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Fonctions implicites et leurs dérivées. Différenciation d'une fonction implicite. Dérivée d'une fonction définie paramétriquement

La formule de la dérivée d'une fonction donnée implicitement. Preuve et exemples d'application de cette formule. Exemples de calcul de dérivées du premier, deuxième et troisième ordre.

Contenu

Dérivée du premier ordre

Laissez la fonction être donnée implicitement en utilisant l'équation
(1) .
Et que cette équation, pour une certaine valeur, ait une solution unique. Soit la fonction une fonction différentiable au point , et
.
Alors, pour cette valeur , il existe une dérivée , qui est déterminée par la formule :
(2) .

Preuve

Pour preuve, considérons la fonction comme une fonction complexe de la variable :
.
Nous appliquons la règle de différenciation d'une fonction complexe et trouvons la dérivée par rapport à la variable des côtés gauche et droit de l'équation
(3) :
.
Puisque la dérivée de la constante est égale à zéro et , alors
(4) ;
.

La formule a fait ses preuves.

Dérivés d'ordres supérieurs

Réécrivons l'équation (4) en utilisant une autre notation :
(4) .
De plus, et sont des fonctions complexes de la variable :
;
.
La dépendance définit l'équation (1) :
(1) .

Nous trouvons la dérivée par rapport à la variable des côtés gauche et droit de l'équation (4).
D'après la formule de la dérivée d'une fonction complexe, on a :
;
.
Selon la formule du produit dérivé :

.
Selon la formule de la somme dérivée :

.

Puisque la dérivée du côté droit de l'équation (4) est égale à zéro, alors
(5) .
En substituant ici la dérivée, on obtient la valeur de la dérivée du second ordre sous forme implicite.

En différenciant l'équation (5) de manière similaire, nous obtenons une équation contenant une dérivée du troisième ordre :
.
En substituant ici les valeurs trouvées des dérivées des premier et second ordres, on trouve la valeur de la dérivée du troisième ordre.

En poursuivant la différenciation, on peut trouver une dérivée d'ordre quelconque.

Exemples

Exemple 1

Trouver la dérivée première de la fonction donnée implicitement par l'équation :
(P1) .

Solution Formule 2

On trouve la dérivée par la formule (2) :
(2) .

Déplaçons toutes les variables vers la gauche pour que l'équation prenne la forme .
.
D'ici.

On trouve la dérivée par rapport à , en supposant qu'elle est constante.
;
;
;
.

Nous trouvons la dérivée par rapport à la variable, en supposant que la variable est constante.
;
;
;
.

Par la formule (2) on trouve :
.

Nous pouvons simplifier le résultat si nous notons que selon l'équation originale (A.1), . Remplaçant :
.
Multipliez le numérateur et le dénominateur par :
.

Solution de la seconde manière

Résolvons cet exemple de la deuxième manière. Pour ce faire, nous trouvons la dérivée par rapport à la variable des parties gauche et droite de l'équation d'origine (P1).

Nous appliquons :
.
Nous appliquons la formule de la dérivée d'une fraction :
;
.
On applique la formule de la dérivée d'une fonction complexe :
.
Nous différencions l'équation originale (P1).
(P1) ;
;
.
Multipliez par et regroupez les termes.
;
.

Remplacer (de l'équation (P1)) :
.
Multiplions par :
.

Exemple 2

Trouvez la dérivée seconde de la fonction donnée implicitement à l'aide de l'équation :
(P2.1) .

Différenciez l'équation originale par rapport à la variable , en supposant qu'elle est une fonction de :
;
.
Nous appliquons la formule de la dérivée d'une fonction complexe.
.

Nous différencions l'équation originale (A2.1):
;
.
Il découle de l'équation originale (A2.1) que . Remplaçant :
.
Développez les parenthèses et regroupez les membres :
;
(P2.2) .
On trouve la dérivée du premier ordre :
(P2.3) .

Pour trouver la dérivée seconde, on dérive l'équation (A2.2).
;
;
;
.
Nous substituons l'expression de la dérivée du premier ordre (A2.3):
.
Multiplions par :

;
.
De là, nous trouvons la dérivée du second ordre.

Exemple 3

Trouvez la dérivée du troisième ordre de la fonction donnée implicitement à l'aide de l'équation :
(P3.1) .

Différenciez l'équation d'origine par rapport à la variable, en supposant que c'est une fonction de .
;
;
;
;
;
;
(P3.2) ;

Nous différencions l'équation (A3.2) par rapport à la variable .
;
;
;
;
;
(P3.3) .

On dérive l'équation (A3.3).
;
;
;
;
;
(P3.4) .

À partir des équations (A3.2), (A3.3) et (A3.4), nous trouvons les valeurs des dérivées à .
;
;
.

La dérivée d'une fonction donnée implicitement.
Dérivée d'une fonction définie paramétriquement

Dans cet article, nous examinerons deux tâches plus typiques que l'on trouve souvent dans travail de contrôle Par mathématiques supérieures. Afin de maîtriser avec succès le matériau, il est nécessaire de pouvoir trouver des dérivés au moins à un niveau moyen. Vous pouvez apprendre à trouver des dérivés pratiquement à partir de zéro dans deux leçons de base et Dérivée d'une fonction composée. Si tout est en ordre avec les compétences de différenciation, alors allons-y.

Dérivée d'une fonction définie implicitement

Ou, en bref, la dérivée d'une fonction implicite. Qu'est-ce qu'une fonction implicite ? Rappelons d'abord la définition même d'une fonction à une variable :

Fonction d'une variable est la règle selon laquelle chaque valeur de la variable indépendante correspond à une et une seule valeur de la fonction.

La variable s'appelle variable indépendante ou argument.
La variable s'appelle variable dépendante ou fonction .

Jusqu'à présent, nous avons considéré des fonctions définies dans explicite former. Qu'est-ce que ça veut dire? Organisons un débriefing sur des exemples précis.

Considérez la fonction

Nous voyons qu'à gauche, nous avons un «y» solitaire et à droite - seulement des x. c'est-à-dire la fonction explicitement exprimée en fonction de la variable indépendante .

Considérons une autre fonction :

Ici les variables et sont situées "mixtes". Et impossible de toute façon n'exprimez "Y" qu'à travers "X". Quelles sont ces méthodes ? Transférer des termes d'une partie à l'autre avec changement de signe, mise entre parenthèses, lancer des facteurs selon la règle de proportion, etc. Réécrire l'égalité et essayer d'exprimer « y » explicitement :. Vous pouvez tordre et tourner l'équation pendant des heures, mais vous ne réussirez pas.

Permettez-moi de vous présenter : - un exemple fonction implicite.

Au cours de l'analyse mathématique, il a été prouvé que la fonction implicite existe(mais pas toujours), il a un graphique (tout comme une fonction "normale"). Il en est de même pour une fonction implicite. existe dérivée première, dérivée seconde, etc. Comme on dit, tous les droits des minorités sexuelles sont respectés.

Et dans cette leçon nous allons apprendre à trouver la dérivée d'une fonction donnée implicitement. Ce n'est pas si dur! Toutes les règles de différenciation, tableau des dérivées fonctions élémentaires restent en vigueur. La différence réside dans un point particulier, que nous allons examiner maintenant.

Oui, et je vais vous dire la bonne nouvelle - les tâches décrites ci-dessous sont effectuées selon un algorithme plutôt rigide et clair sans pierre devant trois pistes.

Exemple 1

1) A la première étape, on accroche des traits sur les deux parties :

2) On utilise les règles de linéarité de la dérivée (les deux premières règles de la leçon Comment trouver la dérivée ? Exemples de solutions):

3) Différenciation directe.
Comment différencier et complètement compréhensible. Que faire là où il y a des "jeux" sous les coups ?

- juste pour la disgrâce, la dérivée d'une fonction est égale à sa dérivée: .

Comment différencier
Ici nous avons fonction complexe. Pourquoi? Il semble que sous le sinus il n'y ait qu'une seule lettre "Y". Mais, le fait est qu'une seule lettre "y" - EST UNE FONCTION EN SOI(voir la définition au début de la leçon). Ainsi, le sinus est une fonction externe, est une fonction interne. On utilise la règle de différentiation d'une fonction complexe :

Le produit est différentiable selon la règle habituelle :

Notez que c'est aussi une fonction complexe, tout « jouet torsadé » est une fonction complexe:

La conception de la solution elle-même devrait ressembler à ceci :

S'il y a des parenthèses, ouvrez-les :

4) Sur le côté gauche, nous recueillons les termes dans lesquels il y a un "y" avec un trait. Sur le côté droit - nous transférons tout le reste :

5) A gauche, on sort la dérivée entre parenthèses :

6) Et selon la règle de proportion, nous déposons ces parenthèses dans le dénominateur du côté droit :

La dérivée a été trouvée. Prêt.

Il est intéressant de noter que toute fonction peut être réécrite implicitement. Par exemple, la fonction peut être réécrit comme ceci : . Et différencier selon l'algorithme que l'on vient de considérer. En fait, les expressions "fonction implicite" et "fonction implicite" diffèrent par une nuance sémantique. L'expression "fonction implicitement définie" est plus générale et correcte, - cette fonction est donnée implicitement, mais ici vous pouvez exprimer "y" et présenter la fonction explicitement. Les mots "fonction implicite" sont plus souvent compris comme une fonction implicite "classique", lorsque "y" ne peut pas être exprimé.

Il convient également de noter que "l'équation implicite" peut définir implicitement deux ou même plusieurs fonctions à la fois, ainsi, par exemple, l'équation d'un cercle définit implicitement les fonctions , , qui définissent les demi-cercles. Mais, dans le cadre de cet article, nous ne ferons pas de distinction particulière entre les termes et les nuances, c'était juste une information pour le développement général.

La deuxième façon de résoudre

Attention! Vous ne pouvez vous familiariser avec la deuxième méthode que si vous savez trouver en toute confiance dérivées partielles. Débutants à étudier analyse mathematique et des théières s'il vous plait ne lisez pas et sautez ce paragraphe, sinon la tête sera un gâchis complet.

Trouvez la dérivée de la fonction implicite de la deuxième manière.

Nous déplaçons tous les termes vers la gauche :

Et considérons une fonction de deux variables :

Alors notre dérivée peut être trouvée par la formule
Trouvons les dérivées partielles :

Ainsi:

La deuxième solution permet d'effectuer une vérification. Mais il n'est pas souhaitable de rédiger une version finale de la tâche pour lui, car les dérivées partielles sont maîtrisées plus tard, et un étudiant étudiant le sujet «Dérivée d'une fonction d'une variable» ne devrait pas connaître les dérivées partielles.

Regardons quelques exemples supplémentaires.

Exemple 2

Trouver la dérivée d'une fonction donnée implicitement

Nous accrochons des coups sur les deux parties:

On utilise les règles de linéarité :

Recherche de dérivées :

Développer toutes les parenthèses :

Nous transférons tous les termes avec sur le côté gauche, le reste - sur le côté droit :

Réponse finale:

Exemple 3

Trouver la dérivée d'une fonction donnée implicitement

Solution complète et échantillon de conception à la fin de la leçon.

Il n'est pas rare que des fractions apparaissent après différenciation. Dans de tels cas, les fractions doivent être éliminées. Regardons deux autres exemples.

Exemple 4

Trouver la dérivée d'une fonction donnée implicitement

Nous concluons les deux parties sous les traits et utilisons la règle de linéarité :

On différencie en utilisant la règle de différenciation d'une fonction complexe et la règle de différenciation du quotient :

Élargir les parenthèses :

Maintenant, nous devons nous débarrasser de la fraction. Cela peut être fait plus tard, mais il est plus rationnel de le faire tout de suite. Le dénominateur de la fraction est . Multiplier sur . Dans le détail, cela ressemblera à ceci :

Parfois, après différenciation, 2-3 fractions apparaissent. Si nous avions une fraction de plus, par exemple, alors l'opération devrait être répétée - multiplier chaque terme de chaque partie sur

Sur le côté gauche, nous le mettons hors parenthèses :

Réponse finale:

Exemple 5

Trouver la dérivée d'une fonction donnée implicitement

Ceci est un exemple à faire soi-même. La seule chose qu'il contient, avant de vous débarrasser de la fraction, vous devrez d'abord vous débarrasser de la structure à trois étages de la fraction elle-même. Solution complète et réponse à la fin de la leçon.

Dérivée d'une fonction définie paramétriquement

Ne forcez pas, dans ce paragraphe aussi, tout est assez simple. Vous pouvez écrire la formule générale d'une fonction donnée paramétriquement, mais, pour être clair, je vais immédiatement écrire exemple spécifique. Sous forme paramétrique, la fonction est donnée par deux équations : . Souvent, les équations ne sont pas écrites sous des accolades, mais séquentiellement :,.

La variable s'appelle un paramètre et peut prendre des valeurs de "moins l'infini" à "plus l'infini". Considérez, par exemple, la valeur et substituez-la dans les deux équations : . Ou humainement : « si x est égal à quatre, alors y est égal à un ». Vous pouvez marquer un point sur le plan de coordonnées, et ce point correspondra à la valeur du paramètre. De même, vous pouvez trouver un point pour n'importe quelle valeur du paramètre "te". Quant à la fonction "ordinaire", pour les Indiens d'Amérique d'une fonction paramétriquement donnée, tous les droits sont également respectés : on peut tracer un graphe, trouver des dérivées, etc. Au fait, s'il est nécessaire de construire un graphique d'une fonction donnée paramétriquement, vous pouvez utiliser mon programme.

Dans les cas les plus simples, il est possible de représenter explicitement la fonction. On exprime le paramètre de la première équation : - et on le substitue dans la seconde équation : . Le résultat est une fonction cubique ordinaire.

Dans les cas plus "graves", une telle astuce ne fonctionne pas. Mais cela n'a pas d'importance, car il existe une formule pour trouver la dérivée d'une fonction paramétrique :

On trouve la dérivée de "le joueur par rapport à la variable te":

Toutes les règles de différenciation et le tableau des dérivées sont valables, bien sûr, pour la lettre , donc, il n'y a pas de nouveauté dans le processus de recherche de dérivés. Remplacez mentalement tous les "x" du tableau par la lettre "te".

On trouve la dérivée de "x par rapport à la variable te":

Il ne reste plus qu'à substituer les dérivées trouvées dans notre formule :

Prêt. La dérivée, comme la fonction elle-même, dépend également du paramètre .

Quant à la notation, au lieu d'écrire dans la formule, on pourrait simplement l'écrire sans indice, puisqu'il s'agit de la dérivée « ordinaire » « par x ». Mais il y a toujours une variante dans la littérature, donc je ne m'écarterai pas de la norme.

Exemple 6

Nous utilisons la formule

DANS ce cas:

Ainsi:

Une caractéristique de la recherche de la dérivée d'une fonction paramétrique est le fait que à chaque étape, il est avantageux de simplifier au maximum le résultat. Ainsi, dans l'exemple considéré, lors de la recherche, j'ai ouvert les crochets sous la racine (bien que je n'aie peut-être pas fait cela). Il y a de grandes chances que lors du remplacement et dans la formule, beaucoup de choses soient bien réduites. Bien qu'il existe, bien sûr, des exemples avec des réponses maladroites.

Exemple 7

Trouver la dérivée d'une fonction donnée paramétriquement

Ceci est un exemple à faire soi-même.

Dans l'article Les problèmes typiques les plus simples avec une dérivée nous avons considéré des exemples dans lesquels il était nécessaire de trouver la dérivée seconde d'une fonction. Pour une fonction donnée paramétriquement, vous pouvez également trouver la dérivée seconde, et on la trouve par la formule suivante : . Il est bien évident que pour trouver la dérivée seconde, il faut d'abord trouver la dérivée première.

Exemple 8

Trouver les dérivées première et seconde d'une fonction donnée paramétriquement

Trouvons d'abord la dérivée première.
Nous utilisons la formule

Dans ce cas:

La fonction Z= f(x; y) est dite implicite si elle est donnée par l'équation F(x, y, z)=0 non résolue par rapport à Z. Trouvons les dérivées partielles de la fonction Z donnée implicitement. Pour ce faire, en remplaçant dans l'équation au lieu de Z la fonction f (x; y) on obtient l'identité F (x, y, f (x, y)) \u003d 0. Les dérivées partielles par rapport à x et y de la fonction, qui est identiquement égale à zéro, sont également égales à zéro.

F(x, y, f(x, y)) =
=0 (y est considéré comme constant)

F(x, y, f(x, y)) =
=0 (xconsidère constant)

Où
Et

Exemple: Trouver les dérivées partielles d'une fonction Z étant donné une équation
.

Ici F(x,y,z)=
;
;
;
. D'après les formules ci-dessus, on a :

Dérivée directionnelle

Soit une fonction de deux variables Z = f(x; y) donnée dans un voisinage de m.M (x, y). Considérez une direction déterminée par le vecteur unitaire
, Où
(voir fig.).

Sur une droite passant dans cette direction par le point M, on prend le point M 1 (
) de sorte que la longueur
le segment MM 1 est égal à
. L'incrément de la fonction f(M) est déterminé par la relation, où
liés par des relations. limite de rapport à
sera appelée la dérivée de la fonction
à ce point
vers et être désigné .

Si la fonction Z est dérivable en un point
, puis son incrément en ce point, en tenant compte des relations pour
peut s'écrire sous la forme suivante.

en divisant les deux parties par

et passage à la limite à
nous obtenons une formule pour la dérivée de la fonction Z \u003d f (x; y) dans la direction:

Pente

Considérons une fonction de trois variables
différenciable à un moment donné
.

Le gradient de cette fonction
au point M est appelé un vecteur dont les coordonnées sont respectivement égales aux dérivées partielles
à ce point. Le symbole utilisé pour désigner un gradient est
.
=
.

.Le gradient indique la direction de croissance la plus rapide de la fonction en un point donné.

Puisque le vecteur unitaire a des coordonnées (
), alors la dérivée directionnelle pour le cas d'une fonction de trois variables s'écrit sous la forme, c'est-à-dire a la formule du produit scalaire des vecteurs Et
. Réécrivons la dernière formule comme suit :

, Où - angle entre vecteur Et
. Parce que le
, alors il s'ensuit que la dérivée directionnelle de la fonction prend la valeur maximale à =0, c'est-à-dire lorsque la direction des vecteurs Et
correspondre. Où
.C'est-à-dire, en fait, le gradient de la fonction caractérise la direction et l'amplitude du taux maximal d'augmentation de cette fonction en un point.

Extremum d'une fonction de deux variables

Les concepts de max, min, extremum d'une fonction de deux variables sont similaires aux concepts correspondants d'une fonction d'une variable. Soit la fonction Z = f(x; y) définie dans un domaine D, etc. M
appartient à ce domaine. Point M
est appelé un point max de la fonction Z= f(x; y) s'il existe un tel δ-voisinage du point
, que pour chaque point de ce voisinage l'inégalité
. Le point min est défini de manière similaire, seul le signe de l'inégalité changera dans ce cas
. La valeur de la fonction au point max(min) est appelée le maximum (minimum). Le maximum et le minimum d'une fonction sont appelés extrema.

Conditions nécessaires et suffisantes pour un extremum

Théorème:(Conditions extrêmes nécessaires). Si au point M
fonction différentiable Z= f(x; y) a un extremum, alors ses dérivées partielles en ce point sont égales à zéro :
,
.

Preuve: fixant une des variables x ou y, on convertit Z= f(x; y) en une fonction à une variable, pour l'extremum de laquelle les conditions ci-dessus doivent être satisfaites. Géométriquement égal
Et
signifient qu'au point extremum de la fonction Z= f(x; y), le plan tangent à la surface représentant la fonction f(x, y)=Z est parallèle au plan OXY, car l'équation du plan tangent est Z=Z 0. Le point auquel les dérivées partielles du premier ordre de la fonction Z= f(x; y) sont égales à zéro, c'est-à-dire
,
, sont appelés le point stationnaire de la fonction. Une fonction peut avoir un extremum aux points où au moins une des dérivées partielles n'existe pas. Par exemple Z=|-
| a max à O(0,0) mais pas de dérivées à ce point.

Les points stationnaires et les points pour lesquels au moins une dérivée partielle n'existe pas sont appelés points critiques. Aux points critiques, la fonction peut avoir ou non un extremum. L'égalité à zéro des dérivées partielles est une condition nécessaire mais non suffisante à l'existence d'un extremum. Par exemple, lorsque Z=xy, le point O(0,0) est critique. Cependant, la fonction Z=xy ne contient pas d'extremum. (Parce que dans les trimestres I et III Z>0, et dans II et IV–Z<0). Таким образом для нахождения экстремумов функции в данной области необходимо подвергнуть каждую критическую точку функции дополнительному исследованию.

Théorème: (Condition suffisante pour les extrema). Soit en un point stationnaire
et un certain voisinage, la fonction f(x; y) a des dérivées partielles continues jusqu'au 2ème ordre inclus. Calculer en un point
valeurs
,
Et
. Dénoter

Si
, extrême au point
peut être ou ne pas être. Plus de recherche est nécessaire.

Ou en bref - la dérivée d'une fonction implicite. Qu'est-ce qu'une fonction implicite ? Comme mes cours sont pratiques, j'essaie d'éviter les définitions, les formulations de théorèmes, mais ici il conviendrait de le faire. Qu'est-ce qu'une fonction de toute façon ?

Une fonction d'une variable est la règle selon laquelle chaque valeur de la variable indépendante correspond à une et une seule valeur de la fonction.

La variable s'appelle variable indépendante ou argument.
La variable s'appelle variable dépendante ou fonction.

En gros, la lettre "y" dans ce cas est la fonction.

Jusqu'à présent, nous avons considéré des fonctions définies dans explicite former. Qu'est-ce que ça veut dire? Organisons un débriefing sur des exemples précis.

Considérez la fonction

Nous voyons qu'à gauche, nous avons un seul "y" (fonction), et à droite - seulement des x. c'est-à-dire la fonction explicitement exprimée en fonction de la variable indépendante .

Considérons une autre fonction :

Permettez-moi de vous présenter : - un exemple fonction implicite.

Et dans cette leçon nous allons apprendre à trouver la dérivée d'une fonction donnée implicitement. Ce n'est pas si dur! Toutes les règles de différenciation, le tableau des dérivées des fonctions élémentaires restent en vigueur. La différence réside dans un point particulier, que nous allons examiner maintenant.

Oui, et je vais vous dire la bonne nouvelle - les tâches décrites ci-dessous sont effectuées selon un algorithme plutôt rigide et clair sans pierre devant trois pistes.

Exemple 1

1) A la première étape, on accroche des traits sur les deux parties :

2) On utilise les règles de linéarité de la dérivée (les deux premières règles de la leçon Comment trouver la dérivée ? Exemples de solutions):

3) Différenciation directe.
Comment différencier et complètement compréhensible. Que faire là où il y a des "jeux" sous les coups ?

Juste pour faire honte la dérivée d'une fonction est égale à sa dérivée: .

Comment différencier

Ici nous avons fonction complexe. Pourquoi? Il semble que sous le sinus il n'y ait qu'une seule lettre "Y". Mais, le fait est qu'il n'y a qu'une seule lettre "y" - EST UNE FONCTION EN SOI(voir la définition au début de la leçon). Ainsi, le sinus est une fonction externe, - une fonction interne. On utilise la règle de différentiation d'une fonction complexe :

Le produit est différentiable selon la règle habituelle :

Veuillez noter que - est également une fonction complexe, tout "jeu avec des cloches et des sifflets" est une fonction complexe:

La conception de la solution elle-même devrait ressembler à ceci :

S'il y a des parenthèses, ouvrez-les :

4) Sur le côté gauche, nous recueillons les termes dans lesquels il y a un "y" avec un trait. Sur le côté droit - nous transférons tout le reste :

5) A gauche, on sort la dérivée entre parenthèses :

6) Et selon la règle de proportion, nous déposons ces parenthèses dans le dénominateur du côté droit :

La dérivée a été trouvée. Prêt.

Il est intéressant de noter que toute fonction peut être réécrite implicitement. Par exemple, la fonction peut être réécrite comme ceci : . Et différencier selon l'algorithme que l'on vient de considérer. En fait, les expressions "fonction implicite" et "fonction implicite" diffèrent par une nuance sémantique. L'expression "fonction implicite" est plus générale et correcte - cette fonction est implicite, mais ici vous pouvez exprimer "y" et présenter la fonction explicitement. L'expression "fonction implicite" désigne une fonction implicite "classique", lorsque "y" ne peut pas être exprimé.

La deuxième façon de résoudre

Attention! Vous ne pouvez vous familiariser avec la deuxième méthode que si vous savez trouver en toute confiance des dérivées partielles. Débutants pour étudier le calcul et les nuls, veuillez ne pas lire et sauter ce paragraphe, sinon votre tête sera un gâchis complet.

Trouvez la dérivée de la fonction implicite de la deuxième manière.

Nous déplaçons tous les termes vers la gauche :

Et considérons une fonction de deux variables :

Alors notre dérivée peut être trouvée par la formule

Trouvons les dérivées partielles :

Ainsi:

Regardons quelques exemples supplémentaires.

Exemple 2

Trouver la dérivée d'une fonction donnée implicitement

Nous accrochons des coups sur les deux parties:

On utilise les règles de linéarité :

Recherche de dérivées :

Développer toutes les parenthèses :

Nous transférons tous les termes avec sur le côté gauche, le reste - sur le côté droit :

Sur le côté gauche, nous le mettons hors parenthèses :

Réponse finale:

Exemple 3

Trouver la dérivée d'une fonction donnée implicitement

Solution complète et échantillon de conception à la fin de la leçon.

Il n'est pas rare que des fractions apparaissent après différenciation. Dans de tels cas, les fractions doivent être éliminées. Considérons deux autres exemples : chaque terme de chaque partie

Exemple 5

Trouver la dérivée d'une fonction donnée implicitement

Sections

Fonctions implicites et leurs dérivées. Différenciation d'une fonction implicite. Dérivée d'une fonction définie paramétriquement

Dérivée du premier ordre

Preuve

Dérivés d'ordres supérieurs

Exemples

Exemple 1

Solution Formule 2

Solution de la seconde manière

Exemple 2

Exemple 3

La dérivée d'une fonction donnée implicitement. Dérivée d'une fonction définie paramétriquement

Dérivée d'une fonction définie implicitement

Dérivée d'une fonction définie paramétriquement

Dérivée directionnelle

Pente

Extremum d'une fonction de deux variables

Conditions nécessaires et suffisantes pour un extremum

La deuxième façon de résoudre

La dérivée d'une fonction donnée implicitement.
Dérivée d'une fonction définie paramétriquement