લા યુ સિસ્ટમના પ્રાથમિક પરિવર્તનો. રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમો. §8. વેક્ટર જગ્યાઓ

બે સિસ્ટમો રેખીય સમીકરણોએક સમૂહ x 1,..., x n અજ્ઞાત અને અનુક્રમે, m અને p સમીકરણોમાંથી

જો તેમનું સોલ્યુશન સેટ થાય અને એકરૂપ થાય (એટલે ​​કે, સબસેટ્સ અને K n માં એકરૂપ થાય, તો) તેમને સમકક્ષ કહેવામાં આવે છે. આનો અર્થ એ છે કે: કાં તો તે એકસાથે ખાલી સબસેટ્સ છે (એટલે ​​​​કે, બંને સિસ્ટમ્સ (I) અને (II) અસંગત છે), અથવા તે એક સાથે બિન-ખાલી છે, અને (એટલે ​​​​કે, સિસ્ટમ I નો દરેક ઉકેલ સિસ્ટમ II નો ઉકેલ છે, અને દરેક સોલ્યુશન સિસ્ટમ II એ સિસ્ટમ I નો ઉકેલ છે).

ઉદાહરણ 3.2.1.

ગૌસ પદ્ધતિ

ગૌસ દ્વારા પ્રસ્તાવિત અલ્ગોરિધમ માટેની યોજના એકદમ સરળ હતી:

1. રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમમાં અનુક્રમિક પરિવર્તનો લાગુ કરો જે ઉકેલોના સમૂહને બદલતા નથી (આમ અમે મૂળ સિસ્ટમના ઉકેલોના સમૂહને સાચવીએ છીએ), અને "સરળ સ્વરૂપ" (કહેવાતા પગલું) ધરાવતી સમકક્ષ સિસ્ટમ પર જાઓ. ફોર્મ);
2. માટે " સરળ પ્રકાર" સિસ્ટમ (સ્ટેપ મેટ્રિક્સ સાથે) ઉકેલોના સમૂહનું વર્ણન કરે છે જે મૂળ સિસ્ટમના ઉકેલોના સમૂહ સાથે મેળ ખાય છે.

નોંધ કરો કે સમાન પદ્ધતિ, "ફેન-ચેન", પ્રાચીન ચાઇનીઝ ગણિતમાં પહેલેથી જ જાણીતી હતી.

રેખીય સમીકરણો (મેટ્રિસિસની પંક્તિઓ) ની પ્રણાલીઓનું પ્રાથમિક પરિવર્તન

વ્યાખ્યા 3.4.1 (પ્રકાર 1 નું પ્રાથમિક પરિવર્તન). જ્યારે સિસ્ટમના i-th સમીકરણને k-th સમીકરણમાં ઉમેરવામાં આવે છે, સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે છે (નોટેશન: (i)"=(i)+c(k); એટલે કે, માત્ર એક i-th સમીકરણ (i) નવા સમીકરણ (i)"=(i)+c(k) ) સાથે બદલવામાં આવે છે. નવા ith સમીકરણનું સ્વરૂપ છે (a i1 +ca k1)x 1 +...(a in +ca kn)x n =b i +cb k, અથવા, ટૂંકમાં,

એટલે કે નવા i-th સમીકરણમાં a ij "=a ij +ca kj , b i " =b i +cb k.

વ્યાખ્યા 3.4.2 (પ્રકાર 2 નું પ્રાથમિક પરિવર્તન). જ્યારે i -th અને k -th સમીકરણો અદલાબદલી થાય છે, ત્યારે બાકીના સમીકરણો બદલાતા નથી (નોટેશન: (i)"=(k) , (k)"=(i) ; ગુણાંક માટે આનો અર્થ નીચે મુજબ છે: j= માટે 1,... .,એન

નોંધ 3.4.3. સગવડ માટે, ચોક્કસ ગણતરીઓમાં તમે 3જી પ્રકારના પ્રાથમિક રૂપાંતરણનો ઉપયોગ કરી શકો છો: i -th સમીકરણ નો-શૂન્ય સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે છે. , (i)"=c(i) .

દરખાસ્ત 3.4.4. જો આપણે 1 લી અને 2 જી પ્રકારના પ્રાથમિક રૂપાંતરણોની મર્યાદિત સંખ્યાનો ઉપયોગ કરીને સિસ્ટમ I થી સિસ્ટમ II પર ખસેડીએ છીએ, તો પછી સિસ્ટમ II થી આપણે 1 લી અને 2 જી પ્રકારના પ્રાથમિક પરિવર્તનનો ઉપયોગ કરીને પણ સિસ્ટમ I પર પાછા આવી શકીએ છીએ.

પુરાવો.

નોંધ 3.4.5. પ્રાથમિક રૂપાંતરણોની સંખ્યામાં 3જી પ્રકારના પ્રાથમિક રૂપાંતરણના સમાવેશ સાથે પણ નિવેદન સાચું છે. જો અને (i)"=c(i) , પછી અને (i)=c -1 (i)" .

પ્રમેય 3.4.6.પછી સુસંગત એપ્લિકેશનરેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમમાં 1 લી અથવા 2 જી પ્રકારના પ્રારંભિક રૂપાંતરણોની મર્યાદિત સંખ્યા મૂળ સમાનની સમકક્ષ રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ બનાવે છે.

પુરાવો. નોંધ કરો કે એક પ્રાથમિક રૂપાંતરણનો ઉપયોગ કરીને સિસ્ટમ I થી સિસ્ટમ II માં સંક્રમણના કેસને ધ્યાનમાં લેવા અને ઉકેલોના સેટ માટે સમાવેશને સાબિત કરવા માટે તે પૂરતું છે (કારણ કે, સાબિત પ્રસ્તાવના આધારે, સિસ્ટમ II માંથી આપણે સિસ્ટમ I પર પાછા આવી શકીએ છીએ અને તેથી અમારી પાસે સમાવેશ હશે, એટલે કે તે સમાનતા સાબિત થશે).

દો - વેક્ટરની સિસ્ટમ m થી. વેક્ટર સિસ્ટમના મૂળભૂત પ્રાથમિક પરિવર્તનો છે

1. - એક વેક્ટર (વેક્ટર) માં અન્યનું રેખીય સંયોજન ઉમેરવું.

2. - શૂન્યની બરાબર ન હોય તેવી સંખ્યા વડે એક વેક્ટર (વેક્ટર) નો ગુણાકાર.

3. સ્થળોએ બે વેક્ટર () ની પુન: ગોઠવણી. વેક્ટરની સિસ્ટમને સમકક્ષ (હોદ્દો) કહેવામાં આવશે જો પ્રાથમિક પરિવર્તનની સાંકળ હોય જે પ્રથમ સિસ્ટમને બીજામાં પરિવર્તિત કરે છે.

ચાલો વેક્ટર સમાનતાના પરિચયિત ખ્યાલના ગુણધર્મોની નોંધ લઈએ

(રીફ્લેક્સિવિટી)

તે અનુસરે છે (સપ્રમાણતા)

જો અને , તો (સંક્રમણ) પ્રમેય.જો વેક્ટરની સિસ્ટમ રેખીય રીતે સ્વતંત્ર છે, અને તેની સમકક્ષ છે, તો સિસ્ટમ રેખીય રીતે સ્વતંત્ર છે. પુરાવો.દેખીતી રીતે, એક પ્રાથમિક રૂપાંતરણનો ઉપયોગ કરીને મેળવેલ પ્રમેયને સાબિત કરવા માટે પૂરતું છે ચાલો ધારીએ કે વેક્ટરની સિસ્ટમ રેખીય રીતે સ્વતંત્ર છે. પછી તે તેને અનુસરે છે. એક પ્રાથમિક પરિવર્તનનો ઉપયોગ કરીને સિસ્ટમ મેળવવા દો. દેખીતી રીતે, વેક્ટરને ફરીથી ગોઠવવા અથવા શૂન્યની બરાબર ન હોય તેવી સંખ્યા વડે એક વેક્ટરનો ગુણાકાર કરવાથી વેક્ટરની સિસ્ટમની રેખીય સ્વતંત્રતા બદલાતી નથી. ચાલો હવે ધારીએ કે વેક્ટરની સિસ્ટમ સિસ્ટમમાંથી વેક્ટરમાં બાકીના રેખીય સંયોજનને ઉમેરીને મેળવવામાં આવે છે. તે સ્થાપિત કરવું જરૂરી છે કે (1) તે અનુસરે છે ત્યારથી , પછી (1) થી આપણે મેળવીએ છીએ. (2)

કારણ કે સિસ્ટમ રેખીય રીતે સ્વતંત્ર છે, પછી (2) થી તે બધા માટે તે અનુસરે છે.

અહીંથી આપણે મેળવીએ છીએ. Q.E.D.

57. મેટ્રિસિસ. મેટ્રિક્સનો ઉમેરો, વેક્ટર સ્પેસ તેના પરિમાણ તરીકે મેટ્રિક્સના સ્કેલર દ્વારા મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર.

મેટ્રિક્સ પ્રકાર: ચોરસ

મેટ્રિક્સ ઉમેરો

મેટ્રિક્સ ઉમેરણના ગુણધર્મો:

1. કોમ્યુટેટીવીટી: A+B = B+A;

સંખ્યા વડે મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર

મેટ્રિક્સ A ને ¥ (હોદ્દો: ¥A) નંબર વડે ગુણાકાર કરવાથી મેટ્રિક્સ B બનાવવામાં આવે છે, જેનાં ઘટકો મેટ્રિક્સ A ના દરેક ઘટકને આ સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર કરીને મેળવવામાં આવે છે, એટલે કે, મેટ્રિક્સ B નું દરેક ઘટક બરાબર છે: Bij= ¥આજ

સંખ્યા વડે મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરવાના ગુણધર્મો:

2. (λβ)A = λ(βA)

3. (λ+β)A = λA + βA

4. λ(A+B) = λA + λB

પંક્તિ વેક્ટર અને કૉલમ વેક્ટર

માપ m x 1 અને 1 x n ના મેટ્રિસિસ અનુક્રમે K^n અને K^m જગ્યાઓના ઘટકો છે:

m x1 કદના મેટ્રિક્સને કૉલમ વેક્ટર કહેવામાં આવે છે અને તેનું વિશિષ્ટ સંકેત છે:

1 x n કદના મેટ્રિક્સને પંક્તિ વેક્ટર કહેવામાં આવે છે અને તેનું વિશિષ્ટ સંકેત છે:

58. મેટ્રિસિસ. મેટ્રિસિસનો ઉમેરો અને ગુણાકાર. રિંગ તરીકે મેટ્રિસિસ, મેટ્રિક્સ રિંગના ગુણધર્મો.

મેટ્રિક્સ એ સંખ્યાઓનું લંબચોરસ કોષ્ટક છે જેમાં m સમાન-લંબાઈની પંક્તિઓ અથવા n સમાન-લંબાઈના સ્ટ્રોબનો સમાવેશ થાય છે.

aij એ મેટ્રિક્સ એલિમેન્ટ છે જે i-th પંક્તિ અને j-th કૉલમમાં સ્થિત છે.

મેટ્રિક્સ પ્રકાર: ચોરસ

ચોરસ મેટ્રિક્સ એ સમાન સંખ્યામાં કૉલમ અને પંક્તિઓ ધરાવતું મેટ્રિક્સ છે.

મેટ્રિક્સ ઉમેરો

મેટ્રિક્સ A + B નો ઉમેરો એ મેટ્રિક્સ C શોધવાનું કાર્ય છે, જેનાં તમામ ઘટકો મેટ્રિક્સ A અને B ના તમામ અનુરૂપ ઘટકોના જોડીના સરવાળા સમાન છે, એટલે કે, મેટ્રિક્સનું દરેક ઘટક Cj = ની સમાન છે. Aij + Bij

મેટ્રિક્સ ઉમેરણના ગુણધર્મો:

1. કોમ્યુટેટીવીટી: A+B = B+A;

2.સહયોગ: (A+B)+C =A+(B+C);

3.શૂન્ય મેટ્રિક્સ સાથે ઉમેરો: A + Θ = A;

4.વિરોધી મેટ્રિક્સનું અસ્તિત્વ: A + (-A) = Θ;

રેખીય કામગીરીના તમામ ગુણધર્મો રેખીય અવકાશના સ્વયંસિદ્ધનું પુનરાવર્તન કરે છે અને તેથી પ્રમેય માન્ય છે:

ક્ષેત્ર P (તમામ વાસ્તવિક અથવા જટિલ સંખ્યાઓ) ક્ષેત્ર P પર એક રેખીય જગ્યા બનાવે છે (આવા દરેક મેટ્રિક્સ આ જગ્યાનો વેક્ટર છે).

મેટ્રિક્સ ગુણાકાર

મેટ્રિક્સ ગુણાકાર (હોદ્દો: AB, ગુણાકાર ચિહ્ન A x B સાથે ઓછી વાર) એ મેટ્રિક્સ Cની ગણતરી કરવાની કામગીરી છે, જેમાંથી દરેક તત્વ પ્રથમ પરિબળ અને સ્તંભની અનુરૂપ પંક્તિમાં તત્વોના ઉત્પાદનોના સરવાળા સમાન છે. બીજું

મેટ્રિક્સ A માં કૉલમની સંખ્યા મેટ્રિક્સ B માં પંક્તિઓની સંખ્યા સાથે મેળ ખાતી હોવી જોઈએ, બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, મેટ્રિક્સ A મેટ્રિક્સ B સાથે સુસંગત હોવું આવશ્યક છે. જો મેટ્રિક્સ A ના પરિમાણો m x n, B - n x k હોય, તો તેમના ઉત્પાદનનું પરિમાણ AB=C m x k ​​છે.

મેટ્રિક્સ ગુણાકારના ગુણધર્મો:

1.સહયોગ (AB)C = A(BC);

2. નોન-કમ્યુટેટીવીટી (સામાન્ય કિસ્સામાં): AB BA;

3. ઓળખ મેટ્રિક્સ સાથે ગુણાકારના કિસ્સામાં ઉત્પાદન વિનિમયાત્મક છે: AI = IA;

4.વિતરણ: (A+B)C = AC + BC, A(B+C) = AB + AC;

5.સંખ્યા દ્વારા ગુણાકારના સંદર્ભમાં સહયોગીતા અને કોમ્યુટેટીવિટી: (λA)B = λ(AB) = A(λB);

59.*ઇનવર્ટિબલ મેટ્રિસિસ. મેટ્રિક્સ પંક્તિઓનું એકવચન અને બિન-એકવચન પ્રાથમિક પરિવર્તન. પ્રાથમિક મેટ્રિસિસ. પ્રાથમિક મેટ્રિસીસ દ્વારા ગુણાકાર.

વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ - આવા મેટ્રિક્સ A−1, જ્યારે તેના દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે છે, ત્યારે મૂળ મેટ્રિક્સ એઓળખ મેટ્રિક્સમાં પરિણમે છે ઇ:

પ્રાથમિક સ્ટ્રિંગ રૂપાંતરણકહેવામાં આવે છે:

એ જ રીતે વ્યાખ્યાયિત પ્રાથમિક સ્તંભ પરિવર્તનો.

પ્રાથમિક પરિવર્તનો ઉલટાવી શકાય તેવું.

નોટેશન સૂચવે છે કે મેટ્રિક્સ પ્રાથમિક પરિવર્તન (અથવા તેનાથી વિપરીત) દ્વારા મેળવી શકાય છે.

§7. રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમો

સમાન સિસ્ટમો. રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમનું પ્રાથમિક પરિવર્તન.

દો સાથે- જટિલ સંખ્યાઓનું ક્ષેત્ર. ફોર્મનું સમીકરણ

જ્યાં
, સાથે રેખીય સમીકરણ કહેવાય છે nઅજ્ઞાત
. ઓર્ડર કરેલ સેટ
,
સમીકરણનો ઉકેલ કહેવાય છે (1) જો.

સિસ્ટમ mસાથે રેખીય સમીકરણો nઅજ્ઞાત એ ફોર્મના સમીકરણોની સિસ્ટમ છે:

- રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમના ગુણાંક, - મફત સભ્યો.

લંબચોરસ ટેબલ

,

માપ મેટ્રિક્સ કહેવાય છે
. ચાલો નીચે આપેલ સૂચન રજૂ કરીએ: - i- મેટ્રિક્સની મી પંક્તિ,
- k-મેટ્રિક્સની મી કૉલમ. મેટ્રિક્સ એપણ નિયુક્ત
અથવા
.

નીચેના મેટ્રિક્સ પંક્તિ પરિવર્તનો એપ્રાથમિક કહેવાય છે:
) નલ પંક્તિ અપવાદ; ) કોઈપણ શબ્દમાળાના તમામ ઘટકોનો સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરવો
; ) કોઈપણ સ્ટ્રિંગમાં અન્ય કોઈપણ સ્ટ્રિંગ વડે ગુણાકાર કરીને ઉમેરવું
. મેટ્રિક્સ કૉલમના સમાન પરિવર્તન એપ્રાથમિક મેટ્રિક્સ ટ્રાન્સફોર્મેશન કહેવાય છે એ.

મેટ્રિક્સની કોઈપણ પંક્તિનું પ્રથમ બિન-શૂન્ય ઘટક (ડાબેથી જમણે ગણવું). એતે લીટીનું અગ્રણી તત્વ કહેવાય છે.

વ્યાખ્યા. મેટ્રિક્સ
જો નીચેની શરતો પૂરી થાય તો તેને સ્ટેપવાઈઝ કહેવામાં આવે છે:

1) મેટ્રિક્સની શૂન્ય પંક્તિઓ (જો કોઈ હોય તો) બિન-શૂન્યની નીચે સ્થિત છે;

2) જો
મેટ્રિક્સ પંક્તિઓના અગ્રણી તત્વો, પછી

કોઈપણ બિન-શૂન્ય મેટ્રિક્સ A ને હરોળ મુજબના પ્રાથમિક રૂપાંતરણોનો ઉપયોગ કરીને એચેલોન મેટ્રિક્સમાં ઘટાડી શકાય છે.

ઉદાહરણ. ચાલો મેટ્રિક્સ રજૂ કરીએ
સ્ટેપ મેટ્રિક્સ સુધી:
~
~
.

સિસ્ટમ ગુણાંકનું બનેલું મેટ્રિક્સ રેખીય સમીકરણો (2) ને સિસ્ટમનું મુખ્ય મેટ્રિક્સ કહેવામાં આવે છે. મેટ્રિક્સ
ફ્રી ટર્મ્સની કૉલમ ઉમેરવાથી મેળવવામાં આવે છે તેને સિસ્ટમનું વિસ્તૃત મેટ્રિક્સ કહેવામાં આવે છે.

ક્રમબદ્ધ સમૂહને રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમનો ઉકેલ કહેવામાં આવે છે (2) જો તે આ સિસ્ટમના દરેક રેખીય સમીકરણનો ઉકેલ હોય.

રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમને સુસંગત કહેવામાં આવે છે જો તેમાં ઓછામાં ઓછું એક ઉકેલ હોય, અને જો તેમાં કોઈ ઉકેલો ન હોય તો તે અસંગત કહેવાય.

રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ જો તેમાં એક જ ઉકેલ હોય તો તેને ચોક્કસ કહેવામાં આવે છે અને જો તેમાં એક કરતાં વધુ ઉકેલો હોય તો તેને અનિશ્ચિત કહેવામાં આવે છે.

રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમના નીચેના રૂપાંતરણોને પ્રાથમિક કહેવામાં આવે છે:

) ફોર્મના સમીકરણોની સિસ્ટમમાંથી બાકાત;

) દ્વારા કોઈપણ સમીકરણની બંને બાજુનો ગુણાકાર
,
;

) કોઈપણ સમીકરણમાં ઉમેરીને અન્ય કોઈપણ સમીકરણ વડે ગુણાકાર કરવામાં આવે છે.

થી રેખીય સમીકરણોની બે સિસ્ટમો nઅજ્ઞાતને સમકક્ષ કહેવામાં આવે છે જો તેઓ સુસંગત ન હોય અથવા તેમના ઉકેલ સમૂહો એકરૂપ હોય.

પ્રમેય. જો રેખીય સમીકરણોની એક સિસ્ટમ બીજીમાંથી પ્રાથમિક રૂપાંતરણો દ્વારા મેળવવામાં આવે છે જેમ કે ), તો તે મૂળ સમકક્ષ છે.

અજાણ્યાઓને દૂર કરીને રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલવી (ગૌસ પદ્ધતિ).

તંત્રને આપવા દો mસાથે રેખીય સમીકરણો nઅજ્ઞાત:

જો સિસ્ટમ (1) ફોર્મનું સમીકરણ ધરાવે છે

પછી આ સિસ્ટમ સુસંગત નથી.

ચાલો ધારીએ કે સિસ્ટમ (1) ફોર્મ (2) નું સમીકરણ ધરાવતું નથી. સિસ્ટમમાં ચાલો (1) ચલનો ગુણાંક xપ્રથમ સમીકરણમાં 1
(જો આવું ન હોય, તો સમીકરણોને ફરીથી ગોઠવીને આપણે તે હાંસલ કરીશું, કારણ કે બધા ગુણાંક x 1 શૂન્ય બરાબર છે). ચાલો રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમમાં પ્રાથમિક પરિવર્તનની નીચેની સાંકળ લાગુ કરીએ (1):

, બીજા સમીકરણમાં ઉમેરો;

પ્રથમ સમીકરણ દ્વારા ગુણાકાર
, ત્રીજા સમીકરણમાં ઉમેરો અને તેથી વધુ;

પ્રથમ સમીકરણ દ્વારા ગુણાકાર
, સિસ્ટમના છેલ્લા સમીકરણમાં ઉમેરો.

પરિણામે, અમે સિસ્ટમ (1) ની સમકક્ષ રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ મેળવીએ છીએ (જેમાં આપણે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ માટે સંક્ષેપ CLU નો ઉપયોગ કરીશું). તે ચાલુ થઈ શકે છે કે પરિણામી સિસ્ટમમાં સંખ્યા સાથે એક પણ સમીકરણ નથી i, i 2, અજ્ઞાત સમાવતું નથી x 2. દો kઆ ઓછામાં ઓછું છે કુદરતી સંખ્યાતે અજ્ઞાત છે x kસંખ્યા સાથે ઓછામાં ઓછા એક સમીકરણમાં સમાયેલ છે i, i 2. પછી સમીકરણોની પરિણામી સિસ્ટમનું સ્વરૂપ છે:

સિસ્ટમ (3) સિસ્ટમ (1) ની સમકક્ષ છે. ચાલો હવે સબસિસ્ટમ માટે અરજી કરીએ
રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમો (3) તર્ક કે જે SLE (1) પર લાગુ કરવામાં આવ્યા હતા. અને તેથી વધુ. આ પ્રક્રિયાના પરિણામે, અમે બેમાંથી એક પરિણામ પર પહોંચીએ છીએ.

1. ચાલો ફોર્મ (2) નું સમીકરણ ધરાવતું SLE મેળવીએ. આ કિસ્સામાં, SLU (1) અસંગત છે.

2. SLE (1) પર લાગુ પ્રાથમિક પરિવર્તનો ફોર્મ (2) ના સમીકરણ ધરાવતી સિસ્ટમ તરફ દોરી જતા નથી. આ કિસ્સામાં, પ્રાથમિક પરિવર્તન દ્વારા SLE (1).
ફોર્મના સમીકરણોની સિસ્ટમમાં ઘટાડો થાય છે:

(4)

જ્યાં, 1< k < l < . . .< s,

ફોર્મ (4) ના રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમને સ્ટેપવાઇઝ કહેવામાં આવે છે. નીચેના બે કિસ્સાઓ અહીં શક્ય છે.

અ) આર= n, પછી સિસ્ટમ (4) ફોર્મ ધરાવે છે

(5)

સિસ્ટમ (5) પાસે અનન્ય ઉકેલ છે. પરિણામે, સિસ્ટમ (1) પાસે એક અનન્ય ઉકેલ પણ છે.

બી) આર< n. આ કિસ્સામાં, અજાણ્યાઓ
સિસ્ટમમાં (4)ને મુખ્ય અજ્ઞાત કહેવામાં આવે છે, અને આ સિસ્ટમમાં બાકીના અજ્ઞાતને મુક્ત કહેવામાં આવે છે (તેમની સંખ્યા બરાબર છે n- આર). ચાલો આપણે મુક્ત અજાણ્યાઓને મનસ્વી સંખ્યાત્મક મૂલ્યો સોંપીએ, પછી SLE (4) નું ફોર્મ સિસ્ટમ (5) જેવું જ હશે. તેમાંથી, મુખ્ય અજાણ્યાઓ અનન્ય રીતે નક્કી કરવામાં આવે છે. આમ, સિસ્ટમ પાસે એક ઉકેલ છે, એટલે કે, તે સુસંગત છે. કારણ કે મફત અજાણ્યાઓને મનસ્વી સંખ્યાત્મક મૂલ્યો આપવામાં આવ્યા હતા સાથે, તો સિસ્ટમ (4) અનિશ્ચિત છે. પરિણામે, સિસ્ટમ (1) પણ અનિશ્ચિત છે. SLE (4) માં મુખ્ય અજાણ્યાઓને મુક્ત અજ્ઞાતના સંદર્ભમાં વ્યક્ત કરીને, અમે સિસ્ટમના સામાન્ય ઉકેલ (1) તરીકે ઓળખાતી સિસ્ટમ મેળવીએ છીએ.

ઉદાહરણ. પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલો જીઓસા

ચાલો રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમના વિસ્તૃત મેટ્રિક્સને લખીએ અને પ્રાથમિક પંક્તિ મુજબના રૂપાંતરણોનો ઉપયોગ કરીને, તેને સ્ટેપ મેટ્રિક્સમાં ઘટાડીએ:

~

~
~
~

~ પરિણામી મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરીને, અમે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમને પુનઃસ્થાપિત કરીએ છીએ:
આ સિસ્ટમ મૂળ સિસ્ટમની સમકક્ષ છે. ચાલો આપણે મુખ્ય અજાણ્યા તરીકે લઈએ
મફત અજ્ઞાત. ચાલો મુખ્ય અજાણ્યાઓને ફક્ત મુક્ત અજ્ઞાતના સંદર્ભમાં વ્યક્ત કરીએ:

પ્રાપ્ત સામાન્ય ઉકેલ SLU. પછી દો

(5, 0, -5, 0, 1) – SNL નો ચોક્કસ ઉકેલ.

માટે કાર્યો સ્વતંત્ર નિર્ણય

1. અજાણ્યાઓને દૂર કરીને સમીકરણોની સિસ્ટમ માટે સામાન્ય ઉકેલ અને એક વિશિષ્ટ ઉકેલ શોધો:

1)
2)

4)
6)

2. પર શોધો વિવિધ અર્થોપરિમાણ એસમીકરણોની સિસ્ટમનો સામાન્ય ઉકેલ:

1)
2)

3)
4)

5)
6)

§8. વેક્ટર જગ્યાઓ

વેક્ટર સ્પેસનો ખ્યાલ. સૌથી સરળ ગુણધર્મો.

દો વી ≠ Ø, ( એફ, +,∙) – ક્ષેત્ર. આપણે ફીલ્ડના તત્વોને સ્કેલર્સ કહીશું.

ડિસ્પ્લે φ : એફ× વી –> વીસમૂહના તત્વોના ગુણાકારની કામગીરી કહેવાય છે વીક્ષેત્રમાંથી સ્કેલર્સ માટે એફ. ચાલો સૂચિત કરીએ φ (λ, એ) દ્વારા λaતત્વનું ઉત્પાદન એસ્કેલર માટે λ .

વ્યાખ્યા.ઘણા વીસમૂહના ઘટકો ઉમેરવાની આપેલ બીજગણિત ક્રિયા સાથે વીઅને સમૂહ તત્વોનો ગુણાકાર વીક્ષેત્રમાંથી સ્કેલર્સ માટે એફફીલ્ડ F ઉપરની વેક્ટર સ્પેસ કહેવાય છે જો નીચેના ધરીઓ ધરાવે છે:

ઉદાહરણ. દો એફક્ષેત્ર એફ n = {(a 1 , એ 2 , … , એ n) | a i એફ (i=)). સમૂહના દરેક તત્વ એફ nકહેવાય છે n-પરિમાણીય અંકગણિત વેક્ટર. ચાલો વધારાની કામગીરીનો પરિચય કરીએ n-પરિમાણીય વેક્ટર અને ગુણાકાર n-ક્ષેત્રમાંથી સ્કેલર પર પરિમાણીય વેક્ટર એફ. દો
. ચાલો મૂકીએ = ( a 1 + b 1 , … , a n + b n), = (λ a 1 , λ a 2 , … , λ a n). ઘણા એફ n પરિચયિત કામગીરીના સંદર્ભમાં એ વેક્ટર સ્પેસ છે, અને તેને કહેવામાં આવે છે n- ક્ષેત્ર પર પરિમાણીય અંકગણિત વેક્ટર જગ્યા એફ.

દો વી- ક્ષેત્ર ઉપર વેક્ટર જગ્યા એફ, ,
. નીચેના ગુણધર્મો થાય છે:

1)
;

3)
;

4)
;

મિલકતનો પુરાવો 3.

જૂથમાં ઘટાડાના કાયદા અનુસાર સમાનતાથી ( વી,+) અમારી પાસે છે
.

રેખીય અવલંબન, વેક્ટર સિસ્ટમ્સની સ્વતંત્રતા.

દો વી- ક્ષેત્ર પર વેક્ટર જગ્યા એફ,

. વેક્ટર કહેવાય છે રેખીય સંયોજનવેક્ટર સિસ્ટમો
. વેક્ટર્સની સિસ્ટમના તમામ રેખીય સંયોજનોના સમૂહને આ વેક્ટર્સ સિસ્ટમનો રેખીય ગાળો કહેવામાં આવે છે અને તે દ્વારા સૂચિત કરવામાં આવે છે.

વ્યાખ્યા.જો આવા સ્કેલર્સ અસ્તિત્વમાં હોય તો વેક્ટર્સની સિસ્ટમને રેખીય રીતે આધારિત કહેવામાં આવે છે
બધા શૂન્ય સમાન નથી, તે

જો સમાનતા (1) સંતુષ્ટ છે જો અને માત્ર જો λ 1 = λ 2 = … = =λ m=0, તો વેક્ટરની સિસ્ટમ રેખીય રીતે સ્વતંત્ર કહેવાય છે.

ઉદાહરણ.વેક્ટર્સ સિસ્ટમ છે કે કેમ તે શોધો = (1,-2,2), =(2,0, 1), = (-1, 3, 4) જગ્યા R 3 રેખીય રીતે આશ્રિત અથવા સ્વતંત્ર.

ઉકેલ.ચાલો λ 1, λ 2, λ 3
અને

 |=> (0,0,0) - સિસ્ટમનો ઉકેલ. તેથી, વેક્ટરની સિસ્ટમ રેખીય રીતે સ્વતંત્ર છે.

રેખીય અવલંબન અને વેક્ટર્સની સિસ્ટમની સ્વતંત્રતાના ગુણધર્મો.

1. ઓછામાં ઓછા એક શૂન્ય વેક્ટર ધરાવતી વેક્ટરની સિસ્ટમ રેખીય રીતે આધારિત છે.

2. રેખીય રીતે આશ્રિત સબસિસ્ટમ ધરાવતી વેક્ટરની સિસ્ટમ રેખીય રીતે આધારિત છે.

3. વેક્ટરની સિસ્ટમ, જ્યાં
જો અને માત્ર જો આ સિસ્ટમનો ઓછામાં ઓછો એક વેક્ટર વેક્ટરથી અલગ હોય તો તેની પહેલાના વેક્ટરનું રેખીય સંયોજન હોય તો જ તે રેખીય રીતે નિર્ભર છે.

4. જો વેક્ટરની સિસ્ટમ રેખીય રીતે સ્વતંત્ર હોય, અને વેક્ટર્સની સિસ્ટમ
રેખીય રીતે નિર્ભર, પછી વેક્ટર વેક્ટરના રેખીય સંયોજન તરીકે અને વધુમાં, અનન્ય રીતે રજૂ કરી શકાય છે.

પુરાવો.વેક્ટરની સિસ્ટમ રેખીય રીતે આધારિત હોવાથી
બધા શૂન્ય સમાન નથી, તે

વેક્ટર સમાનતામાં (2) λ m+1 ≠ 0. એમ ધારી રહ્યા છીએ λ m+1 =0, પછીથી (2) => તે અનુસરે છે કે વેક્ટરની સિસ્ટમ રેખીય રીતે આધારિત છે, કારણ કે λ 1 , λ 2 , … , λ mબધા શૂન્ય સમાન નથી. અમે શરત સાથે વિરોધાભાસ પર આવ્યા. (1) => ક્યાંથી
.

ચાલો વેક્ટરને પણ ફોર્મમાં રજૂ કરીએ: પછી વેક્ટર સમાનતામાંથી
વેક્ટરની સિસ્ટમની રેખીય સ્વતંત્રતાને કારણે તે તેનું અનુસરણ કરે છે
1 = β 1 , …, m = β m .

5. વેક્ટરની બે સિસ્ટમો આપવા દો અને
, m>k. જો વેક્ટરની સિસ્ટમના દરેક વેક્ટરને વેક્ટરની સિસ્ટમના રેખીય સંયોજન તરીકે રજૂ કરી શકાય, તો વેક્ટરની સિસ્ટમ રેખીય રીતે આધારિત છે.

આધાર, વેક્ટર સિસ્ટમનો ક્રમ.

અવકાશ વેક્ટરની મર્યાદિત સિસ્ટમ વીમેદાનની ઉપર એફ દ્વારા સૂચવો એસ.

વ્યાખ્યા.વેક્ટરની સિસ્ટમની કોઈપણ રેખીય રીતે સ્વતંત્ર સબસિસ્ટમ એસવેક્ટર સિસ્ટમનો આધાર કહેવાય છે એસ, જો સિસ્ટમના કોઈપણ વેક્ટર એસવેક્ટરની સિસ્ટમના રેખીય સંયોજન તરીકે રજૂ કરી શકાય છે.

ઉદાહરણ.વેક્ટર સિસ્ટમનો આધાર શોધો = (1, 0, 0), = (0, 1, 0),

= (-2, 3, 0) R 3 . વેક્ટર્સની સિસ્ટમ રેખીય રીતે સ્વતંત્ર છે, કારણ કે, ગુણધર્મ 5 મુજબ, વેક્ટરની સિસ્ટમ શૈક્ષણિક હોવાથી વેક્ટરની સિસ્ટમમાંથી મેળવવામાં આવે છે. ભથ્થું મૂળભૂતઇલેક્ટ્રોમેકનોટ્રોનિક્સ: શૈક્ષણિકભથ્થું મૂળભૂતઇલેક્ટ્રિકલ એન્જિનિયરિંગ" ;...

પ્રાથમિક પરિવર્તનોમાં નીચેનાનો સમાવેશ થાય છે:

1) એક સમીકરણની બંને બાજુએ બીજાના અનુરૂપ ભાગો ઉમેરીને, સમાન સંખ્યા વડે ગુણાકાર, શૂન્યની બરાબર નહીં.

2) સમીકરણો ફરીથી ગોઠવો.

3) સિસ્ટમ સમીકરણોમાંથી દૂર કરવું જે તમામ x માટે ઓળખ છે.

ક્રોનેકર-કેપેલી પ્રમેય

(સિસ્ટમ સુસંગતતા સ્થિતિ)

(લિયોપોલ્ડ ક્રોનેકર (1823-1891) જર્મન ગણિતશાસ્ત્રી)

પ્રમેય: સિસ્ટમ સુસંગત હોય છે (ઓછામાં ઓછો એક ઉકેલ હોય છે) જો અને માત્ર જો સિસ્ટમ મેટ્રિક્સનો ક્રમ વિસ્તૃત મેટ્રિક્સના ક્રમની સમાન હોય.

દેખીતી રીતે, સિસ્ટમ (1) આ રીતે લખી શકાય છે:

x 1 + x 2 + … + x n

પુરાવો.

1) જો કોઈ સોલ્યુશન અસ્તિત્વમાં હોય, તો ફ્રી ટર્મ્સની કૉલમ એ મેટ્રિક્સ Aના કૉલમનું રેખીય સંયોજન છે, જેનો અર્થ છે કે આ કૉલમને મેટ્રિક્સમાં ઉમેરવું, એટલે કે. સંક્રમણ А®А * રેન્ક બદલશો નહીં.

2) જો RgA = RgA * હોય, તો આનો અર્થ એ થાય કે તેમની પાસે સમાન મૂળભૂત ગૌણ છે. ફ્રી ટર્મ્સની કૉલમ એ બેઝિસ માઇનોરના કૉલમનું રેખીય સંયોજન છે, તેથી ઉપરની નોટેશન સાચી છે.

ઉદાહરણ.રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમની સુસંગતતા નક્કી કરો:

~ . RgA = 2.

A* = RgA* = 3.

સિસ્ટમ અસંગત છે.

ઉદાહરણ.રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમની સુસંગતતા નક્કી કરો.

એ = ; = 2 + 12 = 14 ¹ 0; RgA = 2;

A* =

RgA* = 2.

સિસ્ટમ સહયોગી છે. ઉકેલો: x 1 = 1; x 2 =1/2.

2.6 ગૌસ પદ્ધતિ

(કાર્લ ફ્રેડરિક ગૌસ (1777-1855) જર્મન ગણિતશાસ્ત્રી)

મેટ્રિક્સ પદ્ધતિ અને ક્રેમરની પદ્ધતિથી વિપરીત, ગૌસીયન પદ્ધતિને રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમમાં સમીકરણો અને અજાણ્યાઓની મનસ્વી સંખ્યા સાથે લાગુ કરી શકાય છે. પદ્ધતિનો સાર એ અજાણ્યાઓને ક્રમિક દૂર કરવાનો છે.

રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમનો વિચાર કરો:

1લા સમીકરણની બંને બાજુઓને 11 ¹ 0 વડે વિભાજીત કરો, પછી:

1) 21 વડે ગુણાકાર કરો અને બીજા સમીકરણમાંથી બાદબાકી કરો

2) 31 વડે ગુણાકાર કરો અને ત્રીજા સમીકરણમાંથી બાદબાકી કરો

, ક્યાં d 1 j = a 1 j /a 11, j = 2, 3, …, n+1.

d ij = a ij – a i1 d 1j i = 2, 3, … , n; j = 2, 3, … , n+1.

ઉદાહરણ.ગૌસ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલો.

, જ્યાંથી આપણે મેળવીએ છીએ: x 3 = 2; x 2 = 5; x 1 = 1.

ઉદાહરણ.ગૌસીયન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સિસ્ટમ ઉકેલો.

ચાલો સિસ્ટમનું વિસ્તૃત મેટ્રિક્સ બનાવીએ.

આમ, મૂળ સિસ્ટમને આ રીતે રજૂ કરી શકાય છે:

, જ્યાંથી આપણે મેળવીએ છીએ: z = 3; y = 2; x = 1.

મેળવેલ જવાબ ક્રેમર પદ્ધતિ અને મેટ્રિક્સ પદ્ધતિ દ્વારા આ સિસ્ટમ માટે મેળવેલ જવાબ સાથે મેળ ખાય છે.

તેને જાતે હલ કરવા માટે:

જવાબ: (1, 2, 3, 4).

વિષય 3. વેક્ટર બીજગણિતના તત્વો

મૂળભૂત વ્યાખ્યાઓ

વ્યાખ્યા.વેક્ટરનિર્દેશિત સેગમેન્ટ કહેવાય છે (પોઈન્ટની ઓર્ડર કરેલ જોડી). વેક્ટર્સનો પણ સમાવેશ થાય છે નલએક વેક્ટર જેની શરૂઆત અને અંત એકરૂપ છે.

વ્યાખ્યા.લંબાઈ (મોડ્યુલ)વેક્ટર એ વેક્ટરની શરૂઆત અને અંત વચ્ચેનું અંતર છે.

વ્યાખ્યા. વેક્ટર કહેવામાં આવે છે સમરેખા, જો તેઓ સમાન અથવા સમાંતર રેખાઓ પર સ્થિત હોય. નલ વેક્ટર કોઈપણ વેક્ટર માટે સમરેખા હોય છે.

વ્યાખ્યા. વેક્ટર કહેવામાં આવે છે કોપ્લાનર, જો ત્યાં કોઈ પ્લેન હોય કે જેની તેઓ સમાંતર હોય.

કોલિનિયર વેક્ટર હંમેશા કોપ્લાનર હોય છે, પરંતુ બધા કોપ્લાનર વેક્ટર કોલિનિયર હોતા નથી.

વ્યાખ્યા. વેક્ટર કહેવામાં આવે છે સમાન, જો તેઓ સમરેખા હોય, સમાન રીતે નિર્દેશિત હોય અને સમાન મોડ્યુલો હોય.

બધા વેક્ટરને સામાન્ય મૂળમાં લાવી શકાય છે, એટલે કે. વેક્ટર્સ બનાવો જે અનુક્રમે ડેટાની સમાન હોય અને સામાન્ય મૂળ હોય. વેક્ટરની સમાનતાની વ્યાખ્યા પરથી તે અનુસરે છે કે કોઈપણ વેક્ટરમાં તેના સમાન ઘણા વેક્ટર્સ હોય છે.

વ્યાખ્યા.રેખીય કામગીરીઓવર વેક્ટરને સંખ્યા વડે સરવાળો અને ગુણાકાર કહેવામાં આવે છે.

વેક્ટરનો સરવાળો વેક્ટર છે -

કામ - , અને સમરેખા છે.

વેક્ટર વેક્ટર ( ) જો a > 0 સાથે સહદિશાત્મક છે.

વેક્ટરને વેક્ટર ( ¯ ) સાથે વિરુદ્ધ નિર્દેશિત કરવામાં આવે છે, જો a< 0.

વેક્ટરના ગુણધર્મો

1) + = + - કોમ્યુટેટીવીટી.

2) + ( + ) = ( + )+

5) (a×b) = a(b) - સહયોગીતા

6) (a+b) = a + b - વિતરણ

7) a(+ ) = a + a

વ્યાખ્યા.

1) આધારઅવકાશમાં ચોક્કસ ક્રમમાં લેવાયેલા કોઈપણ 3 નોન-કોપ્લાનર વેક્ટર કહેવામાં આવે છે.

2) આધારપ્લેન પર ચોક્કસ ક્રમમાં લેવાયેલા કોઈપણ 2 નોન-કોલિનિયર વેક્ટર કહેવામાં આવે છે.

3)આધારરેખા પર કોઈપણ બિન-શૂન્ય વેક્ટર કહેવાય છે.

નીચે આપણે ચલોની વધારાની વ્યાખ્યાના ક્ષેત્ર પર રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમોને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ. રેખીય સમીકરણોની બે પ્રણાલીઓ સમકક્ષ કહેવાય છે જો કોઈપણ સિસ્ટમનો દરેક ઉકેલ બીજી સિસ્ટમનો ઉકેલ હોય.

નીચેના વાક્યો સમાનતાના ગુણધર્મોને વ્યક્ત કરે છે જે સમાનતાની વ્યાખ્યા અને સિસ્ટમોની સુસંગતતાના ઉપરોક્ત ગુણધર્મોને અનુસરે છે.

દરખાસ્ત 2.2. રેખીય સમીકરણોની બે પ્રણાલીઓ સમકક્ષ હોય છે જો અને માત્ર જો આ દરેક પ્રણાલી અન્ય સિસ્ટમનું પરિણામ હોય.

દરખાસ્ત 2.3. રેખીય સમીકરણોની બે સિસ્ટમો સમકક્ષ હોય છે જો અને માત્ર જો એક સિસ્ટમના તમામ ઉકેલોનો સમૂહ બીજી સિસ્ટમના તમામ ઉકેલોના સમૂહ સાથે મેળ ખાતો હોય.

દરખાસ્ત 2.4. રેખીય સમીકરણોની બે પ્રણાલીઓ સમકક્ષ હોય છે જો અને માત્ર જો આ પ્રણાલીઓ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત અનુમાન સમકક્ષ હોય.

વ્યાખ્યા. નીચેના રૂપાંતરણોને રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમના પ્રાથમિક પરિવર્તન કહેવામાં આવે છે:

(a) સિસ્ટમના કેટલાક સમીકરણની બંને બાજુઓને નોનઝીરો સ્કેલર વડે ગુણાકાર કરવો;

(પી) સિસ્ટમના કોઈપણ સમીકરણની બંને બાજુએ સિસ્ટમના અન્ય સમીકરણના અનુરૂપ ભાગોને સ્કેલર દ્વારા ગુણાકાર કરીને (બાદબાકી કરવી);

સિસ્ટમમાંથી બાકાત અથવા શૂન્ય ગુણાંક અને શૂન્ય મુક્ત શબ્દ સાથેના રેખીય સમીકરણની સિસ્ટમમાં ઉમેરો.

પ્રમેય 2.5. જો પ્રાથમિક પરિવર્તનની સાંકળના પરિણામે રેખીય સમીકરણોની એક સિસ્ટમ બીજી રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમમાંથી મેળવવામાં આવે છે, તો આ બે સિસ્ટમો સમાન છે.

પુરાવો. તંત્રને આપવા દો

જો આપણે તેના સમીકરણોમાંથી એકનો ગુણાકાર કરીએ, ઉદાહરણ તરીકે પ્રથમ એક, નોન-ઝીરો સ્કેલર X દ્વારા, આપણે સિસ્ટમ મેળવીએ છીએ

સિસ્ટમનો દરેક ઉકેલ (1) એ સિસ્ટમ (2) નો ઉકેલ પણ છે.

તેનાથી વિપરીત: જો - સિસ્ટમનો કોઈપણ ઉકેલ (2),

પછી, પ્રથમ સમાનતાને અનુગામી સમાનતાઓ દ્વારા અને બદલ્યા વિના ગુણાકાર કરીને, આપણે સમાનતાઓ મેળવીએ છીએ જે દર્શાવે છે કે વેક્ટર સિસ્ટમનો ઉકેલ છે (1). પરિણામે, સિસ્ટમ (2) મૂળ સિસ્ટમ (1) ની સમકક્ષ છે. તે ચકાસવું પણ સરળ છે કે સિસ્ટમ (1) માં પ્રાથમિક પરિવર્તન (P) ની એક જ એપ્લિકેશન મૂળ સિસ્ટમ (1) ની સમકક્ષ સિસ્ટમ તરફ દોરી જાય છે. સમકક્ષતા સંબંધ સંક્રમક હોવાથી, પ્રાથમિક રૂપાંતરણનો વારંવાર ઉપયોગ મૂળ સિસ્ટમ (1) ની સમકક્ષ સમીકરણોની સિસ્ટમ તરફ દોરી જાય છે.

કોરોલેરી 2.6. જો તમે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમના સમીકરણોમાંના એકમાં સિસ્ટમના અન્ય સમીકરણોનું રેખીય સંયોજન ઉમેરશો, તો તમને સમીકરણોની સિસ્ટમ મળશે જે મૂળ સમકક્ષ છે.

કોરોલેરી 2.7. જો તમે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમમાંથી બાકાત કરો છો અથવા તેમાં એક સમીકરણ ઉમેરો છો જે સિસ્ટમના અન્ય સમીકરણોનું રેખીય સંયોજન છે, તો તમને સમીકરણોની સિસ્ટમ મળશે જે મૂળ સિસ્ટમની સમકક્ષ છે.