સમીકરણોની આ સિસ્ટમ અસંગત છે.

જવાબ: કોઈ મૂળ નથી.

ઉદાહરણ 9. સમીકરણ ઉકેલો. (6)

ઉકેલ.જો આપણે સૂચિત કરીએ, તો પછી અને સમીકરણ (6)માંથી આપણે મેળવીએ છીએ

અથવા . (7)

સમીકરણ (7) નું સ્વરૂપ હોવાથી, આ સમીકરણ અસમાનતાની સમકક્ષ છે. અહીંથી આપણે મેળવીએ છીએ. ત્યારથી, પછી અથવા.

જવાબ:.

ઉદાહરણ 10.સમીકરણ ઉકેલો. (8)

ઉકેલ.પ્રમેય 1 મુજબ, આપણે લખી શકીએ છીએ

(9)

સમીકરણ (8) ને ધ્યાનમાં લેતા, અમે તારણ કાઢીએ છીએ કે બંને અસમાનતાઓ (9) સમાનતામાં ફેરવાય છે, એટલે કે. સમીકરણોની સિસ્ટમ છે

જો કે, પ્રમેય 3 મુજબ, ઉપરોક્ત સમીકરણોની સિસ્ટમ અસમાનતાઓની સિસ્ટમની સમકક્ષ છે.

(10)

અસમાનતાની સિસ્ટમ ઉકેલવાથી (10) આપણે મેળવીએ છીએ. અસમાનતાની સિસ્ટમ (10) સમીકરણ (8) ની સમકક્ષ હોવાથી, મૂળ સમીકરણ એક જ મૂળ ધરાવે છે.

જવાબ:.

ઉદાહરણ 11. સમીકરણ ઉકેલો. (11)

ઉકેલ.ચાલો અને , પછી સમાનતા સમીકરણ (11) માંથી અનુસરે છે.

તે તેને અનુસરે છે અને. આમ, અહીં આપણી પાસે અસમાનતાની વ્યવસ્થા છે

અસમાનતાની આ વ્યવસ્થાનો ઉકેલ છેઅને .

જવાબ: , .

ઉદાહરણ 12.સમીકરણ ઉકેલો. (12)

ઉકેલ. સમીકરણ (12) મોડ્યુલોના ક્રમિક વિસ્તરણની પદ્ધતિ દ્વારા ઉકેલવામાં આવશે. આ કરવા માટે, ચાલો કેટલાક કેસો ધ્યાનમાં લઈએ.

1. જો , તો .

1.1. જો , તો પછી અને , .

1.2. જો, તો. જો કે, તેથી માં આ કિસ્સામાંસમીકરણ (12) ના કોઈ મૂળ નથી.

2. જો , તો .

2.1. જો , તો પછી અને , .

2.2. જો , તો પછી અને .

જવાબ: , , , , .

ઉદાહરણ 13.સમીકરણ ઉકેલો. (13)

ઉકેલ.સમીકરણ (13) ની ડાબી બાજુ બિન-નકારાત્મક હોવાથી, પછી. આ સંદર્ભે, અને સમીકરણ (13)

ફોર્મ લે છે અથવા.

તે જાણીતું છે કે સમીકરણ બે સમીકરણોના સંયોજનને સમકક્ષ છેઅને, ઉકેલો જે આપણને મળે છે, . કારણ કે, પછી સમીકરણ (13) એક મૂળ ધરાવે છે.

જવાબ:.

ઉદાહરણ 14. સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલો (14)

ઉકેલ.ત્યારથી અને , પછી અને . પરિણામે, સમીકરણોની સિસ્ટમ (14)માંથી આપણે સમીકરણોની ચાર સિસ્ટમો મેળવીએ છીએ:

ઉપરોક્ત સમીકરણોની પ્રણાલીઓના મૂળ એ સમીકરણોની સિસ્ટમના મૂળ છે (14).

જવાબ: ,, , , , , , .

ઉદાહરણ 15. સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલો (15)

ઉકેલ.ત્યારથી. આ સંદર્ભમાં, સમીકરણોની સિસ્ટમ (15)માંથી આપણે સમીકરણોની બે સિસ્ટમો મેળવીએ છીએ

સમીકરણોની પ્રથમ પ્રણાલીના મૂળ અને છે, અને સમીકરણોની બીજી સિસ્ટમમાંથી આપણે મેળવીએ છીએ અને.

જવાબ: , , , .

ઉદાહરણ 16. સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલો (16)

ઉકેલ.સિસ્ટમના પ્રથમ સમીકરણ (16) થી તે અનુસરે છે.

ત્યારથી . ચાલો સિસ્ટમના બીજા સમીકરણને ધ્યાનમાં લઈએ. ત્યારથી, તે , અને સમીકરણ સ્વરૂપ લે છે, , અથવા .

જો તમે મૂલ્યને અવેજી કરો છોસિસ્ટમના પ્રથમ સમીકરણમાં (16), પછી , અથવા .

જવાબ: , .

સમસ્યા હલ કરવાની પદ્ધતિઓના ઊંડા અભ્યાસ માટે, સમીકરણો ઉકેલવા સંબંધિત, મોડ્યુલસ ચિહ્ન હેઠળ ચલો સમાવે છે, તમે સલાહ આપી શકો છો શિક્ષણ સહાયભલામણ કરેલ સાહિત્યની યાદીમાંથી.

1. કોલેજો/એડી માટે અરજદારો માટે ગણિતમાં સમસ્યાઓનો સંગ્રહ. એમ.આઈ. સ્કેનવી. - એમ.: શાંતિ અને શિક્ષણ, 2013. - 608 પૃષ્ઠ.

2. સુપ્રુન વી.પી. ઉચ્ચ શાળાના વિદ્યાર્થીઓ માટે ગણિત: વધેલી જટિલતાના કાર્યો. - એમ.: સીડી "લિબ્રોકોમ" / યુઆરએસએસ, 2017. - 200 પૃષ્ઠ.

3. સુપ્રુન વી.પી. ઉચ્ચ શાળાના વિદ્યાર્થીઓ માટે ગણિત: સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે બિન-માનક પદ્ધતિઓ. - એમ.: સીડી "લિબ્રોકોમ" / યુઆરએસએસ, 2017. – 296 પૃષ્ઠ.

હજુ પણ પ્રશ્નો છે?

શિક્ષક પાસેથી મદદ મેળવવા માટે, નોંધણી કરો.

વેબસાઇટ, જ્યારે સામગ્રીની સંપૂર્ણ અથવા આંશિક નકલ કરતી હોય, ત્યારે સ્રોતની લિંક આવશ્યક છે.

મોડ્યુલસ એ અભિવ્યક્તિનું સંપૂર્ણ મૂલ્ય છે. કોઈક રીતે મોડ્યુલ સૂચવવા માટે, સીધા કૌંસનો ઉપયોગ કરવાનો રિવાજ છે. મૂલ્ય જે સમ કૌંસમાં બંધ છે તે મૂલ્ય છે જે મોડ્યુલો લેવામાં આવે છે. કોઈપણ મોડ્યુલને ઉકેલવાની પ્રક્રિયામાં તે એકદમ સીધા કૌંસને ખોલવાનો સમાવેશ થાય છે, જેને ગાણિતિક ભાષામાં મોડ્યુલર કૌંસ કહેવામાં આવે છે. તેમની જાહેરાત ચોક્કસ સંખ્યાના નિયમો અનુસાર થાય છે. ઉપરાંત, મોડ્યુલોને ઉકેલવાના ક્રમમાં, તે સમીકરણોના મૂલ્યોના સેટ જે મોડ્યુલર કૌંસમાં હતા તે જોવા મળે છે. મોટાભાગના કિસ્સાઓમાં, મોડ્યુલને એવી રીતે વિસ્તૃત કરવામાં આવે છે કે જે અભિવ્યક્તિ સબમોડ્યુલર હતી તે મૂલ્ય શૂન્ય સહિત હકારાત્મક અને નકારાત્મક બંને મૂલ્યો મેળવે છે. જો આપણે મોડ્યુલના સ્થાપિત ગુણધર્મોથી શરૂઆત કરીએ, તો પ્રક્રિયામાં મૂળ અભિવ્યક્તિમાંથી વિવિધ સમીકરણો અથવા અસમાનતાઓ સંકલિત કરવામાં આવે છે, જેને પછી હલ કરવાની જરૂર છે. ચાલો જાણીએ કે મોડ્યુલો કેવી રીતે ઉકેલવા.

ઉકેલ પ્રક્રિયા

મોડ્યુલ ઉકેલવાની શરૂઆત મોડ્યુલ સાથે મૂળ સમીકરણ લખીને થાય છે. મોડ્યુલસ સાથે સમીકરણો કેવી રીતે ઉકેલવા તે પ્રશ્નનો જવાબ આપવા માટે, તમારે તેને સંપૂર્ણપણે ખોલવાની જરૂર છે. આવા સમીકરણને ઉકેલવા માટે, મોડ્યુલને વિસ્તૃત કરવામાં આવે છે. બધા મોડ્યુલર અભિવ્યક્તિઓ ધ્યાનમાં લેવી આવશ્યક છે. તેની રચનામાં સમાવિષ્ટ અજ્ઞાત જથ્થાના કયા મૂલ્યો પર નિર્ધારિત કરવું જરૂરી છે, કૌંસમાં મોડ્યુલર અભિવ્યક્તિ શૂન્ય બને છે. આ કરવા માટે, મોડ્યુલર કૌંસમાં અભિવ્યક્તિને શૂન્ય સાથે સમાન કરવા માટે તે પૂરતું છે, અને પછી પરિણામી સમીકરણના ઉકેલની ગણતરી કરો. મળેલી કિંમતો રેકોર્ડ કરવી આવશ્યક છે. તે જ રીતે, તમારે આ સમીકરણમાંના તમામ મોડ્યુલો માટે તમામ અજાણ્યા ચલોની કિંમત પણ નક્કી કરવાની જરૂર છે. આગળ, તમારે અભિવ્યક્તિમાં ચલોના અસ્તિત્વના તમામ કિસ્સાઓને વ્યાખ્યાયિત કરવાનું અને ધ્યાનમાં લેવાની જરૂર છે જ્યારે તેઓ મૂલ્ય શૂન્યથી અલગ હોય. આ કરવા માટે, તમારે મૂળ અસમાનતાના તમામ મોડ્યુલોને અનુરૂપ અસમાનતાઓની કેટલીક સિસ્ટમ લખવાની જરૂર છે. અસમાનતાઓ લખવી આવશ્યક છે જેથી તેઓ સંખ્યા રેખા પર જોવા મળતા ચલ માટેના તમામ ઉપલબ્ધ અને સંભવિત મૂલ્યોને આવરી લે. પછી તમારે વિઝ્યુલાઇઝેશન માટે આ જ નંબર લાઇન દોરવાની જરૂર છે, જેના પર પાછળથી તમામ પ્રાપ્ત મૂલ્યોનું પ્લોટિંગ કરવું.

લગભગ બધું હવે ઇન્ટરનેટ પર કરી શકાય છે. મોડ્યુલ એ નિયમનો અપવાદ નથી. તમે તેને ઘણા આધુનિક સંસાધનોમાંથી એક પર ઓનલાઈન હલ કરી શકો છો. ચલના તે બધા મૂલ્યો કે જે શૂન્ય મોડ્યુલમાં છે તે એક વિશિષ્ટ અવરોધ હશે જેનો ઉપયોગ મોડ્યુલર સમીકરણને ઉકેલવાની પ્રક્રિયામાં કરવામાં આવશે. મૂળ સમીકરણમાં, તમારે અભિવ્યક્તિના ચિહ્નને બદલતી વખતે તમામ ઉપલબ્ધ મોડ્યુલર કૌંસ ખોલવાની જરૂર છે જેથી કરીને ઇચ્છિત ચલના મૂલ્યો તે મૂલ્યો સાથે મેળ ખાય જે સંખ્યા રેખા પર દેખાય છે. પરિણામી સમીકરણ ઉકેલવું આવશ્યક છે. ચલનું મૂલ્ય જે સમીકરણ ઉકેલવા દરમિયાન મેળવવામાં આવશે તે મર્યાદા સામે તપાસવું આવશ્યક છે જે મોડ્યુલ દ્વારા જ નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવે છે. જો ચલનું મૂલ્ય શરતને સંપૂર્ણપણે સંતોષે છે, તો તે સાચું છે. બધા મૂળ કે જે સમીકરણના ઉકેલ દરમિયાન મેળવવામાં આવશે, પરંતુ અવરોધોને બંધબેસશે નહીં, તે કાઢી નાખવા જોઈએ.

વિદ્યાર્થીઓ માટે સૌથી મુશ્કેલ વિષયોમાંનો એક મોડ્યુલસ ચિહ્ન હેઠળ ચલ ધરાવતા સમીકરણોને ઉકેલવાનો છે. ચાલો પહેલા જાણીએ કે આ શું સાથે જોડાયેલ છે? શા માટે, ઉદાહરણ તરીકે, મોટાભાગના બાળકો બદામ જેવા ચતુર્ભુજ સમીકરણો તોડી નાખે છે, પરંતુ મોડ્યુલ જેવા જટિલ ખ્યાલથી ઘણી બધી સમસ્યાઓ છે?

મારા મતે, આ બધી મુશ્કેલીઓ મોડ્યુલસ સાથે સમીકરણો ઉકેલવા માટે સ્પષ્ટ રીતે ઘડવામાં આવેલા નિયમોના અભાવ સાથે સંકળાયેલી છે. તેથી, ચતુર્ભુજ સમીકરણ ઉકેલતી વખતે, વિદ્યાર્થી ખાતરીપૂર્વક જાણે છે કે તેણે પ્રથમ ભેદભાવપૂર્ણ સૂત્ર, અને પછી ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળ માટેના સૂત્રો લાગુ કરવાની જરૂર છે. જો સમીકરણમાં મોડ્યુલસ જોવા મળે તો શું કરવું? અમે સ્પષ્ટ રીતે વર્ણન કરવાનો પ્રયાસ કરીશું જરૂરી યોજનાજ્યારે સમીકરણમાં મોડ્યુલસ ચિહ્ન હેઠળ અજ્ઞાત હોય તેવા કિસ્સામાં ક્રિયાઓ. અમે દરેક કેસ માટે ઘણા ઉદાહરણો આપીશું.

પરંતુ પ્રથમ, ચાલો યાદ કરીએ મોડ્યુલ વ્યાખ્યા. તેથી, સંખ્યાને મોડ્યુલો કરો aઆ નંબર પોતે જો કહેવાય છે aબિન-નકારાત્મક અને -એ, જો નંબર aશૂન્ય કરતાં ઓછું. તમે તેને આ રીતે લખી શકો છો:

|a| = a જો a ≥ 0 અને |a| = -a જો a< 0

વિશે વાત કરી રહ્યા છીએ ભૌમિતિક અર્થમાંમોડ્યુલ, તે યાદ રાખવું જોઈએ કે દરેક વાસ્તવિક સંખ્યા સંખ્યા અક્ષ પરના ચોક્કસ બિંદુને અનુલક્ષે છે - તેના માટે સંકલન તેથી, સંખ્યાનું મોડ્યુલ અથવા સંપૂર્ણ મૂલ્ય એ આ બિંદુથી સંખ્યાત્મક અક્ષની ઉત્પત્તિ સુધીનું અંતર છે. અંતર હંમેશા હકારાત્મક સંખ્યા તરીકે નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવે છે. આમ, કોઈપણ નકારાત્મક સંખ્યાનું મોડ્યુલસ એ ધન સંખ્યા છે. માર્ગ દ્વારા, આ તબક્કે પણ, ઘણા વિદ્યાર્થીઓ મૂંઝવણમાં આવવા લાગે છે. મોડ્યુલમાં કોઈપણ સંખ્યા હોઈ શકે છે, પરંતુ મોડ્યુલનો ઉપયોગ કરવાનું પરિણામ હંમેશા હકારાત્મક સંખ્યા હોય છે.

હવે ચાલો સીધા સમીકરણો ઉકેલવા તરફ આગળ વધીએ.

1. ફોર્મના સમીકરણને ધ્યાનમાં લો |x| = c, જ્યાં c એ વાસ્તવિક સંખ્યા છે. આ સમીકરણ મોડ્યુલસ વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલી શકાય છે.

અમે બધી વાસ્તવિક સંખ્યાઓને ત્રણ જૂથોમાં વિભાજીત કરીએ છીએ: તે જે શૂન્ય કરતાં મોટી છે, તે જે શૂન્ય કરતાં ઓછી છે, અને ત્રીજો જૂથ 0 નંબર છે. અમે આકૃતિના રૂપમાં ઉકેલ લખીએ છીએ:

(±c, જો c > 0

જો |x| = c, પછી x = (0, જો c = 0

(જો સાથે મૂળ નથી< 0

1) |x| = 5, કારણ કે 5 > 0, પછી x = ±5;

2) |x| = -5, કારણ કે -5< 0, то уравнение не имеет корней;

3) |x| = 0, પછી x = 0.

2. ફોર્મનું સમીકરણ |f(x)| = b, જ્યાં b > 0. આ સમીકરણને ઉકેલવા માટે મોડ્યુલમાંથી છૂટકારો મેળવવો જરૂરી છે. અમે તેને આ રીતે કરીએ છીએ: f(x) = b અથવા f(x) = -b. હવે તમારે દરેક પરિણામી સમીકરણોને અલગથી હલ કરવાની જરૂર છે. જો મૂળ સમીકરણમાં b< 0, решений не будет.

1) |x + 2| = 4, કારણ કે 4 > 0, પછી

x + 2 = 4 અથવા x + 2 = -4

2) |x 2 – 5| = 11, કારણ કે 11 > 0, પછી

x 2 – 5 = 11 અથવા x 2 – 5 = -11

x 2 = 16 x 2 = -6

x = ± 4 કોઈ મૂળ નથી

3) |x 2 – 5x| = -8, કારણ કે -8< 0, то уравнение не имеет корней.

3. ફોર્મનું સમીકરણ |f(x)| = g(x). મોડ્યુલના અર્થ અનુસાર, આવા સમીકરણમાં ઉકેલો હશે જો તેની જમણી બાજુ શૂન્ય કરતાં મોટી અથવા બરાબર હોય, એટલે કે. g(x) ≥ 0. પછી આપણી પાસે હશે:

f(x) = g(x)અથવા f(x) = -g(x).

1) |2x – 1| = 5x – 10. આ સમીકરણમાં મૂળ હશે જો 5x – 10 ≥ 0. અહીંથી આવા સમીકરણોનો ઉકેલ શરૂ થાય છે.

1. O.D.Z. 5x – 10 ≥ 0

2. ઉકેલ:

2x – 1 = 5x – 10 અથવા 2x – 1 = -(5x – 10)

3. અમે O.D.Z ને જોડીએ છીએ. અને ઉકેલ, અમને મળે છે:

મૂળ x = 11/7 O.D.Z. સાથે બંધબેસતું નથી, તે 2 કરતા ઓછું છે, પરંતુ x = 3 આ સ્થિતિને સંતોષે છે.

જવાબ: x = 3

2) |x – 1| = 1 – x 2 .

1. O.D.Z. 1 – x 2 ≥ 0. ચાલો અંતરાલ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને આ અસમાનતાને હલ કરીએ:

(1 – x)(1 + x) ≥ 0

2. ઉકેલ:

x – 1 = 1 – x 2 અથવા x – 1 = -(1 – x 2)

x 2 + x – 2 = 0 x 2 – x = 0

x = -2 અથવા x = 1 x = 0 અથવા x = 1

3. અમે ઉકેલ અને O.D.Z.ને જોડીએ છીએ:

માત્ર મૂળ x = 1 અને x = 0 યોગ્ય છે.

જવાબ: x = 0, x = 1.

4. ફોર્મનું સમીકરણ |f(x)| = |g(x)|. આવા સમીકરણ નીચેના બે સમીકરણો f(x) = g(x) અથવા f(x) = -g(x) ની સમકક્ષ છે.

1) |x 2 – 5x + 7| = |2x – 5|. આ સમીકરણ નીચેના બે સમકક્ષ છે:

x 2 – 5x + 7 = 2x – 5 અથવા x 2 – 5x +7 = -2x + 5

x 2 – 7x + 12 = 0 x 2 – 3x + 2 = 0

x = 3 અથવા x = 4 x = 2 અથવા x = 1

જવાબ: x = 1, x = 2, x = 3, x = 4.

5. અવેજી પદ્ધતિ (ચલ રિપ્લેસમેન્ટ) દ્વારા ઉકેલાયેલા સમીકરણો. આ પદ્ધતિઉકેલો સમજાવવા માટે સૌથી સરળ છે ચોક્કસ ઉદાહરણ. તો, ચાલો આપણે મોડ્યુલસ સાથે એક ચતુર્ભુજ સમીકરણ આપીએ:

x 2 – 6|x| + 5 = 0. મોડ્યુલસ પ્રોપર્ટી x 2 = |x| દ્વારા 2, તેથી સમીકરણ નીચે પ્રમાણે ફરીથી લખી શકાય છે:

|x| 2 – 6|x| + 5 = 0. ચાલો બદલીએ |x| = t ≥ 0, તો આપણી પાસે હશે:

t 2 – 6t + 5 = 0. આ સમીકરણ ઉકેલવાથી, આપણે શોધીએ છીએ કે t = 1 અથવા t = 5. ચાલો બદલી પર પાછા આવીએ:

|x| = 1 અથવા |x| = 5

x = ±1 x = ±5

જવાબ: x = -5, x = -1, x = 1, x = 5.

ચાલો બીજું ઉદાહરણ જોઈએ:

x 2 + |x| – 2 = 0. મોડ્યુલસ પ્રોપર્ટી x 2 = |x| દ્વારા 2, તેથી

|x| 2 + |x| – 2 = 0. ચાલો બદલીએ |x| = t ≥ 0, પછી:

t 2 + t – 2 = 0. આ સમીકરણ ઉકેલવાથી, આપણને t = -2 અથવા t = 1 મળે છે. ચાલો બદલી પર પાછા આવીએ:

|x| = -2 અથવા |x| = 1

કોઈ મૂળ નથી x = ± 1

જવાબ: x = -1, x = 1.

6. સમીકરણોનો બીજો પ્રકાર એ "જટિલ" મોડ્યુલસ સાથેના સમીકરણો છે. આવા સમીકરણોમાં એવા સમીકરણોનો સમાવેશ થાય છે જેમાં "મોડ્યુલની અંદર મોડ્યુલો" હોય છે. આ પ્રકારના સમીકરણો મોડ્યુલના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલી શકાય છે.

1) |3 – |x|| = 4. આપણે બીજા પ્રકારના સમીકરણોની જેમ જ કાર્ય કરીશું. કારણ કે 4 > 0, પછી આપણને બે સમીકરણો મળે છે:

3 – |x| = 4 અથવા 3 – |x| = -4.

હવે ચાલો દરેક સમીકરણમાં મોડ્યુલસ x વ્યક્ત કરીએ, પછી |x| = -1 અથવા |x| = 7.

અમે દરેક પરિણામી સમીકરણોને હલ કરીએ છીએ. પ્રથમ સમીકરણમાં કોઈ મૂળ નથી, કારણ કે -1< 0, а во втором x = ±7.

જવાબ x = -7, x = 7.

2) |3 + |x + 1|| = 5. અમે આ સમીકરણને સમાન રીતે હલ કરીએ છીએ:

3 + |x + 1| = 5 અથવા 3 + |x + 1| = -5

|x + 1| = 2 |x + 1| = -8

x + 1 = 2 અથવા x + 1 = -2. કોઈ મૂળ નથી.

જવાબ: x = -3, x = 1.

મોડ્યુલસ સાથે સમીકરણો ઉકેલવા માટે એક સાર્વત્રિક પદ્ધતિ પણ છે. આ અંતરાલ પદ્ધતિ છે. પરંતુ અમે તેને પછી જોઈશું.

વેબસાઇટ, જ્યારે સામગ્રીની સંપૂર્ણ અથવા આંશિક નકલ કરતી હોય, ત્યારે સ્રોતની લિંક આવશ્યક છે.