Aire d'un paraboloïde. Propriétés d'un paraboloïde de révolution. Localisation de la surface libre dans le navire

Ellipsoïde- surface en espace tridimensionnel, obtenu en déformant la sphère selon trois axes perpendiculaires entre eux. L'équation canonique d'un ellipsoïde dans Coordonnées cartésiennes, coïncidant avec les axes de déformation de l'ellipsoïde : .

Les quantités a, b, c sont appelées les demi-axes de l'ellipsoïde. Un ellipsoïde est aussi un corps délimité par la surface d'un ellipsoïde. Un ellipsoïde est l'une des formes possibles de surfaces du second ordre.

Dans le cas où deux demi-axes ont la même longueur, un ellipsoïde peut être obtenu en faisant tourner l'ellipse autour d'un de ses axes. Un tel ellipsoïde est appelé ellipsoïde de révolution ou sphéroïde.

Un ellipsoïde reflète la surface idéalisée de la Terre avec plus de précision qu'une sphère.

Volume de l'ellipsoïde :.

Superficie de l'ellipsoïde de révolution :

Hyperboloïde- il s'agit d'un type de surface du second ordre dans l'espace tridimensionnel, spécifié en coordonnées cartésiennes par l'équation - (hyperboloïde à une feuille), où a et b sont les demi-axes réels, et c le demi-axe imaginaire ; ou - (hyperboloïde à deux feuilles), où a et b sont des demi-axes imaginaires et c est le demi-axe réel.

Si a = b, alors une telle surface est appelée hyperboloïde de révolution. Un hyperboloïde de révolution à une feuille peut être obtenu en faisant tourner l'hyperbole autour de son axe imaginaire, et un hyperboloïde à deux feuilles autour de son axe réel. Un hyperboloïde de révolution à deux feuillets est aussi le lieu des points P, le module de la différence des distances à partir duquel à deux points A et B donnés est constant : | AP-BP | = const. Dans ce cas, A et B sont appelés foyers de l’hyperboloïde.

Un hyperboloïde à une feuille est une surface doublement réglée ; s'il s'agit d'un hyperboloïde de révolution, alors il peut être obtenu en faisant tourner une ligne autour d'une autre ligne qui la coupe.

Paraboloïde— type de surface du second ordre. Un paraboloïde peut être caractérisé comme une surface ouverte non centrale (c'est-à-dire sans centre de symétrie) du second ordre.

Equations canoniques d'un paraboloïde en coordonnées cartésiennes :

· si a et b sont du même signe, alors le paraboloïde est dit elliptique.

· si a et b signe différent, alors le paraboloïde est appelé hyperbolique.

· si l'un des coefficients est nul, alors le paraboloïde est appelé cylindre parabolique.

ü est un paraboloïde elliptique, où a et b sont du même signe. La surface est décrite par une famille de paraboles parallèles à branches dirigées vers le haut, dont les sommets décrivent une parabole à branches également dirigées vers le haut. Si a = b alors un paraboloïde elliptique est une surface de révolution formée par la rotation d'une parabole autour d'un axe vertical passant par le sommet de cette parabole.

ü est un paraboloïde hyperbolique.

La propriété prouvée de la tangente à une parabole est très importante, puisqu'il en résulte que les rayons émanant du foyer d'un miroir parabolique concave, c'est-à-dire un miroir dont la surface est obtenue par la rotation de la parabole autour de son axe, sont réfléchi par un faisceau parallèle, à savoir des axes de miroir parallèles (Fig.).

Cette propriété des miroirs paraboliques est utilisée dans la construction de projecteurs, dans les phares de n'importe quelle voiture, ainsi que dans les télescopes réfléchissants. De plus, dans ce dernier cas, inversement, les rayons provenant du corps céleste ; presque parallèles, ils sont concentrés près du foyer du miroir du télescope, et comme les rayons provenant de différents points du luminaire sont très non parallèles, ils sont concentrés près du foyer en différents points, de sorte que près du foyer une image du luminaire est obtenu, plus il est grand, plus distance focale paraboles. Cette image est déjà visualisée au microscope (oculaire de télescope). À proprement parler, seuls les rayons strictement parallèles à l'axe du miroir sont collectés en un point (le foyer), tandis que les rayons parallèles faisant un angle par rapport à l'axe du miroir ne sont collectés que presque jusqu'à un point, et plus ce point est éloigné. de la mise au point, plus l'image est floue. Cette circonstance limite le « champ de vision du télescope ».

Supposons que sa surface intérieure soit une surface de miroir ; ce miroir parabolique est éclairé par un faisceau de rayons lumineux parallèles à l'axe de l'ampli opérationnel. Tous les rayons parallèles à l'axe de l'ampli-op, après réflexion, se croiseront en un point sur l'axe de l'ampli-op (foyer F). La conception des télescopes paraboliques repose sur cette propriété. Les rayons d'étoiles lointaines nous parviennent sous la forme d'un faisceau parallèle. En fabriquant un télescope parabolique et en plaçant une plaque photographique à son foyer, nous avons la possibilité d'amplifier le signal lumineux provenant de l'étoile.

Le même principe est à la base de la création d'une antenne parabolique, qui permet d'amplifier les signaux radio. Si vous placez une source lumineuse au foyer d'un miroir parabolique, alors après réflexion sur la surface du miroir, les rayons provenant de cette source ne seront pas diffusés, mais seront collectés en un faisceau étroit parallèle à l'axe du miroir . Ce fait est utilisé dans la fabrication de spots et de lanternes, divers projecteurs dont les miroirs sont réalisés en forme de paraboloïdes.

La propriété optique mentionnée ci-dessus d'un miroir parabolique est utilisée pour créer des télescopes à miroir, diverses installations de chauffage solaire ainsi que des projecteurs. En plaçant une puissante source de lumière ponctuelle au foyer d'un miroir parabolique, nous obtenons un flux dense de rayons réfléchis parallèlement à l'axe du miroir.

Lorsqu’une parabole tourne autour de son axe, on obtient une figure appelée paraboloïde. Si la surface interne du paraboloïde est rendue miroir et qu'un faisceau de rayons est dirigé vers elle, parallèle à l'axe symétrie d'une parabole, alors les rayons réfléchis convergeront en un point, appelé foyer. Dans le même temps, si la source lumineuse est placée au foyer, les rayons réfléchis par la surface du miroir du paraboloïde seront parallèles et non diffusés.

La première propriété permet d'obtenir une température élevée au foyer du paraboloïde. Selon la légende, cette propriété aurait été utilisée par l'ancien scientifique grec Archimède (287-212 avant JC). Tout en défendant Syracuse pendant la guerre contre les Romains, il construisit un système de miroirs paraboliques permettant de concentrer les rayons réfléchis du soleil sur les navires romains. En conséquence, la température aux foyers des miroirs paraboliques s'est avérée si élevée qu'un incendie s'est déclaré sur les navires et ils ont brûlé.

La deuxième propriété est utilisée par exemple dans la fabrication de spots et de phares de voiture.

Hyperbole

4. La définition d'une hyperbole nous donne une manière simple de la construire avec un mouvement continu : prenez deux fils dont la différence de longueur est 2a, et attachez une extrémité de ces fils aux points F" et F. Si vous tenez l'autre deux extrémités ensemble avec votre main et déplacez-vous le long des fils avec la pointe d'un crayon, en prenant soin que les fils soient pressés contre le papier, étirés et se touchant, en partant de la pointe du dessin jusqu'au point où les extrémités se rejoignent, la pointe dessinera partie d'une des branches de l'hyperbole (plus les fils sont gros, plus les fils sont longs) (Fig.).

En inversant les rôles des points F" et F, on obtient une partie d'une autre branche.

Par exemple, Sur le thème « Courbes du 2ème ordre », vous pouvez considérer le problème suivant :

Tâche. Deux gares A et B sont situées à une distance de s km l'une de l'autre. Vers n'importe quel point M, la marchandise peut être livrée depuis la station A soit par transport routier direct (premier itinéraire), soit par chemin de fer jusqu'à la gare B, et de là en voiture (deuxième itinéraire). Le tarif ferroviaire (prix du transport de 1 tonne par 1 km) est de m roubles, le tarif du transport routier est de n roubles, n > m, le tarif de chargement et de déchargement est de k roubles. Déterminez la zone d'influence de la gare B, c'est-à-dire la zone dans laquelle il est moins cher de livrer des marchandises depuis la gare A par des moyens mixtes - par chemin de fer puis par route, c'est-à-dire déterminer la localisation géométrique des points pour lesquels le deuxième chemin est plus rentable que le premier.

Solution. Notons AM = r, BM = g, alors le coût de livraison (transport et chargement/déchargement) le long de l'itinéraire AM est égal à nr + k, et le coût de livraison le long de l'itinéraire ABM est égal à ms + 2k + ng. Alors les points M pour lesquels les deux valeurs sont égales satisfont à l'équation nr + k = ms+2k+nг, ou

ms + k = nr - ng

r - r = = const > O,

donc la ligne délimitant la région est l'une des branches de l'hyperbole | r-r | = const. Pour tous les points du plan situés du même côté que le point A de cette hyperbole, le premier chemin est plus avantageux, et pour les points situés de l'autre côté - le second, donc la branche de l'hyperbole délimite la zone d'influence de la gare B.

Variante de ce problème.

Deux gares A et B sont situées à 1 km l'une de l'autre. Jusqu'au point M, les marchandises peuvent être livrées depuis la gare A soit par transport routier direct, soit par chemin de fer jusqu'à la gare B, et de là en voiture (Fig. 49). Dans ce cas, le tarif ferroviaire (prix du transport de 1 tonne pour 1 km) est de m roubles, les frais de chargement et de déchargement sont de k roubles (pour 1 tonne) et le tarif du transport routier est de n roubles (n > m). Déterminons ce qu'on appelle la zone d'influence de la gare B, c'est-à-dire la zone vers laquelle il est moins cher de livrer des marchandises en provenance de A par un itinéraire mixte : par chemin de fer puis par route.

Solution. Le coût de livraison d'une tonne de marchandises le long de la route AM est r n, où r = AM, et le long de la route ABM, il sera égal à 1 m + k + r n. Nous devons résoudre la double inégalité r n 1m+ k+ r n et déterminer comment sont répartis les points sur le plan (x, y), auxquels il est moins cher de livrer la cargaison par le premier ou le deuxième itinéraire.

Trouvons l'équation de la droite formant la frontière entre ces deux zones, c'est-à-dire le lieu des points pour lesquels les deux trajets sont « également bénéfiques » :

r n = 1m+ k+ r n

De cette condition nous obtenons r - r = = const.

La ligne de démarcation est donc une hyperbole. Pour tous les points externes de cette hyperbole, le premier chemin est plus avantageux, et pour les points internes - le second. Par conséquent, l'hyperbole délimitera la zone d'influence de la station B. La deuxième branche de l'hyperbole délimitera la zone d'influence de la station A (la cargaison est livrée depuis la station B). Trouvons les paramètres de notre hyperbole. Son grand axe est 2a = , et la distance entre les foyers (qui sont les stations A et B) dans ce cas est 2c = l.

Ainsi, la condition de possibilité de ce problème, déterminée par la relation a< с, будет

Cette tâche relie le résumé concept géométrique hyperboles avec le problème des transports et de l’économie.

Le lieu des points requis est l’ensemble des points situés à l’intérieur de la branche droite de l’hyperbole contenant le point B.

6. Au courant " Machines agricoles" important caractéristiques de performance d'un tracteur travaillant sur une pente, montrant sa stabilité sont l'angle d'inclinaison longitudinale et l'angle de roulis latéral.

Par souci de simplicité, nous considérerons un tracteur à roues. La surface sur laquelle évolue le tracteur (au moins une assez petite partie de celle-ci) peut être considérée comme un plan (plan de déplacement). L'axe longitudinal du tracteur est la projection de la ligne droite reliant les milieux des essieux avant et arrière sur le plan de déplacement. L'angle de roulis latéral est l'angle formé avec le plan horizontal d'une droite perpendiculaire à l'axe longitudinal et située dans le plan de mouvement.

Lors de l'étude du thème « Lignes et plans dans l'espace » dans un cours de mathématiques, nous considérons les problèmes suivants :

a) Trouver l'angle d'inclinaison longitudinale d'un tracteur se déplaçant le long d'une pente si l'angle d'inclinaison de la pente et l'angle de déviation de la trajectoire du tracteur par rapport à la direction longitudinale sont connus.

b) L'angle de roulis latéral maximal du tracteur est l'angle d'inclinaison maximal admissible de la pente sur lequel le tracteur peut se tenir sans basculer. Quels paramètres du tracteur il suffit de connaître pour déterminer l'angle de roulis latéral maximum ; comment trouver celui-ci
coin?

7. La présence de génératrices rectilignes est utilisée dans les engins de chantier. Le fondateur de l'application pratique de ce fait est le célèbre ingénieur russe Vladimir Grigorievich Shukhov (1853-1939). V. G. Shukhov a réalisé la conception de mâts, tours et supports constitués de poutres métalliques situées le long de génératrices rectilignes hyperboloïde de révolution à feuille unique. Haute résistance De telles structures, combinées à la légèreté, au faible coût de fabrication et à l'élégance, assurent leur large utilisation dans la construction moderne.

8. LOIS DU MOUVEMENT D'UN CORPS RIGIDE LIBRE

Pour un corps libre, tous les types de mouvement sont également possibles, mais cela ne signifie pas que le mouvement d'un corps libre est désordonné et n'obéit à aucune loi ; au contraire, le mouvement de translation d'un corps rigide, quelle que soit sa forme extérieure, est contraint par la loi du centre de masse et se réduit au mouvement d'un point, et le mouvement de rotation s'effectue par ce qu'on appelle les axes principaux d'inertie ou ellipsoïde d'inertie. Ainsi, un bâton jeté dans l'espace libre, ou un grain sortant d'une trieuse, etc., avance d'un point (centre de masse) et tourne en même temps autour du centre de masse. De manière générale, lors d'un mouvement de translation, tout corps rigide, quelle que soit sa forme, ou une machine complexe peut être remplacé par un point (centre de masse), et lors d'un mouvement de rotation, par un ellipsoïde d'inertie. , dont les rayons vecteurs sont égaux à --, où / est le moment d'inertie de ce corps par rapport aux axes passant par le centre de l'ellipsoïde.

Si le moment d'inertie d'un corps change pour une raison quelconque pendant la rotation, alors la vitesse de rotation changera en conséquence. Par exemple, lors d'un saut aérien, les acrobates se compriment en boule, provoquant une diminution du moment d'inertie du corps et une augmentation de la vitesse de rotation, ce qui est nécessaire à la réussite du saut. De la même manière, après avoir glissé, les personnes étirent leurs bras sur les côtés, ce qui provoque une augmentation du moment d'inertie et une diminution de la vitesse de rotation. De la même manière, le moment d'inertie du râteau de récolte autour de l'axe vertical est variable lors de sa rotation autour de l'axe horizontal.

Autour de son axe, vous pouvez obtenir un vélo elliptique ordinaire. C'est un corps isométrique creux dont les sections sont des ellipses et des paraboles. Un paraboloïde elliptique est donné par :
x^2/a^2+y^2/b^2=2z
Toutes les sections principales d'un paraboloïde sont des paraboles. Lors de la coupe des plans XOZ et YOZ, seules des paraboles sont obtenues. Si vous dessinez une section perpendiculaire par rapport au plan Xoy, vous pouvez obtenir une ellipse. De plus, les sections, qui sont des paraboles, sont précisées par des équations de la forme :
x^2/a^2=2z ; y^2/a^2=2z
Les sections de l'ellipse sont données par d'autres équations :
x^2 /a^2+y^2/b^2=2h
Un paraboloïde elliptique en a=b se transforme en paraboloïde de révolution. La construction d’un paraboloïde présente un certain nombre de caractéristiques dont il faut tenir compte. Commencez l'opération en préparant la base - un dessin du graphique de la fonction.

Pour commencer à construire un paraboloïde, vous devez d’abord construire une parabole. Dessinez une parabole dans le plan Oxz comme indiqué sur la figure. Donnez au futur paraboloïde une certaine hauteur. Pour ce faire, tracez une ligne droite afin qu'elle touche les points supérieurs de la parabole et soit parallèle à l'axe Ox. Dessinez ensuite une parabole dans le plan Yoz et tracez une ligne droite. Vous obtiendrez deux plans paraboloïdes perpendiculaires l’un à l’autre. Après cela, dans le plan Xoy, construisez un parallélogramme qui aidera à dessiner une ellipse. Inscrivez une ellipse dans ce parallélogramme de manière à ce qu'elle touche tous ses côtés. Après ces transformations, effacez le parallélogramme et il ne reste qu'une image tridimensionnelle d'un paraboloïde.

Il existe également un paraboloïde hyperbolique, qui a une forme plus concave qu'elliptique. Ses sections comportent également des paraboles et, dans certains cas, des hyperboles. Les principales sections pour Oxz et Oyz, comme pour paraboloïde elliptique, sont des paraboles. Ils sont donnés par des équations de la forme :
x^2/a^2=2z ; y^2/a^2=-2z
Si vous dessinez une section par rapport à l'axe Oxy, vous pouvez obtenir une hyperbole. Lors de la construction d'un paraboloïde hyperbolique, utilisez l'équation suivante :
x^2/a^2-y^2/b^2=2z - équation d'un paraboloïde hyperbolique

Construisez initialement une parabole fixe dans le plan Oxz. Dessinez une parabole mobile dans le plan Oyz. Après cela, définissez la hauteur du paraboloïde h. Pour ce faire, marquez deux points sur la parabole fixe, qui seront les sommets de deux autres paraboles mobiles. Dessinez ensuite un autre système de coordonnées O"x"y" pour tracer les hyperboles. Le centre de ce système de coordonnées doit coïncider avec la hauteur du paraboloïde. Après toutes les constructions, dessinez les deux paraboles mobiles mentionnées ci-dessus pour qu'elles se touchent. points extrêmes hyperbole. Le résultat est un paraboloïde hyperbolique.

La hauteur d'un paraboloïde peut être déterminée par la formule

Le volume du paraboloïde touchant le fond est égal à la moitié du volume d'un cylindre de rayon de base R et de hauteur H, le même volume occupe l'espace W' sous le paraboloïde (Fig. 4.5a).

Figure 4.5. Le rapport des volumes dans un paraboloïde touchant le fond.

Wп – volume du paraboloïde, W’ – volume sous le paraboloïde, Hп – hauteur du paraboloïde

Figure 4.6. Le rapport des volumes dans un paraboloïde touchant les bords du cylindre Hp est la hauteur du paraboloïde., R est le rayon du récipient, Wl est le volume sous la hauteur du liquide dans le récipient avant le début de la rotation, z 0 est la position du sommet du paraboloïde, H est la hauteur du liquide dans le récipient avant le début de la rotation.

Sur la figure 4.6a, le niveau de liquide dans le cylindre avant le début de la rotation est H. Le volume de liquide Wl avant et après la rotation est maintenu et est égal à la somme du volume Wt du cylindre de hauteur z 0 plus le volume de liquide sous le paraboloïde, qui est égal au volume du paraboloïde Wp de hauteur Hn

Si le paraboloïde touche le bord supérieur du cylindre, la hauteur du liquide dans le cylindre avant le début de la rotation H divise la hauteur du paraboloïde Hn en deux parties égales, le point le plus bas (sommet) du paraboloïde se situe par rapport à la base (Fig. 4.6c)

De plus, la hauteur H divise le paraboloïde en deux parties (Fig. 4.6c) dont les volumes sont égaux à W 2 = W 1. De l'égalité des volumes de l'anneau parabolique W 2 et de la coupelle parabolique W 1, Fig. 4.6c

Lorsque la surface du paraboloïde coupe le fond du récipient (Fig. 4.7) W 1 = W 2 = 0,5 W anneau

Fig. 4.7 Volumes et hauteurs lorsque la surface d'un paraboloïde coupe le fond du cylindre

Hauteurs sur la figure 4.6

volumes de la figure 4.6.

Localisation de la surface libre dans le navire

Figure 4.8. Trois cas de repos relatif pendant la rotation

1. Si le récipient est ouvert, Po = Ratm (Fig. 4.8a). Lors de la rotation, le sommet du paraboloïde tombe en dessous du niveau initial-H, et les bords s'élèvent au-dessus du niveau initial, la position du sommet

2. Si le récipient est complètement rempli, recouvert d'un couvercle, n'a pas de surface libre, est sous surpression Po>Patm, avant la rotation la surface (PP) sur laquelle Po=Patm sera au-dessus du niveau du couvercle à une hauteur h 0i =M/ ρg, H 1 =H+ M/ρg.

3. Si le récipient est complètement rempli, il est sous vide Po<Ратм, до вращения поверхность П.П., на которой Ро=Ратм будет находиться под уровнем крышки на высоте h 0и =-V/ρg, Н 2 =Н-V/ρg ,

4.7. Rotation à vitesse angulaire élevée (Fig. 4.9)

Lorsqu'un récipient contenant un liquide tourne à une vitesse angulaire élevée, la force de gravité peut être négligée par rapport aux forces centrifuges. La loi du changement de pression dans un liquide peut être obtenue à partir de la formule

(4.22),

Les surfaces du niveau forment des cylindres avec un axe commun autour duquel le récipient tourne. Si le récipient n'est pas complètement rempli avant le début de la rotation, la pression P 0 agira le long du rayon r = r 0 , au lieu de l’expression (4.22) nous aurons

dans lequel on prend g(z 0 - z) = 0,

Riz. 4.9 Localisation des surfaces de révolution en l'absence de gravité.

Rayon de la surface intérieure pour H et h connus

Paraboloïde elliptique

Paraboloïde elliptique avec a=b=1

Paraboloïde elliptique- surface décrite par une fonction de la forme

Où un Et b un signe. La surface est décrite par une famille de paraboles parallèles à branches dirigées vers le haut, dont les sommets décrivent une parabole à branches également dirigées vers le haut.

Si un = b alors un paraboloïde elliptique est une surface de révolution formée par la rotation d'une parabole autour d'un axe vertical passant par le sommet d'une parabole donnée.

Paraboloïde hyperbolique

Paraboloïde hyperbolique avec a=b=1

Paraboloïde hyperbolique(appelé « hypar » en construction) est une surface en forme de selle décrite dans un système de coordonnées rectangulaires par une équation de la forme

D’après la deuxième représentation, il ressort clairement qu’un paraboloïde hyperbolique est une surface réglée.

La surface peut être formée par le mouvement d'une parabole dont les branches sont dirigées vers le bas, le long d'une parabole dont les branches sont dirigées vers le haut, à condition que la première parabole soit en contact avec son deuxième sommet.

Paraboloïdes dans le monde

En technologie

Dans l'art

En littérature

L'appareil décrit dans l'Hyperboloïde de l'ingénieur Garin était censé être paraboloïde.

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• 2010.
• Elon Ménahem

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