Que la fonction soit maintenant connue. Sur la fig. 5.10
Et
 vecteurs vitesse d'un point en mouvement à des instants t et  t. Pour obtenir l'incrément du vecteur vitesse
déplacer le vecteur parallèlement
au point M.:

Accélération moyenne d'un point sur une période de temps  t est appelé rapport d'incrément du vecteur vitesse
à une période de temps t:

Ainsi, accélération d'un point à à l'heure actuelle le temps est égal à la dérivée première par rapport au temps du vecteur vitesse du point ou à la dérivée seconde du vecteur rayon par rapport au temps

. (5.11)

Accélération ponctuelle il s'agit d'une quantité vectorielle qui caractérise le taux de variation du vecteur vitesse au fil du temps.

Construisons un hodographe de vitesse (Fig. 5.11). Par définition, l'hodographe de vitesse est la courbe tracée par la fin du vecteur vitesse lorsqu'un point se déplace, si le vecteur vitesse est tracé à partir du même point.

Détermination de la vitesse d'un point à l'aide de la méthode des coordonnées pour spécifier son mouvement

Supposons que le mouvement d'un point soit spécifié par la méthode des coordonnées dans Système cartésien coordonnées

X = x(t), oui = oui(t), z = z(t)

Le rayon vecteur d'un point est égal à

.

Puisque les vecteurs unitaires
sont constants, alors par définition

. (5.12)

Notons les projections du vecteur vitesse sur l'axe Oh, Oh Et Ozà travers V x , V oui , V z

(5.13)

En comparant les égalités (5.12) et (5.13) on obtient

(5.14)

Dans ce qui suit, la dérivée par rapport au temps sera notée par le point ci-dessus, c'est-à-dire

.

Le module de vitesse d'un point est déterminé par la formule

. (5.15)

La direction du vecteur vitesse est déterminée par les cosinus directeurs :

Détermination de l'accélération d'un point à l'aide de la méthode des coordonnées pour spécifier son mouvement

Le vecteur vitesse dans le système de coordonnées cartésiennes est égal à

.

Par définition

Notons les projections du vecteur accélération sur l'axe Oh, Oh Et Ozà travers UN x , UN oui , UN z En conséquence, nous développons le vecteur vitesse le long des axes :

. (5.17)

En comparant les égalités (5.16) et (5.17) on obtient

Le module du vecteur accélération ponctuelle est calculé de la même manière que le module du vecteur vitesse ponctuelle :

, (5.19)

et la direction du vecteur accélération est par cosinus directeurs :

Déterminer la vitesse et l'accélération d'un point en utilisant la méthode naturelle de spécification de son mouvement

Orty Et faire la grasse matinée plan osculateur, vecteurs unitaires Et V plan normal, vecteurs unitaires Et - dans plan de redressement.

Le trièdre obtenu est dit naturel.

Soit la loi du mouvement ponctuel s = s(t).

Vecteur de rayon points M. par rapport à tout point fixe sera une fonction complexe du temps
.

De la géométrie différentielle, on connaît les formules de Serre-Frenet, établissant des connexions entre les vecteurs unitaires des axes naturels et la fonction vectorielle de la courbe

où  est le rayon de courbure de la trajectoire.

En utilisant la définition de la vitesse et la formule de Serre-Frenet, on obtient :

. (5.20)

Désignant la projection de la vitesse sur la tangente et en tenant compte du fait que le vecteur vitesse est dirigé tangentiellement, on a

. (5.21)

En comparant les égalités (5.20) et (5.21), nous obtenons des formules pour déterminer le vecteur vitesse en amplitude et en direction

Ampleur positif si le point M. se déplace dans le sens positif de la référence d'arc s et négatif dans le cas contraire.

En utilisant la définition de l'accélération et la formule de Serre-Frenet, on obtient :

Notons la projection de l'accélération du point sur une tangente , principal normal et binormal
respectivement.

Alors l’accélération est

Des formules (5.23) et (5.24), il s'ensuit que le vecteur accélération se trouve toujours dans le plan de contact et se développe dans les directions Et :

(5.25)

Projection de l'accélération sur une tangente
appelé tangente ou accélération tangentielle. Il caractérise le changement de vitesse.

Projection de l'accélération sur la normale principale
appelé accélération normale.

Il caractérise l'évolution du vecteur vitesse en direction.
.

La norme du vecteur accélération est égale à Et Si

La norme du vecteur accélération est égale à Et du même signe, alors le mouvement de la pointe sera accéléré.

différents signes, alors le mouvement de la pointe sera lent.

Trajectoire de mouvement d'un point matériel à travers le rayon vecteur Ayant oublié cette partie des mathématiques, dans ma mémoire les équations du mouvement point matériel ont toujours été représentés par la dépendance qui nous est familière à tous y(x) , et en regardant le texte du problème, j'ai été un peu surpris quand j'ai vu les vecteurs. Il s'est avéré qu'il existe une représentation de la trajectoire d'un point matériel à l'aide de vecteur de rayon

— un vecteur qui spécifie la position d'un point dans l'espace par rapport à un point préfixe, appelé origine. La formule de la trajectoire d'un point matériel, en plus du rayon vecteur, est décrite de la même manière orts — vecteurs unitaires je, j, k

Qu’y a-t-il d’intéressant dans cet exemple ? La trajectoire du mouvement d’un point est donnée par les sinus et les cosinus. À quoi pensez-vous que le graphique ressemblera dans la représentation familière y(x) ? « Probablement quelque chose de effrayant », avez-vous pensé, mais tout n'est pas aussi compliqué qu'il y paraît ! Essayons de construire la trajectoire du point matériel y(x), s'il se déplace selon la loi présentée ci-dessus :

Ici, j'ai remarqué le carré du cosinus, si dans un exemple vous voyez le carré du sinus ou du cosinus, cela signifie que vous devez appliquer l'identité trigonométrique de base, ce que j'ai fait (deuxième formule) et transformé la formule de coordonnées oui, de sorte qu'au lieu du sinus, substituez-y la formule de changement x:

En conséquence, la terrible loi du mouvement d'un point s'est avérée ordinaire parabole, dont les branches sont dirigées vers le bas. J'espère que vous comprenez l'algorithme approximatif pour construire la dépendance y(x) à partir de la représentation du mouvement via le rayon vecteur. Passons maintenant à notre question principale : comment trouver le vecteur vitesse et accélération d'un point matériel, ainsi que leurs modules.

Vecteur vitesse d'un point matériel

Tout le monde sait que la vitesse d'un point matériel est la distance parcourue par le point par unité de temps, c'est-à-dire la dérivée de la formule de la loi du mouvement. Pour trouver le vecteur vitesse, vous devez prendre la dérivée par rapport au temps. Jetons un coup d'oeil exemple concret trouver le vecteur vitesse.

Un exemple de recherche du vecteur vitesse

On a la loi du mouvement d'un point matériel :

Vous devez maintenant prendre la dérivée de ce polynôme, si vous avez oublié comment faire cela, la voici. En conséquence, le vecteur vitesse aura la forme suivante :

Tout s’est avéré plus simple que vous ne le pensiez, trouvons maintenant le vecteur accélération d’un point matériel en utilisant la même loi présentée ci-dessus.

Comment trouver le vecteur accélération d'un point matériel

Vecteur d'accélération ponctuelle il s'agit d'une quantité vectorielle qui caractérise l'évolution dans le temps de l'amplitude et de la direction de la vitesse d'un point. Pour trouver le vecteur accélération d'un point matériel dans notre exemple, il faut prendre la dérivée, mais à partir de la formule du vecteur vitesse présentée juste au-dessus :

Module du vecteur vitesse ponctuel

Trouvons maintenant la norme du vecteur vitesse du point matériel. Comme vous le savez dès la 9e, le module d'un vecteur est sa longueur, en coordonnées cartésiennes rectangulaires égale à la racine carrée de la somme des carrés de ses coordonnées. Et où pouvons-nous obtenir ses coordonnées à partir du vecteur vitesse que nous avons obtenu ci-dessus, demandez-vous ? C'est très simple :

Il ne vous reste plus qu'à remplacer l'heure spécifiée dans le problème et à obtenir une valeur numérique spécifique.

Module vectoriel d'accélération

Comme vous l'avez compris d'après ce qui a été écrit ci-dessus (et dès la 9e), trouver le module du vecteur accélération se fait de la même manière que le module du vecteur vitesse : on prend la racine carrée de la somme des carrés des coordonnées du vecteur , c'est simple ! Eh bien, voici un exemple pour vous, bien sûr :

Comme vous pouvez le constater, l'accélération d'un point matériel selon la loi donnée ci-dessus ne dépend pas du temps et a une ampleur et une direction constantes.

Plus d'exemples de solutions au problème de la recherche du vecteur vitesse et accélération

Et ici vous pouvez trouver des exemples de solutions à d’autres problèmes de physique. Et pour ceux qui ne comprennent pas très bien comment trouver le vecteur vitesse et accélération, voici quelques autres exemples du réseau sans aucune explication inutile, j'espère qu'ils vous aideront.

Si vous avez des questions, vous pouvez les poser dans les commentaires.

Le mouvement mécanique est appelé changement dans le temps de la position dans l'espace de points et de corps par rapport à tout corps principal auquel le système de référence est attaché. La cinématique étudie le mouvement mécanique des points et des corps, quelles que soient les forces provoquant ces mouvements. Tout mouvement, comme le repos, est relatif et dépend du choix du système de référence.

La trajectoire d'un point est une ligne continue décrite par un point en mouvement. Si la trajectoire est une ligne droite, alors le mouvement du point est dit rectiligne, et s'il s'agit d'une courbe, alors il est dit curviligne. Si la trajectoire est plate, alors le mouvement du point est dit plat.

Le mouvement d'un point ou d'un corps est considéré comme donné ou connu si pour chaque instant (t) il est possible d'indiquer la position du point ou du corps par rapport au système de coordonnées sélectionné.

La position d'un point dans l'espace est déterminée par la tâche :

a) trajectoires ponctuelles ;

b) le début O 1 de la lecture de la distance le long de la trajectoire (Figure 11) : s = O 1 M - coordonnée curviligne du point M ;

c) la direction du décompte positif des distances s ;

d) équation ou loi du mouvement d'un point le long d'une trajectoire : S = s(t)

Vitesse de pointe. Si un point parcourt des distances égales dans des périodes de temps égales, alors son mouvement est appelé uniforme. La vitesse de mouvement uniforme est mesurée par le rapport du chemin z parcouru par un point pendant une certaine période de temps à la valeur de cette période de temps : v = s/1. Si un point parcourt des chemins inégaux dans des périodes de temps égales, alors son mouvement est dit inégal. La vitesse dans ce cas est également variable et est fonction du temps : v = v(t). Considérons le point A, qui se déplace le long d'une trajectoire donnée selon une certaine loi s = s(t) (Figure 12) :

Sur une période de temps t t, A s'est déplacé vers la position A 1 le long de l'arc AA. Si la période de temps Δt est petite, alors l'arc AA 1 peut être remplacé par une corde et trouver, en première approximation, la vitesse moyenne du point v cp = Ds/Dt. La vitesse moyenne est dirigée le long de la corde du point A au point A 1.

La vraie vitesse d'un point est dirigée tangentiellement à la trajectoire, et sa valeur algébrique est déterminée par la dérivée première du trajet par rapport au temps :

v = limΔs/Δt = ds/dt

Dimension de la vitesse du point : (v) = longueur/temps, par exemple, m/s. Si le point évolue vers une augmentation coordonnées curvilignes s, alors ds > 0, et donc v > 0, sinon ds< 0 и v < 0.

Accélération ponctuelle. Le changement de vitesse par unité de temps est déterminé par l'accélération. Considérons le mouvement du point A le long d'une trajectoire curviligne dans le temps Δt de la position A à la position A 1 . En position A, le point avait une vitesse v, et en position A 1 - une vitesse v 1 (Figure 13). ceux. la vitesse du point a changé en ampleur et en direction. On retrouve la différence géométrique des vitesses Δv en construisant le vecteur v 1 à partir du point A.

L’accélération d’un point est le vecteur « , qui est égal à la dérivée première du vecteur vitesse du point par rapport au temps :

Le vecteur d'accélération a trouvé peut être décomposé en deux composantes mutuellement perpendiculaires mais tangentes et normales à la trajectoire du mouvement. Accélération tangentielle a 1 coïncide en direction avec la vitesse lors d'un mouvement accéléré ou lui est opposée lors d'un mouvement remplacé. Il caractérise le changement de vitesse et est égal à la dérivée de la vitesse par rapport au temps

Le vecteur d'accélération normal a est dirigé le long de la normale (perpendiculaire) à la courbe vers la concavité de la trajectoire, et son module est égal au rapport du carré de la vitesse du point au rayon de courbure de la trajectoire au point en question.

L'accélération normale caractérise le changement de vitesse le long
direction.

Valeur d'accélération totale : , m/s 2

Types de mouvements de points en fonction de l'accélération.

Mouvement linéaire uniforme(mouvement par inertie) se caractérise par le fait que la vitesse de déplacement est constante et le rayon de courbure de la trajectoire est égal à l'infini.

Autrement dit, r = ¥, v = const, alors ; et donc. Ainsi, lorsqu’un point se déplace par inertie, son accélération est nulle.

Mouvement irrégulier rectiligne. Le rayon de courbure de la trajectoire est r = ¥, et n = 0, donc a = a t et a = a t = dv/dt.

Accélération est une quantité qui caractérise le taux de changement de vitesse.

Par exemple, lorsqu’une voiture démarre, elle augmente sa vitesse, c’est-à-dire qu’elle se déplace plus vite. Au début, sa vitesse est nulle. Une fois en mouvement, la voiture accélère progressivement jusqu'à une certaine vitesse. Si un feu rouge s'allume sur son passage, la voiture s'arrêtera. Mais cela ne s’arrêtera pas immédiatement, mais avec le temps. Autrement dit, sa vitesse diminuera jusqu'à zéro - la voiture se déplacera lentement jusqu'à ce qu'elle s'arrête complètement. Cependant, en physique, il n’existe pas de terme « ralentissement ». Si un corps bouge en ralentissant sa vitesse, ce sera également une accélération du corps, uniquement avec un signe moins (comme vous vous en souvenez, la vitesse est une quantité vectorielle).

> est le rapport entre le changement de vitesse et la période de temps pendant laquelle ce changement s'est produit. L'accélération moyenne peut être déterminée par la formule :

Riz. 1.8. Accélération moyenne. En SI unité d'accélération– vaut 1 mètre par seconde par seconde (ou mètre par seconde au carré), soit

Un mètre par seconde carré est égal à l'accélération d'un point se déplaçant en ligne droite, à laquelle la vitesse de ce point augmente de 1 m/s en une seconde. En d’autres termes, l’accélération détermine dans quelle mesure la vitesse d’un corps change en une seconde. Par exemple, si l’accélération est de 5 m/s2, cela signifie que la vitesse du corps augmente de 5 m/s chaque seconde.

Accélération instantanée d'un corps (point matériel)à un instant donné est une grandeur physique égale à la limite vers laquelle tend l'accélération moyenne lorsque l'intervalle de temps tend vers zéro. En d’autres termes, il s’agit de l’accélération que le corps développe en un laps de temps très court :

Avec un mouvement linéaire accéléré, la vitesse du corps augmente en valeur absolue, c'est-à-dire

V2 > V1

et la direction du vecteur accélération coïncide avec le vecteur vitesse

Si la vitesse d'un corps diminue en valeur absolue, c'est-à-dire

V2< v 1

alors la direction du vecteur accélération est opposée à la direction du vecteur vitesse. dans ce cas se passe ralentir, dans ce cas l'accélération sera négative (et< 0). На рис. 1.9 показано направление векторов ускорения при прямолинейном движении тела для случая ускорения и замедления.

Riz. 1.9. Accélération instantanée.

Lorsque vous vous déplacez sur un chemin courbe, non seulement le module de vitesse change, mais également sa direction. Dans ce cas, le vecteur accélération est représenté comme deux composantes (voir la section suivante).

Accélération tangentielle (tangentielle)– c'est la composante du vecteur accélération dirigée le long de la tangente à la trajectoire en un point donné de la trajectoire du mouvement. L'accélération tangentielle caractérise le changement de vitesse modulo lors d'un mouvement curviligne.

Riz. 1.10. Accélération tangentielle.

La direction du vecteur d'accélération tangentielle (voir Fig. 1.10) coïncide avec la direction de la vitesse linéaire ou lui est opposée. Autrement dit, le vecteur d'accélération tangentielle se trouve sur le même axe que le cercle tangent, qui est la trajectoire du corps.

Accélération normale

Accélération normale est la composante du vecteur accélération dirigée le long de la normale à la trajectoire du mouvement en un point donné de la trajectoire du corps. C'est-à-dire que le vecteur d'accélération normal est perpendiculaire à la vitesse linéaire du mouvement (voir Fig. 1.10). L'accélération normale caractérise le changement de vitesse en direction et est désignée par la lettre Le vecteur d'accélération normale est dirigé le long du rayon de courbure de la trajectoire.

Pleine accélération

Pleine accélération lors d'un mouvement curviligne, il se compose d'accélérations tangentielles et normales et est déterminé par la formule :

(d'après le théorème de Pythagore pour un rectangle rectangulaire).

Introduisons un vecteur unitaire τ associé au point mobile A et dirigé tangentiellement à la trajectoire dans le sens d'une coordonnée d'arc croissante (Fig. 1.6). Il est évident que τ est un vecteur variable : il dépend de l. Le vecteur vitesse v du point A est dirigé tangentiellement à la trajectoire, il peut donc être représenté comme suit

où v τ =dl/dt est la projection du vecteur v sur la direction du vecteur τ, et v τ est une quantité algébrique. De plus, |v τ |=|v|=v.

Accélération ponctuelle

Différencions (1.22) par rapport au temps

(1.23)

Transformons le dernier terme de cette expression

(1.24)

Déterminons l'incrément du vecteur τ de dl (Fig. 1.7).

Comme on peut le voir sur la Fig. 1,7, angle , d'où et à .

En introduisant un vecteur unitaire n de la normale à la trajectoire au point 1, dirigé vers le centre de courbure, on écrit la dernière égalité sous forme vectorielle

Remplaçons (1.23) dans (1.24) et l'expression résultante dans (1.22). En conséquence, nous trouverons

(1.26)

Ici, le premier terme s'appelle tangentiel une τ , seconde - normale un.

Ainsi, pleine accélération un point peut être représenté comme la somme géométrique des accélérations tangentielles et normales.

Module d'accélération à point complet

(1.27)

Il est dirigé vers la concavité de la trajectoire selon un angle α par rapport au vecteur vitesse, et .

Si l'angle α est aigu, alors tanα>0, donc dv/dt>0, puisque v 2 /R>0 l'est toujours.

Dans ce cas, la vitesse augmente avec le temps - le mouvement est appelé accéléré(Fig. 1.8).

Dans le cas où la vitesse diminue en ampleur avec le temps, le mouvement est appelé lent(Fig. 1.9).

Si l'angle α=90°, tanα=∞, soit dv/dt=0. Dans ce cas, la vitesse ne change pas en ampleur avec le temps et l'accélération totale sera égale à l'accélération centripète.

(1.28)

En particulier, l'accélération totale du mouvement de rotation uniforme (R=const, v=const) est une accélération centripète, égale en valeur à a n = v 2 /R et dirigée tout le temps vers le centre.

En mouvement linéaire, au contraire, l’accélération totale du corps est égale à l’accélération tangentielle. Dans ce cas, a n =0, puisqu'une trajectoire rectiligne peut être considérée comme un cercle de rayon infiniment grand, et avec R→∞ ; v2/R=0; un n =0 ; une = une τ .