Propriétés de base de la double intégrale. Définition de la double intégrale. Double intégrale. Définitions et propriétés de base
Intégrales doubles. Définition de la double intégrale et de ses propriétés. Intégrales itérées. Réduction des intégrales doubles en intégrales itérées. Fixer les limites de l’intégration. Calcul intégrales doubles dans un système de coordonnées cartésiennes.
1. INTÉGRALES DOUBLE
1.1. Définition de la double intégrale
La double intégrale est une généralisation du concept d'intégrale définie au cas d'une fonction à deux variables. Dans ce cas, au lieu du segment d'intégration, il y aura une sorte de chiffre plat.
Laisser D est une zone limitée fermée, et f(x, oui) est une fonction arbitraire définie et limitée dans ce domaine. Nous supposerons que les limites de la région D constitué d'un nombre fini de courbes définies par des équations de la forme oui=f(x) ou x=g( oui), Où f(x) Et g(oui) – fonctions continues.
R.
Riz. 1.1
zone d'azobième D au hasard sur n parties. Carré je la ème section sera désignée par le symbole s je. Dans chaque section, nous sélectionnons au hasard un point P. je , et laissez-le avoir des coordonnées dans un système cartésien fixe ( x je , oui je). Composons somme intégrale pour la fonction f(x, oui) par région D, pour cela, trouver les valeurs de la fonction en tout point P. je, multipliez-les par l'aire des sections correspondantes s je et résumer tous les résultats obtenus :
.
(1.1)
Appelons diamètre diamètre(G) zones G la plus grande distance entre les points limites de cette zone.
Double intégrale
fonctions
f(x,
oui)
par région
D
est la limite vers laquelle tend la séquence d’intégrales
montants
(1.1) avec une augmentation illimitée du nombre de partitions
n
(en même temps
). Ceci s'écrit comme suit
.
(1.2)
Notez que, d'une manière générale, la somme intégrale pour fonction donnée et un domaine d'intégration donné dépend de la méthode de partitionnement du domaine D et sélection de points P. je. Cependant, s'il existe une intégrale double, cela signifie que la limite des sommes intégrales correspondantes ne dépend plus des facteurs indiqués. Pour que la double intégrale existe(ou, comme on dit, à fonction f(x, oui) était intégré sur le terrainD), il suffit que la fonction intégrale soitcontinu dans un domaine d'intégration donné.
P.
Riz. 1.2
.
(1.3)
Commentaire . Si l'intégrande f(x, oui)1, alors l'intégrale double sera égale à l'aire de la région d'intégration :
.
(1.4)
Notez que les intégrales doubles ont les mêmes propriétés que les intégrales définies. Notons quelques-uns d'entre eux.
Propriétés des intégrales doubles.
1 0 . Propriété linéaire. L'intégrale de la somme des fonctions est égale à la somme des intégrales:
et le facteur constant peut être retiré du signe intégral:
.
2 0 . Propriété additive. Si le domaine d'intégrationDdivisé en deux parties, alors l'intégrale double sera égale à la somme des intégrales sur chacune de ces parties:
.
3 0 . Théorème de la valeur moyenne. Si la fonction f( x, oui)continu dans la régionD, alors dans cette région il y a un tel point() , Quoi:
.
La question suivante est : comment les intégrales doubles sont-elles calculées ? Il peut être calculé de manière approximative ; à cet effet, des méthodes efficaces ont été développées pour compiler les sommes intégrales correspondantes, qui sont ensuite calculées numériquement à l'aide d'un ordinateur. Lors du calcul analytique des intégrales doubles, elles sont réduites à deux intégrales définies.
1.2. Intégrales itérées
Les intégrales itérées sont des intégrales de la forme
.
(1.5)
Dans cette expression, l'intégrale interne est d'abord calculée, c'est-à-dire Tout d'abord, l'intégration sur la variable est effectuée oui(dans ce cas la variable x est considérée comme une valeur constante). Grâce à l'intégration sur oui vous obtenez une fonction selon x:
.
Ensuite, la fonction résultante est intégrée sur x:
.
Exemple 1.1. Calculer les intégrales :
UN) 
, b) 
.
Solution . a) Intégrons sur oui, en supposant que la variable x= const. Après cela, nous calculons l'intégrale sur x:
.
b) Puisque dans l'intégrale interne l'intégration s'effectue sur la variable x, Que oui 3 peut être pris dans l’intégrale externe comme facteur constant. Depuis oui 2 dans l'intégrale interne est considéré comme une valeur constante, alors cette intégrale sera tabulaire. Effectuer une intégration séquentielle sur oui Et x, nous obtenons
Il existe une relation entre les intégrales doubles et itérées, mais examinons d'abord les domaines simples et complexes. La zone s'appelle simple dans n’importe quelle direction si une ligne droite tracée dans cette direction coupe la limite de la région en deux points au maximum. Dans le système de coordonnées cartésiennes, les directions le long des axes O sont généralement considérées x et O oui. Si la zone est simple dans les deux sens, alors ils disent brièvement - une zone simple, sans souligner la direction. Si une région n’est pas simple, on dit qu’elle est complexe.
L
un b
Riz. 1.4
Toute région complexe peut être représentée comme une somme de régions simples. En conséquence, toute intégrale double peut être représentée comme une somme d’intégrales doubles sur des régions simples. Par conséquent, dans ce qui suit, nous considérerons principalement uniquement les intégrales sur des domaines simples.
Théorème . Si le domaine d'intégrationD– simple dans le sens de l'axeOy(voir Fig. 1.4a), alors la double intégrale peut s'écrire sous forme répétée comme suit :
;
(1.6)
si le domaine d'intégrationD– simple dans le sens de l'axeBœuf(voir Fig. 1.4b), alors la double intégrale peut s'écrire sous forme répétée comme suit :
.
(1.7)
E
Riz. 1.3
1.3. FIXER DES LIMITES D’INTÉGRATION
1.3.1. Région d'intégration rectangulaire
P.
Riz. 1,5
Exemple 1.2. Calculer la double intégrale
.
Solution . Écrivons la double intégrale de manière itérative :
.
1.3.2. Domaine arbitraire d'intégration
Afin de passer d’une intégrale double à une intégrale répétée, il faut :
construire le domaine d'intégration;
fixer des limites aux intégrales, tout en se rappelant que les limites de l'intégrale externe doivent être des quantités constantes (c'est-à-dire des nombres), quelle que soit la variable à partir de laquelle l'intégrale externe est calculée.
Exemple 1.3. Organiser les limites d'intégration dans les intégrales itérées correspondantes pour la double intégrale
, si a) 
b) 
R.
Riz. 1.6
.
Supposons maintenant que l'intégration dans l'intégrale externe soit effectuée selon oui, et en interne – selon x. oui passera de 0 à 2. Cependant, alors la limite supérieure des changements dans les valeurs de la variable x sera composé de deux sections x= oui/2 et x=1. Cela signifie que la région d'intégration doit être divisée en deux parties de la ligne droite oui=1. Puis dans la première région, y passe de 0 à 1, et x de la ligne droite x= oui/2 en ligne droite x= oui. Dans la deuxième région, y passe de 1 à 2, et x– d'une ligne droite x= oui/2 en ligne droite x=1. En conséquence nous obtenons
.
b
Riz. 1.7
; variable sur le segment oui varie de oui=0 à oui=1–x. Ainsi,
.
Supposons maintenant que l'intégration dans l'intégrale externe soit effectuée selon oui, et en interne – selon x. Dans ce cas oui passera de 0 à 1, et la variable x– d'un arc de cercle 
à une ligne droite x=1–oui. En conséquence nous obtenons
.
Ces exemples montrent combien il est important de choisir le bon ordre d’intégration.
Exemple 1.4. Modifier l'ordre d'intégration
UN) 
; 
.
R.
b)
.
Le résultat est la région d'intégration suivante (voir Fig. 1.8). Sur la base de la figure construite, nous fixons les limites de l'intégration Riz. 1.8 oui Construisons le domaine de l'intégration. Sur le segment pour x variable x=oui b) 
à une parabole x=oui; sur un segment - à partir d'une ligne droite x=
à une ligne droite
.
3/4. Le résultat est la région d'intégration suivante (voir Fig. 1.9). A partir de la figure construite, nous fixons les limites de l'intégration,
L'intégrale double a des propriétés similaires à celles de l'intégrale définie. Notons seulement les principaux : 
1. Si les fonctions et 
intégré dans les zones
, alors leur somme et leur différence y sont intégrables, et
2. Le facteur constant peut être soustrait du signe de la double intégrale : 
3. Si 
intégrable dans les zones 
, et cette zone est divisée en deux zones qui ne se chevauchent pas 
Et
.
, Que 
, et cette zone est divisée en deux zones qui ne se chevauchent pas 
1. Si les fonctions et 
4. Si 
Et
.
, dans lequel 
5. Si dans la région 
fonction 
satisfait les inégalités 
, et cette zone est divisée en deux zones qui ne se chevauchent pas 
,Où
,
quelques nombres réels, alors 
Où 
.
– superficie de la région
Les preuves de ces propriétés sont similaires aux preuves des théorèmes correspondants pour l'intégrale définie.
Calcul de l'intégrale double en coordonnées cartésiennes rectangulaires 
Supposons que nous devions calculer la double intégrale 
, où la zone 
,
.
- rectangle défini par les inégalités 
Supposons que 
est continue dans ce rectangle et y prend des valeurs non négatives, alors cette double intégrale est égale au volume du corps de base 
, délimité au-dessus par la surface 
,
,
,
:
.
En revanche, le volume d'une telle figure peut être calculé à l'aide d'une intégrale définie :
,
quelques nombres réels, alors 
- aire de la section transversale d'un corps donné par un plan passant par un point 
et perpendiculaire à l'axe 
. Et comme la section considérée est un trapèze courbe 
, délimité au dessus par le graphe de la fonction 
, Où 
fixe et 
Et
.
De ces trois égalités il résulte que
.
Ainsi, le calcul de cette double intégrale a été réduit au calcul de deux intégrales définies ; lors du calcul de "l'intégrale interne" (écrite entre parenthèses) 
considéré comme permanent.
Commentaire. On peut prouver que la dernière formule est également vraie pour 
, et aussi dans le cas où la fonction 
change de signe dans le rectangle spécifié.
Le côté droit de la formule est appelé l’intégrale itérée et est noté comme suit :
.
De même, on peut montrer que
.
De ce qui précède, il résulte que
.
La dernière égalité signifie que le résultat de l'intégration ne dépend pas de l'ordre d'intégration.
Pour considérer un cas plus général, nous introduisons la notion de domaine standard. Une région standard (ou régulière) dans la direction d'un axe donné est une région pour laquelle toute ligne droite parallèle à cet axe coupe la limite de la région en deux points au maximum. En d’autres termes, il coupe la région elle-même et sa frontière le long d’un seul segment de ligne droite.
Supposons que la zone limitée 
et est délimité au dessus par le graphique de la fonction 
, ci-dessous - graphique de fonction 
. Soit R( 
,
) - le rectangle minimum qui délimite cette zone 
.
Laisser entrer dans la région 
fonction définie et continue 
. Introduisons une nouvelle fonction :
,
alors, conformément aux propriétés de la double intégrale
.
Et donc
.
Depuis le segment 
appartient entièrement à la région 
alors, donc, 
à 
, et si 
se situe en dehors de ce segment, alors 
.
À fixe 
on peut écrire :
.
Puisque les première et troisième intégrales du côté droit sont égales à zéro, alors
.
Ainsi,
.
D'où on obtient la formule de calcul de l'intégrale double sur une région standard par rapport à l'axe 
en le réduisant à une intégrale itérée :
.
Si la zone 
est standard dans le sens de l'axe 
et est déterminé par les inégalités 
,
, de même on peut prouver que
.
Commentaire. Pour la zone 
, standard dans le sens des axes 
, et cette zone est divisée en deux zones qui ne se chevauchent pas 
, les deux dernières égalités seront satisfaites, donc
Cette formule change l'ordre d'intégration lors du calcul de la double intégrale correspondante.
Commentaire. Si la zone d'intégration n'est pas standard (correcte) dans la direction des deux axes de coordonnées, alors elle est divisée en la somme des zones standard et l'intégrale est présentée comme la somme des intégrales sur ces zones.
Exemple. Calculer la double intégrale 
par région 
, délimité par des lignes : 
,
,
.
Solution.
Cette zone est standard par rapport à l'axe 
, et par rapport à l'axe 
.
Calculons l'intégrale en considérant l'aire comme standard par rapport à l'axe 
.
.
Commentaire. Si l'on calcule l'intégrale, en considérant la norme d'aire par rapport à l'axe 
, on obtient le même résultat :
.
Exemple. Calculer la double intégrale 
par région 
, délimité par des lignes : 
,
,
.
Solution. Représentons le domaine d'intégration donné dans la figure.
Cette zone est standard par rapport à l'axe 
.
.
Exemple. Changez l'ordre d'intégration dans l'intégrale itérée :
Solution. Décrivons la région d'intégration sur la figure.
Des limites de l’intégration on retrouve les lignes délimitant le domaine de l’intégration : 
,
,
,
. Pour changer l’ordre d’intégration, on exprime 
en tant que fonctions de 
et trouvez les points d'intersection:
,
,
.
Puisque sur l'un des intervalles la fonction 
est exprimé par deux expressions analytiques, alors la région d'intégration doit être divisée en deux régions, et l'intégrale répétée doit être présentée comme la somme de deux intégrales.
.
1.1 Définition de l'intégrale double
1.2 Propriétés de l'intégrale double
Les propriétés d'une intégrale double (et leur dérivation) sont similaires aux propriétés correspondantes d'une seule intégrale définie.
1°. Additivité. Si la fonction f(x, y) est intégrable dans une région D et si la région D est divisée par une courbe Г d'aire nulle en deux régions connectées D1 et D2 qui n'ont pas de points internes communs, alors la fonction f(x , y) est intégrable dans chacune des zones D 1 et D 2, et
2°. Propriété linéaire. Si les fonctions f(x, y) et g(x, y) sont intégrables dans le domaine D, hein ? Et? - n'importe lequel nombres réels, alors la fonction [? · f(x, y) + ?· g(x, y)] est également intégrable dans le domaine D, et
3°. Si les fonctions f(x, y) et g(x, y) sont intégrables dans le domaine D, alors le produit de ces fonctions est également intégrable dans D.
4°. Si les fonctions f(x, y) et g(x, y) sont toutes deux intégrables dans le domaine D et partout dans ce domaine f(x, y) ? g(x, y), alors
5°. Si la fonction f(x, y) est intégrable dans le domaine D, alors la fonction |f(x, y)| est intégrable dans le domaine D, et
(Bien sûr, l'intégrabilité de |f(x, y)| dans D n'implique pas l'intégrabilité de f(x, y) dans D.)
6°. Théorème de la valeur moyenne. Si les deux fonctions f(x, y) et g(x, y) sont intégrables dans un domaine D, la fonction g(x, y) est non négative (non positive) partout dans ce domaine, M et m sont les supremum et infimum de la fonction f( x, y) dans le domaine D, alors il existe un nombre qui satisfait l'inégalité m ? ? ? M et tel que la formule est valide
En particulier, si la fonction f(x, y) est continue dans D et que le domaine D est connexe, alors dans ce domaine il existe un point (?, ?) tel que ? = f(?, ?), et la formule prend la forme
7°. Important propriété géométrique. égal à l'aire de la région D
Soit un corps T donné dans l'espace (Fig. 2.1), délimité d'en bas par la région D, d'en haut - par le graphe d'une fonction continue et non négative) z=f (x, y), qui est défini dans la région D, des côtés - surface cylindrique, dont la direction est la limite de la région D, et les génératrices sont parallèles à l'axe Oz. Un corps de ce type est appelé corps cylindrique.
1.3 Interprétation géométrique de la double intégrale
1.4 La notion d'intégrale double pour un rectangle
Soit une fonction arbitraire f(x, y) définie partout sur le rectangle R = ?
(voir fig. 1).< x 1 < x 2 < ... < x n = b, а сегмент c ? y ? d на p частичных сегментов при помощи точек c = y 0 < y 1 < y 2 < ... < y p = d.
Divisons le segment a ? x? b en n segments partiels en utilisant les points a = x 0
Cette partition par droites parallèles aux axes Ox et Oy correspond à la partition du rectangle R en n · p rectangles partiels R kl = ?
(k = 1, 2, ..., n ; l = 1, 2, ..., p). Nous désignons la partition indiquée du rectangle R par le symbole T. Plus loin dans cette section, le terme « rectangle » sera compris comme un rectangle dont les côtés sont parallèles aux axes de coordonnées.
Sur chaque rectangle partiel R kl on choisit un point arbitraire (? k, ? l). En mettant ?x k = x k - x k-1, ?y l = y l - y l-1, on note ?R kl l'aire du rectangle R kl. Évidemment, ?R kl = ?x k ?y l .
est appelée la somme intégrale de la fonction f(x, y) correspondant à une partition T donnée du rectangle R et à un choix donné de points intermédiaires (? k, ? l) sur les rectangles partiels de la partition T. Nous appellerons la diagonale le diamètre du rectangle R kl. Un symbole ? notons le plus grand des diamètres de tous les rectangles partiels par R kl . Le nombre I est appelé limite des sommes intégrales (1) à ? > 0 si pour un nombre positif ? tu peux le préciser< ? независимо от выбора точек (? k , ? l) на частичных прямоугольниках R выполняется равенство
nombre positif< ?.
?, et alors ?
| ? -Je |
Une fonction f(x, y) est dite intégrable de Riemann sur un rectangle R s'il existe une limite finie I des sommes intégrales de cette fonction en ? > 0.
La limite spécifiée I est appelée l'intégrale double de la fonction f(x, y) sur le rectangle R et est désignée par l'un des symboles suivants :
Commentaire. De la même manière que pour une seule intégrale définie, on établit que toute fonction f(x, y) intégrable sur un rectangle R est bornée sur ce rectangle.
Ceci donne lieu à ne considérer dans ce qui suit que des fonctions limitées f(x, y). Tangente et normale à la surface Définition.
En tout point, la surface n’a qu’un seul plan tangent ou n’en a pas du tout.
Si la surface est donnée par l'équation z = f(x, y), où f(x, y) est une fonction dérivable au point M 0 (x 0, y 0), le plan tangent au point N 0 ( x 0,y 0, ( x 0 ,y 0)) existe et a l'équation :
L’équation de la normale à la surface à ce stade est :
Sens géométrique différentiel complet fonction de deux variables f(x, y) au point (x 0, y 0) est l'incrément de l'application (coordonnées z) du plan tangent à la surface lors du déplacement du point (x 0, y 0) à le point (x 0 + Dx, y 0 +Dу).
Comme vous pouvez le voir, signification géométrique La différentielle totale d'une fonction de deux variables est un analogue spatial de la signification géométrique de la différentielle d'une fonction d'une variable.
Exemple. Trouver les équations du plan tangent et normal à la surface
au point M(1, 1, 1).
Équation du plan tangent :
Équation normale :
Calcul de l'intégrale double en coordonnées polaires.
Soit la zone D délimitée par une ligne r = r() et des rayons = Et = , où et r– coordonnées polaires d'un point du plan associées à ses coordonnées cartésiennes x Et oui
Relations (Fig. 5). Dans ce cas
Commentaire. Si la zone D dans Coordonnées cartésiennes ax est donné par une équation contenant un binôme, par exemple, etc., alors il est plus pratique de calculer l'intégrale double sur une telle région en coordonnées polaires.
Double intégrale. Définitions et propriétés de base.
Intégrales doubles.
Considérons une courbe fermée sur le plan dont l'équation est
L'ensemble de tous les points situés à l'intérieur de la courbe et sur la courbe elle-même sera appelé une région fermée D. Si vous sélectionnez des points dans la région sans tenir compte des points situés sur la courbe, la région sera appelée une région ouverte D.
D'un point de vue géométrique, D est l'aire de la figure délimitée par le contour.
Divisons la région D en n régions partielles par une grille de lignes espacées les unes des autres le long de l'axe x d'une distance Dx i, et le long de l'axe y d'une distance Dу i. D'une manière générale, cet ordre de partitionnement est obligatoire ; il est possible de partitionner la zone en zones partielles de forme et de taille arbitraires.
On constate que l'aire S est divisée en rectangles élémentaires dont les aires sont égales à S i = Dx i × Dy i.
Dans chaque région partielle, prenez un point arbitraire P(x i, y i) et composez la somme intégrale
où f est une fonction continue et sans ambiguïté pour tous les points de la région D.
Si nous augmentons infiniment le nombre de régions partielles D i , alors, évidemment, l'aire de chaque région partielle S i tend vers zéro.
Définition: Si, à mesure que le pas de partition du domaine D tend vers zéro, les sommes intégrales ont une limite finie, alors cette limite est appelée double intégraleà partir de la fonction f(x, y) sur le domaine D.
En tenant compte du fait que S i = Dx i × Dy i on obtient :
Dans la notation ci-dessus, il y a deux signes S, car la sommation est effectuée sur deux variables x et y.
Parce que La division de la région d'intégration est arbitraire, et le choix des points Р i est également arbitraire, alors, en considérant toutes les aires Si comme identiques, on obtient la formule :
Conditions d'existence d'une double intégrale.
Formulons conditions suffisantes existence d'une double intégrale.
Théorème. Si la fonction f(x, y) est continue dans un domaine fermé D, alors la double intégrale existe
Théorème. Si la fonction f(x, y) est délimitée dans un domaine fermé D et y est continue partout sauf pour un nombre fini de lignes lisses par morceaux, alors la double intégrale existe.
Propriétés de la double intégrale.
3) Si D = D 1 + D 2, alors
4) Théorème de la valeur moyenne. La double intégrale de la fonction f(x, y) est égale au produit de la valeur de cette fonction en un point donné du domaine d'intégration et de l'aire du domaine d'intégration.
5) Si f(x, y) ³ 0 dans le domaine D, alors .
6) Si f 1 (x, y) £ f 2 (x, y), alors .
#43 Définition Supposons que la courbe C est donnée par une fonction vectorielle où la variable s− longueur de l'arc de la courbe. Alors la dérivée de la fonction vectorielle
Il s'agit d'un vecteur unitaire dirigé selon la tangente à cette courbe (Figure 1).
Dans la formule ci-dessus α, β
Et γ
− angles entre les directions tangente et positive des axes O x, Ô oui et O z, respectivement.
Introduisons une fonction vectorielle définie sur la courbe C, de sorte que pour fonction scalaire
Il existait une intégrale curviligne. Une telle intégrale est appelée intégrale curviligne du deuxième type de fonction vectorielle le long d'une courbe. C et est noté
Ainsi, par définition,
où est le vecteur unitaire de la tangente à la courbe C.
La dernière formule peut également être réécrite sous forme vectorielle :
Où.
Si la courbe C se trouve dans le plan O xy, alors en supposant R= 0, on obtient
Propriétés d'une intégrale curviligne du deuxième type
Une intégrale curviligne de seconde espèce a les propriétés suivantes : Soit C désigne une courbe commençant à un point UN et point final B. Notons par −C courbe dans la direction opposée - de BÀ UN. Alors
Si C− combiner des courbes C 1 et C 2 (Figure 2 ci-dessus), alors si la courbe C est donné paramétriquement sous la forme , alors Si la courbe C se trouve dans le plan O xy et l'équation Tm est donnée (on suppose que R= 0 et t = x), alors la dernière formule s'écrit sous la forme
N°49La surface F est donnée explicitement z = z(x,y), (x,y)О D (compact),
où z(x,y) a des dérivées partielles continues du premier ordre dans D, la fonction f(x,y,z) est définie et continue sur F. Alors il existe une intégrale égale à
Preuve. Pour les zones que nous obtenons
Alors les sommes intégrales seront égales
La première des sommes est intégrale pour , la seconde peut être rendue arbitrairement petite en choisissant une partition suffisamment petite. Cette dernière découle de la continuité uniforme de la fonction f(x,y,z(x,y)) sur D.
N° 40 (suite) Condition suffisante pour exister intégrale curviligne La première sorte sera formulée plus tard, lorsque nous montrerons comment la calculer.
La définition d'une intégrale curviligne du premier type a la même structure que la définition d'une intégrale définie. Par conséquent, une intégrale curviligne de première espèce a les mêmes propriétés qu’une intégrale définie. Nous présentons ces propriétés sans preuve.
PROPRIÉTÉS DE L'INTÉGRALE CURVILINEAIRE DU 1ER TYPE
1. , où est la longueur de la courbe.
2. Le facteur constant peut être soustrait du signe de l'intégrale curviligne de première espèce, c'est-à-dire
3. L'intégrale curviligne du premier type de la somme algébrique de deux fonctions (nombre fini) est égale à la somme algébrique des intégrales curvilignes du premier type de ces fonctions, c'est-à-dire
4. Si la courbe est divisée en deux parties et n'a pas de points internes communs, alors
(propriété d'additivité d'une intégrale curviligne de première espèce).
5. Si la fonction () est partout sur la courbe, alors
6. Si partout sur la courbe (),
7. (conséquence des propriétés 6 et 1) Si et sont respectivement les plus petites et les plus grandes valeurs de la fonction sur la courbe, alors
où est la longueur de la courbe.
8. (théorème de la valeur moyenne pour une intégrale curviligne de première espèce) Si la fonction est continue sur la courbe, alors il existe un point tel que l'égalité
où est la longueur de la courbe.
N° 42 Longueur de courbe.
Si la fonction intégrande f(x, y, z) ≡ 1, alors à partir de la définition d'une intégrale curviligne de 1ère espèce on constate que dans ce cas elle est égale à la longueur de la courbe le long de laquelle s'effectue l'intégration :
Masse courbe.
En supposant que la fonction intégrale γ (x, y, z) détermine la densité de chaque point de la courbe, on trouve la masse de la courbe à l'aide de la formule
3. On va trouver les moments de la courbe l, en raisonnant de la même manière que dans le cas d'une région plane : -
moments statiques courbe plate l par rapport aux axes Ox et Oy ;
moment d'inertie de la courbe spatiale par rapport à l'origine ;
· moments d'inertie de la courbe par rapport aux axes de coordonnées.
4. Les coordonnées du centre de masse de la courbe sont calculées à l'aide des formules
N° 38(2) Changement de variables dans les intégrales triples
Lors du calcul d’une intégrale triple, comme d’une intégrale double, il est souvent pratique de procéder à un changement de variables. Cela permet de simplifier la forme du domaine d'intégration ou de l'intégrande.
Soit la triple intégrale originale en coordonnées cartésiennes x, y, z dans le domaine U :
Il est nécessaire de calculer cette intégrale en nouvelles coordonnées u, v, w. La relation entre les anciennes et les nouvelles coordonnées est décrite par les relations :
On suppose que les conditions suivantes sont remplies :
1. Les fonctions φ, ψ, χ sont continues avec leurs dérivées partielles ;
2. Il existe une correspondance biunivoque entre les points de la région d'intégration U dans l'espace xyz et les points de la région U" dans l'espace uvw ;
3. Jacobien de la transformation I (u,v,w), égal à
est différent de zéro et maintient un signe constant partout dans le domaine d'intégration U.
Alors la formule pour changer les variables dans une triple intégrale s'écrit :
Dans l'expression ci-dessus, cela signifie valeur absolue Jacobien
N°38 Intégrales triples en coordonnées sphériques
Les coordonnées sphériques du point M(x,y,z) sont trois nombres − ρ, φ, θ, où
ρ est la longueur du rayon vecteur du point M ;
φ est l'angle formé par la projection du rayon vecteur sur le plan Oxy et l'axe Ox ;
θ est l'angle de déviation du rayon vecteur par rapport à la direction positive de l'axe Oz (Figure 1).
Veuillez noter que les définitions de ρ, φ en coordonnées sphériques et cylindriques sont différentes les unes des autres.
Les coordonnées sphériques d'un point sont liées à ses coordonnées cartésiennes par les relations
Le jacobien du passage des coordonnées cartésiennes aux coordonnées sphériques a la forme :
En développant le déterminant sur la deuxième colonne, on obtient
En conséquence, la valeur absolue du jacobien est égale à
Par conséquent, la formule pour changer les variables lors de la conversion des coordonnées cartésiennes en coordonnées sphériques a la forme :
Triple intégrale il est plus pratique de calculer en coordonnées sphériques lorsque le domaine d'intégration U est une boule (ou une partie de celle-ci) et/ou lorsque l'intégrande a la forme f (x2 + y2 + z2).
Surface
Sélectionnons un point M0 sur une surface lisse (fermée ou délimitée par un contour lisse) et traçons une normale à la surface, en lui choisissant une certaine direction (l'une des deux possibles). Traçons un contour fermé le long de la surface, commençant et se terminant au point M0. Considérons un point M qui fait le tour de ce contour, et dans chacune de ses positions on trace la normale de la direction dans laquelle passe continuellement la normale du point précédent. Si, après avoir parcouru le contour, la normale revient au point M0 à sa position d'origine pour tout choix de point M0 sur la surface, la surface est dite bilatérale. Si la direction de la normale, après avoir traversé au moins un point, change dans le sens opposé, la surface est dite unilatérale (un exemple de surface unilatérale est une bande de Mobius). De ce qui précède, il s'ensuit que le choix de). la direction de la normale en un point détermine sans ambiguïté la direction de la normale en tous les points de la surface.
Définition
L’ensemble de tous les points de la surface ayant la même direction normale est appelé le côté de la surface.
Orientation des surfaces.
Considérons une surface ouverte lisse à deux faces S, délimitée par un contour L, et choisissons un côté de cette surface.
Définition
Appelons positive la direction de parcours du contour L, dans laquelle le mouvement le long du contour se produit dans le sens inverse des aiguilles d'une montre par rapport à l'observateur situé au point final de la normale à un certain point de la surface S correspondant au côté sélectionné de la surface. Sens inverse nous appelons le circuit de dérivation négatif.
Flux de champ vectoriel.
Considérons un champ vectoriel A(M) défini dans un domaine spatial G, une surface lisse orientée S G et un champ de normales unitaires n(M) sur un côté sélectionné de la surface S.
Définition 13.3. Intégrale surfacique de 1ère espèce, (13.1)
où An est le produit scalaire des vecteurs correspondants, et An est la projection du vecteur A sur la direction normale, appelée flux du champ vectoriel A(M) à travers le côté sélectionné de la surface S.
Remarque 1.
Si vous choisissez l’autre côté de la surface, alors la normale et, par conséquent, le flux changeront de signe.
Remarque 2.
Si le vecteur A spécifie la vitesse d'écoulement du fluide en un point donné, alors l'intégrale (13.1) détermine la quantité de fluide s'écoulant par unité de temps à travers la surface S dans la direction positive (d'où le terme général « écoulement »).
N° 53 Intégrale de surface de la seconde espèce. Définition et saints.
Définition
Considérons une surface à deux faces, lisse ou lisse par morceaux, et fixons l'une de ses deux faces, ce qui équivaut à choisir une certaine orientation sur la surface.
Pour plus de précision, supposons d'abord que la surface est donnée par une équation explicite et que le point varie dans une région du plan délimitée par un contour lisse par morceaux.
Définissons maintenant une fonction aux points de cette surface. Après avoir divisé la surface avec un réseau de courbes lisses par morceaux en parties et choisi un point sur chacune de ces parties, nous calculons la valeur de la fonction en un point donné et la multiplions par l'aire de la projection sur le plan de l'élément, équipé d'un certain signe. Faisons une somme intégrale :
La limite finale de cette somme intégrale lorsque les diamètres de toutes les pièces tendent vers zéro est appelée l'intégrale de surface du deuxième type de
s'étend sur le côté sélectionné de la surface et est désigné par le symbole
(ici) nous rappelle la zone de projection d'un élément surfacique sur un plan
Si au lieu d'un plan on projette des éléments surfaciques sur un plan ou , alors on obtient deux autres intégrales surfaciques du deuxième type :
Dans les applications, on rencontre le plus souvent des connexions d'intégrales de tous ces types :
où sont les fonctions de , définies en des points de la surface.
Relation entre les intégrales de surface du deuxième et du premier type
Où est le vecteur normal unitaire de la surface - ort.
Propriétés
1. Linéarité : ;
2. Additivité : ;
3. Lorsque l'orientation de la surface change, l'intégrale de la surface change de signe.
No. 60 Operatornabla (opérateur de Hamilton)- opérateur différentiel vectoriel, désigné par le symbole (nabla). Pour l'espace euclidien tridimensionnel en coordonnées cartésiennes rectangulaires, l'opérateur nabla est défini comme suit : où sont les vecteurs unitaires le long des axes x, y, z.
Propriétés de l'opérateur observable. Ce vecteur a du sens lorsqu'il est combiné avec la fonction scalaire ou vectorielle à laquelle il est appliqué. Si vous multipliez le vecteur par le scalaire φ, vous obtenez un vecteur qui représente le gradient de la fonction. Si un vecteur est multiplié de manière scalaire par un vecteur, le résultat est un scalaire
c'est-à-dire la divergence du vecteur. Si vous multipliez par vecteur, vous obtenez le rotor d'un vecteur :
Remarque : ainsi que pour désigner le produit scalaire et vectoriel en général, lorsqu'ils sont utilisés avec l'opérateur nabla, ainsi que ceux utilisés ci-dessus, des notations alternatives équivalentes sont souvent utilisées, par exemple, au lieu de souvent ils écrivent , et au lieu de ils écrire ; cela s'applique également aux formules données ci-dessous.
En conséquence, le produit scalaire est un opérateur scalaire appelé opérateur de Laplace. Ce dernier est également désigné . En coordonnées cartésiennes, l'opérateur de Laplace est défini comme suit : L'opérateur nabla étant un opérateur différentiel, lors de la transformation d'expressions il faut prendre en compte à la fois les règles de l'algèbre vectorielle et les règles de différenciation. Par exemple:
Autrement dit, la dérivée d'une expression dépendant de deux champs est la somme des expressions dans chacune desquelles un seul champ est différencié. Pour faciliter l'indication des champs sur lesquels nabla agit, il est généralement admis que dans le produit des champs et des opérateurs, chaque opérateur agit sur l'expression à sa droite, et n'agit pas sur tout ce qui se trouve à gauche. Si l'opérateur doit agir sur un champ à gauche, ce champ est marqué d'une manière ou d'une autre, par exemple en plaçant une flèche au-dessus de la lettre : Cette forme de notation est généralement utilisée dans les transformations intermédiaires. En raison de cet inconvénient, ils essaient de se débarrasser des flèches dans la réponse finale.
№61 Opérations différentielles vectorielles du second ordre Les cinq opérations suivantes sont appelées :
1. où est l'opérateur de Laplace.
- - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - -
2
- - - - - - - - - - - - -
3 .
- - - - - - - - - - - - - - - - -
4. Voici la quantité vectorielle obtenue en appliquant l'opérateur de Laplace à chaque projection du vecteur.
- - - - - - - - - - - - - - -
Le problème menant au concept d'intégrale double Définition d'une intégrale double Propriétés de base d'une intégrale double Aire d'une région plate Réduction d'une intégrale double en une intégrale répétée Changement de variables dans une intégrale double Élément d'aire en coordonnées curvilignes jacobiennes et sa signification géométrique Formule de changement de variables dans une double intégrale Double intégrale en coordonnées polaires
Un problème conduisant à la notion de double intégrale. Définition de la double intégrale. Nous arrivons au concept d'intégrale double en résolvant le problème spécifique du calcul du volume d'un corps cylindrique. Un corps cylindrique est un corps délimité par le plan xOy, une certaine surface et une surface cylindrique dont les génératrices sont parallèles à l'axe (voir Fig. 1). La région D de changement des variables x et y est appelée la base du corps cylindrique. Pour déterminer le volume d'un corps, nous partirons de deux principes : !) si nous divisons le corps en parties, alors son volume est égal à la somme des volumes de toutes les parties (propriété d'additivité) ; 2) le volume d'un cylindre droit délimité par le plan z = const, parallèle au plan xOy, est égal à l'aire de la base multipliée par la hauteur. Dans ce qui suit, nous supposerons que la région D est connexe (constituée d’une seule pièce), carrée (c’est-à-dire ayant une aire) et délimitée (c’est-à-dire située à l’intérieur d’un certain cercle centré à l’origine). Soit une fonction continue du point P(x, y) dans la région partout dans la région Z>, c'est-à-dire que la surface cylindrique considérée se trouve entièrement au-dessus du plan xOy. Notons le volume d'un corps cylindrique par V. Nous divisons la région D - la base du corps cylindrique - en un certain nombre n de régions quadrables non sécantes de forme arbitraire ; nous les appellerons régions partielles. Après avoir numéroté les zones partielles dans un certain ordre, les zones passent en conséquence. Appelons le diamètre d'une région partielle Dk la quantité Problème conduisant au concept d'intégrale double Définition d'une intégrale double Propriétés de base d'une intégrale double Aire d'une région plate Réduction d'une intégrale double en une intégrale répétée Changement de variables dans une double intégrale Élément d'aire en coordonnées curvilignes jacobien et sa signification géométrique Formule de changement de variables dans une double intégrale Double intégrale en coordonnées polaires où le symbole p(P; Q) désigne la distance entre les points P et Q. Notons par d le plus grand des diamètres des régions partielles Dk (k = 1,2,..., n). Traçons à travers la limite de chaque région partielle une surface cylindrique avec des génératrices parallèles à l'axe Oz. En conséquence, le corps cylindrique sera divisé en n corps cylindriques partiels. Remplaçons ce corps partiel par un cylindre droit de même base et de même hauteur égale à l'appliqué d'un point de la surface remplacée (Fig. 2). Le volume d'un tel cylindre est égal à l'endroit où le point est l'aire de la région Dk. Après avoir effectué les constructions décrites pour chaque corps cylindrique partiel, nous obtenons un corps en n étapes dont le volume (o) Intuitivement, il est clair que Vn exprime plus précisément le volume V souhaité, plus la taille des régions partielles est petite Ne sais pas. Nous prenons le volume V d'un corps cylindrique égal à la limite vers laquelle le volume (1) d'un corps à n étapes tend comme n-ω et le plus grand diamètre d des régions partielles Dk tend vers zéro. Bien entendu, la limite ne doit pas dépendre du type de partition de la région D en régions partielles Dk et du choix des points Pk dans les régions partielles. Soit f(x, y) une fonction arbitraire définie dans le domaine D. La somme n (1) est appelée somme intégrale de la fonction f(x)y) sur le domaine D, correspondant à une partition donnée de ce domaine en n domaines partiels et un choix donné de points Ж ®*,!/*) sur des domaines partiels Dk. Définition. Si pour d -* 0 il existe une limite des sommes intégrales n qui ne dépend ni de la méthode de partitionnement du domaine D en domaines partiels ni du choix des points Pk dans les domaines partiels, alors on l'appelle la double intégrale de la fonction f(P) (ou f(x, y )) sur le domaine D et est désignée par le symbole OR Ainsi, (2) La fonction elle-même f(x, y) est dite intégrable dans le domaine D (f( P) est l'intégrande, f(P) dS est l'intégrande, dS est le différentiel (ou élément) d'aire, région D - région d'intégration P(®, y) - variable d'intégration). ,.. Revenant au corps cylindrique, on conclut : le volume d'un corps cylindrique délimité par le plan xOy, la surface, et une surface cylindrique de génératrices parallèles à l'axe Oz, est égal à l'intégrale double de la fonction /( x, y) sur la région D, qui est la base du corps cylindrique / OU Ici dx dy est l'élément de surface en coordonnées cartésiennes. C'est la signification géométrique de la double intégrale d'une fonction non négative. Si alors le volume If dans la région D de la fonction f(P) prend à la fois des valeurs positives et négatives, alors l'intégrale représente la somme algébrique des volumes des parties du corps situées au-dessus du plan xOy (pris avec un signe « + »), et les parties du corps qui sont situées sous le plan xOy (pris avec un signe « - »). Théorème 2. Si une fonction f(x, y) est bornée dans un domaine fermé et borné D et est continue partout dans D sauf pour un ensemble de points d'aire zéro, alors cette fonction est intégrable dans le domaine D. §2. Propriétés de base de l'intégrale double Les intégrales doubles ont un certain nombre de propriétés similaires aux propriétés de l'intégrale définie pour les fonctions d'une variable indépendante. 2.1. Propriété linéaire Si les fonctions) sont intégrables dans le domaine D, et que a et p sont des nombres réels quelconques, alors la fonction af) est également intégrable dans le domaine D, et o) 2.2. Intégration des inégalités Si les fonctions) sont intégrables dans le domaine D et partout dans ce domaine, alors (2) c'est-à-dire que les inégalités peuvent être intégrées. En particulier, en intégrant les inégalités évidentes on obtient L'aire d'une région plate L'aire d'une région plate D est égale à la double intégrale sur cette région d'une fonction identiquement égale à l'unité. En effet, la somme intégrale de la fonction /(P) = 1 dans le domaine D a la forme et, pour toute partition du domaine D en domaines partiels Dt, est égale à son aire S. Mais alors la limite de cette somme, c'est-à-dire que l'intégrale double est égale à l'aire S aire D : ou, ce qui revient au même, (3) 2.4. Estimation de l'intégrale Soit la fonction f(P) continue dans un domaine fermé borné D, soit M et mn les plus grandes et les plus petites valeurs de f(P) dans le domaine D et 5 son aire. Alors (4) 2.5. Additivité : Si la fonction /(P) est intégrable dans le domaine D et que le domaine Z) est divisé en deux domaines D\ et Di sans points internes communs, alors /(P) est intégrable sur chacun des domaines D\ et Di , et (5) 2.6. Théorème de la valeur moyenne Théorème 3 (valeur moyenne). Si la fonction /(P) est continue dans un domaine fermé borné D, alors il existe au moins un point Pc du domaine D tel que la formule et où S est l'aire du domaine D est valable en effet, puisque. /(P) est continue dans une zone fermée et délimitée D, alors elle prend sa valeur la plus élevée M et sa plus petite valeur m Par la propriété 4 sur l'évaluation de l'intégrale nous avons Ainsi, le nombre est compris entre le plus grand et valeurs les plus basses fonction /(P) dans le domaine D. Du fait de la continuité de la fonction /(P) dans le domaine D, elle prend en un certain point Pc G D une valeur égale à ce nombre, d'où S La valeur de f(Pc), déterminée par la formule (7), est appelée la fonction de valeur moyenne f(P) dans le domaine D. Signification géométrique du théorème de la valeur moyenne Si dans le domaine D la fonction f(P) → O, alors la formule (6) signifie que il existe un cylindre droit de base D (dont l'aire est 5) et de hauteur Н = /(Рс), dont le volume est égal au volume d'un corps cylindrique (Fig. 3). § 3. Réduction d'une intégrale double en une intégrale répétée Un des moyens efficaces calculer une intégrale double, c'est la réduire à une intégrale répétée. 3.1. Cas d'un rectangle Soit l'aire D un rectangle fermé P dont les côtés sont parallèles aux axes de coordonnées. Soit la fonction f(x, y) continue dans le rectangle P. La double intégrale peut être interprétée comme le volume (algébrique) d'un corps cylindrique de base P, délimité par une surface. Traçons un plan perpendiculaire à l'axe Oy (Fig. 4). Ce plan coupera le corps cylindrique le long d'un trapèze curviligne délimité par le haut par une ligne plate z, décrite par les équations. L'aire du trapèze ABC\A\ est exprimée par l'intégrale où l'intégration s'effectue sur x, et yo - le deuxième argument de l'intégrande - est considéré comme constant (c ^ Uo ^ d ). La valeur de l'intégrale (1) dépend du choix de la valeur уо. Posons (2) L'expression (2) donne l'aire de la section transversale d'un corps cylindrique a en fonction de y. Le volume d'un corps cylindrique peut donc être calculé à l'aide de la formule. Par contre, ce volume est exprimé par la double intégrale de la fonction f(x, y) sur le rectangle P. Cela signifie qu'en remplaçant S(y) par son expression (2), on obtient Problème menant au concept d'intégrale double Définition d'une intégrale double Propriétés de base d'une intégrale double Aire d'une région plate Réduction d'une intégrale double en une intégrale répétée Remplacement de variables dans une intégrale double Élément de surface en coordonnées curvilignes Jacobien et sa signification géométrique Formule de remplacement de variables dans une intégrale double Double intégrale en coordonnées polaires La dernière relation s'écrit généralement comme suit Le volume d'un corps cylindrique peut également être trouvé à partir des aires de section transversale du avions x = x0. Cela conduit à la formule (4) Chacune des expressions de droite des formules (3) et (4) contient deux opérations successives d'intégration ordinaire de la fonction /(x, y). On les appelle intégrales répétées de la fonction /(x, y) sur le domaine P. Si f(x, y) est continue dans un rectangle fermé P, alors le passage aux intégrales répétées est toujours possible et (5) c'est-à-dire le les valeurs des intégrales répétées d'une fonction continue /(x, y) ne dépendent pas de l'ordre d'intégration. Exemple 1. Trouver l'intégrale double d'une fonction sur un domaine Nous avons (voir Fig. 5) : 3.2. Le cas d'un domaine arbitraire Supposons maintenant que le domaine d'intégration est un domaine fermé arbitrairement limité et cadré D sur le plan xOy, satisfaisant la condition suivante : toute droite parallèle à l'axe Oy ne coupe pas la frontière du domaine D. plus de deux points ou le long d'un segment entier (Fig. . 6a). Entourons la zone D à l'intérieur du rectangle comme le montre la Fig. 66. Le segment [a, 6] est une projection orthogonale de la région D sur l'axe Oxy, et le segment [c, dj est une projection orthogonale de la région D sur l'axe Oy. Les points A et C divisent la limite de la zone D en deux courbes ABC et AEC. Chacune de ces courbes coupe une ligne droite arbitraire parallèle à l'axe Oy en un point au maximum. Par conséquent, leurs équations peuvent être écrites sous une forme résolue par rapport à y : Soit f(x, y) une fonction continue dans le domaine D. Disséquons le corps cylindrique considéré par un plan. Dans la coupe on obtient un trapèze curviligne PQMN (Fig. 7), dont l'aire est exprimée par l'intégrale ordinaire de la fonction /(x, y), considérée en fonction d'une variable y. Dans ce cas, la variable y passe de l'ordonnée du point P à l'ordonnée du point Q\ le point P est "l'entrée" de la ligne x = const (dans le plan) dans la région - le point de sa "sortie" de cette région. Puisque l'équation de la courbe ABC est, et que la courbe est, ces ordonnées pour x pris sont respectivement égales. Par conséquent, l'intégrale nous donne une expression de l'aire d'une section plane d'un corps cylindrique en fonction de la position du plan de coupe x = const. Le volume du corps entier sera égal à l'intégrale de cette expression sur x dans l'intervalle de changement. Ainsi, en particulier, pour l'aire S de la région D on obtient : Supposons maintenant que chaque droite coupe la limite de la région D en au plus deux points P et Q dont les abscisses sont respectivement égales ( ou sur tout le segment) (Fig. 8). En effectuant un raisonnement similaire, nous arrivons à une formule qui réduit également le calcul de la double intégrale à un calcul répété. Exemple 2. Calculer l'intégrale double d'une fonction sur l'aire D. délimitée par des lignes ^ Première méthode. Représentons le domaine d'intégration D. La droite y = x et la parabole y = x2 se coupent en points). Cela signifie que x varie dans 8 limites à partir de 0. Toute ligne droite x = const) coupe la limite de la région en deux points au maximum. Par conséquent, la formule (8) est applicable : Deuxième méthode (Fig. 10). En utilisant la formule (10). on obtient le même résultat : Exemple 3. Calculer le volume d'un corps délimité par une surface coupée par le plan xOy le long de la ligne d'une ellipse à demi-axes en raison de la symétrie de ce corps par rapport aux plans de coordonnées xOz et y Ox on obtient : Remarque. Si la région D est telle que certaines lignes droites (ostrathécales ou horizontales) coupent sa limite en plus de deux points, alors pour calculer la double intégrale sur la région D, il faut la diviser de manière appropriée en parties, répéter chacune des intégrales en parties , et additionnez les résultats obtenus . Exemple 4. Calculez l'intégrale double sur l'aire D comprise entre deux carrés de centres et à l'origine et de côtés parallèles aux axes de coordonnées, si le côté du carré intérieur est 2 et celui extérieur est 4. Il est continu comme dans un grand carré Q dont le côté est 4 , et dans un petit carré R. dont le côté est égal à 2 (Fig. 12). D'après le théorème 1, il existe des intégrales de la fonction e*** sur les carrés indiqués, donc la valeur de l'intégrale recherchée §4. Changement de variables dans une intégrale double 4.1. La notion de coordonnées curvilignes d'un point Soit un couple de fonctions dans la région D* du plan uOv, que nous considérerons continues dans cette région et ayant des dérivées partielles continues. Grâce à l'équation (1), chaque point M*(α, v) du domaine D* correspond à un point spécifique M(x, y) dans le plan xOy, et donc les points du domaine D* correspondent à un certain ensemble D de points (x, y) dans le plan xOy (Fig. 13). Dans ce cas, ils disent que les fonctions (1) mappent le domaine D4 sur l'ensemble D. Supposons que différents points (u, v) correspondent à différents points (x, y). Ceci équivaut à la résolvabilité unique des équations (1) par rapport à u, v : Dans ce cas, la cartographie est appelée une cartographie biunivoque du domaine D* sur le domaine D. Avec une telle transformation, tout la courbe continue L* située dans le domaine D* se transformera en une courbe continue L située dans la région D. Si les fonctions d(x) y) et h(x, y) sont également continues, alors toute ligne continue LCD à l'aide de la transformation (2) passera par la ligne continue L* C D*.<)> Vq) dans la région £)* elle-même, mais la position du point correspondant M(xo, vo) dans la région D, xo = 4>(io, v0), 3/0 = o,vo). Ceci permet de considérer les nombres u, v comme de nouvelles coordonnées du point D de la région M sur le plan xOy. On les appelle coordonnées curvilignes du point M. L'ensemble des points de la zone D pour lesquels l'une des coordonnées reste constante est appelé ligne de coordonnées. En définissant u = vq dans la formule (1), nous obtenons des équations paramétriques de la ligne de coordonnées. Ici, le rôle du paramètre est joué par la variable u. En donnant à la coordonnée v diverses valeurs constantes (possibles pour elle), nous obtenons une famille de lignes de coordonnées (v = const) sur le plan xOy. De même, on obtient une autre famille de droites de coordonnées (u = const). S'il existe une correspondance biunivoque entre les régions D* et D, différentes lignes de coordonnées d'une même famille ne se coupent pas et une ligne de chaque famille passe par n'importe quel point de la région D. La grille de lignes de coordonnées curvilignes sur le plan xOp est une image d'une grille rectangulaire sur le plan uOv (voir Fig. 13). 4.2. Élément de zone en coordonnées curvilignes. Le jacobien et sa signification géométrique Sélectionnons dans la région D* du plan Uo*V un petit rectangle P*P?P$Pl de côtés parallèles aux axes de coordonnées 0*u et O"v et de longueurs de côté Ai et Av (pour plus de précision, nous supposons que A ) respectivement (Fig. 14 a). Son aire Rectangle se transforme en un quadrilatère curviligne * dans l'aire D (Fig. 146) Si les sommets P ont des coordonnées, alors, selon les formules (1). ), les sommets correspondants Pi ont des coordonnées). En utilisant la formule de Taylor pour une fonction de deux variables et en se limitant aux termes du premier ordre/pc relatifs à A et Av, on obtient les valeurs approximatives suivantes des coordonnées pour le sommets du quadrilatère où les fonctions sont toutes leurs dérivées calculées au point. Les expressions trouvées pour les coordonnées des points montrent que, au plus petit ordre près, un quadrilatère P\PiPiPa est un parallélogramme. fait que Alors l'aire DS d'un quadrilatère peut être approximativement exprimée en termes de longueur du produit vectoriel, Problème conduisant au concept d'intégrale double Définition d'une intégrale double Propriétés de base d'une intégrale double Aire d'une région plate Réduction d'une intégrale double en une intégrale répétée Remplacement des variables en intégrale double Élément de surface en coordonnées curvilignes Jacobien et sa signification géométrique Formule pour changer les variables en intégrale double Intégrale double en coordonnées polaires Déterminant À partir des formules (7) et (8) de la vidéo , la valeur absolue du Jacobien joue le rôle d'un coefficient d'étirement local de la région D" (en ce point (tx, v)) lors de sa cartographie sur le domaine D à l'aide des formules de transformation (1). 4.3. Formule pour changer de variables dans une double intégrale Soit les fonctions continues effectuent une cartographie biunivoque du domaine D* sur D et ont des dérivées partielles continues du premier ordre. Soit une fonction continue dans la région D sur le plan xOy. Chaque valeur de la fonction) dans la région D correspond à une valeur égale de la fonction r = dans la région D", où. Divisons la région D* en régions partielles. et construisons une partition correspondante de la région D. Sélectionnez des points dans les régions partielles correspondantes (u, v) et (x, y) de sorte que les valeurs des fonctions qu'elles contiennent coïncident, et nous composons des sommes intégrales pour les fonctions z = /(x, y) et v) sur les domaines D et D* On obtient la jacobienne des fonctions (9) à la limite lorsque le plus grand diamètre d* des régions partielles D\ tend vers zéro (en raison de). la continuité de l'application (I), le plus grand des diamètres d des régions partielles dans D tendra également vers zéro), on aura où Condition J Ф 0 est la condition d'application biunivoque locale réalisée par les fonctions Théorème 4. Afin de transformer l'intégrale double spécifiée en coordonnées cartésiennes en une intégrale double en coordonnées curvilignes, il faut remplacer les variables x et y dans la fonction intégrande /(x, y) respectivement par l'élément d'aire dx dy - son expression en coordonnées curvilignes : Exemple. Trouver l'aire d'une figure délimitée par les hyperboles m Trouver l'aire de la figure indiquée revient à calculer la double intégrale sur la région O. Introduisons-en de nouvelles, coordonnées curvilignes et et à propos des formules De la condition d'aadachi yashio, ça. Cela signifie que dans le plan uOv nous avons obtenu un rectangle (Fig. 156) - une figure plus simple que la figure donnée D. Exprimons x et y à partir des relations (11) passant par u et t> : Fig. 15 Puis Intégrale double en coordonnées polaires Calcul de l'intégrale double souvent simplifié en remplaçant coordonnées rectangulaires Coordonnées polaires x et y selon les formules L'élément d'aire en coordonnées polaires a la forme et la formule pour le passage de l'intégrale en coordonnées cartésiennes à l'intégrale en coordonnées polaires peut s'écrire comme suit : Dans ce cas (13) L'aire Un élément en coordonnées polaires peut également être obtenu à partir de considérations géométriques (voir Fig. 16). Aire de la zone ombrée sur la figure A = pl. secteurs. secteurs En écartant la quantité infinitésimale d'ordre supérieur, nous l'obtenons et la prenons comme élément d'aire en coordonnées polaires. Ainsi, afin de transformer une intégrale double en coordonnées cartésiennes en une intégrale double en coordonnées polaires, vous devez remplacer a: et y dans l'intégrande, respectivement, par p costp et psiny, et remplacer l'élément zone en coordonnées cartésiennes dx dy avec l'élément de zone en coordonnées polaires p dp dip. Commençons maintenant par calculer l'intégrale double en coordonnées polaires. Comme dans le cas des coordonnées cartésiennes rectangulaires, le calcul de l'intégrale en coordonnées polaires s'effectue en la réduisant à une intégrale itérée. Considérons d'abord le cas où le pôle O se trouve à l'extérieur d'une région D donnée. Soit la région D avoir la propriété que tout rayon émanant du pôle (la ligne de coordonnées y coupe sa frontière en deux points au maximum ou le long d'un segment entier (Fig. 17). Notons que les valeurs extrêmes i de l'angle polaire sont les limites de l'intégration externe Le rayon μ> = passe par le point A du contour de la région D, et le rayon par le point B. Les points Aw B divisent le contour de la région D en deux parties : ACB et AFB et) sont des fonctions continues à valeur unique satisfaisant la condition Les fonctions sont des limites de l'intégration interne. En passant aux intégrales répétées, on obtient la formule suivante En particulier, pour l'aire S de la région D avec F(p, r 1 on obtient Soit maintenant le pôle O est situé à l'intérieur de la région D. Supposons que la région D. est stellaire par rapport au pôle, c'est-à-dire que tout rayon tp = const coupe la limite de la région en un seul point ou le long d'un segment entier (Fig. 18). Soit l'équation de la limite de la région en coordonnées polaires. Puis Fig. 18. Exemple. Calculez l'intégrale où la région est un quart du cercle unité situé dans le premier quadrant, le domaine d'intégration sera un rectangle. L'intégrale transformée / se calcule facilement : d Remarque Si le jacobien est. non nul dans le domaine D, alors le mappage dans un certain voisinage de chaque point de ce domaine est biunivoque. Cependant, il peut arriver que le mappage de l'ensemble du domaine ne soit pas biunivoque. Considérons l'application définie par les fonctions. Le jacobien de ces fonctions est égal et donc partout différent de zéro. Quoi qu'il en soit, nous obtenons, donc cette cartographie n'est pas individuelle. D’un autre côté, si le jacobien d’une application disparaît à un moment donné, alors, néanmoins, l’application au voisinage de ce point peut s’avérer être biunivoque. Par exemple, pour un mappage défini par des fonctions, le jacobien est égal à zéro et à, mais le mappage est biunivoque. La cartographie inverse est déterminée par les fonctions