Détermination des moments d'inertie lors de la translation parallèle des axes. Modifications des moments d'inertie lors de la translation parallèle des axes. Concepts de base sur la torsion. Torsion d'une poutre ronde
Soit z Avec, oui– les axes centraux des sections, – les moments d'inertie de la section par rapport à ces axes. Déterminons les moments d'inertie de la section par rapport aux nouveaux axes z 1, à 1, parallèles aux axes centraux et décalés par rapport à eux de distances un Et d. Laisser dA– une zone élémentaire au voisinage d’un point M avec coordonnées oui Et z dans le système de coordonnées central. De la fig. 4.3 il est clair que les coordonnées du point C dans nouveau système les coordonnées seront égales, .
Déterminons le moment d'inertie de la section par rapport à l'axe y 1 :
|
| zc |
| oui c |
| z 1 |
| et 1 |
| d |
| un |
| C |
Ainsi,
De même
Modification des moments d'inertie de la section lors de la rotation des axes
Trouvons la relation entre les moments d'inertie autour des axes oui, z et moments d'inertie autour des axes et 1, z 1, tourné selon un angle un. Laisser Jy> Jz et angle positif un mesuré à partir de l'axe oui dans le sens antihoraire. Soit les coordonnées du point M avant le tour - oui, z, après avoir tourné – et 1, z 1(Fig. 4.4).
De la figure il résulte :
Déterminons maintenant les moments d'inertie autour des axes et 1 Et z 1:
|
| M |
| z |
| z 1 |
| et 1 |
| oui |
| un |
| oui |
| et 1 |
| z 1 |
| z |
De même:
En additionnant les équations (4.13) et (4.14) terme par terme, on obtient :
ceux. la somme des moments d'inertie par rapport à tous les axes mutuellement perpendiculaires reste constante et ne change pas lorsque le système de coordonnées tourne.
Principaux axes d'inertie et principaux moments d'inertie
Avec un changement de l'angle de rotation des axes un Chacune des quantités change, mais leur somme reste inchangée. Il y a donc une telle signification
une = une 0, auquel les moments d'inertie atteignent des valeurs extrêmes, c'est-à-dire l'un d'eux atteint sa valeur maximale et l'autre atteint sa valeur minimale. Pour trouver la valeur un 0 prend la dérivée première de (ou) et l'égale à zéro :
Montrons que par rapport aux axes résultants le moment d'inertie centrifuge est égal à zéro. Pour ce faire, nous assimilons le côté droit de l'équation (4.15) à zéro : , d'où, c'est-à-dire j'ai la même formule pour un 0 .
Les axes autour desquels le moment d'inertie centrifuge est nul et les moments d'inertie axiaux prennent des valeurs extrêmes sont appelés axes principaux. Si ces axes sont également centraux, alors ils sont appelés axes centraux principaux. Les moments d'inertie axiaux autour des axes principaux sont appelés moments d'inertie principaux.
Notons les axes principaux par oui 0 Et z 0. Alors
Si une section possède un axe de symétrie, alors cet axe est toujours l'un des principaux axes centraux d'inertie de la section.
Que Ix, Iy, Ixy soient également connus. Traçons un nouvel axe x 1, y 1 parallèle aux axes xy.
Et déterminons le moment d'inertie de la même section par rapport aux nouveaux axes.
X 1 = x-a ; y 1 =y-b
Je x 1 = ∫ y 1 dA = ∫ (y-b) 2 dA = ∫ (y 2 - 2by + b 3)dA = ∫ y 2 dA – 2b ∫ ydA + b 2 ∫dA=
Ix – 2b Sx + b 2 A.
Si l'axe x passe par le centre de gravité de la section, alors le moment statique Sx =0.
Je x 1 = Ix + b 2 A
Semblable au nouvel axe y 1, nous aurons la formule I y 1 = Iy + a 2 A
Moment d'inertie centrifuge autour des nouveaux axes
Ix 1 y 1 = Ixy – b Sx –a Sy + abA.
Si les axes xy passent par le centre de gravité de la section, alors Ix 1 y 1 = Ixy + abA
Si la section est symétrique, au moins un des axes centraux coïncide avec l'axe de symétrie, alors Ixy =0, ce qui signifie Ix 1 y 1 = abA
Modification des moments d'inertie lors de la rotation des axes.
Connaître les moments d'inertie axiaux autour des axes xy.
On obtient un nouveau système de coordonnées xy en faisant tourner l'ancien système d'un angle (a > 0), si la rotation se fait dans le sens inverse des aiguilles d'une montre.
Établissons la relation entre les anciennes et les nouvelles coordonnées du site
y 1 =ab = ac – bc = ab- de
du triangle acd :
ac/ad =cos α ac= ad*cos α
du triangle oed :
de/od = péché α dc = od*sin α
Remplaçons ces valeurs dans l'expression pour y
y 1 = ad cos α - od sin α = y cos α - x sin α.
De même
x 1 = x cos α + y sin α.
Calculons le moment d'inertie axial par rapport au nouvel axe x 1
Ix 1 = ∫y 1 2 dA = ∫ (y cos α - x sin α) 2 dA= ∫ (y 2 cos 2 α - 2xy sin α cos α + x 2 sin 2 α)dA= =cos 2 α ∫ y 2 dA – sin2 α ∫xy dA + sin 2 α ∫x 2 dA = Ix cos 2 α - Ixy sin2 α + Iy sin 2 α .
De même, Iy 1 = Ix sin 2 α - Ixy sin2 α + Iy cos 2 α.
Ajoutons les côtés gauche et droit des expressions résultantes :
Ix 1 + Iy 1 = Ix (sin 2 α + cos 2 α) + Iy (sin 2 α + cos 2 α) + Ixy (sin2 α - cos2 α).
Ix 1 + Iy 1 = Ix + Iy
La somme des moments d'inertie axiaux lors de la rotation ne change pas.
Déterminons le moment d'inertie centrifuge par rapport aux nouveaux axes. Imaginons les valeurs x 1 ,y 1 .
Ix 1 y 1 = ∫x 1 y 1 dA = (Ix – Iy)/2*sin 2 α + Ixy cos 2 α .
Principaux moments et principaux axes d'inertie.
Principaux moments d'inertie on les appelle des valeurs extrêmes.
Les axes autour desquels les valeurs extrêmes ont été obtenues sont appelés axes principaux d'inertie. Ils sont toujours perpendiculaires entre eux.
Le moment d'inertie centrifuge par rapport aux axes principaux est toujours égal à 0. Comme on sait qu'il existe un axe de symétrie dans la section, le moment centrifuge est égal à 0, ce qui signifie que l'axe de symétrie est l'axe principal. Si l'on prend la dérivée première de l'expression I x 1, puis l'assimilons à « 0 », on obtient la valeur de l'angle = correspondant à la position des axes principaux d'inertie.
tan2α 0 = - 
Si α 0 >0, alors pour une certaine position des axes principaux, l'ancien axe doit être tourné dans le sens inverse des aiguilles d'une montre. L'un des axes principaux est le maximum et l'autre est le minimum. Dans ce cas, l'axe max correspond toujours à un angle plus petit avec cet axe aléatoire par rapport auquel il a un moment d'inertie axial plus grand. Les valeurs extrêmes du moment d'inertie axial sont déterminées par la formule :
Chapitre 2. Concepts de base de résistance des matériaux. Objectifs et méthodes.
Lors de la conception de diverses structures, il est nécessaire de résoudre divers problèmes de résistance, de rigidité et de stabilité.
Force– la capacité d'un corps donné à résister à diverses charges sans destruction.
Rigidité– la capacité d'une structure à absorber des charges sans grandes déformations (déplacements). Les valeurs de déformation préalablement admissibles sont réglementées codes du bâtiment et règles (SNIP).
Durabilité
Considérons la compression d'une tige flexible
Si la charge augmente progressivement, la tige se raccourcira d'abord. Lorsque la force F atteint une certaine valeur critique, la tige se déforme. - raccourcissement absolu.
Dans ce cas, la tige ne s'effondre pas, mais change brusquement de forme. Ce phénomène est appelé perte de stabilité et conduit à la destruction.
Sopromat– ce sont les fondements des sciences de la résistance, de la rigidité et de la stabilité des structures d’ingénierie. Les matériaux de résistance utilisent des méthodes de mécanique théorique, de physique et de mathématiques. Contrairement à la mécanique théorique, la résistance mécanique prend en compte les changements de taille et de forme des corps sous l’influence de la charge et de la température.
Graphique 7.
,
,
,
Où je x , je y – les moments d'inertie axiaux par rapport aux axes de référence ;
je xy– moment d'inertie centrifuge par rapport aux axes de référence ;
Je xc, je yc– les moments d'inertie axiaux par rapport aux axes centraux ;
Je fais du vélo– moment d'inertie centrifuge par rapport aux axes centraux ;
une, b– distance entre axes.
Détermination des moments d'inertie d'une section lors de la rotation des axes
Toutes les caractéristiques géométriques de la section par rapport aux axes centraux sont connues xC,en C(Fig. 8). Déterminons les moments d'inertie autour des axes x1,à 1, tourné par rapport aux centraux d'un certain angle un.
Figure 8
,
Où Je x 1, je y 1 – moments d'inertie axiaux autour des axes x1,à 1 ;
je x 1 et 1– moment d'inertie centrifuge par rapport aux axes x1,à 1 .
Détermination de la position des principaux axes centraux d'inertie
La position des principaux axes centraux d'inertie de la section est déterminée par la formule :
,
Où un 0 – l’angle entre les axes central et principal d’inertie.
Détermination des principaux moments d'inertie
Les principaux moments d'inertie de la section sont déterminés par la formule :
Séquence de calcul d'une section complexe
1) Divisez une section complexe en sections plus simples formes géométriques [S1, S2,…;x1, et 1; x2, et 2, …]
2) Sélectionnez des axes arbitraires XOY .
3) Déterminer la position du centre de gravité de la section [x c , y c].
4) Dessinez les axes centraux X c OY c.
5) Calculer les moments d'inertie Ixc, Je c , en utilisant le théorème de translation parallèle des axes.
6) Calculer le moment d'inertie centrifuge Ix c y c.
7) Déterminer la position des principaux axes d'inertie tg2a 0.
8) Calculer les principaux moments d'inertie Imax, Imine.
EXEMPLE 2
Pour la figure présentée à la figure 13, déterminez les principaux points
inertie et la position des principaux axes d'inertie.
1) Nous divisons la section complexe en formes géométriques simples
S 1 = 2000 mm 2, S 2 = 1200 mm2, S= 3200 mm2.
2) Sélectionnez des axes XOY arbitraires.
3) Déterminer la position du centre de gravité de la section
xc = 25 mm, oui c=35mm.
4) Dessiner les axes centraux X c OY c
5) Calculer les moments d'inertie Ixc, Iyc
6) Calculer le moment d'inertie centrifuge Ix c y c
7) Déterminer la position des principaux axes d'inertie
Si Je x >Je y Et un 0 >0 , alors l'angle un 0 décalage par rapport à l'axe Xs dans le sens antihoraire.
8) Calculer les principaux moments d'inertie Imax, Imine
EXEMPLE 3
 |
Pour la figure présentée à la Fig. 8 déterminer la position des axes principaux
Graphique 8.
inertie et principaux moments d'inertie.
1) Nous notons les données initiales de base pour chaque figure
Canal
S 1 = 10,9 cm2
je x = 20,4 cm4
Je y = 174cm4
oui 0= 1,44 cm
h= 10 cm
Coin inégal
S 3 = 6,36 cm2
je x = 41,6 cm4
Je y = 12,7 cm4
je min = 7,58 cm4
tga= 0,387
x0= 1,13 cm
oui 0= 2,6 cm
Rectangle
S 2 = 40cm2
cm 4
cm 4
2) Dessinez la section à l'échelle
3) Dessinez des axes de coordonnées arbitraires
4) Déterminer les coordonnées du centre de gravité de la section
5) Dessinez les axes centraux
6) Déterminer les moments d'inertie axiaux par rapport aux axes centraux
7) Déterminer le moment d'inertie centrifuge par rapport aux axes centraux
Le moment d'inertie centrifuge de l'acier laminé en angle par rapport à son centre de gravité est déterminé par l'une des formules suivantes :
-4
Le signe du moment d'inertie centrifuge pour l'acier laminé angulaire est déterminé selon la Fig. 9, donc Je xy 3= -13,17cm4.
8) Déterminer la position des principaux axes d'inertie
 |
a 0 = 21,84°
9) Déterminer les principaux moments d'inertie
TÂCHE 4
Pour les schémas donnés (tableau 6) il faut :
1) Dessinez une coupe transversale à une échelle stricte.
2) Déterminez la position du centre de gravité.
3) Trouver les valeurs des moments d'inertie axiaux par rapport aux axes centraux.
4) Trouver la valeur du moment d'inertie centrifuge par rapport aux axes centraux.
5) Déterminer la position des principaux axes d'inertie.
6) Trouver les principaux moments d'inertie.
Prenez les données numériques du tableau. 6.
Schémas de calcul pour le problème n°4
 |
|||
 | |||
 |
Tableau 6
Données initiales pour la tâche n°4
| № | Coin à angle égal | Coin inégal | poutre en I | Canal | Rectangle | Numéro de schéma |
| 30´5 | 50´32´4 | 100´30 | ||||
| 40´6 | 56'36'4 | 100´40 | ||||
| 50´4 | 63´40´8 | 100´20 | ||||
| 56´4 | 70´45´5 | 80´40 | ||||
| 63´6 | 80´50´6 | 14a | 80´60 | |||
| 70´8 | 90'56'6 | 80´100 | ||||
| 80´8 | 100'63'6 | 20a | 16a | 80´20 | ||
| 90´9 | 90'56'8 | 60´40 | ||||
| 75´9 | 140´90´10 | 22a | 18a | 60´60 | ||
| 100´10 | 160´100´12 | 60´40 | ||||
| d | UN | b | V | G | d |
Instructions pour le problème 5
La flexion est un type de déformation dans lequel le V.S.F. apparaît dans la section transversale de la tige. – moment de flexion.
Afin de calculer une poutre à plier, il est nécessaire de connaître la valeur du moment de flexion maximal M et la position de la section dans laquelle il se produit. De la même manière, vous devez connaître la force latérale maximale Q. A cet effet, des diagrammes des moments fléchissants et des efforts tranchants sont construits. A partir des diagrammes, il est facile de juger où se situe la valeur maximale du moment ou force de cisaillement. Pour déterminer les quantités M Et Q utilisez la méthode des sections. Considérons le circuit représenté sur la Fig. 9. Compilons la somme des forces sur l'axe Oui, agissant sur la partie coupée du faisceau.
 |
Graphique 9.
La force transversale est égale à la somme algébrique de toutes les forces agissant sur un côté de la section.
Compilons la somme des moments agissant sur la partie coupée de la poutre par rapport à la section.
Le moment fléchissant est égal à la somme algébrique de tous les moments agissant sur la partie coupée de la poutre par rapport au centre de gravité de la section.
Afin de pouvoir effectuer des calculs depuis n'importe quelle extrémité de la poutre, il est nécessaire d'adopter la règle du signe pour les facteurs de force internes.
Pour la force de cisaillement Q.
Graphique 10.
Si une force externe fait tourner la partie coupée de la poutre dans le sens des aiguilles d'une montre, alors la force est positive ; si une force externe fait tourner la partie coupée de la poutre dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, alors la force est négative.
Pour le moment de flexion M.
Graphique 11.
Si, sous l'influence d'une force extérieure, l'axe courbe de la poutre prend la forme d'une cuvette concave, de telle sorte que la pluie venant d'en haut la remplit d'eau, alors le moment fléchissant est positif (Fig. 11a). Si, sous l'influence d'une force extérieure, l'axe courbe de la poutre prend la forme d'une cuvette convexe, de telle sorte que la pluie venant d'en haut ne la remplisse pas d'eau, alors le moment fléchissant est négatif (Fig. 11b).
Entre intensité de charge répartie q, force de cisaillement Q et moment de flexion M, agissant dans une certaine section, il existe les dépendances différentielles suivantes :
Les dépendances différentielles indiquées lors de la flexion permettent d'établir certaines caractéristiques des diagrammes d'efforts transversaux et de moments fléchissants.
1) Dans les zones où il n'y a pas de charge répartie, schéma Q est limité par des lignes droites parallèles à l'axe du diagramme, et le diagramme M , dans le cas général, par des droites inclinées (Fig. 19).
2) Dans les zones où une charge uniformément répartie est appliquée à la poutre, schéma Q est limité par des lignes droites inclinées, et le diagramme M – des paraboles quadratiques (Fig. 20). Lors du tracé M sur les fibres comprimées, la convexité de la parabole est orientée dans la direction opposée à l'action de la charge répartie (Fig. 21a, b).
Graphique 12.
Graphique 13.
3) Dans les sections où Q= 0, tangente au diagramme M parallèle à l'axe du schéma (Fig. 12, 13). Le moment de flexion dans ces sections de la poutre est d’une ampleur extrême ( Mmax,Mmin).
4) Dans les zones où Q> 0, M augmente, c'est-à-dire de gauche à droite les ordonnées positives du diagramme M augmenter, les négatifs diminuent (Fig. 12, 13); dans les domaines où Q < 0, M diminue (Fig. 12, 13).
5) Dans les sections où des forces concentrées sont appliquées à la poutre :
a) sur le schéma Q il y aura des sauts selon l'ampleur et dans la direction des forces appliquées (Fig. 12, 13).
b) sur le schéma M il y aura des fractures (Fig. 12, 13), la pointe de la fracture est dirigée contre l'action de la force.
6) Dans les sections où des moments concentrés sont appliqués à la poutre, sur le schéma M il y aura des sauts dans l'ampleur de ces moments sur le diagramme Q il n'y aura aucun changement (Fig. 14).
Graphique 14.
Graphique 15.
7) Si un concentré
moment, alors dans cette section le moment de flexion est égal au moment externe (section C Et B sur la fig. 15).
8) Schéma Q représente un diagramme de la dérivée du tracé M. Donc les ordonnées Q proportionnel à la tangente de l'angle d'inclinaison de la tangente au diagramme M(Fig.14).
L'ordre de traçage Q Et M:
1) Un schéma de conception de la poutre (sous forme d'axe) est établi montrant les charges agissant sur elle.
2) L'influence des appuis sur la poutre est remplacée par des réactions correspondantes ; les désignations des réactions et leurs directions acceptées sont indiquées.
3) Des équations d'équilibre pour la poutre sont compilées, dont la solution détermine les valeurs des réactions d'appui.
4) La poutre est divisée en sections dont les limites sont les points d'application de forces et de moments externes concentrés, ainsi que les points de début et de fin de l'action ou du changement dans la nature des charges réparties.
5) Les expressions pour les moments fléchissants sont compilées M et forces de cisaillement Q pour chaque section de la poutre. Le schéma de calcul indique le début et la direction de la mesure de distance pour chaque tronçon.
6) A l'aide des expressions obtenues, les ordonnées des diagrammes sont calculées pour un certain nombre de sections de la poutre en quantité suffisante pour afficher ces diagrammes.
7) Des sections sont déterminées dans lesquelles les forces transversales sont égales à zéro et dans lesquelles, donc, des moments agissent Mmax ou Mmin pour une section donnée de la poutre ; les valeurs de ces moments sont calculées.
8) Les diagrammes sont construits en utilisant les valeurs d'ordonnées obtenues.
9) Les diagrammes construits sont vérifiés en les comparant entre eux.
Des diagrammes des facteurs de force internes lors de la flexion sont construits afin de déterminer la section dangereuse. Une fois la section dangereuse trouvée, la résistance de la poutre est calculée. Dans le cas général de flexion transversale, lorsqu'un moment de flexion et une force transversale agissent dans des sections d'une tige, des contraintes normales et tangentielles apparaissent dans la section de la poutre. Il est donc logique de considérer deux conditions de résistance :
a) selon les tensions normales
b) par contraintes tangentielles
Le principal facteur destructeur des poutres étant les contraintes normales, les dimensions de la section transversale d'une poutre de forme acceptée sont déterminées à partir de la condition de résistance aux contraintes normales :
Ensuite, il est vérifié si la section de poutre sélectionnée satisfait aux conditions de résistance aux contraintes de cisaillement.
Cependant, cette approche du calcul des poutres ne caractérise pas encore la résistance de la poutre. Dans de nombreux cas, il existe des points dans les sections de poutre où des contraintes normales et de cisaillement importantes agissent simultanément. Dans de tels cas, il devient nécessaire de vérifier la résistance de la poutre à l'aide des contraintes principales. Les troisième et quatrième théories de la résistance sont les plus applicables à de tels tests :
, 
.
EXEMPLE 1
Construire des diagrammes de forces de cisaillement Q et moment de flexion M pour le faisceau représenté sur la Fig. 16 si : F1= 3 kN, F2= 1,5 kN, M = 5,1 kN∙m, q = =2kN/m, UN = 2m, b = 1 m, Avec = 3m.
Graphique 16.
1) Déterminez les réactions de soutien.
;
;
Examen:
Réactions trouvées correctement
2) Nous divisons la poutre en sections CALIFORNIE.,ANNONCE,DE,E.K.,K.B..
3) Déterminer les valeurs Q Et M sur chaque site.
SA
, ; 
, .
ANNONCE
, 
;
, 
.
DE
, 
;
, 
.
HF
, , 
.
Trouvons le moment de flexion maximum dans la zone K.B..
Égalons l'équation Q dans cette zone à zéro et exprimer la coordonnée z max , à laquelle Q= 0, et le moment a une valeur maximale. Ensuite, nous remplaçons z max dans l'équation du moment dans cette section et trouvez Mmax.
EK
, 
.
4) Nous construisons des schémas (Fig. 16)
EXEMPLE 2
Pour le faisceau représenté sur la Fig. 16 déterminer les dimensions d'un rond, d'un rectangle ( h/b = 2) et section en I. Vérifiez la résistance de la poutre en I par les contraintes principales, si [s]= 150 MPa, [t]= 150 MPa.
1) Déterminer le moment de résistance requis à partir de la condition de résistance
2) Déterminer les dimensions de la section circulaire
3) Déterminer les dimensions de la section rectangulaire
4) Nous sélectionnons la poutre en I n°10 en fonction de l'assortiment (GOST 8239-89)
WX= 39,7 cm3, S X * =23 cm3, Je X = 198cm4, h = 100mm, b = 55 mm, d = 4,5 mm, t = 7,2 mm.
Pour vérifier la résistance d'une poutre à partir des contraintes principales, il est nécessaire de construire des diagrammes de contraintes normales et tangentielles dans une section dangereuse. Étant donné que l'ampleur des contraintes principales dépend à la fois des contraintes normales et tangentielles, l'essai de résistance doit être effectué dans la section de la poutre où M Et Q assez grand. Sur un support DANS(Fig. 16) force de cisaillement Q a une valeur maximale, mais ici M= 0. Nous considérons donc la section sur le support comme dangereuse UN, où le moment de flexion est maximum et la force de cisaillement est relativement importante.
Les contraintes normales, évoluant selon la hauteur de la section, obéissent à une loi linéaire :
Où oui– coordonnée du point de coupe (Fig. 24).
à à= 0, s = 0 ;
à ymax
, 
La loi des modifications des contraintes de cisaillement est déterminée par la loi des modifications du moment statique de la zone, qui, à son tour, change le long de la hauteur de la section selon la loi parabolique. Après avoir calculé la valeur des points caractéristiques de la section, nous allons construire un diagramme des contraintes tangentielles. Lors du calcul des valeurs de t, nous utiliserons la notation pour les dimensions de section adoptée sur la Fig. 17.
La condition de résistance pour les couches 3 à 3 est remplie.
TÂCHE 5
Pour des schémas de poutres donnés (Tableau 12), construire des diagrammes de forces transversales Q et moment de flexion M. Sélectionnez la section transversale pour le schéma a) rond [s]= 10 MPa ; b) Poutre en I [s]= 150 MPa.
Prenez les données numériques du tableau. 7.
Tableau 7
Données initiales pour le problème n°6
| № | suis | q 1 =q 3, kN/m | q 2 , kN/m | F 1, kN | F 2, kN | F 3, kN | M 1, kN∙m | M 2, kN∙m | M 3, kN∙m | Numéro de schéma | ||
| 0,8 | ||||||||||||
| 1,2 |  |
|||||||||||
| Suite du tableau 12 | ||||||||||||
 |  |
|||||||||||
 |
Si les axes sont centraux, alors les axes des moments ressembleront à : 
15.Dépendance entre moments d'inertie lors de la rotation des axes:
J x 1 =J x cos 2 a + J y sin 2 a - J xy sin2a ; J y 1 =J y cos 2 a + J x sin 2 a + J xy sin2a ;
J x 1 y1 = (J x - J y)sin2a + J xy cos2a ;
Angle a>0, si la transition de l'ancien système de coordonnées au nouveau se produit dans le sens inverse des aiguilles d'une montre. J y 1 + J x 1 = J y + J x
Les valeurs extrêmes (maximales et minimales) des moments d'inertie sont appelées principaux moments d'inertie. Les axes autour desquels les moments d'inertie axiaux ont des valeurs extrêmes sont appelés principaux axes d'inertie. Les principaux axes d'inertie sont perpendiculaires entre eux. Moments d'inertie centrifuges autour des axes principaux = 0, c'est-à-dire axes principaux d'inertie - axes autour desquels le moment d'inertie centrifuge = 0. Si l'un des axes coïncide ou les deux coïncident avec l'axe de symétrie, alors ce sont les principaux. Angle définissant la position des axes principaux : 
, si a 0 >0 Þ les axes tournent dans le sens inverse des aiguilles d'une montre. L'axe maximum fait toujours un angle plus petit avec l'axe par rapport auquel le moment d'inertie est le plus grand. Les axes principaux passant par le centre de gravité sont appelés principaux axes centraux d'inertie. Moments d'inertie autour de ces axes : 
J max + J min = J x + J y . Le moment d'inertie centrifuge par rapport aux principaux axes centraux d'inertie est égal à 0. Si les principaux moments d'inertie sont connus, alors les formules de transition vers les axes de rotation sont :
J x 1 = J max cos 2 a + J min sin 2 a ; J y 1 =J max cos 2 a + J min sin 2 a ; J x 1 y1 = (J max - J min) sin2a ;
Le but ultime du calcul caractéristiques géométriques Cette section consiste à déterminer les principaux moments centraux d'inertie et la position des principaux axes centraux d'inertie. 
Rayon d'inertie - 
; J x =F×i x 2 , J y =F×i y 2 .
Si J x et J y sont les principaux moments d'inertie, alors i x et i y - rayons de giration principaux. Une ellipse construite sur les rayons d'inertie principaux comme sur les demi-axes s'appelle ellipse d'inertie. En utilisant l'ellipse d'inertie, vous pouvez trouver graphiquement le rayon d'inertie i x 1 pour n'importe quel axe x 1. Pour ce faire, vous devez tracer une tangente à l'ellipse, parallèle à l'axe x1, et mesurer la distance de cet axe à la tangente. Connaissant le rayon d'inertie, vous pouvez trouver le moment d'inertie de la section par rapport à l'axe x 1 : . Pour les sections ayant plus de deux axes de symétrie (par exemple : cercle, carré, anneau, etc.), les moments d'inertie axiaux autour de tous les axes centraux sont égaux, J xy =0, l'ellipse d'inertie se transforme en cercle d'inertie .
Souvent au moment de décider problèmes pratiques il faut déterminer les moments d'inertie de la section par rapport à des axes différemment orientés dans son plan. Dans ce cas, il est pratique d'utiliser les valeurs déjà connues des moments d'inertie de la section entière (ou de ses éléments constitutifs individuels) par rapport à d'autres axes, données dans la littérature technique, des ouvrages de référence et des tableaux spéciaux, ainsi que calculés en utilisant les formules disponibles. Il est donc très important d’établir les relations entre les moments d’inertie d’une même section par rapport à différents axes.
Dans le cas le plus général, le passage de n'importe quel ancien système de coordonnées à tout nouveau système de coordonnées peut être considéré comme deux transformations successives de l'ancien système de coordonnées :
1) par transfert parallèle des axes de coordonnées vers une nouvelle position et
2) en les faisant pivoter par rapport à la nouvelle origine. Considérons la première de ces transformations, c'est-à-dire la translation parallèle des axes de coordonnées.
Supposons que les moments d'inertie d'une section donnée par rapport aux anciens axes (Fig. 18.5) soient connus.
Prenons un nouveau système de coordonnées dont les axes sont parallèles aux précédents. Notons a et b les coordonnées d'un point (c'est-à-dire la nouvelle origine) dans ancien système coordonnées
Considérons un site élémentaire. Ses coordonnées dans l'ancien système de coordonnées sont égales à y et . Dans le nouveau système, ils sont égaux
Remplaçons ces valeurs de coordonnées dans l'expression du moment d'inertie axial par rapport à l'axe
Dans l'expression résultante, le moment d'inertie, le moment statique de la section par rapport à l'axe, est égal à l'aire F de la section.
Ainsi,
Si l'axe z passe par le centre de gravité de la section, alors le moment statique et
D'après la formule (25.5), il ressort clairement que le moment d'inertie autour de tout axe qui ne passe pas par le centre de gravité est supérieur au moment d'inertie autour de l'axe passant par le centre de gravité, d'une quantité toujours positive. Ainsi, de tous les moments d’inertie relatifs à axes parallèles le moment d'inertie axial a plus petite valeur par rapport à un axe passant par le centre de gravité de la section.
Moment d'inertie autour de l'axe [par analogie avec la formule (24.5)]
Dans le cas particulier où l'axe y passe par le centre de gravité de la section
Les formules (25.5) et (27.5) sont largement utilisées pour calculer les moments d'inertie axiaux de sections complexes (composites).
Remplaçons maintenant les valeurs dans l'expression du moment d'inertie centrifuge par rapport aux axes
