Représenter un vecteur comme une combinaison linéaire de vecteurs. Dépendance linéaire d'un système de vecteurs. Vecteurs colinéaires. Dépendance linéaire et indépendance des vecteurs dans l'espace tridimensionnel.
Rentre à la maison 
Une combinaison linéaire de vecteurs est une expression de la forme :
, où sont les nombres réels appelés coefficients de combinaison linéaire.
Détermination de l'indépendance linéaire des vecteurs
Un système de vecteurs A 1 , A 2 ,…A n est dit linéairement indépendant si la combinaison linéaire de ces vecteurs λ1*A1+λ2*A2+...+λn*An est égale au vecteur zéro uniquement pour un ensemble nul de les nombres λ1, λ2,..., λn, c'est-à-dire le système d'équations : A1x1+A2x2+...+Anxn =Θ a une unique solution nulle.
Détermination de la dépendance linéaire des vecteurs
Deux vecteurs plans sont linéairement dépendants si et seulement s'ils sont colinéaires.
Deux vecteurs sont dits colinéaires s'ils se trouvent sur la même droite ou sur des droites parallèles
Théorème sur la dépendance linéaire des vecteurs
Théorème sur la représentation d'une chaîne comme une combinaison linéaire de chaînes indépendantes
Chaque ligne de la matrice A peut être représentée comme une combinaison linéaire de lignes indépendantes de la matrice A.
| Soit la matrice A de rang r, alors il existe un mineur d'ordre r différent de 0, ajoutez à ce mineur la i-ème ligne et la j-ème colonne | un 11 | … | un 12 | un 1r |
| un 1j | un 21 | … | un 22 | un 2r |
| … | … | … | … | … |
| un 2j | un 41 | … | un 42 | un 4r |
| un 4j | un i1 | … | un i2 | air |
un ij
M r =
Mr+1 =0; parce que rang A=r (en tant que mineur d'ordre supérieur à r). Cette mineure peut être développée le long de la dernière colonne.
[a 1j A 1j + a 2j A 2j +…+ a rj A rj + a ij (-1) i+j *M r ]=0 /( Divisez le tout par M r et introduisez A ij
(-1) je+jMr)=λje
a ij = λ 1 a 1j +λ 2 a 2j +…+ λ 4 a 4j, où j=r+1 cette égalité est également valable pour j=1 m 81. Théorème sur la représentation d'une colonne comme une combinaison linéaire de éléments indépendants
colonnes
Théorème sur la relation entre le rang d'une matrice et le nombre de lignes/colonnes indépendantes
| Soit la matrice A de rang r, alors il existe un mineur d'ordre r différent de 0, ajoutez à ce mineur la i-ème ligne et la j-ème colonne | un 11 | … | un 12 |
| un 1j | un 21 | … | un 22 |
| … | … | … | … |
| Le rang de la matrice A est égal au nombre de ses lignes/colonnes indépendantes Soit la matrice A (m*n) de rang r. | un 21 | … | un 22 |
un 2r
Il existe un mineur d'ordre r = 0 ; (e 1….. e r) – linéairement indépendant
Soit l'inverse : e r = λ 1 e 1 +λ 2 e 2 +…+ λ r-1 e r-1
Réalisons des transformations électriques. sans changer le déterminant de ce mineur (M r)
e r - λ 1 e 1 - λ 2 e 2 – λ 3 e 3 -…- λ r-1 e r-1
Ainsi, nous obtenons la dernière ligne composée de 0, mais alors M r = 0, notre hypothèse est fausse !
Déterminants
Propriétés des déterminants. N° 01. (Transposition)
Le déterminant de la matrice transposée est égal au déterminant de la matrice d'origine : .
Preuve. D'après la définition,
Lors de la transposition d'une matrice UN seul un réarrangement des termes dans cette somme se produit.
Propriétés des déterminants. N°02. (Réarrangement des lignes ou des colonnes).
Si deux lignes ou deux colonnes du déterminant sont réorganisées, alors le déterminant change de signe en opposé.
Preuve. D'après le théorème 1, toute transposition change la parité de la permutation. Par conséquent, lors de la réorganisation de deux lignes (colonnes), chaque terme de la somme change de signe en sens inverse.
Conformément à ce critère de compromis, une combinaison linéaire des gains minimum et maximum est déterminée pour chaque solution
La deuxième option consiste à se concentrer sur un seul critère. Il peut soit être choisi comme l'un des indicateurs standards ayant une interprétation économique tout à fait compréhensible (par exemple, l'un des ratios de liquidité, taux de couverture des intérêts, etc.), soit ce critère est développé sous la forme d'un indicateur artificiel qui généralise critères particuliers. Pour ce critère généralisé, une valeur seuil est fixée, à laquelle est comparée la valeur réelle du critère calculée pour l'emprunteur potentiel. La principale difficulté de mise en œuvre de cette approche réside dans la manière dont est construit l’indicateur synthétique. Le plus souvent, il s'agit d'une combinaison linéaire de critères particuliers, dont chacun est inclus dans un indicateur général avec un certain coefficient de pondération. C'est cette approche qui a été utilisée par E. Altman lors du développement du critère Z pour prédire la faillite.
Une ligne e est appelée une combinaison linéaire des lignes e, e-..., em de la matrice si
Le concept de combinaison linéaire, de dépendance linéaire et d'indépendance des vecteurs e, e2. f em sont similaires aux concepts correspondants pour les lignes de la matrice e, e2,..., em (11.5).
Comme le montre , pour les ensembles admissibles bornés et convexes (2.14), le vecteur x% 0 satisfaisant la contrainte A xk bk peut être représenté comme une combinaison linéaire convexe d'un ensemble fini de points extrêmes
La procédure d'optimisation du calcul des valeurs limites des éléments a et de leurs combinaisons linéaires est largement dépourvue de ces inconvénients.
Il est évident que le point (X1, d), obtenu par la combinaison linéaire de (A/, d) et (L.", d"), est aussi une solution du système (4.43), (4.44).
Dans cette section, nous examinerons les règles de calcul de l'espérance mathématique et de la variance d'une variable aléatoire multivariée, qui est une combinaison linéaire de variables aléatoires corrélées.
Par conséquent, pour une combinaison linéaire d’un nombre arbitraire de variables aléatoires, nous obtenons
Considérons le cas où l'investissement est réalisé sur plusieurs actifs (portefeuille). Un portefeuille est une combinaison linéaire d’actifs, chacun ayant son propre rendement attendu et sa propre dispersion de rendement.
Contrairement à une combinaison linéaire arbitraire de variables aléatoires, les pondérations des actifs sont soumises à une règle de normalisation.
Le paragraphe précédent a montré que lorsque le coefficient de corrélation entre les actifs est inférieur à 1, la diversification du portefeuille peut améliorer la relation entre le rendement attendu et le risque attendu. Cela est dû au fait que le rendement attendu du portefeuille est une combinaison linéaire des rendements attendus des actifs inclus dans le portefeuille et que la variance du portefeuille est une fonction quadratique de la valeur r.s. inclus dans le portefeuille d’actifs.
Puisque la fonction discriminante dépend uniquement d’une combinaison linéaire d’entrées, le neurone est un discriminateur linéaire. Dans certaines des situations les plus simples, un discriminateur linéaire est le meilleur possible, à savoir dans le cas où les probabilités des vecteurs d'entrée appartenant à la classe k sont données par des distributions gaussiennes.
Plus précisément, les sorties du réseau Oya sont des combinaisons linéaires des premières composantes principales. Pour obtenir exactement les composantes principales elles-mêmes, il suffit de remplacer la sommation de toutes les sorties dans la règle d’Oya par
Les vecteurs b forment en outre ce qu'on appelle la base minimale. A savoir, c'est le nombre minimum de vecteurs au moyen d'une combinaison linéaire dont tous les vecteurs mémorisés peuvent être représentés.
La procédure systématique suivante est capable d'identifier de manière itérative les caractéristiques les plus significatives, qui sont des combinaisons linéaires de variables d'entrée X = W X (un sous-ensemble d'entrées est un cas particulier de combinaison linéaire, c'est-à-dire que formellement on peut trouver meilleure solution que ce qui est disponible en sélectionnant les combinaisons d’intrants les plus significatives).
Au cours de l'analyse, les éléments suivants sont utilisés pour caractériser divers aspects de la situation financière. les indicateurs absolus et les ratios financiers, qui sont des indicateurs relatifs de la situation financière. Ces derniers sont calculés sous forme de ratios d'indicateurs absolus de situation financière ou de leurs combinaisons linéaires. Selon la classification de l'un des fondateurs de la science du bilan, N.A. Blatov, les indicateurs relatifs de la situation financière sont divisés en coefficients de répartition et sont utilisés dans les cas où il est nécessaire de déterminer quelle partie de telle ou telle
VECTEURS
Vecteurs appelés objets mathématiques ( un, b, c, ...), pour lequel l'exécution de deux opérations algébriques est définie :
addition de deux vecteurs a+b=c
· multiplier un vecteur par un nombre une = b.
La caractéristique la plus importante de ces opérations est qu’elles aboutissent toujours à un vecteur du même type que les vecteurs d’origine. Par conséquent, ayant un ensemble initial de vecteurs, nous pouvons l'étendre progressivement, c'est-à-dire obtenir de plus en plus de nouveaux vecteurs en appliquant les opérations d'addition et de multiplication par un nombre aux vecteurs existants. En fin de compte, nous arriverons à un ensemble de vecteurs qui ne s'étendront plus, c'est-à-dire s'avère être clôturé selon les opérations indiquées. Un tel ensemble de vecteurs est appelé espace vectoriel.
Si les opérations ci-dessus nécessitent des conditions de linéarité :
un( a+b)= un un + un b
(un + b) une = un un + b b
alors l'espace résultant est appelé linéaire espace (LP) ou vecteur linéaire espace (HDL). LCS peut, avec les groupes de symétrie, servir d'autre exemple de structures mathématiques, qui sont des ensembles fermés d'objets du même type et ordonnés d'une certaine manière (en utilisant des opérations algébriques).
Combinaisons linéaires
Ayant les opérations d'addition de vecteurs et de multiplication par des nombres, nous pouvons construire une construction plus complexe comme :
un un + b b+ g c + ..... = x
qui s'appelle combinaison linéaire (LK) vecteurs une, b, c, . . . avec les coefficients a, b, g, . . . , respectivement.
Le concept de LC permet de formuler plusieurs règles générales:
· chaque LC de n'importe quel vecteur d'un certain LP est également un vecteur du même LP ;
· tout vecteur d'un LP peut être représenté sous forme de LC de plusieurs vecteurs d'un même LP ;
· dans tout LP, il existe un tel ensemble sélectionné de vecteurs appelé ensemble de base (ou juste base ), que tous, sans exception, les vecteurs de ce LP peuvent être représentés comme des combinaisons linéaires de ces vecteurs de base sélectionnés. Une condition importante est imposée aux vecteurs choisis comme vecteurs de base : ils doivent être linéairement indépendant entre eux (ne doivent pas être exprimés les uns par les autres, c'est-à-dire : x≠une× oui).
Ces règles permettent d'introduire manière spéciale descriptions de tout médicament. Choisissons un ensemble de base et développons tous les vecteurs qui nous intéressent en fonction de cette base (c'est-à-dire, présentons-les sous la forme de vecteurs de base LC) ; alors chaque vecteur peut être spécifié de manière unique par un ensemble de coefficients LC correspondant à un vecteur donné. De tels coefficients sont appelés coordonnées vecteur (par rapport à une base donnée). Nous soulignons que les coordonnées d'un vecteur sont des nombres ordinaires et que la représentation coordonnée d'un vecteur permet de le décrire en utilisant uniquement un ensemble de nombres, quelle que soit la situation spécifique. signification physique, que nous mettons dans la notion de vecteur.
Considérons exemple concret. Supposons que nous ayons un ensemble de mélanges différents de deux purs produits chimiques: eau et alcool. Parmi tous les mélanges possibles, nous en soulignons deux particuliers :
1) mélange S1, contenant 100 % d'eau et 0 % d'alcool ;
2) mélange S2 contenant 0% d'eau et 100% d'alcool.
Il est clair qu'un mélange arbitraire peut être représenté comme la CL de ces deux mélanges de base :
S = n 1 * S1 + n 2 * S2
et caractérisez-le complètement avec seulement deux numéros de coordonnées : n 1 et n 2. En d’autres termes, étant donné un ensemble de bases, nous pouvons établir l’équivalence d’un mélange chimique arbitraire et d’un ensemble de nombres :
S~ {n 1 , n 2 }.
Il suffit désormais de remplacer le mot chimique concret « mélange » par le terme mathématique abstrait « vecteur » pour obtenir un modèle HDL décrivant de nombreux mélanges de deux substances.
Notion de vecteur
Définition 1.Vecteur appelé segment orienté (ou, ce qui revient au même, paire ordonnée de points).
Désigné : (le point A est le début du vecteur), le point B est la fin du vecteur) ou par une lettre -.
Définition 2.Longueur du vecteur (module) est la distance entre le début et la fin du vecteur. La longueur du vecteur est indiquée par ou.
Définition 3.Vecteur zéro On appelle un vecteur dont le début et la fin coïncident. Désigner:
Définition 4.Vecteur unitaire est un vecteur dont la longueur est égale à un.
Un vecteur unitaire qui a la même direction qu'un vecteur donné est appelé vecteur unitaire du vecteur et est désigné par le symbole.
Définition 5. Les vecteurs sont appelés colinéaire, s'ils sont situés sur une même droite ou sur des droites parallèles. Le vecteur nul est considéré comme colinéaire à n’importe quel vecteur.
Définition 6. Les vecteurs sont appelés égal, s'ils sont colinéaires, ont la même longueur et la même direction.
Opérations linéaires sur les vecteurs
Définition 7.Opérations linéaires sur les vecteurs sont appelées addition de vecteurs et multiplication d'un vecteur par un nombre.
Définition 8.La somme de deux vecteurs est un vecteur qui va du début du vecteur à la fin du vecteur, à condition que le vecteur soit attaché à la fin du vecteur (règle du triangle). Dans le cas de vecteurs non colinéaires, à la place de la règle du triangle, il est possible d'utiliser la règle du parallélogramme : si les vecteurs sont écartés d'une origine commune et qu'un parallélogramme est construit sur eux, alors la somme est un vecteur qui coïncide avec la diagonale de ce parallélogramme provenant d'une origine commune.
Définition 9.La différence de deux vecteurs s'appelle un vecteur qui, lorsqu'il est ajouté à un vecteur, forme un vecteur. Si deux vecteurs sont écartés d'une origine commune, alors leur différence est un vecteur allant de la fin du vecteur (« soustrait ») à la fin du vecteur (« réduit »).
Définition 10. Deux vecteurs colinéaires d'égale longueur dirigés dans des directions opposées sont appelés opposé. Le vecteur opposé au vecteur est noté.
Le produit d’un vecteur et d’un nombre est noté α.
Quelques propriétés des opérations linéaires
7)
;
Théorème 1.(À propos des vecteurs colinéaires). Si u sont deux vecteurs colinéaires et que le vecteur est non nul, alors il existe un nombre unique x tel que = x
En particulier, un vecteur non nul et ses sont or-connectés par l'égalité : =·.
Les propriétés formulées des opérations linéaires permettent de transformer des expressions composées de vecteurs selon les règles habituelles de l'algèbre : on peut ouvrir les parenthèses, rapprocher des termes similaires, transférer certains termes dans une autre partie de l'égalité de signe opposé, etc.
Exemple 1.
Prouver les égalités :
et découvrez quelle est leur signification géométrique.
Solution. a) Sur le côté gauche de l'égalité, ouvrez les parenthèses, ajoutez des termes similaires et obtenez un vecteur sur le côté droit. Expliquons géométriquement cette égalité. Soit deux vecteurs, écartons-les de l'origine commune et regardons le parallélogramme et ses diagonales, on obtient :
§2 Combinaison linéaire de vecteurs
Base vectorielle dans l'avion et dans l'espace.
Définition 1.Combinaison linéaire de vecteurs,,est appelé la somme des produits de ces vecteurs par certains nombres,,:++.
Définition 2.Base vectorielle dans un plan donné, toute paire de vecteurs non colinéaires dans ce plan est appelée.
Le vecteur est appelé premier vecteur de base, le vecteur deuxième.
Le théorème suivant est vrai.
Théorème 1. Si base ,– base vectorielle dans un plan, alors tout vecteur de ce plan peut être représenté, et de manière unique, sous la forme d'une combinaison linéaire de vecteurs de base : = x + y.
Définition 3.(*) L'égalité(*) s'appelle , et les nombres x et y – coordonnées du vecteur dans la base, (ou). par rapport à la base,
S'il est clair à l'avance de quelle base nous parlons, alors écrivez brièvement : = (x,y). De la définition des coordonnées d'un vecteur par rapport à la base, il s'ensuit que les vecteurs égaux ont respectivement des coordonnées égales. Deux vecteurs ou plus dans l'espace sont appelés coplanaire,
Définition 4.Base vectorielle s'ils sont parallèles au même plan ou se trouvent dans ce plan. , ,.
dans l'espace, trois vecteurs quelconques sont appelés
Le vecteur est appelé premier vecteur de base, deuxième et troisième. Commentaire. 1.
.
Trois vecteurs = (), = () et = () forment la base de l'espace si le déterminant composé de leurs coordonnées est non nul :
2. Les principes de base de la théorie des déterminants et les méthodes pour les calculer sont abordés dans le module 1 « algèbre linéaire ». Théorème 2. , Laisser , , est une base vectorielle dans l'espace. Alors n’importe quel vecteur dans l’espace peut être représenté, et d’une manière unique, comme une combinaison linéaire de vecteurs de base
Et:
Définition 5. X+y+z. (**) L'égalité (**) s'appelle , ,.
expansion du vecteur selon la base,
Définition 6.,, et les nombres x, y, z sont les coordonnées (composantes) du vecteur dans la base , S'il est clair à l'avance de quelle base nous parlons, alors écrivez brièvement : = (x,y,z). Base,appelé , orthonormé,
si vecteurs
, sont perpendiculaires par paires et ont une longueur unitaire. Dans ce cas, la notation ,, est adoptée. Actions sur des vecteurs spécifiés par leurs coordonnées. , Théorème 3.
Soit une base vectorielle choisie sur le plan 
et par rapport à lui, les vecteurs sont donnés par leurs coordonnées : = (), = ().
Alors =(),=(
), c'est-à-dire Lors de l'ajout ou de la soustraction de vecteurs, leurs coordonnées du même nom sont ajoutées ou soustraites ;= (·;), c'est-à-dire Lorsqu'un vecteur est multiplié par un nombre, ses coordonnées sont multipliées par ce nombre. Condition de colinéarité de deux vecteurs
Théorème 4.
Exemple 1. Soit les vecteurs = (1;2;-1) ,= (3;2;1), = (1;0;1) dans une base vectorielle , ,. Trouvez les coordonnées de la combinaison linéaire 2+3-4.
Solution. Introduisons la notation de la combinaison linéaire = 2+3+(-4).
Coefficients de combinaison linéaire =2,=3,=-4. Écrivons cette égalité vectorielle sous forme de coordonnées = (x,y,z)= :
2
Il est évident que chaque coordonnée d'une combinaison linéaire de vecteurs est égale à la même combinaison linéaire de coordonnées du même nom, c'est-à-dire
x = 2·1+3·3+(-4)·1=7,
y = 2·2+3·2+(-4)·0=10,
z= 2·(-1)+3·1+(-4)·0=-3.
Coordonnées vectorielles dans la base , ,sera:
Répondre:= {7,10,-3}.
Système de coordonnées cartésiennes général (affine)
Définition 7. Soit O un point fixe, que nous appellerons début.
Si M est un point arbitraire, alors le vecteur est appelé vecteur de rayon point M par rapport au début, bref, le rayon vecteur du point M.
Coordonnées cartésiennes (affines) sur une ligne
Soit une ligne droite dans l'espace je. Choisissons l'origine O pour se situer sur cette droite. De plus, on choisit sur la ligne droite je un vecteur non nul, que nous appellerons la base.
Définition 8. Soit le point M situé sur une droite. Puisque les vecteurs sont colinéaires, alors = x, où x est un certain nombre. Appelons ce numéro coordonner points M sur une droite.
L'origine de O a des coordonnées positives ou négatives, selon que les directions des vecteurs coïncident ou sont opposées. La droite sur laquelle se trouvent les coordonnées sera appelée axe de coordonnées ou axe OX.
L'introduction de coordonnées sur une ligne correspond à un seul nombre x, et inversement, il existe un seul point M pour lequel ce nombre est une coordonnée.
Coordonnées cartésiennes (affines) sur le plan.
Choisissons deux vecteurs non colinéaires et sur le plan O, formant une certaine base. Évidemment, les longueurs des vecteurs peuvent être différentes.
Définition 9. Ensemble de (0;;) point O et base vectorielle , appelé Système cartésien (affine) dans un avion.
Deux droites passant par O et parallèles aux vecteurs, respectivement , sont appelés axes de coordonnées. Le premier d'entre eux est généralement appelé axe des abscisses et est désigné par Ox, le second est l'axe des ordonnées et est désigné par Oy.
Nous les représenterons toujours comme se trouvant sur les axes de coordonnées correspondants.
Définition 10.Coordonnées des points M sur le plan par rapport au système de coordonnées cartésiennes (affines) (0;;) sont appelées les coordonnées de son rayon vecteur le long de la base :
X+y, alors les nombres x et y seront les coordonnées de M par rapport au système de coordonnées cartésiennes (affines) (0;;). La coordonnée x est appelée abscisse point M, coordonnée y- ordonnée pointe M.
Ainsi, si l'on choisit un système de coordonnées, (0;;) sur le plan, alors chaque point M du plan correspond à un seul point M sur le plan : ce point est la fin du vecteur
L'introduction d'un système de coordonnées est à la base de la méthode de géométrie analytique, dont l'essence est de pouvoir réduire tout problème géométrique à des problèmes d'arithmétique ou d'algèbre.
Définition 11.Coordonnées vectorielles sur le plan par rapport au système de coordonnées cartésiennes (0;;) les coordonnées de ce vecteur dans la base sont appelées.
Pour trouver les coordonnées du vecteur, il faut le développer selon la base :
X+y, où coefficients x,y et seront les coordonnées du vecteur par rapport à Système cartésien {0;;}.
Système de coordonnées cartésiennes (affines) dans l'espace.
Soit un certain point O (début) fixé dans l'espace et une base vectorielle choisie
Définition 12. La collection (0;;;) est appelée Système de coordonnées cartésiennes dans l'espace.
Définition 13. Trois droites passant par O et parallèles aux vecteurs, respectivement , ,, appelé axes de coordonnées et désignent respectivement Oz, Oy, Oz Nous représenterons toujours des vecteurs. , , couché sur les axes correspondants.
Définition 14.Coordonnées des points M dans l'espace par rapport au système de coordonnées cartésiennes (0;;;) est appelé les coordonnées de son rayon vecteur dans ce système.
Autrement dit, les coordonnées du point M sont respectivement les trois nombres x, y, z, l'abscisse et l'ordonnée du point M ; la troisième coordonnée z est appelée l'appliquée du point M.
L'introduction d'un système de coordonnées cartésiennes dans l'espace permet d'établir une correspondance bijective entre les points M de l'espace et les triplets ordonnés de nombres x, y, z.
Définition 15.Coordonnées vectorielles dans l'espace par rapport au système de coordonnées cartésiennes (0;;;), les coordonnées de ce vecteur dans la base ;;
Exemple 2.
Étant donné trois sommets consécutifs d'un parallélogramme A(-2;1),B(1;3),C(4;0). Trouvez sa quatrième coordonnée D. Le système de coordonnées est affine.
Solution.
Les vecteurs sont égaux, ce qui signifie que leurs coordonnées sont égales (coefficients de combinaison linéaire) :
= (3;2), =(4-x;-y); 
. Donc, D(1;-2).
Répondre: D(1;-2).
Dépendance linéaire. La notion de base
Définition 16. Les vecteurs sont appelés linéairement dépendant, s'il y a des chiffres,
Cette définition de la dépendance linéaire des vecteurs est équivalente à celle-ci : les vecteurs sont linéairement dépendants si l'un d'eux peut être représenté comme une combinaison linéaire des autres (ou étendu sur les autres).
Les vecteurs sont dits linéairement dépendants si l'égalité (***) est possible dans le seul cas où
Le concept de dépendance linéaire joue un rôle important en algèbre linéaire. En algèbre vectorielle, la dépendance linéaire a une signification géométrique simple.
Deux vecteurs colinéaires sont linéairement dépendants et inversement, deux vecteurs non colinéaires sont linéairement indépendants.
Trois vecteurs coplanaires sont linéairement dépendants, et vice versa, trois vecteurs non coplanaires sont linéairement indépendants.
Tous les quatre vecteurs sont linéairement dépendants.
Définition 17. Trois vecteurs linéairement indépendants sont appelés la base de l'espace, ceux. n'importe quel vecteur peut être représenté par certains.
Définition 18. Deux vecteurs linéairement indépendants situés dans un plan sont appelés base de l'avion, ceux. tout vecteur situé dans ce plan peut être représenté comme une combinaison linéaire de vecteurs.
Tâches pour décision indépendante.
les vecteurs trouvent des coordonnées dans cette base.
Dépendance linéaire et indépendance linéaire des vecteurs.
Base des vecteurs. Système de coordonnées affines
Il y a un chariot avec des chocolats dans l'auditorium, et chaque visiteur d'aujourd'hui recevra un joli couple : la géométrie analytique et l'algèbre linéaire. Cet article couvrira deux sections à la fois. mathématiques supérieures, et nous verrons comment ils s'entendent dans un seul emballage. Faites une pause, mangez un Twix ! ... putain, quel tas d'absurdités. Même si, d’accord, je ne marquerai pas, en fin de compte, vous devriez avoir une attitude positive à l’égard des études.
Dépendance linéaire des vecteurs, indépendance du vecteur linéaire, base de vecteurs et d'autres termes ont non seulement une interprétation géométrique, mais surtout une signification algébrique. Le concept même de « vecteur » du point de vue de l'algèbre linéaire n'est pas toujours le vecteur « ordinaire » que l'on peut représenter sur un plan ou dans l'espace. Vous n’avez pas besoin de chercher bien loin pour en trouver la preuve, essayez de dessiner un vecteur d’espace à cinq dimensions 
. Ou le vecteur météo, pour lequel je viens d'aller sur Gismeteo : respectivement la température et la pression atmosphérique. L'exemple, bien sûr, est incorrect du point de vue des propriétés de l'espace vectoriel, mais néanmoins personne n'interdit de formaliser ces paramètres comme vecteur. Souffle d'automne...
Non, je ne vais pas t'encombrer de théorie, linéaire espaces vectoriels, la tâche est de comprendre définitions et théorèmes. Les nouveaux termes (dépendance linéaire, indépendance, combinaison linéaire, base, etc.) s'appliquent à tous les vecteurs d'un point de vue algébrique, mais des exemples géométriques seront donnés. Ainsi, tout est simple, accessible et clair. En plus des problèmes de géométrie analytique, nous considérerons également quelques problèmes typiques d’algèbre. Pour maîtriser la matière, il est conseillé de se familiariser avec les cours Vecteurs pour les nuls Et Comment calculer le déterminant ?
Dépendance linéaire et indépendance des vecteurs plans.
Base plane et système de coordonnées affines
Considérons le plan de votre bureau d'ordinateur (juste une table, une table de chevet, le sol, le plafond, tout ce que vous voulez). La tâche comprendra les actions suivantes :
1) Sélectionnez la base du plan. En gros, un plateau de table a une longueur et une largeur, il est donc intuitif que deux vecteurs seront nécessaires pour construire la base. Un vecteur n’est clairement pas suffisant, trois vecteurs c’est trop.
2) Basé sur la base sélectionnée définir le système de coordonnées(grille de coordonnées) pour attribuer des coordonnées à tous les objets de la table.
Ne soyez pas surpris, au début les explications seront sur les doigts. De plus, sur le vôtre. Veuillez placer index gauche sur le bord de la table pour qu'il puisse regarder le moniteur. Ce sera un vecteur. Maintenant place petit doigt droit sur le bord de la table de la même manière - afin qu'il soit dirigé vers l'écran du moniteur. Ce sera un vecteur. Souriez, vous êtes superbe ! Que dire des vecteurs ? Vecteurs de données colinéaire, ce qui signifie linéaire exprimés les uns par les autres :
, eh bien, ou vice versa : , où est un nombre différent de zéro.
Vous pouvez voir une image de cette action en classe. Vecteurs pour les nuls, où j'ai expliqué la règle pour multiplier un vecteur par un nombre.
Vos doigts poseront-ils la base sur le plan du bureau d'ordinateur ? Évidemment non. Les vecteurs colinéaires se déplacent d'avant en arrière à travers seul direction, et un plan a une longueur et une largeur.
De tels vecteurs sont appelés linéairement dépendant.
Référence: Les mots « linéaire », « linéairement » désignent le fait que dans équations mathématiques, les expressions ne contiennent pas de carrés, de cubes, d'autres puissances, de logarithmes, de sinus, etc. Il n’existe que des expressions et dépendances linéaires (1er degré).
Deux vecteurs plans linéairement dépendant si et seulement s'ils sont colinéaires.
Croisez les doigts sur la table pour qu'il y ait un angle entre eux autre que 0 ou 180 degrés. Deux vecteurs planslinéaire Pas dépendants si et seulement s'ils ne sont pas colinéaires. Ainsi, la base est obtenue. Il n'y a pas lieu d'être gêné par le fait que la base s'est avérée « asymétrique » avec des vecteurs non perpendiculaires de différentes longueurs. Très bientôt, nous verrons que non seulement un angle de 90 degrés convient à sa construction, mais pas seulement des vecteurs unitaires d'égale longueur.
N'importe lequel vecteur d'avion le seul moyen est élargi selon la base : 
, où sont les nombres réels. Les numéros sont appelés coordonnées vectorielles dans cette base.
On dit aussi que vecteurprésenté comme combinaison linéaire vecteurs de base. Autrement dit, l'expression s'appelle décomposition vectoriellepar base ou combinaison linéaire vecteurs de base.
Par exemple, nous pouvons dire que le vecteur est décomposé le long d’une base orthonormée du plan, ou nous pouvons dire qu’il est représenté comme une combinaison linéaire de vecteurs.
Formulons définition de base officiellement: La base de l'avion est appelé une paire de vecteurs linéairement indépendants (non colinéaires), , alors que n'importe lequel un vecteur plan est une combinaison linéaire de vecteurs de base.
Un point essentiel de la définition est le fait que les vecteurs sont pris dans un certain ordre. Socles 
– ce sont deux bases complètement différentes ! Comme on dit, vous ne pouvez pas remplacer le petit doigt de votre main gauche par le petit doigt de votre main droite.
Nous avons trouvé la base, mais il ne suffit pas de définir une grille de coordonnées et d'attribuer des coordonnées à chaque élément de votre bureau d'ordinateur. Pourquoi n'est-ce pas suffisant ? Les vecteurs sont libres et errent dans tout le plan. Alors, comment attribuer des coordonnées à ces petits endroits sales sur la table, laissés par un week-end endiablé ? Un point de départ est nécessaire. Et un tel point de repère est un point familier à tout le monde : l'origine des coordonnées. Comprenons le système de coordonnées :
Je vais commencer par le système « scolaire ». Déjà dans la leçon d'introduction Vecteurs pour les nuls J'ai mis en évidence quelques différences entre le système de coordonnées rectangulaires et la base orthonormée. Voici l'image standard :
Quand ils parlent de système de coordonnées rectangulaires, alors le plus souvent ils désignent l'origine, les axes de coordonnées et l'échelle le long des axes. Essayez de taper « système de coordonnées rectangulaires » dans un moteur de recherche et vous verrez que de nombreuses sources vous parleront des axes de coordonnées familiers de la 5e à la 6e année et comment tracer des points sur un plan.
D'un autre côté, il semble que système rectangulaire les coordonnées peuvent être complètement déterminées grâce à une base orthonormée. Et c'est presque vrai. La formulation est la suivante :
origine, Et orthonormé la base est posée Système de coordonnées de plan rectangulaire cartésien . Autrement dit, le système de coordonnées rectangulaires certainement est défini par un seul point et deux vecteurs orthogonaux unitaires. C'est pourquoi vous voyez le dessin que j'ai donné ci-dessus - dans les problèmes géométriques, les vecteurs et les axes de coordonnées sont souvent (mais pas toujours) dessinés.
Je pense que tout le monde comprend qu'utiliser un point (origine) et une base orthonormée N'IMPORTE QUEL POINT dans l'avion et N'IMPORTE QUEL VECTEUR dans l'avion des coordonnées peuvent être attribuées. Au sens figuré, « tout ce qui se trouve dans un avion peut être numéroté ».
Les vecteurs de coordonnées doivent-ils être des unités ? Non, ils peuvent avoir une longueur arbitraire non nulle. Considérons un point et deux vecteurs orthogonaux de longueur arbitraire non nulle :
Une telle base est appelée orthogonal. L'origine des coordonnées avec des vecteurs est définie par une grille de coordonnées, et tout point du plan, tout vecteur a ses coordonnées dans une base donnée. Par exemple, ou. L'inconvénient évident est que les vecteurs de coordonnées dans le cas général ont des longueurs différentes autres que l'unité. Si les longueurs sont égales à l’unité, alors la base orthonormée habituelle est obtenue.
! Note : dans la base orthogonale, ainsi qu'en dessous dans les bases affines du plan et de l'espace, les unités le long des axes sont considérées CONDITIONNEL. Par exemple, une unité le long de l'axe des abscisses contient 4 cm, une unité le long de l'axe des ordonnées contient 2 cm. Cette information suffit pour, si nécessaire, convertir des coordonnées « non standards » en « nos centimètres habituels ».
Et la deuxième question, à laquelle on a déjà répondu, est de savoir si l'angle entre les vecteurs de base doit être égal à 90 degrés ? Non! Comme l'indique la définition, les vecteurs de base doivent être seulement non colinéaire. En conséquence, l'angle peut être n'importe quoi sauf 0 et 180 degrés.
Un point sur l'avion appelé origine, Et non colinéaire vecteurs, , ensemble système de coordonnées plan affine :
Parfois, un tel système de coordonnées est appelé oblique système. A titre d'exemples, le dessin montre des points et des vecteurs : 
Comme vous le comprenez, le système de coordonnées affines est encore moins pratique ; les formules pour les longueurs des vecteurs et des segments, dont nous avons parlé dans la deuxième partie de la leçon, n'y fonctionnent pas. Vecteurs pour les nuls, de nombreuses formules délicieuses liées à produit scalaire de vecteurs. Mais les règles d'addition de vecteurs et de multiplication d'un vecteur par un nombre, les formules de division d'un segment dans cette relation, ainsi que certains autres types de problèmes que nous examinerons bientôt, sont valables.
Et la conclusion est que le cas particulier le plus pratique d’un système de coordonnées affines est le système rectangulaire cartésien. C’est pourquoi tu dois la voir le plus souvent, ma chérie. ...Cependant, tout dans cette vie est relatif - il existe de nombreuses situations dans lesquelles un angle oblique (ou un autre, par exemple, polaire) système de coordonnées. Et les humanoïdes pourraient aimer de tels systèmes =)
Passons à la partie pratique. Tous les problèmes de cette leçon sont valables à la fois pour le système de coordonnées rectangulaires et pour le cas affine général. Il n'y a rien de compliqué ici ; tout le matériel est accessible même à un écolier.
Comment déterminer la colinéarité des vecteurs plans ?
Chose typique. Pour que deux vecteurs plans 
étaient colinéaires, il est nécessaire et suffisant que leurs coordonnées correspondantes soient proportionnelles Il s’agit essentiellement d’un détail coordonnée par coordonnée de la relation évidente.
Exemple 1
a) Vérifiez si les vecteurs sont colinéaires 
.
b) Les vecteurs constituent-ils une base ? 
?
Solution:
a) Voyons s'il existe pour les vecteurs 
coefficient de proportionnalité, tel que les égalités soient satisfaites : 
Je vais certainement vous parler de la version « farfelue » de l'application de cette règle, qui fonctionne plutôt bien dans la pratique. L’idée est de faire immédiatement la proportion et de voir si elle est correcte :
Faisons une proportion à partir des rapports des coordonnées correspondantes des vecteurs :
Raccourcissons :
, donc les coordonnées correspondantes sont proportionnelles, donc,
La relation pourrait être inverse ; il s’agit d’une option équivalente :
Pour l'auto-test, vous pouvez utiliser le fait que les vecteurs colinéaires sont exprimés linéairement les uns par les autres. DANS dans ce cas il y a des égalités 
. Leur validité peut être facilement vérifiée par des opérations élémentaires avec des vecteurs : 
b) Deux vecteurs plans forment une base s'ils ne sont pas colinéaires (linéairement indépendants). Nous examinons les vecteurs pour la colinéarité 
. Créons un système : 
De la première équation il s'ensuit que , de la deuxième équation il s'ensuit que , ce qui signifie le système est incohérent(pas de solutions). Ainsi, les coordonnées correspondantes des vecteurs ne sont pas proportionnelles.
Conclusion: les vecteurs sont linéairement indépendants et forment une base.
Une version simplifiée de la solution ressemble à ceci :
Faisons une proportion à partir des coordonnées correspondantes des vecteurs 
:
, ce qui signifie que ces vecteurs sont linéairement indépendants et forment une base.
Habituellement, cette option n'est pas rejetée par les réviseurs, mais un problème se pose dans les cas où certaines coordonnées sont égales à zéro. Comme ça: 
. Ou comme ceci : 
. Ou comme ceci : 
. Comment travailler les proportions ici ? (en effet, on ne peut pas diviser par zéro). C’est pour cette raison que j’ai qualifié la solution simplifiée de « farfelue ».
Répondre: a) , b) formulaire.
Un petit exemple créatif pour votre propre solution :
Exemple 2
A quelle valeur du paramètre sont les vecteurs 
seront-ils colinéaires ?
Dans la solution échantillon, le paramètre se trouve grâce à la proportion.
Il existe une manière algébrique élégante de vérifier la colinéarité des vecteurs. Systématisons nos connaissances et ajoutons-la comme cinquième point :
Pour deux vecteurs les plans sont équivalents les déclarations suivantes
:
2) les vecteurs forment une base ;
3) les vecteurs ne sont pas colinéaires ;
+ 5) le déterminant composé des coordonnées de ces vecteurs est non nul.
Respectivement, les affirmations opposées suivantes sont équivalentes:
1) les vecteurs sont linéairement dépendants ;
2) les vecteurs ne constituent pas une base ;
3) les vecteurs sont colinéaires ;
4) les vecteurs peuvent être exprimés linéairement les uns par les autres ;
+ 5) le déterminant composé des coordonnées de ces vecteurs est égal à zéro.
J'espère vraiment, vraiment que à l'heure actuelle vous comprenez déjà tous les termes et déclarations que vous rencontrez.
Examinons de plus près le nouveau cinquième point : deux vecteurs plans 
sont colinéaires si et seulement si le déterminant composé des coordonnées des vecteurs donnés est égal à zéro:. Pour appliquer cette fonctionnalité, vous devez bien entendu être capable de trouver des déterminants.
Décidons Exemple 1 de la deuxième manière :
a) Calculons le déterminant constitué des coordonnées des vecteurs 
:
, ce qui signifie que ces vecteurs sont colinéaires.
b) Deux vecteurs plans forment une base s'ils ne sont pas colinéaires (linéairement indépendants). Calculons le déterminant constitué de coordonnées vectorielles 
:
, ce qui signifie que les vecteurs sont linéairement indépendants et forment une base.
Répondre: a) , b) formulaire.
Cela semble beaucoup plus compact et plus joli qu'une solution avec des proportions.
A l'aide du matériel considéré, il est possible d'établir non seulement la colinéarité des vecteurs, mais aussi de prouver le parallélisme des segments et des droites. Considérons quelques problèmes liés à des formes géométriques spécifiques.
Exemple 3
Les sommets d'un quadrilatère sont donnés. Montrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme.
Preuve: Il n'est pas nécessaire de créer un dessin dans le problème, puisque la solution sera purement analytique. Rappelons la définition d'un parallélogramme :
Parallélogramme
On appelle un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux.
Il faut donc prouver :
1) parallélisme des côtés opposés et ;
2) parallélisme des côtés opposés et.
Nous prouvons :
1) Trouvez les vecteurs : 
2) Trouvez les vecteurs : 
Le résultat est le même vecteur (« selon l'école » – vecteurs égaux). La colinéarité est assez évidente, mais il vaut mieux formaliser la décision clairement, avec arrangement. Calculons le déterminant constitué de coordonnées vectorielles : 
, ce qui signifie que ces vecteurs sont colinéaires, et .
Conclusion: Les côtés opposés d'un quadrilatère sont parallèles deux à deux, ce qui signifie qu'il s'agit d'un parallélogramme par définition. QED.
D'autres chiffres bons et différents :
Exemple 4
Les sommets d'un quadrilatère sont donnés. Montrer qu'un quadrilatère est un trapèze.
Pour une formulation plus rigoureuse de la preuve, il vaut mieux, bien sûr, se procurer la définition d'un trapèze, mais il suffit simplement de rappeler à quoi il ressemble.
C'est une tâche que vous devez résoudre vous-même. Solution complète à la fin de la leçon.
Et maintenant, il est temps de passer lentement de l’avion à l’espace :
Comment déterminer la colinéarité des vecteurs spatiaux ?
La règle est très similaire. Pour que deux vecteurs spatiaux soient colinéaires, il faut et suffisant que leurs coordonnées correspondantes soient proportionnelles.
Exemple 5
Découvrez si les vecteurs spatiaux suivants sont colinéaires :
UN) ;
b)
V) 
Solution:
a) Vérifions s'il existe un coefficient de proportionnalité pour les coordonnées correspondantes des vecteurs :
Le système n’a pas de solution, ce qui signifie que les vecteurs ne sont pas colinéaires.
« Simplifié » est formalisé en vérifiant la proportion. Dans ce cas:
– les coordonnées correspondantes ne sont pas proportionnelles, ce qui signifie que les vecteurs ne sont pas colinéaires.
Répondre: les vecteurs ne sont pas colinéaires.
b-c) Ce sont des points pour une décision indépendante. Essayez-le de deux manières.
Il existe une méthode pour vérifier la colinéarité des vecteurs spatiaux via un déterminant du troisième ordre, cette méthode est abordée dans l'article ; Produit vectoriel de vecteurs.
Semblables au cas plan, les outils considérés peuvent être utilisés pour étudier le parallélisme de segments spatiaux et de lignes droites.
Bienvenue dans la deuxième section :
Dépendance linéaire et indépendance des vecteurs dans l'espace tridimensionnel.
Base spatiale et système de coordonnées affines
Bon nombre des modèles que nous avons examinés sur l’avion seront valables pour l’espace. J'ai essayé de minimiser les notes théoriques, car la part du lion des informations a déjà été mâchée. Cependant, je vous recommande de lire attentivement la partie introductive, car de nouveaux termes et concepts apparaîtront.
Désormais, au lieu du plan du bureau d’ordinateur, nous explorons l’espace tridimensionnel. Commençons par créer sa base. Quelqu’un est désormais à l’intérieur, quelqu’un à l’extérieur, mais de toute façon, on ne peut échapper aux trois dimensions : la largeur, la longueur et la hauteur. Par conséquent, pour construire une base, trois vecteurs spatiaux seront nécessaires. Un ou deux vecteurs ne suffisent pas, le quatrième est superflu.
Et encore une fois on s'échauffe sur nos doigts. S'il vous plaît, levez la main et étendez-la dans différentes directions pouce, index et majeur. Ce seront des vecteurs, ils regardent dans des directions différentes, ils ont différentes longueurs et ont des angles différents entre eux. Félicitations, la base de l'espace tridimensionnel est prête ! À propos, il n'est pas nécessaire de le démontrer aux enseignants, peu importe la force avec laquelle vous vous tordez les doigts, mais il n'y a pas d'échappatoire aux définitions =)
Ensuite, posons-nous une question importante : est-ce que trois vecteurs quelconques forment la base d'un espace tridimensionnel? Veuillez appuyer fermement trois doigts sur le dessus du bureau de l'ordinateur. Ce qui s'est passé? Trois vecteurs sont situés dans le même plan et, grosso modo, nous avons perdu l'une des dimensions - la hauteur. De tels vecteurs sont coplanaire et il est bien évident que la base de l’espace tridimensionnel n’est pas créée.
Il convient de noter que les vecteurs coplanaires ne doivent pas nécessairement se trouver dans le même plan, ils peuvent être dans des plans parallèles (ne le faites pas avec vos doigts, seul Salvador Dali l'a fait =)).
Définition: les vecteurs sont appelés coplanaire, s'il existe un plan auquel ils sont parallèles. Il est logique d'ajouter ici que si un tel plan n'existe pas, alors les vecteurs ne seront pas coplanaires.
Trois vecteurs coplanaires sont toujours linéairement dépendants, c'est-à-dire qu'ils sont exprimés linéairement les uns par les autres. Pour simplifier, imaginons à nouveau qu’ils se trouvent dans le même plan. Premièrement, les vecteurs ne sont pas seulement coplanaires, ils peuvent aussi être colinéaires, alors n'importe quel vecteur peut être exprimé par n'importe quel vecteur. Dans le deuxième cas, si par exemple les vecteurs ne sont pas colinéaires, alors le troisième vecteur s'exprime à travers eux de manière unique : 
(et pourquoi est facile à deviner à partir des documents de la section précédente).
L’inverse est également vrai : trois vecteurs non coplanaires sont toujours linéairement indépendants, c'est-à-dire qu'ils ne s'expriment en aucune manière les uns par les autres. Et, évidemment, seuls de tels vecteurs peuvent constituer la base d’un espace tridimensionnel.
Définition: La base de l'espace tridimensionnel est appelé un triplet de vecteurs linéairement indépendants (non coplanaires), pris dans un certain ordre, et tout vecteur d'espace le seul moyen est décomposé sur une base donnée, où sont les coordonnées du vecteur dans cette base
Je vous rappelle qu'on peut aussi dire que le vecteur est représenté sous la forme combinaison linéaire vecteurs de base.
Le concept de système de coordonnées est introduit exactement de la même manière que pour le cas plan ; un point et trois vecteurs linéairement indépendants suffisent :
origine, Et non coplanaire vecteurs, pris dans un certain ordre, ensemble système de coordonnées affines d'un espace tridimensionnel
:
Bien sûr, la grille de coordonnées est « oblique » et peu pratique, mais le système de coordonnées construit nous permet néanmoins certainement déterminer les coordonnées de n’importe quel vecteur et les coordonnées de n’importe quel point de l’espace. Semblable à un avion, certaines formules que j'ai déjà mentionnées ne fonctionneront pas dans le système de coordonnées affines de l'espace.
Le cas particulier le plus familier et le plus pratique d’un système de coordonnées affines, comme tout le monde le devine, est système de coordonnées d'espace rectangulaire:
Un point dans l'espace appelé origine, Et orthonormé la base est posée Système de coordonnées d'espace rectangulaire cartésien
. Image familière : 
Avant de passer aux tâches pratiques, systématisons à nouveau les informations :
Pour trois vecteurs spatiaux, les déclarations suivantes sont équivalentes:
1) les vecteurs sont linéairement indépendants ;
2) les vecteurs forment une base ;
3) les vecteurs ne sont pas coplanaires ;
4) les vecteurs ne peuvent pas être exprimés linéairement les uns par les autres ;
5) le déterminant, composé des coordonnées de ces vecteurs, est différent de zéro.
Je pense que les déclarations opposées sont compréhensibles.
La dépendance/indépendance linéaire des vecteurs spatiaux est traditionnellement vérifiée à l'aide d'un déterminant (point 5). Restant tâches pratiques aura un caractère algébrique prononcé. Il est temps de raccrocher le bâton de géométrie et de manier la batte de baseball de l'algèbre linéaire :
Trois vecteurs de l'espace sont coplanaires si et seulement si le déterminant composé des coordonnées des vecteurs donnés est égal à zéro : 
.
Je voudrais attirer votre attention sur une petite nuance technique : les coordonnées des vecteurs peuvent être écrites non seulement en colonnes, mais aussi en lignes (la valeur du déterminant ne changera pas de ce fait - voir propriétés des déterminants). Mais c'est bien mieux en colonnes, car c'est plus bénéfique pour résoudre certains problèmes pratiques.
Pour les lecteurs qui ont un peu oublié les méthodes de calcul des déterminants, ou peut-être qui les comprennent peu, je recommande l'une de mes plus anciennes leçons : Comment calculer le déterminant ?
Exemple 6
Vérifiez si les vecteurs suivants constituent la base de l'espace tridimensionnel :
Solution: En fait, toute la solution se résume au calcul du déterminant.
a) Calculons le déterminant constitué de coordonnées vectorielles (le déterminant est révélé en première ligne) : 
, ce qui signifie que les vecteurs sont linéairement indépendants (non coplanaires) et forment la base de l'espace tridimensionnel.
Répondre: ces vecteurs forment une base
b) Il s’agit d’un point pour une décision indépendante. Solution complète et réponse à la fin de la leçon.
Il existe également des tâches créatives :
Exemple 7
A quelle valeur du paramètre les vecteurs seront-ils coplanaires ?
Solution: Les vecteurs sont coplanaires si et seulement si le déterminant composé des coordonnées de ces vecteurs est égal à zéro : 
Essentiellement, vous devez résoudre une équation avec un déterminant. On fonce sur les zéros comme des cerfs-volants sur des gerboises - il est préférable d'ouvrir le déterminant dans la deuxième ligne et de se débarrasser immédiatement des moins : 
Nous procédons à des simplifications supplémentaires et réduisons le problème à l'équation linéaire la plus simple : 
Répondre: à
C'est facile à vérifier ici ; pour ce faire, vous devez substituer la valeur résultante au déterminant d'origine et vous assurer que 
, en l'ouvrant à nouveau.
En conclusion, examinons un autre problème typique, de nature plus algébrique et traditionnellement inclus dans un cours d’algèbre linéaire. C'est tellement courant qu'il mérite son propre sujet :
Prouver que 3 vecteurs constituent la base de l'espace tridimensionnel
et trouver les coordonnées du 4ème vecteur dans cette base
Exemple 8
Les vecteurs sont donnés. Montrer que les vecteurs forment une base dans un espace tridimensionnel et trouver les coordonnées du vecteur dans cette base.
Solution: Tout d'abord, parlons de la condition. Par condition, quatre vecteurs sont donnés et, comme vous pouvez le voir, ils ont déjà des coordonnées sur une certaine base. Ce qu'est cette base ne nous intéresse pas. Et la chose suivante est intéressante : trois vecteurs pourraient bien constituer une nouvelle base. Et la première étape coïncide complètement avec la solution de l'exemple 6 il faut vérifier si les vecteurs sont bien linéairement indépendants :
Calculons le déterminant constitué de coordonnées vectorielles : 
, ce qui signifie que les vecteurs sont linéairement indépendants et constituent la base de l’espace tridimensionnel.
! Important : coordonnées vectorielles Nécessairementécrire en colonnes déterminant, pas en chaînes. Sinon, il y aura de la confusion dans l'algorithme de solution ultérieur.