Factorisez en facteurs linéaires en utilisant le schéma Horner. Équations en mathématiques supérieures. Racines rationnelles des polynômes. Le plan de Horner. méthode de solution graphique

Le site « Professional Mathematics Tutor » poursuit la série d'articles méthodologiques sur l'enseignement. Je publie des descriptions des méthodes de mon travail sur les sujets les plus complexes et problématiques du programme scolaire. Ce matériel sera utile aux enseignants et tuteurs en mathématiques travaillant avec des élèves de la 8e à la 11e année tant dans le programme régulier que dans le programme des cours de mathématiques.

Un professeur de mathématiques ne peut pas toujours expliquer des éléments mal présentés dans le manuel. Malheureusement, ces sujets sont de plus en plus nombreux et des erreurs de présentation des auteurs de manuels sont commises en masse. Cela s'applique non seulement aux professeurs de mathématiques débutants et aux tuteurs à temps partiel (les tuteurs sont des étudiants et des tuteurs universitaires), mais également aux enseignants expérimentés, aux tuteurs professionnels, aux tuteurs expérimentés et qualifiés. Tous les professeurs de mathématiques n’ont pas le talent nécessaire pour corriger avec compétence les aspérités des manuels scolaires. Tout le monde ne comprend pas non plus que ces corrections (ou ajouts) sont nécessaires. Peu d'enfants participent à l'adaptation du matériel pour sa perception qualitative par les enfants. Malheureusement, le temps est révolu où les professeurs de mathématiques, en collaboration avec les méthodologistes et les auteurs de publications, discutaient en masse de chaque lettre du manuel. Auparavant, avant de diffuser un manuel dans les écoles, des analyses et des études sérieuses sur les résultats d'apprentissage étaient réalisées. Le temps est venu pour les amateurs qui s'efforcent de rendre les manuels universels, en les ajustant aux normes de cours de mathématiques solides.

La course à l'augmentation de la quantité d'informations ne conduit qu'à une diminution de la qualité de son assimilation et, par conséquent, à une diminution du niveau de connaissance réelle en mathématiques. Mais personne n’y prête attention. Et nos enfants sont obligés, dès la 8e, d'étudier ce que nous avons étudié à l'institut : la théorie des probabilités, la résolution d'équations de haut degré et autre chose. L’adaptation du matériel contenu dans les livres pour une perception complète de l’enfant laisse beaucoup à désirer, et un professeur de mathématiques est obligé de s’en occuper d’une manière ou d’une autre.

Parlons de la méthodologie pour enseigner un sujet aussi spécifique que « diviser un polynôme par un polynôme par un coin », mieux connu en mathématiques pour adultes sous le nom de « théorème de Bezout et schéma de Horner ». Il y a quelques années à peine, la question n'était pas si pressante pour un professeur de mathématiques, car cela ne faisait pas partie du programme scolaire principal. Maintenant, les auteurs respectés du manuel, édité par Telyakovsky, ont apporté des modifications à la dernière édition de ce qui est, à mon avis, le meilleur manuel et, l'ayant complètement gâché, n'ont fait qu'ajouter des soucis inutiles au tuteur. Les enseignants des écoles et des classes qui n'ont pas le statut de mathématiques, se concentrant sur les innovations des auteurs, ont commencé à inclure plus souvent des paragraphes supplémentaires dans leurs cours, et les enfants curieux, regardant les belles pages de leur manuel de mathématiques, demandent de plus en plus au tuteur : « Qu'est-ce que cette division par un coin ? Allons-nous vivre cela ? Comment partager un coin ? Il n’est plus possible de se cacher de questions aussi directes. Le tuteur devra dire quelque chose à l'enfant.

Comment? Je n'aurais probablement pas décrit la méthode de travail sur le sujet s'il avait été présenté avec compétence dans les manuels. Comment ça se passe chez nous ? Les manuels doivent être imprimés et vendus. Et pour cela, ils doivent être mis à jour régulièrement. Les professeurs d'université se plaignent-ils que les enfants viennent à eux la tête vide, sans connaissances ni compétences ? Les exigences en matière de connaissances mathématiques augmentent-elles ? Super! Supprimons certains exercices et insérons à la place des sujets étudiés dans d'autres programmes. Pourquoi notre manuel est-il pire ? Nous inclurons quelques chapitres supplémentaires. Les écoliers ne connaissent pas la règle de diviser un coin ? Ce sont des mathématiques de base. Ce paragraphe devrait être rendu facultatif, intitulé « pour ceux qui veulent en savoir plus ». Les tuteurs sont-ils contre ? Pourquoi nous soucions-nous des tuteurs en général ? Les méthodologistes et les enseignants des écoles sont également contre ? Nous ne compliquerons pas le matériel et considérerons sa partie la plus simple.

Et c'est là que ça commence. La simplicité du sujet et la qualité de son assimilation résident avant tout dans la compréhension de sa logique, et non dans la réalisation, conformément aux instructions des auteurs du manuel, d'un certain ensemble d'opérations qui ne sont pas clairement liées les unes aux autres. . Sinon, il y aura du brouillard dans la tête de l’élève. Si les auteurs ciblent des étudiants relativement forts (mais qui étudient dans un programme régulier), vous ne devez pas présenter le sujet sous forme de commande. Que voit-on dans le manuel ? Les enfants, nous devons diviser selon cette règle. Obtenez le polynôme sous l'angle. Ainsi, le polynôme original sera factorisé. Cependant, il n'est pas clair de comprendre pourquoi les termes sous le coin sont sélectionnés exactement de cette manière, pourquoi ils doivent être multipliés par le polynôme au-dessus du coin, puis soustraits du reste actuel. Et surtout, on ne sait pas pourquoi les monômes sélectionnés doivent finalement être ajoutés et pourquoi les parenthèses résultantes seront une expansion du polynôme d'origine. Tout mathématicien compétent mettra un point d’interrogation audacieux sur les explications données dans le manuel.

J'attire l'attention des tuteurs et des professeurs de mathématiques sur ma solution au problème, qui rend pratiquement évident pour l'élève tout ce qui est énoncé dans le manuel. En fait, nous prouverons le théorème de Bezout : si le nombre a est la racine d'un polynôme, alors ce polynôme peut être décomposé en facteurs, dont l'un est x-a, et le second est obtenu à partir de l'original de l'une des trois manières suivantes : en isolant un facteur linéaire par des transformations, en divisant par un coin ou par le schéma de Horner. C'est avec cette formulation qu'il sera plus facile pour un professeur de mathématiques de travailler.

Qu’est-ce que la méthodologie pédagogique ? Tout d'abord, il s'agit d'un ordre clair dans la séquence d'explications et d'exemples sur la base desquels des conclusions mathématiques sont tirées. Ce sujet ne fait pas exception. Il est très important qu’un professeur de mathématiques initie un enfant au théorème de Bezout avant de diviser par un coin. C'est très important ! La meilleure façon de parvenir à la compréhension est de exemple spécifique. Prenons un polynôme avec une racine sélectionnée et montrons la technique de sa factorisation en facteurs selon la méthode des transformations identitaires, familière aux écoliers dès la 7e. Avec des explications appropriées, des accents et des conseils d'un tuteur en mathématiques, il est tout à fait possible de transmettre le matériel sans calculs mathématiques généraux, coefficients et degrés arbitraires.

Conseils importants pour un professeur de mathématiques- suivez les instructions du début à la fin et ne modifiez pas cet ordre.

Disons donc que nous avons un polynôme. Si on remplace le nombre 1 par son X, alors la valeur du polynôme sera égale à zéro. Donc x=1 est sa racine. Essayons de le décomposer en deux termes pour que l'un d'eux soit le produit d'une expression linéaire et d'un monôme, et que le second ait un degré inférieur à . Autrement dit, représentons-le sous la forme

Nous sélectionnons le monôme pour le champ rouge de sorte que lorsqu'il est multiplié par le terme principal, il coïncide complètement avec le terme principal du polynôme d'origine. Si l'élève n'est pas le plus faible, alors il sera tout à fait capable de dire au professeur de mathématiques l'expression recherchée : . Il faut immédiatement demander au tuteur de l'insérer dans le champ rouge et de montrer ce qui se passera une fois ouverts. Il est préférable de signer ce polynôme temporaire virtuel sous les flèches (sous la petite photo), en le soulignant avec une certaine couleur, par exemple le bleu. Cela vous aidera à sélectionner un terme pour le champ rouge, appelé reste de la sélection. Je conseillerais aux professeurs de préciser ici que ce reste peut être trouvé par soustraction. En effectuant cette opération on obtient :

Le professeur de mathématiques doit attirer l'attention de l'élève sur le fait qu'en substituant un dans cette égalité, on est assuré d'obtenir zéro à son côté gauche (puisque 1 est la racine du polynôme d'origine), et à droite, évidemment, on mettra également à zéro le premier terme. Cela signifie que sans aucune vérification on peut dire que l’un est la racine du « reste vert ».

Traitons-le de la même manière que nous l'avons fait avec le polynôme d'origine, en en isolant le même facteur linéaire. Le professeur de mathématiques dessine deux cadres devant l'élève et lui demande de les remplir de gauche à droite.

L'étudiant sélectionne pour le tuteur un monôme pour le champ rouge de sorte que, multiplié par le terme le plus élevé de l'expression linéaire, il donne le terme le plus élevé du polynôme expansif. Nous l'insérons dans le cadre, ouvrons immédiatement le support et mettons en évidence en bleu l'expression qui doit être soustraite de celle pliée. En effectuant cette opération on obtient

Et enfin, faire de même avec le dernier reste

nous l'aurons enfin

Retirons maintenant l'expression des parenthèses et nous verrons la décomposition du polynôme d'origine en facteurs, dont l'un est « x moins la racine sélectionnée ».

Pour que l'étudiant ne pense pas que le dernier « reste vert » a été accidentellement décomposé en facteurs requis, le professeur de mathématiques doit souligner une propriété importante de tous les restes verts : chacun d'eux a une racine de 1. Puisque les degrés de ces restes diminuent, alors quel que soit le degré de l'initial peu importe la quantité de polynôme qui nous est donnée, tôt ou tard nous obtiendrons un « reste vert » linéaire de racine 1, et donc il se décomposera nécessairement en produit d'un un certain nombre et une expression.

Après cela travail préparatoire Il ne sera pas difficile pour un professeur de mathématiques d’expliquer à un élève ce qui se passe lors d’une division par un coin. Il s'agit du même processus, mais sous une forme plus courte et plus compacte, sans signes égaux et sans réécriture des mêmes termes mis en évidence. Le polynôme dont le facteur linéaire est extrait est écrit à gauche du coin, les monômes rouges sélectionnés sont rassemblés sous un angle (il devient maintenant clair pourquoi ils doivent s'additionner), pour obtenir les « polynômes bleus », les « polynômes rouges » " Les uns doivent être multipliés par x-1, puis soustraits de ceux actuellement sélectionnés, comme cela se fait dans la division habituelle des nombres en colonne (voici une analogie avec ce qui a été étudié précédemment). Les « résidus verts » résultants sont soumis à un nouvel isolement et à une nouvelle sélection de « monômes rouges ». Et ainsi de suite jusqu’à obtenir un « solde vert » nul. Le plus important est que l'élève comprenne autre destin polynômes écrits au-dessus et en dessous de l'angle. Évidemment, ce sont des parenthèses dont le produit est égal au polynôme d'origine.

La prochaine étape du travail d’un professeur de mathématiques est la formulation du théorème de Bezout. En fait, sa formulation avec cette approche du tuteur devient évidente : si le nombre a est la racine d'un polynôme, alors il peut être factorisé, dont l'un est , et l'autre est obtenu à partir du nombre original de l'une des trois manières suivantes :

• décomposition directe (analogue à la méthode de regroupement)
• diviser par un coin (dans une colonne)
• via le circuit de Horner

Il faut dire que tous les tuteurs de mathématiques ne montrent pas le diagramme de Horner aux élèves, et que tous les enseignants des écoles (heureusement pour les tuteurs eux-mêmes) n'approfondissent pas aussi profondément le sujet pendant les cours. Cependant, pour un étudiant en cours de mathématiques, je ne vois aucune raison de s'arrêter à la division longue. De plus, le plus pratique et rapide La technique de décomposition est basée précisément sur le schéma de Horner. Pour expliquer à un enfant d'où il vient, il suffit de retracer, à l'aide de l'exemple de la division par un coin, l'apparition de coefficients plus élevés dans les restes verts. Il devient clair que le coefficient dominant du polynôme initial est reporté dans le coefficient du premier « monôme rouge », et plus loin dans le deuxième coefficient du polynôme supérieur actuel. déduit le résultat de la multiplication du coefficient actuel du « monôme rouge » par . Il est donc possible ajouter le résultat de la multiplication par . Après avoir concentré l'attention de l'élève sur les spécificités des actions avec des coefficients, un tuteur en mathématiques peut montrer comment ces actions sont habituellement effectuées sans enregistrer les variables elles-mêmes. Pour ce faire, il convient de saisir la racine et les coefficients du polynôme d'origine par ordre de priorité dans le tableau suivant :

Si un degré manque dans un polynôme, son coefficient zéro est forcé dans le tableau. Les coefficients des « polynômes rouges » sont écrits tour à tour dans la ligne du bas selon la règle du « crochet » :

La racine est multipliée par le dernier coefficient rouge, ajouté au coefficient suivant sur la ligne du haut, et le résultat est inscrit sur la ligne du bas. Dans la dernière colonne, nous sommes assurés d'obtenir le coefficient le plus élevé du dernier « reste vert », c'est-à-dire zéro. Une fois le processus terminé, les chiffres pris en sandwich entre la racine correspondante et le reste zéro s'avèrent être des coefficients du deuxième facteur (non linéaire).

Puisque la racine a donne un zéro à la fin de la ligne du bas, le schéma de Horner peut être utilisé pour vérifier les nombres pour le titre de la racine d'un polynôme. Si le théorème de sélection spéciale racine rationnelle. Tous les candidats à ce titre obtenus grâce à son aide sont simplement insérés tour à tour depuis la gauche dans le diagramme de Horner. Dès que nous obtiendrons zéro, le nombre testé sera une racine, et en même temps nous obtiendrons les coefficients de factorisation du polynôme d'origine sur sa droite. Très pratique.

En conclusion, je voudrais noter que pour présenter avec précision le schéma de Horner, ainsi que pour consolider pratiquement le sujet, un tuteur en mathématiques devrait avoir à sa disposition quantité suffisante heures. Un tuteur travaillant avec le régime « une fois par semaine » ne devrait pas s'engager dans la division des coins. À l'examen d'État unifié de mathématiques et à l'Académie d'État de mathématiques en mathématiques, il est peu probable que dans la première partie vous rencontriez un jour une équation du troisième degré pouvant être résolue par de tels moyens. Si un tuteur prépare un enfant à un examen de mathématiques à l'Université d'État de Moscou, l'étude du sujet devient obligatoire. Les professeurs d'université, contrairement aux compilateurs de l'examen d'État unifié, aiment vraiment tester la profondeur des connaissances d'un candidat.

Kolpakov Alexander Nikolaevich, professeur de mathématiques Moscou, Stroguino

Lors de la résolution d’équations et d’inéquations, il est souvent nécessaire de factoriser un polynôme dont le degré est égal ou supérieur à trois. Dans cet article, nous examinerons la manière la plus simple de procéder.

Comme d'habitude, tournons-nous vers la théorie pour obtenir de l'aide.

Théorème de Bezout déclare que le reste lors de la division d'un polynôme par un binôme est .

Mais ce qui est important pour nous, ce n'est pas le théorème lui-même, mais corollaire de celui-ci :

Si le nombre est la racine d’un polynôme, alors le polynôme est divisible par le binôme sans reste.

Nous sommes confrontés à la tâche de trouver d'une manière ou d'une autre au moins une racine du polynôme, puis de diviser le polynôme par , où est la racine du polynôme. En conséquence, nous obtenons un polynôme dont le degré est inférieur de un au degré d'origine. Et puis, si nécessaire, vous pouvez répéter le processus.

Cette tâche se décompose en deux : comment trouver la racine d'un polynôme et comment diviser un polynôme par un binôme.

Examinons ces points de plus près.

1. Comment trouver la racine d'un polynôme.

Nous vérifions d’abord si les nombres 1 et -1 sont des racines du polynôme.

Les faits suivants nous aideront ici :

Si la somme de tous les coefficients d’un polynôme est nulle, alors le nombre est la racine du polynôme.

Par exemple, dans un polynôme la somme des coefficients est nulle : . Il est facile de vérifier quelle est la racine d'un polynôme.

Si la somme des coefficients d’un polynôme aux puissances paires est égale à la somme des coefficients aux puissances impaires, alors le nombre est la racine du polynôme. Le terme libre est considéré comme un coefficient pour un degré pair, puisque , a est un nombre pair.

Par exemple, dans un polynôme, la somme des coefficients des puissances paires est : , et la somme des coefficients des puissances impaires est : . Il est facile de vérifier quelle est la racine d'un polynôme.

Si ni 1 ni -1 ne sont des racines du polynôme, alors nous passons à autre chose.

Pour un polynôme de degré réduit (c'est-à-dire un polynôme dans lequel le coefficient dominant - le coefficient à - est égal à l'unité), la formule de Vieta est valable :

Où sont les racines du polynôme.

Il existe également des formules Vieta concernant les coefficients restants du polynôme, mais celle-ci nous intéresse.

De cette formule Vieta, il s'ensuit que si les racines d'un polynôme sont des nombres entiers, alors elles sont des diviseurs de son terme libre, qui est également un nombre entier.

Sur cette base, nous devons factoriser le terme libre du polynôme et, séquentiellement, du plus petit au plus grand, vérifier lequel des facteurs est la racine du polynôme.

Prenons par exemple le polynôme

Diviseurs du terme libre : ;

;

;

La somme de tous les coefficients du polynôme est égale à , donc le nombre 1 n'est pas la racine du polynôme.

Somme des coefficients pour les puissances paires :

Somme des coefficients pour les puissances impaires :

Par conséquent, le nombre -1 n’est pas non plus une racine du polynôme.

Vérifions si le nombre 2 est la racine du polynôme : le nombre 2 est donc la racine du polynôme. Cela signifie que, selon le théorème de Bezout, le polynôme est divisible par un binôme sans reste.

2. Comment diviser un polynôme en un binôme.

Un polynôme peut être divisé en binôme par une colonne.

Divisez le polynôme par un binôme à l'aide d'une colonne : Il existe une autre façon de diviser un polynôme par un binôme : le schéma de Horner.

Regardez cette vidéo pour comprendre

comment diviser un polynôme par un binôme avec une colonne, et en utilisant le schéma de Horner.

Je remarque que si, lors de la division par colonne, un certain degré d'inconnu manque dans le polynôme d'origine, nous écrivons 0 à sa place - de la même manière que lors de la compilation d'un tableau pour le schéma de Horner. Ainsi, si nous devons diviser un polynôme par un binôme et que, à la suite de la division, nous obtenons un polynôme, nous pouvons alors trouver les coefficients du polynôme en utilisant le schéma de Horner : Nous pouvons également utiliser

Schéma Horner

afin de vérifier si un nombre donné est la racine d'un polynôme : si le nombre est la racine d'un polynôme, alors le reste en divisant le polynôme par est égal à zéro, c'est-à-dire dans la dernière colonne de la deuxième ligne de Avec le diagramme de Horner, nous obtenons 0. En utilisant le schéma de Horner, on « fait d'une pierre deux coups » : on vérifie simultanément si le nombre est la racine d'un polynôme et on divise ce polynôme par un binôme.

Exemple.

Résolvez l'équation :

1. Écrivons les diviseurs du terme libre et cherchons les racines du polynôme parmi les diviseurs du terme libre.

Diviseurs de 24 :

2. Vérifions si le nombre 1 est la racine du polynôme.

La somme des coefficients d'un polynôme, donc le nombre 1 est la racine du polynôme.

Comme le terme contenant est manquant, dans la colonne du tableau dans laquelle le coefficient doit être écrit, nous écrivons 0. À gauche, nous écrivons la racine trouvée : le nombre 1.

B) Remplissez la première ligne du tableau.

Dans la dernière colonne, comme prévu, nous avons obtenu zéro ; nous avons divisé le polynôme d'origine par un binôme sans reste. Les coefficients du polynôme issu de la division sont indiqués en bleu dans la deuxième ligne du tableau :

Il est facile de vérifier que les nombres 1 et -1 ne sont pas des racines du polynôme

B) Continuons le tableau. Vérifions si le nombre 2 est la racine du polynôme :

Ainsi, le degré du polynôme, obtenu à la suite d'une division par un, est inférieur au degré du polynôme d'origine, par conséquent, le nombre de coefficients et le nombre de colonnes sont un de moins.

Dans la dernière colonne, nous avons -40 - un nombre qui n'est pas égal à zéro, donc le polynôme est divisible par un binôme avec un reste et le nombre 2 n'est pas la racine du polynôme.

C) Vérifions si le nombre -2 est la racine du polynôme. La tentative précédente ayant échoué, pour éviter toute confusion avec les coefficients, j'effacerai la ligne correspondant à cette tentative :

Super! Nous avons obtenu zéro comme reste, donc le polynôme a été divisé en un binôme sans reste, donc le nombre -2 est la racine du polynôme. Les coefficients du polynôme obtenu en divisant un polynôme par un binôme sont indiqués en vert dans le tableau.

À la suite de la division, nous obtenons un trinôme quadratique , dont les racines peuvent facilement être trouvées à l’aide du théorème de Vieta :

Ainsi, les racines de l’équation originale sont :

{}

Répondre: ( }

Objectifs de la leçon :

• apprendre aux étudiants à résoudre des équations de degrés supérieurs en utilisant le schéma de Horner ;
• développer la capacité de travailler en binôme ;
• créer, en lien avec les principales sections du cours, une base pour développer les capacités des étudiants ;
• aider l'élève à évaluer son potentiel, à développer son intérêt pour les mathématiques, sa capacité de réflexion et à s'exprimer sur le sujet.

Équipement: cartes pour le travail de groupe, affiche avec le diagramme de Horner.

Méthode d'enseignement : conférence, histoire, explication, réalisation d'exercices de formation.

Formulaire de contrôle : vérification des tâches décision indépendante, travail indépendant.

Progression de la leçon

1. Moment organisationnel

2. Actualiser les connaissances des étudiants

Quel théorème permet de déterminer si un nombre est la racine d'une équation donnée (formuler un théorème) ?

Théorème de Bezout. Le reste de la division du polynôme P(x) par le binôme x-c est égal P(c), le nombre c est appelé racine du polynôme P(x) si P(c)=0. Le théorème permet, sans effectuer l'opération de division, de déterminer si un nombre donné est la racine d'un polynôme.

Quelles affirmations facilitent la recherche de racines ?

a) Si le coefficient dominant d'un polynôme est égal à un, alors les racines du polynôme doivent être recherchées parmi les diviseurs du terme libre.

b) Si la somme des coefficients d'un polynôme est 0, alors l'une des racines est 1.

c) Si la somme des coefficients aux endroits pairs est égale à la somme des coefficients aux endroits impairs, alors une des racines est égale à -1.

d) Si tous les coefficients sont positifs, alors les racines du polynôme sont des nombres négatifs.

e) Un polynôme de degré impair a au moins une racine réelle.

3. Apprendre du nouveau matériel

Lors de la résolution d'équations algébriques entières, vous devez trouver les valeurs des racines des polynômes. Cette opération peut être considérablement simplifiée si les calculs sont effectués à l'aide d'un algorithme spécial appelé schéma de Horner. Ce circuit porte le nom du scientifique anglais William George Horner. Le schéma de Horner est un algorithme permettant de calculer le quotient et le reste de la division du polynôme P(x) par x-c. En bref comment ça marche.

Soit un polynôme arbitraire P(x) = a 0 x n + a 1 x n-1 + …+ a n-1 x+ a n. La division de ce polynôme par x-c est sa représentation sous la forme P(x)=(x-c)g(x) + r(x). Partiel g(x)=in 0 x n-1 + in n x n-2 +…+in n-2 x + in n-1, où in 0 =a 0, in n =st n-1 +a n , n =1,2,3,…n-1. Reste r(x)= st n-1 +a n. Cette méthode de calcul est appelée schéma de Horner. Le mot « schéma » dans le nom de l'algorithme est dû au fait que sa mise en œuvre est généralement formatée comme suit. Tout d’abord, dessinez le tableau 2(n+2). Dans la cellule inférieure gauche, écrivez le nombre c et dans la ligne du haut les coefficients du polynôme P(x). Dans ce cas, la cellule supérieure gauche reste vide.

Le nombre qui, après exécution de l'algorithme, s'avère être écrit dans la cellule inférieure droite est le reste de la division du polynôme P(x) par x-c. Les autres nombres en 0, en 1, en 2,... dans la ligne du bas sont les coefficients du quotient.

Par exemple : Divisez le polynôme P(x)= x 3 -2x+3 par x-2.

On obtient que x 3 -2x+3=(x-2) (x 2 +2x+2) + 7.

4. Consolidation du matériel étudié

Exemple 1 : Factorisez le polynôme P(x)=2x4-7x 3 -3x 2 +5x-1 en facteurs à coefficients entiers.

On recherche des racines entières parmi les diviseurs du terme libre -1 : 1 ; -1. Faisons un tableau :

X = -1 – racine

P(x)= (x+1) (2x 3 -9x 2 +6x -1)

Vérifions 1/2.

Par conséquent, le polynôme P(x) peut être représenté sous la forme

P(x)= (x+1) (x-1/2) (x 2 -8x +2) = (x+1) (2x -1) (x 2 - 4x +1)

Exemple 2 : Résolvez l'équation 2x 4 - 5x 3 + 5x 2 - 2 = 0

Puisque la somme des coefficients du polynôme écrit du côté gauche de l’équation est égale à zéro, alors l’une des racines est 1. Utilisons le schéma de Horner :

On obtient P(x)=(x-1) (2x 3 -3x 2 =2x +2). Nous chercherons des racines parmi les diviseurs du terme libre 2.

Nous avons découvert qu’il n’y avait plus de racines intactes. Vérifions 1/2 ; -1/2.

Réponse : 1 ; -1/2.

Exemple 3 : Résolvez l'équation 5x 4 – 3x 3 – 4x 2 -3x+ 5 = 0.

Nous chercherons les racines de cette équation parmi les diviseurs du terme libre 5 : 1;-1;5;-5. x=1 est la racine de l'équation, puisque la somme des coefficients est nulle. Utilisons le schéma de Horner :

Présentons l'équation comme le produit de trois facteurs : (x-1) (x-1) (5x 2 -7x + 5) = 0. En résolvant l'équation quadratique 5x 2 -7x+5=0, nous obtenons D=49-100=-51, il n'y a pas de racines.

Carte 1

1. Factoriser le polynôme : x 4 +3x 3 -5x 2 -6x-8
2. Résolvez l'équation : 27x 3 -15x 2 +5x-1=0

Carte 2

1. Factoriser le polynôme : x 4 - x 3 -7x 2 +13x-6
2. Résolvez l'équation : x 4 +2x 3 -13x 2 -38x-24=0

Carte 3

1. Prendre en compte : 2x 3 -21x 2 +37x+24
2. Résolvez l'équation : x 3 -2x 2 +4x-8=0

Carte 4

1. Factoriser en : 5x 3 -46x 2 +79x-14
2. Résolvez l'équation : x 4 +5x 3 +5x 2 -5x-6=0

5. Résumé

Le test des connaissances lors de la résolution par paires s'effectue en classe en reconnaissant la méthode d'action et le nom de la réponse.

Devoirs:

Résolvez les équations :

a) x 4 -3x 3 +4x 2 -3x+1=0

b) 5x 4 -36x 3 +62x 2 -36x+5=0

c) x 4 + x 3 + x + 1 = 4x 2

d) x 4 +2x 3 -x-2=0

Littérature

1. N. Ya. Vilenkin et al., Algèbre et débuts de l'analyse, 10e année (étude approfondie des mathématiques) : Enlightenment, 2005.
2. U.I. Sakharchuk, L.S. Sagatelova, Solution d'équations de degrés supérieurs : Volgograd, 2007.
3. S.B. Gashkov, Les systèmes numériques et leur application.

Diapositive 3

Horner Williams George (1786-22.9.1837) - mathématicien anglais. Né à Bristol. Il y étudie et travaille, puis dans les écoles de Bath. Travaux de base sur l'algèbre. En 1819 a publié une méthode de calcul approximatif des racines réelles d'un polynôme, qui s'appelle maintenant la méthode de Ruffini-Horner (cette méthode était connue des Chinois au XIIIe siècle. Le schéma de division d'un polynôme par le binôme x-a est nommé). après Horner.

Diapositive 4

SCHÉMA HORNER

Méthode de division nième polynôme degré sur un binôme linéaire - a, basé sur le fait que les coefficients du quotient incomplet et du reste sont liés aux coefficients du polynôme divisible et aux formules :

Diapositive 5

Les calculs selon le schéma de Horner sont placés dans le tableau :

Exemple 1. Diviser Le quotient partiel est x3-x2+3x - 13 et le reste est 42=f(-3).

Diapositive 6

Le principal avantage de cette méthode est la compacité de la notation et la possibilité de diviser rapidement un polynôme en un binôme. En fait, le schéma de Horner est une autre forme d'enregistrement de la méthode de regroupement, même si, contrairement à cette dernière, il est totalement non visuel. La réponse (factorisation) s'obtient ici d'elle-même, et nous ne voyons pas le processus pour l'obtenir. Nous ne nous lancerons pas dans une justification rigoureuse du schéma de Horner, mais nous montrerons seulement comment il fonctionne.

Diapositive 7

Exemple 2.

Montrons que le polynôme P(x)=x4-6x3+7x-392 est divisible par x-7, et trouvons le quotient de la division. Solution. En utilisant le schéma de Horner, nous trouvons P(7) : De là, nous obtenons P(7)=0, c'est-à-dire le reste lors de la division d'un polynôme par x-7 est égal à zéro et, par conséquent, le polynôme P(x) est un multiple de (x-7). De plus, les nombres de la deuxième ligne du tableau sont les coefficients du. Quotient de P(x) divisé par (x-7), donc P(x)=(x-7)(x3+x2+7x+56).

Diapositive 8

Factorisez le polynôme x3 – 5x2 – 2x + 16.

Ce polynôme a des coefficients entiers. Si un entier est la racine de ce polynôme, alors c'est un diviseur du nombre 16. Ainsi, si un polynôme donné a des racines entières, alors celles-ci ne peuvent être que les nombres ±1 ; ±2 ; ±4 ; ±8 ; ±16. Par vérification directe nous sommes convaincus que le nombre 2 est la racine de ce polynôme, soit x3 – 5x2 – 2x + 16 = (x – 2)Q(x), où Q(x) est un polynôme du deuxième degré

Diapositive 9

Les nombres résultants 1, −3, −8 sont les coefficients du polynôme, obtenu en divisant le polynôme d'origine par x – 2. Cela signifie que le résultat de la division est : 1 x2 + (–3)x + ( –8) = x2 – 3x – 8. Le degré d'un polynôme résultant de la division est toujours inférieur de 1 au degré de celui d'origine. Donc : x3 – 5x2 – 2x + 16 = (x – 2)(x2 – 3x – 8).

Soit un binôme simple de la forme ax + b = 0. Le résoudre n'est pas difficile. Il suffit de déplacer l'inconnue d'un côté et les coefficients de l'autre. Par conséquent, x = - b/a. L'équation considérée peut être compliquée en ajoutant le carré ax2 + bx + c = 0. Elle se résout en trouvant le discriminant. S'il est supérieur à zéro, alors il y aura deux solutions ; s'il est égal à zéro, il n'y a qu'une seule racine, et lorsqu'il est inférieur, alors il n'y a aucune solution.

Supposons que le type d'équation suivant contienne la troisième puissance ax3 + bx2 + c + d = 0. Cette égalité pose des difficultés à beaucoup. Bien qu'il y ait diverses manières, permettant de résoudre une telle équation, par exemple la formule de Kordan, mais ils ne peuvent plus être utilisés pour les puissances du cinquième ordre et des ordres supérieurs. Par conséquent, les mathématiciens ont réfléchi à une méthode universelle avec laquelle il serait possible de calculer des équations de toute complexité.

À l'école, on suggère généralement d'utiliser la méthode de regroupement et d'analyse, dans laquelle un polynôme peut être pris en compte en au moins deux facteurs. Pour équation cubique peut s'écrire : (x - x0) (ax2 + bx + c) = 0. Ils utilisent ensuite le fait que le produit ne sera égal à zéro que si l'équation binomiale linéaire ou quadratique lui est égale. Ensuite, la solution standard est effectuée. Le problème du calcul de ce type d’égalités réduites se pose lors de la recherche de x0. C’est là que le plan de Horner sera utile.

L’algorithme proposé par Horner a en fait été découvert plus tôt par le mathématicien et médecin italien Paolo Ruffini. Il fut le premier à prouver l'impossibilité de trouver un radical dans les expressions du cinquième degré. Mais son travail contenait de nombreuses contradictions qui ne lui ont pas permis d'être accepté par le monde mathématique des scientifiques. Sur la base de ses travaux, le Britannique William George Horner a publié en 1819 une méthode permettant de trouver approximativement les racines d'un polynôme. Ce travail a été publié par la Royal Scientific Society et s'appelait la méthode Ruffini-Horner.

Par la suite, l'Écossais Augustus de Morgan a élargi les possibilités d'utilisation de la méthode. La méthode a trouvé des applications dans les relations de la théorie des ensembles et la théorie des probabilités. Essentiellement, le schéma est un algorithme permettant de calculer le quotient et le reste de la relation de l'enregistrement P (x) à x-c.

Principe de la méthode

Pour la première fois, les élèves des classes supérieures sont initiés à la méthode de recherche des racines à l'aide du diagramme de Horner. lycée dans les cours d'algèbre. Il est expliqué à l'aide de l'exemple de la résolution d'une équation du troisième degré : x3 + 6x - x - 30 = 0. De plus, l'énoncé du problème indique que la racine de cette équation est le nombre deux. Le défi est d’identifier d’autres racines.

Cela se fait généralement comme suit. Si un polynôme p (x) a une racine x0, alors p (x) peut être représenté comme le produit de la différence x moins x zéro par un autre polynôme q (x), dont le degré sera un de moins. Le polynôme requis est généralement isolé par division. Pour l'exemple considéré, l'équation ressemblera à : (x3 + 6x - x - 30) / (x - x2). Il est préférable de faire la division en utilisant un « coin ». L'expression résultante est : x 2 + 8x + 15.

Ainsi, l'expression souhaitée peut être réécrite comme (x - 2)* (x 2 + 8x + 15) = 0. Ensuite, afin de trouver une solution, vous devez procéder comme suit :

• Trouvez les racines du premier terme de l'égalité, en l'assimilant à zéro : x - 2 = 0. D'où x = 2, qui découle également de la condition.
• Résolvez l'équation quadratique en assimilant le deuxième terme du polynôme à zéro : x 2 + 8x + 15 = 0. Vous pouvez trouver les racines à l'aide des formules discriminantes ou de Vieta. Nous pouvons donc écrire que (x+3) * (x+5) = 0, c'est-à-dire que x un est égal à trois et x deux est égal à moins cinq.

Les trois racines ont été trouvées. Mais ici, une question raisonnable se pose : où le schéma Horner est-il utilisé dans l'exemple ? Ainsi, tous ces calculs fastidieux peuvent être remplacés par un algorithme de solution à grande vitesse. Il consiste en gestes simples. Vous devez d’abord dessiner un tableau contenant plusieurs colonnes et lignes. En partant de la deuxième colonne de la ligne initiale, notez les coefficients de l'équation du polynôme d'origine. Dans la première colonne, ils mettent le nombre par lequel la division sera effectuée, c'est-à-dire les termes potentiels de la solution (x0).

Après que le x0 sélectionné ait été écrit dans le tableau, le remplissage s'effectue selon le principe suivant :

• la première colonne contient simplement ce qui se trouve dans l'élément supérieur de la deuxième colonne ;
• pour trouver le numéro suivant, vous devez multiplier le numéro supprimé par le x0 sélectionné et ajouter le numéro permanent dans la colonne à remplir en haut ;
• des opérations similaires sont effectuées jusqu'à ce que toutes les cellules soient complètement remplies ;
• les lignes de la dernière colonne égales à zéro seront la solution souhaitée.

Pour l'exemple considéré, lors de la substitution d'un deux, la ligne sera constituée de la série : 2, 1, 8, 15, 0. Ainsi, tous les termes sont trouvés. Dans ce cas, le schéma fonctionne pour n’importe quel ordre de l’équation de puissance.

Exemple d'utilisation

Pour comprendre comment utiliser le diagramme de Horner, doivent être examinés en détail exemple typique . Soit qu'il soit nécessaire de déterminer la multiplicité de la racine x0 du polynôme p (x) = x 5 - 5x 4 + 7x 3 - 2x 2 + 4x - 8. Souvent dans les problèmes il est nécessaire de sélectionner les racines par force brute, mais pour gagner du temps, nous supposerons qu'ils sont déjà connus et qu'il suffit de les vérifier. Ici, vous devez comprendre qu'en utilisant le schéma, le calcul sera toujours plus rapide qu'en utilisant d'autres théorèmes ou la méthode de réduction.

Selon l'algorithme de solution, vous devez tout d'abord dessiner un tableau. La première ligne indique les principaux coefficients. Vous devrez dessiner huit colonnes pour l'équation. Découvrez ensuite combien de fois x0 = 2 rentrera dans le polynôme étudié. Dans la deuxième ligne de la deuxième colonne, ajoutez simplement le coefficient. Pour le cas considéré, il sera égal à un. Dans la cellule adjacente, la valeur est calculée comme 2 * 1 -5 = -3. Dans la suivante : 2 * (-3) + 7 = 1. Les cellules restantes sont remplies de la même manière.

Comme vous pouvez le voir, au moins une fois deux sont placés dans un polynôme. Il faut maintenant vérifier si deux est la racine de l’expression la plus basse obtenue. Après avoir effectué des actions similaires, le tableau devrait avoir la ligne suivante : 1, -1, -1. -2, 0. Il s'agit en fait d'une équation quadratique qui doit également être vérifiée. En conséquence, la série calculée sera composée de 1, 1, 1, 0.

Dans la dernière expression, deux ne peut pas être une solution rationnelle. Autrement dit, dans le polynôme original, le nombre deux est utilisé trois fois, ce qui signifie que nous pouvons écrire : (x - 2) 3 * (x 2 + x + 1). Le fait que deux ne soit pas la racine d’une expression carrée peut être compris à partir des faits suivants :

• le coefficient libre n'est pas divisible par deux ;
• les trois coefficients sont positifs, ce qui signifie que le graphique des inégalités augmentera à partir de deux.

Ainsi, l'utilisation du système permet de s'affranchir de l'utilisation de numérateurs et de diviseurs complexes. Toutes les actions se résument à une simple multiplication d'entiers et à la mise en évidence des zéros.

Explication de la méthode

La confirmation de la validité de l'existence du schéma de Horner s'explique par un certain nombre de facteurs. Imaginons qu'il existe un polynôme du troisième degré : x3 + 5x – 3x + 8. De cette expression, x peut être retiré de la parenthèse : x * (x2 + 5x – 3) + 8. De la formule résultante, x peut être retiré à nouveau : x * (x * (x + 5) – 3) + 8 = x * (x* ((x * 1) + 5) – 3) + 8.

Essentiellement, pour calculer l'expression résultante, vous pouvez remplacer la valeur attendue de x dans la première parenthèse intérieure et effectuer des opérations algébriques selon la priorité. En fait, ce sont toutes les actions effectuées dans la méthode Horner. Dans ce cas, les nombres 8, -3, 5, 1 sont les coefficients du polynôme d'origine.

Soit un polynôme P (x) = an * x n + an -1 * x n-1 + 1x1 + a0 = 0. Si cette expression a une certaine racine x = x0, alors cela signifie que l'expression en question peut être réécrit comme : P (x) = (x-x0) * Q(x). C'est un corollaire du théorème de Bezout. La chose importante ici est que le degré du polynôme Q(x) sera inférieur de un à celui de P(x). On peut donc l’écrire sous une forme plus petite : P (x) = (x-x0) * (bn-1 * x n-1 + bn-2 * x n-2 + b0) = 0. Les deux constructions sont identiquement égaux les uns aux autres.

Cela signifie que tous les coefficients des polynômes considérés sont égaux, en particulier (x0)b) = a0. En utilisant cela, nous pouvons affirmer que quels que soient les nombres a0 et b0, x est toujours un diviseur, c'est-à-dire que a0 peut toujours être divisé en racines du polynôme. En d’autres termes, trouvez des solutions rationnelles.

Le cas général expliquant la méthode serait : an * x n + an-1 * x n-1 + … + a1x + a0 = x * (an * x n-1 + an-1 * x n-2 + … + a1 ) + a0 = x * (x * (... (an * x + an -1)+ an-2...an-m)+ a0). Autrement dit, le schéma fonctionne quel que soit le degré du polynôme. C'est universel. En même temps, il convient aux équations incomplètes et complètes. Il s'agit d'un outil qui vous permet de vérifier x0 pour une racine. Si ce n’est pas une solution, alors le nombre restant à la fin sera le reste de la division du polynôme en question.

En mathématiques, la notation correcte de la méthode est : Pn(x) = ∑i = 0naixn−i = a0xn + a1xn ​​​​​​− 1 + a2xn − 2 +…+ an − 1x + an. Dans celui-ci, la valeur de i passe de zéro à en, et le polynôme lui-même est divisé par le binôme x – a. Après avoir effectué cette action, on obtient une expression dont le degré est inférieur d'un à celui d'origine. En d’autres termes, défini comme n – 1.

Calcul à l'aide d'une calculatrice en ligne

Il est assez pratique d'utiliser des ressources donnant accès aux calculs des racines des puissances supérieures des polynômes. Pour utiliser de tels sites, vous n'avez pas besoin d'avoir des connaissances particulières en mathématiques ou en programmation. Tout ce dont l'utilisateur a besoin est un accès à Internet et un navigateur prenant en charge les scripts Java.

Il existe plusieurs dizaines de sites de ce type. Cependant, certains d’entre eux peuvent demander une récompense monétaire pour la solution apportée. Bien que la plupart des ressources soient gratuites et calculent non seulement les racines des équations de puissance, mais fournissent également une solution détaillée avec des commentaires. De plus, sur les pages des calculatrices, chacun peut se familiariser avec un bref matériel théorique et envisager de résoudre des exemples de complexité variable. Il ne faut donc pas se poser de questions sur la provenance de la réponse.

Parmi l’ensemble des calculateurs en ligne utilisant le schéma de Horner, on peut distinguer les trois suivants :

• Controllnaya-worka. Le service s'adresse aux lycéens, mais est assez fonctionnel dans ses capacités. Avec son aide, vous pouvez très rapidement vérifier la conformité des racines.
• Nauchniestati. L'application vous permet de déterminer les racines à l'aide de la méthode Horner en littéralement deux à trois secondes. Sur le site, vous pouvez trouver toute la théorie nécessaire. Pour effectuer le calcul, vous devez vous familiariser avec les règles de saisie d'une formule mathématique indiquées directement sur le site.
• Calc. En utilisant ce site, l'utilisateur pourra recevoir description détaillée solutions avec image de tableau. Pour ce faire, vous devez saisir l'équation dans un formulaire spécial et cliquer sur le bouton « solution ».

Les programmes utilisés pour les calculs ont une interface intuitive et ne contiennent ni publicité ni code malveillant. Après avoir effectué plusieurs calculs sur ces ressources, l’utilisateur pourra apprendre de manière autonome à déterminer les racines selon la méthode de Horner.

Dans le même temps, les calculatrices en ligne sont utiles non seulement aux étudiants, mais également aux ingénieurs qui effectuent des calculs complexes. Après tout, un calcul indépendant nécessite de l’attention et de la concentration. Toute erreur mineure entraînera finalement une réponse incorrecte. Dans le même temps, il est impossible que des erreurs se produisent lors des calculs à l'aide de calculatrices en ligne.