Trouvez toutes les racines rationnelles du polynôme. Théorème sur les racines rationnelles d'un polynôme. Racines rationnelles de polynômes à coefficients entiers. Schéma Horner
Laisser
- polynôme de degré n ≥ 1
d'une variable réelle ou complexe z à coefficients réels ou complexes a i. Acceptons le théorème suivant sans preuve.
Théorème 1
Équation Pn (z) = 0 a au moins une racine.
Démontrons le lemme suivant.
Lemme 1
Soit Pn (z)- polynôme de degré n, z 1
- racine de l'équation :
Pn (z 1) = 0.
Alors P n (z) peut être représenté de la seule manière sous la forme :
Pn (z) = (z - z 1) P n-1 (z),
où Pn- 1(z)- polynôme de degré n - 1
.
Preuve
Pour le prouver, on applique le théorème (voir Division et multiplication d'un polynôme par un polynôme par un coin et une colonne), selon lequel pour deux polynômes quelconques P n (z) et Qk (z), degrés n et k, avec n ≥ k, il existe une représentation unique sous la forme :
Pn (z) = P n-k (z) Q k (z) + U k-1 (z),
où P n-k (z)- polynôme de degré n-k, U k- 1(z)- polynôme de degré non supérieur à k- 1
.
Posons k = 1
, Qk (z) = z - z 1, Alors
Pn (z) = (z - z 1 ) P n-1 (z) + c,
où c est une constante. Remplaçons ici z = z 1
et prendre en compte que P n (z 1) = 0:
Pn (z 1 ) = (z 1 - z 1 ) P n-1 (z 1 ) + c;
0 = 0 + c.
Donc c = 0
. Alors
Pn,
Q.E.D.
Factoriser un polynôme
Ainsi, d'après le théorème 1, le polynôme P n (z) a au moins une racine. Notons-le par z 1
,PN (z 1) = 0. Ensuite, d’après le lemme 1 :
Pn (z) = (z - z 1 ) P n-1 (z).
De plus, si n > 1
, alors le polynôme P n- 1(z) a également au moins une racine, que nous notons z 2
,Pn- 1 (z 2) = 0. Alors
Pn- 1 (z) = (z - z 2 ) P n-2 (z);
Pn (z) = (z - z 1 )(z - z 2 ) P n-2 (z).
En poursuivant ce processus, nous arrivons à la conclusion qu'il existe n nombres z 1 , z 2 , ... , z n tel que
Pn (z) = (z - z 1 )(z - z 2 ) ... (z - z n ) P 0 (z).
Mais P 0(z)- c'est une constante. En égalant les coefficients de z n, nous constatons qu'il est égal à a n. En conséquence, on obtient la formule de factorisation d'un polynôme :
(1)
Pn (z) = une n (z - z 1 )(z - z 2 ) ... (z - z n ).
Les nombres z i sont les racines du polynôme P n (z).
En général, tous les z ne sont pas inclus dans (1)
, sont différents. Parmi eux, il peut y avoir les mêmes valeurs. Puis factoriser le polynôme (1)
peut s'écrire sous la forme :
(2)
Pn (z) = a n (z - z 1 ) n 1 (z - z 2 ) n 2 ... (z - z k ) n k;
.
Ici z je ≠ z j pour je ≠ j. Si n je = 1
, Que racine z je appelé simple. Il entre en factorisation sous la forme (z-z je). Si n je > 1
, Que racine z je appelé racine multiple de multiplicité n je. Il entre en factorisation comme produit de n je facteurs premiers : (z-z je )(z-z je ) ... (z-z je ) = (z-z je ) n je.
Polynômes à coefficients réels
Lemme 2
Si est une racine complexe d'un polynôme à coefficients réels, , alors le nombre conjugué complexe est également une racine du polynôme, .
Preuve
En effet, si , et les coefficients du polynôme sont des nombres réels, alors .
Ainsi, les racines complexes entrent dans la factorisation par paires avec leurs valeurs conjuguées complexes :
,
où , sont des nombres réels.
Puis la décomposition (2)
un polynôme à coefficients réels en facteurs peut être représenté sous une forme dans laquelle seules des constantes réelles sont présentes :
(3)
;
.
Méthodes de factorisation d'un polynôme
Compte tenu de ce qui précède, pour factoriser un polynôme, vous devez trouver toutes les racines de l'équation P n (z) = 0 et déterminer leur multiplicité. Multiplicateurs avec racines complexes doivent être regroupés avec des conjugués complexes. Alors le développement est déterminé par la formule (3) .
Ainsi, la méthode pour factoriser un polynôme est la suivante :
1.
Trouver la racine z 1
équations Pn (z 1) = 0.
2.1.
Si la racine z 1
réel, alors on ajoute le facteur au développement (z - z 1) (z - z 1) 1
:
.
1(z), à partir du point (1)
jusqu'à ce que nous trouvions toutes les racines.
2.2.
Si la racine est complexe, alors le nombre conjugué complexe est également la racine du polynôme. Alors le développement inclut le facteur
,
où b 1 = - 2 x 1, c 1 = x 1 2 + y 1 2.
Dans ce cas, on ajoute le facteur au développement (z 2 + b 1 z + c 1) et divisez le polynôme P n (z) par (z 2 + b 1 z + c 1). En conséquence, on obtient un polynôme de degré n - 2
:
.
Ensuite, nous répétons le processus pour le polynôme P n- 2(z), à partir du point (1)
jusqu'à ce que nous trouvions toutes les racines.
Trouver les racines d'un polynôme
La tâche principale lors de la factorisation d’un polynôme est de trouver ses racines. Malheureusement, cela ne peut pas toujours être fait de manière analytique. Ici, nous examinerons plusieurs cas où vous pouvez trouver analytiquement les racines d'un polynôme.
Racines d'un polynôme du premier degré
Un polynôme du premier degré est une fonction linéaire. Il a une racine. Le développement n'a qu'un seul facteur contenant la variable z :
.
Racines d'un polynôme du deuxième degré
Pour trouver les racines d'un polynôme du deuxième degré, il faut résoudre l'équation quadratique :
P. 2 (z) = une 2 z 2 + une 1 z + une 0 = 0.
Si le discriminant est , alors l’équation a deux racines réelles :
, .
Alors la factorisation a la forme :
.
Si discriminant D = 0
, alors l'équation a une racine double :
;
.
Si discriminant D< 0
, alors les racines de l’équation sont complexes,
.
Polynômes de degré supérieur à deux
Il existe des formules pour trouver les racines des polynômes du 3e et du 4e degré. Cependant, ils sont rarement utilisés car ils sont encombrants. Il n'existe pas de formules pour trouver les racines des polynômes de degré supérieur à 4. Malgré cela, dans certains cas, il est possible de factoriser le polynôme.
Trouver des racines entières
Si l’on sait qu’un polynôme dont les coefficients sont des entiers a une racine entière, alors il peut être trouvé en recherchant toutes les valeurs possibles.
Lemme 3
Laissez le polynôme
,
dont les coefficients a i sont des nombres entiers, a une racine entière z 1
. Alors cette racine est un diviseur du nombre a 0
.
Preuve
Réécrivons l'équation P n (z 1) = 0 comme:
.
Puis le tout
Mz 1 = - un 0.
Diviser par z 1
:
.
Puisque M est un entier, alors M est un entier. Q.E.D.
Par conséquent, si les coefficients du polynôme sont des nombres entiers, vous pouvez alors essayer de trouver les racines entières. Pour ce faire, vous devez trouver tous les diviseurs du terme libre a 0
et, en substituant dans l'équation P n (z) = 0, vérifiez si ce sont des racines de cette équation.
Note. Si les coefficients du polynôme sont des nombres rationnels, alors multiplier l'équation P n (z) = 0 par le dénominateur commun des nombres a i , on obtient une équation pour un polynôme à coefficients entiers.
Découverte racines rationnelles
Si les coefficients du polynôme sont des entiers et qu'il n'y a pas de racines entières, alors pour un n ≠ 1
, vous pouvez essayer de trouver des racines rationnelles. Pour ce faire, vous devez effectuer une substitution
z = oui/un n
et multipliez l'équation par un n n- 1
. En conséquence, nous obtenons une équation pour un polynôme dans la variable y avec des coefficients entiers. Ensuite, nous recherchons les racines entières de ce polynôme parmi les diviseurs du terme libre. Si on a trouvé une telle racine y i, alors en passant à la variable x, on obtient une racine rationnelle
z je = y je /une n .
Formules utiles
Nous présentons des formules qui peuvent être utilisées pour factoriser un polynôme.
Plus généralement, pour développer un polynôme
Pn (z) = z n - une 0,
où un 0
- complexe, il faut trouver toutes ses racines, c'est-à-dire résoudre l'équation :
z n = une 0
.
Cette équation peut être facilement résolue en exprimant un 0
via le module r et l'argument φ :
.
Depuis un 0
ne changera pas si nous ajoutons à l'argument 2π, alors imaginez un 0
comme:
,
où k est un entier. Alors
;
.
Attribuer à k les valeurs k = 0, 1, 2, ...n-1, on obtient n racines du polynôme. Alors sa factorisation a la forme :
.
Polynôme biquadratique
Considérons le polynôme biquadratique :
.
Un polynôme biquadratique peut être factorisé sans trouver les racines.
Quand nous avons:
,
Où .
Polynômes bicubiques et quadratiques
Considérons le polynôme :
.
Ses racines sont déterminées à partir de l'équation :
.
Elle se réduit à une équation quadratique en substituant t = z n :
un 2 n t 2 + une n t + une 0 = 0.
Après avoir résolu cette équation, on trouve ses racines, t 1
,t 2
. On retrouve alors le développement sous la forme :
.
Ensuite, en utilisant la méthode indiquée ci-dessus, nous factorisons z n - t 1
et z n - t 2
. Enfin, nous regroupons les facteurs contenant des racines conjuguées complexes.
Polynômes récurrents
Le polynôme s'appelle consigné, si ses coefficients sont symétriques :
Un exemple de polynôme réflexif :
.
Si le degré d'un polynôme récurrent n est impair, alors un tel polynôme a une racine z = -1 . Diviser un tel polynôme par z + 1 , on obtient un polynôme récurrent de degré
Dans cet article, nous commencerons à explorer nombres rationnels. Nous donnerons ici des définitions des nombres rationnels, donnerons les explications nécessaires et donnerons des exemples de nombres rationnels. Après cela, nous nous concentrerons sur la façon de déterminer si un nombre donné est rationnel ou non.
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Définition et exemples de nombres rationnels
Dans cette section, nous donnerons plusieurs définitions des nombres rationnels. Malgré les différences de formulation, toutes ces définitions ont la même signification : les nombres rationnels unissent les entiers et les fractions, tout comme les nombres entiers unissent les nombres naturels, leurs opposés et le nombre zéro. En d’autres termes, les nombres rationnels généralisent les nombres entiers et fractionnaires.
Commençons avec définitions des nombres rationnels, ce qui est perçu le plus naturellement.
De la définition énoncée, il s'ensuit qu'un nombre rationnel est :
- Tout nombre naturel n. En effet, vous pouvez représenter n’importe quel nombre naturel sous la forme d’une fraction ordinaire, par exemple 3=3/1.
- Tout entier, en particulier le nombre zéro. En fait, tout nombre entier peut être écrit sous la forme d’une fraction positive, d’une fraction négative ou de zéro. Par exemple, 26=26/1, .
- Toute fraction commune (positive ou négative). Ceci est directement confirmé par la définition donnée des nombres rationnels.
- N’importe quel nombre mixte. En effet, on peut toujours représenter un nombre fractionnaire comme une fraction impropre. Par exemple, et.
- Toute fraction décimale finie ou fraction périodique infinie. Cela est dû au fait que les fractions décimales indiquées sont converties en fractions ordinaires. Par exemple, , et 0,(3)=1/3.
Il est également clair que toute fraction décimale non périodique infinie n’est PAS un nombre rationnel, puisqu’elle ne peut pas être représentée comme une fraction commune.
Maintenant, nous pouvons facilement donner exemples de nombres rationnels. Les nombres 4, 903, 100,321 sont des nombres rationnels car ce sont des nombres naturels. Les entiers 58, −72, 0, −833 333 333 sont également des exemples de nombres rationnels. Les fractions communes 4/9, 99/3 sont également des exemples de nombres rationnels. Les nombres rationnels sont aussi des nombres.
D’après les exemples ci-dessus, il est clair qu’il existe des nombres rationnels positifs et négatifs, et que le nombre rationnel zéro n’est ni positif ni négatif.
La définition ci-dessus des nombres rationnels peut être formulée sous une forme plus concise.
Définition.
Nombres rationnels sont des nombres qui peuvent être écrits sous forme de fraction z/n, où z est un nombre entier et n est un nombre naturel.
Montrons que cette définition des nombres rationnels est équivalente à la définition précédente. Nous savons que nous pouvons considérer la ligne d'une fraction comme un signe de division, puis des propriétés de division des nombres entiers et des règles de division des nombres entiers, la validité des égalités suivantes découle et. Voilà donc la preuve.
Donnons des exemples de nombres rationnels basés sur cette définition. Les nombres −5, 0, 3 et sont des nombres rationnels, puisqu'ils peuvent être écrits sous forme de fractions avec un numérateur entier et un dénominateur naturel de la forme et, respectivement.
La définition des nombres rationnels peut être donnée dans la formulation suivante.
Définition.
Nombres rationnels sont des nombres qui peuvent être écrits sous forme de fraction décimale périodique finie ou infinie.
Cette définition est également équivalente à la première définition, puisque toute fraction ordinaire correspond à une fraction décimale finie ou périodique et vice versa, et tout nombre entier peut être associé à une fraction décimale avec des zéros après la virgule.
Par exemple, les nombres 5, 0, −13 sont des exemples de nombres rationnels car ils peuvent être écrits sous la forme des fractions décimales suivantes 5,0, 0,0, −13,0, 0,8 et −7, (18).
Terminons la théorie de ce point par les affirmations suivantes :
- les nombres entiers et les fractions (positives et négatives) constituent l'ensemble des nombres rationnels ;
- chaque nombre rationnel peut être représenté comme une fraction avec un numérateur entier et un dénominateur naturel, et chacune de ces fractions représente un certain nombre rationnel ;
- chaque nombre rationnel peut être représenté comme une fraction décimale périodique finie ou infinie, et chacune de ces fractions représente un nombre rationnel.
Ce chiffre est-il rationnel ?
Dans le paragraphe précédent, nous avons découvert que tout nombre naturel, tout entier, toute fraction ordinaire, tout nombre fractionnaire, toute fraction décimale finie, ainsi que toute fraction décimale périodique est un nombre rationnel. Cette connaissance nous permet de « reconnaître » des nombres rationnels à partir d’un ensemble de nombres écrits.
Mais que se passe-t-il si le nombre est donné sous la forme de certains , ou comme , etc., comment répondre à la question de savoir si ce nombre est rationnel ? Dans de nombreux cas, il est très difficile de répondre. Indiquons quelques pistes de réflexion.
Si un nombre est donné sous la forme d'une expression numérique qui contient uniquement des nombres rationnels et des signes arithmétiques (+, −, · et :), alors la valeur de cette expression est un nombre rationnel. Cela découle de la façon dont les opérations avec des nombres rationnels sont définies. Par exemple, après avoir effectué toutes les opérations dans l’expression, nous obtenons le nombre rationnel 18.
Parfois, après avoir simplifié les expressions et plus encore type complexe, il devient possible de déterminer si un nombre donné est rationnel.
Allons plus loin. Le nombre 2 est un nombre rationnel, puisque tout nombre naturel est rationnel. Et le numéro ? Est-ce rationnel ? Il s'avère que non, ce n'est pas un nombre rationnel, c'est un nombre irrationnel (la preuve de ce fait par contradiction est donnée dans le manuel d'algèbre de 8e année, listé ci-dessous dans la liste des références). Il a également été prouvé que la racine carrée de entier naturel est un nombre rationnel uniquement dans les cas où la racine contient un nombre qui est le carré parfait d'un nombre naturel. Par exemple, et sont des nombres rationnels, puisque 81 = 9 2 et 1 024 = 32 2, et les nombres et ne sont pas rationnels, puisque les nombres 7 et 199 ne sont pas carrés parfaits nombres naturels.
Le nombre est-il rationnel ou non ? DANS dans ce cas Il est donc facile de voir que ce nombre est rationnel. Le nombre est-il rationnel ? Il a été prouvé que la kième racine d'un entier est un nombre rationnel seulement si le nombre sous le signe racine est la kième puissance d'un entier. Ce n’est donc pas un nombre rationnel, puisqu’il n’existe pas d’entier dont la puissance cinquième est 121.
La méthode par contradiction permet de prouver que les logarithmes de certains nombres ne sont pas des nombres rationnels pour une raison quelconque. Par exemple, prouvons que - n'est pas un nombre rationnel.
Supposons le contraire, c'est-à-dire disons qu'il s'agit d'un nombre rationnel et qu'il peut s'écrire sous la forme d'une fraction ordinaire m/n. On donne alors les égalités suivantes : . La dernière égalité est impossible, puisque du côté gauche il y a nombre impair 5 n, et sur le côté droit se trouve le nombre pair 2 m. Par conséquent, notre hypothèse est incorrecte et ne constitue donc pas un nombre rationnel.
En conclusion, il convient particulièrement de noter que lors de la détermination de la rationalité ou de l'irrationalité des nombres, il convient de s'abstenir de tirer des conclusions soudaines.
Par exemple, il ne faut pas affirmer immédiatement que le produit des nombres irrationnels π et e est un nombre irrationnel ; cela est « apparemment évident », mais non prouvé. Cela soulève la question : « Pourquoi un produit serait-il un nombre rationnel ? » Et pourquoi pas, car vous pouvez donner un exemple de nombres irrationnels dont le produit donne un nombre rationnel : .
On ne sait pas non plus si les nombres et bien d’autres nombres sont rationnels ou non. Par exemple, il y a nombres irrationnels, dont le degré irrationnel est un nombre rationnel. A titre d'illustration, nous présentons un degré de la forme , la base de ce degré et l'exposant ne sont pas des nombres rationnels, mais , et 3 est un nombre rationnel.
Bibliographie.
- Mathématiques. 6e année : pédagogique. pour l'enseignement général institutions / [N. Ya. Vilenkin et autres]. - 22e éd., rév. - M. : Mnémosyne, 2008. - 288 p. : ill. ISBN978-5-346-00897-2.
- Algèbre: cahier de texte pour la 8ème année. enseignement général institutions / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova] ; édité par S.A. Telyakovsky. - 16e éd. - M. : Éducation, 2008. - 271 p. : je vais. - ISBN978-5-09-019243-9.
- Gusev V.A., Mordkovitch A.G. Mathématiques (un manuel pour ceux qui entrent dans les écoles techniques) : Proc. allocation.- M.; Plus haut école, 1984.-351 p., ill.
Ce polynôme a des coefficients entiers. Si un entier est la racine de ce polynôme, alors c'est un diviseur du nombre 16. Ainsi, si un polynôme donné a des racines entières, alors celles-ci ne peuvent être que les nombres ±1 ; ±2 ; ±4 ; ±8 ; ±16. Par vérification directe, nous sommes convaincus que le nombre 2 est la racine de ce polynôme, soit x 3 – 5x 2 – 2x + 16 = (x – 2)Q (x), où Q (x) est un polynôme de le deuxième degré. Par conséquent, le polynôme est décomposé en facteurs, dont (x – 2). Pour trouver le type de polynôme Q (x), nous utilisons le schéma dit de Horner. Le principal avantage de cette méthode est la compacité de la notation et la possibilité de diviser rapidement un polynôme en un binôme. En fait, le schéma de Horner est une autre forme d'enregistrement de la méthode de regroupement, même si, contrairement à cette dernière, il est totalement non visuel. La réponse (factorisation) s'obtient ici d'elle-même, et nous ne voyons pas le processus pour l'obtenir. Nous ne nous lancerons pas dans une justification rigoureuse du schéma de Horner, mais nous montrerons seulement comment il fonctionne.
| 1 | −5 | −2 | 16 | |
| 2 | 1 | −3 | −8 | 0 |
Le nombre de la cellule au-dessus est « déplacé » vers la deuxième cellule de la ligne du bas, c'est-à-dire 1. Ensuite, ils font cela. La racine de l'équation (numéro 2) est multipliée par le dernier nombre écrit (1) et le résultat est ajouté au nombre qui se trouve dans la rangée supérieure au-dessus de la prochaine cellule libre, dans notre exemple nous avons :
Le degré d'un polynôme résultant de la division est toujours inférieur de 1 au degré de celui d'origine. Donc:
La question de trouver les racines rationnelles d'un polynôme F(X)Q[X] (avec coefficients rationnels) se réduit à la question de trouver des racines rationnelles de polynômes k
∙
F(X)
Z[X] (avec coefficients entiers). Voici le numéro k est le plus petit commun multiple des dénominateurs des coefficients d'un polynôme donné.
Nécessaire, mais pas conditions suffisantes l'existence de racines rationnelles d'un polynôme à coefficients entiers est donnée par le théorème suivant.
Théorème 6.1 (sur les racines rationnelles d'un polynôme à coefficients entiers).
Si
–
racine rationnelle d'un polynômeF(X)
=
un n
X n +
+
…+
un 1
X
+
un 0
Avec
entier
coefficients, et(p,
q)
= 1, puis le numérateur de la fractionpest un diviseur du terme libre a 0
, et le dénominateurqest un diviseur du coefficient dominant a 0
.
Théorème 6.2.Si
Q
(
Où
(p,
q)
=
1)
est la racine rationnelle du polynôme
F(X)
avec des coefficients entiers, alors
–nombres entiers.
Exemple. Trouver toutes les racines rationnelles du polynôme
F(X) = 6 X 4 + X 3 + 2 X 2 – 4 x+ 1.
1. D'après le théorème 6.1 : si
–
racine rationnelle d'un polynôme F(X),
( Où( p,
q)
= 1),
Que un 0
= 1
p,
un n
= 6
q. C'est pourquoi p 
{
1}, q 
(1, 2, 3, 6), ce qui signifie
.
2. On sait que (Corollaire 5.3) le nombre UN est la racine du polynôme F(X) si et seulement si F(X) divisé par ( x – une).
Par conséquent, pour vérifier si les nombres 1 et –1 sont des racines d’un polynôme F(X), vous pouvez utiliser le schéma de Horner :
F(1)
= 6
0,F(–1)
= 12
0, donc 1 et –1 ne sont pas des racines du polynôme F(X).
3. Éliminer certains des chiffres restants 
, utilisons le théorème 6.2. Si les expressions 
ou 
accepte les valeurs entières pour les valeurs du numérateur correspondantes p et le dénominateur q, puis dans les cellules correspondantes du tableau (voir ci-dessous), nous écrirons la lettre "ts", sinon - "dr".
|
|
|
|
|
|||
|
| ||||||
|
|
=
=
4. En utilisant le schéma de Horner, nous vérifions si les nombres restants après le tri seront 
racines F(X). Divisons d'abord F(X) sur ( X
–
).
En conséquence nous avons : F(X) = (X – )(6 X 3 + 4 X 2 + 4 X - 2) et – racine F(X). Privé q(X) = 6 X 3 + 4 X 2 + 4 X - diviser 2 par ( X + ).
Parce que q
(–)
= 3
0, alors (–) n'est pas une racine du polynôme q(X), et donc le polynôme F(X).
Enfin, on divise le polynôme q(X) = 6 X 3 + 4 X 2 + + 4 X - 2 sur ( X – ).
A obtenu: q () = 0, c'est-à-dire – racine q(X), et donc la racine F (X). Donc le polynôme F (X) a deux racines rationnelles : et.
Libération de l'irrationalité algébrique au dénominateur d'une fraction
Dans le cours scolaire, lors de la résolution de certains types de problèmes pour se débarrasser de l'irrationalité du dénominateur d'une fraction, il suffit de multiplier le numérateur et le dénominateur de la fraction par le nombre conjugué au dénominateur.
Exemples. 1.t
=
.
Ici, la formule de multiplication abrégée (différence des carrés) fonctionne au dénominateur, ce qui permet de se libérer de l'irrationalité du dénominateur.
2. Libérez-vous de l'irrationalité du dénominateur de la fraction
t
=
. Expression – carré incomplet de la différence des nombres UN=
Et b= 1. En utilisant la formule de multiplication abrégée UN 3
–
b 3
=
(un +b)
· ( un 2
–
un B
+
b 2
), on peut déterminer le multiplicateur m
= (un +b)
=
+ 1, par lequel le numérateur et le dénominateur de la fraction doivent être multipliés t se débarrasser de l'irrationalité du dénominateur de la fraction t. Ainsi,
Dans les situations où les formules de multiplication abrégées ne fonctionnent pas, d’autres techniques peuvent être utilisées. Nous formulerons ci-dessous un théorème dont la preuve permet notamment de trouver un algorithme pour se débarrasser de l'irrationalité au dénominateur d'une fraction dans des situations plus complexes.
Définition 6.1. Nombre z appelé algébrique sur le terrain
F, s'il existe un polynôme F(X)
F[X], dont la racine est z, sinon le numéro z appelé transcendantal sur le terrainF.
Définition 6.2.Degré d'algébrique sur le terrain
F
Nombres
z s'appelle le degré d'un irréductible sur un corps F polynôme p(X)
F[X], dont la racine est le nombre z.
Exemple. Montrons que le nombre z = 
est algébrique sur le terrain Q et trouver son degré.
Trouvons un irréductible sur le terrain Q polynôme p(X), dont la racine est X
=
. Élevons les deux côtés de l'égalité X
=
à la puissance quatrième, on obtient X 4
= 2 ou X 4
–
2
= 0. Donc, p(X)
= X 4
–
2, et le pouvoir du nombre zégal à degré
p(X)
= 4.
Théorème 6.3
(sur la libération de l'irrationalité algébrique dans le dénominateur d'une fraction).Laisserz– nombre algébrique sur un corpsFdegrésn. Expression de la formet
=
,Où
F(X),
(X)
F[X],
(z) 
0
ne peut être représenté que sous la forme :
t
= Avec n -1
z n -1
+
c n -2
z n -2
+ … +
c 1
z
+
c 0
,
c je
F.
Nous démontrerons l'algorithme permettant de se débarrasser de l'irrationalité du dénominateur d'une fraction à l'aide d'un exemple spécifique.
Exemple. Libérez-vous de l'irrationalité du dénominateur d'une fraction :
t
=
1. Le dénominateur de la fraction est la valeur du polynôme 
(X)
= X 2
– X+1 quand X
=
. L'exemple précédent montre que 
– nombre algébrique sur un corps Q degré 4, puisqu'il est la racine d'un irréductible sur Q polynôme p(X)
= X 4
–
2.
2. Trouvons le développement linéaire de GCD ( 
(X),
p(X)) en utilisant l'algorithme euclidien.
_X 4 – 2 | X 2 -X + 1
X 4 - X 3 +x 2 X 2 + x = q 1 (X)
_ X 3 - X 2 – 2
X 3 - X 2 +x
X 2 -X + 1 | – X –2 = r 1 (X )
X 2 + 2 X – x + 3 = q 2 (X)
_–3X+ 1
–3 X – 6
_ – X –2 |7 = r 2
– X –2 -X - =q 3 (X)
Donc, PGCD ( 
(X),
p(X))
= r 2
=
7. Trouvons son développement linéaire.
Écrivons la séquence euclidienne en utilisant la notation polynomiale.
p(X)
=
(X)
· q 1
(X)
+ r 1
(X)
r 1
(X)
=p(X)
–
(X)
· q 1
(X)
(X)
= r 1
(X)
· q 2
(X)
+ r 2
(X)
r 2
(X)
=
(X)
– r 1
(X)
· q 2
(X)
r 1 (X) = r 2 (X) · q 2 (X).
Remplaçons 7= par égalité r 2
(X)
=
(X)
– r 1
(X)
· q 2
(X) valeur restante r 1
(X)
=
p(X)
–
(X)
· q 1
(X), après transformations on obtient un développement linéaire de GCD( 
(X),
p(X)):
7 = p(X)
· (– q 2
(X))
+
(X) · . Si l'on substitue les polynômes correspondants dans la dernière égalité au lieu des notations et que l'on prend en compte que p(
) = 0, alors on a :
(1 –
+
)
· (– 
+ 2
+ 3
+ 1)] = 7 (1)
3. De l'égalité (1), il s'ensuit que si le dénominateur de la fraction t multiplier par nombre m= , alors nous obtenons 7. Ainsi,
t
=
=.
MÉTHODE 16. Sujet de cours : Forme standard d'un polynôme
Type de cours : test de cours et suivi des connaissances et des compétences
Objectifs de la leçon:
Testez votre capacité à réduire un polynôme à la forme standard
Développer la pensée logique et l’attention des élèves
Favoriser l’indépendance
Structure de la leçon :
Organisation du temps
Compte rendu
Travail indépendant.
1. Complétez les phrases :
a) Une expression contenant la somme des monômes est appelée ... (polynôme).
b) Un polynôme constitué de monômes standards et ne contenant pas de termes similaires est appelé ... (polynôme standard).
c) La plus grande des puissances des monômes inclus dans un polynôme de forme standard est appelée ... (le degré du polynôme).
d) Avant de déterminer le degré d'un polynôme, vous devez... (le mettre sous forme standard).
e) Pour trouver la valeur d'un polynôme, il faut faire la première... (présenter le polynôme sous forme standard), la seconde... (substituer la valeur de la variable dans cette expression).
2. Trouvez la valeur du polynôme :
UN) 2 un 4 - un B+2 b 2 à un=-1, b=-0,5
b) X 2 +2 xy+ oui 2 à X=1,2, oui=-1,2
3. Réduisez le polynôme à la forme standard :
UN) -5ah 2 + 7a 2 x + 2a 2 x + 9ax 2 – 4h 2 – 8a 2 X;
b) (5x 2 – 7x – 13) – (3x 2 – 8x + 17);
V) 2a – (1,4av + 2a 2 – 1) + (3a + 6,4av);
G) (2s 2 – 1,6s + 4) – ((10,6s 2 + 4,4s – 0,3) – (3,6s 2 – 7s – 0,7));
4. Amenez le polynôme sous forme standard et découvrez à quelles valeurs X sa valeur est 1 :
UN) 2 X 2 -3 X- X 2 -5+2 X- X 2 +10;
b) 0,3 X 3 - X 2 + X- X 3 +3 X 2 +0,7 X 3 -2 X 2 +0,07
Billet numéro 17.Divisibilité des entiers