Conversion d'expressions. Théorie détaillée (2019). Comment simplifier les expressions algébriques en examinant les propriétés des racines carrées

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Une expression algébrique dans laquelle, outre les opérations d'addition, de soustraction et de multiplication, utilise également la division en expressions de lettres, est appelée expression algébrique fractionnaire. Ce sont par exemple les expressions

On appelle fraction algébrique une expression algébrique qui a la forme d'un quotient de la division de deux expressions algébriques entières (par exemple, monômes ou polynômes). Ce sont par exemple les expressions

La troisième des expressions).

Les transformations identiques d'expressions algébriques fractionnaires visent principalement à les représenter sous la forme d'une fraction algébrique. Pour trouver le dénominateur commun, on utilise la factorisation des dénominateurs des fractions - termes afin de trouver leur plus petit commun multiple. Lors de la réduction de fractions algébriques, la stricte identité des expressions peut être violée : il est nécessaire d'exclure les valeurs des quantités pour lesquelles le facteur par lequel la réduction est effectuée devient nul.

Donnons des exemples de transformations identiques d'expressions algébriques fractionnaires.

Exemple 1 : simplifier une expression

Tous les termes peuvent être réduits à un dénominateur commun (il est pratique de changer le signe au dénominateur du dernier terme et le signe devant celui-ci) :

Notre expression est égale à un pour toutes les valeurs sauf ces valeurs ; elle n'est pas définie et réduire la fraction est illégale).

Exemple 2. Représenter l'expression sous forme de fraction algébrique

Solution. L'expression peut être prise comme dénominateur commun. On retrouve séquentiellement :

Exercices

1. Recherchez les valeurs des expressions algébriques pour les valeurs de paramètres spécifiées :

2. Factorisez.

§ 1 Le concept de simplification d'une expression littérale

Dans cette leçon, nous nous familiariserons avec le concept de « termes similaires » et, à l'aide d'exemples, nous apprendrons comment effectuer la réduction de termes similaires, simplifiant ainsi les expressions littérales.

Découvrons ce que signifie le concept « simplification ». Le mot « simplification » est dérivé du mot « simplifier ». Simplifier signifie rendre simple, plus simple. Par conséquent, simplifier l’expression d’une lettre, c’est la rendre plus courte, avec un nombre minimum d’actions.

Considérons l'expression 9x + 4x. C'est une expression littérale qui est une somme. Les termes ici sont présentés comme les produits d’un nombre et d’une lettre. Le facteur numérique de ces termes est appelé coefficient. Dans cette expression, les coefficients seront les nombres 9 et 4. Veuillez noter que le facteur représenté par la lettre est le même dans les deux termes de cette somme.

Rappelons la loi distributive de multiplication :

Pour multiplier une somme par un nombre, vous pouvez multiplier chaque terme par ce nombre et additionner les produits résultants.

En général, cela s'écrit comme suit : (a + b) ∙ c = ac + bc.

Cette loi est vraie dans les deux sens ac + bc = (a + b) ∙ c

Appliquons-le à notre expression littérale : la somme des produits de 9x et 4x est égale à un produit dont le premier facteur est égal à la somme de 9 et 4, le deuxième facteur est x.

9 + 4 = 13, soit 13x.

9x + 4x = (9 + 4)x = 13x.

Au lieu de trois actions dans l'expression, il ne reste qu'une seule action : la multiplication. Cela signifie que nous avons simplifié notre expression littérale, c'est-à-dire l'a simplifié.

§ 2 Réduction des termes similaires

Les termes 9x et 4x ne diffèrent que par leurs coefficients - ces termes sont appelés similaires. La partie lettre des termes similaires est la même. Des termes similaires incluent également des nombres et des termes égaux.

Par exemple, dans l'expression 9a + 12 - 15, les termes similaires seront les nombres 12 et -15, et dans la somme du produit de 12 et 6a, le nombre 14 et le produit de 12 et 6a (12 ∙ 6a + 14 + 12 ∙ 6a) les termes égaux représentés par le produit de 12 et 6a.

Il est important de noter que les termes dont les coefficients sont égaux, mais dont les facteurs de lettre sont différents, ne sont pas similaires, même s'il est parfois utile de leur appliquer la loi distributive de multiplication, par exemple, la somme des produits 5x et 5y est égal au produit du nombre 5 par la somme de x et y

5x + 5y = 5(x + y).

Simplifions l'expression -9a + 15a - 4 + 10.

Les termes similaires dans ce cas sont les termes -9a et 15a, puisqu'ils ne diffèrent que par leurs coefficients. Leur multiplicateur de lettres est le même, et les termes -4 et 10 sont également similaires, puisqu'il s'agit de nombres. Additionnez les termes similaires :

9a + 15a - 4 + 10

9a + 15a = 6a ;

On obtient : 6a + 6.

En simplifiant l'expression, nous avons trouvé les sommes de termes similaires ; en mathématiques, cela s'appelle la réduction de termes similaires.

S'il est difficile d'ajouter de tels termes, vous pouvez leur trouver des mots et ajouter des objets.

Par exemple, considérons l'expression :

Pour chaque lettre on prend notre propre objet : b-pomme, c-poire, on obtient alors : 2 pommes moins 5 poires plus 8 poires.

Peut-on soustraire les poires des pommes ? Bien sûr que non. Mais on peut ajouter 8 poires à moins 5 poires.

Présentons des termes similaires -5 poires + 8 poires. Des termes similaires ont la même partie lettre, donc lorsqu'on rapproche des termes similaires, il suffit d'ajouter les coefficients et d'ajouter la partie lettre au résultat :

(-5 + 8) poires - vous obtenez 3 poires.

En revenant à notre expression littérale, nous avons -5 s + 8 s = 3 s. Ainsi, après avoir ramené des termes similaires, on obtient l'expression 2b + 3c.

Ainsi, dans cette leçon, vous vous êtes familiarisé avec le concept de « termes similaires » et avez appris à simplifier les expressions de lettres en réduisant les termes similaires.

Liste de la littérature utilisée :

1. Mathématiques. 6e année : plans de cours pour le manuel de II. Zubareva, A.G. Mordkovich // auteur-compilateur L.A. Topiline. Mnémosyne 2009.
2. Mathématiques. 6e année : manuel destiné aux élèves des établissements d'enseignement général. I.I. Zubareva, A.G. Mordkovitch - M. : Mnémosyne, 2013.
3. Mathématiques. 6e année : manuel pour les établissements d'enseignement général/G.V. Dorofeev, I.F. Sharygin, S.B. Suvorov et autres/édité par G.V. Dorofeeva, I.F. Sharygina; Académie russe des sciences, Académie russe de l'éducation. M. : « Lumières », 2010.
4. Mathématiques. 6e année : études pour les établissements d'enseignement général/N.Ya. Vilenkin, V.I. Jokhov, A.S. Chesnokov, S.I. Schwartzburd. – M. : Mnémosyna, 2013.
5. Mathématiques. 6e année : manuel/G.K. Muravin, O.V. Muravina. – M. : Outarde, 2014.

Images utilisées :

Vous aurez besoin

• - la notion de monôme de polynôme ;
• - les formules de multiplication abrégées ;
• - les opérations avec des fractions ;
• - les identités trigonométriques de base.

Instructions

Si l'expression contient des monômes avec , trouvez la somme de leurs coefficients et multipliez-les par le même facteur. Par exemple, s'il existe une expression 2 a-4 a+5 a+a=(2-4+5+1)∙a=4∙a.

Si l'expression est une fraction naturelle, sélectionnez le facteur commun du numérateur et du dénominateur et réduisez la fraction d'autant. Par exemple, si vous devez réduire la fraction (3 a²-6 a b+3 b²)/(6∙a²-6∙b²), supprimez les facteurs communs du numérateur et du dénominateur au numérateur ce sera 3, en le dénominateur 6. Obtenez l'expression (3 ( a²-2 a b+b²))/(6∙(a²-b²)). Réduisez le numérateur et le dénominateur de 3 et appliquez les formules de multiplication abrégées aux expressions restantes. Pour le numérateur c'est le carré de la différence, et pour le dénominateur c'est la différence des carrés. Obtenez l'expression (a-b)²/(2∙ (a+b)∙(a-b)) en la réduisant par le facteur commun a-b, vous obtenez l'expression (a-b)/(2∙ (a+b)), qui est beaucoup plus facile pour les valeurs spécifiques du nombre de variables.

Si les monômes ont des facteurs identiques élevés à une puissance, alors lors de leur addition, assurez-vous que les puissances sont égales, sinon il est impossible de réduire des puissances similaires. Par exemple, s'il existe une expression 2∙m²+6 m³-m²-4 m³+7, alors lorsque des expressions similaires sont combinées, le résultat sera m²+2 m³+7.

Lorsque vous simplifiez des identités trigonométriques, utilisez des formules pour les transformer. Identité trigonométrique de base sin²(x)+cos²(x)=1, sin(x)/cos(x)=tg(x), 1/ tg(x)= ctg(x), formules pour la somme et la différence des arguments , double, triple argument et autres. Par exemple, (sin(2∙x)- cos(x))/ ctg(x). Écrivez la formule du double argument et de la cotangente sous la forme du rapport cosinus/sinus. Obtenez (2∙ sin(x) cos(x)- cos(x)) sin(x)/cos(x). Retirez le facteur commun cos(x) et annulez la fraction cos(x) (2∙ sin(x) - 1) sin(x)/cos(x)= (2∙ sin(x) - 1) sin( x).

Vidéo sur le sujet

Sources :

• formule de simplification d'expression

La brièveté, comme on dit, est la sœur du talent. Tout le monde veut montrer son talent, mais sa sœur est une chose compliquée. Pour une raison quelconque, les pensées brillantes prennent naturellement la forme de phrases complexes comportant de nombreuses expressions adverbiales. Cependant, c’est à vous de simplifier vos phrases et de les rendre compréhensibles et accessibles à tous.

Instructions

Pour faciliter la tâche du destinataire (qu'il soit auditeur ou lecteur), essayez de remplacer les phrases participatives et participatives par de courtes propositions subordonnées, surtout s'il y a trop de phrases ci-dessus dans une phrase. "Un chat qui rentrait à la maison, venant de manger une souris, ronronnait bruyamment, caressait son propriétaire, essayait de le regarder dans les yeux, espérant mendier du poisson apporté du magasin" - cela ne fonctionnera pas. Divisez une telle structure en plusieurs parties, prenez votre temps et n’essayez pas de tout dire en une seule phrase, vous serez content.

Si vous avez conçu une déclaration brillante, mais qu'elle s'avère contenir trop de propositions subordonnées (surtout avec une seule), alors il est préférable de diviser la déclaration en plusieurs phrases distinctes ou d'omettre certains éléments. "Nous avons décidé qu'il dirait à Marina Vasilievna, que Katya dirait à Vita..." - nous pouvons continuer sans fin. Arrêtez-vous dans le temps et rappelez-vous qui lira ou écoutera ceci.

Mais les pièges ne résident pas seulement dans la structure de la phrase. Faites attention au vocabulaire. Mots étrangers, termes longs, mots tirés de la fiction du XIXe siècle, tout cela ne fera que compliquer la perception. Il est nécessaire de préciser par vous-même pour quel public vous composez le texte : les techniciens, bien sûr, comprendront à la fois les termes complexes et les mots spécifiques ; mais si vous proposez les mêmes mots à un professeur de littérature, il est peu probable qu'elle vous comprenne.

Le talent est une bonne chose. Si vous êtes talentueux (et qu'il n'y a personne sans capacités), de nombreuses voies s'ouvrent devant vous. Mais le talent ne réside pas dans la complexité, mais dans la simplicité, curieusement. Restez simple et vos talents seront clairs et accessibles à tous.

Vidéo sur le sujet

Apprendre à simplifier les expressions en mathématiques est tout simplement nécessaire pour résoudre correctement et rapidement des problèmes et diverses équations. Simplifier une expression implique de réduire le nombre d’étapes, ce qui facilite les calculs et fait gagner du temps.

Instructions

Apprenez à calculer les puissances de c. En multipliant les puissances c, on obtient un nombre dont la base est la même, et les exposants sont ajoutés b^m+b^n=b^(m+n). En divisant des puissances avec les mêmes bases, on obtient la puissance d'un nombre dont la base reste la même, et les exposants sont soustraits, et l'exposant du diviseur b^m est soustrait de l'exposant du dividende : b^ n=b^(mn). Lors de l'élévation d'une puissance à une puissance, on obtient la puissance d'un nombre dont la base reste la même, et les exposants sont multipliés (b^m)^n=b^(mn) Lors de l'élévation à une puissance, chaque facteur est élevé à cette puissance (abc)^m=a^m *b^m*c^m.

Factoriser les polynômes, c'est-à-dire imaginez-les comme le produit de plusieurs facteurs - polynômes et monômes. Retirez le facteur commun des parenthèses. Apprenez les formules de multiplication abrégées de base : différence des carrés, somme au carré, différence au carré, somme des cubes, différence des cubes, cube de somme et différence. Par exemple, m^8+2*m^4*n^4+n^8=(m^4)^2+2*m^4*n^4+(n^4)^2. Ces formules sont les principales pour simplifier les expressions. Utilisez la méthode d’isolement d’un carré parfait dans un trinôme de la forme ax^2+bx+c.

Abréviez les fractions aussi souvent que possible. Par exemple, (2*a^2*b)/(a^2*b*c)=2/(a*c). Mais rappelez-vous que vous ne pouvez réduire que les multiplicateurs. Si le numérateur et le dénominateur d'une fraction algébrique sont multipliés par le même nombre autre que zéro, alors la valeur de la fraction ne changera pas. Il existe deux manières de transformer des expressions rationnelles : par chaîne et par actions. La deuxième méthode est préférable, car il est plus facile de vérifier les résultats des actions intermédiaires.

Il est souvent nécessaire d’extraire les racines des expressions. Même les racines sont extraites uniquement d’expressions ou de nombres non négatifs. Des racines impaires peuvent être extraites de n’importe quelle expression.

Sources :

• simplification des expressions avec pouvoirs

Une « expression » en mathématiques fait généralement référence à un ensemble d’opérations arithmétiques et algébriques impliquant des nombres et des valeurs variables. Par analogie avec le format d'écriture des nombres, un tel ensemble est dit « fractionnaire » dans le cas où il contient l'opération de division. Les opérations de simplification s'appliquent aux expressions fractionnaires, ainsi qu'aux nombres au format fraction.

Instructions

Commencez par trouver le facteur commun pour , situé au numérateur et - c'est le même pour les rapports numériques et ceux contenant des variables inconnues. Par exemple, si le numérateur est 45*X et le dénominateur est 18*Y, alors le plus grand commun diviseur est 9. Après avoir terminé cette étape, le numérateur peut s'écrire 9*5*X et le dénominateur 9*2*. Y.

Si les expressions du numérateur et du dénominateur contiennent une combinaison d'opérations mathématiques de base (, division, addition et soustraction), vous devrez alors d'abord factoriser le facteur commun pour chacun d'eux séparément, puis en isoler le plus grand facteur commun. Nombres. Par exemple, pour l'expression 45*X+180, qui est au numérateur, il faut sortir le facteur 45 entre parenthèses : 45*X+180 = 45*(X+4). Et l’expression 18+54*Y au dénominateur doit être réduite à la forme 18*(1+3*Y). Puis, comme à l'étape précédente, trouvez le plus grand commun diviseur des facteurs pris entre parenthèses : 45*X+180 / 18+54*Y = 45*(X+4) / 18*(1+3*Y) = 9*5* (X+4) / 9*2*(1+3*Y). Dans cet exemple, il est également égal à neuf.

Réduisez le facteur commun des expressions au numérateur et au dénominateur de la fraction trouvées aux étapes précédentes. Pour l'exemple de la première étape, l'ensemble de l'opération de simplification peut s'écrire comme suit : 45*X / 18*Y = 9*5*X / 9*2*Y = 5*X / 2*Y.

Lors de la simplification, le diviseur commun à réduire ne doit pas nécessairement être un nombre ; il peut également s'agir d'une expression contenant une variable. Par exemple, si le numérateur d'une fraction est (4*X + X*Y + 12 + 3*Y) et que le dénominateur est (X*Y + 3*Y - 7*X - 21), alors le plus grand commun diviseur sera l'expression X+ 3, qu'il convient de réduire pour simplifier l'expression : (4*X + X*Y + 12 + 3*Y) / (X*Y + 3*Y - 7*X - 21) = ( X+3)*(4 +Y) / (X+3)*(Y-7) = (4+Y) / (Y-7).

Au début de la leçon, nous passerons en revue les propriétés de base des racines carrées, puis examinerons plusieurs exemples complexes d'expressions simplificatrices contenant des racines carrées.

Sujet:Fonction. Propriétés de la racine carrée

Leçon:Conversion et simplification d'expressions plus complexes avec des racines

1. Examen des propriétés des racines carrées

Répétons brièvement la théorie et rappelons les propriétés fondamentales des racines carrées.

Propriétés des racines carrées :

1. donc, ;

3. ;

4. .

2. Exemples de simplification d'expressions avec des racines

Passons à des exemples d'utilisation de ces propriétés.

Exemple 1 : simplifier une expression .

Solution. Pour simplifier, le nombre 120 doit être factorisé en facteurs premiers :

Nous allons révéler le carré de la somme en utilisant la formule appropriée :

Exemple 2 : simplifier une expression .

Solution. Tenons compte du fait que cette expression n'a pas de sens pour toutes les valeurs possibles de la variable, puisque cette expression contient des racines carrées et des fractions, ce qui conduit à un « rétrécissement » de la plage des valeurs admissibles. ODZ : ().

Ramenons l'expression entre parenthèses au dénominateur commun et écrivons le numérateur de la dernière fraction comme la différence des carrés :

Répondre. à.

Exemple 3 : Simplifier une expression .

Solution. On voit que la deuxième parenthèse du numérateur a un aspect gênant et doit être simplifiée. Essayons de la factoriser en utilisant la méthode de regroupement.

Pour pouvoir en dériver un facteur commun, nous avons simplifié les racines en les factorisant. Remplaçons l'expression résultante par la fraction originale :

Après avoir réduit la fraction, nous appliquons la formule de la différence des carrés.

3. Un exemple pour se débarrasser de l'irrationalité

Exemple 4. Libérez-vous de l'irrationalité (racines) au dénominateur : a) ; b) .

Solution. a) Afin de se débarrasser de l'irrationalité du dénominateur, la méthode standard consistant à multiplier à la fois le numérateur et le dénominateur d'une fraction par le facteur conjugué au dénominateur est utilisée (la même expression, mais avec le signe opposé). Ceci est fait pour compléter le dénominateur d'une fraction par la différence des carrés, ce qui permet de se débarrasser des racines du dénominateur. Faisons ceci dans notre cas :

b) effectuer des actions similaires :

4. Un exemple pour prouver et isoler un carré complet dans un radical complexe

Exemple 5. Prouver l'égalité .

Preuve. Utilisons la définition d'une racine carrée, d'où il résulte que le carré de l'expression de droite doit être égal à l'expression radicale :

. Ouvrons les parenthèses en utilisant la formule du carré de la somme :

, nous avons la bonne égalité.

Éprouvé.

Exemple 6. Simplifiez l'expression.

Solution. Cette expression est généralement appelée radical complexe (racine sous racine). Dans cet exemple, vous devez deviner pour isoler un carré complet de l'expression radicale. Pour ce faire, notons que des deux termes, il est candidat au rôle de double du produit dans la formule de la différence au carré (différence, puisqu'il y a un moins). Écrivons-le sous la forme du produit suivant : , alors 1 prétend être l'un des termes du carré complet, et 1 prétend être le second.

Remplaçons cette expression sous la racine.