Système d'équations linéaires homogènes avec retard. Système de décision fondamental (exemple spécifique). Résolution de systèmes d'équations algébriques linéaires de forme générale

Systèmes équations linéaires, pour lequel tous les termes libres sont égaux à zéro sont appelés homogène :

Tout système homogène est toujours cohérent, puisqu'il a toujours zéro (banal ) solution. La question se pose dans quelles conditions un système homogène aura-t-il une solution non triviale.

Théorème 5.2.Un système homogène a une solution non triviale si et seulement si le rang de la matrice principale moins de nombre ses inconnues.

Conséquence. Un système carré homogène a une solution non triviale si et seulement si le déterminant de la matrice principale du système n'est pas égal à zéro.

Exemple 5.6. Déterminez les valeurs du paramètre l pour lesquelles le système a des solutions non triviales et trouvez ces solutions :

Solution. Ce système aura une solution non triviale lorsque le déterminant de la matrice principale est égal à zéro :

Ainsi, le système n’est pas trivial lorsque l=3 ou l=2. Pour l=3, le rang de la matrice principale du système est 1. Alors, en ne laissant qu'une seule équation et en supposant que oui=un Et z=b, nous obtenons x=ba, c'est-à-dire

Pour l=2, le rang de la matrice principale du système est 2. Ensuite, en choisissant la mineure comme base :

nous obtenons un système simplifié

De là, nous constatons que x=z/4, y=z/2. Croire z=4un, nous obtenons

L’ensemble de toutes les solutions d’un système homogène a un rôle très important propriété linéaire : si colonnes X 1 et X 2 - solutions à un système homogène AX = 0, alors toute combinaison linéaire d'entre eux un X 1 + b X 2 sera également une solution à ce système. En effet, depuis HACHE 1 = 0 Et HACHE 2 = 0 , Que UN(un X 1 + b X 2) = un HACHE 1 + b HACHE 2 = a · 0 + b · 0 = 0. C'est à cause de cette propriété que si un système linéaire a plus d'une solution, alors il y aura un nombre infini de ces solutions.

Colonnes linéairement indépendantes E 1 , E 2 , E k, qui sont des solutions d'un système homogène, sont appelés système fondamental de solutions système homogène d'équations linéaires si la solution générale de ce système peut s'écrire comme une combinaison linéaire de ces colonnes :

Si un système homogène a n variables, et le rang de la matrice principale du système est égal à r, Que k = n-r.

Exemple 5.7. Trouvez le système fondamental de solutions du système d’équations linéaires suivant :

Solution. Trouvons le rang de la matrice principale du système :

Ainsi, l’ensemble des solutions de ce système d’équations forme un sous-espace linéaire de dimension n-r= 5 - 2 = 3. Choisissons mineur comme base

Ne laissant ensuite que les équations de base (le reste sera combinaison linéaire de ces équations) et variables de base (on déplace les variables restantes, dites libres vers la droite), on obtient un système d'équations simplifié :

Croire x 3 = un, x 4 = b, x 5 = c, on trouve

Croire un= 1, b = c= 0, on obtient la première solution basique ; croire b= 1, une = c= 0, on obtient la deuxième solution basique ; croire c= 1, une = b= 0, on obtient la troisième solution basique. En conséquence, le système fondamental normal de solutions prendra la forme

En utilisant le système fondamental, la solution générale d’un système homogène peut s’écrire

X = aE 1 + être 2 + CE 3. un

Notons quelques propriétés des solutions d'un système inhomogène d'équations linéaires AX=B et leur relation avec le système d'équations homogène correspondant HACHE = 0.

Solution générale d'un système hétérogèneest égal à la somme de la solution générale du système homogène correspondant AX = 0 et d'une solution particulière arbitraire du système inhomogène. En effet, laissez Oui 0 est une solution particulière arbitraire d'un système inhomogène, c'est-à-dire AY 0 = B, Et Oui- solution générale d'un système hétérogène, c'est-à-dire AY=B. En soustrayant une égalité de l'autre, on obtient
UN(A-Y 0) = 0, c'est-à-dire A-Y 0 est la solution générale du système homogène correspondant HACHE=0. Ainsi, A-Y 0 = X, ou Oui = Oui 0 + X. Q.E.D.

Soit le système inhomogène de la forme AX = B 1 + B 2 . Alors la solution générale d’un tel système peut s’écrire X = X 1 + X 2 , où AX 1 = B 1 et AX 2 = B 2. Cette propriété exprime une propriété universelle de tout système linéaire en général (algébrique, différentiel, fonctionnel, etc.). En physique, cette propriété est appelée principe de superposition, en génie électrique et radio - principe de superposition. Par exemple, dans la théorie du linéaire circuits électriques le courant dans n'importe quel circuit peut être obtenu comme la somme algébrique des courants provoqués par chaque source d'énergie séparément.

Systèmes d'équations homogènes linéaires- a la forme ∑a k i x i = 0. où m > n ou m Un système homogène d'équations linéaires est toujours cohérent, puisque rangA = rangB. Il a évidemment une solution composée de zéros, appelée banal.

Objet de la prestation. Le calculateur en ligne est conçu pour trouver une solution fondamentale et non triviale au SLAE. La solution obtenue est enregistrée dans un fichier Word (voir exemple de solution).

Instructions. Sélectionnez la dimension de la matrice :

Propriétés des systèmes d'équations homogènes linéaires

Pour que le système ait solutions non triviales, il faut et il suffit que le rang de sa matrice soit inférieur au nombre d'inconnues.

Théorème. Un système dans le cas m=n a une solution non triviale si et seulement si le déterminant de ce système est égal à zéro.

Théorème. Toute combinaison linéaire de solutions à un système est également une solution à ce système.
Définition. L’ensemble des solutions d’un système d’équations linéaires homogènes est appelé système fondamental de solutions, si cet ensemble est constitué de solutions linéairement indépendantes et que toute solution du système est une combinaison linéaire de ces solutions.

Théorème. Si le rang r de la matrice système est inférieur au nombre n d'inconnues, alors il existe un système fondamental de solutions constitué de (n-r) solutions.

Algorithme de résolution de systèmes d'équations linéaires homogènes

1. Trouver le rang de la matrice.
2. Nous sélectionnons la mineure de base. Nous distinguons les inconnues dépendantes (de base) et libres.
3. Nous biffons les équations du système dont les coefficients ne sont pas inclus dans la base mineure, puisqu'ils sont des conséquences des autres (selon le théorème de la base mineure).
4. Nous déplaçons les termes des équations contenant des inconnues libres vers la droite. En conséquence, nous obtenons un système de r équations à r inconnues, équivalent à celui donné, dont le déterminant est non nul.
5. Nous résolvons le système résultant en éliminant les inconnues. Nous trouvons des relations exprimant des variables dépendantes à travers des variables libres.
6. Si le rang de la matrice n'est pas égal au nombre de variables, alors on trouve solution fondamentale systèmes.
7. Dans le cas rang = n nous avons une solution triviale.

Exemple. Trouver la base du système de vecteurs (a 1, a 2,...,a m), classer et exprimer les vecteurs en fonction de la base. Si a 1 =(0,0,1,-1), et 2 =(1,1,2,0), et 3 =(1,1,1,1), et 4 =(3,2,1 ,4), et 5 =(2,1,0,3).
Écrivons la matrice principale du système :

Multipliez la 3ème ligne par (-3). Ajoutons la 4ème ligne à la 3ème :

0	0	1	-1
0	0	-1	1
0	-1	-2	1
3	2	1	4
2	1	0	3

Multipliez la 4ème ligne par (-2). Multiplions la 5ème ligne par (3). Ajoutons la 5ème ligne à la 4ème :
Ajoutons la 2ème ligne à la 1ère :
Trouvons le rang de la matrice.
Le système avec les coefficients de cette matrice est équivalent au système original et a la forme :
-x3 = -x4
- x 2 - 2x 3 = - x 4
2x 1 + x 2 = - 3x 4
En utilisant la méthode d'élimination des inconnues, nous trouvons une solution non triviale :
Nous avons obtenu des relations exprimant les variables dépendantes x 1 , x 2 , x 3 à travers les variables libres x 4 , c'est-à-dire que nous avons trouvé une solution générale :
x3 = x4
x2 = -x4
x1 = -x4

L'équation linéaire s'appelle homogène, si son terme libre est égal à zéro, et inhomogène sinon. Un système constitué d'équations homogènes est dit homogène et a la forme générale :

Il est évident que tout système homogène est cohérent et possède une solution nulle (triviale). Par conséquent, lorsqu'il est appliqué à des systèmes homogènes d'équations linéaires, il faut souvent chercher une réponse à la question de l'existence de solutions non nulles. La réponse à cette question peut être formulée comme le théorème suivant.

Théorème . Un système homogène d'équations linéaires a une solution non nulle si et seulement si son rang est inférieur au nombre d'inconnues .

Preuve: Supposons qu'un système dont le rang est égal ait une solution non nulle. Cela ne dépasse évidemment pas . Au cas où le système aurait une solution unique. Puisqu’un système d’équations linéaires homogènes a toujours une solution nulle, alors la solution zéro sera cette solution unique. Ainsi, des solutions non nulles ne sont possibles que pour .

Corollaire 1 : Un système d'équations homogène, dans lequel le nombre d'équations est inférieur au nombre d'inconnues, a toujours une solution non nulle.

Preuve: Si un système d'équations a , alors le rang du système ne dépasse pas le nombre d'équations, c'est-à-dire . La condition est donc satisfaite et le système a donc une solution non nulle.

Corollaire 2 : Un système homogène d’équations à inconnues a une solution non nulle si et seulement si son déterminant est nul.

Preuve: Supposons qu'un système d'équations linéaires homogènes, dont la matrice avec le déterminant , a une solution non nulle. Alors, selon le théorème prouvé, et cela signifie que la matrice est singulière, c'est-à-dire .

Théorème de Kronecker-Capelli : Une SLU est cohérente si et seulement si le rang de la matrice système est égal au rang de la matrice étendue de ce système. Un système ur est dit cohérent s’il possède au moins une solution.

Système homogène d'équations algébriques linéaires.

Un système de m équations linéaires avec n variables est appelé système d'équations linéaires homogènes si tous les termes libres sont égaux à 0. Un système d'équations linéaires homogènes est toujours cohérent, car il a toujours au moins une solution nulle. Un système d'équations linéaires homogènes a une solution non nulle si et seulement si le rang de sa matrice de coefficients pour variables est inférieur au nombre de variables, c'est-à-dire pour le rang A (n. Toute combinaison linéaire

Solutions système Lin. homogène. ur-ii est également une solution à ce système.

Un système de solutions linéaires indépendantes e1, e2,...,еk est dit fondamental si chaque solution du système est une combinaison linéaire de solutions. Théorème : si le rang r de la matrice des coefficients des variables d'un système d'équations linéaires homogènes est inférieur au nombre de variables n, alors tout système fondamental de solutions du système est constitué de solutions nr. Par conséquent, la solution générale du système linéaire. un jour ur-th a la forme : c1e1+c2e2+...+skek, où e1, e2,..., ek est un système fondamental de solutions, c1, c2,...,ck sont des nombres arbitraires et k=n-r. La solution générale d'un système de m équations linéaires à n variables est égale à la somme

de la solution générale du système qui lui correspond est homogène. des équations linéaires et une solution particulière arbitraire de ce système.

7. Espaces linéaires. Sous-espaces. Base, dimension. Coque linéaire. L'espace linéaire est appelé n-dimensionnel, s'il contient un système de vecteurs linéairement indépendants et que tout système d'un plus grand nombre de vecteurs est linéairement dépendant. Le numéro est appelé dimension (nombre de dimensions) espace linéaire et est noté . Autrement dit, la dimension d’un espace est le nombre maximum de vecteurs linéairement indépendants de cet espace. Si un tel nombre existe, alors l’espace est dit de dimension finie. Si, pour tout nombre naturel n, il existe un système dans l'espace constitué de vecteurs linéairement indépendants, alors un tel espace est appelé de dimension infinie (écrit : ). Dans ce qui suit, sauf indication contraire, nous considérerons des espaces de dimension finie.

La base d'un espace linéaire à n dimensions est une collection ordonnée de vecteurs linéairement indépendants ( vecteurs de base).

Théorème 8.1 sur le développement d'un vecteur en fonction d'une base. Si est la base d'un espace linéaire à n dimensions, alors tout vecteur peut être représenté comme une combinaison linéaire de vecteurs de base :

V=v1*e1+v2*e2+…+vn+en
et de plus, de la seule manière, c'est-à-dire les coefficients sont déterminés de manière unique. En d’autres termes, n’importe quel vecteur d’espace peut être développé en une base et, de plus, d’une manière unique.

En effet, la dimension de l'espace est . Le système de vecteurs est linéairement indépendant (c'est une base). Après avoir ajouté n'importe quel vecteur à la base, nous obtenons un système linéairement dépendant (puisque ce système est constitué de vecteurs d'espace à n dimensions). En utilisant la propriété de 7 vecteurs linéairement dépendants et linéairement indépendants, nous obtenons la conclusion du théorème.

Considérons système homogène m équations linéaires à n variables :

(15)

Un système d'équations linéaires homogènes est toujours cohérent, car il a toujours une solution nulle (triviale) (0,0,…,0).

Si dans le système (15) m=n et , alors le système n’a qu’une solution nulle, ce qui découle du théorème et des formules de Cramer.

Théorème 1. Un système homogène (15) a une solution non triviale si et seulement si le rang de sa matrice est inférieur au nombre de variables, c'est-à-dire . r(UN)< n.

Preuve. L'existence d'une solution non triviale du système (15) équivaut à une dépendance linéaire des colonnes de la matrice du système (c'est-à-dire qu'il existe des nombres x 1, x 2,...,x n, qui ne sont pas tous égaux à zéro, tels que les égalités (15) sont valables).

D'après le théorème mineur de base, les colonnes d'une matrice sont linéairement dépendantes  lorsque toutes les colonnes de cette matrice ne sont pas basiques, c'est-à-dire  lorsque l'ordre r de la base mineure de la matrice est inférieur au nombre n de ses colonnes. Etc.

Conséquence. Un système homogène carré a des solutions non triviales  lorsque |A|=0.

Théorème 2. Si les colonnes x (1), x (2),..., x (s) sont des solutions d'un système homogène AX = 0, alors toute combinaison linéaire d'entre elles est également une solution de ce système.

Preuve. Envisagez n’importe quelle combinaison de solutions :

Alors AX=A()===0. etc.

Corollaire 1. Si un système homogène a une solution non triviale, alors il a une infinité de solutions.

Que. il faut trouver de telles solutions x (1), x (2),..., x (s) du système Ax = 0, pour que toute autre solution de ce système soit représentée sous la forme de leur combinaison linéaire et , d’ailleurs, d’une manière unique.

Définition. Le système k=n-r (n est le nombre d'inconnues dans le système, r=rg A) de solutions linéairement indépendantes x (1), x (2),…, x (k) du système Ах=0 est appelé système fondamental de solutions ce système.

Théorème 3. Soit un système homogène Ах=0 avec n inconnues et r=rg A Alors il existe un ensemble de k=n-r solutions x (1), x (2),…, x (k) de ce système, formant un. système fondamental de solutions.

Preuve. Sans perte de généralité, on peut supposer que la base mineure de la matrice A est située dans le coin supérieur gauche. Ensuite, d’après le théorème mineur de base, les lignes restantes de la matrice A sont des combinaisons linéaires des lignes de base. Cela signifie que si les valeurs x 1, x 2,…, x n satisfont les r premières équations, c'est-à-dire équations correspondant aux lignes de la base mineure), alors elles satisfont également d'autres équations. Par conséquent, l’ensemble des solutions du système ne changera pas si nous supprimons toutes les équations à partir de la (r+1)ème. On obtient le système :

Déplaçons les inconnues libres x r +1 , x r +2 ,…, x n vers la droite, et laissons les inconnues de base x 1 , x 2 ,…, x r à gauche :

(16)

Parce que dans ce cas, tout b i =0, alors au lieu des formules

c j =(M j (b i)-c r +1 M j (a i , r +1)-…-c n M j (a in)) j=1,2,…,r ((13), on obtient :

c j =-(c r +1 M j (a i , r +1)-…-c n M j (a in)) j=1,2,…,r (13)

Si nous fixons les inconnues libres x r +1 , x r +2 ,…, x n à des valeurs arbitraires, alors par rapport aux inconnues de base, nous obtenons un carré SLAE avec une matrice non singulière pour laquelle il existe une solution unique. Ainsi, toute solution d'un SLAE homogène est déterminée de manière unique par les valeurs des inconnues libres x r +1, x r +2,…, x n. Considérons la série k=n-r suivante de valeurs d'inconnues libres :

1, =0, ….,=0,

1, =0, ….,=0, (17)

………………………………………………

1, =0, ….,=0,

(Le numéro de série est indiqué par un exposant entre parenthèses, et les séries de valeurs sont écrites sous forme de colonnes. Dans chaque série =1 si i=j et =0 si ij.

La i-ième série de valeurs d'inconnues libres correspond de manière unique aux valeurs de ,,...,inconnues de base. Les valeurs des inconnues libres et fondamentales donnent ensemble des solutions au système (17).

Montrons que les colonnes e i =,i=1,2,…,k (18)

former un système fondamental de solutions.

Parce que Ces colonnes, par construction, sont des solutions du système homogène Ax=0 et leur nombre est égal à k, il reste alors à prouver l'indépendance linéaire des solutions (16). Soit une combinaison linéaire de solutions e 1 , e 2 ,…, e k(x (1) , x (2) ,…, x (k)), égal à la colonne zéro :

 1 e 1 +  2 e 2 +…+ k e k ( 1 X (1) + 2 X(2) +…+k X(k) = 0)

Alors le côté gauche de cette égalité est une colonne dont les composantes de nombres r+1,r+2,…,n sont égales à zéro. Mais la (r+1)ème composante est égale à  1 1+ 2 0+…+ k 0= 1 . De même, la (r+2)ième composante est égale à  2 ,…, la kième composante est égale à  k. Donc  1 =  2 = …= k =0, ce qui signifie indépendance linéaire des solutions e 1 , e 2 ,…, e k ( x (1) , x (2) ,…, x (k)).

Le système fondamental de solutions construit (18) est appelé normale. Grâce à la formule (13), il a la forme suivante :

(20)

Corollaire 2. Laisser e 1 , e 2 ,…, e k-système fondamental normal de solutions d'un système homogène, alors l'ensemble de toutes les solutions peut être décrit par la formule :

x = c 1 e 1 +s 2 e 2 +…+сk e k (21)

où с 1,с 2,…,с k – prendre des valeurs arbitraires.

Preuve. D'après le théorème 2, la colonne (19) est une solution du système homogène Ax=0. Il reste à prouver que toute solution à ce système peut être représentée sous la forme (17). Considérez la colonne X= oui r +1 e 1 +…+o n e k. Cette colonne coïncide avec la colonne y dans les éléments numérotés r+1,...,n et est une solution de (16). Donc les colonnes X Et à coïncider, parce que les solutions du système (16) sont déterminées uniquement par l'ensemble des valeurs de ses inconnues libres x r +1 ,…,x n , et les colonnes à Et X ces ensembles sont les mêmes. Ainsi, à=X= oui r +1 e 1 +…+o n e k, c'est-à-dire solution à est une combinaison linéaire de colonnes e 1 ,…,y n FSR normal. Etc.

L’affirmation prouvée est vraie non seulement pour un FSR normal, mais également pour un FSR arbitraire d’un SLAE homogène.

X=c 1 X 1 + c 2 X 2 +…+s n - r X n - r - solution générale systèmes d'équations homogènes linéaires

Où X 1, X 2,…, X n - r – tout système fondamental de solutions,

c 1 ,c 2 ,…,c n - r sont des nombres arbitraires.

Exemple. (p. 78)

Établissons un lien entre les solutions du SLAE inhomogène (1) et le SLAE homogène correspondant (15)

Théorème 4. La somme de toute solution du système inhomogène (1) et du système homogène correspondant (15) est une solution du système (1).

Preuve. Si c 1 ,…,c n est une solution du système (1) et d 1 ,…,d n est une solution du système (15), alors en substituant les nombres inconnus c dans n'importe quelle (par exemple, la i-ième) équation de système (1) 1 +d 1 ,…,c n +d n , on obtient :

B je +0=b je h.t.d.

Théorème 5. La différence entre deux solutions arbitraires du système inhomogène (1) est une solution du système homogène (15).

Preuve. Si c 1 ,…,c n et c 1 ,…,c n sont des solutions du système (1), alors en substituant les nombres inconnus c dans n'importe quelle (par exemple, la i-ième) équation du système (1 ) 1 -с 1 ,…,c n -с n , on obtient :

B je -b je =0 p.t.d.

Des théorèmes éprouvés, il s'ensuit que la solution générale d'un système de m équations linéaires homogènes avec n variables est égale à la somme de la solution générale du système correspondant d'équations linéaires homogènes (15) et d'un nombre arbitraire d'une solution particulière de ce système (15).

X néod. = X total un +X fréquent plus d'une fois (22)

Comme solution particulière à un système inhomogène, il est naturel de prendre la solution obtenue si dans les formules c j =(M j (b i)-c r +1 M j (a i, r +1)-…-c n M j (a in)) j=1,2,…,r ((13) définir tous les nombres c r +1 ,…,c n égaux à zéro, c'est-à-dire

X 0 =(,…,,0,0,…,0) (23)

Ajouter cette solution particulière à la solution générale X=c 1 X 1 + c 2 X 2 +…+s n - r X n - r système homogène correspondant, on obtient :

X néod. = X 0 +C 1 X 1 +C 2 X 2 +…+C n - r X n - r (24)

Considérons un système de deux équations à deux variables :

dans lequel au moins un des coefficients un ij 0.

Pour résoudre, on élimine x 2 en multipliant la première équation par a 22, et la seconde par (-a 12) et en les additionnant : Elimine x 1 en multipliant la première équation par (-a 21), et la seconde par a 11 et en les ajoutant : L'expression entre parenthèses est le déterminant

Ayant désigné ,, alors le système prendra la forme :, c'est-à-dire si, alors le système a une solution unique :,.

Si Δ=0, et (ou), alors le système est incohérent, car réduit à la forme Si Δ=Δ 1 =Δ 2 =0, alors le système est incertain, car réduit à la forme

Système méquations linéaires c n appelés inconnus système de linéaire homogèneéquations si tous les termes libres sont égaux à zéro. Un tel système ressemble à :

Où et je (je = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) - des numéros donnés ; x je- inconnu.

Un système d'équations linéaires homogènes est toujours cohérent, puisque r(UNE) = r(). Il a toujours au moins zéro ( banal) solution (0; 0; …; 0).

Considérons dans quelles conditions les systèmes homogènes ont des solutions non nulles.

Théorème 1. Un système d’équations linéaires homogènes a des solutions non nulles si et seulement si le rang de sa matrice principale est r moins d'inconnues n, c'est-à-dire r < n.

□ 1). Supposons qu'un système d'équations linéaires homogènes ait une solution non nulle. Puisque le rang ne peut pas dépasser la taille de la matrice, alors, évidemment, r ≤ n. Laisser r = n. Puis une des tailles mineures nn différent de zéro. Par conséquent, le système d’équations linéaires correspondant a une solution unique : . Cela signifie qu’il n’y a pas d’autres solutions que les solutions triviales. Donc s’il existe une solution non triviale, alors r < n.

2). Laisser r < n. Alors le système homogène, étant cohérent, est incertain. Cela signifie qu'il a un nombre infini de solutions, c'est-à-dire a des solutions non nulles. ■

Considérons un système homogène néquations linéaires c n inconnu:

(2)

Théorème 2. Système homogène néquations linéaires c n les inconnues (2) ont des solutions non nulles si et seulement si son déterminant est égal à zéro : = 0.

□ Si le système (2) a une solution non nulle, alors = 0. Parce que lorsque le système n'a qu'une seule solution nulle. Si = 0, alors le rang r la matrice principale du système est inférieure au nombre d'inconnues, c'est-à-dire r < n. Et donc le système a un nombre infini de solutions, c'est-à-dire a des solutions non nulles. ■

Notons la solution du système (1) X 1 = k 1 , X 2 = k 2 , …, xn = k n comme une chaîne .

Les solutions d'un système d'équations linéaires homogènes ont les propriétés suivantes :

1. Si la ligne est une solution du système (1), alors la ligne est une solution du système (1).

2. Si les lignes et sont des solutions du système (1), alors pour toutes valeurs Avec 1 et Avec 2, leur combinaison linéaire est également une solution au système (1).

La validité de ces propriétés peut être vérifiée en les substituant directement dans les équations du système.

Des propriétés formulées, il s'ensuit que toute combinaison linéaire de solutions à un système d'équations linéaires homogènes est également une solution à ce système.

Système de solutions linéairement indépendantes e 1 , e 2 , …, euh appelé fondamental, si chaque solution du système (1) est une combinaison linéaire de ces solutions e 1 , e 2 , …, euh.

Théorème 3. Si rang r les matrices de coefficients pour les variables du système d'équations linéaires homogènes (1) sont inférieures au nombre de variables n, alors tout système fondamental de solutions au système (1) consiste en n–r décisions.

C'est pourquoi solution générale le système d'équations linéaires homogènes (1) a la forme :

Où e 1 , e 2 , …, euh– tout système fondamental de solutions au système (9), Avec 1 , Avec 2 , …, avec p– des nombres arbitraires, r = n–r.

Théorème 4. Solution générale du système méquations linéaires c n inconnues est égale à la somme de la solution générale du système correspondant d'équations linéaires homogènes (1) et d'une solution particulière arbitraire de ce système (1).

Exemple. Résoudre le système

Solution. Pour ce système m = n= 3. Déterminant

d'après le théorème 2, le système n'a qu'une solution triviale : x = oui = z = 0.

Exemple. 1) Trouver les solutions générales et particulières du système

2) Trouver le système fondamental de solutions.

Solution. 1) Pour ce système m = n= 3. Déterminant

d'après le théorème 2, le système a des solutions non nulles.

Puisqu'il n'y a qu'une seule équation indépendante dans le système

x + oui – 4z = 0,

alors à partir de là nous exprimerons x =4z- oui. Où obtient-on un nombre infini de solutions : (4 z- oui, oui, z) – c’est la solution générale du système.

À z= 1, oui= -1, on obtient une solution particulière : (5, -1, 1). Putting z= 3, oui= 2, on obtient la deuxième solution partielle : (10, 2, 3), etc.

2)B décision générale (4z- oui, oui, z) variables oui Et z sont libres, et la variable X- dépendant d'eux. Afin de trouver un système fondamental de solutions, nous attribuons gratuitement valeurs variables: d'abord oui = 1, z= 0, alors oui = 0, z= 1. On obtient des solutions partielles (-1, 1, 0), (4, 0, 1), qui forment le système fondamental de solutions.

Illustrations:

Riz. 1 Classification des systèmes d'équations linéaires

Riz. 2 Etude des systèmes d'équations linéaires

Présentations :

· Solution méthode SLAE_matrix

· Solution méthode SLAE_Cramer

· Solution méthode SLAE_Gauss

· Paquets de solutions problèmes mathématiques Mathematica, MathCad: recherche de solutions analytiques et numériques à des systèmes d'équations linéaires

Questions de sécurité:

1. Définir une équation linéaire

2. À quel type de système ressemble-t-il ? méquations linéaires avec n inconnu?

3. Qu'appelle-t-on résoudre des systèmes d'équations linéaires ?

4. Quels systèmes sont dits équivalents ?

5. Quel système est dit incompatible ?

6. Quel système est appelé commun ?

7. Quel système est dit défini ?

8. Quel système est appelé indéfini

9. Énumérer les transformations élémentaires des systèmes d'équations linéaires

10. Lister les transformations élémentaires des matrices

11. Formuler un théorème sur l'application de transformations élémentaires à un système d'équations linéaires

12. Quels systèmes peuvent être résolus à l'aide de la méthode matricielle ?

13. Quels systèmes peuvent être résolus par la méthode de Cramer ?

14. Quels systèmes peuvent être résolus par la méthode de Gauss ?

15. Énumérez 3 cas possibles qui se présentent lors de la résolution de systèmes d'équations linéaires à l'aide de la méthode de Gauss

16. Décrire la méthode matricielle pour résoudre des systèmes d'équations linéaires

17. Décrire la méthode de Cramer pour résoudre des systèmes d'équations linéaires

18. Décrire la méthode de Gauss pour résoudre des systèmes d'équations linéaires

19. Quels systèmes peuvent être résolus en utilisant matrice inverse?

20. Énumérez 3 cas possibles qui se présentent lors de la résolution de systèmes d'équations linéaires à l'aide de la méthode Cramer

Littérature:

1. Mathématiques supérieures pour les économistes : Manuel pour les universités / N.Sh. Kremer, B.A. Putko, I.M. Trishin, M.N. Friedman. Éd. N.Sh. Krémer. – M. : UNITÉ, 2005. – 471 p.

2. Cours général Mathématiques supérieures pour les économistes : Manuel. / Éd. V.I. Ermakova. –M. : INFRA-M, 2006. – 655 p.

3. Recueil de problèmes en mathématiques supérieures pour les économistes : Tutoriel/ Edité par V.I. Ermakova. M. : INFRA-M, 2006. – 574 p.

4. Gmurman V. E. Guide pour résoudre des problèmes de théorie des probabilités et de statistiques magmatiques. - M. : Ecole Supérieure, 2005. – 400 p.

5. Gmurman. V.E Théorie des probabilités et statistiques mathématiques. - M. : Ecole Supérieure, 2005.

6. Danko P.E., Popov A.G., Kozhevnikova T.Ya. Mathématiques supérieures en exercices et problèmes. Partie 1, 2. – M. : Onyx 21e siècle : Paix et Education, 2005. – 304 p. Partie 1 ; – 416p. Partie 2.

7. Mathématiques en économie : Manuel : En 2 parties / A.S. Solodovnikov, V.A. Babaïtsev, A.V. Braïlov, I.G. Shandara. – M. : Finances et Statistiques, 2006.

8. Shipachev contre. Mathématiques supérieures : Manuel pour les étudiants. universités - M. : Ecole Supérieure, 2007. - 479 p.

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