Résolution d'équations différentielles ordinaires. La méthode Picard. Exemples de résolution de problèmes dans la méthode Maple Picard pour résoudre des équations différentielles
Il s'agit d'une méthode de résolution approchée, qui est une généralisation de la méthode des approximations successives (voir chapitre V, § 2). Considérons le problème de Cauchy pour une équation du premier ordre
En intégrant l'équation différentielle, nous remplaçons ce problème par une équation intégrale équivalente de type Volterra
En résolvant cette équation intégrale par la méthode des approximations successives, on obtient le processus itératif de Picard
(nous désignerons la solution approchée, par opposition à la solution exacte, par y). A chaque itération de ce processus, l'intégration est effectuée soit exactement, soit à l'aide des méthodes numériques décrites au chapitre IV.
Prouvons la convergence de la méthode, en supposant que dans une région limitée le membre droit est continu et satisfait la variable et la condition de Lipschitz
Puisque l'aire est limitée, les relations sont satisfaites. Notons l'erreur de la solution approchée en soustrayant (8) de (9) et en utilisant la condition de Lipschitz, on obtient
En résolvant cette relation de récurrence et en tenant compte du fait que l'on trouve séquentiellement
Cela implique l'estimation de l'erreur
On peut voir que pour , c'est-à-dire que la solution approchée converge uniformément vers la solution exacte dans toute la région.
Exemple. Appliquons la méthode de Picard au problème de Cauchy pour l'équation (3) dont la solution ne s'exprime pas en termes de fonctions élémentaires
Dans ce cas, les quadratures (9) sont calculées exactement, et on obtient facilement
etc. Il est clair que pour ces approximations convergent rapidement et permettent de calculer la solution avec une grande précision,
De cet exemple, il ressort clairement que la méthode Picard est avantageuse à utiliser si les intégrales (9) peuvent être calculées à l'aide de fonctions élémentaires. Si le côté droit de l’équation (7) est plus complexe, de sorte que ces intégrales doivent être trouvées par des méthodes numériques, alors la méthode Picard ne devient pas très pratique.
La méthode de Picard est facilement généralisable aux systèmes d'équations de la manière décrite au paragraphe 2. Cependant, en pratique, plus l'ordre du système est élevé, moins il est souvent possible de calculer avec précision les intégrales dans (9), ce qui limite l'utilisation de la méthode dans ce cas.
Il existe de nombreuses autres méthodes approximatives. Par exemple, S.A. Chaplygin a proposé une méthode qui est une généralisation de la méthode algébrique de Newton au cas équations différentielles. Une autre façon de généraliser la méthode de Newton a été proposée par L. V. Kantorovich en 1948. Dans ces deux méthodes, ainsi que dans la méthode de Picard, les itérations sont effectuées à l'aide de quadratures. Cependant, les quadratures contiennent beaucoup plus aspect complexe, que (9), et sont rarement pris dans les fonctions élémentaires. Ces méthodes ne sont donc presque jamais utilisées.
Objectif du travail : former chez les étudiants une idée de l'application de la télécommande dans divers domaines ; inculquer la capacité de résoudre le problème de Cauchy pour le contrôle à distance à" = F(X,oui) sur le segment [ un, b] pour une condition initiale donnée à 0 = F(X 0) méthodes de Picard, Euler, Runge – Kutta, Adams ; développer des compétences dans la vérification des résultats obtenus à l'aide de programmes d'application.
Méthode Picard
Exemple 5.1.
: à h= 0,1 par méthode Picard avec étapes h.
Dans le rapport, présenter : avancement des travaux, programme - fonction, erreur, illustration graphique de la solution.
Solution.
1. Saisissez les données (Fig. 5.1)
un= 1,7 b = 2,7
h = 0,1
oui 0 = 5,3 je = 0..n
Figure 5.1. Définition des données initiales
2. Définir une fonction qui renvoie les valeurs de la dérivée première par rapport à la variable à(Fig. 5.2).
F dériver( oui) = 
Figure 5.2. Fonction qui renvoie la valeur de la dérivée première d'une fonction
3. Créons une fonction qui renvoie la solution au DE en utilisant la méthode
Picara. Ici: F - fonction originale ; f dérivé –
Dérivée d'une fonction par rapport à à; un,b– extrémités du segment ; h- étape; à 0 –
valeur initiale de la variable à.
4. Trouvons la solution de l'équation différentielle en utilisant la méthode Picard (Fig. 5.3).
fnPikan(fn, fn dériver, a, b, h, y0)=
Riz. 5.3. Spécification d'une fonction qui renvoie la solution à une télécommande
Méthode Picard (fichier fnPikar.mcd)
fnPikar(f, f dériver, a, b, 0.1, y0) =
| 7.78457519486 10-11 | |
| 5,3 | |
| 5,46340155616 | |
| 5,62650688007 | |
| 5,78947945853 | |
| 5,95251650231 | |
| 6,11584391144 | |
| 6,27971330675 | |
| 6,44440084325 | |
| 6,61020759752 | |
| 6,77746140952 | |
| 6,94652015221 |
Riz. 5.4. Trouver une solution numérique à l'équation différentielle à l'aide de la méthode Picard
La méthode d'Euler et ses modifications
Exemple 5.2.
à(1,7) = 5,3 et pas d'intégration h= 0,1 Méthode Euler et méthode Euler améliorée avec étapes h Et h/2.
Solution.
La progression de la résolution du problème à l'aide de la méthode d'Euler est illustrée à la Fig. 5,5 – 5,7.
a = 1,7 b = 2,7 y0 = 5,3
y 0 = y0 x i = a + ih h2 = 0,05
Fig5.5. Fragment d'une feuille de calcul Mathcad avec une solution
équations par la méthode d'Euler avec étape h Et h/2 et graphique
visualisation de la méthode d'Euler.
1. Créons un programme qui implémente la méthode d’Euler (Fig.
Figure 5.6. Listing d'un programme implémentant la méthode d'Euler
2. Obtenons la solution du DE en utilisant la méthode d'Euler (Fig. 5.7.).
ES h = eyler(f, a, b, h, y0)
ES h2 = eyler(f, a, b, , y0)
Riz. 5.7. Trouver une solution numérique à une équation différentielle à l'aide de la méthode d'Euler
Note
Vous pouvez composer vous-même une fonction qui renvoie la solution au DE en utilisant la méthode Euler améliorée.
Riz. 5.8. Résoudre DE en utilisant une méthode améliorée
Euler avec marches h Et h/2
5.3. Méthode Runge-Kutta
En pratique, la méthode Runge-Kutta du quatrième ordre est la plus souvent utilisée.
Exemple 5.3.
Résoudre le problème de Cauchy pour une télécommande sur un segment pour un système d'exploitation donné à(1,7) = 5,3 et pas d'intégration h= 0,1 par la méthode Runge-Kutta du quatrième ordre avec étapes h et 2 h.
Dans le rapport, présenter : l'avancement des travaux, le fonctionnement du programme, l'erreur, une illustration graphique de la solution et une évaluation de l'erreur d'approximation.
Solution.
1. Saisissez les données de la tâche (Fig. 5.9).
un = 1,7 b = 2,7
h = 0,1
oui 0 = 5,3
je= 0..n
Figure 5.9. Définition des données initiales
2. Composons une fonction qui renvoie une solution à un DE du premier ordre en utilisant la méthode Runge – Kutta. Ici: fn – fonction donnée; un, b– extrémités du segment ; h- étape; oui 0 – valeur initiale de la fonction.
3. Trouvons une solution au DE du premier ordre en utilisant les fonctions intégrées de Mathcad (Fig. 5.10).
RK h = fnRungeKutta(f, a, b, h, y0)
RK 2h = fnRungeKutta(f, a, b, 2h, y0)
Riz. 5.10. Listage d'une fonction qui renvoie un nombre numérique
résoudre le DE à l'aide de la méthode Runge – Kutta
Méthode Adams
Exemple 5.4.
Résoudre le problème de Cauchy pour une télécommande sur un segment pour un système d'exploitation donné à(1,7) = 5,3 et pas d'intégration h= 0,1 par méthode Adams par étapes h.
Dans le rapport, présenter : calcul manuel, programme - fonction, erreur, illustration graphique de la solution et évaluation de l'erreur d'approximation.
Solution.
1. Trouvez les quatre premiers nombres à l’aide de la formule de Runge – Kutta (Fig. 5.11).
y je = fnRungeKutta (f, a, b, h, y0) je
Riz. 5.11. Calcul des quatre premières valeurs de la solution numérique à l'aide de la formule de Runge-Kutta
2. Créons une fonction qui implémente la méthode Adams (Fig. 2.10.3). Ici un, b– extrémités du segment ; oui 1 – valeur initiale de la fonction ; h- étape.
Riz. 5.12. Fonction renvoyant une solution numérique
DE par méthode Adams
3. Une illustration graphique de la résolution du DE en utilisant différentes méthodes est présentée sur la Fig. 5.13.
Riz. 5.13. Visualisation de la solution DE selon différentes méthodes
Questions sur le sujet
1. Que signifie résoudre le problème de Cauchy pour les équations différentielles du premier ordre ?
2. Interprétation graphique de la solution numérique du DE.
3. Quelles méthodes existent pour résoudre DE en fonction de
formes de présentation de la solution ?
4. Quelle est l'essence du principe de compression
affiche ?
5. Formule récurrente de la méthode Picard.
6. Quelle est l'essence de la méthode de la ligne brisée d'Euler ?
7. Application de quelles formules vous permettent d'obtenir des valeurs
la fonction souhaitée en utilisant la méthode d'Euler ?
8. Interprétation graphique de la méthode d'Euler et
Méthode Euler améliorée. Quelle est leur différence ?
9. Quelle est l’essence de la méthode Runge-Kutta ?
10. Comment déterminer le nombre de chiffres corrects dans un nombre
qui est une solution de l’équation différentielle par la méthode d’Euler,
méthode améliorée d'Euler, Picard, Runge–
Mission de laboratoire n°5
Tâche 5.1.
Résoudre le problème de Cauchy pour le contrôle à distance oui’ = F(X, oui) sur le segment [ un, b] pour un NU donné à(UN) = Avec et étape d'intégration h(les paramètres initiaux sont donnés dans le tableau 2.10.1) :
1) Méthode Euler et méthode Euler améliorée avec étape h Et h/2;
2) Méthode Runge – Kutta avec étape h et 2 h;
3) Méthode Adams ;
4) Méthode de Picard.
La solution doit contenir : l'avancement des travaux, le programme de méthode, solution graphiqueéquations et estimation de l’erreur d’approximation. Laissez 5 chiffres après la virgule dans les nombres.
Tableau 5.1. Options pour les tâches à accomplir travail indépendant
| № | F( X, oui) | [un, b] | oui 0 | h |
| 3X 2 + 0,1xy | à(0) = 0,2 | 0,1 | ||
| 0,185(X 2 + cos(0,7 X)) + 1,843oui | à(0,2) = 0,25 | 0,1 | ||
| à(1,6) = 4,6 | 0,1 | |||
 | à(0,2) = 1,1 | 0,1 | ||
| à(1,4) = 2,5 | 0,1 | |||
 | à(1,7) = 5,3 | 0,1 | ||
 | à(2,6) = 3,5 | 0,2 | ||
 | à(2) = 2,3 | 0,1 | ||
| 1,6 + 0,5a 2 | à(0) = 0,3 | 0,1 | ||
 | à(1,8) = 2,6 | 0,1 | ||
 | à(2,1) = 2,5 | 0,1 | ||
| e 2X + 0,25oui 2 | à(0) = 2,6 | 0,05 | ||
| [- 2; -1] | à(-2) = 3 | 0,1 | ||
| 0,133·( x2+ péché(2 X)) + 0,872oui | à(0,2) = 0,25 | 0,1 | ||
| péché( X + oui) +1,5 | à(1,5) = 4,5 | 0,1 | ||
 | à(0,4) = 0,8 | 0,1 | ||
| 2,5X+cos( oui + 0,6) | à(1) = 1,5 | 0,2 | ||
| cos(1,5 oui +X) 2 + 1,4 | à(1) = 1,5 | 0,1 | ||
 | à(1,5) = 2,1 | 0,05 | ||
| parce que oui + 3X | à(0) = 1,3 | 0,1 | ||
| cos(1,5 X – oui 2) – 1,3 | [-1; 1] | à(-1) = 0,2 | 0,2 | |
| à(1,6) = 4,6 | 0,1 | |||
| e -(oui – 1) + 2X | à(0) = 0,3 | 0,05 | ||
| 1 + 2oui péché X – oui 2 | à(1) = 0 | 0,1 | ||
 | à(0) = 0 | 0,1 | ||
| 0,166(X 2 + péché(1,1 X)) + 0,883oui | à(0,2) = 0,25 | 0,1 | ||
| à(1,7) = 5,6 | 0,1 | |||
| à(1,4) = 2,5 | 0,1 | |||
| à(0,6) = 0,8 | 0,1 | |||
| à(1) = 5,9 | 0,1 | |||
| 1 + 0,8oui péché X - 2oui 2 | à(0) = 0 | 0,1 | ||
 | à(0,5) = 1,8 | 0,1 | ||
| à(1,2) = 1,8 | 0,1 | |||
| 1 + 2,2 péché X + 1,5oui 2 | à(0) = 0 | 0,1 | ||
| à(0) = 0 | 0,1 | |||
 | à(0) = 0 | 0,1 | ||
 | à(0) = 0 | 0,1 | ||
| 0,2X 2 + oui 2 | à(0) = 0,8 | 0,1 | ||
| X 2 + y | à(0) = 0,4 | 0,1 | ||
| xy + 0,1oui 2 | à(0) = 0,5 | 0,1 |
Littérature
Littérature principale:
Alekseev G.V., Voronenko B.A., Lukin N.I. Méthodes mathématiques en
génie alimentaire : manuel. – Saint-Pétersbourg : « Lan », 2012. – 212 p.
Alekseev G.V. Méthodes mathématiques en ingénierie : Méthode pédagogique. allocation. – Saint-Pétersbourg : NRU ITMO ; IHBT. 2012. – 39 p.
Alekseev G.V., Kholyavin I.I. Modélisation et optimisation économico-mathématiques numériques : Didacticiel pour les universités, Institut d'État d'économie et de technologie, 2011, 211 p.
Makarov, par exemple. Mathcad : Cours de formation. – Saint-Pétersbourg : Peter, 2009. - 384 p.
Porshnev S.V., Belenkova I.V. Méthodes numériques basées sur Mathcad. –
Saint-Pétersbourg : BHV-Pétersbourg, 2005. – 464 p.
Agapev B.D., Belov V.N., Kesamanly F.P., Kozlovsky V.V., Markov S.I. Traitement des données expérimentales : Manuel. allocation / Université technique d'État de Saint-Pétersbourg. Saint-Pétersbourg, 2001.
GorelovaG.V. Théorie des probabilités et statistiques mathématiques dans des exemples et des problèmes utilisant Excel. – M. : Phoenix, 2005. – 476 p.
Adler Yu.P., Markova E.V., Granovsky Yu.V. Planifier une expérience lors de la recherche de conditions optimales. - M. : Nauka, 1976
Asaturyan V.I. Théorie de la planification des expériences.-M. : Radio et communication, 1983
Brodsky V.Z. Introduction au plan factoriel d'expériences.-M. : Nauka, 1976
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Krasovsky G.I., Filaretov G.F. Planifier une expérience.-Minsk : BSU, 1982
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Frolkis V.A. Optimisation linéaire et non linéaire.-SPb. 2001. 306 p.
Kuritsky B.Ya. Recherche solutions optimales avec Excel 7.0.-SPb. : BHV, 1997, 384c
logiciel et ressources Internet :
http://www.open-mechanics.com/journals - Procédés et appareils pour la production alimentaire
http://www.spbgunpt.narod.ru/ur_gigm.htm - Mécanique des fluides et des gaz, hydraulique et machines hydrauliques
http://elibrary.ru/defaultx.asp - bibliothèque électronique scientifique "Elibrary"
Introduction
1. Travaux de laboratoire n°1 : Théorie des calculs approximatifs
1.1. Erreurs absolues et relatives
1.2. Erreur de nombre arrondi
1.3. Erreurs arithmétiques
1.4. les erreurs fonctions élémentaires
1.5. Méthode de frontière
1.6. Problème inverse de la théorie des erreurs
1.7. Questions sur le sujet
1.8. Missions pour les travaux de laboratoire n°1
2. Travaux de laboratoire n°2 : Méthodes numériques de solution
équations scalaires
1.1. Méthode d'accord
1.2. Méthode tangente
1.3. Méthode d'itération simple
1.4. Questions sur le sujet
1.5. Missions pour les travaux de laboratoire n°2
3. Travaux de laboratoire n°3 : Méthodes numériques de résolution de systèmes
équations non linéaires
3.1. La méthode de Newton
3.2. Questions sur le sujet
3.3. Mission de laboratoire n°3
4. Travail de laboratoire n°4 : Intégration numérique
4.1. Méthode rectangulaire
4.2. Méthode Simpson
4.3. Méthode trapézoïdale
4 .4. Méthode Monte Carlo
4.5. Questions sur le sujet
4.6. Mission de laboratoire n°4
5. Travaux de laboratoire n°5 : Résolution d'équations différentielles ordinaires
5.1. Méthode Picard
5.2. La méthode d'Euler et ses modifications
5.3. Méthode Runge-Kutta
Cette méthode est représentative de la classe des méthodes approximatives
L'idée de la méthode est extrêmement simple et se résume à une procédure séquentielle
approximations spécifiques pour résoudre l'équation intégrale à laquelle
l'équation différentielle originale est donnée.
Laissons poser le problème de Cauchy
,
Intégrons l'équation écrite
.
(5.2)
La procédure d'approximations successives de la méthode Picard est mise en œuvre selon le schéma suivant
,
(5.3)
Exemple . Résoudre l'équation en utilisant la méthode Picard
,
La solution de cette équation ne s’exprime pas en termes de fonctions élémentaires.
,
On voit que la série converge rapidement. La méthode est pratique si les intégrales peuvent être prises analytiquement.
Montrons la convergence de la méthode de Picard. Laissez entrer un peu de
domaine, le membre de droite est continu et, de plus, satisfait la condition de Lipschitz par rapport à la variable, c'est-à-dire
où est une constante.
En raison de la superficie limitée, des inégalités apparaissent
En soustrayant la formule (5.2) de (5.3), on obtient pour les modules droit et gauche
,
.
Finalement, en utilisant la condition de continuité Lipschitzienne, on obtient
,
(5.4)
où est l'erreur de la solution approximative.
L'application cohérente de la formule (5.4) à donne la chaîne de relations suivante, en tenant compte du fait que
,
,
.
Parce que , ensuite nous avons
.
En remplaçant par la formule de Stirling, on obtient finalement une estimation de l'erreur de la solution approchée
.
(5.5)
De (5.4) il s'ensuit que lorsque le module d'erreur, c'est-à-dire
la solution approchée converge uniformément vers la solution exacte.
5.2.2. Méthodes Runge-Kutta
Ces méthodes sont numériques.
En pratique, les méthodes Runge-Kutta sont utilisées, fournissant des
développement de schémas de différence (méthodes) de différents ordres de précision. La plupart
des schémas (méthodes) des deuxième et quatrième ordres sont utilisés. Eux, nous et
Regardons-le ci-dessous.
Introduisons d’abord quelques concepts et définitions. Grille activée
un segment est un ensemble fixe de points sur ce segment.
La fonction définie en ces points est appelée fonction de grille.
Les coordonnées des points satisfont aux conditions
Les points sont des nœuds de grille. Une grille uniforme est un ensemble de points
,
,
où est le pas de la grille.
Lors de la résolution d’équations différentielles à l’aide d’une méthode approchée, le principal problème est la convergence. En ce qui concerne les méthodes de différence, la notion de convergence à est traditionnellement plus courante. Notons les valeurs de la fonction de grille comme les valeurs de la solution exacte de l'équation différentielle (5.1) au nœud - (ce sont des valeurs approximatives). La convergence signifie ce qui suit. Nous fixons un point et construisons un ensemble de grilles de telle manière que 
(où). Alors la méthode numérique est considérée comme convergeant en un point si 
à ,. Une méthode converge sur un segment si elle converge en tout point. On dit qu’une méthode a l’ordre de précision si elle peut trouver un nombre tel que 
à.
Introduisons en outre le concept de divergence ou d'erreur d'approximation d'une équation aux différences qui remplace une équation différentielle donnée sur la solution de l'équation d'origine, c'est-à-dire le résidu est le résultat de la substitution de la solution exacte de l’équation (5.1) dans l’équation différentielle. Par exemple, (5.1) peut être remplacé par l’équation différentielle la plus simple suivante
,
.
Ensuite, l'écart sera déterminé par l'expression suivante
.
La solution approximative ne coïncide généralement pas avec , donc l'écart au ème point n'est pas égal à zéro. La définition suivante est introduite : la méthode numérique se rapproche de l'équation différentielle d'origine si, et a le ème ordre de précision si 
.
Il est prouvé que l'ordre de précision de la méthode numérique de résolution d'une équation différentielle coïncide avec l'ordre d'approximation sous des hypothèses assez générales.
Passons maintenant à l'analyse des schémas Runge-Kutta. Tournons-nous d'abord vers
schémas de précision du second ordre.
En utilisant la formule de Taylor, résoudre l'équation différentielle
(5.1) peut être représenté comme
, (5.6)
là où cela est indiqué, 
,
.
Notez que d’après (5.1) 
,.
dérivé comme suit
,
où se trouvent actuellement des quantités inconnues. Laisser
Notons la valeur approximative de la solution au nœud numéroté par (c'est la solution qui sera obtenue après avoir limité la série à des termes d'ordre non supérieur à la seconde).
Les paramètres saisis ici sont sujets à définition.
En développant le membre droit d’une série de Taylor et en introduisant des termes similaires, on obtient
séquentiellement
La condition de choix des paramètres i sera la proximité de l'expression
de (5.7) à la série (5.6), alors
,
,
.
Un paramètre reste libre. Qu'il en soit alors
,
,
et enfin de (5.7) en tenant compte des relations trouvées pour et
La relation (5.8) décrit une famille de formules binomiales de Runge-Kutta à un paramètre.
Dans la littérature spécialisée, il est prouvé que si elle est continue et bornée avec ses dérivées secondes, alors la solution approchée du schéma (5.8) converge uniformément vers la solution exacte avec une erreur 
, c'est à dire. le schéma (5.8) a une précision du deuxième ordre.
Dans la pratique du calcul, les formules (5.8) sont utilisées pour les valeurs des paramètres.
De (5.8) on déduit
L'application de la formule (5.9) se réduit à la séquence d'étapes suivante :
1. Calculez grossièrement la valeur de la fonction (selon le diagramme polyligne)
2. Déterminer la pente de la courbe intégrale au point ()
3. Trouver la valeur moyenne de la dérivée de la fonction à l'étape
4. La valeur de la fonction dans le ()ème nœud est calculée
Ce schéma porte un nom spécial « prédicteur - correcteur ».
D’après (5.8) on obtient
Le problème est résolu selon les étapes suivantes :
1. La valeur de la fonction dans le demi-nœud est calculée
.
2. La valeur de la dérivée au nœud est déterminée
.
3. La valeur de la fonction se trouve dans le ()ème nœud
En plus des schémas binomiaux évoqués ci-dessus, les schémas Runge-Kutta du quatrième ordre de précision sont largement utilisés dans la pratique du calcul. Les formules correspondantes sont données ci-dessous sans dérivation
(5.10)
Les régimes comptant un grand nombre de membres ne sont pratiquement pas utilisés. Cinq-
les formules à termes fournissent le quatrième ordre de précision, les formules à six termes ont un sixième ordre, mais leur forme est très compliquée.
Les erreurs des schémas Runge-Kutta donnés sont déterminées par le maximum
toutes les valeurs des dérivées correspondantes.
Les estimations d’erreur peuvent être facilement obtenues pour le cas particulier du droit
parties d'une équation différentielle
.
Dans ce cas, la solution de l’équation peut être réduite à la quadrature et
tous les schémas de solutions aux différences se transforment en formules d'intégration numérique
itinérant. Par exemple, le schéma (5.9) prend la forme
,
c'est-à-dire qu'il a la forme d'une formule trapézoïdale, et le schéma (5.10) entre dans le schéma
qui est la formule de Simpson avec un pas.
Les estimations d'erreurs majeures pour les formules trapézoïdales et de Simpson sont connues (voir la section 3.2). D’après (3.4) et (3.5), il ressort clairement que la précision des schémas Runge-Kutta est assez élevée.
Le choix de l'un ou l'autre des schémas proposés pour résoudre un problème spécifique
la datcha est déterminée par les considérations suivantes. Si la fonction dans
le côté droit de l’équation est continu et borné, ainsi que continu et
ses dérivées quatrièmes sont limitées, alors le meilleur résultat est obtenu -
lors de l’utilisation du schéma (5.10). Dans le cas où la fonction
n'a pas les dérivées mentionnées ci-dessus, limite (quatrième) ordre
Le schéma (5.10) ne peut pas être réalisé, et il s’avère conseillé
utilisation de schémas plus simples.
En plus des schémas de Runge-Kutta, les méthodes multi-étapes présentent un intérêt pratique, qui peut être décrit par le système d'équations suivant
Où 
, a - coefficients numériques, 
,.
Selon cette équation, le calcul commence par . Dans ce cas, on obtient une relation de la forme
ceux. Pour commencer à compter, vous devez avoir des valeurs initiales. Ces valeurs doivent être calculées par une autre méthode, par exemple la méthode Runge-Kutta.
Parmi les méthodes multi-étapes, la plus courante est la méthode d'Adams, dont le schéma de mise en œuvre découle de (5.11) avec 
et pour 
:
.
Quand la méthode Adams s’avère explicite, mais implicite.