Transformation d'intégrale double de coordonnées rectangulaires, aux coordonnées polaires
, lié aux coordonnées rectangulaires par les relations
,
, s'effectue selon la formule

Si le domaine d'intégration
limité à deux faisceaux
,
(
), sortant du poteau, et deux courbes
Et
, alors l'intégrale double est calculée à l'aide de la formule

.

Exemple 1.3. Calculez l'aire de la figure délimitée par ces lignes :
,
,
,
.

Solution. Pour calculer l'aire d'une zone
Utilisons la formule :
.

Décrivons la zone (Fig. 1.5). Pour ce faire, on transforme les courbes : , , , . Passons aux coordonnées polaires : , . . Dans le système de coordonnées polaires, la zone décrit par les équations :

.

1.2. Intégrales triples

Propriétés de base intégrales triples similaire aux propriétés des intégrales doubles.

En coordonnées cartésiennes, l'intégrale triple s'écrit généralement comme suit :

.

Si
, alors l'intégrale triple sur l'aire numériquement égal au volume du corps :

.

Calcul intégral triple

Laissez le domaine de l'intégration délimité respectivement en dessous et au-dessus par des surfaces continues à valeur unique
,
, et la projection de la région au plan de coordonnées
il y a une zone plate
(Fig. 1.6).

Alors pour des valeurs fixes applications correspondantes points de la région varient à l’intérieur. On obtient alors : . Si, en outre, la projection déterminé par les inégalités , , Où - continu sans ambiguïté fonctions sur , Que

.

Exemple 1.4. Calculer
, Où - un corps limité par des plans :

	, , , ( , , ). Solution. La zone d'intégration est une pyramide (Fig. 1.7). Zone de projection il y a un triangle , délimité par des lignes droites , , (Fig. 1.8). À le point s'applique satisfaire l'inégalité , c'est pourquoi .
	Fixer les limites de l'intégration pour un triangle , nous obtenons

Triple intégrale en coordonnées cylindriques

Lors du déplacement à partir de coordonnées cartésiennes
aux coordonnées cylindriques
(Fig. 1.9) associé à
rapports
,
,
, et

	, ,, l'intégrale triple se transforme : Exemple 1.5. Calculer le volume d'un corps délimité par des surfaces : , , . Solution. Volume corporel requis est égal .
	Le domaine d'intégration est une partie d'un cylindre délimité en dessous par un plan , et au-dessus de l'avion (Fig. 1.10). Zone de projection il y a un cercle avec centre à l'origine et rayon unité. Passons aux coordonnées cylindriques. , , . le point s'applique À , satisfait l'inégalité ou dans:

coordonnées cylindriques
Région
, délimité par une courbe
, prendra la forme, ou
, tandis que l'angle polaire

.

. En conséquence nous avons

2. Éléments de théorie des champs

Rappelons d'abord les méthodes de calcul des intégrales curvilignes et surfaciques. Calcul d'une intégrale curviligne sur les coordonnées de fonctions définies sur une courbe

, se réduit au calcul d'une intégrale définie de la forme si la courbe
spécifié paramétriquement correspond au point de départ de la courbe
, UN

- son point final.
Calcul de l'intégrale de surface d'une fonction , défini sur une surface à deux côtés

,

, revient à calculer une intégrale double, par exemple de la forme si la surface
, donné par l'équation
, est projeté de manière unique sur l'avion
à la région . Ici - angle entre le vecteur normal unitaire à la surface
:

.

et axe Côté de la surface requis par les conditions problématiques

est déterminé par le choix du signe approprié dans la formule (2.3).
Définition 2.1. Champ vectoriel
appelée fonction vectorielle d'un point

ainsi que sa portée :
Champ vectoriel caractérisé par une quantité scalaire –

divergence: Définition 2.2. Couler
champ vectoriel à travers la surface

,

appelée intégrale de surface : Où correspond au point de départ de la courbe
- vecteur normal unitaire au côté sélectionné de la surface Et .

- produit scalaire de vecteurs Définition 2.2. Couler

Définition 2.3. Circulation Par courbe fermée

,

appelée intégrale de surface :
.

appelée intégrale curviligne Formule d'Ostrogradsky-Gauss établit une connexion entre le flux du champ vectoriel à travers une surface fermée

appelée intégrale de surface : et divergence de champ : - surface délimitée par un contour fermé , UN .

est le vecteur unitaire normal à cette surface. La direction de la normale doit être cohérente avec la direction du parcours du contour Exemple 2.1.

,

appelée intégrale de surface : Calculer l'intégrale de surface
(
- partie extérieure du cône
), coupé par un avion

Solution.(Figure 2.1). Surface
projeté de manière unique dans la région
avion

, et l'intégrale est calculée à l'aide de la formule (2.2). Vecteur normal de surface unitaire . on trouve à l'aide de la formule (2.3) : Ici, dans l'expression de la normale, le signe plus est choisi, puisque l'angle entre l'axe et normal - stupide et donc doit être négatif. Considérant que , en surface

coordonnées cylindriques
il y a un cercle
nous obtenons
,
:

. Par conséquent, dans la dernière intégrale, nous passons aux coordonnées polaires, tandis que Exemple 2.2.
.

Solution. Trouver la divergence et la courbure d'un champ vectoriel

En utilisant la formule (2.4) on obtient

Le rotor d'un champ vectoriel donné est trouvé à l'aide de la formule (2.5) Exemple 2.3.
à travers une partie de l'avion :
, situé dans le premier octant (la normale forme un angle aigu avec l'axe
).

	Solution. Grâce à la formule (2.6) . Décrivons une partie de l'avion : , situé dans le premier octant. L'équation de ce plan en segments a la forme (Fig. 2.3). Le vecteur normal au plan a pour coordonnées :
	. . , , vecteur normal unitaire , où

appelée intégrale de surface :
, ainsi, - projection plane
sur

(Fig. 2.4). Exemple 2.4. Calculer le flux d'un champ vectoriel à travers une surface fermée
, formé par l'avion
(
et une partie du cône

Solution.) (Fig. 2.2).

.

Utilisons la formule d'Ostrogradsky-Gauss (2.8) Trouvons la divergence du champ vectoriel

appelée intégrale de surface :
selon la formule (2.4) :
(est le volume du cône sur lequel l'intégration est effectuée. Utilisons la formule bien connue pour calculer le volume d'un cône - rayon de la base du cône,
- sa hauteur). Dans notre cas, nous obtenons

.

. Finalement on obtient Exemple 2.5.
Calculer la circulation d'un champ de vecteurs le long du contour
Et
(
, formé par l'intersection de surfaces

Solution.). Vérifiez le résultat en utilisant la formule de Stokes.
,
L'intersection de ces surfaces est un cercle :

(Fig. 2.1). La direction de déplacement est généralement choisie de manière à ce que la zone qu'elle délimite reste à gauche. Écrivons les équations paramétriques du contour

où et le paramètre varie de
à

.

. En utilisant la formule (2.7), en tenant compte de (2.1) et (2.10), on obtient Appliquons maintenant la formule de Stokes (2.9). En tant que surface , tendu sur le contour
, vous pouvez prendre une partie de l'avion
. Direction normale à cette surface est cohérent avec la direction du parcours du contour
. La boucle d'un champ vectoriel donné est calculée dans l'exemple 2.2 :

appelée intégrale de surface :
. Par conséquent, la circulation souhaitée
.
- superficie de la région
- rayon du cercle

, où
Disons deux systèmes de coordonnées rectangulaires dans l'espace et

(1)

, et un système de fonctions
Et
qui établissent une correspondance biunivoque entre les points dans certaines zones
dans ces systèmes de coordonnées. Supposons que les fonctions du système (1) aient

,

dérivées partielles continues. Le déterminant constitué de ces dérivées partielles
est appelé le jacobien (ou déterminant de Jacobi) du système de fonctions (1). Nous supposerons que
.

V

Sous les hypothèses faites ci-dessus, la formule générale suivante pour changer les variables dans une triple intégrale est valable :
Comme dans le cas de l'intégrale double, l'unicité mutuelle du système (1) et la condition

peuvent être violés en des points individuels, sur des lignes individuelles et sur des surfaces individuelles.
Système de fonctions (1) pour chaque point
correspond à un seul point
. Ces trois chiffres sont appelées coordonnées curvilignes d'un point
, pour lequel l'une de ces coordonnées conserve une valeur constante, forme ce qu'on appelle. coordonner la surface.

II Triple intégrale en coordonnées cylindriques

Le système de coordonnées cylindriques (CSS) est déterminé par le plan
, dans lequel un système de coordonnées polaires est spécifié et l'axe
, perpendiculaire à ce plan. Coordonnées cylindriques d'un point
, Où
– coordonnées polaires du point – projections t lunettes à l'avion
correspond au point de départ de la courbe – ce sont les coordonnées de la projection du point par axe
ou
.

En avion
nous entrons les coordonnées cartésiennes de la manière habituelle, dirigeons l'axe applicable le long de l'axe
CSK. Or, il n'est pas difficile d'obtenir des formules reliant les coordonnées cylindriques aux coordonnées cartésiennes :

(3)

Ces formules mappent la zone sur tout l'espace
.

Les surfaces de coordonnées dans le cas considéré seront :

1)
– surfaces cylindriques avec génératrices parallèles à l'axe
, dont les guides sont des cercles dans le plan
, centré au point ;

2)

;

3)
– plans parallèles au plan
.

Jacobien du système (3) :

.

La formule générale dans le cas du CSK prend la forme :

Remarque 1 . Le passage aux coordonnées cylindriques est recommandé dans le cas où la zone d'intégration est un cylindre ou un cône circulaire, ou un paraboloïde de révolution (ou des parties de celui-ci), et que l'axe de ce corps coïncide avec l'axe de l'appliqué.
.

Remarque 2. Les coordonnées cylindriques peuvent être généralisées de la même manière que les coordonnées polaires dans un plan.

Exemple 1. Calculer l'intégrale triple d'une fonction

par région
, représentant la partie intérieure du cylindre
, délimité par un cône
et paraboloïde
.

Solution. Nous avons déjà considéré ce domaine au §2, exemple 6, et obtenu une entrée standard dans le DPSC. Cependant, le calcul de l’intégrale dans cette région est difficile. Passons au CSK :

.

Projection
corps
à l'avion
- c'est un cercle
. Par conséquent, la coordonnée varie de 0 à
correspond au point de départ de la courbe – de 0 à R.. Par un point arbitraire
tracer une ligne droite parallèle à l'axe
. La ligne droite entrera dans
sur un cône, mais ressortira sur un paraboloïde. Mais le cône
a l'équation dans le CSC
, et le paraboloïde
– équation
.

Nous avons donc

III Intégrale triple en coordonnées sphériques
Le système de coordonnées sphériques (SCS) est déterminé par le plan
, dans lequel le SCU est spécifié, et l'axe
.

, perpendiculaire au plan Coordonnées sphériques d'un point
, Où l'espace s'appelle un triplet de nombres
,– angle polaire de projection d'un point sur un plan
– angle entre les axes
Et
.

En avion
et vecteur
Et
introduisons les axes de coordonnées cartésiennes
de la manière habituelle, et l'axe applicable est compatible avec l'axe

(4)

. Les formules reliant les coordonnées sphériques aux coordonnées cartésiennes sont les suivantes :
.

Ces formules mappent la zone sur tout l'espace

.

Jacobien du système de fonctions (4) :

1)
– des sphères concentriques dont le centre est à l'origine ;

2)
– demi-plans passant par l’axe
;

3)
– des cônes circulaires avec un sommet à l’origine des coordonnées dont l’axe est l’axe
.

Formule de transition vers SSC en triple intégrale :

Remarque 3. Le passage au SCS est recommandé lorsque le domaine d'intégration est une boule ou une partie de celle-ci. Dans ce cas, l'équation de la sphère
entre. Comme le CSK discuté plus tôt, le CSK est « lié » à l’axe
. Si le centre de la sphère est décalé d'un rayon le long de l'axe des coordonnées, alors nous obtenons l'équation sphérique la plus simple lorsqu'il est déplacé le long de l'axe
:

Remarque 4. Il est possible de généraliser le SSC :

avec jacobien
. Ce système de fonctions traduira l'ellipsoïde

en "parallélépipède"

Exemple 2. Trouver la distance moyenne des points sur une boule de rayon de son centre.

Solution. Rappelons que la valeur moyenne de la fonction
dans la région
est la triple intégrale d'une fonction sur une région divisée par le volume de la région. Dans notre cas

Nous avons donc

La procédure de calcul d'une intégrale triple est similaire à l'opération correspondante pour une intégrale double. Pour le décrire, nous introduisons le concept de région tridimensionnelle régulière :

Définition 9.1. Une région tridimensionnelle V délimitée par une surface fermée S est dite régulière si :

1. n'importe quelle ligne droite parallèle à l'axe Oz et tracé par le point intérieur de la région coupe S en deux points ;
2. la totalité de la région V est projetée sur le plan Oxy dans une région bidimensionnelle régulière D ;
3. toute partie de la région V, coupée de celle-ci par un plan parallèle à l'un des plans de coordonnées, a les propriétés 1) et 2).

Considérons une région régulière V, délimitée en dessous et au dessus par les surfaces z=χ(x,y) et z=ψ(x,y) et projetée sur le plan Oxy dans la région régulière D, à l'intérieur de laquelle x varie de a à b, limité par les courbes y=φ1(x) et y=φ2(x) (Fig. 1). Définissons une fonction continue f(x, y, z) dans le domaine V.

Définition 9.2. Appelons l'intégrale triple de la fonction f(x, y, z) sur la région V une expression de la forme :

L'intégrale triple a les mêmes propriétés que l'intégrale double. Nous les énumérons sans preuve, puisqu'ils se prouvent de la même manière que dans le cas d'une intégrale double.

Calcul de l'intégrale triple.

Théorème 9.1. L'intégrale triple de la fonction f(x,y,z) sur un domaine régulier V est égale à l'intégrale triple sur le même domaine :

. (9.3)

Preuve.

Divisons la région V par des plans parallèles aux plans de coordonnées en n régions régulières. Alors de la propriété 1 il résulte que

où est la triple intégrale de la fonction f(x,y,z) sur la région.

En utilisant la formule (9.2), l’égalité précédente peut être réécrite comme suit :

De la condition de continuité de la fonction f(x,y,z) il résulte que la limite de la somme intégrale du côté droit de cette égalité existe et est égale à la triple intégrale. Alors, en passant à la limite en , on obtient :

Q.E.D.

Commentaire.

Semblable au cas d’une intégrale double, il peut être prouvé que changer l’ordre d’intégration ne change pas la valeur de l’intégrale triple.

Exemple. Calculons l'intégrale où V - pyramide triangulaire avec des sommets aux points (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0) et (0, 0, 1). Sa projection sur le plan Oxy est un triangle de sommets (0, 0), (1, 0) et (0, 1). La région est limitée d’en bas par le plan z = 0, et d’en haut par le plan x + y + z = 1. Passons à l’intégrale triple :

Les facteurs qui ne dépendent pas de la variable d'intégration peuvent être soustraits du signe de l'intégrale correspondante :

Systèmes de coordonnées curvilignes dans un espace tridimensionnel.

1. Système de coordonnées cylindrique.

Les coordonnées cylindriques du point P(ρ,φ,z) sont les coordonnées polaires ρ, φ de la projection de ce point sur le plan Oxy et de l'application de ce point z (Fig. 2).

Les formules pour la transition des coordonnées cylindriques aux coordonnées cartésiennes peuvent être spécifiées comme suit :

x = ρ cosφ, y = ρ sinφ, z = z. (9.4)

1. Système de coordonnées sphériques.

En coordonnées sphériques, la position d'un point dans l'espace est déterminée par la coordonnée linéaire ρ - la distance du point à l'origine Système cartésien coordonnées (ou le pôle du système sphérique), φ est l'angle polaire entre le demi-axe positif Ox et la projection du point sur le plan Oxy, et θ est l'angle entre le demi-axe positif de l'axe Oz et le segment OP (Fig. 3). En même temps

Définissons les formules pour le passage des coordonnées sphériques aux coordonnées cartésiennes :

x = ρ sinθ cosφ, y = ρ sinθ sinφ, z = ρ cosθ. (9.5)

Jacobien et sa signification géométrique.

Considérons le cas général du changement de variables dans double intégrale. Soit une région D dans le plan Oxy, délimitée par une ligne L. Supposons que x et y soient des fonctions à valeur unique et continuellement différentiables de nouvelles variables u et v :

x = φ(u, v), y = ψ(u, v). (9.6)

Considérons système rectangulaire coordonnées Ouv dont le point P΄(u, v) correspond au point P(x, y) de la région D. Tous ces points forment une région D΄ dans le plan Ouv, délimitée par la ligne L΄. On peut dire que les formules (9.6) établissent une correspondance bijective entre les points des régions D et D΄. Dans ce cas, les droites u = const et

v = const dans le plan Ouv correspondra à certaines lignes dans le plan Oxy.

Considérons une aire rectangulaire ΔS΄ dans le plan Ouv, délimitée par les droites u = const, u+Δu = const, v = const et v+Δv = const. Elle correspondra à une zone courbe ΔS dans le plan Oxy (Fig. 4). Les zones des zones considérées seront également désignées par ΔS΄ et ΔS. Dans ce cas, ΔS΄ = Δu Δv. Trouvons l'aire ΔS. Notons les sommets de ce quadrilatère curviligne P1, P2, P3, P4, où

P1(x1, y1), x1 = φ(u, v), y1 = ψ(u, v) ;

P2(x2, y2), x2 = φ(u+Δu, v), y2 = ψ(u+Δu, v) ;

P3(x3, y3), x3 = φ(u+Δu, v+Δv), y3 = ψ(u+Δu, v+Δv) ;

P4(x4, y4), x4 = φ(u, v+Δv), y4 = ψ(u, v+Δv).

Remplaçons les petits incréments Δu et Δv par les différentiels correspondants. Alors

Dans ce cas, le quadrilatère P1 P2 P3 P4 peut être considéré comme un parallélogramme et son aire peut être déterminée à l'aide de la formule de la géométrie analytique :

(9.7)

Définition 9.3. Le déterminant est appelé déterminant fonctionnel ou jacobien des fonctions φ(x, y) et ψ(x, y).

En passant à la limite en inégalité (9.7), on obtient la signification géométrique du Jacobien :

c'est-à-dire que le module du jacobien est la limite du rapport des aires des aires infinitésimales ΔS et ΔS΄.

Commentaire. De la même manière, on peut définir le concept de jacobien et sa signification géométrique pour un espace à n dimensions : si x1 = φ1(u1, u2,…,un), x2 = φ2(u1, u2,…,un) ,…, xn = φ(u1 , u2,…, un), alors

(9.8)

Dans ce cas, le module du Jacobien donne la limite du rapport des « volumes » des petites régions des espaces x1, x2,..., xn et u1, u2,..., un.

Changement de variables dans plusieurs intégrales.

Etudions le cas général du changement de variables en utilisant l'exemple d'une intégrale double.

Soit dans le domaine D fonction continue z = f(x,y), dont chaque valeur correspond à la même valeur de la fonction z = F(u, v) dans le domaine D΄, où

F(u, v) = f(φ(u, v), ψ(u, v)). (9.9)

Considérons la somme intégrale

où la somme intégrale de droite est reprise sur le domaine D΄. En passant à la limite en , on obtient une formule de transformation des coordonnées en intégrale double.

Intégrales triples. Calcul du volume corporel.
Triple intégrale en coordonnées cylindriques

Pendant trois jours, le mort resta dans le bureau du doyen, vêtu du pantalon de Pythagore,
Dans les mains de Fichtenholtz, il tenait un volume qui l'avait fait sortir de ce monde,
Une triple intégrale était attachée aux jambes, et le cadavre était enveloppé dans une matrice,
Et au lieu de prier, une personne impudente a lu le théorème de Bernoulli.

Les intégrales triples sont quelque chose dont vous n'avez pas à avoir peur =) Parce que si vous lisez ce texte, alors, très probablement, vous avez une bonne compréhension de théorie et pratique des intégrales « ordinaires », et aussi intégrales doubles. Et là où il y a un double, à proximité il y a un triple :

Et au fond, qu’y a-t-il à craindre ? L'intégrale est moindre, l'intégrale est plus....

Regardons l'enregistrement :

– icône triple intégrale ;
– intégrande fonction de trois variables;
– produit de différentiels.
– domaine d’intégration.

Intéressons-nous particulièrement à domaines d'intégration. Si dans double intégraleça représente silhouette plate, puis ici – corps spatial, qui, comme on le sait, est limité par l'ensemble surface. Ainsi, en plus de ce qui précède, vous devez naviguer surfaces principales de l'espace et être capable de réaliser des dessins simples en trois dimensions.

Certains sont déprimés, je comprends... Hélas, l’article ne peut pas s’intituler « les triples intégrales pour les nuls », et il y a certaines choses que vous devez savoir/être capables de faire. Mais ce n'est pas grave - tout le matériel est présenté sous une forme extrêmement accessible et peut être maîtrisé dans les plus brefs délais !

Que signifie calculer une intégrale triple et qu'est-ce que c'est pair ?

Pour calculer la moyenne intégrale triple trouver le NUMÉRO:

Dans le cas le plus simple, lorsque l'intégrale triple est numériquement égale au volume du corps. Et en effet, selon signification générale de l'intégration, le produit est égal infinitésimal le volume d’une « brique » élémentaire du corps. Et la triple intégrale est juste unit tout cela particules infinitésimales sur la surface, ce qui donne la valeur intégrale (totale) du volume du corps : .

De plus, la triple intégrale a des caractéristiques importantes applications physiques. Mais nous en reparlerons plus tard - dans la 2ème partie de la leçon, dédiée à calculs d'intégrales triples arbitraires, pour laquelle la fonction dans le cas général est différente d'une constante et est continue dans la région. Dans cet article, nous examinerons en détail le problème de la recherche du volume, qui à mon avis évaluation subjective se produit 6 à 7 fois plus souvent.

Comment résoudre une triple intégrale ?

La réponse découle logiquement du paragraphe précédent. Il faut déterminer ordre de traversée du corps et allez à intégrales itérées. Traitez ensuite trois intégrales simples séquentiellement.

Comme vous pouvez le voir, toute la cuisine rappelle beaucoup intégrales doubles, à la différence que nous avons maintenant ajouté une dimension supplémentaire (en gros, la hauteur). Et, probablement, beaucoup d'entre vous ont déjà deviné comment les triples intégrales sont résolues.

Dissipons tous les doutes restants :

Exemple 1

Veuillez écrire dans une colonne sur papier :

Et répondez aux questions suivantes. Savez-vous quelles surfaces définissent ces équations ? Comprenez-vous le sens informel de ces équations ? Pouvez-vous imaginer comment ces surfaces sont situées dans l’espace ?

Si vous êtes enclin à la réponse générale « plutôt non que oui », alors assurez-vous de suivre la leçon, sinon vous ne progresserez pas davantage !

Solution: on utilise la formule.

Afin de découvrir ordre de traversée du corps et allez à intégrales itérées vous avez besoin (tout ce qui est ingénieux est simple) de comprendre de quel type de corps il s'agit. Et dans de nombreux cas, les dessins contribuent grandement à cette compréhension.

Par condition, le corps est limité par plusieurs surfaces. Par où commencer à construire ? Je suggère la procédure suivante :

Décrivons d'abord parallèle orthogonal projection du corps sur le plan de coordonnées. La première fois que j'ai dit comment s'appelle cette projection, mdr =)

Puisque la projection est effectuée le long de l'axe, il convient tout d'abord de s'occuper de surface, qui sont parallèles à cet axe. Permettez-moi de vous rappeler que les équations de telles surfaces ne contiennent pas la lettre "z". Il y en a trois dans le problème considéré :

– l'équation spécifie le plan de coordonnées qui passe par l'axe ;
– l'équation spécifie le plan de coordonnées qui passe par l'axe ;
– les ensembles d’équations avion ligne droite "plate" parallèle à l'axe.

Très probablement, la projection souhaitée est le triangle suivant :

Peut-être que tout le monde n’a pas bien compris de quoi nous parlions. Imaginez qu'un axe sorte de l'écran du moniteur et se colle directement dans l'arête de votre nez ( ceux. il s'avère que vous regardez un dessin en 3 dimensions d'en haut). Le corps spatial étudié est situé dans un « couloir » trièdre sans fin et sa projection sur un plan représente très probablement un triangle ombré.

Je voudrais attirer particulièrement l'attention sur le fait que, même si nous avons exprimé juste une hypothèse de projection et les clauses « le plus probable » et « le plus probable » n’étaient pas fortuites. Le fait est que toutes les surfaces n'ont pas encore été analysées et il peut arriver que l'une d'entre elles « coupe » une partie du triangle. À titre d'exemple clair, cela suggère sphère avec un centre à l'origine de rayon inférieur à un, par exemple, une sphère – sa projection sur le plan (cercle ) ne « couvrira » pas complètement la zone ombrée, et la projection finale du corps ne sera pas du tout un triangle (le cercle « coupera » ses angles vifs).

Dans un deuxième temps, nous découvrons comment le corps est limité par le haut et par le bas et réalisons un dessin spatial. Revenons à l'énoncé du problème et voyons quelles surfaces restent. L'équation spécifie le plan de coordonnées lui-même et l'équation – cylindre parabolique, situé sur plan et passant par l’axe. Ainsi, la projection du corps est véritablement un triangle.

D'ailleurs, je l'ai trouvé ici redondance conditions - il n'était pas nécessaire d'inclure l'équation du plan, puisque la surface, touchant l'axe des abscisses, ferme déjà le corps. Il est intéressant de noter que dans ce cas, nous ne pourrions pas dessiner immédiatement la projection - le triangle ne « dessinerait » qu'après avoir analysé l'équation.

Représentons soigneusement un fragment de cylindre parabolique :

Après avoir terminé les dessins avec l'ordre de marcher autour du corps aucun problème!

Tout d'abord, nous déterminons l'ordre de parcours de la projection (en même temps, il est BEAUCOUP PLUS PRATIQUE de naviguer à l'aide d'un dessin en deux dimensions). C'est fait EXACTEMENT LA MÊME, comme dans intégrales doubles! Pensez à un pointeur laser et scannez une zone plane. Choisissons la méthode de 1er contournement « classique » :

Ensuite, nous prenons une lanterne magique, regardons le dessin en trois dimensions et strictement de bas en haut Nous éclairons le patient. Les rayons pénètrent dans le corps par un plan et ressortent par la surface. Ainsi, l’ordre de traversée du corps est :

Passons aux intégrales itérées :

1) Vous devriez commencer par l’intégrale « zêta ». Nous utilisons Formule de Newton-Leibniz:

Remplaçons le résultat dans l'intégrale « jeu » :

Ce qui s'est passé? Essentiellement, la solution se réduisait à une intégrale double, et précisément à la formule volume de poutre cylindrique! Ce qui suit est familier :

2)

Faites attention à la technique rationnelle pour résoudre la 3ème intégrale.

Répondre:

Les calculs peuvent toujours être écrits sur « une seule ligne » :


Mais soyez prudent avec cette méthode : le gain de vitesse entraîne une perte de qualité, et plus l'exemple est complexe, plus le risque de se tromper est grand.

Répondons à une question importante :

Est-il nécessaire de réaliser des dessins si les conditions de la tâche ne nécessitent pas leur mise en œuvre ?

Vous pouvez procéder de quatre manières :

1) Dessinez la projection et le corps lui-même. C'est l'option la plus avantageuse - si vous avez la possibilité de réaliser deux dessins décents, ne soyez pas paresseux, faites les deux dessins. Je le recommande en premier.

2) Dessinez uniquement le corps. Convient lorsque le corps présente une projection simple et évidente. Ainsi, par exemple, dans l'exemple démonté, un dessin en trois dimensions suffirait. Cependant, il y a aussi un inconvénient : il n'est pas pratique de déterminer l'ordre de déplacement de la projection à partir d'une image 3D, et je recommanderais cette méthode uniquement aux personnes ayant un bon niveau de formation.

3) Dessinez uniquement la projection. Ce n'est pas mal non plus, mais des commentaires écrits supplémentaires sont alors nécessaires, ce qui limite la zone de différents côtés. Malheureusement, la troisième option est souvent forcée - lorsque la carrosserie est trop grande ou que sa construction se heurte à d'autres difficultés. Et nous considérerons également de tels exemples.

4) Se passer de dessins du tout. Dans ce cas, vous devez imaginer mentalement le corps et commenter sa forme/emplacement par écrit. Convient aux corps très simples ou aux tâches où la réalisation des deux dessins est difficile. Mais il est quand même préférable de faire au moins un dessin schématique, car une solution « nue » peut être rejetée.

L'organisme suivant est destiné au travail indépendant :

Exemple 2

À l'aide d'une intégrale triple, calculez le volume d'un corps délimité par des surfaces

DANS dans ce cas le domaine de l'intégration se définit avant tout par les inégalités, et c'est encore mieux - beaucoup d'inégalités définit le 1er octant, y compris les plans de coordonnées, et l'inégalité – demi-espace, contenant l'origine (vérifier)+ l'avion lui-même. Le plan « vertical » coupe le paraboloïde le long de la parabole, et il convient de construire cette section sur le dessin. Pour ce faire, vous devez trouver un point de référence supplémentaire, le moyen le plus simple est le sommet de la parabole (on considère les valeurs et calculez le « zet » correspondant.

Continuons à nous échauffer :

Exemple 3

À l'aide d'une intégrale triple, calculez le volume du corps délimité par les surfaces indiquées. Exécutez le dessin.

Solution: L'expression « exécuter un dessin » nous donne une certaine liberté, mais implique très probablement l'exécution d'un dessin spatial. Cependant, la projection ne fera pas de mal non plus, d’autant plus que ce n’est pas ici le plus simple.

Nous nous en tenons aux tactiques précédemment éprouvées - nous traiterons d'abord surface, qui sont parallèles à l'axe de l'application. Les équations de telles surfaces ne contiennent pas explicitement la variable « ze » :

– l'équation précise le plan de coordonnées passant par l'axe ( qui sur le plan est déterminé par l'équation « éponyme »);
– les ensembles d’équations avion, en passant par le « éponyme » ligne droite "plate" parallèle à l'axe.

Le corps souhaité est limité par un plan en dessous et cylindre parabolique au-dessus de:

Créons un ordre de parcours du corps, tandis que les limites d'intégration « X » et « Y », je le rappelle, sont plus pratiques à connaître à l'aide d'un dessin bidimensionnel :

Ainsi:

1)

Lors de l'intégration sur « y », « x » est considéré comme une constante, il est donc conseillé de retirer immédiatement la constante du signe intégral.

3)

Répondre:

Oui, j'ai presque oublié, dans la plupart des cas il est peu utile (et même nuisible) de vérifier le résultat obtenu avec un dessin en trois dimensions, car avec une forte probabilité illusion de volume, dont j'ai parlé en classe Volume d'un corps de révolution. Ainsi, en évaluant l'ensemble du problème considéré, il m'a semblé personnellement qu'il comportait bien plus de 4 « cubes ».

L'exemple suivant est pour décision indépendante:

Exemple 4

À l'aide d'une intégrale triple, calculez le volume du corps délimité par les surfaces indiquées. Faites des dessins de ce corps et de sa projection sur un plan.

Un exemple approximatif de tâche à la fin de la leçon.

Il n'est pas rare que l'exécution d'un dessin tridimensionnel soit difficile :

Exemple 5

À l'aide d'une triple intégrale, trouvez le volume d'un corps donné par ses surfaces limites

Solution: la projection ici n'est pas compliquée, mais il faut penser à l'ordre de la parcourir. Si vous choisissez la 1ère méthode, alors le chiffre devra être divisé en 2 parties, ce qui menace sérieusement de calculer la somme deux intégrales triples. À cet égard, la 2ème voie semble beaucoup plus prometteuse. Exprimons et représentons la projection de ce corps dans le dessin :

Je m'excuse pour la qualité de certaines images, je les ai découpées directement à partir de mes propres manuscrits.

On choisit un ordre de parcours de la figure plus avantageux :

Maintenant, c'est au corps de décider. D'en bas, il est limité par le plan, d'en haut - par le plan qui passe par l'axe des ordonnées. Et tout irait bien, mais le dernier plan est trop raide et la construction de la zone n'est pas si simple. Le choix ici n'est pas enviable : soit un travail de bijouterie à petite échelle (puisque le corps est assez fin), soit un dessin d'environ 20 centimètres de haut (et même alors, s'il rentre).

Mais il existe une troisième méthode russe pour résoudre le problème - marquer =) Et au lieu d'un dessin en trois dimensions, contentez-vous d'une description verbale : « Ce corps est limité par des cylindres et un plan de côté, un plan d’en bas et un plan d’en haut.

Les limites « verticales » de l’intégration sont évidemment :

Calculons le volume du corps, sans oublier que nous avons contourné la projection de manière moins courante :

1)

Répondre:

Comme vous l'avez remarqué, les carrosseries proposées dans des problèmes qui ne coûtent pas plus d'une centaine d'euros sont souvent limitées par le plan ci-dessous. Mais ce n'est pas une règle, vous devez donc toujours être sur vos gardes - vous pouvez tomber sur une tâche où se trouve le corps et sous plat Ainsi, par exemple, si dans le problème analysé nous considérons plutôt le plan, alors le corps examiné sera symétriquement projeté dans le demi-espace inférieur et sera limité par le plan d’en bas et par le plan d’en haut !

Il est facile de voir que vous obtenez le même résultat :

(rappelez-vous qu'il faut promener le corps strictement de bas en haut !)

De plus, le plan « préféré » peut ne pas être utilisé du tout ; l'exemple le plus simple : une boule située au-dessus du plan - lors du calcul de son volume, une équation ne sera pas du tout nécessaire.

Nous examinerons tous ces cas, mais pour l'instant, vous devez résoudre vous-même une tâche similaire :

Exemple 6

À l'aide de l'intégrale triple, trouvez le volume d'un corps délimité par des surfaces

Une courte solution et une réponse à la fin de la leçon.

Passons au deuxième paragraphe avec des matériaux tout aussi populaires :

Triple intégrale en coordonnées cylindriques

Les coordonnées cylindriques sont, par essence, coordonnées polaires dans l'espace.
Dans un système de coordonnées cylindriques, la position d'un point dans l'espace est déterminée par les coordonnées polaires du point - la projection du point sur le plan et l'application du point lui-même.

Le passage d'un système cartésien tridimensionnel à un système de coordonnées cylindrique s'effectue selon les formules suivantes :

Par rapport à notre sujet, la transformation ressemble à ceci :

Et, par conséquent, dans le cas simplifié que nous envisageons dans cet article :

L'essentiel est de ne pas oublier le multiplicateur « er » supplémentaire et de le placer correctement limites polaires de l'intégration lors du parcours de la projection :

Exemple 7

Solution: on suit la même procédure : on considère tout d'abord les équations dans lesquelles la variable « ze » est absente. Il n'y en a qu'un ici. Projection surface cylindrique dans l'avion représente le "éponyme" cercle .

Avions ils limitent le corps désiré par le bas et le haut (le « découpent » hors du cylindre) et le projettent dans un cercle :

La prochaine étape est un dessin en trois dimensions. La principale difficulté réside dans la construction d’un plan qui coupe le cylindre selon un angle « oblique », ce qui donne ellipse. Précisons analytiquement cette section : pour ce faire, nous réécrivons l'équation du plan en forme fonctionnelle et calculez les valeurs de la fonction (« hauteur ») aux points évidents qui se trouvent sur la limite de la projection :

Nous marquons les points trouvés sur le dessin et soigneusement (pas comme moi =)) connectez-les avec une ligne :

La projection d'un corps sur un plan est un cercle, et c'est un argument fort en faveur du passage à un système de coordonnées cylindrique :

Trouvons les équations des surfaces en coordonnées cylindriques :

Vous devez maintenant déterminer l’ordre de traversée du corps.

Parlons d’abord de la projection. Comment déterminer son ordre de parcours ? EXACTEMENT LA MÊME QUE AVEC calculer des intégrales doubles en coordonnées polaires. Ici c'est élémentaire :

Les limites « verticales » de l'intégration sont également évidentes : nous entrons dans le corps par le plan et en sortons par le plan :

Passons aux intégrales itérées :

Dans ce cas, on met immédiatement le facteur « er » dans « notre » intégrale.

Comme d'habitude, un balai est plus facile à casser le long des brindilles :

1)

On met le résultat dans l’intégrale suivante :

Et ici, n'oublions pas que « phi » est considéré comme une constante. Mais voici pour le moment :

Répondre:

Une tâche similaire à résoudre vous-même :

Exemple 8

Calculez le volume d'un corps délimité par des surfaces à l'aide d'une intégrale triple. Dessinez des dessins de ce corps et de sa projection sur un plan.

Un échantillon approximatif de la conception finale à la fin de la leçon.

Veuillez noter que dans les conditions problématiques, aucun mot n'est dit sur la transition vers un système de coordonnées cylindriques, et une personne ignorante aura du mal avec des intégrales difficiles en coordonnées cartésiennes. ...Ou peut-être que ce ne sera pas le cas - après tout, il existe une troisième façon russe originale de résoudre les problèmes =)

Tout ne fait que commencer ! ...dans le bon sens : =)

Exemple 9

À l'aide de l'intégrale triple, trouvez le volume d'un corps délimité par des surfaces

Modeste et de bon goût.

Solution: ce corps est limité surface conique Et paraboloïde elliptique. Lecteurs qui ont lu attentivement le contenu de l'article Surfaces de base de l'espace, j'ai déjà imaginé à quoi ressemble le corps, mais dans la pratique il y a souvent des cas plus complexes, je vais donc procéder à un raisonnement analytique détaillé.

Tout d’abord, trouvons les lignes le long desquelles les surfaces se coupent. Composons et résolvons le système suivant :

De la 1ère équation on soustrait le deuxième terme par terme :

Le résultat est deux racines :

Remplaçons la valeur trouvée dans n'importe quelle équation du système :
, d'où il résulte que
Ainsi, la racine correspond à un seul point : l’origine. Naturellement, parce que les sommets des surfaces considérées coïncident.

Remplaçons maintenant la deuxième racine – également dans n’importe quelle équation du système :

Quelle est la signification géométrique du résultat obtenu ? « En hauteur » (dans le plan) le paraboloïde et le cône se coupent selon cercle– rayon unitaire avec centre au point .

Dans ce cas, le « bol » du paraboloïde contient « l’entonnoir » du cône, donc formation La surface conique doit être tracée en pointillé (sauf le segment de la génératrice le plus éloigné de nous, visible sous cet angle) :

La projection d'un corps sur un plan est cercle avec un centre à l'origine du rayon 1, que je n'ai même pas pris la peine de représenter tant l'évidence de ce fait (cependant, nous fournissons un commentaire écrit !). À propos, dans les deux tâches précédentes, le dessin de projection aurait également pu être marqué, sinon pour l'état.

Lors du passage à des coordonnées cylindriques à l'aide de formules standard, l'inégalité est écrite dans sa forme la plus simple et il n'y a aucun problème avec l'ordre de parcours de la projection :

Trouvons les équations des surfaces dans un système de coordonnées cylindriques :

Puisque le problème considère la partie supérieure du cône, on exprime à partir de l’équation :

« On scanne le corps » de bas en haut. Des rayons de lumière y pénètrent paraboloïde elliptique et sortez par la surface conique. Ainsi, l’ordre « vertical » de traversée du corps est :

Le reste est une question de technique :

Répondre:

Il n'est pas rare qu'un corps soit défini non pas par ses surfaces limites, mais par un ensemble d'inégalités :

Exemple 10

Signification géométrique J'ai expliqué les inégalités spatiales de manière suffisamment détaillée dans le même article de référence - Surfaces de base de l'espace et leur construction.

Bien que cette tâche contienne un paramètre, elle permet d’exécuter un dessin précis qui reflète l’apparence de base du corps. Pensez à la façon de construire. Une courte solution et réponse se trouve à la fin de la leçon.

...eh bien, encore quelques tâches ? Je pensais finir le cours, mais j'ai juste l'impression que tu en veux plus =)

Exemple 11

À l'aide d'une intégrale triple, calculez le volume d'un corps donné :
, où est un nombre positif arbitraire.

Solution: inégalité définit une boule de centre à l'origine du rayon , et l'inégalité – l'« intérieur » d'un cylindre circulaire d'axe de symétrie de rayon . Ainsi, le corps souhaité est limité par un cylindre circulaire sur le côté et des segments sphériques symétriques par rapport au plan en haut et en bas.

En prenant cela comme unité de mesure de base, dessinons :

Plus précisément, cela devrait s'appeler un dessin, car je n'ai pas très bien maintenu les proportions le long de l'axe. Cependant, pour être honnête, la condition n’exigeait aucun dessin, et une telle illustration s’est avérée tout à fait suffisante.

Veuillez noter qu'ici il n'est pas nécessaire de connaître la hauteur à laquelle le cylindre découpe les "capuchons" de la balle - si vous prenez une boussole dans vos mains et que vous l'utilisez pour marquer un cercle avec un centre à l'origine du rayon 2 cm, alors les points d'intersection avec le cylindre apparaîtront d'eux-mêmes.

Exemples de solutions d'intégrales triples arbitraires.
Applications physiques de la triple intégrale

Dans la 2ème partie de la leçon, nous élaborerons la technique de résolution d'intégrales triples arbitraires , dont l'intégrande fonction de trois variables dans le cas général elle est différente d'une constante et continue dans la région ; et aussi se familiariser avec les applications physiques de la triple intégrale

Je recommande aux nouveaux visiteurs de commencer par la première partie, où nous avons abordé les concepts de base et le problème de trouver le volume d'un corps à l'aide d'une triple intégrale. Je suggère à vous autres de le répéter un peu. dérivées de fonctions de trois variables, puisque dans les exemples de cet article nous utiliserons l'opération inverse - intégration partielle fonctions

De plus, il y a un autre point important : si vous ne vous sentez pas bien, alors il vaut mieux reporter si possible la lecture de cette page. Et le fait n'est pas seulement que la complexité des calculs va désormais augmenter - la plupart des intégrales triples n'ont pas des moyens fiables vérifications manuelles, il est donc fortement déconseillé de commencer à les résoudre dans un état fatigué. Pour un ton grave, il est conseillé résoudre quelque chose de plus facile ou juste me détendre (je suis patient, j'attendrai =)), pour qu'une autre fois avec la tête neuve je puisse continuer à sévir contre les intégrales triples :

Exemple 13

Calculer l'intégrale triple

En pratique, le corps est également désigné par la lettre , mais ce n'est pas très bonne option, compte tenu de cela, « ve » est « réservé » à la désignation du volume.

Je vais vous dire tout de suite ce qu’il ne faut PAS faire. Pas besoin d'utiliser propriétés de linéarité et représentent l'intégrale sous la forme . Mais si vous le voulez vraiment, vous le pouvez. Au final, il y a un petit plus : même si l'enregistrement sera long, il sera moins encombré. Mais cette approche n’est toujours pas standard.

Dans l'algorithme solutions il y aura peu de nouveauté. Vous devez d’abord comprendre le domaine de l’intégration. La projection du corps sur un plan est un triangle douloureusement familier :

Le corps est limité d'en haut avion, qui passe par l'origine. Au fait, vous devez d'abord assurez-vous de vérifier(mentalement ou en brouillon), si ce plan « coupe » une partie du triangle. Pour ce faire, on trouve sa ligne d'intersection avec le plan de coordonnées, c'est-à-dire Nous résolvons le système le plus simple : - non, celui-là droit (pas sur le dessin)« passe », et la projection du corps sur le plan représente en réalité un triangle.

Le dessin spatial ici n'est pas compliqué non plus :

En fait, il était possible de se limiter à cela, puisque la projection est très simple. ...Eh bien, ou juste un dessin par projection, puisque le corps aussi est simple =) Cependant, ne rien dessiner du tout, je le rappelle, est un mauvais choix.

Eh bien, bien sûr, je ne peux m'empêcher de vous faire plaisir avec la tâche finale :

Exemple 19

Trouver le centre de gravité d'un corps homogène délimité par des surfaces, . Dessinez des dessins de ce corps et de sa projection sur un plan.

Solution: le corps souhaité est limité par les plans de coordonnées et le plan, ce qui convient pour une construction ultérieure présent en segments: . Choisissons « a » comme unité d’échelle et réalisons un dessin en trois dimensions :

Le dessin a déjà un centre de gravité prêt à l’emploi, mais nous ne le connaissons pas encore.

La projection d'un corps sur un plan est évidente, mais permettez-moi néanmoins de vous rappeler comment la trouver analytiquement - après tout, tel cas simples ne sont pas toujours trouvés. Pour trouver la ligne le long de laquelle les plans se coupent, vous devez résoudre le système :

On substitue la valeur dans la 1ère équation : et on obtient l'équation "plat" droit:

Nous calculons les coordonnées du centre de gravité du corps à l'aide des formules
, où est le volume du corps.