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Entre les différents phénomènes et leurs caractéristiques, il faut tout d'abord distinguer 2 types de connexions : fonctionnelles (rigidement déterminées) et statistiques (stochastiquement déterminées).

Conformément à l'idée strictement déterministe du fonctionnement des systèmes économiques, la nécessité et la régularité se manifestent clairement dans chaque phénomène individuel, c'est-à-dire que toute action provoque un résultat strictement défini ; les influences aléatoires (imprévues à l’avance) sont négligées. Par conséquent, pour donné conditions initiales l'état d'un tel système peut être déterminé avec une probabilité égale à 1. Un type d'un tel modèle est une connexion fonctionnelle.

Connexion des fonctionnalités à avec signe X est dit fonctionnel si chaque valeur possible d'une caractéristique indépendante X correspond à 1 ou plusieurs valeurs strictement définies de la caractéristique dépendante à. La définition d'une relation fonctionnelle peut être facilement généralisée au cas de nombreux traits X 1 ,X 2 … X n .

Un trait caractéristique des connexions fonctionnelles est que dans chaque cas individuel, une liste complète de facteurs qui déterminent la valeur de la caractéristique dépendante (résultante) est connue, ainsi que le mécanisme exact de leur influence, exprimé par une certaine équation.

La relation fonctionnelle peut être représentée par l'équation :

oui je =  (x je ) ,

Où oui je- signe efficace ( je = 1, … , n);

f(x je ) - une fonction connue du lien entre les caractéristiques résultantes et factorielles ;

x je- signe du facteur.

Dans la vie sociale réelle, en raison du caractère incomplet de l'information dans un système strictement déterminé, une incertitude peut survenir, à cause de laquelle ce système, par nature, doit être considéré comme probabiliste, tandis que la relation entre les signes devient stochastique.

Couplage stachastique est une relation entre des quantités dans laquelle l'une d'elles, une variable aléatoire à, répond aux changements dans une autre quantité X ou d'autres quantités X 1 ,X 2 … X n(aléatoire ou non) en changeant la loi de distribution. Cela est dû au fait que la variable dépendante (attribut résultant), en plus des variables indépendantes considérées, est soumise à l'influence d'un certain nombre de facteurs non pris en compte ou incontrôlés (aléatoires), ainsi que de certaines erreurs inévitables dans le mesure des variables. Étant donné que les valeurs de la variable dépendante sont soumises à une dispersion aléatoire, elles ne peuvent pas être prédites avec suffisamment de précision, mais seulement indiquées avec une certaine probabilité.

Un trait caractéristique des connexions stochastiques est qu'elles se manifestent dans l'ensemble de l'agrégat et non dans chacune de ses unités. De plus, ni une liste complète des facteurs qui déterminent la valeur d'une caractéristique efficace, ni le mécanisme exact de leur fonctionnement et de leur interaction avec la caractéristique efficace ne sont connus. Il y a toujours l’influence du hasard. Les différentes valeurs de la variable dépendante qui apparaissent sont la réalisation d'une variable aléatoire.

Modèle de communication stochastique peut être représenté sous forme générale par l’équation :

ŷ je =  (x je ) +  je ,

Où ŷ je- valeur calculée de la caractéristique résultante ;

f(x je ) - une partie de la caractéristique résultante, formée sous l'influence des caractéristiques factorielles connues (une ou plusieurs) prises en compte, qui sont en lien stochastique avec la caractéristique ;

 je- une partie de la caractéristique résultante résultant de l'action de facteurs incontrôlés ou non comptabilisés, ainsi que la mesure des caractéristiques, qui s'accompagne inévitablement de certaines erreurs aléatoires.

La manifestation des relations stochastiques est affectée par loi des grands nombres: ce n'est que dans un nombre suffisamment grand d'unités que les caractéristiques individuelles seront lissées, les hasards s'annuleront et la dépendance, si elle a une force significative, apparaîtra assez clairement.

Corrélation existe là où les phénomènes interdépendants sont caractérisés uniquement par des variables aléatoires. Avec une telle connexion, la valeur moyenne (espérance mathématique) de la variable aléatoire de la caractéristique résultante à change naturellement en fonction des changements dans une autre quantité X ou d'autres variables aléatoires X 1 ,X 2 … X n. La corrélation ne se manifeste pas dans chaque cas individuel, mais dans l'ensemble de la population. Uniquement avec un nombre suffisamment grand d'observations pour chaque valeur d'une caractéristique aléatoire X correspondra à la distribution des valeurs moyennes de la caractéristique aléatoire à. La présence de corrélations est inhérente à de nombreux phénomènes sociaux.

Corrélation– un concept plus étroit que le couplage stochastique. Cette dernière peut se traduire non seulement par un changement de la valeur moyenne, mais aussi par la variation d'une caractéristique en fonction d'une autre, c'est-à-dire de toute autre caractéristique de variation. Ainsi, une connexion de corrélation est un cas particulier de connexion stochastique.

Connexions directes et arrière. Selon le sens de l'action, les connexions fonctionnelles et stochastiques peuvent être directes et inverses. Avec une connexion directe, la direction de changement de la caractéristique effective coïncide avec la direction de changement de la caractéristique factorielle, c'est-à-dire qu'avec une augmentation de la caractéristique factorielle, la caractéristique effective augmente également et, à l'inverse, avec une diminution de la caractéristique du facteur, la caractéristique effective diminue également. Sinon, il existe des liens de rétroaction entre les quantités considérées. Par exemple, plus les qualifications (grades) du travailleur sont élevées, plus le niveau de productivité du travail est élevé – une relation directe. Et plus la productivité du travail est élevée, plus le coût par unité de production est faible - rétroaction.

Connexions droites et curvilignes. Selon l'expression analytique (forme), les connexions peuvent être rectilignes ou curvilignes. Dans une relation linéaire, avec une augmentation de la valeur d'une caractéristique factorielle, il y a une augmentation (ou une diminution) continue des valeurs de la caractéristique résultante. Mathématiquement, une telle relation est représentée par une équation en ligne droite et graphiquement par une ligne droite. D'où son nom plus court – connexion linéaire. Avec des relations curvilignes, avec une augmentation de la valeur d'une caractéristique factorielle, l'augmentation (ou la diminution) de la caractéristique résultante se produit de manière inégale, ou la direction de son changement est inversée. Géométriquement, ces connexions sont représentées par des lignes courbes (hyperbole, parabole, etc.).

Relations unifactorielles et multifactorielles. Selon le nombre de facteurs agissant sur un trait efficace, les relations diffèrent : monofacteur (un facteur) et multifacteur (deux facteurs ou plus). Les relations à facteur unique (simples) sont généralement appelées paires (puisqu'une paire de caractéristiques est considérée). Par exemple, la corrélation entre profit et productivité du travail. Dans le cas d'une connexion multifactorielle (multiple), cela signifie que tous les facteurs agissent de manière complexe, c'est-à-dire simultanément et en relation. Par exemple, la corrélation entre la productivité du travail et le niveau d'organisation du travail, l'automatisation de la production, les qualifications des travailleurs, l'expérience de production, les temps d'arrêt et d'autres caractéristiques des facteurs. En utilisant la corrélation multiple, vous pouvez couvrir l'ensemble des caractéristiques factorielles et refléter objectivement les multiples connexions existantes.

Dépendance empirique stochastique

La dépendance entre variables aléatoires est appelée dépendance stochastique. Elle se manifeste par un changement dans la loi de distribution de l'un d'eux (la variable dépendante) lorsque les autres (les arguments) changent.

Dépendance empirique graphiquement stochastique, dans le système de coordonnées variable dépendante - arguments, est un ensemble de points situés de manière aléatoire qui reflète la tendance générale du comportement de la variable dépendante lorsque les arguments changent.

Une dépendance empirique stochastique à l’égard d’un argument est appelée dépendance de paire ; s’il y a plus d’un argument, elle est appelée dépendance multidimensionnelle. Exemple de hammam dépendance linéaire montré sur la fig. 1.()

Riz. 1.

Contrairement à la dépendance fonctionnelle habituelle, dans laquelle les changements de valeur d'un argument (ou de plusieurs arguments) correspondent à un changement d'une variable dépendante déterministe, dans une dépendance stochastique, il y a un changement dans la distribution statistique d'une variable dépendante aléatoire, en particulier , l'espérance mathématique.

Problème de modélisation mathématique (approximation)

La construction de la dépendance stochastique est autrement appelée modélisation mathématique(approximation) ou approximation et consiste à trouver son expression mathématique (formule).

Une formule (fonction) établie empiriquement, qui reflète une relation vraie pas toujours connue, mais objectivement existante et qui correspond à la relation fondamentale, stable et répétitive entre les objets, les phénomènes ou leurs propriétés, est considérée comme un modèle mathématique.

La relation stable des choses et leur véritable dépendance. qu'elle soit modélisée ou non, elle existe objectivement, a une expression mathématique et est considérée comme une loi ou sa conséquence.

Si une loi appropriée ou une conséquence de celle-ci est connue, il est alors naturel de la considérer comme la dépendance analytique souhaitée. Par exemple, la dépendance empirique de la force actuelle je dans le circuit de tension U et résistance à la charge R. découle de la loi d'Ohm :

Malheureusement, la véritable dépendance des variables dans la grande majorité des cas est inconnue a priori, il est donc nécessaire de la détecter, sur la base de considérations générales et de concepts théoriques, c'est-à-dire en construisant un modèle mathématique du modèle en question. Il est pris en compte que les variables données et leurs incréments dans le contexte de fluctuations aléatoires reflètent propriétés mathématiques la vraie dépendance souhaitée (comportement des tangentes, des extrema, des racines, des asymptotes, etc.)

La fonction d'approximation sélectionnée d'une manière ou d'une autre lisse (fait la moyenne) des fluctuations aléatoires des valeurs empiriques initiales de la variable dépendante et, supprimant ainsi la composante aléatoire, est une approximation de la composante régulière et, par conséquent, de la désirait une véritable dépendance.

Le modèle mathématique de la dépendance empirique a des fondements théoriques et signification pratique:

· vous permet d'établir l'adéquation des données expérimentales à l'une ou l'autre loi connue et d'identifier de nouveaux modèles ;

· résout pour la variable dépendante le problème de l'interpolation dans un intervalle donné de valeurs d'argument et de prédiction (extrapolation) en dehors de l'intervalle.

Cependant, malgré le grand intérêt théorique de trouver une formule mathématique pour la dépendance des quantités, en pratique, il suffit souvent de déterminer s'il existe un lien entre elles et quelle est sa force.

La tâche de l'analyse de corrélation

Une méthode pour étudier la relation entre des quantités changeantes est l'analyse de corrélation.

Le concept clé de l'analyse de corrélation qui décrit la relation entre les variables est la corrélation (de l'anglais corrélation - coordination, connexion, relation, relation, interdépendance).

L'analyse de corrélation est utilisée pour détecter la dépendance stochastique et évaluer sa force (signification) par l'ampleur des coefficients de corrélation et du rapport de corrélation.

Si une relation est trouvée entre les variables, alors la corrélation est dite présente ou les variables sont corrélées.

Les indicateurs de proximité de la connexion (coefficient de corrélation, rapport de corrélation) modulo varient de 0 (en l'absence de connexion) à 1 (en cas de dégénérescence de la dépendance stochastique en dépendance fonctionnelle).

Une relation stochastique est considérée comme significative (réelle) si l'estimation absolue du coefficient de corrélation (rapport de corrélation) est significative, c'est-à-dire 2 à 3 supérieure à l'écart type de l'estimation du coefficient.

Notez que dans certains cas, un lien peut être trouvé entre des phénomènes qui ne sont pas liés à des relations de cause à effet évidentes.

Par exemple, pour certaines zones rurales, une relation stochastique directe a été identifiée entre le nombre de cigognes nicheuses et les enfants nés. Le décompte printanier des cigognes permet de prédire combien d'enfants naîtront cette année, mais la dépendance, bien entendu, ne prouve pas la croyance bien connue, et s'explique par des processus parallèles :

· la naissance des enfants est généralement précédée de la formation et de l'établissement de nouvelles familles avec l'établissement maisons rurales et les fermes ;

· L'augmentation des possibilités de nidification attire les oiseaux et augmente leur nombre.

Une telle corrélation entre caractéristiques est appelée fausse corrélation (imaginaire), même si elle peut avoir une signification pratique.

Supposons qu'il soit nécessaire d'étudier la dépendance et que les deux quantités soient mesurées dans les mêmes expériences. Pour ce faire, une série d’expériences est réalisée à différentes significations en essayant de garder les autres conditions expérimentales inchangées.

La mesure de chaque grandeur contient des erreurs aléatoires (nous ne considérerons pas ici les erreurs systématiques) ; par conséquent, ces valeurs sont aléatoires.

La relation naturelle entre variables aléatoires est appelée stochastique. Nous considérerons deux problèmes :

a) établir s'il existe (avec une certaine probabilité) une dépendance ou si la valeur ne dépend pas de ;

b) si la dépendance existe, décrivez-la quantitativement.

La première tâche est appelée analyse de variance, et si une fonction de plusieurs variables est considérée, alors analyse de variance multivariée. La deuxième tâche est appelée analyse de régression. Si les erreurs aléatoires sont importantes, elles peuvent alors masquer la dépendance souhaitée et il peut être difficile de l’identifier.

Ainsi, il suffit de considérer une variable aléatoire dépendant de comme paramètre. L'espérance mathématique de cette valeur dépend du fait que cette dépendance soit celle souhaitée et est appelée loi de régression.

Analyse de variance. Effectuons une petite série de mesures pour chaque valeur et déterminons. Considérons deux manières de traiter ces données, nous permettant de déterminer s'il existe une dépendance significative (c'est-à-dire avec une probabilité de confiance acceptée) de z sur

Dans la première méthode, les normes d'échantillonnage d'une seule mesure sont calculées pour chaque série séparément et pour l'ensemble des mesures :

où est le nombre total de mesures, et

sont les valeurs moyennes, respectivement, pour chaque série et pour l'ensemble des mesures.

Comparons la variance d'un ensemble de mesures avec les variances de séries individuelles. S'il s'avère qu'au niveau de confiance choisi, il est possible de calculer pour tout i, alors il existe une dépendance de z par rapport à.

S'il n'y a pas d'excès fiable, la dépendance ne peut pas être détectée (compte tenu de la précision de l'expérience et de la méthode de traitement adoptée).

Les variances sont comparées à l'aide du test de Fisher (30). Puisque la norme s est déterminée par le nombre total de mesures N, qui est généralement assez grand, vous pouvez presque toujours utiliser les coefficients de Fisher donnés dans le tableau 25.

La deuxième méthode d'analyse consiste à comparer les moyennes de différentes valeurs entre elles. Les valeurs sont aléatoires et indépendantes, et leurs propres normes d'échantillonnage sont égales à

Par conséquent, ils sont comparés selon le schéma de mesures indépendantes décrit au paragraphe 3. Si les différences sont significatives, c'est-à-dire dépassent l'intervalle de confiance, alors le fait de dépendance a été établi ; si les différences entre les 2 sont insignifiantes, alors la dépendance ne peut pas être détectée.

L'analyse multivariée présente certaines fonctionnalités. Il est conseillé de mesurer la valeur aux nœuds d'une grille rectangulaire afin qu'il soit plus pratique d'étudier la dépendance à un argument en fixant un autre argument. Effectuer une série de mesures à chaque nœud d’une grille multidimensionnelle demande trop de main d’œuvre. Il suffit d'effectuer une série de mesures en plusieurs points de la grille pour estimer la dispersion d'une seule mesure ; dans d'autres nœuds, nous pouvons nous limiter à des mesures uniques. L'analyse de variance est réalisée selon la première méthode.

Remarque 1. S'il existe de nombreuses mesures, alors dans les deux méthodes, des mesures individuelles ou des séries peuvent, avec une probabilité notable, s'écarter assez fortement de leur espérance mathématique. Ceci doit être pris en compte lors du choix d'une probabilité de confiance suffisamment proche de 1 (comme cela a été fait pour fixer les limites séparant les erreurs aléatoires tolérées des erreurs grossières).

Analyse de régression. Laissez l'analyse de variance indiquer que la dépendance de z sur est. Comment le quantifier ?

Pour ce faire, nous approchons la dépendance souhaitée avec une fonction. Nous trouvons les valeurs optimales des paramètres à l'aide de la méthode. moindres carrés résoudre le problème

où sont les poids de mesure, sélectionnés en proportion inverse du carré de l'erreur de mesure en un point donné (c'est-à-dire ). Ce problème a été analysé au chapitre II, § 2. Nous nous attarderons ici uniquement sur les caractéristiques causées par la présence d'erreurs aléatoires importantes.

Le type est choisi soit à partir de considérations théoriques sur la nature de la dépendance, soit formellement, en comparant le graphique avec des graphiques de fonctions connues. Si la formule est choisie à partir de considérations théoriques et traduit correctement (du point de vue théorique) les asymptotiques, elle permet généralement non seulement de bien se rapprocher de l'ensemble des données expérimentales, mais également d'extrapoler la dépendance trouvée à d'autres plages de valeurs. Une fonction formellement sélectionnée peut décrire l’expérience de manière satisfaisante, mais se prête rarement à une extrapolation.

Il est plus facile de résoudre le problème (34) s’il s’agit d’un polynôme algébrique. Cependant, un tel choix formel de fonction s’avère rarement satisfaisant. En règle générale, les bonnes formules dépendent de paramètres de manière non linéaire (régression transcendantale). Il est plus pratique de construire une régression transcendantale en sélectionnant un remplacement nivelant des variables de manière à ce que la dépendance soit presque linéaire (voir chapitre II, § 1, paragraphe 8). Il est alors facile de l'approcher par un polynôme algébrique : .

Un changement de nivellement des variables est recherché en utilisant des considérations théoriques et en tenant compte des asymptotiques. Nous supposerons en outre qu'un tel changement a déjà été effectué.

Remarque 2. Lors du passage à de nouvelles variables, le problème de la méthode des moindres carrés (34) prend la forme

où les nouveaux poids sont liés aux relations d'origine

Par conséquent, même si dans la formulation originale (34) toutes les mesures avaient la même précision, les poids des variables de nivellement ne seront pas les mêmes.

Analyse de corrélation. Il est nécessaire de vérifier si le remplacement des variables a été véritablement nivelant, c'est-à-dire si la dépendance est proche du linéaire. Cela peut être fait en calculant le coefficient de corrélation de paire

Il est facile de montrer que la relation est toujours satisfaite

Si la dépendance est strictement linéaire (et ne contient pas d'erreurs aléatoires), alors ou dépend du signe de la pente de la droite. Plus la dépendance est petite, moins elle ressemble à une dépendance linéaire. Par conséquent, si , et que le nombre de mesures N est suffisamment grand, alors les variables de nivellement sont choisies de manière satisfaisante.

De telles conclusions sur la nature de la dépendance basées sur les coefficients de corrélation sont appelées analyse de corrélation.

L'analyse de corrélation ne nécessite pas de prendre une série de mesures en chaque point. Il suffit de faire une mesure en chaque point, mais ensuite de prendre plusieurs points sur la courbe étudiée, ce qui est souvent fait lors d'expériences physiques.

Remarque 3. Il existe des critères de proximité qui permettent d'indiquer si la dépendance est pratiquement linéaire. Nous ne nous y attarderons pas, puisque le choix du degré du polynôme d'approximation sera examiné ci-dessous.

Remarque 4. Le rapport indique l'absence de dépendance linéaire mais ne signifie pas l'absence de toute dépendance. Donc, si sur un segment - alors

Polynôme de degré optimal a. Remplaçons un polynôme de degré approximatif dans le problème (35) :

Ensuite, les valeurs optimales des paramètres satisfont le système équations linéaires (2.43):

et ils ne sont pas difficiles à trouver. Mais comment choisir le degré d’un polynôme ?

Pour répondre à cette question, revenons aux variables d'origine et calculons la variance de la formule d'approximation avec les coefficients trouvés. Une estimation impartiale de cette variance est

Évidemment, à mesure que le degré du polynôme augmente, la dispersion (40) diminuera : plus on prend de coefficients, plus les points expérimentaux pourront être approximés avec précision.