Pente 2. Équation d'une droite avec pente. Découvrez ce qu’est « Angle droit » dans d’autres dictionnaires

Soit sur un plan où se trouve un système de coordonnées cartésiennes rectangulaires, une droite je passe par le point M 0 parallèle au vecteur directeur UN (Fig. 96).

Si droit je traverse l'axe O X(au point N), puis sous un angle d'une droite je avec axe O X nous comprendrons l'angle α dont il faut faire pivoter l'axe O X autour du point N dans le sens opposé à la rotation horaire, de sorte que l'axe O X coïncidait avec une ligne droite je. (Cela fait référence à un angle inférieur à 180°.)

Cet angle est appelé angle d'inclinaison direct. Si droit je parallèle à l'axe O X, alors l'angle d'inclinaison est supposé nul (Fig. 97).

La tangente de l'angle d'inclinaison d'une droite s'appelle pente d'une droite et est généralement désigné par la lettre k:

bronzage α = k. (1)

Si α = 0, alors k= 0 ; cela signifie que la ligne est parallèle à l'axe O X et sa pente est nulle.

Si α = 90°, alors k= tan α n’a pas de sens : cela signifie qu’une droite perpendiculaire à l’axe O X(c'est-à-dire parallèle à l'axe O à), n'a pas de pente.

La pente d'une ligne peut être calculée si les coordonnées de deux points quelconques de cette ligne sont connues. Soit deux points sur une droite : M 1 ( x 1 ; à 1) et M2 ( x 2 ; à 2) et soit, par exemple, 0< α < 90°, а x 2 > x 1 , à 2 > à 1 (fig. 98).

Puis à partir de triangle rectangle M 13 heures 2 nous trouvons

$$ k=tga = \frac(|M_2 P|)(|M_1 P|) = \frac(y_2 - y_1)(x_2 - x_1) $$

$$ k=\frac(y_2 - y_1)(x_2 - x_1) \;\; (2)$$

Il est également prouvé que la formule (2) est également vraie dans le cas de 90°< α < 180°.

La formule (2) perd son sens si x 2 - x 1 = 0, c'est à dire si droit je parallèle à l'axe O à. Il n’existe pas de coefficient de pente pour de telles droites.

Tâche 1. Déterminer le coefficient angulaire du prim passant par les points

M 1 (3 ; -5) et M 2 (5 ; -7).

En substituant les coordonnées des points M 1 et M 2 dans la formule (2), on obtient

\(k=\frac(-7-(-5))(5-3)\) ou k = -1

Tâche 2. Déterminer la pente de la droite passant par les points M 1 (3 ; 5) et M 2 (3 ; -2).

Parce que x 2 - x 1 = 0, alors l'égalité (2) perd son sens. Il n'y a pas de pente pour cette ligne droite. La droite M 1 M 2 est parallèle à l'axe O à.

Tâche 3. Déterminer la pente de la droite passant par l'origine et le point M 1 (3; -5)

Dans ce cas, le point M 2 coïncide avec l'origine. En appliquant la formule (2), on obtient

$$ k=\frac(y_2 - y_1)(x_2 - x_1)=\frac(0-(-5))(0-3)= -\frac(5)(3); \;\; k= -\frac(5)(3) $$

Créons une équation d'une droite avec un coefficient d'angle k, en passant par le point

M1 ( x 1 ; à 1). Selon la formule (2), le coefficient angulaire d'une droite est déterminé à partir des coordonnées de ses deux points. Dans notre cas, le point M 1 est donné, et comme deuxième point nous pouvons prendre n'importe quel point M( X ; à) la droite souhaitée.

Si le point M se trouve sur une droite passant par le point M 1 et ayant un coefficient angulaire k, alors grâce à la formule (2) on a

$$ \frac(y-y_1)(x-x_1)=k \;\; (3) $$

Si le point M ne se trouve pas sur une droite, alors l’égalité (3) n’est pas vraie. Par conséquent, l'égalité (3) est l'équation de la droite passant par le point M 1 ( x 1 ; à 1) avec pente k; cette équation s'écrit généralement sous la forme

oui- oui 1 = k(x - x 1). (4)

Si la ligne droite coupe l'axe O àà un moment donné (0 ; b), alors l'équation (4) prend la forme

à - b = k (X- 0),

oui = kx + b. (5)

Cette équation s'appelle équation d'une droite de pente k et d'ordonnée initiale b.

Tâche 4. Trouver l'angle d'inclinaison de la droite √3 x+ 3à - 7 = 0.

Réduisons cette équation à la forme

$$ y= =\frac(1)(\sqrt3)x + \frac(7)(3) $$

Ainsi, k= tan α = - 1 / √ 3, d'où α = 150°

Tâche 5.Écrire une équation pour une droite passant par le point P(3; -4) avec un coefficient angulaire k = 2 / 5

Remplacement k = 2 / 5 , x 1 = 3, oui 1 = - 4 dans l'équation (4), on obtient

à - (- 4) = 2 / 5 (X- 3) ou 2 X - 5à - 26 = 0.

Tâche 6.Écrire une équation pour une droite passant par le point Q (-3 ; 4) et une composante de direction positive de l'axe O X angle 30°.

Si α = 30°, alors k= bronzage 30° = √ 3 / 3 . En substituant dans l'équation (4) les valeurs x 1 , oui 1 et k, nous obtenons

à -4 = √ 3 / 3 (x+ 3) ou √3 x-3oui + 12 + 3√3 = 0.

DANS Coordonnées cartésiennes toute droite est déterminée par une équation du premier degré et, inversement, toute équation du premier degré détermine une droite.

Équation de la forme

s'appelle l'équation générale d'une droite.

L'angle déterminé comme indiqué sur la figure est appelé angle d'inclinaison de la droite par rapport à l'axe Ox. La tangente de l'angle d'inclinaison de la droite à l'axe Ox est appelée coefficient angulaire de la droite ; il est généralement désigné par la lettre k :

L'équation s'appelle l'équation d'une droite avec une pente ; k est le coefficient angulaire, b est la valeur du segment coupé par la droite sur l'axe Oy, en partant de l'origine.

Si une droite est donnée par l'équation générale

,

alors son coefficient angulaire est déterminé par la formule

Équation est l’équation d’une droite qui passe par le point (, ) et a un coefficient angulaire k.

Si une droite passe par les points (, ), (, ), alors sa pente est déterminée par la formule

Équation

est l'équation d'une droite passant par deux points (, ) et (, ).

Si les coefficients angulaires de deux droites sont connus, alors l'un des angles entre ces droites est déterminé par la formule

.

Un signe de parallélisme de deux droites est l'égalité de leurs coefficients angulaires :.

Un signe de perpendiculaire de deux lignes droites est le rapport, ou.

Autrement dit, les coefficients angulaires des droites perpendiculaires sont inverses en valeur absolue et opposés en signe.

4. Équation générale d'une droite

Équation

Ah+Bu+C=0

(Où A, B, C peut avoir n'importe quelle valeur, à condition que les coefficients A, B n'étaient pas les deux zéros à la fois) représente ligne droite. Toute droite peut être représentée par une équation de ce type. C'est pourquoi ils l'appellent équation générale de la droite.

Si UNX, alors cela représente une ligne droite, parallèle à l'axe OX.

Si DANS=0, c'est-à-dire que l'équation ne contient pas à, alors cela représente une ligne droite, parallèle à l'axe OY.

Kogla DANS n'est pas égal à zéro, alors l'équation générale d'une droite peut être résoudre par rapport à l'ordonnéeà , puis il est converti sous la forme

(Où a=-A/B; b=-C/B).

De même, lorsque UN non nul équation générale la ligne droite peut être résolue par rapport à X.

Si AVEC=0, c'est-à-dire que l'équation générale d'une droite ne contient pas de terme libre, alors elle représente une droite passant par l'origine

5. Équation d'une droite passant par un point donné avec une pente donnée

Équation d'une droite passant par un point donné UN(x 1 , oui 1) dans une direction donnée, déterminée par la pente k,

oui - oui 1 = k(x - x 1). (1)

Cette équation définit un crayon de lignes passant par un point UN(x 1 , oui 1), appelé centre du faisceau.

6. équation d'une droite passant par deux points donnés.

. Équation d'une droite passant par deux points : UN(x 1 , oui 1) et B(x 2 , oui 2), écrit ainsi :

Le coefficient angulaire d'une droite passant par deux points donnés est déterminé par la formule

7. Équation d'une droite en segments

Si dans l'équation générale d'une droite , alors en divisant (1) par , on obtient l'équation de la droite en segments

Où , . La ligne droite coupe l'axe au point , l'axe au point .

8. Formule : Angle entre des lignes droites sur un plan

U But α entre deux droites données par les équations : y = k 1 x+b 1 (première ligne) et y = k 2 x+b 2 (deuxième ligne droite), peut être calculé à l'aide de la formule (l'angle se mesure de la 1ère ligne droite à la 2ème dans le sens inverse des aiguilles d'une montre ):

9. La position relative de deux lignes droites sur un plan.

Laissez les deux maintenant équations les lignes droites sont écrites sous forme générale.

Théorème. Laisser

- général équations deux lignes droites sur coordonner Avion oxy. Alors

1) si , alors droit et coïncider;

2) si , alors tout droit et

parallèle;

3) si , alors droit couper.

Preuve. La condition est équivalente à la colinéarité de la normale vecteurs données directes :

Donc si , alors droit couper.

Si , puis , et équation direct prend la forme :

Ou , c'est-à-dire droit correspondre. A noter que le coefficient de proportionnalité, sinon tous les coefficients du général équations serait égal à zéro, ce qui est impossible.

Si droit ne coïncident pas et ne se croisent pas, alors le cas demeure, c'est-à-dire droit parallèle.

Le théorème a été prouvé.

La figure montre l'angle d'inclinaison de la droite et indique la valeur de la pente à diverses options emplacement de la ligne droite par rapport à système rectangulaire coordonnées

Trouver la pente d'une droite avec un angle d'inclinaison connu par rapport à l'axe Ox ne présente aucune difficulté. Pour ce faire, il suffit de rappeler la définition du coefficient angulaire et de calculer la tangente de l'angle d'inclinaison.

Exemple.

Trouvez la pente de la droite si son angle d'inclinaison par rapport à l'axe des abscisses est égal à .

Solution.

Selon l'état. Ensuite, par définition de la pente d'une droite, on calcule .

Répondre:

La tâche consistant à trouver l'angle d'inclinaison d'une ligne droite par rapport à l'axe des x avec une pente connue est un peu plus compliquée. Ici, il faut prendre en compte le signe de la pente. Lorsque l’angle d’inclinaison de la ligne droite est aigu et se trouve comme . Lorsque l'angle d'inclinaison de la ligne droite est obtus et peut être déterminé par la formule .

Exemple.

Déterminez l'angle d'inclinaison de la droite par rapport à l'axe des abscisses si sa pente est égale à 3.

Solution.

Puisque par condition le coefficient angulaire est positif, l'angle d'inclinaison de la droite par rapport à l'axe Ox est aigu. Nous le calculons à l'aide de la formule.

Répondre:

Exemple.

La pente de la droite est . Déterminez l'angle d'inclinaison de la ligne droite par rapport à l'axe Ox.

Solution.

Notons k est le coefficient angulaire de la droite, - l'angle d'inclinaison de cette droite par rapport à la direction positive de l'axe Ox. Parce que , alors on utilise la formule pour trouver l'angle d'inclinaison de la ligne de la forme suivante . Nous y substituons les données de la condition : .

Répondre:

Équation d'une droite avec un coefficient angulaire.

Équation d'une droite avec pente a la forme , où k est la pente de la droite, b est un nombre réel. L'équation d'une droite avec un coefficient angulaire peut être utilisée pour définir n'importe quelle droite, non parallèle à l'axe Oy (pour une droite parallèle à l'axe des ordonnées, la pente n'est pas définie).

Regardons le sens de l'expression : « une droite sur un plan dans un système de coordonnées fixe est donnée par une équation avec un coefficient angulaire de la forme « ». Cela signifie que l’équation est satisfaite par les coordonnées de n’importe quel point de la ligne et n’est satisfaite par les coordonnées d’aucun autre point du plan. Ainsi, si, en substituant les coordonnées d'un point, l'égalité correcte est obtenue, alors la droite passe par ce point. Sinon, le point n’est pas sur la ligne.

Exemple.

La droite est donnée par une équation avec une pente. Les points appartiennent-ils également à cette ligne ?

Solution.

Remplaçons les coordonnées du point dans l'équation originale de la droite avec la pente : . Nous avons obtenu l'égalité correcte, donc le point M 1 se trouve sur la droite.

En substituant les coordonnées d'un point, on obtient une égalité incorrecte : . Ainsi, le point M 2 ne se trouve pas sur la droite.

Répondre:

Point M 1 appartient à la lignée, M 2 non.

Il est à noter qu'une droite définie par l'équation d'une droite à coefficient angulaire passe par le point, puisque lorsqu'on substitue ses coordonnées dans l'équation on obtient l'égalité correcte : .

Ainsi, l'équation d'une droite à coefficient angulaire définit sur le plan une droite passant par un point et formant un angle avec la direction positive de l'axe des x, et .

A titre d'exemple, représentons une droite définie par l'équation d'une droite avec un coefficient angulaire de la forme . Cette droite passe par un point et a une pente radians (60 degrés) dans la direction positive de l’axe Ox. Sa pente est égale à .

Équation d'une droite de pente passant par un point donné.

Nous allons maintenant résoudre un problème très important : nous obtiendrons l'équation d'une droite de pente k donnée et passant par le point .

Puisque la droite passe par le point, l'égalité est vraie . Nous ne connaissons pas le numéro b. Pour s'en débarrasser, nous soustrayons respectivement les côtés gauche et droit de la dernière égalité des côtés gauche et droit de l'équation de la droite avec le coefficient de pente. Dans ce cas on obtient . Cette égalité est équation d'une droite de pente k donnée, qui passe par un point donné.

Regardons un exemple.

Exemple.

Écrivez l'équation d'une droite passant par le point, la pente de cette droite est -2.

Solution.

De la condition que nous avons . Alors l'équation d'une droite avec un coefficient angulaire prendra la forme .

Répondre:

Exemple.

Écrivez l'équation d'une droite si l'on sait qu'elle passe par un point et que l'angle d'inclinaison par rapport à la direction positive de l'axe Ox est égal à .

Solution.

Tout d'abord, calculons la pente de la droite dont nous recherchons l'équation (nous avons résolu ce problème dans le paragraphe précédent de cet article). Par définition . Nous avons maintenant toutes les données pour écrire l’équation d’une droite avec un coefficient d’angle :

Répondre:

Exemple.

Écrivez l'équation d'une droite avec un coefficient angulaire passant par un point parallèle à la droite.

Solution.

Évidemment, les angles d'inclinaison des droites parallèles par rapport à l'axe Ox coïncident (si nécessaire, voir l'article parallélisme des droites), donc les coefficients angulaires des droites parallèles sont égaux. Alors la pente de la droite dont nous devons obtenir l'équation est égale à 2, puisque la pente de la droite est égale à 2. Nous pouvons maintenant créer l’équation requise d’une droite avec une pente :

Répondre:

Transition de l'équation d'une droite avec un coefficient d'angle à d'autres types d'équation d'une droite et vice versa.

Malgré toute sa familiarité, l'équation d'une droite avec un coefficient angulaire n'est pas toujours pratique à utiliser pour résoudre des problèmes. Dans certains cas, les problèmes sont plus faciles à résoudre lorsque l’équation d’une droite est présentée sous une forme différente. Par exemple, l'équation d'une droite avec un coefficient angulaire ne permet pas d'écrire immédiatement les coordonnées du vecteur directeur de la droite ou les coordonnées du vecteur normal de la droite. Par conséquent, vous devez apprendre à passer de l'équation d'une droite avec un coefficient d'angle à d'autres types d'équations de cette droite.

A partir de l'équation d'une droite à coefficient angulaire il est facile d'obtenir l'équation canonique d'une droite sur un plan de la forme . Pour ce faire, nous déplaçons le terme b du côté droit de l'équation vers le côté gauche de signe opposé, puis divisons les deux côtés de l'égalité résultante par la pente k : . Ces actions nous font passer de l'équation d'une droite à coefficient angulaire à équation canonique direct.

Exemple.

Donner l'équation d'une droite avec un coefficient d'angle à la forme canonique.

Solution.

Effectuons les transformations nécessaires : .

Répondre:

Exemple.

Une droite est donnée par l’équation d’une droite avec un coefficient angulaire. Le vecteur est-il un vecteur normal de cette droite ?

Solution.

Pour résoudre ce problème, passons de l'équation d'une droite à coefficient d'angle à l'équation générale de cette droite : . On sait que les coefficients des variables x et y dans l'équation générale d'une droite sont les coordonnées correspondantes du vecteur normal de cette droite, c'est-à-dire le vecteur normal de la droite . Il est évident que le vecteur est colinéaire au vecteur, puisque la relation est valide (si nécessaire, voir l'article). Ainsi, le vecteur original est aussi un vecteur ligne normale , et, par conséquent, est un vecteur normal et la ligne d'origine.

Répondre:

Oui c'est le cas.

Et maintenant, nous allons résoudre le problème inverse - le problème de la réduction de l'équation d'une droite sur un plan à l'équation d'une droite avec un coefficient d'angle.

De l'équation générale de la droite de la forme , dans laquelle il est très simple d'accéder à une équation avec un coefficient de pente. Pour ce faire, vous devez résoudre l’équation générale de la droite par rapport à y. Dans ce cas, nous obtenons . L'égalité résultante est une équation d'une droite avec un coefficient angulaire égal à .

Dans le chapitre précédent, il a été montré qu'en choisissant un certain système de coordonnées sur le plan, nous pouvons propriétés géométriques, qui caractérise les points de la droite considérée, s'exprime analytiquement par une équation entre les coordonnées courantes. On obtient ainsi l'équation de la droite. Ce chapitre examinera les équations des droites.

Pour créer une équation pour une ligne droite en coordonnées cartésiennes, vous devez d'une manière ou d'une autre définir les conditions qui déterminent sa position par rapport aux axes de coordonnées.

Dans un premier temps, nous introduirons la notion de coefficient angulaire d'une droite, qui est l'une des grandeurs caractérisant la position d'une droite sur un plan.

Appelons l'angle d'inclinaison de la ligne droite par rapport à l'axe Ox l'angle dont l'axe Ox doit être tourné pour qu'il coïncide avec la ligne donnée (ou s'avère parallèle à celle-ci). Comme d'habitude, nous considérerons l'angle en tenant compte du signe (le signe est déterminé par le sens de rotation : antihoraire ou horaire). Puisqu'une rotation supplémentaire de l'axe Ox d'un angle de 180° l'alignera à nouveau avec la droite, l'angle d'inclinaison de la droite par rapport à l'axe ne peut pas être choisi sans ambiguïté (jusqu'à un terme multiple de ) .

La tangente de cet angle est déterminée de manière unique (puisque changer l'angle ne change pas sa tangente).

La tangente de l'angle d'inclinaison de la droite à l'axe Ox est appelée coefficient angulaire de la droite.

Le coefficient angulaire caractérise la direction de la droite (on ne distingue pas ici deux directions de la droite opposées). Si la pente d’une droite est nulle, alors la droite est parallèle à l’axe des x. Avec un coefficient angulaire positif, l'angle d'inclinaison de la droite par rapport à l'axe Ox sera aigu (nous considérons ici la plus petite valeur positive de l'angle d'inclinaison) (Fig. 39) ; De plus, plus le coefficient angulaire est grand, plus l'angle de son inclinaison par rapport à l'axe Ox est grand. Si le coefficient angulaire est négatif, alors l'angle d'inclinaison de la droite par rapport à l'axe Ox sera obtus (Fig. 40). A noter qu'une droite perpendiculaire à l'axe Ox n'a pas de coefficient angulaire (la tangente de l'angle n'existe pas).

Les problèmes liés à la recherche de la dérivée d'une tangente sont inclus dans l'examen d'État unifié de mathématiques et s'y retrouvent chaque année. Parallèlement, les statistiques dernières années montre que de telles tâches posent certaines difficultés aux diplômés. Par conséquent, si un étudiant espère obtenir des notes décentes après avoir réussi l'examen d'État unifié, il doit absolument apprendre à résoudre les problèmes de la section « Coefficient d'angle d'une tangente comme valeur de la dérivée au point de tangence ». préparé par des spécialistes du portail éducatif Shkolkovo. Ayant compris l'algorithme permettant de les résoudre, l'étudiant sera en mesure de réussir le test de certification.

Points forts

Commencer avec une solution Problèmes liés à l'examen d'État unifiéà ce sujet, il faut rappeler la définition de base : la dérivée d'une fonction en un point est égale à la pente de la tangente au graphe de la fonction en ce point. C'est ce que signification géométrique dérivé.

Il existe une autre définition importante qui doit être actualisée. Cela ressemble à ceci : le coefficient angulaire est égal à la tangente de l'angle d'inclinaison de la tangente à l'axe des abscisses.

Quel autre points importants Cela vaut-il la peine d'être mentionné dans ce fil ? Lors de la résolution de problèmes pour trouver la dérivée lors de l'examen d'État unifié, il est nécessaire de se rappeler que l'angle formé par la tangente peut être inférieur, supérieur à 90 degrés ou égal à zéro.

Comment se préparer à l'examen ?

Pour vous assurer que les tâches de l'examen d'État unifié sur le thème « Le coefficient angulaire d'une tangente comme valeur de la dérivée au point de tangence » vous sont confiées assez facilement, utilisez les informations de cette section sur le portail pédagogique de Shkolkovo lorsque préparer le test final. Vous trouverez ici le matériel théorique nécessaire, rassemblé et clairement présenté par nos spécialistes, et vous pourrez également vous entraîner à réaliser les exercices.

Pour chaque tâche, par exemple des problèmes sur le thème « Le coefficient angulaire d'une tangente comme tangente de l'angle d'inclinaison », nous avons noté la réponse correcte et l'algorithme de solution. Dans le même temps, les étudiants peuvent effectuer en ligne des exercices de différents niveaux de difficulté. Si nécessaire, la tâche peut être enregistrée dans la section « Favoris » afin que vous puissiez ultérieurement discuter de sa solution avec l'enseignant.