Voyons comment la vitesse et l'accélération d'un point sont calculées si le mouvement est donné par les équations (3) ou (4). La question de la détermination de la trajectoire dans ce cas a déjà été abordée au § 37.

Les formules (8) et (10), qui déterminent les valeurs de v et a, contiennent les dérivées temporelles des vecteurs . Dans les égalités contenant des dérivées de vecteurs, le passage aux dépendances entre projections s'effectue à l'aide du théorème suivant : la projection de la dérivée d'un vecteur sur un axe fixé dans un repère donné est égale à la dérivée de la projection du vecteur différentiable sur le même axe, c'est-à-dire

1. Déterminer la vitesse d'un point. Vecteur vitesse d'un point A partir de là, à partir des formules (I), en tenant compte de ce que l'on trouve :

où le point au-dessus de la lettre est un symbole de différenciation par rapport au temps. Ainsi, les projections de la vitesse du point sur les axes de coordonnées sont égales aux dérivées premières des coordonnées correspondantes du point par rapport au temps.

Connaissant les projections de la vitesse, nous trouverons sa grandeur et sa direction (c'est-à-dire les angles que forme le vecteur v avec les axes de coordonnées) à l'aide des formules

2. Détermination de l'accélération d'un point. Vecteur accélération d'un point A partir de là, à partir des formules (11), on obtient :

c'est-à-dire les projections de l'accélération d'un point sur les axes de coordonnées sont égales aux dérivées premières des projections de vitesse ou aux dérivées secondes des coordonnées correspondantes du point par rapport au temps. L'ampleur et la direction de l'accélération peuvent être trouvées à partir des formules

où sont les angles formés par le vecteur accélération avec les axes de coordonnées.

Ainsi, si le mouvement d'un point est donné en caractères cartésiens coordonnées rectangulaireséquations (3) ou (4), alors la vitesse du point est déterminée par les formules (12) et (13), et l'accélération par les formules (14) et (15). De plus, dans le cas d'un mouvement se produisant dans un plan, la projection sur l'axe doit être écartée dans toutes les formules

Que la fonction soit maintenant connue. Sur la fig. 5.10
Et
 vecteurs vitesse d'un point en mouvement à des instants t et  t. Pour obtenir l'incrément du vecteur vitesse
déplacer le vecteur parallèlement
au point M:

Accélération moyenne d'un point sur une période de temps  t est appelé rapport d'incrément du vecteur vitesse
à une période de temps t:

Ainsi, accélération d'un point à à l'heure actuelle le temps est égal à la dérivée première par rapport au temps du vecteur vitesse du point ou à la dérivée seconde du vecteur rayon par rapport au temps

. (5.11)

Accélération ponctuelle il s'agit d'une quantité vectorielle qui caractérise le taux de variation du vecteur vitesse au fil du temps.

Construisons un hodographe de vitesse (Fig. 5.11). Par définition, l'hodographe de vitesse est la courbe tracée par la fin du vecteur vitesse lorsqu'un point se déplace, si le vecteur vitesse est tracé à partir du même point.

Détermination de la vitesse d'un point à l'aide de la méthode des coordonnées pour spécifier son mouvement

Supposons que le mouvement d'un point soit spécifié par la méthode des coordonnées dans Système cartésien coordonnées

X = x(t), oui = oui(t), z = z(t)

Le rayon vecteur d'un point est égal à

.

Puisque les vecteurs unitaires
sont constants, alors par définition

. (5.12)

Notons les projections du vecteur vitesse sur l'axe Oh, Oh Et Ozà travers V x , V oui , V z

(5.13)

En comparant les égalités (5.12) et (5.13) on obtient

(5.14)

Dans ce qui suit, la dérivée par rapport au temps sera notée par le point ci-dessus, c'est-à-dire

.

Le module de vitesse d'un point est déterminé par la formule

. (5.15)

La direction du vecteur vitesse est déterminée par les cosinus directeurs :

Détermination de l'accélération d'un point à l'aide de la méthode des coordonnées pour spécifier son mouvement

Le vecteur vitesse dans le système de coordonnées cartésiennes est égal à

.

Par définition

Notons les projections du vecteur accélération sur l'axe Oh, Oh Et Ozà travers UN x , UN oui , UN z En conséquence, nous développons le vecteur vitesse le long des axes :

. (5.17)

En comparant les égalités (5.16) et (5.17) on obtient

Le module du vecteur accélération ponctuelle est calculé de la même manière que le module du vecteur vitesse ponctuelle :

, (5.19)

et la direction du vecteur accélération est par cosinus directeurs :

Déterminer la vitesse et l'accélération d'un point en utilisant la méthode naturelle de spécification de son mouvement

Orty Et faire la grasse matinée plan osculateur, vecteurs unitaires Et V plan normal, vecteurs unitaires Et - dans plan de redressement.

Le trièdre obtenu est dit naturel.

Soit la loi du mouvement ponctuel s = s(t).

Vecteur de rayon points M par rapport à tout point fixe sera une fonction complexe du temps
.

De la géométrie différentielle, on connaît les formules de Serre-Frenet, établissant des connexions entre les vecteurs unitaires des axes naturels et la fonction vectorielle de la courbe

où  est le rayon de courbure de la trajectoire.

En utilisant la définition de la vitesse et la formule de Serre-Frenet, on obtient :

. (5.20)

Désignant la projection de la vitesse sur la tangente et en tenant compte du fait que le vecteur vitesse est dirigé tangentiellement, on a

. (5.21)

En comparant les égalités (5.20) et (5.21), nous obtenons des formules pour déterminer le vecteur vitesse en amplitude et en direction

Ampleur positif si le point M se déplace dans le sens positif de la référence d'arc s et négatif dans le cas contraire.

En utilisant la définition de l'accélération et la formule de Serre-Frenet, on obtient :

Notons la projection de l'accélération du point sur une tangente , principal normal et binormal
respectivement.

Alors l’accélération est

Des formules (5.23) et (5.24), il s'ensuit que le vecteur accélération se trouve toujours dans le plan de contact et se développe dans les directions Et :

(5.25)

Projection de l'accélération sur une tangente
appelé tangente ou accélération tangentielle. Il caractérise le changement de vitesse.

Projection de l'accélération sur la normale principale
appelé accélération normale.

Il caractérise l'évolution du vecteur vitesse en direction.
.

La norme du vecteur accélération est égale à Et Si

La norme du vecteur accélération est égale à Et du même signe, alors le mouvement de la pointe sera accéléré.

différents signes, alors le mouvement de la pointe sera lent. Les formules de base de la cinématique sont données point matériel

Contenu Voir aussi :

Un exemple de résolution d'un problème (méthode coordonnée pour spécifier le mouvement d'un point)

Formules de base pour la cinématique d'un point matériel

Présentons les formules de base de la cinématique d'un point matériel. Après quoi nous donnerons leur conclusion et la présentation de la théorie.
,
Rayon vecteur du point matériel M dans le système de coordonnées rectangulaires Oxyz :

où sont les vecteurs unitaires (orts) dans la direction des axes x, y, z.
;
.
.
Vitesse de pointe :
.

Vecteur unitaire dans la direction tangente à la trajectoire d'un point :
;
;
;
; ;

Point d'accélération :
;
;
.

Accélération tangentielle (tangentielle) :
;
;
.

Accélération normale :
.

Vecteur unitaire dirigé vers le centre de courbure de la trajectoire du point (le long de la normale principale) :

Vecteur de rayon et trajectoire du point Considérons le mouvement du point matériel M. Choisissons un système de coordonnées rectangulaires fixes Oxyz avec un centre en un point fixe O.

Alors la position du point M est uniquement déterminée par ses coordonnées
,
(x, y, z)

.
(1)
Ces coordonnées sont des composantes du rayon vecteur du point matériel.

Le rayon vecteur d'un point M est un vecteur tracé depuis l'origine d'un système de coordonnées fixe O jusqu'à un point M.

Si le point se déplace dans un plan, les axes et les systèmes de coordonnées peuvent être sélectionnés de manière à ce qu'ils se trouvent dans ce plan. Alors la trajectoire est déterminée par deux équations

Dans certains cas, le temps peut être éliminé de ces équations. Alors l’équation de trajectoire aura:
,
dépendance de la forme

où est une fonction. Cette dépendance contient uniquement les variables et . Il ne contient pas le paramètre.

La vitesse d'un point matériel est la dérivée de son rayon vecteur par rapport au temps.

D'après la définition de la vitesse et la définition de la dérivée :
,
En mécanique, les dérivées par rapport au temps sont indiquées par un point au-dessus du symbole. Remplaçons ici l'expression du rayon vecteur :

,
où nous avons clairement indiqué la dépendance des coordonnées au temps. On obtient :
,
,

Où
.

- projections de vitesse sur les axes de coordonnées. Ils sont obtenus en différenciant les composantes du rayon vecteur par rapport au temps
.
Ainsi
.

Module de vitesse :

Tangente au chemin D'un point de vue mathématique, le système d'équations (1) peut être considéré comme une équation d'une droite (courbe) définie par des équations paramétriques. Le temps, dans cette considération, joue le rôle de paramètre. Du cours analyse mathématique
.
on sait que le vecteur direction de la tangente à cette courbe a les composantes suivantes : Mais ce sont les composantes du vecteur vitesse du point. C'est.

la vitesse du point matériel est dirigée tangentiellement à la trajectoire
Tout cela peut être démontré directement. Supposons qu'à ce moment le point soit dans une position avec le rayon vecteur (voir figure). Et à ce moment-là - en position avec le rayon vecteur.
;
;
.
Traçons une ligne droite passant par les points.

Par définition, une tangente est une droite vers laquelle la droite tend comme .
.
Introduisons la notation suivante :
Ensuite, le vecteur est dirigé le long de la droite.

Lorsqu'elle tend, la droite tend vers la tangente, et le vecteur tend vers la vitesse du point à l'instant donné : Puisque le vecteur est dirigé le long de la droite et que la droite est en , le vecteur vitesse est dirigé le long de la tangente.:
.
Autrement dit, le vecteur vitesse d’un point matériel est dirigé le long de la tangente à la trajectoire.
Présentons
.

vecteur de direction tangentielle de l'unité de longueur
.

Montrons que la longueur de ce vecteur est égale à un. En effet, depuis

Le vecteur vitesse du point peut alors être représenté comme suit :
;
;
;
.
Accélération d'un point matériel
.

L'accélération d'un point matériel est la dérivée de sa vitesse par rapport au temps.

Considérons maintenant la question de la direction du vecteur accélération par rapport à la trajectoire. Pour ce faire, nous appliquons la formule :
.
Nous le différencions par rapport au temps en utilisant la règle de différenciation des produits :
.

Le vecteur est dirigé tangentiellement à la trajectoire. Dans quelle direction sa dérivée temporelle est-elle dirigée ?

Pour répondre à cette question, nous utilisons le fait que la longueur du vecteur est constante et égale à l’unité. Alors le carré de sa longueur est également égal à un :
.
Ici et ci-dessous, deux vecteurs entre parenthèses désignent le produit scalaire des vecteurs. Différencions la dernière équation par rapport au temps :
;
;
.
Puisque le produit scalaire des vecteurs et est égal à zéro, ces vecteurs sont perpendiculaires les uns aux autres. Puisque le vecteur est dirigé tangentiellement à la trajectoire, le vecteur est perpendiculaire à la tangente.

La première composante est appelée accélération tangentielle ou tangentielle :
.
La deuxième composante est appelée accélération normale :
.
Alors l’accélération totale vaut :
(2) .
Cette formule représente la décomposition de l'accélération en deux composantes mutuellement perpendiculaires : tangente à la trajectoire et perpendiculaire à la tangente.

Depuis lors
(3) .

Accélération tangentielle (tangentielle)

Multiplions les deux côtés de l'équation (2) scalaire à :
.
Parce que, alors.
;
.
Alors
.
Ici nous mettons :

On voit de là que l’accélération tangentielle est égale à la projection de l’accélération totale sur la direction de la tangente à la trajectoire ou, ce qui revient au même, sur la direction de la vitesse du point.

L'accélération tangentielle (tangentielle) d'un point matériel est la projection de son accélération totale sur la direction de la tangente à la trajectoire (ou à la direction de la vitesse).

Nous utilisons le symbole pour désigner le vecteur d'accélération tangentielle dirigé le long de la tangente à la trajectoire. Alors est une quantité scalaire égale à la projection de l’accélération totale sur la direction de la tangente. Cela peut être à la fois positif et négatif.
.

En remplaçant , nous avons :
.
Mettons-le dans la formule :
.
Alors: Autrement dit, l’accélération tangentielle est égale à la dérivée temporelle de la vitesse absolue du point. Ainsi, l'accélération tangentielle entraîne une modification de la valeur absolue de la vitesse du point

. À mesure que la vitesse augmente, l'accélération tangentielle est positive (ou dirigée le long de la vitesse). À mesure que la vitesse diminue, l’accélération tangentielle est négative (ou dans le sens opposé à la vitesse).

Considérons un vecteur unitaire tangent à la trajectoire.
.

Plaçons son origine à l'origine du système de coordonnées. Alors la fin du vecteur sera sur une sphère de rayon unité. Lorsqu'un point matériel se déplace, l'extrémité du vecteur se déplace le long de cette sphère. Autrement dit, il tournera autour de son origine. Soit la vitesse angulaire instantanée de rotation du vecteur à un instant donné. Alors sa dérivée est la vitesse de déplacement de l'extrémité du vecteur. Il est dirigé perpendiculairement au vecteur. Appliquons la formule du mouvement de rotation. Module vectoriel :
.
Considérons maintenant la position du point pendant deux instants proches dans le temps. Supposons que le point soit en position à un instant donné et en position à un instant donné.

Soient et des vecteurs unitaires dirigés tangentiellement à la trajectoire en ces points. A travers les points et on trace des plans perpendiculaires aux vecteurs et .
.
Soit une droite formée par l’intersection de ces plans. À partir d'un point, nous abaissons une perpendiculaire à une ligne droite.

Si les positions des points sont suffisamment proches, alors le mouvement du point peut être considéré comme une rotation le long d'un cercle de rayon autour de l'axe, qui sera l'axe de rotation instantané du point matériel. Puisque les vecteurs et sont perpendiculaires aux plans et , alors l'angle entre ces plans

Si les positions des points sont suffisamment proches, alors le mouvement du point peut être considéré comme une rotation le long d'un cercle de rayon autour de l'axe, qui sera l'axe de rotation instantané du point matériel. Puisque les vecteurs et sont perpendiculaires aux plans et , alors l'angle entre ces plans

égal à l'angle
entre les vecteurs et .
;
.
Alors la vitesse instantanée de rotation du point autour de l'axe est égale à la vitesse instantanée de rotation du vecteur :
.

Voici la distance entre les points et . (2) Ainsi, nous avons trouvé le module de la dérivée temporelle du vecteur :
(4) .
Comme nous l'avons indiqué précédemment, le vecteur est perpendiculaire au vecteur. (3) Du raisonnement ci-dessus, il ressort clairement qu'elle est dirigée vers le centre instantané de courbure de la trajectoire. Cette direction est appelée la normale principale.
.

Multiplions les deux côtés de l'équation (2) scalaire à :
(2) .
.
Parce que, alors.
;
.
Accélération normale

dirigé le long du vecteur.

Comme nous l'avons découvert, ce vecteur est dirigé perpendiculairement à la tangente, vers le centre de courbure instantané de la trajectoire.
.
Autrement dit, l’accélération normale provoque un changement de direction de la vitesse d’un point et elle est liée au rayon de courbure de la trajectoire.

De là vous pouvez trouver le rayon de courbure de la trajectoire :
.

Et en conclusion, notons que la formule (4) peut être réécrit comme suit :
.
Ici, nous avons appliqué la formule du produit vectoriel de trois vecteurs :
,
qu'ils ont encadré
.

Nous avons donc :
;
.
Assumons les modules des parties gauche et droite :
.
Mais les vecteurs sont également perpendiculaires entre eux. C'est pourquoi
.
Alors
.
Il s'agit d'une formule bien connue de la géométrie différentielle pour la courbure d'une courbe.

Introduisons un vecteur unitaire τ associé au point mobile A et dirigé tangentiellement à la trajectoire dans le sens d'une coordonnée d'arc croissante (Fig. 1.6). Il est évident que τ est un vecteur variable : il dépend de l. Le vecteur vitesse v du point A est dirigé tangentiellement à la trajectoire, il peut donc être représenté comme suit

où v τ =dl/dt est la projection du vecteur v sur la direction du vecteur τ, et v τ est une quantité algébrique. De plus, |v τ |=|v|=v.

Accélération ponctuelle

Différencions (1.22) par rapport au temps

(1.23)

Transformons le dernier terme de cette expression

(1.24)

Déterminons l'incrément du vecteur τ de dl (Fig. 1.7).

Comme on peut le voir sur la Fig. 1,7, angle , d'où et à .

En introduisant un vecteur unitaire n de la normale à la trajectoire au point 1, dirigé vers le centre de courbure, on écrit la dernière égalité sous forme vectorielle

Remplaçons (1.23) dans (1.24) et l'expression résultante dans (1.22). En conséquence, nous trouverons

(1.26)

Ici, le premier terme s'appelle tangentiel une τ , seconde - normale un.

Ainsi, l'accélération totale a d'un point peut être représentée comme la somme géométrique des accélérations tangentielles et normales.

Module d'accélération à point complet

(1.27)

Il est dirigé vers la concavité de la trajectoire selon un angle α par rapport au vecteur vitesse, et .

Si l'angle α est aigu, alors tanα>0, donc dv/dt>0, puisque v 2 /R>0 l'est toujours.

DANS dans ce cas l'ampleur de la vitesse augmente avec le temps - le mouvement est appelé accéléré(Fig. 1.8).

Dans le cas où la vitesse diminue en ampleur avec le temps, le mouvement est appelé lent(Fig. 1.9).

Si l'angle α=90°, tanα=∞, soit dv/dt=0. Dans ce cas, la vitesse ne change pas en ampleur avec le temps et l'accélération totale sera égale à l'accélération centripète.

(1.28)

En particulier, l'accélération totale du mouvement de rotation uniforme (R=const, v=const) est une accélération centripète, égale en valeur à a n = v 2 /R et dirigée tout le temps vers le centre.

En mouvement linéaire, au contraire, l’accélération totale du corps est égale à l’accélération tangentielle. Dans ce cas, a n =0, puisqu'une trajectoire rectiligne peut être considérée comme un cercle de rayon infiniment grand, et avec R→∞ ; v2/R=0; un n =0 ; une = une τ .

Trajectoire de mouvement d'un point matériel à travers le rayon vecteur

Ayant quelque peu oublié cette partie des mathématiques, dans ma mémoire les équations du mouvement d'un point matériel ont toujours été représentées en utilisant la dépendance qui nous est familière à tous y(x), et en regardant le texte du problème, j'ai été un peu surpris quand j'ai vu les vecteurs. Il s'est avéré qu'il existe une représentation de la trajectoire d'un point matériel à l'aide de vecteur de rayon— un vecteur qui spécifie la position d'un point dans l'espace par rapport à un point préfixe, appelé origine.

La formule de la trajectoire d'un point matériel, en plus du rayon vecteur, est décrite de la même manière orts— vecteurs unitaires je, j, k dans notre cas, coïncidant avec les axes du système de coordonnées. Et enfin, considérons un exemple de l'équation de la trajectoire d'un point matériel (dans un espace bidimensionnel) :

Qu’y a-t-il d’intéressant dans cet exemple ? La trajectoire du mouvement d’un point est donnée par les sinus et les cosinus. À quoi pensez-vous que le graphique ressemblera dans la représentation familière y(x) ? « Probablement quelque chose de effrayant », avez-vous pensé, mais tout n'est pas aussi compliqué qu'il y paraît ! Essayons de construire la trajectoire du point matériel y(x), s'il se déplace selon la loi présentée ci-dessus :

Ici, j'ai remarqué le carré du cosinus, si dans un exemple vous voyez le carré du sinus ou du cosinus, cela signifie que vous devez appliquer l'identité trigonométrique de base, ce que j'ai fait (deuxième formule) et transformé la formule de coordonnées oui, de sorte qu'au lieu du sinus, substituez-y la formule de changement x:

En conséquence, la terrible loi du mouvement d'un point s'est avérée ordinaire parabole, dont les branches sont dirigées vers le bas. J'espère que vous comprenez l'algorithme approximatif pour construire la dépendance y(x) à partir de la représentation du mouvement via le rayon vecteur. Passons maintenant à notre question principale : comment trouver le vecteur vitesse et accélération d'un point matériel, ainsi que leurs modules.

Vecteur vitesse d'un point matériel

Tout le monde sait que la vitesse d'un point matériel est la distance parcourue par le point par unité de temps, c'est-à-dire la dérivée de la formule de la loi du mouvement. Pour trouver le vecteur vitesse, vous devez prendre la dérivée par rapport au temps. Jetons un coup d'oeil exemple concret trouver le vecteur vitesse.

Un exemple de recherche du vecteur vitesse

On a la loi du mouvement d'un point matériel :

Vous devez maintenant prendre la dérivée de ce polynôme, si vous avez oublié comment faire cela, la voici. En conséquence, le vecteur vitesse aura la forme suivante :

Tout s’est avéré plus simple que vous ne le pensiez, trouvons maintenant le vecteur accélération d’un point matériel en utilisant la même loi présentée ci-dessus.

Comment trouver le vecteur accélération d'un point matériel

Vecteur d'accélération ponctuelle il s'agit d'une quantité vectorielle qui caractérise l'évolution dans le temps de l'amplitude et de la direction de la vitesse d'un point. Pour trouver le vecteur accélération d'un point matériel dans notre exemple, il faut prendre la dérivée, mais à partir de la formule du vecteur vitesse présentée juste au-dessus :

Module du vecteur vitesse ponctuel

Trouvons maintenant la norme du vecteur vitesse du point matériel. Comme vous le savez dès la 9e, le module d'un vecteur est sa longueur, en coordonnées cartésiennes rectangulaires égale à la racine carrée de la somme des carrés de ses coordonnées. Et où pouvons-nous obtenir ses coordonnées à partir du vecteur vitesse que nous avons obtenu ci-dessus, demandez-vous ? C'est très simple :

Il ne vous reste plus qu'à remplacer l'heure spécifiée dans le problème et à obtenir une valeur numérique spécifique.

Module vectoriel d'accélération

Comme vous l'avez compris d'après ce qui a été écrit ci-dessus (et dès la 9e), trouver le module du vecteur accélération se fait de la même manière que le module du vecteur vitesse : on prend la racine carrée de la somme des carrés des coordonnées du vecteur , c'est simple ! Eh bien, voici un exemple pour vous, bien sûr :

Comme vous pouvez le constater, l'accélération d'un point matériel selon la loi donnée ci-dessus ne dépend pas du temps et a une ampleur et une direction constantes.

Plus d'exemples de solutions au problème de la recherche du vecteur vitesse et accélération

Et ici vous pouvez trouver des exemples de solutions à d’autres problèmes de physique. Et pour ceux qui ne comprennent pas très bien comment trouver le vecteur vitesse et accélération, voici quelques autres exemples du réseau sans aucune explication inutile, j'espère qu'ils vous aideront.

Si vous avez des questions, vous pouvez les poser dans les commentaires.