Etude de tout processus physique est associé à l'établissement de la relation entre les grandeurs caractérisant un processus donné. Pour les processus complexes, qui incluent le transfert de chaleur par conductivité thermique, lors de l'établissement d'une relation entre les quantités, il convient d'utiliser les méthodes de la physique mathématique, qui considèrent l'apparition du processus non pas dans tout l'espace étudié, mais dans un volume élémentaire de matière pendant une période de temps infinitésimale. Le lien entre les grandeurs impliquées dans le transfert de chaleur par conductivité thermique est établi dans ce cas par ce qu'on appelle équation différentielle de conductivité thermique. Dans les limites d'un volume élémentaire choisi et d'un laps de temps infiniment petit, il devient possible de négliger l'évolution de certaines quantités caractérisant le processus.

Lors de l'élaboration de l'équation différentielle de la conductivité thermique, les hypothèses suivantes sont faites : grandeurs physiques λ, avec p Et ρ permanent; il n'y a pas de sources de chaleur internes ; le corps est homogène et isotrope ; La loi de conservation de l'énergie est utilisée, qui ce cas est formulé comme suit : la différence entre la quantité de chaleur qui est entrée dans un parallélépipède élémentaire en raison de la conductivité thermique pendant le temps dτ et en le laissant en même temps, on le consacre à changer l'énergie interne du volume élémentaire considéré. En conséquence, nous arrivons à l’équation :

La quantité s'appelle Opérateur Laplace et est généralement abrégé en 2 t(le panneau indique « nabla ») ; taille λ /cρ appelé coefficient de diffusivité thermique et désigné par la lettre UN. Avec la notation indiquée, l'équation différentielle de la chaleur prend la forme

L'équation (1-10) est appelée équation différentielle de conductivité thermique, ou l'équation de Fourier, pour un champ de température instable tridimensionnel en l'absence de sources de chaleur internes. C'est l'équation principale dans l'étude du chauffage et du refroidissement des corps en cours de transfert de chaleur par conductivité thermique et établit un lien entre les changements temporels et spatiaux de température en tout point du champ.

Coefficient de diffusivité thermique UN= λ/cρ est un paramètre physique d'une substance et a une unité de mesure m 2 / s. Dans les processus thermiques non stationnaires, la valeur UN caractérise le taux de changement de température. Si le coefficient de conductivité thermique caractérise la capacité des corps à conduire la chaleur, alors le coefficient de diffusivité thermique UN est une mesure des propriétés d'inertie thermique des corps. De l'équation (1-10), il s'ensuit que le changement de température au fil du temps ∂t / ∂τ car tout point du corps est proportionnel à la valeur UN Par conséquent, dans les mêmes conditions, la température du corps ayant une diffusivité thermique plus élevée augmentera plus rapidement. Les gaz ont des coefficients de diffusivité thermique faibles et les métaux des coefficients de diffusivité thermique élevés.

Équation différentielle la conductivité thermique avec des sources de chaleur à l'intérieur du corps aura la forme

Où qv- la quantité de chaleur dégagée par unité de volume d'une substance par unité de temps, Avec- la capacité thermique massique du corps, ρ - densité corporelle .

L'équation différentielle de la conductivité thermique en coordonnées cylindriques avec une source de chaleur interne aura la forme

Où r- rayon vecteur dans un système de coordonnées cylindriques ; φ - coin.

Page 4

. (2.24)

L'équation (2.24) est appelée équation différentielle de la chaleur (ou équation différentielle de Fourier) pour un champ de température instationnaire tridimensionnel en l'absence de sources de chaleur internes. Il est fondamental dans l'étude du chauffage et du refroidissement des corps en cours de transfert de chaleur par conductivité thermique et établit un lien entre les changements temporels et spatiaux de température en tout point du champ.

Application laser en oto-rhino-laryngologie.

La diffusivité thermique est un paramètre physique d'une substance et a une unité de m2/s. Dans les processus thermiques non stationnaires, a caractérise le taux de changement de température.

De l'équation (2.24), il s'ensuit que le changement de température au fil du temps pour n'importe quel point du corps est proportionnel à la valeur de a. Par conséquent, dans les mêmes conditions, la température du corps qui a une diffusivité thermique plus élevée augmente plus rapidement.

, (2.25)

où qV est la puissance spécifique de la source, c'est-à-dire la quantité de chaleur dégagée par unité de volume d'une substance par unité de temps.

Cette équation s'écrit en Coordonnées cartésiennes. Dans d'autres coordonnées, l'opérateur de Laplace a une forme différente, donc la forme de l'équation change également. Par exemple, dans coordonnées cylindriques L'équation différentielle de la conductivité thermique avec une source de chaleur interne est la suivante :

, (2.26)

où r est le rayon vecteur dans un système de coordonnées cylindriques ;

Angle polaire.

2.5 Conditions aux limites

L'équation différentielle de Fourier qui en résulte décrit les phénomènes de transfert de chaleur par conductivité thermique dans le même vue générale. Pour l’appliquer à un cas précis, il est nécessaire de connaître la répartition de la température dans le corps ou les conditions initiales. De plus, vous devez savoir :

· forme géométrique et dimensions du corps,

paramètres physiques de l'environnement et du corps,

· conditions aux limites, caractérisant la répartition des températures à la surface d'un corps, ou l'interaction du corps étudié avec l'environnement.

Toutes ces particularités, ainsi que l'équation différentielle, donnent description complète processus de conduction thermique spécifique et sont appelés conditions d’unicité ou conditions aux limites.

Généralement, les conditions initiales de la distribution de température sont spécifiées pour l'instant t = 0.

Les conditions aux limites peuvent être spécifiées de trois manières.

Une condition aux limites du premier type est spécifiée par la répartition de la température à la surface du corps à un instant donné.

La condition aux limites du deuxième type est spécifiée par la densité du flux thermique de surface en chaque point de la surface du corps à tout moment.

La condition aux limites du troisième type est donnée par la température de l'environnement entourant le corps et la loi du transfert de chaleur entre la surface du corps et l'environnement.

La résolution de l'équation différentielle de la conductivité thermique dans des conditions données de non-ambiguïté permet de déterminer le champ de température dans tout le volume du corps à tout instant ou de trouver la fonction .

2.6 Conduction thermique à travers une paroi sphérique

Compte tenu de la terminologie décrite dans les sections 2.1 à 2.5, la tâche de ce travail de cours peut être formulé ainsi. Un flux de chaleur constant est dirigé à travers la paroi sphérique et la source de chaleur est la sphère intérieure de rayon R1. La puissance de la source P est constante. Le milieu entre les sphères limites est isotrope, donc sa conductivité thermique c est fonction d'une variable - la distance au centre des sphères (rayon) r. Selon les conditions du problème . En conséquence, la température du milieu est également dans ce cas fonction d'une variable - le rayon r : T = T(r), et les surfaces isothermes sont des sphères concentriques. Ainsi, le champ de température recherché est stationnaire et unidimensionnel, et les conditions aux limites sont des conditions du premier type : T(R1) = T1, T(R2) = T2.

De l'unidimensionnalité du champ de température, il s'ensuit que la densité de flux thermique j, ainsi que la conductivité thermique et la température, sont dans ce cas fonctions d'une variable - le rayon r. Les fonctions inconnues j(r) et T(r) peuvent être déterminées de deux manières : soit en résolvant l’équation différentielle de Fourier (2.25), soit en utilisant la loi de Fourier (2.11). Dans ce travail, la deuxième méthode a été choisie. La loi de Fourier pour le champ de température unidimensionnel à symétrie sphérique étudié a la forme : 1 4

1. Équation différentielle de conductivité thermique sans sources de chaleur internes ( = 0) :

2. Équation différentielle de conductivité thermique sans sources de chaleur internes en coordonnées cylindriques.

En coordonnées cylindriques, dans lesquelles où r– rayon vecteur, – angle polaire, l'équation ressemblera à

Conditions d'unicité pour les processus de conduction thermique. L'équation différentielle de la conductivité thermique décrit non pas un, mais toute une classe de phénomènes de conductivité thermique. Pour obtenir une description analytique d'un processus spécifique, il est nécessaire d'indiquer ses caractéristiques particulières qui, avec l'équation différentielle, donnent la description complète description mathématique processus de conduction thermique spécifique et sont appelés conditions d’unicité ou conditions aux limites.

Les conditions d'unicité comprennent :

Conditions géométriques caractérisant la forme et la taille du corps dans lequel se déroule le processus ;

Conditions physiques caractérisant propriétés physiques environnement et corps;

Conditions temporaires ou initiales caractérisant la répartition de la température dans le corps à l'instant initial ;

Conditions aux limites caractérisant les conditions d'interaction entre le corps considéré et l'environnement.

Les conditions aux limites peuvent être spécifiées de plusieurs manières.

Les conditions aux limites du premier type précisent la répartition de la température à la surface du corps à chaque instant :

Les conditions aux limites du deuxième type précisent les valeurs du flux thermique pour chaque point de la surface du corps et à tout instant :

Les conditions aux limites du troisième type sont spécifiées par la température ambiante et la loi de l'échange thermique entre le corps et l'environnement, qui est utilisée comme loi du transfert thermique (équation de Newton-Richmann) :

D'après cette loi, la densité du flux thermique à la surface

Le corps est proportionnel à la différence de température entre la surface du mur et l'environnement. Le coefficient de proportionnalité dans cette équation est appelé coefficient de transfert de chaleur et est noté a, [W/(m 2 ×K)]. Il caractérise l'intensité des échanges thermiques entre la surface du corps et l'environnement.

D’autre part, la même densité de flux thermique peut être trouvée à partir de l’équation :

où l'indice « c » indique que le gradient de température est calculé à la surface du corps. On obtient une expression analytique pour les conditions aux limites du troisième type :

Les conditions aux limites du quatrième type considèrent le cas où deux ou plusieurs corps sont en contact étroit les uns avec les autres. Dans ce cas, le flux de chaleur traversant la surface d'un corps traversera également la surface d'un autre corps (il n'y a pas de pertes de chaleur au point de contact).

Cours 2. Section 2. Conductivité thermique en mode stationnaire

Propagation de la chaleur par conductivité thermique dans des parois planes et cylindriques en mode stationnaire (conditions aux limites du premier type)

Paroi plane monocouche homogène. Considérons la propagation de la chaleur par conductivité thermique dans une paroi plane monocouche homogène d'épaisseur 8 avec sa largeur et sa longueur illimitées.

Axe X dirigez-le perpendiculairement au mur (Fig. 7.4). Le long des deux surfaces murales comme dans le sens de l'axe oui, et dans le sens de l'axe G Grâce à l'apport et à l'évacuation uniformes de la chaleur, les températures sont réparties uniformément.

Puisque le mur dans la direction de ces axes a une direction infinie grandes tailles, puis les gradients de température correspondants F/yu = (k/(k= = 0 et, par conséquent, il n'y a aucune influence sur le processus de conductivité thermique des surfaces d'extrémité du mur. Dans ces conditions simplifiant le problème, le champ de température stationnaire est fonction uniquement de la coordonnée X, ceux. un problème unidimensionnel est considéré. Par rapport à ce cas, l'équation différentielle de conductivité thermique prendra la forme (à d^dh = 0)

Les conditions aux limites du premier type sont données :

Riz. 7.4.

Trouvons l'équation de la température zéro et déterminons le flux de chaleur Ф traversant une section du mur d'une superficie UN(sur la fig. 1L le mur n'est pas marqué car il est situé dans un plan perpendiculaire au plan du dessin). La première intégration donne

ceux. le gradient de température est constant sur toute l'épaisseur de la paroi.

Après la deuxième intégration, nous obtenons l'équation du champ de température requise

Où UN Et b- intégrations constantes.

Ainsi, le changement de température le long de l’épaisseur de la paroi suit une loi linéaire et les surfaces isothermes sont des plans parallèles aux faces des parois.

Pour déterminer des constantes d'intégration arbitraires, nous utilisons les conditions aux limites :

Parce que? > ? ST2, puis la projection du gradient sur l'axe X négatif comme

il fallait s'y attendre pour la direction de l'axe choisie, qui coïncide avec la direction du vecteur densité de flux thermique de surface.

En substituant la valeur des constantes dans (7.24), on obtient l'expression finale de la température zéro

Doubler a-b sur la fig. 7.4, dit courbe de température, montre l'évolution de la température en fonction de l'épaisseur de la paroi.

Connaissant le gradient de température, il est possible, à l'aide de l'équation de Fourier (7.10), de trouver la quantité de chaleur 8() passant pendant le temps t à travers l'élément de surface ??4 perpendiculaire à l'axe T.

et pour une superficie de UN

La formule (7.28) pour le flux de chaleur et la densité du flux de chaleur superficiel prendra la forme

Considérons la propagation de la chaleur par conductivité thermique dans une paroi plate multicouche constituée de plusieurs (par exemple trois) couches étroitement adjacentes les unes aux autres (voir Fig. 7.5).

Riz. 7.5.

Évidemment, dans le cas d'un champ de température stationnaire, le flux de chaleur traversant des surfaces d'une même surface UN, sera le même pour toutes les couches. Par conséquent, l’équation (7.29) peut être utilisée pour chacune des couches.

Pour la première couche

pour les deuxième et troisième couches

Où X2, A 3 - conductivité thermique des couches ; 8 1? 8 2, 8 3 - épaisseur de couche.

Les températures aux limites extérieures du mur à trois couches considérées sont-elles connues ? St1 et ? ST4. Les températures sont-elles établies le long des plans de séparation entre les couches ? ST2 Et? ST considérés comme inconnus. Nous résolvons les équations (7.31)-(7.33) concernant les différences de température :

puis les additionner terme par terme et éliminer ainsi les températures intermédiaires inconnues :

En généralisant (7.36) pour un mur en couche y, on obtient

Pour déterminer des températures intermédiaires ? ST2, ? STZ sur les plans des sections de couches on utilise les formules (7.34) :

Enfin, en généralisant la dérivation à la paroi de la i-couche, nous obtenons une formule pour la température à la limite des ième et (r + 1)ième couches :

Parfois, la notion de conductivité thermique équivalente Req est utilisée. Pour la densité de flux thermique surfacique traversant une paroi multicouche plane,

où est l'épaisseur totale de toutes les couches du mur multicouche. En comparant les expressions (7.37) et (7.40), nous concluons que

Sur la fig. La figure 7.5 montre un graphique des changements de température le long de l'épaisseur d'une paroi multicouche sous la forme d'une ligne brisée. Au sein de la couche, comme cela a été prouvé ci-dessus, le changement de température suit une loi linéaire. Tangente de l'angle d'inclinaison cp, la droite de température à l'horizontale

ceux. est égal valeur absolue gradient de température ^1"ac1 Ainsi, selon la pente des droites ab, avant JC et avec

Ainsi,

ceux. les gradients de température pour les couches individuelles d'une paroi plate multicouche sont inversement proportionnels aux conductivités thermiques de ces couches.

Cela signifie que pour obtenir des gradients de température importants (ce qui est nécessaire, par exemple, lors de l'isolation des conduites de vapeur, etc.), des matériaux ayant de faibles valeurs de conductivité thermique sont nécessaires.

Paroi cylindrique monocouche homogène. Trouvons le champ de température pour le mode stationnaire de conductivité thermique et densité superficielle flux de chaleur pour une paroi cylindrique monocouche homogène (Fig. 7.6). Pour résoudre le problème, nous utilisons l’équation différentielle de conduction thermique en coordonnées cylindriques.

L'axe 2 sera dirigé le long de l'axe du tuyau. Supposons que la longueur du tuyau par rapport au diamètre soit infiniment grande. Dans ce cas, on peut négliger l'influence des extrémités du tuyau sur la répartition de la température le long de l'axe 2. Supposons qu'en raison de l'apport et de l'évacuation uniformes de la chaleur, la température sur la surface intérieure soit égale partout ? ST1, et sur la surface extérieure - ? ST2 (conditions aux limites du premier type). Avec ces simplifications (k/ = 0, et en raison de la symétrie du champ de température par rapport à tout diamètre ?/?/?Ар = 0. Les surfaces isothermes dans ce cas seront les surfaces des cylindres, coaxiales à l'axe du tuyau. Ainsi , le problème se réduit à déterminer le champ de température unidimensionnel = / (d), où ? G- rayon actuel de la paroi cylindrique.

Riz. 7.6.

Équation de chaleur différentielle (7.19) sous la condition dt/j t = 0 prendra la forme

Introduisons une nouvelle variable

quel est le gradient de température (grad ?).

Substitution d'une variable Et dans (7.43), on obtient une équation différentielle du premier ordre à variables séparables

ou

En intégrant, on obtient

Pour une paroi cylindrique, le gradient de température est une valeur variable qui augmente avec le rayon décroissant. G. Par conséquent, le gradient de température sur la surface intérieure est plus important que sur la surface extérieure.

Remplacement de la valeur Et de (7.44) à (7.45), on obtient Et

Où un b- intégrations constantes.

Par conséquent, la courbe de répartition de la température sur l’épaisseur de la paroi est une courbe logarithmique (courbe a-b sur la fig. 7.6).

Définissons les constantes UN Et b, inclus dans l’équation du champ de température, basé sur les conditions aux limites du premier type. Notons le rayon interne de la surface gx, externe - g2. Nous désignons les diamètres correspondants (1 litre Et (1 2 . On a alors un système d'équations

En résolvant ce système d'équations, on obtient

L’équation de température zéro prendra la forme Le gradient de température est déterminé par la formule (7.45) :

Parce que? ST1 > ? ST2, et r, r 2, alors le grade de projection ? sur le rayon vecteur a une valeur négative.

Ce dernier montre que dans ce cas le flux de chaleur est dirigé du centre vers la périphérie.

Pour déterminer le flux de chaleur traversant une zone surface cylindrique longueur b, utilisons l'équation

De (7.46), il s'ensuit que le flux de chaleur traversant une surface cylindrique dépend du rapport des rayons extérieur et intérieur r 2 / g x(ou diamètres s1 2 / (1 {), et non sur l'épaisseur du mur.

La densité du flux thermique de surface pour une surface cylindrique peut être trouvée en reliant le flux thermique Ф à la surface de la surface intérieure Un vice-président ou à la surface extérieure Un np. Dans les calculs, la densité de flux thermique linéaire est parfois utilisée :

De (7.47)-(7.49) il résulte

Paroi cylindrique multicouche. Considérons la répartition de la chaleur par conductivité thermique dans une paroi cylindrique (tuyau) à trois couches de longueur A (Fig. 7.7) avec un diamètre interne c1 x et diamètre extérieur (1 L. Diamètres intermédiaires des couches individuelles - s1 2 et X2, X3.

Riz. 7.7.

Les températures sont-elles considérées comme connues ? ST) interne et température ? Surface extérieure ST4. Faut-il déterminer le flux thermique F et la température ? ST2 Et? STz aux limites des couches. Composons pour chaque couche une équation de la forme (7.46) :

En résolvant (7.51)-(7.53) les différences de température, puis en ajoutant terme par terme, nous obtenons

De (7.54) nous avons une expression calculée pour déterminer le flux de chaleur pour un mur à trois couches :

Généralisons la formule (7.55) à la paroi du tuyau en couche de U :
Où je- numéro de série de la couche.

De (7.51)-(7.53) on trouve une expression pour déterminer la température aux limites des couches intermédiaires :

Température? Art. +) à la frontière ? (G+ 1)ème couche peut être déterminée en utilisant une formule similaire

La littérature fournit des solutions à l'équation de chaleur différentielle pour une boule creuse dans des conditions aux limites du premier type, ainsi que des solutions pour tous les corps considérés dans des conditions aux limites du troisième type. Nous ne considérons pas ces problèmes. Les questions de conductivité thermique stationnaire dans les tiges (nervures) de sections constantes et variables, ainsi que les questions de conductivité thermique non stationnaire, sont également restées en dehors du cadre de notre cours.

Question 23 Quelle est la chaleur spécifique de fusion de la glace ?

La chaleur spécifique de fusion est trouvée par la formule :

où Q est la quantité de chaleur nécessaire pour faire fondre un corps de masse m.

lors de la solidification, les substances libèrent la même quantité de chaleur qu'il a fallu pour les faire fondre. Les molécules, perdant de l'énergie, forment des cristaux, incapables de résister à l'attraction d'autres molécules. Et encore une fois, la température corporelle ne diminuera pas tant que tout le corps ne durcira pas et que toute l'énergie dépensée pour sa fonte ne sera pas libérée. Autrement dit, la chaleur spécifique de fusion montre quelle quantité d'énergie doit être dépensée pour faire fondre un corps de masse m et quelle quantité d'énergie sera libérée lorsque ce corps se solidifiera.

Par exemple, la chaleur spécifique de fusion de l'eau à l'état solide, c'est-à-dire la chaleur spécifique de fusion de la glace est de 3,4*10^5 J/kg.

La chaleur spécifique de fusion de la glace est de 3,4 fois 10 puissance 5 joule/kg

La chaleur spécifique de fusion est désignée par la lettre grecque λ (lambda) et l'unité de mesure est 1 J/kg

Question 24 Notons L1 comme la chaleur spécifique de vaporisation et L2 comme la chaleur spécifique de fusion. Quoi de plus ?

Puisque le corps reçoit de l'énergie lors de la vaporisation, nous pouvons conclure que énergie interne un corps à l'état gazeux est supérieure à l'énergie interne d'un corps de même masse à l'état liquide. Ainsi, lors de la condensation, la vapeur libère la quantité d'énergie nécessaire à sa formation

Chaleur spécifique de vaporisation– une grandeur physique indiquant la quantité de chaleur nécessaire pour convertir 1 kg d'une substance en vapeur sans changer sa température. Chances " r

Chaleur spécifique de fusion– une grandeur physique indiquant la quantité de chaleur nécessaire pour transformer 1 kg d’une substance en liquide sans changer sa température. Chances " λ " Pour diverses substances, en règle générale, sont différents. Ils sont mesurés empiriquement et inscrits dans des tableaux spéciaux

La chaleur spécifique de vaporisation est plus grande

Question 25 : équation différentielle de la chaleur pour un champ de température instationnaire bidimensionnel en coordonnées cartésiennes ?

x i = x, y, z – système de coordonnées cartésiennes ;

Si la température reste constante le long d'une des coordonnées, alors mathématiquement cette condition s'écrit (par exemple, pour la coordonnée z) comme suit : dT/dz=0.

Dans ce cas, le champ est dit bidimensionnel et s’écrit :

pour le mode non stationnaire T = T (x, y, t) ;

pour le mode stationnaire T = T (x, y).

Equations d'un champ de température bidimensionnel pour le mode

non stationnaire :

Question 26 : équation différentielle de la chaleur pour un champ de température non stationnaire en coordonnées cylindriques ?

x i = r, φ, z – système de coordonnées cylindriques ;

Champ de température est un ensemble de valeurs de température en tous points d'un domaine de calcul donné et dans le temps.

Le champ de température est mesuré en degrés Celsius et Kelvin et est désigné de la même manière que dans TTD : , où x i sont les coordonnées du point de l'espace où se trouve la température, en mètres [m] ; τ – durée du processus d'échange thermique en secondes, [s]. Que. le champ de température est caractérisé par le nombre de coordonnées et son comportement dans le temps.

Les systèmes de coordonnées suivants sont utilisés dans les calculs thermiques :

x i = r, φ, z – système de coordonnées cylindriques ;

Le champ de température, qui change avec le temps, appelé non stationnaire champ de température. Et vice versa, le champ de température, qui ne change pas avec le temps, appelé stationnaire champ de température.

cylindrique coordonnées (r – rayon ; φ – angle polaire ; z – applicable), l'équation différentielle de la conductivité thermique a la forme

,