Un signe nécessaire et suffisant d’un extremum. Extréma d'une fonction. Un signe nécessaire d’un extremum. Un signe suffisant d'un extremum utilisant les dérivées première et seconde. Conditions suffisantes pour qu’une fonction augmente et diminue

Des informations très importantes sur le comportement d’une fonction sont fournies par les intervalles croissants et décroissants. Les trouver fait partie du processus d’examen de la fonction et de tracé du graphique. De plus, les points extrêmes auxquels il y a un changement d'augmentation à diminution ou de diminution à augmentation font l'objet d'une attention particulière lors de la recherche des valeurs les plus grandes et les plus petites de la fonction sur un certain intervalle.

Dans cet article nous donnerons les définitions nécessaires, formulerons preuves suffisantes l'augmentation et la diminution d'une fonction sur un intervalle et les conditions suffisantes pour l'existence d'un extremum, nous appliquerons toute cette théorie à la résolution d'exemples et de problèmes.

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Fonction croissante et décroissante sur un intervalle.

Définition d'une fonction croissante.

La fonction y=f(x) augmente sur l'intervalle X si pour tout et l’inégalité perdure. En d’autres termes, une valeur d’argument plus grande correspond à une valeur de fonction plus grande.

Définition d'une fonction décroissante.

La fonction y=f(x) décroît sur l'intervalle X si pour tout et l’inégalité persiste . En d’autres termes, une valeur plus grande de l’argument correspond à une valeur plus petite de la fonction.

REMARQUE : si la fonction est définie et continue aux extrémités de l'intervalle croissant ou décroissant (a;b), c'est-à-dire en x=a et x=b, alors ces points sont inclus dans l'intervalle croissant ou décroissant. Cela ne contredit pas les définitions d'une fonction croissante et décroissante sur l'intervalle X.

Par exemple, à partir des propriétés du principal fonctions élémentaires on sait que y=sinx est défini et continu pour toutes les valeurs réelles de l'argument. Par conséquent, à partir de l’augmentation de la fonction sinus sur l’intervalle, nous pouvons affirmer qu’elle augmente sur l’intervalle.

Points extremum, extremum d'une fonction.

Le point s'appelle point maximum fonction y=f(x) si l'inégalité est vraie pour tout x dans son voisinage. La valeur de la fonction au point maximum est appelée maximum de la fonction et désignent .

Le point s'appelle point minimum fonction y=f(x) si l'inégalité est vraie pour tout x dans son voisinage. La valeur de la fonction au point minimum est appelée fonction minimale et désignent .

Le voisinage d'un point s'entend comme l'intervalle , où est un nombre positif suffisamment petit.

Les points minimum et maximum sont appelés points extrêmes, et les valeurs de fonction correspondant aux points extremum sont appelées extrema de la fonction.

Ne confondez pas les extrema d'une fonction avec le plus grand et valeur la plus basse fonctions.

Sur la première photo valeur la plus élevée la fonction sur le segment est atteinte au point maximum et est égale au maximum de la fonction, et dans le deuxième chiffre - la valeur maximale de la fonction est atteinte au point x=b, qui n'est pas le point maximum.

Conditions suffisantes pour les fonctions croissantes et décroissantes.

Sur la base de conditions (signes) suffisantes pour l'augmentation et la diminution d'une fonction, des intervalles d'augmentation et de diminution de la fonction sont trouvés.

Voici les formulations des signes des fonctions croissantes et décroissantes sur un intervalle :

• si la dérivée de la fonction y=f(x) est positive pour tout x de l'intervalle X, alors la fonction augmente de X ;
• si la dérivée de la fonction y=f(x) est négative pour tout x de l'intervalle X, alors la fonction décroît sur X.

Ainsi, pour déterminer les intervalles d'augmentation et de diminution d'une fonction, il faut :

Considérons un exemple de recherche des intervalles de fonctions croissantes et décroissantes pour expliquer l'algorithme.

Exemple.

Trouvez les intervalles de fonction croissante et décroissante.

Solution.

La première étape consiste à trouver le domaine de définition de la fonction. Dans notre exemple, l'expression au dénominateur ne doit pas aller à zéro, donc .

Passons à la recherche de la dérivée de la fonction :

Pour déterminer les intervalles d'augmentation et de diminution d'une fonction sur la base d'un critère suffisant, on résout des inégalités sur le domaine de définition. Utilisons une généralisation de la méthode des intervalles. La seule vraie racine du numérateur est x = 2, et le dénominateur tend vers zéro à x=0. Ces points divisent le domaine de définition en intervalles dans lesquels la dérivée de la fonction conserve son signe. Marquons ces points sur la droite numérique. On note classiquement par plus et moins les intervalles auxquels la dérivée est positive ou négative. Les flèches ci-dessous montrent schématiquement l'augmentation ou la diminution de la fonction sur l'intervalle correspondant.

Ainsi, Et .

Au point La fonction x=2 est définie et continue, elle doit donc être ajoutée aux intervalles croissants et décroissants. Au point x=0 la fonction n'est pas définie, nous n'incluons donc pas ce point dans les intervalles requis.

Nous présentons un graphique de la fonction pour comparer les résultats obtenus avec celle-ci.

Répondre:

La fonction augmente avec , diminue sur l'intervalle (0;2] .

Conditions suffisantes pour l’extremum d’une fonction.

Pour trouver les maxima et les minima d'une fonction, vous pouvez bien sûr utiliser l'un des trois signes d'extremum, si la fonction satisfait à leurs conditions. Le plus courant et le plus pratique est le premier d’entre eux.

Première condition suffisante pour un extremum.

Soit la fonction y=f(x) dérivable au -voisinage du point et continue au point lui-même.

Autrement dit:

Algorithme pour trouver des points extrêmes basés sur le premier signe d'extremum d'une fonction.

• On retrouve le domaine de définition de la fonction.
• On retrouve la dérivée de la fonction sur le domaine de définition.
• On détermine les zéros du numérateur, les zéros du dénominateur de la dérivée et les points du domaine de définition dans lequel la dérivée n'existe pas (tous les points listés sont appelés points d'extremum possibles, en passant par ces points, la dérivée peut simplement changer de signe).
• Ces points divisent le domaine de définition de la fonction en intervalles dans lesquels la dérivée conserve son signe. On détermine les signes de la dérivée sur chacun des intervalles (par exemple, en calculant la valeur de la dérivée d'une fonction en tout point d'un intervalle particulier).
• Nous sélectionnons les points auxquels la fonction est continue et, par lesquels la dérivée change de signe - ce sont les points extremum.

Il y a trop de mots, regardons mieux quelques exemples de recherche de points extremum et d'extremum d'une fonction en utilisant la première condition suffisante pour l'extremum d'une fonction.

Exemple.

Trouvez les extrema de la fonction.

Solution.

Le domaine d’une fonction est l’ensemble des nombres réels sauf x=2.

Trouver la dérivée :

Les zéros du numérateur sont les points x=-1 et x=5, le dénominateur passe à zéro en x=2. Marquez ces points sur l’axe des nombres

On détermine les signes de la dérivée à chaque intervalle ; pour ce faire, on calcule la valeur de la dérivée en n'importe lequel des points de chaque intervalle, par exemple aux points x=-2, x=0, x=3 et x=6.

Par conséquent, sur l'intervalle la dérivée est positive (sur la figure nous mettons un signe plus sur cet intervalle). De même

Par conséquent, nous mettons un moins au-dessus du deuxième intervalle, un moins au-dessus du troisième et un plus au-dessus du quatrième.

Il reste à choisir les points auxquels la fonction est continue et sa dérivée change de signe. Ce sont les points extrêmes.

Au point x=-1 la fonction est continue et la dérivée change de signe du plus au moins, donc, d'après le premier signe de l'extremum, x=-1 est le point maximum, le maximum de la fonction lui correspond .

Au point x=5 la fonction est continue et la dérivée change de signe de moins à plus, donc x=-1 est le point minimum, le minimum de la fonction lui correspond .

Illustration graphique.

Répondre:

ATTENTION : le premier critère suffisant pour un extremum ne nécessite pas de différentiabilité de la fonction au point lui-même.

Exemple.

Trouver les points extremum et extremum de la fonction .

Solution.

Le domaine d’une fonction est l’ensemble des nombres réels. La fonction elle-même peut s’écrire :

Trouvons la dérivée de la fonction :

Au point x=0 la dérivée n'existe pas, puisque les valeurs des limites unilatérales ne coïncident pas lorsque l'argument tend vers zéro :

En même temps, la fonction d'origine est continue au point x=0 (voir la section sur l'étude de la fonction pour la continuité) :

Trouvons la valeur de l'argument pour lequel la dérivée passe à zéro :

Marquons tous les points obtenus sur la droite numérique et déterminons le signe de la dérivée sur chacun des intervalles. Pour ce faire, nous calculons les valeurs de la dérivée en des points arbitraires de chaque intervalle, par exemple à x=-6, x=-4, x=-1, x=1, x=4, x=6.

C'est,

Ainsi, selon le premier signe d'un extremum, les points minimum sont , le maximum de points est .

On calcule les minima correspondants de la fonction

On calcule les maxima correspondants de la fonction

Illustration graphique.

Répondre:

.

Le deuxième signe d'un extremum d'une fonction.

Comme vous pouvez le constater, ce signe d'un extremum d'une fonction nécessite l'existence d'une dérivée au moins au second ordre en ce point.

Pour examiner le comportement de la fonction, vous devez :

2) Égalisez cette dérivée à zéro et résolvez l'équation résultante
Ses racines
sont des points stationnaires.

3) Soumettre les points fixes à des recherches complémentaires, pour cela les tracer sur l'axe des nombres et déterminer les signes
sur les zones résultantes. Connaissant ces signes, vous pouvez déterminer la nature de chaque point stationnaire .
Si, en passant par un point stationnaire, la dérivée
change de signe du plus au moins, alors le point stationnaire est le point maximum. Si, en passant par un point stationnaire, le signe de la dérivée passe du moins au plus, alors le point stationnaire est un point minimum. Si, en passant par un point stationnaire, la dérivée

ne change pas de signe, alors le point stationnaire n’est pas un point extremum.

Parfois, lors de la recherche d'extrema, d'autres conditions suffisantes sont utilisées, dans lesquelles la nature du point extremum est déterminée par le signe de la dérivée seconde au point stationnaire. Théorème (deuxième condition suffisante pour l'existence d'un extremum). --- point stationnaire de la fonction
(c'est Et a une dérivée seconde , continu au voisinage du point

.Alors
1) si , Que ;

--- point maximum de la fonction
1) si 2) si

--- point minimum de la fonction.

Exemple 3. Trouvez l'extremum de la fonction.
Solution. Depuis
, il suffit de considérer uniquement l'intervalle de 0 à
. Nous trouverons
(c'est
:

,
.

Équivalence
à zéro, on trouve des points stationnaires :

ou
. Entre
il y a deux racines de cette équation :
(c'est
. Définissons le signe
à ces points :
, ainsi
---point maximum :

, ainsi
---point minimum.

Etude des fonctions de convexité et de concavité. Points d'inflexion

Considérons la courbe Г sur le plan, qui est le graphique de la fonction différentiable
.

Définition 1. Une courbe est dite convexe vers le haut (convexe) sur (a,b) si sur cet intervalle tous les points de la courbe ne se trouvent pas plus haut qu'aucune de ses tangentes.

Définition 2. La courbe est appelée convexe vers le bas (concave) à
, si sur cet intervalle tous les points de la courbe ne se trouvent pas plus bas qu'aucune de ses tangentes.

La direction de convexité d’une courbe est une caractéristique importante de sa forme. Établissons les critères à l'aide desquels nous déterminons les intervalles auxquels le graphique de la fonction est convexe (concave). Un tel signe est par exemple le signe de la dérivée seconde de la fonction
(si cela existe).

Théorème 1.
dérivée seconde de la fonction est négative, alors la courbe
convexe vers le haut sur cet intervalle.

Théorème 2. Si en tous points de l'intervalle
dérivée seconde de la fonction
est positive, alors la courbe
à cet intervalle, il est concave (convexe vers le bas).

Exemple 1. Trouver les intervalles convexes-concaves d'une fonction

Solution. À

par conséquent, la fonction de ces convexe; à

, donc pour ces la fonction est concave.

Définition 3. Le point séparant la partie convexe de la courbe de la partie concave est appelé point d’inflexion.

Il est évident qu'au point d'inflexion la tangente, si elle existe, coupe la courbe, puisque d'un côté de ce point la courbe se trouve sous la tangente, et de l'autre côté, au-dessus d'elle.

Théorème 3. (Condition nécessaire à la flexion). Si il y a un point d'inflexion de la courbe
et il a une dérivée seconde
Que
.

D'où il s'ensuit qu'il est nécessaire de vérifier l'inflexion uniquement dans les points où la dérivée seconde est égale à zéro ou n'existe pas.

Théorème 4. Si, en passant par un point dérivée seconde
change de signe, puis le point de la courbe
en abscisse il y a un point d’inflexion.

Exemple 2. Trouver les points d'inflexion de la courbe
.

Solution. Plage de valeurs acceptables :
.

Trouver des dérivés :

;
.

Dérivée seconde ne disparaît nulle part, mais quand
n'existe pas.

Définissons les signes
à gauche et à droite du point
:

à
, donc sur l'intervalle
la fonction est concave ;

à
, donc sur l'intervalle
la fonction est convexe.

Ainsi, quand
il y a un point d'inflexion
.

Théorème (la première condition suffisante pour un extremum). Soit la fonction continue en un point et la dérivée change de signe lorsqu'elle passe par le point. Vient ensuite le point d'extremum : maximum si le signe passe de « + » à « – », et minimum si de « – » à « + ».

Preuve. Laissez à et à .

D'après le théorème de Lagrange , où .Alors si , alors ; c'est pourquoi , ainsi, , ou . Si, alors ; c'est pourquoi , ainsi, ou .

Ainsi, il est prouvé qu'en tout point proche de , c'est-à-dire – le point maximum de la fonction.

La preuve du théorème pour le point minimum s'effectue de la même manière. Le théorème est prouvé.

Si la dérivée ne change pas de signe en passant par un point, alors il n'y a pas d'extremum au point.

Théorème (deuxième condition suffisante pour extremum). Soit la dérivée d'une fonction deux fois différentiable en un point égale à 0 (), et sa dérivée seconde en ce point soit différente de zéro () et continue dans un certain voisinage du point. C’est alors le point extrême ; c'est le point minimum et c'est le point maximum.

Un algorithme pour trouver les extrema d'une fonction en utilisant la première condition suffisante pour un extremum.

1. Trouvez la dérivée.

2. Trouvez les points critiques de la fonction.

3. Recherchez le signe de la dérivée à gauche et à droite de chaque point critique et tirez une conclusion sur la présence d'extrema.

4. Trouvez les valeurs extrêmes de la fonction.

Un algorithme pour trouver les extrema d'une fonction en utilisant la deuxième condition suffisante pour un extremum.

1. Trouvez la dérivée.

2. Trouvez la dérivée seconde.

3. Trouvez les points auxquels .

4. Déterminez le signe à ces points.

5. Tirer une conclusion sur l'existence et la nature des extrema.

6. Trouvez les valeurs extrêmes de la fonction.

Exemple. Considérons . Nous trouverons . Ensuite, à et à . Etudions les points critiques en utilisant la première condition suffisante pour l'extremum. Nous avons cela pour et pour, et pour. Aux points et la dérivée change de signe : at de « + » à « – » et at at de « – » à « + ». Cela signifie qu'en un point la fonction a un maximum, et en un point elle a un minimum ; . A titre de comparaison, nous étudions les points critiques en utilisant la deuxième condition suffisante pour l'extremum. Trouvons la dérivée seconde. Nous avons : , ce qui signifie qu'à un moment donné la fonction a un maximum et à un moment donné elle a un minimum.

Le concept d'asymptote d'un graphe de fonctions. Asymptotes horizontales, obliques et verticales. Exemples.

Définition. Une asymptote du graphique d'une fonction est une ligne droite qui a la propriété que la distance d'un point à cette ligne droite tend vers zéro lorsque le point du graphique s'éloigne indéfiniment de l'origine.

Il existe des asymptotes verticales (Fig. 6.6 a), horizontales (Fig. 6.6 b) et inclinées (Fig. 6.6 c).

Sur la fig. 6.6a est montré asymptote verticale.

Sur la figure 6.6b - asymptote horizontale.

Sur la fig. 6,6 V – asymptote oblique.

Théorème 1. Aux points d'asymptotes verticales (par exemple, ) la fonction subit une discontinuité, sa limite à gauche et à droite du point est égale à :

Théorème 2. Laissez la fonction être définie pour suffisamment grande et il y a des limites finies

ET .

Alors la droite est l’asymptote oblique du graphique de la fonction.

Théorème 3. Laissez la fonction être définie pour suffisamment grande et il y a une limite de la fonction. Alors la droite est l’asymptote horizontale du graphique de la fonction.

L'asymptote horizontale est un cas particulier de l'asymptote oblique, lorsque . Par conséquent, si dans une direction une courbe a une asymptote horizontale, alors dans cette direction il n'y en a pas d'inclinée, et vice versa.

Exemple. Trouvez les asymptotes du graphique de la fonction.

Solution. Au point où la fonction n’est pas définie, trouvons les limites de la fonction à gauche et à droite du point :

; .

C’est donc une asymptote verticale.

Régime général recherche de fonctions et construction de leurs graphiques. Exemple.

Schéma général de recherche fonctionnelle et le tracer.

1. Trouvez le domaine de définition.

2. Étudiez la fonction de régularité - impair.

3. Recherchez les asymptotes verticales et les points de discontinuité (le cas échéant).

4. Étudier le comportement d'une fonction à l'infini ; trouver les asymptotes horizontales et obliques (le cas échéant).

5. Trouver les extrema et les intervalles de monotonie de la fonction.

6. Trouvez les points d'intersection du graphique avec les axes de coordonnées et, si nécessaire pour la construction schématique du graphique, trouvez des points supplémentaires.

7. Dessinez schématiquement un graphique.

Schéma détailléétudes fonctionnelles et tracer .

1. Trouver le domaine de définition .

un. Si y a un dénominateur, il ne doit pas atteindre 0.

b. L'expression radicale d'une racine de degré pair doit être non négative (supérieure ou égale à zéro).

c. L'expression du sous-log doit être positive.

2. Étudiez la fonction de parité - bizarrerie.

un. Si , alors la fonction est paire.

b. Si , alors la fonction est impaire.

c. Si ni , ni , alors est une fonction de forme générale.

3. Recherchez les asymptotes verticales et les points de discontinuité (le cas échéant).

un. Une asymptote verticale ne peut se produire qu'à la limite du domaine de définition de la fonction.

b. Si ( ou ), alors est l'asymptote verticale du graphique.

4. Étudier le comportement d'une fonction à l'infini ; trouver les asymptotes horizontales et obliques (le cas échéant).

un. Si , alors est l’asymptote horizontale du graphique.

b. Si et , alors la ligne droite est l’asymptote inclinée du graphique.

c. Si les limites indiquées aux paragraphes a, b n'existent que lorsque unilatéral tend vers l'infini ( ou ), alors les asymptotes résultantes seront unilatérales : gaucher à et droitier quand .

5. Trouver les extrema et les intervalles de monotonie de la fonction.

un. Trouvez la dérivée.

b. Trouver les points critiques (ces points où ou où n'existe pas).

c. Sur l'axe des nombres, marquez le domaine de définition et ses points critiques.

d. Sur chacun des intervalles numériques résultants, déterminez le signe de la dérivée.

e. Sur la base des signes de la dérivée, tirez une conclusion sur la présence d'extrema dans y et leur type.

f. Trouvez des valeurs extrêmes.

g. Sur la base des signes de la dérivée, tirez des conclusions sur l'augmentation et la diminution.

6. Trouvez les points d'intersection du graphique avec les axes de coordonnées et, si nécessaire pour le tracé schématique du graphique, trouvez des points supplémentaires.

un. Afin de trouver les points d'intersection du graphique avec l'axe, il est nécessaire de résoudre l'équation. Les points où se trouvent des zéros seront les points d'intersection du graphique avec l'axe.

b. Le point d'intersection du graphique avec l'axe ressemble à . Il n'existe que si le point est dans le domaine de la fonction.

8. Dessinez schématiquement un graphique.

un. Construire un système de coordonnées et des asymptotes.

b. Marquez les points extrêmes.

c. Marquez les points d'intersection du graphique avec les axes de coordonnées.

d. Construire schématiquement un graphe pour qu'il passe par les points marqués et se rapproche des asymptotes.

Exemple. Explorez la fonction et construisez schématiquement son graphique.

2. – fonction de forme générale.

3. Puisque et , alors les droites et sont des asymptotes verticales ; les points sont des points d'arrêt. , quand n'est pas inclus dans le domaine de définition de la fonction

Pour trouver les maxima et les minima d’une fonction, vous pouvez utiliser l’un des trois signes suffisants d’un extremum. Bien que le plus courant et le plus pratique soit le premier.

Première condition suffisante pour un extremum.

Laissez la fonction y = f(x) est différentiable au voisinage du point, et est continue au point lui-même. Alors

Autrement dit:

Algorithme.

• On retrouve le domaine de définition de la fonction.

On retrouve la dérivée de la fonction sur le domaine de définition.

On détermine les zéros du numérateur, les zéros du dénominateur de la dérivée et les points du domaine de définition auxquels la dérivée n'existe pas (ces points sont appelés points d'extremum possibles, en passant par ces points, la dérivée peut simplement changer de signe).

Ces points divisent le domaine de définition de la fonction en intervalles dans lesquels la dérivée conserve son signe. On détermine les signes de la dérivée sur chacun des intervalles (par exemple, en calculant la valeur de la dérivée d'une fonction en tout point d'un intervalle particulier).

On sélectionne les points auxquels la fonction est continue et, par lesquels la dérivée change de signe.

Exemple. Trouvez les extrema de la fonction.
Solution.
Le domaine d’une fonction est l’ensemble des nombres réels sauf x = 2.
Trouver la dérivée :

Les zéros du numérateur sont des points x = -1 Et x = 5, le dénominateur tend vers zéro à x = 2. Marquez ces points sur l’axe des nombres

On détermine les signes de la dérivée à chaque intervalle ; pour ce faire, on calcule la valeur de la dérivée en l'un des points de chaque intervalle, par exemple aux points x = -2, x = 0, x = 3 Et x=6.

Par conséquent, sur l'intervalle la dérivée est positive (sur la figure nous mettons un signe plus sur cet intervalle). De même

Par conséquent, nous mettons un moins au-dessus du deuxième intervalle, un moins au-dessus du troisième et un plus au-dessus du quatrième.

Il reste à choisir les points auxquels la fonction est continue et sa dérivée change de signe. Ce sont les points extrêmes.
Au point x = -1 la fonction est continue et la dérivée change de signe du plus au moins donc, selon le premier signe d'un extremum, x = -1 est le point maximum ; le maximum de la fonction lui correspond.
Au point x = 5 la fonction est continue et la dérivée change de signe de moins à plus, donc, x = -1 est le point minimum ; le minimum de la fonction lui correspond.
Illustration graphique.

Répondre: .

Le deuxième signe suffisant d'un extremum d'une fonction.
Laisser

si , alors est le point minimum ;

si , alors est le point maximum.

Comme vous pouvez le constater, ce critère nécessite l'existence d'une dérivée au moins jusqu'au second ordre au point.
Exemple. Trouvez les extrema de la fonction.
Solution.
Commençons par le domaine de définition :

Différencions la fonction d'origine :

La dérivée tend vers zéro à x = 1, c’est-à-dire qu’il s’agit d’un point d’extremum possible.
Nous trouvons la dérivée seconde de la fonction et calculons sa valeur à x = 1:De plus,

La fonction y = f(x) est appelée croissant (décroissant) dans un certain intervalle, si pour x 1< x 2 выполняется неравенство (f(x 1) < f (x 2) (f(x 1) >f(x2)).

Si la fonction différentiable y = f(x) augmente (diminue) sur un intervalle, alors sa dérivée sur cet intervalle f " (x) > 0

(f" (x)< 0).

Point xo appelé point maximum local (minimum) fonction f(x), s'il existe un voisinage du point xo, pour tous les points dont l'inégalité f(x) ≤ f(x о) (f(x) ≥ f(x о)) est vraie.

Les points maximum et minimum sont appelés points extrêmes, et les valeurs de la fonction en ces points sont ses extrêmes.

Conditions préalables extrême. Si le point xo est un point extremum de la fonction f(x), alors soit f " (x o) = 0, soit f (x o) n'existe pas. De tels points sont appelés critique, et la fonction elle-même est définie au point critique. Parmi ses points critiques, il faut chercher les extrema d’une fonction.

La première condition suffisante. Laisser xo- point critique. Si f "(x) lors du passage par un point xo change le signe plus en moins, puis au point xo la fonction a un maximum, sinon elle a un minimum. Si, en passant par le point critique, la dérivée ne change pas de signe, alors au point xo il n'y a pas d'extrême.

Deuxième condition suffisante. Soit la fonction f(x) avoir une dérivée
f "(x) à proximité du point xo et la dérivée seconde au point lui-même xo. Si f"(x o) = 0, >0 (<0), то точка xo est le point minimum (maximum) local de la fonction f(x). Si =0, alors vous devez soit utiliser la première condition suffisante, soit utiliser des dérivées supérieures.

Sur un segment, la fonction y = f(x) peut atteindre sa valeur minimale ou maximale soit aux points critiques, soit aux extrémités du segment.

Étudier les conditions et tracer des graphiques.

Trouver le domaine d'une fonction

Trouver les points d'intersection du graphique avec les axes de coordonnées

Trouver les intervalles du signe de constance

Examiner l'uniformité, l'étrangeté

Trouver les asymptotes du graphique d'une fonction

Trouver les intervalles de monotonie d'une fonction

Trouver les extrema de la fonction

Trouver des intervalles de convexité et des points d'inflexion

Asymptotes des graphiques de fonctions. Schéma général d'étude et de tracé de graphiques de fonctions. Exemples.

Verticale

Asymptote verticale - une ligne droite, soumise à l'existence d'une limite .

En règle générale, lors de la détermination de l'asymptote verticale, ils recherchent non pas une limite, mais deux limites unilatérales (gauche et droite). Ceci est fait afin de déterminer comment la fonction se comporte lorsqu'elle s'approche de l'asymptote verticale depuis différentes directions. Par exemple:

Remarque : faites attention aux signes de l'infini dans ces égalités.

[modifier]Horizontal

Asymptote horizontale - une ligne droite, sous réserve de l'existence d'une limite

.

[modifier] Oblique

Asymptote oblique - une ligne droite, soumise à l'existence de limites

Exemple d'asymptote oblique

1.

Remarque : une fonction ne peut pas avoir plus de deux asymptotes obliques (horizontales) !

Remarque : Si au moins une des deux limites mentionnées ci-dessus n'existe pas (ou est égale à ), alors l'asymptote oblique en (ou ) n'existe pas !

Relation entre les asymptotes obliques et horizontales

Si lors du calcul de la limite , alors il est évident que l'asymptote oblique coïncide avec l'asymptote horizontale. Quel est le lien entre ces deux types d’asymptotes ?

Le truc, c'est que que l'asymptote horizontale est un cas particulier de l'obliqueà , et des commentaires ci-dessus, il s'ensuit que

1. La fonction a soit une seule asymptote oblique, soit une asymptote verticale, soit une oblique et une verticale, soit deux obliques, soit deux verticales, ou n'a aucune asymptote du tout.

2. L'existence des asymptotes indiquées au paragraphe 1.) est directement liée à l'existence des limites correspondantes.

Graphique d'une fonction avec deux asymptotes horizontales

]Trouver des asymptotes

L'ordre de recherche des asymptotes

1. Trouver des asymptotes verticales.

2. Trouver deux limites

3. Trouver deux limites :

si au point 2.), alors , et la limite est recherchée à l'aide de la formule de l'asymptote horizontale, .