30. Formule de Green. Conditions d'indépendance intégrale curviligne du parcours d’intégration.

Formule de Green : Si C est la frontière fermée du domaine D et que les fonctions P(x,y) et Q(x,y), ainsi que leurs dérivées partielles du premier ordre, sont continues dans le domaine fermé D (y compris la frontière de C), alors la formule de Green est valide :, et le contournement autour du contour C est sélectionné pour que la zone D reste à gauche.

Extrait des cours : donnons les fonctions P(x,y) et Q(x,y), qui sont continues dans le domaine D avec des dérivées partielles du premier ordre. Intégrale sur la frontière (L), entièrement contenue dans la région D et contenant tous les points de la région D : . La direction positive du contour est lorsque la partie limitée du contour est vers la gauche.

Condition d'indépendance d'une intégrale curviligne de 2ème espèce du chemin d'intégration. Une condition nécessaire et suffisante pour que l'intégrale curviligne de première espèce reliant les points M1 et M2 ne dépende pas du chemin d'intégration, mais dépend uniquement des points de départ et d'arrivée, est l'égalité :.

.

31. Intégrales de surface du premier et du deuxième type, leurs propriétés de base et leur calcul.

– en précisant la surface.

Projetons S sur le plan xy et obtenons une région D. Nous divisons la région D avec une grille de lignes en parties appelées Di. À partir de chaque point de chaque ligne, nous traçons des lignes z parallèles, puis S sera divisé en Si. Faisons une somme intégrale : . Dirigons le diamètre maximum Di vers zéro :, on obtient :

C'est une intégrale de surface du premier type

C’est ainsi que l’on calcule une intégrale de surface de première espèce.

Définition en bref. S'il existe une limite finie de la somme intégrale, indépendante de la méthode de partitionnement de S en sections élémentaires Si et du choix des points, alors on parle d'intégrale de surface de première espèce.

Lors du passage des variables x et y à u et v :

P. une intégrale de surface a toutes les propriétés d’une intégrale ordinaire. Voir les questions ci-dessus.

Définition d'une intégrale de surface du deuxième type, ses propriétés de base et son calcul. Connexion avec l'intégrale de première espèce.

Soit une surface S, délimitée par une ligne L (Fig. 3.10). Prenons un contour L sur la surface S qui n'a pas de points communs avec la frontière L. Au point M du contour L nous pouvons restituer deux normales à la surface S. Choisissons une de ces directions. Nous traçons le point M le long du contour L avec la direction normale sélectionnée.

Si le point M revient à sa position d'origine avec la même direction de la normale (et non l'opposée), alors la surface S est dite bilatérale.

Nous ne considérerons que les surfaces à deux faces. Une surface à deux côtés est toute surface lisse d’équation .

Soit S une surface ouverte bilatérale délimitée par une ligne L qui n'a pas de point d'auto-intersection. Choisissons un certain côté de la surface. Nous appellerons la direction positive de parcours du contour L une telle direction dans laquelle, lors du déplacement le long du côté sélectionné de la surface, la surface elle-même reste vers la gauche. Une surface à deux côtés avec une direction positive pour parcourir les contours ainsi établis est appelée surface orientée. Passons à la construction d'une intégrale de surface du deuxième type. Prenons une surface bilatérale S dans l'espace, constituée d'un nombre fini de pièces, dont chacune est donnée par une équation de la forme ou est une surface cylindrique à génératrices, parallèle à l'axe

Soit R(x,y,z) une fonction définie et continue sur la surface S. A l'aide d'un réseau de droites, on divise S arbitrairement en n sections « élémentaires » ΔS1, ΔS2, ..., ΔSi, ..., ΔSn, qui n'ont pas de points internes communs. Sur chaque section ΔSi on sélectionne arbitrairement un point Mi(xi,yi,zi) (i=1,...,n). Soit (ΔSi)xy l'aire de la projection de la section ΔSi sur le plan de coordonnées Oxy, prise avec le signe « + », si la normale à la surface S au point Mi(xi,yi,zi) ( i=1,...,n) forme avec l'axe Oz un angle aigu, et avec un signe « – » si cet angle est obtus. Composons la somme intégrale de la fonction R(x,y,z) sur la surface S dans les variables x,y : . Soit λ le plus grand des diamètres ΔSi (i = 1, ..., n).

S'il existe une limite finie qui ne dépend pas de la méthode de partitionnement de la surface S en sections « élémentaires » ΔSi et du choix des points, alors on l'appelle intégrale de surface sur le côté sélectionné de la surface S de la fonction R. (x,y,z) selon les coordonnées x, y (ou intégrale de surface de seconde espèce) et est noté .

De même, vous pouvez construire des intégrales de surface sur les coordonnées x, z ou y, z le long du côté correspondant de la surface, c'est-à-dire Et .

Si toutes ces intégrales existent, alors on peut introduire une intégrale « générale » sur le côté sélectionné de la surface : .

Une intégrale de surface du deuxième type possède les propriétés habituelles d’une intégrale. Notons seulement que toute intégrale de surface de seconde espèce change de signe lorsque le côté de la surface change.

Relation entre les intégrales de surface du premier et du deuxième type.

Soit la surface S définie par l'équation : z = f(x,y), et f(x,y), f"x(x,y), f"y(x,y) sont des fonctions continues dans le domaine fermé domaine τ (projections de la surface S sur le plan de coordonnées Oxy), et la fonction R(x,y,z) est continue sur la surface S. La normale à la surface S, ayant des cosinus de direction cos α, cos β, cos γ, est choisi sur la face supérieure de la surface S. Alors .

Pour le cas général on a :

=

Considérons une intégrale curviligne de 2e espèce, où L– une courbe reliant les points M. Et N. Laissez les fonctions P(x,y) Et Q(x,y) avoir des dérivées partielles continues dans un domaine D, qui contient toute la courbe L. Déterminons les conditions dans lesquelles l'intégrale curviligne considérée ne dépend pas de la forme de la courbe L, mais uniquement sur l'emplacement des points M. Et N.

Traçons deux courbes arbitraires Numéro de pièce fabricant Et MQN, situé dans la zone D et points de connexion M. Et N(Fig.1).

M. N Riz. 1. P.

Supposons que, c'est

Alors où L– un contour fermé composé de courbes Numéro de pièce fabricant Et N.Q.M.(cela peut donc être considéré comme arbitraire). Ainsi, la condition d'indépendance d'une intégrale curviligne de 2ème espèce par rapport au chemin d'intégration est équivalente à la condition qu'une telle intégrale sur tout contour fermé soit égale à zéro.

Théorème 1. Laissez en tous points d'une région D les fonctions sont continues P(x,y) Et Q(x,y) et leurs dérivées partielles et . Ensuite, pour que tout contour fermé L, situé dans la zone D, la condition était remplie

Il est nécessaire et suffisant que = en tous points de la région D.

Preuve .

1) Suffisance : que la condition = soit satisfaite. Considérons une boucle fermée arbitraire L dans la région D, limitant la zone S, et écrivez la formule de Green pour cela :

La suffisance a donc été prouvée.

2) Nécessité : supposer que la condition est satisfaite en tout point de la région D, mais il y a au moins un point dans cette région où - ≠ 0. Soit, par exemple, au point P(x 0 , oui 0)-> 0. Puisque le côté gauche de l'inégalité contient une fonction continue, elle sera positive et supérieure à certains δ > 0 dans une petite région D' contenant un point R.. Ainsi,

De là, en utilisant la formule de Green, on obtient que , où L`- contour délimitant la zone D'. Ce résultat contredit la condition. Donc = en tous points de la région D, c'était ce qui devait être prouvé.

Remarque 1 . De même pour espace tridimensionnel il peut être prouvé que cela est nécessaire et conditions suffisantes indépendance de l'intégrale de droite

du chemin d'intégration sont :

Remarque 2. Si les conditions (28/1.18) sont remplies, l'expression Pdx + Qdy + Rdz est la différentielle totale d'une fonction Et. Cela nous permet de réduire le calcul de l'intégrale curviligne à la détermination de la différence entre les valeurs Et aux points final et de départ du contour d'intégration, puisque

Dans ce cas, la fonction Et peut être trouvé en utilisant la formule

Où ( x 0 , oui 0 , z 0)– point de la zone D, un C– constante arbitraire. En effet, il est facile de vérifier que les dérivées partielles de la fonction Et, donnés par la formule (28/1.19), sont égaux P, Q Et R..

2ème sorte du chemin de l'intégration

Considérons une intégrale curviligne du 2ème type, où L est la courbe reliant les points M et N. Soit les fonctions P(x, y) et Q(x, y) avoir des dérivées partielles continues dans un domaine D dans lequel la courbe L réside entièrement. Déterminons les conditions dans lesquelles l'intégrale curviligne considérée ne dépend pas de la forme de la courbe L, mais uniquement de la localisation des points M et N.

Traçons deux courbes arbitraires MSN et MTN, situées dans la zone D et reliant les points M et N (Fig. 14).

Supposons que, c'est-à-dire

où L est une boucle fermée composée des courbes MSN et NTM (elle peut donc être considérée comme arbitraire). Ainsi, la condition d'indépendance d'une intégrale curviligne de 2ème espèce par rapport au chemin d'intégration est équivalente à la condition qu'une telle intégrale sur tout contour fermé soit égale à zéro.

Théorème 5 (théorème de Green). Soit les fonctions P(x, y) et Q(x, y) et leurs dérivées partielles et soient continues en tous points d'un certain domaine D. Alors, pour que tout contour fermé L situé dans le domaine D satisfasse à la condition

il faut et suffisant que = en tout point de la région D.

Preuve.

1) Suffisance : que la condition = soit satisfaite. Considérons un contour fermé arbitraire L dans la région D, délimitant la région S, et écrivons la formule de Green pour cela :

La suffisance a donc été prouvée.

2) Nécessité : supposons que la condition soit satisfaite en tout point de la région D, mais qu'il y ait au moins un point de cette région en lequel - ? 0. Supposons par exemple qu'au point P(x0, y0) nous ayons : -> 0. Puisque le côté gauche de l'inégalité contient une fonction continue, sera-t-elle positive et supérieure à certaines ? > 0 dans une petite région D` contenant le point P. Par conséquent,

De là, en utilisant la formule de Green, on obtient que

où L` est le contour limitant la zone D`. Ce résultat contredit la condition. Par conséquent, = en tous points de la région D, ce qu’il fallait prouver.

Remarque 1. De même, pour l'espace tridimensionnel on peut prouver que les conditions nécessaires et suffisantes pour l'indépendance de l'intégrale curviligne

du chemin d'intégration sont :

Remarque 2. Si les conditions (52) sont remplies, l'expression Pdx + Qdy + Rdz est la différentielle totale d'une fonction u. Cela nous permet de réduire le calcul d'une intégrale curviligne à déterminer la différence entre les valeurs aux points final et initial du contour d'intégration, puisque

Dans ce cas, la fonction et peut être trouvée à l'aide de la formule

où (x0, y0, z0) est un point de la région D et C est une constante arbitraire. En effet, il est facile de vérifier que les dérivées partielles de la fonction et, données par la formule (53), sont égales à P, Q et R.

Exemple 10.

Calculer l'intégrale de ligne du 2ème type

le long d'une courbe arbitraire reliant les points (1, 1, 1) et (2, 3, 4).

Assurons-nous que les conditions (52) sont remplies :

La fonction existe donc. Trouvons-le en utilisant la formule (53), en mettant x0 = y0 = z0 = 0. Alors

Ainsi, la fonction est déterminée à un terme constant arbitraire près. Prenons C = 0, alors u = xyz. Ainsi,

Du chemin de l’intégration.

Considérons une intégrale curviligne de 2e espèce, où L– une courbe reliant les points M. Et N. Laissez les fonctions P(x,y) Et Q(x,y) avoir des dérivées partielles continues dans un domaine D, qui contient toute la courbe L. Déterminons les conditions dans lesquelles l'intégrale curviligne considérée ne dépend pas de la forme de la courbe L, mais uniquement sur l'emplacement des points M. Et N.

Traçons deux courbes arbitraires Numéro de pièce fabricant Et MQN, situé dans la zone D et points de connexion M. Et N(Fig.1).

Q

M. N Riz. 1.

Supposons que , c'est

Alors où L– un contour fermé composé de courbes Numéro de pièce fabricant Et N.Q.M.(cela peut donc être considéré comme arbitraire). Ainsi, la condition d'indépendance d'une intégrale curviligne de 2ème espèce par rapport au chemin d'intégration est équivalente à la condition qu'une telle intégrale sur tout contour fermé soit égale à zéro.

Billet n°34.Intégrale de surface du premier type (sur surface). Applications (masse d'une surface matérielle, coordonnées du centre de gravité, moments, aire d'une surface courbe).

Considérez une surface ouverte S, limité par le contour L, et divisez-le en parties par quelques courbes S 1, S 2,…, S n. Sélectionnons un point dans chaque partie M je et projeter cette pièce sur un plan tangent à la surface passant par ce point. On obtient en projection une figure plate d'aire T je. Appelons ρ la plus grande distance entre deux points sur n'importe quelle partie de la surface S.

Définition 12.1. Appelons zone S surface limite de somme de superficie T jeà

Intégrale de surface du premier type.

Considérez une surface S, limité par le contour L, et divisez-le en plusieurs parties S 1, S 2,…, Sp(nous désignerons également l'aire de chaque partie Sp). Soit la valeur de la fonction soit précisée en chaque point de cette surface f(x, y, z). Choisissons dans chaque partie S je indiquer M je (x je , y je , z je) et composer la somme intégrale

. (12.2)

Définition 12.2. S'il existe une limite finie pour la somme intégrale (12.2), indépendante de la méthode de division de la surface en parties et du choix des points M je, alors on l'appelle intégrale de surface du premier type à partir de la fonction f(M) = f(x, y, z) sur la surface S et est désigné

Commentaire. Une intégrale de surface du 1er type possède les propriétés habituelles des intégrales (linéarité, sommation des intégrales d'une fonction donnée sur des parties individuelles de la surface considérée, etc.).

Géométrique et signification physique intégrale surfacique de 1ère espèce.

Si l'intégrande f(M)≡ 1, alors de la définition 12.2 il résulte qu'elle est égale à l'aire de la surface considérée S.

. (12.4)

Application d'une intégrale surfacique du 1er type.

1. L'aire d'une surface courbe dont l'équation est z = f(x, y), se trouve sous la forme :

(14.21)

(Ω – projection S vers l'avion O xy).

2. Masse superficielle

(14.22)

3. Instants :

Moments statiques de la surface par rapport aux plans de coordonnées O xy, Ô xz, Ô ouais;

Moments d'inertie de la surface par rapport aux axes de coordonnées ;

Moments d'inertie de la surface par rapport aux plans de coordonnées ;

- (14.26)

Le moment d'inertie de la surface par rapport à l'origine.

4. Coordonnées du centre de masse de la surface :

. (14.27)

Billet numéro 35. Calcul de l'intégrale surfacique de 1ère espèce (la réduisant à un multiple).

Limitons-nous au cas où la surface S est donnée explicitement, c'est-à-dire par une équation de la forme z = φ(x, y). De plus, de la définition de la superficie, il résulte que

S je =, où Δ σi – zone de projection S je vers l'avion O xy, UN γ je– angle entre l’axe O z et normal à la surface S au point M je. On sait que

,

Où ( x je , y je , z je) – coordonnées des points M je. Donc,

En substituant cette expression dans la formule (12.2), on obtient que

,

Où la sommation de droite est effectuée sur la région Ω du plan O xy, qui est la projection sur ce plan de surface S(Fig.1).

S : z = φ (x, y)

Δσ jeΩ

En même temps, sur le côté droit, une somme intégrale est obtenue pour une fonction de deux variables sur une région plate, ce qui à la limite donne une double intégrale. Ainsi, une formule a été obtenue qui permet de réduire le calcul. d'une intégrale surfacique de 1ère espèce au calcul double intégrale:

Commentaire. Précisons encore une fois qu'à gauche de la formule (12.5) il y a surface intégrale, et à droite - double.

Billet numéro 36.Intégrale de surface du deuxième type. Flux de champ vectoriel. Relation entre les intégrales de surface du premier et du deuxième type.

Flux de champ vectoriel.

Considérons le champ vectoriel UN (M), défini dans le domaine spatial G, surface lisse orientée SG et le champ des normales unitaires n (M) sur le côté sélectionné de la surface S.

Définition 13.3. Intégrale surfacique du 1er type

, (13.1)

Où Un est le produit scalaire des vecteurs correspondants, et Un p– projection vectorielle UN vers la direction normale est appelé flux de champ vectoriel SUIS)à travers le côté sélectionné de la surface S .

Remarque 1. Si vous choisissez l'autre côté de la surface, alors la normale et, par conséquent, le flux changeront de signe.

Remarque 2. Si le vecteur UN spécifie la vitesse d'écoulement du fluide en un point donné, puis l'intégrale (13.1) détermine la quantité de fluide s'écoulant par unité de temps à travers la surface S dans un sens positif (d'où le terme courant « flux »).

Soit un champ vectoriel plat. Dans ce qui suit, nous supposerons que les fonctions P et Q sont continues, ainsi que leurs dérivées, dans une région O du plan.

Considérons deux points arbitraires dans la région G. Ces points peuvent être reliés par différentes lignes situées dans la région le long desquelles les valeurs de l'intégrale curviligne sont, d'une manière générale, différentes.

Ainsi, par exemple, considérons l'intégrale curviligne

et deux points. Calculons cette intégrale, d'une part, le long de la droite reliant les points A et B, et, d'autre part, le long de l'arc de parabole reliant ces mêmes points. En appliquant les règles de calcul de l'intégrale curviligne, on trouve

a) le long du segment

b) le long de l'arc de la parabole :

Ainsi, on voit que les valeurs de l'intégrale curviligne dépendent du chemin d'intégration, c'est-à-dire qu'elles dépendent du type de droite reliant les points A et B. Au contraire, comme il est facile de le vérifier, l'intégrale curviligne le long les mêmes lignes reliant les points donnent à la même chose une valeur égale à .

Les exemples analysés montrent que les intégrales curvilignes calculées le long de chemins différents reliant deux points donnés sont dans certains cas différentes les unes des autres, et dans d'autres cas elles prennent la même valeur.

Soient A et B deux points arbitraires d'une région G. Considérons diverses courbes situées dans la région G et reliant les points A et B.

Si la droite intégrale le long de l’un de ces chemins prend la même valeur, alors elle est dite indépendante du chemin d’intégration.

Les deux théorèmes suivants donnent les conditions dans lesquelles l’intégrale de droite est indépendante du chemin d’intégration.

Théorème 1. Pour qu'une intégrale curviligne dans un domaine G soit indépendante du chemin d'intégration, il est nécessaire et suffisant que l'intégrale sur tout contour fermé se trouvant dans ce domaine soit égale à zéro.

Preuve. Adéquation.

Soit l'intégrale sur tout contour fermé dessiné dans la région G égale à zéro. Montrons que cette intégrale ne dépend pas du chemin d'intégration. En fait, soit A et B deux points appartenant à la région G. Relions ces points par deux courbes différentes, arbitrairement choisies, situées dans la région G (fig. 257).

Montrons que les arcs forment un contour fermé. Compte tenu des propriétés des intégrales curvilignes, nous obtenons.

parce que . Mais selon la condition, c’est comme une intégrale en boucle fermée.

Par conséquent, ou ainsi, l'intégrale de ligne ne dépend pas du chemin d'intégration.

Nécessité. Soit l'intégrale curviligne dans le domaine G indépendante du chemin d'intégration. Montrons que l'intégrale sur tout contour fermé situé dans cette région est égale à zéro. En fait, considérons un contour fermé arbitraire situé dans la région G et prenons deux points arbitraires A et B sur celui-ci (voir Fig. 257). Alors

parce que selon la condition. Ainsi, l'intégrale sur tout contour fermé L situé dans la région G est égale à zéro.

Le théorème suivant donne des conditions pratiques pour une utilisation pratique, dans lesquelles l'intégrale curviligne ne dépend pas du chemin d'intégration.

Théorème 2.

Pour qu'une intégrale curviligne soit indépendante du chemin d'intégration dans un domaine simplement connexe, il faut et suffisant que la condition soit satisfaite en chaque point de ce domaine

Preuve. Adéquation. Montrons dans le domaine que l'intégrale curviligne sur tout contour fermé L appartenant au domaine G est égale à zéro. Considérons une aire a délimitée par un contour L. En raison de la nature simplement connexe de la région G, l'aire a appartient entièrement à cette aire. Basé sur la formule Ostrogradsky-Green, notamment sur le site Donc et donc, . Ainsi, l’intégrale sur tout contour fermé L dans la région G est égale à zéro. Sur la base du théorème 1, nous concluons que l'intégrale curviligne ne dépend pas du chemin d'intégration.

Nécessité. Soit l'intégrale curviligne indépendante du chemin d'intégration dans un domaine Q. Montrons qu'en tous points du domaine

Supposons le contraire, c'est-à-dire qu'à un certain point de la région Let, pour être précis, . En raison de l'hypothèse de continuité des dérivées partielles, la différence sera fonction continue. Par conséquent, autour d'un point, il est possible de décrire un cercle a (situé dans la région G), en tous points duquel, comme au point, la différence sera positive. Appliquons la formule d'Ostrogradsky-Green au cercle.